初中七年级数学竞赛培优讲义全套专题07 整式的加减

第7节 整式的加减中考考点分析整式的加减是中学必考内容，有理数运算是初中数学的知识点的辅助知识，主要是考察有理数的加、减、乘、除混合运算，要求学生对运算法则能理解；其次会以压轴题题型动点问题的形式出现，以填空题和解答题为主.在教材中的地位本节是在学生学习并掌握整式相关概念的基础上提出的，是为以后学习方程打下基础，因此，本节是学生必须掌握的内容，是运算中的核心内容，占据重要地位，起到承上启下的作用.重点、难点重点：有理数运算的运算法则.难点：有理数的混合运算，有理数的运算的应用.考点与实例分析专题讲解专题1：同类项【例1】下列各题的两项是同类项的有（ ）.①2ab 和2a b ； ②3mn 和5mn -； ③3xy -和3xyz ；④220.25x yz 和220.64y x z ； ⑤π-和3.A .①②③B .②④C .②④⑤D .②③⑤(2012 江岸区期中)【点拨与解析】考察同类项的概念.【归纳总结】① 题型特征： ② 方法与技巧： 练1．1：下列各组中两项属于同类项的是（ ）.A .2x y -或2xyB .2x y 或2x zC .23m n -或32n m -D .ab -或abc(2013 洪山区期中)练1．2：已知单项式210.6x a b +和单项式112y x b a --是同类项，则y 等于（ ）. A .1 B .2 C .3 D .4(2012 武汉外校期中)【例2】下列各式中正确的是（ ）.A .451xy xy -=-B .22332x y xy x y +=C .523a a a -=D .523a a a -=(2012 武昌区期中)【点拨与解析】考察同类项的运算.【归纳总结】① 题型特征： ② 方法与技巧： 练1．3：下列计算中，正确的是（ ）.A .325ab ab +=B .55xy y x -=C .22550m n nm -+=D .32x x x -=(2012 硚口区期中)练1．4：合并下列同类项：（1）69________a a -=； （2）23320.50.05__________________m n n m -=；（3）225345_______________________xy y xy y +-+-=.练1．5：合并下列同类项：（1）22496385a a a a -+-+-； （2）2213235764x y xy x y --++-. 专题2：去括号【例3】先去括号，再合并同类项：（1）()34262a a b b ---+； （2）()2284231x x x -+-.【点拨与解析】考察整式中去括号，再合并同类项的相关内容.【归纳总结】① 题型特征： ② 方法与技巧： 练2．1：下列去括号,正确的是（ ）.A .()2326a a --=--B .()2326a a -+=-+C .()2326a a -+=--D .()2323a a --=-+(2012 硚口区期中)练2．2：下列去括号或添括号：①()225335a a ab a ab a --+=---⎡⎤⎣⎦；②()231231a b c a b c --+=-+-③()()225353a a ab a ab a --+=--+；④()2222222235223522ab ab a b a b ab ab a b a b ⎡⎤----=-+-+⎣⎦.其中正确的有（ ）.A .1B .2C .3D .4(2013 洪山区期中)专题3：整式的加减【例4】先化简，再求值：()()233252343a a a a a a +-----，其中2a =-.(2012 武汉外校期中)【点拨与解析】考察合并同类项后代入求值.【归纳总结】① 题型特征： ② 方法与技巧：【例5】先化简，再求值：2222332232x y xy xy x y xy xy ⎡⎤⎛⎫---++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；其中3x =，13y =-. (2012 武汉外校期中)【点拨与解析】考察去括号，再合并，最后代入求值.【归纳总结】① 题型特征： ② 方法与技巧：练3．1：先化简，后求值：()()222234x y xy x y xy x y +---，其中1x =，1y =-.(2013 江岸区期中)练3．2：已知22A a a =-，51B a =-+.（1）化简：322A B -+；（2）当12a =-时，求322A B -+的值. (2013 江岸区期中)【例6】已知223213M x kx x =+-+，24N x kx =-+-，且36M N +的值与x 的值无关，求k 的值.(2012 武汉外校期中)【点拨与解析】考察去括号，再合并，最后代入求值.【归纳总结】① 题型特征： ② 方法与技巧： 练3．3：若代数式()()22262351x ax y bx x y +-+--+-的值与字母x 的取值无关，求代数式2222312344a b a b ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭的值.练3．4：已知关于x ，y 的式子()221233212x mx y x y nx ⎛⎫+-+--+- ⎪⎝⎭的值与字母x 的取值无关，求式子 ()()22m n m n +--的值.专题4:整式的实际应用【例7】七年级四个班参加植树活动共植树56x y +棵，其中一班植树2x 棵，二班植树3y 棵，三班比一班和二班的和少2x y +-棵，求四班植树的棵树（用x ，y 表示）.(2013 武昌区期中)【点拨与解析】考察整式的列式计算.【归纳总结】① 题型特征： ② 方法与技巧： 练4．1：我市某路公交车上有3a b +人，路过武汉大学站口时下去了2a b +人，又上来了一些学生，此时车上共有乘客85a b -人.（1）在武汉大学站口上车的学生人数是______人（用含a ，b 的式子表示）.（2）若10a =，8b =，则公交车路过武汉大学站口时下去了多少人？上车了多少学生？(2013 武汉二中、七一中学期中)练4．2：把正整数1，2，3，4，…，2009排列成如图所示的一个表.（1）用一个正方形在表中随意框住4个数，把其中最小的数记为x ，另三个数用含有x 的式子表示出来，从小到大依次是________________________________________.（2）当被框住的4个数之和等于416，x 的值是多少？（3）被框住的4个数之和能否等于622？如果能，请求出此时x 的值；如果不能，请说明理由.(2013 江岸区期中)分级检测A 级1．下列各组中的两个单项式是同类项的为（ ）.A .232a b 与322a b -B .12xy 与22xy C .35与3a D .7x 与7y (2012 武珞路中学期中)2．下列计算正确的是（ ）. A .22a b ab += B .22532a a -+=- C .22330x y xy -= D .22231222m m m -=- (2012 硚口区期中)3．整式()a b c ---⎡⎤⎣⎦去括号应为（ ）.A .a b c --+B .a b c -+-C .a b c -++D .a b c ---4．如图，10个棱长为a 的正方体摆放成如图所示的图形，则这个图形的表面积为（ ）.A .260aB .224aC .236aD .248a(2013 硚口区期中)5．若222332M m m n =-+，222224N m m n n =--，则M 与N 的大小关系是（ ）.A .M N >B .M N =C .M N <D .无法确定(2013 武昌区期中)6．若233m x y -与42n x y 是同类项，那么_________m n -=.(2013 汉阳区期中)7．某班女生人数占全班人数的70%，男生为a 人，则全班为________人.(2012 武珞路中学期中)8．已知代数式2x y +的值是3，则代数式241_________x y ++=.(2013 汉阳区期中)9．若代数式2213y y -+=，则代数式2425y y -+的值为________.(2012 武珞路中学期中)10．计算：（1）68ab ba ab -++； （2）()()5322a b a b ---.(2013 汉阳区期中)11．先化简，再求值：()22222334522x y xy x y xy x y ⎛⎫---+-+ ⎪⎝⎭，其中12x =-，4y =. (2012 硚口区期中)12．先化简，再求值：()()22532220x y x x x y x ---+，其中1x =，2y =-.(2012 武珞路中学期中)13．已知2222A xy y x =-+，2233B x xy y =+-，求：（1）A B -； （2）32A B -+.(2013 汉阳区期中)14．已知()2320a b -+-=，c 和d 互为倒数，m 和n 的绝对值相等，且0mn <，y 为最大的负整数，求 ()()22y b m a cd nb ++++的值.(2013 武昌区期中)15．已知多项式322m n --中，含字母的项的系数为a ，多项式的次数为b ，常数项为c ，且a ，b ，c 分别是点A ，B ，C 在数轴上对应的数.（1）求a ，b ，c 的值，并在数轴上标出A ，B ，C .（2）若甲、乙、丙三个动点分别从A ，B ，C 三点同时出发沿数轴负方向运动，它们的速度分别是12，2，14（单位：长度/秒），当乙追上丙时，乙是否追上了甲？为什么？ (2013 武汉二中、七一中学期中)16.点A ，B ，C 在数轴上表示的数a ，b ，c 满足()()222240b c ++-=，且多项式32321a x y ax y xy +-+-是五次三项式，则:（1）a 的值为_______，b 的值为_______，c 的值为_______.（2）若数轴上有三个动点M ，N ，P ，分别从如图所示的点A ，B ，C 开始同时出发，在数轴上运动，速度分别为每秒1个单位长度、7个单位长度、3个单位长度，其中点P 向左运动，点N 先向左运动，遇到点M 后再向右运动，遇到点P 后又回头向左移动……这样直到点P 遇到点M 时三点都停止运动，求点N 所走的路程.(2012 武珞路中学期中)家庭作业1．下列式子中正确的是（ ）.A .527a b ab +=B .770ab ba -=C .22245x y xy x y -=-D .235358x x x +=2．已知单项式210.6x a b +和单项式112y x b a --是同类项，则y 等于（ ）. A .1 B .2 C .3 D .4(2012武汉外校期中)3．下列整式中，不是同类项的是（ ）.A .23x y 与213yx -B .1与2-C .2m n 与22310nm ⨯D .213a b 与213b a 4．a bc -+的相反数是（ ）.A .a b c +-B .a b c --C .a b c -+-D .a b c ++5．如图,边长为3m +的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙）.若拼成的矩形一边长为3，则一边长是（ ）.A .23m +B .26m +C .3m +D .6m +(2012硚口区期中)6．下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定的规律拼接而成，依次规律，第10个图形中白色正方形的个数为（ ）.A .20B .30C .32D .34(2013硚口区期中)7．合并同类项：（1）()()2337x x ---； （2）()222372422x x x x x ⎡⎤--++-⎣⎦. 8．先化简，再求证：2212333xy xy x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，其中2x =-，12y =. (2013 汉阳区期中)9．若某小村小麦种植面积是a 公顷，水稻种植面积比小麦种植面积的5倍多8公顷，玉米种植面积比小麦种植面积的3倍少2公顷，则（1）水稻种植面积比玉米种植面积大多少公顷？（2）当10a =公顷时，水稻种植面积比玉米种植面积大多少公顷？(2012 武珞路中学期中)10．甲和乙在一起做数学题，有一题是：已知代数式的值34223738A a b a a b ab =+--+，322446832B ab a b a b =++-，34223474552C a b a a b ab b =+++-，甲说：“代数式A B C ++的值与a ，b 无关”.乙说：“代数式A B C +-的值与a ，b 无关”.你同意谁的观点？请说明你的理由.(2013 武昌区期中)。

初一数学（上册）讲义整式的加减培优能力提高 1 ：用字母表示数能力提高 2 ：图形关系的代数表示有些数目关系表现为图形中的数目关系，假如能将这些关系表示为代数式，这样就初步地实现了数与形相联合，抽象与直观相联合，对培育数学能力是特别重要的。

能力提高 3 ：由代数式睁开的推理能力提高 4 ：求代数式的值用详细的数取代代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特别的过程．详细求解代数式值的问题时，关于较简单的问题，代入直接计算其实不困难，但关于较复杂的代数式，常常是先化简，而后再求值．下边联合例题初步看一看代数式求值的常用技巧．【例 1】求以下代数式的值：（1）5ab 4 1 a3b2 2 1ab1a3b2 23ab a2b 5 ，此中 a 1,b2 ；2 4 2 4（2）3x2y { xyz (2 xyz x2 z) 4x2 z [3 x2 y (4 xyz 5x2 z 3xyz)]} ，此中 x 1, y 2, z 3 .剖析上边两题均可直接代入求值，但会很麻烦，简单犯错．我们能够利用已经学过的相关观点、法例，如归并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，而后再求值，这样会大大提高运算的速度和结果的正确性．=0-4a3b2-a2b-5=-4× 13× (- 2)2- 12 × (-2)-5 =-16+2-5=-19 ．(2) 原式 =3x 2y-xyz+(2xyz-x 2 z)+4x 2z[3x2y-(xyz-5x 2z)]=3x 2y-xyz+2xyz-x 2 z+4x 2z-3x 2y+(xyz-5x 2z)=(3x 2y-3x 2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x 2z+4x 2z-5x2z) =2xyz-2x 2z=2× (-1) × 2× (-3)-2× (-1)2 ×(-3) =12+6=18 ．说明 本例中 (1)的化简是添括号，将同类项归并后，再代入求值； (2)是先去括号，而后再添括号，归并化简后，再代入求值．去、添括号时，必定要注意各项符号的变化．【例 2】已知 ab 1 ，求 a 33ab b 3 的值．剖析 由已知条件 a-b=-1，我们没法求出 a ， b 确实定值，所以本题不可以像例 1 那样，代入 a ， b 的值求代数式的值．下边给出本题的五种解法．解法 1 由 a-b=-1 得 a=b-1，代入所求代数式化简a 3+3ab-b 3=(b-1) 3+3(b-1)b-b 3=b 3-3b 2+3b-1+3b 2-3b-b 3=-1 ．说明 这是用代入消元法消去 a 化简求值的．解法 2 由于 a-b=-1，所以原式 =(a 3-b 3)+3ab=(a-b)(a 2+ab+b 2)+3ab=-1× (a 2+ab+b2)+3ab=-a 2-ab-b 2+3ab =-(a 2-2ab+b 2)=-(a-b) 2 =-(-1)2=-1 ．说明 这类解法是利用了乘法公式，将原式化简求值的．解法 3 由于 a-b=-1，所以原式 =a 3-3ab(-1)-b 3=a 3-3ab(a-b)-b 3=a 3-3a 2b+3ab 2-b 3=(a-b) 3=(-1) 3=-1 ．说明 这类解法奇妙地利用了-1=a-b ，并将 3ab 化为 -3ab(-1)=-3ab(a-b) ，进而凑成了(a-b)3．解法 4 由于 a-b=-1，所以 (a-b) 3=(-1) 3 =1，即 a3+3ab2-3a2b-b3=-1， a3-b3 -3ab(a-b)=-1，所以 a3-b3-3ab(-1)=-1 ，即 a3-b3+3ab=-1 ．说明这类解法是由a-b=-1，演绎推理出所求代数式的值．解法 5a3+3ab-b 3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab=(a-b) 3+3ab(a-b)+3ab=(-1) 3+3ab(-1)+3ab=-1 ．说明这类解法是添项，凑出(a-b)3，而后化简求值．经过这个例题能够看出，求代数式的值的方法是很灵巧的，需要仔细思虑，才能找到简易的算法．在本例的各样解法中，用到了几个常用的乘法公式，现总结以下：(a+b) 2=a2+2ab+b2；(a-b) 2=a2-2ab+b2；(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b 3；(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3；a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；a3-b3=(a-b)(a 2+ab+b2)．