七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二十讲 质数与合数

《培优》第28章：质数、合数1.菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”,只奖励岁以下的数学家.华人数学家丘成桐、陶哲轩40分别于年、年荣获此奖.我们知道正整数中有无穷多个质数(素数),陶哲轩等证明了这19822006样一个关于质数分布的奇妙定理:对任何正整数,存在无穷多组含有个等间隔质数(素数)的数k k 组.例如,时,是间隔为的个质数; 是间隔为的个质数;而3k =3,5,7235,11,1763______,______,______是间隔为的个质数(由小到大排列,只写一组个质数即可)12332. 这个数具有相当迷人的性质，不只是因为它是质数，还因为把最末位数字依序“截73939133尾”后，余下的数仍然是质数.例如：,,,,,,,73939133739391373939173939739373973.具有这样性质的数叫“截尾质数”. 巧的是，它也是具有此性质的最大数,总共有个数783具有这种性质.在以内的质数中，最大的截尾质数是________.100 3.若为整数，,则___________ .,,,a b c d ()()22221997ab c d ++=2222a b c d +++=4.若是正整数，且满足，则________.,a b 5750a b +=ab =5.著名的哥德巴赫猜想指出,任何大于的偶数可以恰好写为两个不同素数之和,用这种方法表示7偶数,两个素数之间最大的差是( )126A. B. C. D. E. 1121009288806. 若为质数, 仍为质数,为( )p 35p +57p +A.质数 B.可为质数也可为合数 C.合数 D.既不是质数也不是合数7.若均为质数，且满足，则（ ）,a b 112089a b +=49b a -=A. B. C. D. 02007200820108.设为质数，并且和也都是质数，若记，，则在以下情a 278a +287a +778x a =+887y a =+况中，必定成立的是（ ）A. 都是质数B. 都是合数,x y ,x yC. 一个是质数，一个是合数,x y D. 对不同的，以上各情况皆可能出现a 9.若为自然数，与都是质数，求除以所得的余数.n 3n +7n +n 310. 和是两个自然数,对它们的描述有这样的四句话:①能被整除;②;a b 1a +b 25a b =+③能被整除;④是质数.不过这四句话中只有三句是正确的,有一句是错误的,试求出a b +37a b +和的所有可能解.a b11.一个六位数各位数字的乘积是,这样的六位数中,最小的一个是_______.129612. 如果四个不同的质数的和为，那么这样的四个质数乘积的最大值是______，最小值是37______.13.已知三个质数的乘积等于这三个质数的和的倍,则_______.,,m n p 5222m n p ++=14. 一个两位质数，将它的十位数字与个位数字对调后仍是一个两位质数，我们将它称为“无暇质数”，则所有的“无暇质数”的和等于_______.15.万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同．如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是_____.16. 已知是个小于的正整数，且及均是质数，求的,,x y z 3100,,x y z x y >>-x z -y z -x z -最大值.17. 已知正整数都是质数，且与也都是质数，试求的值．,p q 7p q +11pq +q pp q +18. 设是自然数，并且,证明一定是合数.,,,a b c d 2222a b c d +=+a b c d +++19. 名运动员所穿运动衣号码是这个自然数，问：411,2,,40,41 41(1)能否使这名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数?41(2)能否让这名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数?41若能办到，请举一例；若不能办到，请说明理由.。