【例 3】已知xy 2 ，求代数式3x5xy3y的值 .x y x 3xy y解由已知， xy=2(x+y) ，代入所求代数式中，消去xy，而后化简．所以【例 4】已知a3b, c 5a ，求a b c的值.a b c解由于 a=3b，所以 c=5a=5× (3b)=15b ．将 a， c 代入所求代数式，化简得【例 5】已知m, x, y知足条件：（ 1）2 ( x 5)2 5| m | 0；（2）2a2b y 1与 3a2b3是同类项.37 1 3求代数式{ x2 y [ xy2 ( x2 y 3.475xy2 )] 6.2752 } 的值.16 4 16解由于 (x-5)2 ，｜ m｜都是非负数，所以由(1)有由 (2)得 y+1=3 ，所以 y=2 ．下边先化简所求代数式，而后再代入求值．=x2y+5m2x+10xy2=52× 2+0+10× 5× 22=250【例 6】假如4a 3b 7 ，而且 3a 2b 19 ，求 14a 2b 的值．剖析本题能够用方程组求出a， b 的值，再分别代入14a-2b 求值．下边介绍一种不用求出a，b 的值的解法．解 14a-2b=2(7a-b)=2[(4a+3a)+(-3b+2b)]=2[(4a-3b)+(3a+2b)]=2(7+19)=52 ．【例 7】当x 2 17时，求代数式｜ x｜ +｜x-1｜ +｜ x-2 ｜+｜ x-3｜ +｜x-4 ｜ +｜ x-5｜的值．310， 1， 2，剖析所求代数式中六个绝对值的分界点，分别为：据绝对值的意义去掉绝对值的符号，将有 3 个 x 和 3 个 -x，这样将抵消掉x，使求值变得简单．原式 =x+(x-1)+(x-2)-(x-3)-(x-4)-(x-5)=-1-2+3+4+5=9 ．说明实质上，本题只需x 的值在 2 与 3 之间，那么这个代数式的值就是9，即它与x 详细的取值没关．【例 8】若 x:y:z=3:4:7 ，且 2x-y+z=18 ，那么 x+2y-z 的值是多少？剖析x:y:z=3:4:7 能够写成的形式，关于等比，我们往常能够设它们的比值为常数k，这样能够给问题的解决带来便利．x=3k ，y=4k ， z=7k ．由于 2x-y+z=18 ，所以2×3k-4k+7k=18，所以 k=2，所以 x=6 ， y=8， z=14，所以 x+2y-z=6+16-14=8 ．【例 9】已知 x=y=11 ，求 (xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy)的值．剖析本题是可直接代入求值的．下边采纳换元法，先将式子改写得较简短，而后再求值．解设 x+y=m ， xy=n ．原式 =(n-1)2+(m-2)(m-2n)=(n-1)2+m2-2m-2mn+4n=n2-2n+1+4n-2m-2mn+m2=(n+1)2-2m(n+1)+m2=(n+1-m)2=(11 × 11+1-22)2=(121+1-22)2=1002=10000 ．说明换元法是办理较复杂的代数式的常用手法，经过换元，能够使代数式的特点更为突出，进而简化了题目的表述形式．。

第05讲 整式的加减考点·方法·破译1．掌握同类项的概念，会熟练地进行合并同类项的运算.2．掌握去括号的法则，能熟练地进行加减法的运算.3．通过去括号，合并同类项和整式加减的学习，体验如何认识和抓住事物的本质特征.经典·考题·赏析【例1】（济南）如果3231y x a +和1233--b y x 是同类项，那么a 、b 的值分别是（ A ） A ．⎩⎨⎧==21b a B ．⎩⎨⎧==20b a C ．⎩⎨⎧==12b a D ．⎩⎨⎧==11b a 解：由题意得a ＋2=3,且2b －1=3，因此a=1，b=2，故选A 。

【变式题组】01.（天津）已知a ＝2,b ＝3,则（ C ）A ．ax 3y 2与b m 3n 2是同类项B ．3x a y 3与bx 3y 3是同类项C ．bx 2a ＋1y 4与ax 5y b ＋1是同类项D ．5m 2b n 5a 与6n 2b m 5a 是同类项02．若单项式2x 2y m 与－31x n y 3是同类项，则m ＝__3__，n ＝___2__. 03．指出下列哪些是同类项⑴a 2b 与－ab 2 ⑵xy 2与3y 2x (3)m －n 与5（n －m ） ⑷5ab 与6a 2b解：（2）（3）是同类项【例2】(河北石家庄）若多项式－4x 3－2mx 2＋2x 2－6合并同类项后是三次二项式，则m =1. 解：－4x 3－2mx 2＋2x 2－6=－4x 3＋(2－2m )x 2－6因为是二项式，因此2－2m=0，m=1．【变式题组】01.计算：－(2x 2－3x －1)－2(x 2－3x ＋5)＋(x 2＋4x ＋3)解：原式＝－2x 2＋3x ＋1－2x 2＋6x －10＋x 2＋4x ＋3＝－3x 2＋13x －702．(台州）13 (2x －4y )＋2y解：原式＝23x －43y ＋2y＝23x ＋23y03．（佛山）m －n －(m ＋n )解：原式= m －n －m －n=－2n【例3】（泰州）求整式3x 2－5x ＋2与2x 2＋x －3的差.解：3x 2－5x ＋2－(2x 2＋x －3)=3x 2－5x ＋2－2x 2－x ＋3)= x 2－6x ＋5【变式题组】01．一个多项式加上－3x ＋2xy 得x 2－3xy ＋y 2,则这个多项式是__ x 2－5xy ＋y 2＋3x ___． 02．减去2－3x 等于6x 2－3x －8的代数式是__ x 2－6x －6__．【例4】当a ＝－34，b ＝12时，求5(2a ＋b )2－3(3a ＋2b )2＋2(3a ＋2b )的值．解：原式＝5(4a 2＋4ab ＋b 2)－3(9a 2＋12ab ＋4b 2)＋6a ＋4b＝20a 2＋20ab ＋5b 2－27a 2－36ab －12b 2＋6a ＋4b＝－7a 2－7b 2－16ab ＋6a ＋4b当a ＝－34，b ＝12时，原式＝－7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－342－7⎝ ⎛⎭⎪⎫122－16×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×12＋6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋4×12 ＝－3516【变式题组】01．（江苏南京）先化简再求值：（2a ＋1)2－2(2a ＋1)＋3,其中a ＝2．解：原式=4a 2＋4a ＋1－4a －2＋3=4a 2＋2当a ＝2时，原式=4×4＋2=18．02．已知a 2＋bc ＝14，b 2－2bc ＝－6,求3a 2＋4b 2－5bc ．解：①×3＋②×4得3a 2＋4b 2－5bc =14×3－6×4=18．【例5】证明四位数的四个数字之和能被9整除，因此四位数也能被9整除．证明：设四位数的四个数字分别为a ，b ，c ，d ，则a ＋b ＋c ＋d 能被9整除，该四位数为1000a ＋100b ＋10c ＋d =999a ＋99b ＋9c ＋(a ＋b ＋c ＋d )因为999a ，99b ，9c ，a ＋b ＋c ＋d 都是9的倍数，所以1000a ＋100b ＋10c ＋d 也是9的倍数．【变式题组】01．已知a ＜b ＜c ,且x ＜y ＜z ,下列式子中值最大的可能是（ Ａ ）A ．ax ＋by ＋czB ．ax ＋cy ＋bzC ．bx ＋cy ＋azD ．bx ＋ay ＋cz02．任何三位数减去此三位数的三个数字之和必为9的倍数.证明：设三位数的三个数位上的数字分别为a ,b ,c ，则该三位数为100a ＋10b ＋c ,100a ＋10b ＋c －(a ＋b ＋c )=99a ＋9b =9(11a ＋b )，是9的倍数．【例6】将（x 2－x ＋1)6展开后得a 12x 12＋a 11x 11＋……＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0,求a 12＋a 10＋a 8＋……＋a 4＋a 2＋a 0的值．解：当x=1时，得1= a 12＋a 11＋……＋a 2＋a 1＋a 0 ①当x=－1时，得36= a 12－a 11＋……＋a 2－a 1＋a 0 ②①＋②得1＋36=2 (a 12＋a 10＋a 8＋……＋a 4＋a 2＋a 0)∴a 12＋a 10＋a 8＋……＋a 4＋a 2＋a 0=(1＋36)÷2=365．【变式题组】01.已知(2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0．(1)当x ＝0时，有何结论；(2)当x ＝1时，有何结论；(3)当x ＝－1时，有何结论；(4)求a 5＋a 3＋a 1的值．解：（1）当x=0时，有(－1)5=a 0，即a 0=－1；（2）当x=1时，15= a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0；①（3）当x ＝－1时，有(－3)5=－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0；②（4）①－②得2(a 5＋a 3＋a 1)=1＋35=244；∴a 5＋a 3＋a 1=122．02.已知ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝(x －2)4(1)求a ＋b ＋c ＋d ＋e .解：当x=1时，有a ＋b ＋c ＋d ＋e=(－1)4=1．(2)试求a ＋c 的值.解：当x=－1时，a －b ＋c －d ＋e =34=81；由（1）可知a ＋b ＋c ＋d ＋e =1，两式相加，得a ＋c ＋e =41；当x=0时，有e=24=16,∴a ＋c=25．【例7】(希望杯培训题）已知关于x 的二次多项式a (x 3－x 2＋3x )＋b (2x 2＋x )＋x 3－5,当x ＝2时的值为－17.求当x ＝－2时，该多项式的值.解：多项式化为ax 3－ax 2＋3ax ＋2bx 2＋bx ＋x 3－5＝(a ＋1) x 3＋(2b －a ) x 2＋(3a ＋b )x －5 因为是二次多项式，所以a ＋1＝0，a=－1，多项式为(2b ＋1)x 2＋(b －3)x －5当x ＝2时，4(2b ＋1)＋2(b －3)－5=－17解得b=－1多项式为－x 2－4x －5，当x ＝－2时，多项式为－(－2)2－4(－2)－5=－1.【变式题组】01．（北京迎春杯）当x ＝－2时，代数式ax 3－bx ＋1＝－17.则x ＝－1时，12ax －3bx 3－5＝____－32_______．02．(吉林竞赛题）已知y ＝ax 7＋bx 5＋cx 3＋dx ＋e ,其中a 、b 、c 、d 、e 为常数，当x ＝2,y ＝23,x ＝－2,y ＝－35,则e 为（ A ）A ．－6B ． 6C ．－12D ．12演练巩固·反馈提高01．（荆州）若－3x 2m y 3与2x 4y n 是同类项，则n m -的值是（ B ）A ．0B ．1C ．7D ．－102．一个单项式减去x 2－y 2等于x 2＋y 2,则这个单项式是（ A ）A ．2x 2B ．2y 2C ．－2x 2D ．－2y 203．若M 和N 都是关于x 的二次三项式，则M ＋N 一定是（ D ）A ．二次三项式B ．一次多项式C ．三项式D ．次数不高于2的整式04．当x ＝3时，多项式ax 5＋bx 3＋cx －10的值为7.则当x ＝－3时，这个多项式的值是（ B ）A ．－3B ．－27C ．－7D ．705．已知多项式A ＝x 2＋2y 2－z 2,B ＝－4x 2＋3y 2＋2z 2,且A ＋B ＋C ＝0,则多项式C 为（ C ）A ．5x 2－y 2－z 2B ．3x 2－y 2－3z 2C ．3x 2－5y 2－z 2D ．3x 2－5y 2＋z 206．已知y x =3，则3x －y x 等于（ D ）A ．43B ．1C ．23D ．007．某人上山的速度为a 千米/时，后又沿原路下山，下山速度为b 千米/时，那么这个人上山和下山的平均速度是（ D ）A ．2b a +千米/时B ．2ab 千米/时C ．ab b a 2+千米/时D ．ba ab +2千米/时08．使（ax 2－2xy ＋y 2)－(－ax 2＋bxy ＋2y 2)＝6x 2－9xy ＋cy 2成立的a 、b 、c 的值分别是（ C ）A ．3，7，1B ．－3，－7，－1C ．3，－7，－1D ．－3，7，－109．k ＝____14_______时，多项式3x 2－2kxy ＋3y 2＋12xy －4中不含xy 项．10．(宿迁）若2a －b ＝2,则6＋8a －4b ＝____14_____.11．某项工程，甲独做需m 天完成，甲乙合作需n 天完成，那么乙独做需要_______天完成．解：甲乙合作每天完成1n ，甲每天完成1m ，因此乙每天完成1n －1m ，因此乙单独做需要11n －1m＝mn m －n. 12．x 2－xy ＝－3,2xy －y 2＝－8,则2x 2－y 2＝___________．解：①×2＋②得2x 2－y 2＝－14.13．设a 表示一个两位数，b 表示一个三位数，现在把a 放b 的左边组成一个五位数，设为x ，再把b 放a 的左边，也组成一个五位数，设为y ,试问x －y 能被9整除吗？请说明理由. 解：x=1000a ＋b ，y=100b ＋a ,x －y=999a －99b=9(111a －11b )，所以x －y 能被9整除14．若代数式（x 2＋ax －2y ＋7)－(bx 2－2x ＋9y －1)的值与字母x 的取值无关，求a 、b 的值. 解：代数式可化为(1－b )x 2＋(a ＋2)x －11y ＋8因为取值与x 无关，因此1－b= a ＋2=0，∴a=－2，b=1，15．设A ＝x 2－2xy －y 2,B ＝－2x 2＋xy －y 2,B ＝－2x 2＋xy －y 2,当x ＜y ＜0时，比较A 与B 的值的大小.解：A －B = x 2－2xy －y 2－(－2x 2＋xy －y 2)=3x 2－3xy=3x (x －y )∵x ＜y ＜0，∴3x (x －y )>0，即A >B .培优升级·奥赛检测01．A 是一个三位数，b 是一位数，如果把b 置于a 的右边，则所得的四位数是（ C ）A ．abB ．a ＋bC ．1000b ＋aD ．10a ＋b02．一个两位数的个位数字和十位数字交换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位数中，质数有（ B ）A ．1个B ．3个C ．5个D ．6个03．有三组数x 1,x 2,x 3；y 1,y 2,y 3；z 1,z 2,z 3,它们的平均数分别是a 、b 、c ，那么x 1＋y 1－z 1,x 2＋y 2－z 2,x 3＋y 3－z 3的平均数是（ C ）A ．a ＋b ＋c 3B ．a ＋b －c 3C ．a ＋b －cD ．3(a ＋b －c )04．如果对于某一特定范围内x 的任何允许值P ＝|1－2x |＋|1－3x |＋…＋|1－9x |＋|1－10x |的值恒为一常数，则此值为（ B ）A ．2B ．3C ．4D ．505．（江苏竞赛）已知a ＋b ＝0,a ≠0,则化简b a (a ＋1)＋a b (b ＋1)得（ D ）A ．2aB ．2bC ．2D ．－206．如果a 个同学在b 小时内共搬运c 块砖,那么c 个同学以同样速度搬a 块砖，所需的小时数为（ D ）A ．b a c 22B ．ab c 2C ．2c abD ．22cb a 07．如果单项式3x a ＋2y b －2与5x 3y a ＋2的和为8x 3y a ＋2,那么||a －b ＝___4___．08．（第16届“希望杯”邀请赛试题）如果x 2＋2x ＝3则x 4＋7x 3＋8x 2－13x ＋15＝__18__． 09．将1,2,3……100这100个自然数，任意分为50组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a ,另一个记作b ,代入代数式21（b a b a ++-）中进行计算，求出其结果，50组数代入后可求的50个值，则这50个值的和的最大值时___3775____．10．已知两个多项式A 和B ，A ＝nx n ＋4＋x 3－n －x 3＋x －3,B ＝3x n ＋4－x 4＋x 3＋nx 2－2x －1,试判断是否存在整数n ,使A －B 为五次六项式．解：A －B=(n －3)x n ＋4＋x 4＋x 3－n －2x 3－nx 2＋3x －2因为A －B 为五次六项式，①当n ＋4=5时，n=1，此时A －B=－2x 5＋x 4＋x 2－2x 3－x 2＋3x －2=－2x 5＋x 4－2x 3＋3x －2，为五项，不合题意；②当3－n=5时，n=－2，此时A －B=x 5＋x 4－2x 3－3x 2＋3x －2，符合题意.综上，n=－2.11．设x ，y ，z 都是整数，且11整除7x ＋2y －5z .求证：11整除3x －7y ＋12z .解：因为11整除7x ＋2y －5z ，所以11整除14x ＋4y －10z ，而14x ＋4y －10z －(3x －7y ＋12z )=11x ＋11y －22z=11(x ＋y －2z)即11整除14x ＋4y －10z －(3x －7y ＋12z )，所以11整除3x －7y ＋12z .12．(美国奥林匹克竞赛题）在一次游戏中，魔术师请一个而你随意想一个三位数abc (a 、b 、c 依次是这个数的百位、十位、个位数字）并请这个人算出5个数acb ，bac ，bca ，cab 与cba 的和N ，把N 告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数abc ，现在设N ＝3194，请你当魔术师，求出abc 来.解：abc =100a ＋10b ＋c ,因此abc ＋acb ＋bac ＋bca ＋cab ＋cba =222(a ＋b ＋c )>3194而3194÷222=14 (86)∴a ＋b ＋c >14①当a ＋b ＋c =15时，abc =15×222－3194=136，即a =1，b =3，c =6，但此时a ＋b ＋c ≠15，故舍去；②当a ＋b ＋c =16时，abc =16×222－3194=358，即a =3，b =5，c =8，但此时a ＋b ＋c ＝15；③当a ＋b ＋c =17时，abc =17×222－3194=580，即a =5，b =8，c =0， 但此时a ＋b ＋c ≠17，故舍去；④当a ＋b ＋c =18时，abc =18×222－3194=802，即a =8，b =0，c =2， 但此时a ＋b ＋c ≠18，故舍去；⑤当a ＋b ＋c ≥19时，abc ≥19×222－3194>1000，故舍去； 综上，abc =358.13．(太原市竞赛题）将一个三位数abc 的中间数去掉，成为一个两位数ac ，且满足abc ＝9ac ＋4c （如155＝9⨯15＋4⨯5）.试求出所有这样的三位数.解：由题意得100a +10b+c =9(10a+c )+4c ，整理得c=56(a+b )，因此a+b =6（因为当a+b ≥12时，c ≥10）；所以c=5，⎩⎪⎨⎪⎧a=1，b=5，或⎩⎪⎨⎪⎧a=2，b=4，或⎩⎪⎨⎪⎧a=3，b=3，或⎩⎪⎨⎪⎧a=4，b=2，或⎩⎪⎨⎪⎧a=5，b=1，或⎩⎪⎨⎪⎧a=6，b=0， 所以这样的三位数有155，245，335，425，515，605.。