第二十讲质数与合数趣题引路】由超级计算机运算得到的结果2対川3_1是一个质数，则泸9433+1是（）A.质数B.合数C.奇合数D.偶合数解析V2859433-l, 2溯33, 2*眇*33+1.是三个连续正整数，T2859433 — 1的末位数字是1. 285<M33 是偶合数，I•上述三个数中一泄有一个能彼3整除，而2対"33一1是质数，.・.2劭9433+ 1的末位数字是奇数且能被3整除，故2归《33+ 1是奇合数.故选C.同学们，你们知道什么是“哥徳巴赫猜想”吗？二百多年前，徳国数学家哥徳巴赫发现：任一个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数之和.如6=3 + 3, 12=5+7等.对许多偶数进行检验，都说明这个猜想是正确的，但至今仍无法从理论上加以证明，也没有找到一个反例.到目前最好的结论是我国数学家陈景润证明的"1+2”，即任一充分大的偶数，都可表示成一个质数加上一个质数或两个质数的积，这一结论被命名为"陈氏定理”.知识延伸】1.正整数依据不同的标准可以有各种分类，这里依据它们的正约数的个数可以分为三类：（1）只有一个正约数的数，它只能是1：（2）只有两个正约数的数，如2, 3, 11这样的数叫质数：（3）有两个以上正约数的数，如4, 10, 12这样的数叫合数.2.（1> 2是最小的质数，也是唯一的偶质数：除2以外，苴余的质数都是奇数。

（2）质数有无穷多：合数也有无穷多.证明假设只有有限多个质数,设为P2, P、，…,几考虑P1P2P3…几+1,由假设可知，PxPzPy- 几+1是合数，它一定有一个质因数P,显然，P不同于巴，Pi，A，…，P”，这与假设Pi，B，A，…，几为全部质数矛盾.3.质数可以采用埃拉托色尼筛选法进行判左.如判断2003为质数，可以这样操作：分别用质数2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 43来除2003,它们都不能整除2003,而下一个质数47,它的平方472 = 2209大于2003,由此就可判定2003为质数。

吕领先老师的质数和合数的课堂实录
《吕领先老师质数和合数的课堂实录》
一、质数的定义
吕领先老师在课堂上定义质数：质数是一个大于1的自然数，其中除了1和它本身，不能再被其他自然数整除的数。

二、合数的定义
吕领先老师定义合数：反之，合数是大于1的自然数，其中可以整除其他自然数的数。

三、质数的性质
质数又称素数，是自然数表中最基本的元素之一。

它的主要性质有：
1.所有的质数不相等，而且大于1；
2.除了2，所有的质数都是奇数；
3.质数是没有正确因式分解的数；
4.每个小于质数p的自然数都可以表示成p的乘积及余数。

四、合数的性质
合数就是除了质数，其他大于1的自然数，其特点就是能够被自然数整除，它具有以下特点：
1.任一个合数都可以分解成若干个质数相乘的乘积，这种分解是唯一
的；
2.合数一定可以被两个不同的整数整除，并且这两个整数中必定有一个大于1；
3.合数的因子可以是任意的正整数。

五、质数和合数的区别
1.质数和合数的主要区别在于：质数只能被1和本身整除，而合数可以被多个不同数整除；
2.质数和合数的本质区别在于：质数是一个自然数，其中只有1或者它本身可以整除，而合数就不一样，可以被多个自然数整除；
3.质数的另一个特征是它们不能被多个自然数乘积表示，而合数正好相反，都可以被多个自然数乘积表示。

初一数学培优讲义 第5讲 质数与合数一、概念质数：一个大于1的整数a ，如果只有1和a 这两个约数，那么a 就是质数，也叫做素数；如果除了1和a 之外还有其他正约数，则a 叫做合数。

1既不是质数也不是合数。

二、性质1、合数有无穷多个2、质数也有无穷多个证明：假设只有有限多个质数：12,,,n p p p ，构造一个数12()!1n N p p p =+是一个新的质数，若不然，N 是一个合数，则N 可以被12,,,n p p p 中的某一个质数i p 整除，而121()!n N p p p =-，因此1可被i p 整除，矛盾！注：!12n n =⨯⨯⨯.叫做n 的阶乘。

这是一个存在性的证明,即人们知道质数有无穷多个,但至今为止,人们找到的质数还是有限个.现在人们正借助于网络计算机寻找越来越大的质数3、质数2 是唯一的偶质数，也是最小的质数。