模块一 代数式的概念用基本的运算符号(运算包括加、减、乘、除、乘方与开方)把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.单独的一个数或一个字母也是代数式. 例如：5.a .()222,,23a b ab a ab b +-+.等等.【例1】 列代数式（1）若正方形的边长为a .则正方形的面积是 ；（2）若三角形一边长为a .并且这边上的高为h .则这个三角形的面积为 ； （3）若x 表示正方形棱长.则正方形的体积是 ； （4）若m 表示一个有理数.则它的相反数是 ；（5）小明从每月的零花钱中贮存x 元钱捐给希望工程.一年下来小明捐款 元.（数学教学要紧密联系学生的生活实际.这是新课程标准所赋予的任务.让学生列代数式不仅复习前面的知识.更是为下面给出单项式埋下伏笔.同时使学生受到较好的思想品德教育）【题目难度】★ 【解题思路】略【题目答案】（1）2a ;（2）12ah ;（3）3x ;（4）m -;(5)12x列代数式时应该注意的问题（1）数与字母、字母与字母相乘时常省略“⨯”号或用“”.整式的加减如：22 223322a a ab ab x x-⨯=-⨯⨯=⨯-⨯=-，，（2）数字通常写在字母前面.如：()()()5533mn mn a b a b⨯--⨯+=+，（3）带分数与字母相乘时要化成假分数.如：152,22ab ab⨯=切勿错误写成“122ab”.（4）除法常写成分数的形式.如：s s xx ÷=思想方法小结在代数式里渗透了转化思想和推理思想.（1）转化思想表现为把实际问题中的数量关系转化为代数式或者给出代数式实际背景. （2）推理思想表现为用所学的知识去推导未知量.求代数式的值等.模块二 单项式与多项式单项式：像234,,6,,,2x vt a a n r π-.它们都是数或字母的积.这样的代数式叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.一个单项式中.所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.知识规律小结：(1)圆周率π是常数.如2r π的系数是2π.次数是1；2r π的系数是π.次数是2.(2)当一个单项式的系数是1或1-时.通常省略不写系数.如2a bc .abc -等.(3）代数式的系数是带分数时.通常写成假分数.如2314xy 写成274xy【例2】 判断下列各代数式是否是单项式.如不是.请说明理由；如是.请指出它的系数和次数.（1）1x +； （2）1x ； （3）2r π； （4）232a b - 【题目难度】★ 【解题思路】略【题目答案】（1）不是；单项式没有符号（2）不是；根据定义（3）是；系数是π.次数是２（4）是；系数是32-.次数是３【例3】 下面各题的判断是否正确？①27xy -的系数是7； ②23x y -与3x 没有系数； ③32ab c -的次数是032++； ④3a -的系数是1-；⑤2233x y -的次数是7； ⑥213r h π的系数是13.【题目难度】★ 【解题思路】略【题目答案】①×;②×;③×;④√;⑤×;⑥√通过其中的反例练习及例题.强调应注意以下几点： ①圆周率π是常数；②当一个单项式的系数是1或1-时.“1”通常省略不写.如2x .2a b -等； ③单项式次数只与字母指数有关.1. 写出一个系数是2004.且只含,x y 两个字母的三次单项式是 ； 【题目难度】★ 【解题思路】略． 【题目答案】22004x y2. 指出下列单项式的系数和次数2322332,5,,,2,137a ab ab a bc x y π-- 【题目难度】★ 【解题思路】略． 【题目答案】3a-的系数是13-.次数是1；25ab 的系数是5.次数是3； 23a bc 的系数是1.次数是6237a b π的系数是7π.次数是5322x y 的系数是32.次数是31-的系数是-1.次数是0【巩固练习】填空:单项式8310t ⨯的系数是_________ 【题目难度】★ 【解题思路】略 【题目答案】8310⨯ 3. 若124m nm x y --是系数为-1的五次单项式.求m n ，的值 【题目难度】★★ 【解题思路】根据题意得14125mm n ⎧-=-⎪⎨⎪-+=⎩解得：41m n =⎧⎨=⎩【题目答案】45m n ==，模块三 多项式多项式及相关概念（1）几个单项式的和叫做多项式.例如：222,3a ab b mn -+-等.（2）在多项式中.每个单项式叫做多项式的项.其中.不含字母的项叫做常数项.如：多项式232x x -+.它的项分别是2,3,2x x -.常数项是2.(3)一般地.多项式里次数最高的项的次数.就是这个多项式的次数.如：22232434x y x y x y y -++是五次四项式.最高次项是324x y .【例4】 指出下列多项式的项和次数.并说明它是几次几项式.（1）3223a a b ab b -+-； （2）42321n n -+【题目难度】★ 【解题思路】略【题目答案】(1)多项式3223a a b ab b -+-的项有33a 、2a b -、2ab 、3b -.次数是3.它为三次四项式.(2)多项式4221n n -+的项有4n 、22n -、1.次数是4.它为四次三项式【例5】 (1)如果231(1)n m x y-+是关于,x y 的六次单项式.则,m n 应满足什么条件？（2）如果2(1)1nx m x +-+是关于x 的三次二项式.求22m n -的值.（3）若多项式222(1)x k xy y k +-+-不含xy 的项.求k 的值.【题目难度】★★【解题思路】（1）由2(1)0m +≠.且316n +-=.即1,4m n ≠-=(2) 由题意得知.3n =.且10m -=.所以 1.3m n ==所以当 1.3m n ==时.228m n -=-. （3）由题意得10k -=.得1k =【题目答案】（1）1,4m n ≠-=;(2)8-; （3）1k =【例6】 已知多项式2231113832m x y xy x -+-+是五次四项式.单项式260.2n m x y --的次数与这个多项式的次数相同.求22m n +的值.【题目难度】★★【解题思路】由已知多项式2231113832m x y xy x -+-+是五次四项式.得3m =.又因为单项式260.2n m x y --的次数与这个多项式的次数相同.则265n m +-=.所以22,1n n ==所以22223110m n +=+=【题目答案】10【总结】(1)在确定多项式的项的时候.要连同它前面的符号.(2)多项式的次数是多项式中次数最高项的次数☞巩固练习4. 下列说法中正确的是﹙ ﹚A ．2523x y x y -+是二次三项式B ．yxy 110-是二次三项式 C ．276x --的常数项是6- D ．两个多项式的和一定还是多项式 【题目难度】★ 【解题思路】略 【题目答案】C5. 已知多项式63512212--+-+x xy y x m 是六次四项式.单项式m n y x -526.2的次数与这个多项式的次数相同.求n 的值. 【题目难度】★★【解题思路】由题意得216256m n m ++=⎧⎨+-=⎩解得32m n =⎧⎨=⎩【题目答案】3,2m n ==模块四 整式整式：单项式与多项式都是整式整式⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩单项式的系数、次数多项式的项、次数整式的概念同类项的概念【例7】 判断下列各式是否是整式①1；②r ；③343r π；④11x +；⑤213x +；⑥22x π【题目难度】★ 【解题思路】略【题目答案】①②③⑤⑥是整式☞巩固练习6. 某地区的手机收费有两种方式.用户可任选其一：A 、月租费 20元.0.25元／分；B 、月租费 25元.0.20元／分．某用户某月打手机x 分钟.两种方式的费用分别为1y 元和2y 元.试用含x 的代数式分别表示1y 和2y . 【题目难度】★★【解题思路】根据题意得10.2520y x =+ ; 20.225y x =+ 【题目答案】10.2520y x =+ . 20.225y x =+模块四 同类项同类项：所含字母相同.并且相同的字母的指数也相同的项【例8】 指出下列多项式的同类项（1）321523x y y x -++-- （2）2222123223x y xy xy yx -+- 【题目难度】★ 【解题思路】略【题目答案】(1)同类项：3x 和2x ；2y 和5y ；1和3-（2）同类项：23x y 和223yx -；22xy -和212xy 注:所含字母相同.并且相同的字母的指数也相同的项为同类项.【例9】 （1）若2122m ab +与2334m n a b +-是同类项.求,m n 的值.（2）若47a x y 与579bx y -是同类项.,a b 的值 【题目难度】★★【解题思路】（1）依题意得：212,32;1,5m m n m n +=+-=∴==所以1,5m n ==(2)依题意得：5,4a b ==【题目答案】（1）1,5m n ==.(2) 5,4a b ==【巩固练习】若25xa b 与30.9ya b 同类项.求,x y 的值． 【题目难度】★★【解题思路】因为3,2x y ==.所以3,2x y =±=± 【题目答案】3,2x y =±=±【例10】 单项式113a b a x y +--与23x y 是同类项.求a b -的值． 【题目难度】★★【解题思路】由题意得2,11,2,0a b a a b +=-=∴== 【题目答案】2,0a b ==☞巩固练习 7. 若3m mma b-与nnab 是同类项.求()2003n m -的值．【题目难度】★★【解题思路】由题意得1,3m m n =-=得m=1,n=2()20031n m -=【题目答案】18. 若12223559m m n ab+--与2a b 是同类项.求,m n 的值【题目难度】★★【解题思路】由题意得12222;1355m m n +=-=解得52,m=0,n=-【题目答案】52m=0,n=-9. 若25xa b 与30.9ya b 是同类项.求,x y 的值. 【题目难度】★★【解题思路】由题意得3,2,3,2x y x y ===±=±解得 【题目答案】3,2x y =±=±模块五 合并同类项合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项. 类比数的运算.探究得出合并同类项的法则.法则：所得项的系数是合并前各同类项系数的和.字母部分不变.【例11】 合并下列各式中的同类项(1)226mn mn -;(2)22222332a b a b ab ab -++-; (3)()()()22232a b a b b a -----;【题目难度】★【解题思路】(1)22265mn mn mn -=-(2) 2222222332a b a b ab ab a b ab -++-=+ (3)()()()()2222324a b a b b a a b -----=--【题目答案】(1)25mn - ; (2)22a b ab +; (3)()24a b --.合并同类项法则：把同类项的系数相加.字母和字母的指数保持不变. 特别提醒：(1) 合并的前提是同类项.(3) 合并同类项的根据是加法交换律、结合律以及分配律.☞巩固练习10. 计算()()22321235x x x x -+-+-的结果是( )A .256x x -+B . 254x x --C . 24x x +-D . 26x x ++【题目难度】★★【解题思路】略【题目答案】A11. 在2xy 与215xy -.23ab 与24a b .4abc cab 与.334b 与.263-与.23235a b c a b 与中能合并的又( ) A.5组 B .4组 C .3组 D .2组【题目难度】★★【解题思路】略【题目答案】C12. 合并下列同类项(1)2222x x x x ----【题目难度】★【解题思路】略【题目答案】24x -(2)3223225115225363363a b a b ab a b ab ba --+-+++ 【题目难度】★★【解题思路】略 【题目答案】323511632a b a b ab +++(3)1110.50.20.3n n n n n x xx x x +++--+-【题目难度】★★【解题思路】略【题目答案】10.80.2n n x x ++(4)()()()()()223523x y y x y x x y x y +---+++-+【题目难度】★★【解题思路】略【题目答案】()()()()2333x y y x x y x y +--++-+13. 某市出租车收费标准为:起步价为5元.超过3千米后每1千米收费1.2元.某人乘坐出租车行了x 千米(x>3且为整数).则他应付费多少元?【题目难度】★★★【解题思路】根据题意列式()1.233x -+【题目答案】()1.233x -+元模块六 去括号括号前是“+”号.把括号和它前面的“+”号去掉.原括号里各项的符号都不改变；括号前是“-”号.把括号和它前面的“-”号去掉.原括号里各项的符号都要改变.【例12】 先去括号.在合并同类项(1)5(24);a a b -- 22(2)23(2)x x x +-【题目难度】★【解题思路】略【题目答案】(1)5(24)52434a a b a a b a b --=-+=+22222(2)23(2)2636x x x x x x x x +-=+-=-模块七 整式加减几个整式相加减.通常用括号把每一个整式括起来.再用加减号连接.然后去括号.合并同类项.【例13】 计算：(1)(237)(652);x y x y -++--22(2)(67)(34)a a a a ----+【题目难度】★【解题思路】略【题目答案】(1)(237)(652)x y x y -++--237652(26)(35)5(26)(35)5885x y x y x x y y x y x y =-++--=++--+=++--+=-+2222222(2)(67)(34)6734()(36)(74)(11)(36)11311a a a a a a a a a a a a a a a ----+=---+-=-+-+--=-+--=--【例14】 化简求值2323(1)381231x x x x x -+--+.其中2x =2222(2)42923x xy y x xy y ++--+.其中2,5x y ==【题目难度】★【解题思路】略【题目答案】（1）原式=322981x x x ---+当2x =时原式=32229282167-⨯-⨯-⨯+=- （2）原式=22210x xy y -+当2,5x y ==时原式=222225105248⨯-⨯+⨯=【例15】 有这样一道题：计算222221382(33)(3)3535x x xy y x xy y -+-+++的值.其中1,22x y =-=.甲同学把“12x =-”错抄成“12x =”.但他的计算结果也是正确的.你说这是怎么回事？ 【题目难度】★★【解题思路】根据题意 22222222222221382(33)(3)3535138********1832(3)(33)()3355x x xy y x xy y x x xy y x xy y x xy y y -+-+++=--++++=-++-+++= 【题目答案】化简结果不含有字母x.故原多项式的值与x 无关.因此.无论甲同学把“12x =-”错抄成“12x =”还是错抄成别的什么.只要y 没抄错.结果都是正确的. 【例16】 已知多项式21(2)0a a b +++=.求多项式222231556152ab b a ab a b -+-+-的值 【题目难度】★ 【解题思路】由已知得1a +≥0.2(2)a b +≥0.21(2)0a a b +++= 所以10,20a a b +=+=所以1,2a b =-=【题目答案】222231556152ab b a ab a b -+-+- 22222031720(1)3(1)21722066842a ab b =--=---⨯-⨯=+-=-☞巩固练习14. 当211-=a 时.求代数式}3]9)2(85[4{1522222a a a a a a a a -+---+--的值.【题目难度】★★【解题思路】略【题目答案】2222215{4[58(2)9]3}a a a a a a a a --+---+-22222215{4[104]3}15{14}29a a a a a a a a a a =--+-+-=--+=- 当211-=a . 原式=255415. 先化简.再求值（1）233(4333)(4)a a a a a +-+--+.其中2a =-；【题目难度】★【解题思路】233(4333)(4)a a a a a +-+--+23533a a a =+-- 【题目答案】原式=7（2）22222222(22)(33)(33)x y xy x y x y x y xy ⎡⎤---++-⎣⎦.其中1,2x y =-=.【题目难度】★【解题思路】22222222(22)(33)(33)x y xy x y x y x y xy ⎡⎤---++-⎣⎦2222x y xy =- 【题目答案】原式=1216. 已知0a b -=.求()3432233422a a b a b ab b a b ----+的值【题目难度】★★★【解题思路】0,,a b a b -=∴=则()()34322334373337322222a a b a b ab b a b b b b b b b b ----+=----+=-【题目答案】32b -17. 已知：2733=+b a .622-=-ab b a .求代数式)(2)3()(232233ab b ab b a a b ---+-的值. 【题目难度】★★★【解题思路】332232()(3)2()b a a b ab b ab -+---()()()3322332227633b a a b ab a b a b ab =--+-=-++-=-+-=-【题目答案】33-18. 某公交车上原有()4a b -人.中途有半数人下车.同时又有若干人上车.这时车上共有乘客()6a b +人.你知道中途上车的人数吗？【题目难度】★★★【解题思路】把()4a b -与()6a b +看成两个整体.可列示()()1642a b a b +-- 化简后得342a b +. 【题目答案】342a b +【练习1】若当1x =时.多项式31ax bx ++的值为5.则当1x =-时.多项式311122ax bx ++的值为__________．【题目难度】★【解题思路】当1x =时.311ax bx a b ++=++.当1x =-时. 31111111()122222ax bx a b a b ++=--+=-++ 课堂检测由条件可知.15;4a b a b ++=+=.11()1()41122a b -++=-⨯+=- 【题目答案】1-【练习2】已知多项式21(2)0a a b +++=.求多项式222231556152ab b a ab a b -+-+-的值 【题目难度】★★【解题思路】由已知得1a +≥0.2(2)a b +≥0.21(2)0a a b +++= 所以10,20a a b +=+=所以1,2a b =-=原式22222031720(1)3(1)21722066842a ab b =--=---⨯-⨯=+-=- 【题目答案】42-【练习3】若1-a +()22b -0=.22236,5A a ab b B a =-+=--.求A B -的值【题目难度】★★【解题思路】∵22236,5A a ab b B a =-+=--A B ∴-=()22222365465a ab b a a ab b -+---=-++又∵1-a +()22b -0=.即1,2a b ==∴2462251A B -=-⨯++= 【题目答案】11.写出下列单项式的系数.(1)218a b -； (2)xy ； (3)322yz x -； (4)x -； (5)32x 4. 【题目难度】★【解题思路】略课后练习【题目答案】(1) 218a b -的系数是18-；(2) xy 的系数是1； (3)322yz x -的系数是-31；（4）x -的系数是1-； (5) 32x 的系数是23.即8.2.下列多项式分别是哪几项的和？分别是几次几项式？(1)2225356x y xy x -+-；(2)222226s s t t --+；(3)323x by -. 【题目难度】★【解题思路】略【题目答案】(1) 2225356x y xy x -+-是223x y .25xy -.5x .-6四项的和.是五次四项式.(2)222226s s t t --+是2222,2,6s s t t --三项的和.是四次三项式.(3) 323x by -是32,3x by -两项的和.是四次二项式. 3.将下列各式合并同类项.（1)22111445x x x x -+--+；(2)32322321122322ab a b a b ab a b a b -+----. 【题目难度】★【解题思路】略【题目答案】（1)22111445x x x x -+--+ 2104x =+(2)32322321122322ab a b a b ab a b a b -+---- 32322332322ab a b a b ab =-+-- 4.如图所示.请说出第n 个图形中笑脸的个数.【题目难度】★★【解题思路】略【题目答案】：第n 个图形中笑脸的个数可以表示为2n .5.（1）若2310x x +-=.则32558x x x +++＝ ；（2）若代数式2234a a -+的值为6.则代数式2213a a --的值为 . 【题目难度】★★★【解题思路】(1)无法求出x 的具体值.由2310x x +-=可变形为231x x +=.只需把所求32558x x x +++变形即可逐步求出.具体过程如下：∵2310x x +-=.∴231x x +=.∴()322225583258268x x x x x x x x x x +++=++++=++()223821810x x =++=⨯+=(2)此题不能直接求出a 的值.需对所求式子变形.∵22346a a -+=.∴2232a a -= ∴()2221111231213333a a a a --=--=⨯-=- 【题目答案】1103-，。

整式的加减培优讲义考点1.利用整体思想化简求值典例精析（2022秋•旌阳区校级期中）阅读材料：我们知道，4x ﹣2x +x ＝（4﹣2+1）x ＝3x ，类似地，我们把（a +b ）看成一个整体，则4（a +b ）﹣2（a +b ）+（a +b ）＝（4﹣2+1）（a +b ）＝3（a +b ）．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．尝试应用：（1）把（a ﹣b ）2看成一个整体，合并3（a ﹣b ）2﹣6（a ﹣b ）2+5（a ﹣b ）2的结果是 ．（2）当x ＝1时，代数式a 2x 3+bx ﹣5的值为2，则当x ＝﹣1时，求代数式2a 2x 3+2bx ﹣10的值．拓广探索：（3）求2（3m 2+n ）﹣3（2m 2﹣mn ）﹣（4mn ﹣2m ）的值，其中m +n ＝3，mn ＝﹣9． 方法归纳整式化简求值时，若无法直接求出字母的值，且整式的 某部分与已知条件中的某部分相似，可利用整体思想解题，应用此方法， 一般先将求 值式变形为与已知条件相似或者相同，或者成倍数关系的 形式，再利用整体代入的方法求解.针对训练1.如果代数式8y 2﹣4y +6的值是﹣10，那么代数式2y 2﹣y ﹣4的值等于（ ）A ．0B ．﹣5C ．﹣8D ．8 2.对于任意的有理数a ，b ，如果满足a 2+b 3=a+b 2+3，那么我们称这一对数a ，b 为“相随数对”，记为（a ，b ）．若（m ，n ）是“相随数对”，则2[4m +（2n +1）]+m ＝（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．2D ．33.（2022秋•黄陂区期中）当x ＝2时，代数式ax 3﹣bx ﹣1的值为﹣15，则当x ＝﹣1时，代数式16ax 2+4bx +3的值为 ．4.（2022秋•济南期末）已知m ﹣n ＝2，mn ＝﹣5，则3（mn ﹣n ）﹣（mn ﹣3m ）的值为 ．5.先化简，再求值．若m 2+3mn ＝﹣5，则代数式5m 2﹣[5m 2﹣（2m 2﹣mn ）﹣7mn +7]的值．6.（2023秋•大连期中）阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例：化简4（a +b ）﹣2（a +b ）+（a +b ）．解：原式＝（4﹣2+1）（a +b ）＝3（a +b ）．参照本题阅读材料的做法解答：（1）把（a ﹣b ）6看成一个整体，合并3（a ﹣b ）6﹣5（a ﹣b ）6+7（a ﹣b ）6的结果是 ．（2）已知x 2﹣2y ＝1，求3x 2﹣6y ﹣2023的值．（3）已知a ﹣2b ＝3，2b ﹣c ＝﹣4，c ﹣d ＝10，求（a ﹣c ）+（2b ﹣d ）﹣（2b ﹣c ）的值．7.（2022秋•公主岭市期中）[阅读理解]若代数式x 2+x +3的值为7，求代数式2x 2+2x ﹣3的值． 小明采用的方法如下：由题意得x 2+x +3＝7，则有x 2+x ＝4，2x 2+2x ﹣3＝2（x 2+x ）﹣3＝2×4﹣3＝5． 所以代数式2x 2+2x ﹣3的值为5．[方法运用]（1）若代数式x 2+x +1的值为10，求代数式﹣2x 2﹣2x +3的值．（2）当x ＝2时，代数式ax 3+bx +4的值为9，当x ＝﹣2时，求代数式ax 3+bx +3的值．[拓展应用]若a 2﹣ab ＝26，ab ﹣b 2＝﹣16，则代数式a 2﹣2ab +b 2的值为 ．8.（2023秋•深圳期中）在代数式求值问题中，整体思想运用十分广泛，如：已知代数式5a +3b ＝﹣4，求代数式2（a +b ）+4（2a +b ）+3的值．解法如下：原式＝2a +2b +8a +4b +3＝10a +6b +3＝2（5a +3b ）+3＝2×（﹣4）+3＝﹣5．利用整体思想，完成下面的问题：（1）已知﹣m 2＝m ，则m 2+m +1＝ ；（2）已知m ﹣n ＝2，求2（n ﹣m ）﹣4m +4n ﹣3的值．（3）已知m 2+2mn ＝﹣2，mn ﹣n 2＝﹣4，求3m 2+92mn +32n 2的值． 例.（2022秋•北京期末）我们规定：使得a ﹣b ＝2ab 成立的一对数a ，b 为“有趣数对”，记为（a ，b ）．例如，因为2﹣0.4＝2×2×0.4，（﹣1）﹣1＝2×（﹣1）×1，所以数对（2，0.4），（﹣1，1）都是“有趣数对”．（1）数对（1，13），（1.5，3），（−12，﹣1）中，是“有趣数对”的是 ；（2）若（k ，﹣3）是“有趣数对”，求k 的值；（3）若（m ，n ）是“有趣数对”，求代数式8[3mn −12m ﹣2（mn ﹣1）]﹣4（3m 2﹣n ）+12m 2的值．方法归纳三步解决“新定义”问题 (1)审题——提取信息提取关键词，明确“新定义”的概念、原理、方法、步骤和结论；(2)理解——以旧引新利用“例子”及“旧知识”理解 和正确运用“新定义”;(3)转化——迁移应用类比“新定义”中的概念、原 理、方法、步骤和结论，解决题目中需要解决的问题.针对训练1.（2022秋•桥西区校级期末）定义一种新运算：a ⊗b ＝a ﹣2b ．例如2⊗3＝2﹣2×3＝﹣4，则x ⊗（﹣y ）化简后的结果是（ ）A ．x +2yB ．2x ﹣yC ．x ﹣2yD ．2x +y 2.（2022秋•荆门期末）定义一个新运算f （a ，b ）={a +b(a ＜b)a −b(a ＞b)，已知a 2＝4，b ＝1，则f （a ，b ）＝ ．3.（2023•北碚区校级开学）对任意一个四位正整数m ，如果m 的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m 的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m 为“逊敏数”．例如：m ＝7523，满足2+3＝5，2×2+3＝7，所以7523是“逊敏数”；m ＝9624，满足2+4＝6，但2×2+4＝8≠9，所以9624不是“逊敏数”．（1）判断7431和6541是不是“逊敏数”，并说明理由；（2）若m 是“逊敏数”，且m 与12的和能被13整除，求满足条件的所有“逊敏数”m ．4.（2022秋•港北区期中）定义：若m +n ＝2，则称m 与n 是关于2的平衡数．（1）3与 是关于2的平衡数；5﹣x 与 （用含x 的整式表示）是关于2的平衡数．（2）若A ＝2x 2﹣3（x 2+x ）+4，B ＝2x ﹣[3x ﹣（4x +x 2）﹣2]，判断A 与B 是否是关于2的平衡数，并说明理由．5.（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N ，若N 能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N 是m 的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A 是12的“和倍数”，a ，b ，c 分别是数A 其中一个数位上的数字，且a ＞b ＞c ．在a ，b ，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F （A ），最小的两位数记为G （A ），若F(A)+G(A)16为整数，求出满足条件的所有数A ．例.（2022秋•霞浦县期中）用火柴棒按如图的方式搭图形．（1）按图示规律完成下表：图形1 2 3 4 5 … 火柴棒根数 5 9 13 …（2）按照这种方式搭下去，搭第n 个图形需要 根火柴棒．（用含n 的代数式表示）（3）小静同学说她按这种方式搭出来的一个图形用了200根火柴棒，你认为可能吗？如果可能，那么是第几个图形？如果不可能，请说明理由．方法归纳图形变化规律问题解决图形变化规律问题可以从“形”和“数”两个角度 入手，通过逐一观察图，分析和归纳出图形或数字的变化规律，从而得出答案.这体现 了从特殊到一般的数学思想. 针对训练1.（2022秋•新城区校级期中）按一定规律排列的单项式：x 3，2x 5，3x 7，4x 9，5x 11，6x 13……第n （n ≥1，n 为正整数）个单项式是（ ）A ．nx n +1B ．nx 2n +1C ．nx 2n ﹣1D ．x 2n +12.（2022秋•泗水县期末）学校举办图画展览，需要依次把图画作品横着钉成一排（如图所示），图中圆点表示图钉，照这样的规律，当需要的图钉颗数为2022颗时，则所钉图画作品的数量为（ ）A ．1011张B ．1010张C ．1009张D ．1012张3.（2022•大同模拟）如图是一组有规律的图案，它们是由相同的正方形和相同的圆组成的，正方形涂有阴影，依此规律，则第n 个图案中有 个圆．（用含有n 的代数式表示）4.如图，第1个图形需要3个棋子，第2个图形需要8个棋子，第3个图形需要15个棋子，…，按照这样规律第n 个图形需要 个棋子（用含n 的代数式表示）．5.（2023•沙县一模）用棋子摆出下列一组图形（如图），按图上所显示的规律继续摆下去，摆到第个图形时，这组图形总共用了 枚棋子．6.观察下面三行数：2，﹣4，8，﹣16，32，…①1，﹣5，7，﹣17，31，…②﹣1，2，﹣4，8，﹣16，…③（1）第①行数按什么规律排列，请直接写出第n 个数为 （n 是正整数）．（2）第②行数与第①行数有什么关系，请直接写出第②行第n 个数为 （n 是正整数）．第③行数与第①行数有什么关系，请直接写出第③行第n 个数为 （n 是正整数）．（3）取每行数的第21个数，分别设为a ，b ，c ，求12a +12b +2c 的值．。