解题中需要经常想到这一点。

4、如果质数p|ab ，则p|a ，或p|b.但是如果P 不是质数，一般不具有这个性质。

例如6|4×9=36，但是6不能整除4或者9。

1．试判别359是不是质数分析：若359有一个大于19的约数，则必有一个小于19的约数，因此只要对359逐个用不超过19的质数检验，看能否整除。

2．求质数p,使得p+10和p+14都是质数分析：试验——猜想——证明，是创造性思维的一种方法。

本题需要分类讨论。

3．将1、2、…，2000这2000个数随意排成一行，得到一个数N ，那么N 是质数还是合数?分析：需要抓住一种不变性——不管数字次序如何，所有数字的和都是确定的，而这个和是3的倍数。

4．已知3 个不同的质数a,b,c 满足2000,bab c a +=那么a+b+c 的值等于_____分析：本题用到质数2 的特殊性，需要用到分解质因数。

5．自然数n 至少含有2 个大于10的质因数，那么n 的最小值是______.6．3599是质数还是合数？7．用1、2、3、4、5任意组成一个五位数，所得的数中有几个质数？8．p 是质数。

（3） 质数 合数【知识精读】1 正整数的一种分类：质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）。

合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。

2 根椐质数定义可知① 质数只有1和本身两个正约数，② 质数中只有一个偶数2如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2，如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2，3任何合数都可以分解为几个质数的积。

能写成几个质数的积的正整数就是合数。

【分类解析】例1两个质数的和等于奇数a (a ≥5)。

求这两个数解：∵两个质数的和等于奇数∴必有一个是2所求的两个质数是2和a －2。

例2己知两个整数的积等于质数m, 求这两个数解：∵质数m 只含两个正约数1和m,又∵（－1）（－m ）=m∴所求的两个整数是1和m 或者－1和－m.例3己知三个质数a,b,c 它们的积等于30求适合条件的a,b,c 的值解：分解质因数：30＝2×3×5适合条件的值共有： ⎪⎩⎪⎨⎧===532c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===352c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===523c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===253c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===325c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===235c b a 应注意上述六组值的书写排列顺序，本题如果改为4个质数a,b,c,d 它们的积等于210,即abcd=2×3×5×7那么适合条件的a ，b ，c ，d 值共有24组，试把它写出来。

例4试写出4个連续正整数，使它们个个都是合数。

解：（本题答案不是唯一的）设N 是不大于5的所有质数的积，即N ＝2×3×5那么N ＋2，N ＋3，N ＋4，N ＋5就是适合条件的四个合数即32，33，34，35就是所求的一组数。