2018年七年级秋季培优讲义——整式专题（一）【知识解读】整式加减：1.代数式的概念代数式是用基本的运算符号（运算符号包括加、减、乘、除以及乘方、开方）把数字或字母连接而成的式子，单独一个数或一个字母也可以看成代数式.2.代数式的值用具体的数值代入代数式中得到的计算结果叫代数式的值.3.整式的加减（1）单项式：数与字母的积的代数式叫单项式，数字因数叫单项式的系数，所有字母的指数的和叫单项式的次数；单个的字母或单个的数也叫单项式.（2）多项式：几个单项式的和叫多项式，多项式中次数最高的单项式的次数叫多项式的次数，单项式的个数也就是多项式的基数.（3）单项式和多项式统称为整式.（4）同类项，两个单项式中，如果所含有的字母相同且相同字母的指数也相等，那么这两个单项式叫同类项.（5）整式的加减：整式的加减的本质也就是合并同类项，合并同类项的法则是：把系数相加减，字母和字母的指数不变.本章的主要内容是单项式、多项式、整式的概念，合并同类项，去括号以及整式加减运算等.整式的加减运算是学习“一元一次方程”的直接基础，也是以后学习分式和根式运算、方程以及函数等知识的基础，同时也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学工具.整式加减涉及的概念准确地掌握这些概念并注意它们的区别与联系是解相关问题的基础，归纳起来就是要注意以下几点：1.理解四式（单项式、多项式、整式、n 次m 项式）、三数（系数、次数、项数）和二项（常数项、同类项）2.掌握三个法则（去括号法则、添括号法则、合并同类项法则）.3.熟悉两种排列（升幂排列、降幂排列）.整式加减的一般步骤1.根据去括号法则去括号.2.合并同类项.【例题精讲】【例1】（1）已知关于x 、y 的单项式234x y 与单项式1218m n x y ---的和为一个单项式，求mn .（2）已知关于x 、y 的单项式4b c x y 与单项式1218m n x y ---的和为4n m ax y ，求abc .【例2】（1）先化简，再求值：224[62(42)]1x y xy xy x y ----+，其中12x =-，y ＝2.（2）已知4m n -=，1mn =-，求(223)(322)(4)mn m n mn n m mn n m -++-+--++的值.【例3】已知多项式3223(3)(2)5m x x x n x x x -++++-是关于x 的二次多项式，当x ＝2时的值为－17，求当x ＝－2时，此多项式的值.【例4】已知多项式2x ax y b +-+与2363bx x y -+-的差的值与字母x 的取值无关，求代数式22223(2)(4)a ab b a ab b ---++的值.【练1】若代数式22(26)(2351)x ax y bx x y +-+--+-的值与字母x 的取值无关，求代数式323222(42)a b a b ---的值.【例5】已知2234A x xy cy =-+，23B ax xy =-，222C x bxy y =-+，且23A B C x xy --=-+2y -，求a 、b 、c .【例6】（1）当x ＝2时，代数式31ax bx -+的值等于－17，那么当x ＝－1时，求代数式31235ax bx --的值.（2）已知代数式3ax bx c ++，当x ＝0时的值为2，当x ＝3时的值为1，求当x ＝－3时代数式的值.（3）已知21x x +=，求432222012x x x x +--+的值.【练2】如果210a a +-=，求3222a a ++的值.【例7】倡导“节能减排”，鼓励居民节约用电.2012年7月1日起，湖北省开始试行城乡居民用户阶梯电价制度，方案如下：如：小明家3月份用电量为500度，则应付费：1800.573(400180)0.623(500400)0.873302.5⨯+-⨯+-⨯=（元）.（1）若小华家4月份电量为100度，则应付费元，5月用电量为210度，则应付费元，6月份电量为450度，则应付费元；（2）若小华家7月份的用电量为x 度，请用x 表示应付的电费；（3）若小华家9月份已付电费177.9元，请你求出小华家9月份的用电量；（4）若小华家某月的电费为a 元，则小华家该月用电量属于第几档.【例8】观察下面有规律的三行单项式：x ， 22x ， 34x ， 48x ， 516x ， 632x ，……①2x -， 24x ， 38x -，416x ， 532x -， 664x ，……② 22x ， 33x -，45x ， 59x -， 617x ， 733x -，……③ （1）根据你发现的规律，第一行第8个单项式为；（2）第二行第n 个单项式为；（3）第三行第8个单项式为；第n 个单项式为；【例9】已知26121121211210(1)x x a x a x a x a x a ++=+++++L 是关于x 的恒等式，求1197531a a a a a a +++++的值.【练3】已知55432543210(21)x a x a x a x a x a x a -=+++++是关于x 的恒等式，求24a a +的值.【例10】（1）已知x ，y 为整数，且5|(9)x y +，求证：5|(87)x y +.（2）已知x、y、z均为整数，且11|(725)-+.x y z+-，求证：11|(3712)x y z【跟踪练习】1.单项式3243x y z -的系数是，次数是. 2.已知多项式2123236m x y xy x +-+--是关于x 、y 的六次四项式，单项式253n m x y -与该多项式次数相同，则mn ＝.3.4243527x x y xy ---是次项式，最高次项是，最高次项的系数是，常数项是.4.多项式(1)1m x n x -+-+为关于x 的二次二项式，则m ＝，n ＝.5.已知133m x y +与42n mx y +-是同类项，则m ＝，n ＝，13423m n x y mx y ++-=.6.如果2(1)|2|0a b +++=，则代数式323223315422ab a b ba a b b a --++的值为. 7.已知两个多项式的和是2521x x -+，其中一个多项式是2235x x --，则另一个多项式是.8.电影院里第一排有a 个座位，后面每排都比前排多3个座位，则第10排有.9.某城市广场中央，有一如图阴影部分所示的花坛，其中四个长方形的长和宽都分别是a 米和b 米，重叠部分都是边长2米的正方形，圆的半径是r 米，则这个花坛的占地面积为.10.（1）化简：22223{3[3(3)2]2}2x x x x x --+-----；（2）化简：{24[2(2)3]()}1x y x y x x y -++--+---；（3）已知多项式22911A x x =--，2354B x x =++，求(2)A B --.11.（1）2323(38)(2132)2(3)a a a a a a -+-+--，其中a ＝－2；（2）若2|1||2|1a ab c -+-=-，且a 、b 、c 都为正整数，求65()2ab ab a b c ++--的值.12.已知m 、n 为正整数，单项式11(2)n m n m x y -+-为五次单项式，①试求m 、n 的值；②当x ＝－1，y ＝1时，求此单项式的值.13.已知m 、x 、y 满足条件：①21(2)2|2|02x m ++-=；②31y a b --与2352b a 是同类项，求代数式2222(236)(39)x xy y m x xy y -+--+的值.14.已知多项式2324x x --与多项式A 的和为6x －1，且式子(1)A mx ++的计算结果中不含关于x 的一次项，求m 的值.15.（1）多项式531ax bx ++，当x ＝2时，其值为－5，则x ＝－2时，该多项式的值为多少？（2）若241550x x +-=，求代数式22(15189)(31931)8x x x x x --+-+--的值.（3）若331x x -=，求432912372003x x x x +--+的值.（4）已知x ＝2时，多项式5432ax bx cx dx ex f +++++的值和42bx dx f ++的值为4和3，则当x ＝－2时，求5432ax bx cx dx ex f +++++的值.16.武汉某服装厂生产一种夹克和T恤，夹克每件售价80元，T恤每件售价50元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一件夹克送一件T恤；②夹克和T恤按定价的80%付款，现客户要向服装厂购买夹克50件，T恤x件（x＞50）.（1）若该客户按方案①购买，夹克需付款元，T恤需付款元（用含x 的式子表示）；若该客户按方案②购买，夹克需付款元，T恤需付款元（用含x的式子表示）；（2）若x＝100，通过计算说明按方案①、方案②哪种方案购买较为合算？（3）若两种优惠方案可同时使用，当x＝100时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并说明理由.17.观察下面的三个数列：①－1，＋2，－3，＋4，－5，＋6，……②－3，0，－5，＋2，－7，＋4，……③－2，＋4，－6，＋8，－10，＋12，……（1）这三个数列的第n个数分别是；（2）在第一行中是否存在连续的三个数，使得和为－40？若存在，求出这三个数；若不存在，请说明理由；（3）是否存在这样的一列，使其中三个数的和为78？若存在，求出这三个数；若不存在，请说明理由.18.（1）已知a、b为整数，且10n a b=+，如果17|(5)-，请你证明：17|n.a b（2）已知一个三位数，它的百位数字加上个位数字再减去十位数字所得的数是11的倍数，证明：这个三位数也是11的倍数.。

内容基本要求略高要求较高要求代数式了解代数式的值概念会求代数式的值.能根据代数式的值或特征.推断这些代数式反映的规律能根据特定的问题所提供的资料.合理选用知识和方法.通过代数式的适当变形求代数式的值.整式有关概念了解整式及其有关概念整式的加减运算理解整式加减运算法则会进行简单的整式加减运算能用整式的加减运算对多项式进行变型.进一步解决有关问题.模块一规律探索在解数学题时.往往从特殊的.简单的.局部的事例出发.探求一般的规律；或者从现有的结论.信息.通过观察.类比.联想.进而猜想未知领域的奥秘.这种思想方法叫归纳猜想.归纳猜想是学习和研究数学的最基本而又十分重要的方法它能使复杂问题简单化.抽象问题具体化.是探索解题思路的有效方法.也是科学发展史上的一种重要的方法.注释：归纳猜想是建立在细致而深刻的观察基础上.解题中观察活动主要有三条途径；1.从数与式的特征观察；2.从几何图形的结构观察；3.通过对简单.特殊情况的观察.再推广到一般情况.规律类的中考试题.无论在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都别具一格.令人耳目一新.其目的是继续考察学生的创新意识与实践能力.在往年“数字类”、“计算类”、“图形类”的基础上.今年又推陈出新.增加了“设计类”与“动态类”两种新题型.现将今年中考规律类中考试题分析如下：设计类【例1】将连续的自然数1至36按如图的方式排成一个长方形阵列.用一个长方形任意圈出其中的9个数.设圈出的9个数的中心的数为a.用含有a的代数式表示这9个数的和为 .【题目难度】★整式加减与规律探索【解题思路】解决本题的关键是认真审题.仔细观察图形.找数字之间的关系.发现规律.利用代数式的规律命题是近年来代数式命题的热点.本题主要考察列代数式.寻找长方形中9个数之间的大小关系.若中心数为a .则a 上方的数可记为6a -.下方的数记为6a +.左边的数记为1a -.右边的数记为1a +.左上方的数记为7a -.右上方的数记为5a -.左下方的数记为5a +.右下方的数记为7a +.所以这九个数相加的和为9a .【题目答案】9a【例2】 观察算式：2222211;132;1353;1357164;13579255=+=++=+++==++++==用代数式表示这个规律（n 为正整数）()1357921n ++++++-=____________【题目难度】★【解题思路】用代数式表示数的规律.要认真观察特例.然后有特殊得到一般规律.特别注意n 的表示意义.认真观察已知等式的数字变化规律.左边为从1开始的连续奇数的和.右边为数字个数的平方.【题目答案】2n【例3】 某体育馆用大小相同的长方形木块镶嵌地面.第1次铺2块.如图（1）；第2次把第1次铺的完全围起来.如图（2）所示；第3次把第2次铺的完全围起来.如图（3）……依此方法.第n 次铺完后.用字母n 表示第n 次镶嵌所使用的木块数为______________【题目难度】★【解题思路】由图可知.可列表次数 1 2 3 …… 木块数2 10 18 ……由上表发现.后面每次镶嵌的木块都比前一次增加8块.即第n次镶嵌木块数为()+-=+28186n n （块）观察图形变化可找规律.从表格中数量变化也可寻找规律.因此可以从“数”“形”两方面解决此类问题.【题目答案】86n+【例4】如图所示.下列每个图形都是由若干枚棋子围成的正方形图案.图案的每条边(包括两个顶点)上都有n()2n≥枚棋子.每个图案中棋子总数为s.则s与n之间的关系可以表示为 .【题目难度】★【解题思路】由图(1)可知.2,4n s==+=⨯；由图(3)可==；由图（2)可知.3,4442n s知.4,44443==+++=⨯.…∴s与n之间的关系可用式n s==++=⨯；由图可知.5,444444n s子()=-表示.．s n41【题目答案】()=-41s n☞巩固练习1.如图（1）所示的是一个三角形.分别连接这个三角形三边的中点得到图（2）.再分别连接图（2）中间的小三角形三边的中点.得到图（3）.按此方法继续连接.请你根据每个图中三角形的个数的规律完成下列问题.（1）将下表填写完整；图形编号（1）（2）（3）（4）（5）三角形个数 1 5 9（2）在第n个图形中有个三角形【题目难度】★【解题思路】略．【题目答案】(1)13.17(2)43n-2. 如图.每一幅图中有若干个大小不同的菱形.第1幅图中有1个.第2幅图中有3个.第3幅图中有5个.则第4幅图中有 个.第n 幅图中共有 个．【题目难度】★★ 【解题思路】略 【题目答案】7.21n -3. 为庆祝“六一”儿童节.某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律.摆n 个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ） A ．26n + B ．86n +C ．44n +D ．8n【题目难度】★【解题思路】由图知.一个金鱼要8根火柴.两个金鱼要14根火柴.三条金鱼要20根火柴.以此类推彼此差6.所以n 个金鱼要26n +根火柴【题目答案】A4. 填在下面三个田字格内的数有相同的规律.根据此规律.C = .CBA 55675320531【题目难度】★★【解题思路】观察法知.四方框左上角的数成1,3,5,721n -排列.右上角的数成3,5,7,921n +排列.左下角的数成5,7,922n +排列.那么右下角的数是四方框第一行两个数的和与左下角数的乘积.所以()7,9,579108A B C ===+⨯=【题目答案】1085. 图（3）是用火柴棍摆成的边长分别是1.2.3 根火柴棍时的正方形… (1)第2幅第3幅 第n 幅．当边长为n 根火柴棍时.设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为s .则s ＝ ． （用n 的代数式表示s ） 【题目难度】★★【解题思路】观察法.由图知边长为1的正方形要火柴4根.边长为2的正方形要火柴12根.边长为3的正方形要火柴24根.以此类推答案是2(1)n n +【题目答案】2(1)n n +数字类【例5】 按照规律填上所缺的单项式并回答问题：(1)a 、22a -、33a 、44a -.________.__________；(2)试写出第2007个和第2008个单项式 (3) 试写出第n 个单项式【题目难度】★ 【解题思路】略【题目答案】(1)565,6a a -(2)200720082007,2008a a - (3)()11n n na --【例6】 观察下列顺次排列的等式：222213321,351541,573561,796381⨯==-⨯==-⨯==-⨯==-.猜想：第n 个等式（n 为正整数）应为【题目难度】★【解题思路】观察法解此题.根据前面的式子知第一项与第二项的乘积等于他们中间项的平方减1所以答案是()()()2212121n n n -⨯+=-【题目答案】()()()2212121n n n -⨯+=-【例7】 第3页写3、4、5.….依此规则.即第n 页从n 开始.写n 个连续正整数．求他第一次写出数字1000是在第几页？（ ）图（3）……n =1 n =2n =3A.500B. 501C.999D.1000【题目难度】★★ 【解题思路】第1页 1第2页 2、3 第3页 3、4、5 第4页 4、5、6、7 第n 页则第500页开始.从500写到500+（500-1）=999 ∴第501页开始.从501写到501+（501-1）=1001 ∴数字1000在第501页第一次出现． 故选择B ．【题目答案】B总结: 本题主要考查通过分析各页写的数的变化归纳总结规律.解题的关键在于找到每一页上所写的数是从几到几变化的☞巩固练习 6. 已知212212+=⨯434434323323+=⨯+=⨯，……若1010+=⨯bab a （a .b 都是正整数）.则a +b 的最小值是____________ 【题目难度】★【解题思路】通过观察已有的三个等式.其左边的一个因式的分母比分子小1.另一个因式就是第一个因式的分子；而右边的两个加数又分别为左边的两个因数.通过观察知满足条件的109a b ==，.所以应填19【题目答案】19【变形】已知：2222233+=⨯.2333388+=⨯.244441515+=⨯.255552424+=⨯.….若 21010b ba a+=⨯符合前面式子的规律.则a b +的值为A ．179B ．140C ．109D ．210【题目难度】★★ 【解题思路】略 【题目答案】C7. 一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据59.1216.2125.3236.…中得到巴尔末公 式.从而打开了光谱奥秘的大门.请你按照这种规律.写出第n （n ≥1）个数据是___________ 【题目难度】★★【解题思路】每个分数的分子之间都是成()23n n ≥且n 为正整数排列.且每个分数的分子与分母差4.所以答案是)4()2(2++n n n 或4)2()2(22-++n n【题目答案】)4()2(2++n n n 或4)2()2(22-++n n8. 一组按规律排列的数：2.0.4.0.6.0.….其中第7个数是 .第n 个数是 （n 为正整数）． 【题目难度】★★【解题思路】观察法.数字规律按奇偶分开.偶数位的都是0.奇数位成偶数排列.所以答案是8.20n n n ⎧⎨⎩是奇数是偶数【题目答案】8.20nn n ⎧⎨⎩是奇数是偶数9. 观察下列等式：第一行 3＝4-1 第二行 5＝9-4 第三行 7＝16-9 第四行 9＝25-16 第五行 11＝36-25 … …按照上述规律.第n 行的等式为 .【题目难度】★【解题思路】等式左边是成奇数排列.右边是比这个奇数小两位的那两数的平方差.所以答案是()22211n n n +=+-【题目答案】()22211n n n +=+-10. 下面是一个三角形数阵：1------------------------第1行2 3 ------------------第2行 4 5 6------------------第3行 7 8 9 10------------第4行……根据该数阵的规律.第8行第2个数是【题目难度】★★【解题思路】由图知每行的数的个数与行数是相同的.所以每行最后一个数是前面行数数的和.到第7行的最后一个数应该是28.故答案是30.【题目答案】3011.观察下列等式：223941401⨯=-.224852502⨯=-.225664604⨯=-.226575705⨯=-.228397907⨯=-…请你把发现的规律用字母表示出来：m n=【题目难度】★★【解题思路】观察法知.前面两个数的乘积等于他两数的和的平均的平方减去这两个数差得平均的平方.所以答案是22 22m n m n+-⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【题目答案】2222m n m n+-⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭模块二新型题【例8】根据下列图形的排列规律.第2008个图形是 (填序号即可). (① ；② ；③ ；④ .) ……;【题目难度】★【解题思路】观察法看图知选③【题目答案】③【例9】定义一种新运算：12a b a b*=-.那么4*（-1）=【题目难度】★【解题思路】根据题意可知.该运算是a的一半与b的差【题目答案】3☞巩固练习12.现定义一种新运算：★.对于任意整数a、b.有a★b=a+b-1.求4★[（6★8）★（3★5）]的值【题目难度】★【解题思路】∵a★b=a+b-1∴4★[（6★8）★（3★5）]=4★[（6+8-1）★（3+5-1）]=4★（13★7）=4★（13+7-1）=4★19=4+19-1=22【题目答案】2213.用“”、“”定义新运算：对于任意实数a.b.都有a b=a和a b=b.例如32=3.32=2．则（20102009）（20072008）的值是 .【题目难度】★【解题思路】：（20102009）（20072008）.=20102008.=2010．故答案为2010【题目答案】2010课堂检测【练习1】（2011•重庆）下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成.其中.第①个图形中一共有1个平行四边形.第②个图形中一共有5个平行四边形.第③个图形中一共有11个平行四边形.…则第⑥个图形中平行四边形的个数为（）A.55B.42C.41D.49【题目难度】★【解题思路】：∵图②平行四边形有5个＝122++.图③平行四边形有11个＝12323++++. 图④平行四边形有19个＝1234234++++++.∴图⑥的平行四边形的个数为1234562345641++++++++++=． 故选C ． 【题目答案】C【练习2】观察图中正方形四个顶点所标的数字规律.可知数2011应标在（ ）A 、 第502个正方形的左下角B 、 第502个正方形的右下角C 、 第503个正方形的左上角D 、 第503个正方形的右下角【题目难度】★★【解题思路】通过观察发现：正方形的左下角是4的倍数.左上角是4的倍数余3.右下角是4的倍数余1.右上角是4的倍数余2 ∵20114502÷=余3.∴数2011应标在第503个正方形的左上角． 故选C ．【题目答案】C【练习3】观察下列各式：（1）211=；（2）22343++=；（3）2345675++++=；（4）2456789107++++++=请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是（ ） A 、210051006100730162011+++= B 、210051006100730172011+++= C 、210061007100830162011+++= D 、210071008100930172011+++=【题目难度】★★【解题思路】根据（1）211=；（2）22343++=；（3）2345675++++=；（4）2456789107++++++=可得出：()()()()2121a a a a n a n a ++++++=+-+ .依次判断各选项.只有C 符合要求.故选C ．【题目答案】C1.通过本堂课你学会了 ．2.掌握的不太好的部分 ．3.老师点评：① ．② ．③ ．1. 四个电子宠物排座位.一开始.小鼠、小猴、小兔、小猫分别坐在1.2.3.4号座位上（如图所示）.以后它们不停地变换位置.第一次上下两排交换.第二次是在第一次换位后.再左右两列交换位置.第三次再上下两排交换.第四次再左右两列交换…这样一直下去.则第2005次交换位置后.小兔所在的号位是( )A.1B.2C.3D.4总结复习课后作业【题目难度】★【解题思路】小兔所在的号位的规律是4个一循环．因为20053501÷=余1.即第2005次交换位置后.小兔所在的号位应和第一次交换后的位置相同.即图2．故选A【题目答案】A2. 柜台上放着一堆罐头.它们摆放的形状见右图：第一层有23⨯听罐头.第二层有34⨯听罐头.第三层有45⨯听罐头.……根据这堆罐头排列的规律.第n （n 为正整数）层有 听罐头（用含n 的式子表示）【题目难度】★【解题思路】略【题目答案】2(32)n n ++3. 观察下面几组数：1.3.5.7.9.11.13.15.…2.5.8.11.14.17.20.23.…7.13.19.25.31.37.43.49.…这三组数具有共同的特点．现在有上述特点的一组数.并知道第一个数是3.第三个数是11．则其第n 个数为（ ）A.85n -B.22n +C. 41n -D.225n +【题目难度】★★【解题思路】第一个数是3.第三个数是11.则第二个数为7；即每个数比前一个大4.故其第n 个数为41n -. 【题目答案】C4. 给定一列按规律排列的数：11111,,,,3579它的第10个数是（ ）A.115B.117C.119D.121【题目难度】★★【解题思路】分子都为1.分母分别为1.2213⨯-=⨯-=…都是奇数．第10个数的分母是210119⨯-=.2315【题目答案】：19.5.观察表一.寻找规律.表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分.其中a.b.c的值分别为（）A、20.29.30B、18.30.26C、18.20.26D、18.30.28【题目难度】★★★【解题思路】表二截取的是其中的一列：上下两个数字的差相等.所以a=15+3=18．表三截取的是两行两列的相邻的四个数字：右边一列数字的差应比左边一列数字的差大1.所b=24+25-20+1=30．表四中截取的是两行三列中的6个数字：18是3的6倍.则c应是4的7倍.即28．故选D．【题目答案】D。

初中七年级培优竞赛辅导讲义目录（共207页，按住ctrl键点击目录直接跳转到对应章节）第01讲与有理数有关的概念第02讲有理数的加减法第03讲有理数的乘除、乘方第04讲整式第05讲整式的加减第06讲一元一次方程概念和等式性质第07讲一元一次方程解法第08讲实际问题与一元一次方程第09讲多姿多彩的图形第10讲直线、射线、线段第11讲角第12讲与相交有关概念及平行线的判定第13讲平行线的性质及其应用第14讲平面直角坐标系（一）第15讲平面直角坐标系（二）第16讲认识三角形第17讲认识多边形第18讲二元一次方程组及其解法第19讲实际问题与二元一次方程组第20讲三元一次方程组和一元一次不等式组第21讲一元一次不等式（组）的应用第22讲一元一次不等式（组）与方程（组）的结合第23讲数据的收集与整理第1讲 与有理数有关的概念考点·方法·破译1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ） A ． －18% B ． －8% C ． ＋2% D ． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A ． －5吨 B ． ＋5吨 C ． －3吨 D ． ＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l5：00，纽约时问是____【例２】在－227，π，0.033.3这四个数中有理数的个数（ )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数分类，有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．【变式题组】01．在7，0．1 5，－12，－301.31.25，－18，100.l ，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 .02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置 15，－19，215，－138，0.1．－5.32，123, 2.333【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14．－15，16，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．击归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－12007.【变式题组】 01．（湖北宜宾）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四十数是17＝9＋8…观察并精想第六个数是 . 02．（毕节）毕选哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____. 03．（茂名）有一组数l ，2，5，10，17，26…请观察规律，则第8个数为____. 【例４】（2008年河北张家口）若l ＋m 2的相反数是－3，则m 的相反数是____.【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反数，本题m2＝－4,m ＝－8【变式题组】 01．（四川宜宾）－5的相反数是( ) A ．5 B ． 15 C ． －5 D ． －1502．已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，则a ＋b ＋cd ＝______03．如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分别填人适当的数，使得它们折成正方体.若相对的面上的两个数互为相反数，则填人正方形A 、B 、C 内的三个数依次为( )A ． － 1 ,2，0B ． 0，－2，1C ． －2，0，1D ． 2，1，0 【例５】（湖北）a 、b 为有理数，且a ＞0，b ＜0，|b|＞a ，则a,b 、－a,－b 的大小顺序是( ) A ． b ＜－a ＜a ＜－b B ． –a ＜b ＜a ＜－b C ． –b ＜a ＜－a ＜b D ． –a ＜a ＜－b＜ b【解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点到原点的距离,即|a|,用式子表示为|a|＝0)0(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩(.本题注意数形结合思想，画一条数轴标出a 、b,依相反数的意义标出－b,－a,故选A ．【变式题组】01．推理①若a ＝b ，则|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，则a ＝b ；③若a ≠b ，则|a |≠|b|；④若|a |≠|b|，则a ≠b ，其中正确的个数为（ ） A ． 4个 B ． 3个 C ． 2个 D ． 1个02．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c ＝ .03．a 、b 、c 为不等于O 的有理散，则a |a|＋b |b|＋c|c|的值可能是____.【例６】（江西课改）已知|a －4|＋|b －8|＝0，则a+bab的值.【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a 的绝对值都是非负数，即|a|≥0．所以|a －4|≥0，|b －8|≥0.而两个非负数之和为0，则两数均为0.解：因为|a －4|≥0，|b －8|≥0，又|a －4|＋|b －8|＝0，∴|a －4|＝0，|b －8|＝0即a －4＝0，b －8＝0，a ＝4，b ＝8.故a+b ab ＝1232＝38【变式题组】01．已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a ＞b ＞c ，求a ＋b ＋C ． 02．（毕节）若|m －3|＋|n ＋2|＝0，则m ＋2n 的值为( ) A ． －4 B ． －1 C ． 0 D ． 403．已知|a|＝8，|b|＝2，且|a －b|＝b －a ，求a 和b 的值 【例７】（第l8届迎春杯）已知(m ＋n)2＋|m|＝m ，且|2m －n －2|＝0．求mn 的值．【解法指导】本例关键是通过分析(m ＋n)2＋|m|的符号，挖掘出m 的符号特征,从而把问题转化为(m ＋n)2＝0，|2m －n －2|＝0，找到解题途径. 解：∵(m ＋n)2≥0，|m|≥O∴(m ＋n)2＋|m|≥0，而(m ＋n)2＋|m|＝m ∴ m ≥0,∴(m ＋n)2＋m ＝m ，即(m ＋n)2＝0 ∴m ＋n ＝O ① 又∵|2m －n －2|＝0 ∴2m －n －2＝0 ②由①②得m ＝23，n ＝－23，∴ mn ＝－49【变式题组】01．已知(a ＋b)2＋|b ＋5|＝b ＋5且|2a －b –l|＝0，求a －B ． 02．（第16届迎春杯）已知y ＝|x －a|＋|x ＋19|＋|x －a －96|，如果19＜a ＜96．a ≤x ≤96,求y 的最大值.演练巩固·反馈提高01．观察下列有规律的数12,16,112,120,130,142…根据其规律可知第9个数是( )A ． 156B ． 172C ． 190D ． 111002．（芜湖）－6的绝对值是( )A ． 6B ． －6C ． 16D ． －1603．在－227,π,8..0.3四个数中，有理数的个数为( )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 04．若一个数的相反数为a ＋b ，则这个数是( )A ． a －bB ． b －aC ． –a ＋bD ． –a －b05．数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6，这两个数是( ) A ． 0和6 B ． 0和－6 C ． 3和－3 D ． 0和3 06．若－a 不是负数，则a( )A ． 是正数B ． 不是负数C ． 是负数D ． 