本题可推广到n 个。

令N 等于不大于n+1的所有质数的积，那么N ＋2，N ＋3，N ＋4，……N ＋（n+1）就是所求的合数。

华杯赛数论专题：质数与合数基础知识：1.质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）.一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.1不是质数也不是合数，2是唯一的偶质数，3是最小的奇质数.除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1,3,7,9.2.判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于P的质数q（均为整数），使得q能够整除P ，那么P 就不是质数，所以我们只要拿所有小于P的质数去除P就可以了；但这样的计算量很大，对于不太大的P ，可以先找一个大于且接近P的平方数，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除P ，如果没有能除尽的，那么P就为质数.3.唯一分解定理每个大于1的自然数均可以分解为有限个素数的乘积，并且具有唯一（不计次序变化）的素数分解形式.例题例1.自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有几个？【答案】23，37，53，73.【解答】首先，个位数字不能是0，2，4，6，8，5，十位数字只能是3，7，所以满足要求的两位数有四个：23，37 ，53 ，73.例2.把质数373拆开（不改变各数字间的顺序），所有的可能只有3，7，37，73这四个数，它们都是质数. 请找出所有具有这种性质的两位和两位以上的质数.【答案】23，37，53，73，373【解答】用排除法，在所找的数中，各个数位上都不能出现0，1，4，6，8和9，否则拆成一位数时将出现这六个数，都不是质数. 另外除首位外，各位数字都不能出现2和5. 因此，可采用的数字只有3，7，2，5，其中2，5只能出现在首位，并且同一个数字不能连续出现.经检验，满足题意的数只有五个：23，37，53，73和373.例3.老师想了一个三位质数，各位数字都不相同.如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是几？【答案】167、257、347、527或617中间的任意一个【解答】因为是质数，所以个位数不可能为偶数0，2 ，4 ，6 ，8. 也不可能是奇数5.如果末位数字是3或9，那么数字和将是3或9的两倍，因而能被它们整除，就不是质数了.所以个位数只能是7.这个三位数可以是167、257、347、527或617中间的任意一个.例4.连续的九个自然数中至多有几个质数？为什么？【答案】4个【解答】如果连续的9个自然数在1到20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1~9中有4个质数2、3、5、7）.如果这连续的9个数中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中的奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必定有一个个位数是5，因而该数为合数.这样，至多另外4个奇数都是质数.综上，连续9个数中最多有4个质数.例5.三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数.【答案】2，11，13或3，7，11【解答】设三个不同质数是a、b、c因为，所以a、b、c中，必定有一个质数是11，不妨设a＝11，则故可得<I>b</I>=2，c=13，或<I>b</I>=3，c=7，所以三个质数是2，11，13或3，7，11.例6.质数A、B、C、D满足A＋B＝C，A＋C＝D，那么A×C＋B×D是.【答案】31【解答】如果A、B都是奇数，则C＝A＋B是大于2的偶数，不可能是质数，所以A、B有一个是偶数.同理A、C也有一个是偶数，因此只能是A＝2.那么B＋2＝C，C＋2＝D，即B、C、D是三个连续奇数，必定有一个是3的倍数，那么只能是B＝3，C＝5，D＝7.因此A×C＋B×D＝2×5＋3×7＝31.例7. 将135拆成4个互不相同的质数之和，使得其中两个质数的个位数字分别为1和7. 请写出两种满足要求拆分的方法：135＝________＝________.【答案】135＝2＋5＋31＋97＝2＋5＋61＋67【解答】四个质数不可能同为奇数，至少有一个偶质数，即为2，因此个位数字为1、2、7，所以第四个数字的个位数字是5且是质数，只能是5，所以原题变为把128拆成个位数字为1和7的两个质数之和，128＝31＋97=61＋67，所以135＝2＋5＋31＋97＝2＋5＋61＋67.例8.已知两个质数与一个合数的和是293，乘积是10336，那么这三个数中最大的是.【答案】272【解答】因为，其中三个数分别为2、19、272满足要求，故最大的数是272.例9.请在下列算式中的每个方框内填入一个质数数字，使得等式成立，共有______种.□□＋□＝□□×□－□＝□□－□□＝□□÷□＋□【答案】4种【解答】第一个算式：32＋7或37＋2第二个算式：22×2－5或23×2－7第三个算式：72－33第四个算式：72÷2＋3例10. 4个一位数的乘积是360，并且其中只有一个合数，那么在这4个数字所能组成的四位数中，最大的是多少？【答案】8533【解答】将360分解质因数得，它是6个质因数的乘积.因为题述的四个数中只有一个合数，所以该合数必至少为个质因数之积.而只有3个2相乘才小于10，所以这四个数为3、3、5、8，所能组成的最大四位数是8533.例11.把下面八个数分成两组，使这两组数的乘积相等.14、55、21、30、75、39、143、169【答案】（55、30、169、21）；（143、75、14、39）【解答】先把每个数都分解质因数如下：14＝2×7 21＝3×7 30＝2×3×5 39＝3×13 55＝5×11 75＝3×5×5 143＝11×13 169＝13×13，观察因子得到分组为：（55、30、169、21）；（143、75、14、39）.例12.5个连续质数的乘积是一个形如□△□□△□的六位数，其中□和△各代表一个数字，那么这个六位数是多少？【答案】323323【解答】因为□△□□△□＝□△□×1001＝□△□×7×11×13，又□△□为两个质数的乘积，所以□△□＝17×19=323，故六位数为323323.例13.幼儿园王老师带216元去买皮球，预计正好花光. 可实际上所购皮球价格比预计的便宜2元，个数比原计划的多9个，仍然恰好花光。