不是正数 07．下列结论中，正确的是( )①若a ＝b,则|a|＝|b| ②若a ＝－b,则|a|＝|b| ③若|a|＝|b|，则a ＝－b ④若|a|＝|b|,则a ＝b A ． ①② B ． ③④ C ． ①④ D ． ②③08．有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示,则a 、b ，－a ，|b|的大小关系正确 的是( )A ． |b|＞a ＞－a ＞bB ． |b| ＞b ＞a ＞－aC ． a ＞|b|＞b ＞－aD ． a ＞|b|＞－a ＞b09．一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数是____.10．已知|x ＋2|＋|y ＋2|＝0，则xy ＝____.11．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，求|a|a ＋|b|b ＋|abc|abc ＋|c|c12．若三个不相等的有理数可以表示为1、a 、a ＋b 也可以表示成0、b 、ba 的形式，试求a 、b 的值.13．已知|a|＝4，|b|＝5，|c|＝6，且a ＞b ＞c ，求a ＋b －C ．14．|a|具有非负性，也有最小值为0，试讨论：当x为有理数时，|x－l|＋|x－3|有没有最小值，如果有，求出最小值；如果没有，说明理由.15．点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a－b| 当A、B两点都不在原点时有以下三种情况:①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－(－a)＝|a－b|；③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|；综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a－b|．回答下列问题:⑴数轴上表示2和5的两点之间的距离是 , 数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 , 3，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 4；⑵数轴上表示x和－1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是 |x+1|，如果|AB|＝2，那么x＝ 1或3；⑶当代数式|x＋1|＋|x－2|取最小值时，相应的x的取值范围是 7．培优升级·奥赛检测01．（重庆市竞赛题）在数轴上任取一条长度为199919的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是( )A ． 1998B ． 1999C ． 2000D ． 2001 02．（第l8届希望杯邀请赛试题）在数轴上和有理数a 、b 、c 对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①abc ＜0;②|a －b|＋|b －c|＝|a －c|；③（a －b ）(b －c)(c －a)＞0；④|a|＜1－bc ．其中正确的结论有( )A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个03．如果a 、b 、c 是非零有理数，且a ＋b ＋c ＝0．那么a |a|＋b |b|＋c |c|＋abc|abc|的所有可能的值为（ ）A ． －1B ． 1或－1C ． 2或－2D ． 0或－2 04．已知|m|＝－m ，化简|m －l|－|m －2|所得结果( ) A ． －1 B ． 1 C ． 2m －3 D ． 3－ 2m05．如果0＜p ＜15，那么代数式|x －p|＋|x －15|＋|x －p －15|在p ≤x ≤15的最小值( ) A ． 30 B ． 0 C ． 15 D ． 一个与p 有关的代数式 06．|x ＋1|＋|x －2|＋|x －3|的最小值为 .07．若a ＞0，b ＜0，使|x －a|＋|x －b|＝a －b 成立的x 取值范围 . 08．（武汉市选拔赛试题）非零整数m 、n 满足|m|＋|n|－5＝0所有这样的整数组(m ，n)共有 组09．若非零有理数m 、n 、p 满足|m|m ＋|n|n ＋|p|p ＝1．则2mnp|3mnp|＝ .10．（19届希望杯试题）试求|x －1|＋|x －2|＋|x －3|＋…＋|x －1997|的最小值.11．已知(|x ＋l|＋|x －2|)（|y －2|＋|y ＋1|）（|z －3|＋|z ＋l|）＝36，求x ＋2y ＋3的最大值和最小值.12．电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位得k1，第二步由k1向右跳2个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4…按以上规律跳100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100新表示的数恰好19.94，试求k0所表示的数.13．某城镇，沿环形路上依次排列有五所小学，它们顺扶有电脑15台、7台、1l台、3台，14台，为使各学校里电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最小？并求出调出电脑的最少总台数.第02讲有理数的加减法考点·方法·破译1．理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义.2．准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算.3．理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题.4．会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和.经典·考题·赏析【例１】（河北唐山）某天股票A开盘价18元，上午11:30跌了1.5元，下午收盘时又涨了0.3元，则股票A这天的收盘价为（）A．0.3元B．16.2元C．16.8元D．18元【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时，首先将具有相反意义的量确定一个为正，另一个为负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，取相同符号并用绝对值相加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值.解：18＋（－1.5）＋（0.3）＝16.8，故选C．【变式题组】01．今年陕西省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为－6℃，西安市最低气温2℃，这一天延安市的最低气温比西安低（）A．8℃B．－8℃C．6℃D．2℃02．（河南）飞机的高度为2400米，上升250米，又下降了327米，这是飞机的高度为__________03．（浙江）珠穆朗玛峰海拔8848m，吐鲁番海拔高度为－155 m，则它们的平均海拔高度为__________【例２】计算（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）【解法指导】应用加法运算简化运算，－83与－17相加可得整百的数，＋26与－26互为相反数，相加为0，有理数加法常见技巧有：⑴互为相反数结合一起；⑵相加得整数结合一起；⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起；⑷相同符号的数结合一起.解：（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）＝[（－83）＋（－17）]＋[（＋26）＋（－26）]＋15＝（－100）＋15＝－85【变式题组】01．（－2.5）＋（－312）＋（－134）＋（－114）02．（－13.6）＋0.26＋（－2.7）＋（－1.06）03．0.125＋314＋（－318）＋1123＋（－0.25）【例３】计算1111 12233420082009 ++++⨯⨯⨯⨯【解法指导】依111(1)1n n n n=-++进行裂项，然后邻项相消进行化简求和.解：原式＝1111111 (1)()()()2233420082009 -+-+-++-＝1111111 12233420082009 -+-+-++-＝112009-＝20082009【变式题组】01．计算1＋（－2）＋3＋（－4）＋…＋99＋（－100）02．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的正方形，再把面积为14的正方形等分成两个面积为18的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算11111111 248163264128256+++++++＝__________.【例４】如果a＜0，b＞0，a＋b＜0，那么下列关系中正确的是（）A．a＞b＞－b＞－a B．a＞－a＞b＞－bC．b＞a＞－b＞－a D．－a＞b＞－b＞a【解法指导】紧扣有理数加法法则，由两加数及其和的符号，确定两加数的绝对值的大小，然后根据相反数的关系将它们在同一数轴上表示出来，即可得出结论.解：∵a ＜0，b ＞0，∴a ＋b 是异号两数之和又a ＋b ＜0，∴a 、b 中负数的绝对值较大，∴| a |＞| b |将a 、b 、－a 、－b 表示在同一数轴上，如图，则它们的大小关系是－a ＞b ＞－b ＞a 【变式题组】01．若m ＞0，n ＜0，且| m |＞| n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号）02．若m ＜0，n ＞0，且| m |＞| n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号）03．已知a ＜0，b ＞0，c ＜0，且| c |＞| b |＞| a |，试比较a 、b 、c 、a ＋b 、a ＋c 的大小【例５】425－（－33311）－（－1.6）－（－21811）【解法指导】有理数减法的运算步骤：⑴依有理数的减法法则，把减号变为加号，并把减数变为它的相反数；⑵利用有理数的加法法则进行运算.解：425－（－33311）－（－1.6）－（－21811）＝425＋33311＋1.6＋21811 ＝4.4＋1.6＋（33311＋21811）＝6＋55＝61【变式题组】01．21511()()()()(1)32632--+---+-+02．434－（＋3.85）－（－314）＋（－3.15）03．178－87.21－（－43221）＋1531921－12.79【例６】试看下面一列数：25、23、21、19…⑴观察这列数，猜想第10个数是多少？第n个数是多少？⑵这列数中有多少个数是正数？从第几个数开始是负数？⑶求这列数中所有正数的和.【解法指导】寻找一系列数的规律，应该从特殊到一般，找到前面几个数的规律，通过观察推理、猜想出第n个数的规律，再用其它的数来验证.解：⑴第10个数为7，第n个数为25－2(n－1)⑵∵n＝13时，25－2(13－1)＝1，n＝14时，25－2(14－1)＝－1故这列数有13个数为正数，从第14个数开始就是负数.⑶这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，其和＝（25＋1）＋（23＋3）＋…＋（15＋11）＋13＝26×6＋13＝169【变式题组】01．(杭州)观察下列等式1－12＝12，2－25＝85，3－310＝2710，4－417＝6417…依你发现的规律，解答下列问题.⑴写出第5个等式；⑵第10个等式右边的分数的分子与分母的和是多少？02．观察下列等式的规律9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20⑴用关于n（n≥1的自然数）的等式表示这个规律；⑵当这个等式的右边等于2008时求n.【例７】（第十届希望杯竞赛试题）求12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋（15＋25＋35＋45）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950）【解法指导】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成1，由此我们采取将原式倒序后与原式相加，这样极大简化计算了.解：设S＝12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950）则有S＝12＋（23＋13）＋（34＋24＋14）＋…＋（4950＋4850＋…＋250＋150）将原式和倒序再相加得2S＝12＋12＋（13＋23＋23＋13）＋（14＋24＋34＋34＋24＋14）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950＋4950＋4850＋…＋250＋150）即2S＝1＋2＋3＋4＋…＋49＝49(491)2⨯+＝1225∴S＝1225 2【变式题组】01．计算2－22－23－24－25－26－27－28－29＋21002．（第8届希望杯试题）计算（1－12－13－…－12003）（12＋13＋14＋…＋12003＋12004）－（1－12－13－…－12004）（12＋13＋14＋…＋12003）演练巩固·反馈提高01．m是有理数，则m＋|m|（）A．可能是负数B．不可能是负数C．比是正数D．可能是正数，也可能是负数02．如果|a|＝3，|b|＝2，那么|a＋b|为（）A． 5 B．1 C．1或5 D．±1或±503．在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（）A． 1 B．0 C．－1 D．－304．两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（）A．两数一定都是正数B．两数都不为0C．至少有一个为负数D．至少有一个为正数05．下列等式一定成立的是（）A．|x|－ x ＝0 B．－x－x ＝0 C．|x|＋|－x| ＝0 D．|x|－|x|＝0 06．一天早晨的气温是－6℃，中午又上升了10℃，午间又下降了8℃，则午夜气温是（）A．－4℃B．4℃C．－3℃D．－5℃07．若a＜0，则|a－(－a)|等于（）A．－a B．0 C．2a D．－2a08．设x是不等于0的有理数，则||||2x xx值为（）A．0或1 B．0或2 C．0或－1 D．0或－2 09．（济南）2＋(－2)的值为__________10．用含绝对值的式子表示下列各式：⑴若a＜0，b＞0,则b－a＝__________，a－b＝__________⑵若a＞b＞0，则|a－b|＝__________⑶若a＜b＜0，则a－b＝__________11．计算下列各题：⑴23＋（－27）＋9＋5 ⑵－5.4＋0.2－0.6＋0.35－0.25⑶－0.5－314＋2.75－712⑷33.1－10.7－（－22.9）－|－2310|12．计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－9913．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天从A地出发到收工时所走的路线（单位：千米）为：＋10，－3，＋4，－2，－8，＋13，－7，＋12，＋7，＋5⑴问收工时距离A地多远？⑵若每千米耗油0.2千克，问从A地出发到收工时共耗油多少千克？14．将1997减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，再减去余下的15……以此类推，直到最后减去余下的11997，最后的得数是多少？15．独特的埃及分数：埃及同中国一样，也是世界著名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如13＋115来表示25，用14＋17＋128表示37等等.现有90个埃及分数：12，13，14，15，…190，191，你能从中挑出10个，加上正、负号，使它们的和等于－1吗？培优升级·奥赛检测01．（第16届希望杯邀请赛试题）1234141524682830-+-+-+-+-+-+-等于（）A．14B．14-C．12D．12-02．自然数a、b、c、d满足21a＋21b＋21c＋21d＝1，则31a＋41b＋51c＋61d等于（）A．18B．316C．732D．1564534333231303．（第17届希望杯邀请赛试题）a 、b 、c 、d 是互不相等的正整数，且abcd ＝441，则a ＋b ＋c ＋d 值是（ ）A ．30B ．32C ．34D ．