专题01 质数那些事例1 34例2 C例3 3符合要求 提示：当p =3k ＋1时，p ＋10=3k ＋11，p ＋14=3(k ＋5)，显然p ＋14是合数，当p =3k ＋2时，p ＋10=3(k ＋4)是合数，当p =3k 时，只有k =1才符合题意．例4 （1）因1＋2＋…＋2004=21×2004×（1＋2004）=1002×2005为3的倍数，故无论怎样交换这2004个数的顺序，所得数都有3这个约数．（2）因n 是大于2的正整数，则n 2－1≥7，n 2－1、n 2、n 2＋1是不小于7的三个连续的正整数，其中必有一个被3整除，但3不整除n 2，故n 2－1与n 2＋1中至多有一个数是质数．（3）设正整数a 的所有正约数之和为b ，1d ，2d ，3d ，…，n d 为a 的正约数从小到大的排列，于是1d =1，n d =a ．由于nd d d d S 1111321+⋅⋅⋅+++=中各分数分母的最小公倍数n d =a ，故S =n n n n n d d d d d d 11⋅⋅⋅++-=n n d d d d ⋅⋅⋅++21=ab ，而a =360=53223⨯⨯，故b =（1＋2＋22＋32）×（1＋3＋23）×（1＋5）=1170．a b =3601170=413． 例5 由xy y x +=p 2，得x ＋y =pxy 2=k ．（k 为正整数），可得2xy =kp ，所以p 整除2xy 且p 为奇质数，故p 整除x 或y ，不放设x =tp ，则tp ＋y =2ty ，得y =12-t tp 为整数．又t 与2t －1互质，故2t －1整除p ，p 为质数，所以2t －1=1或2t －1=p ．若2t －1=，得t =1，x =y =p ，与x ≠y 矛盾；若2t －1=p ，则xyy x +=p 2，2xy =p （x ＋y ）．∵p 是奇质数，则x ＋y 为偶数，x 、y 同奇偶性，只能同为xy =()2y x p +必有某数含因数p ．令x =ap ，ay =2y ap +，2ay =ap ＋y ．∴y =12-a ap ，故a ，2a －1互质，2a －1整除p ，又p 是质数，则2a －1=p ，a =21+p ，故x =p p ⋅+21=()21+p p ，∴x ＋y =()21+p p ＋21+p =()212+p 。

（3）质数合数【知识精读】1 正整数的一种分类：质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）。

合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。

2根椐质数定义可知①质数只有1和本身两个正约数，②质数中只有一个偶数2如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2，如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2，3任何合数都可以分解为几个质数的积。

能写成几个质数的积的正整数就是合数。

【分类解析】例1两个质数的和等于奇数a (a≥5)。

求这两个数解：∵两个质数的和等于奇数∴必有一个是2所求的两个质数是2和a－2。

例2己知两个整数的积等于质数m, 求这两个数解：∵质数m只含两个正约数1和m,又∵（－1）（－m）=m∴所求的两个整数是1和m或者－1和－m.例3己知三个质数a,b,c它们的积等于30求适合条件的a,b,c的值解：分解质因数：30＝2×3×5适合条件的值共有： ⎪⎩⎪⎨⎧===532c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===352c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===523c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===253c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===325c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===235c b a 应注意上述六组值的书写排列顺序，本题如果改为4个质数a,b,c,d 它们的积等于210,即abcd=2×3×5×7那么适合条件的a ，b ，c ，d 值共有24组，试把它写出来。

例4试写出4个連续正整数，使它们个个都是合数。

解：（本题答案不是唯一的）设N 是不大于5的所有质数的积，即N ＝2×3×5那么N ＋2，N ＋3，N ＋4，N ＋5就是适合条件的四个合数即32，33，34，35就是所求的一组数。

本题可推广到n 个。

令N 等于不大于n+1的所有质数的积，那么N ＋2，N ＋3，N ＋4，……N ＋（n+1）就是所求的合数。