3604．（第7届希望杯试题）若a ＝1995199519961996，b ＝1996199619971997，c ＝1997199719981998，则a 、b 、c大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b05．11111(1)(1)(1)(1)(1)1324351998200019992001+++++⨯⨯⨯⨯⨯的值得整数部分为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 06．(－2)2004＋3×(－2)2003的值为（ ）A ．－22003B ．22003C ．－22004D ．2200407．（希望杯邀请赛试题）若|m|＝m ＋1，则(4m ＋1)2004＝__________08．12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋ … ＋（160＋260＋…＋5960）＝__________ 09．19191976767676761919-＝__________10．1＋2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210＝__________ 11．求32001×72002×132003所得数的末位数字为__________ 12．已知(a ＋b)2＋|b ＋5|＝b ＋5，且|2a －b －1|＝0，求aB ．13．计算(11998－1)(11997－1) (11996－1) … (11001－1) (11000－1)14．请你从下表归纳出13＋23＋33＋43＋…＋n3的公式并计算出13＋23＋33＋43＋…＋1003的值.第03讲有理数的乘除、乘方考点·方法·破译1．理解有理数的乘法法则以及运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算，会利用运算律简化乘法运算.2．掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化运算.3．了解有理数除法的意义，掌握有理数的除法法则，熟练进行有理数的除法运算.4．掌握有理数乘除法混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算.5．理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算的符号法则，进一步掌握有理数的混合运算.经典·考题·赏析【例１】计算⑴11()24⨯-⑵1124⨯⑶11()()24-⨯-⑷25000⨯⑸3713 ()()(1)() 5697 -⨯-⨯⨯-【解法指导】掌握有理数乘法法则，正确运用法则，一是要体会并掌握乘法的符号规律，二是细心、稳妥、层次清楚，即先确定积的符号，后计算绝对值的积.解：⑴11111 ()() 24248⨯-=-⨯=-⑵11111() 24248⨯=⨯=⑶11111 ()()() 24248 -⨯-=+⨯=⑷250000⨯=⑸3713371031 ()()(1)()() 569756973 -⨯-⨯⨯-=-⨯⨯⨯=-【变式题组】01．⑴(5)(6)-⨯-⑵11()124-⨯⑶(8)(3.76)(0.125)-⨯⨯-⑷(3)(1)2(6)0(2)-⨯-⨯⨯-⨯⨯-⑸111112(2111)42612-⨯-+-02．24(9)5025-⨯3．1111(2345)()2345⨯⨯⨯⨯---04．111 (5)323(6)3333 -⨯+⨯+-⨯【例２】已知两个有理数a、b，如果ab＜0，且a＋b＜0，那么（）A．a＞0，b＜0 B．a＜0，b＞0C．a、b异号 D．a、b异号且负数的绝对值较大【解法指导】依有理数乘法法则，异号为负，故a、b异号，又依加法法则，异号相加取绝对值较大数的符号，可得出判断.解：由ab＜0知a、b异号，又由a＋b＜0，可知异号两数之和为负，依加法法则得负数的绝对值较大，选D．【变式题组】01．若a＋b＋c＝0，且b＜c＜0，则下列各式中，错误的是（）A．a＋b＞0 B．b＋c＜0 C．ab＋ac＞0 D．a＋bc＞002．已知a＋b＞0，a－b＜0，ab＜0，则a___________0，b___________0，|a|___________|b|.03．(山东烟台)如果a＋b＜0，ba>，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0 04．(广州)下列命题正确的是（）A．若ab＞0，则a＞0，b＞0 B．若ab＜0，则a＜0，b＜0C．若ab＝0，则a＝0或b＝0 D．若ab＝0，则a＝0且b＝0 【例３】计算⑴(72)(18)-÷-⑵11(2)3÷-⑶13()()1025-÷⑷0(7)÷-【解法指导】进行有理数除法运算时，若不能整除，应用法则1，先把除法转化成乘法，再确定符号，然后把绝对值相乘，要注意除法与乘法互为逆运算.若能整除，应用法则2，可直接确定符号，再把绝对值相除.解：⑴(72)(18)72184 -÷-=÷=⑵1733 1(2)1()1()3377÷-=÷-=⨯-=-⑶131255 ()()()() 10251036 -÷=-⨯=-⑷0(7)0÷-=【变式题组】01．⑴(32)(8)-÷-⑵112(1)36÷-⑶10(2)3÷-⑷13()(1)78÷-02．⑴12933÷⨯⑵311()(3)(1)3524-⨯-÷-÷⑶530()35÷-⨯03．113()(10.2)(3) 245÷-+-÷⨯-【例４】（茂名）若实数a、b满足a ba b+=，则abab＝___________.【解法指导】依绝对值意义进行分类讨论，得出a、b的取值范围，进一步代入结论得出结果.解：当ab＞0，2(0,0)2(0,0)a ba ba ba b>>⎧+=⎨-<<⎩；当ab＜0，a ba b+=，∴ab＜0，从而abab＝－1.【变式题组】01．若k是有理数，则(|k|＋k)÷k的结果是（）A．正数 B．0 C．负数 D．非负数02．若A．b都是非零有理数，那么aba ba b ab++的值是多少？03．如果x yx y+=，试比较xy-与xy的大小.【例５】已知223(2),1 x y=-=-⑴求2008xy 的值； ⑵求32008x y 的值.【解法指导】na 表示n 个a 相乘，根据乘方的符号法则，如果a 为正数，正数的任何次幂都是正数，如果a 是负数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.解：∵223(2),1x y =-=- ⑴当2,1x y ==-时，200820082(1)2xy =-= 当2,1x y =-=-时，20082008(2)(1)2xy =-⨯-=- ⑵当2,1x y ==-时，332008200828(1)x y ==- 当2,1x y =-=-时，3320082008(2)8(1)x y -==--【变式题组】 01．（北京）若2(2)0m n m -+-=，则nm 的值是___________.02．已知x 、y 互为倒数，且绝对值相等，求()n nx y --的值，这里n 是正整数.【例６】（安徽）2007年我省为135万名农村中小学生免费提供教科书，减轻了农民的负担，135万用科学记数法表示为（ ）A ．0.135×106B ．1.35×106C ．0.135×107D ．1.35×107【解法指导】将一个数表示为科学记数法的a×10n 的形式，其中a 的整数位数是1位.故答案选B ．【变式题组】 01．（武汉）武汉市今年约有103000名学生参加中考，103000用科学记数法表示为（ ） A ．1.03×105 B ．0.103×105 C ．10.3×104 D ．103×103 02．（沈阳）沈阳市计划从2008年到2012年新增林地面积253万亩，253万亩用科学记数法表示正确的是（ ）A ．25.3×105亩B ．2.53×106亩C ．253×104亩D ．2.53×107亩 【例７】（上海竞赛）222222221299110050002200500010050009999005000k k k ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-+-+-+【解法指导】找出21005000k k -+的通项公式＝22(50)50k -+原式＝2222222222221299(150)50(250)50(50)50(9950)50k k ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ ＝222222222222199298[][](150)50(9950)50(250)50(9850)50++++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ 222222222495150[](4950)50(5150)50(5050)50++-+-+-+＝49222+1++⋅⋅⋅+个＝99【变式题组】3333+++=( )2+4+6++10042+4+6++10062+4+6++10082+4+6++2006⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ A ．31003 B ．31004 C ．1334 D ．11000 02．（第10届希望杯试题）已知11111111 1.2581120411101640+++++++= 求111111112581120411101640---+--++的值.演练巩固·反馈提高01．三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．1个或3个 02．两个有理数的和是负数，积也是负数，那么这两个数（ ）A ．互为相反数B ．其中绝对值大的数是正数，另一个是负数C ．都是负数D ．其中绝对值大的数是负数，另一个是正数 03．已知abc ＞0，a ＞0，ac ＜0，则下列结论正确的是（ ）A ．b ＜0，c ＞0B ．b ＞0，c ＜0C ．b ＜0，c ＜0D ．b ＞0，c ＞0 04．若|ab|＝ab ，则（ ）A ．ab ＞0B ．ab ≥0C ．a ＜0，b ＜0D ．ab ＜005．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，则代数式a bm cd m +-+的值为（ ）A ．－3B ．1C ．±3D ．－3或106．若a ＞1a ，则a 的取值范围（ ）A ．a ＞1B ．0＜a ＜1C ．a ＞－1D ．－1＜a ＜0或a ＞107．已知a 、b 为有理数，给出下列条件：①a ＋b ＝0；②a －b ＝0；③ab ＜0；④1ab =-，其中能判断a 、b 互为相反数的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个08．若ab≠0，则a b a b+的取值不可能为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．－209．1110(2)(2)-+-的值为（ ）A ．－2B ．(－2)21C ．0D ．－21010．(安徽)2010年一季度，全国城镇新增就业人数289万人，用科学记数法表示289万正确的是（ ）A ．2.89×107B ．2.89×106C ．2.89×105D ．2.89×10411．已知4个不相等的整数a 、b 、c 、d ，它们的积abcd ＝9，则a ＋b ＋c ＋d ＝___________.12．21221(1)(1)(1)n n n +--+-+-（n 为自然数）＝___________.13．如果2x y x y +=，试比较xy -与xy 的大小.14．若a 、b 、c 为有理数且1a b ca b c++=-，求abc abc的值.15．若a 、b 、c 均为整数，且321a b c a -+-=.求a c cb b a-+-+-的值.培优升级·奥赛检测01．已知有理数x 、y 、z 两两不相等，则,,x y y z z xy z z x x y ------中负数的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个或2个02．计算12345211,213,217,2115,2131-=-=-=-=-=⋅⋅⋅归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测201021-的个位数字是（ ）A．1 B．3 C．7 D．503．已知23450ab c d e＜，下列判断正确的是（）A．abcde＜0 B．ab2cd4e＜0 C．ab2cde＜0 D．abcd4e＜004．若有理数x、y使得,,,xx y x y xyy+-这四个数中的三个数相等，则|y|－|x|的值是（）A．12-B．0 C．12 D．3205．若A＝248163264(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)+++++++，则A－1996的末位数字是（）A．0 B．1 C．7 D．906．如果20012002()1,()1a b a b+=--=，则20032003a b+的值是（）A．2 B．1 C．0 D．－107．已知5544332222,33,55,66a b c d====，则a、b、c、d大小关系是（）A．a＞b＞c＞d B．a＞b＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．a＞d＞b＞c08．已知a、b、c都不等于0，且a b c abca b c abc+++的最大值为m，最小值为n，则2005()m n+＝___________.09．（第13届“华杯赛”试题）从下面每组数中各取一个数将它们相乘，那么所有这样的乘积的总和是___________.第一组：15,3,4.25,5.753-第二组：11 2,315 -第三组：5 2.25,,412-10．一本书的页码从1记到n，把所有这些页码加起来，其中有一页码被错加了两次，结果得出了不正确的和2002，这个被加错了两次的页码是多少？11．（湖北省竞赛试题）观察按下列规律排成一列数：11，12，21，13，22，31，14，23，3 2，41，15，24，23，42，51，16，…(＊)，在(＊)中左起第m个数记为F(m)，当F(m)＝12001时，求m 的值和这m 个数的积.12．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：11,,1,2,4,8,16,32,6442填入方格中，使得所有行列及对角线上各数相乘的积相等，求x 的值.13．(第12届“华杯赛”试题)已知m 、n 都是正整数，并且111111(1)(1)(1)(1)(1)(1);2233A m m =-+-+⋅⋅⋅-+ 111111(1)(1)(1)(1)(1)(1).2233B n n =-+-+⋅⋅⋅-+证明：⑴11,;22m n A B m n ++==⑵126A B -=，求m 、n 的值.第04讲整式考点·方法·破译1．掌握单项式及单项式的系数、次数的概念.2．掌握多项式及多项式的项、常数项及次数等概念.3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式.4．了解整式读、写的约定俗成的一般方法，会根据给出的字母的值求多项式的值.经典·考题·赏析【例1】判断下列各代数式是否是单项式，如果不是请简要说明理由，如果是请指出它的系数与次数.【解法指导】理解单项式的概念:由数与字母的积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式，数字的次数为0，是常数，单项式中所有字母指数和叫单项式次数.解：⑴不是，因为代数式中出现了加法运算；⑵不是，因为代数式是与x的商；⑶是，它的系数为π，次数为2；⑷是，它的系数为32，次数为3.【变式题组】01．判断下列代数式是否是单项式02．说出下列单项式的系数与次数【例２】如果与都是关于x、y的六次单项式，且系数相等，求m、n 的值.【解法指导】单项式的次数要弄清针对什么字母而言，是针对x或y或x、y等是有区别的，该题是针对x与y而言的，因此单项式的次数指x、y的指数之和，与字母m无关，此时将m看成一个要求的已知数.解：由题意得【变式题组】01．一个含有x、y的五次单项式，x的指数为3.且当x＝2,y＝－1时，这个单项式的值为32，求这个单项式.02．（毕节）写出含有字母x、y的五次单项式______________________.【例３】已知多项式⑴这个多项式是几次几项式？⑵这个多项式最高次项是多少？二次项系数是什么？常数项是什么？【解法指导】 n个单项式的和叫多项式，每个单项式叫多项式的项，多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数.解：⑴这个多项式是七次四项式；(2)最高次项是,二次项系数为－1，常数项是1.【变式题组】01．指出下列多项式的项和次数⑴ (2)02．指出下列多项式的二次项、二次项系数和常数项⑴ (2)【例４】多项式是关于x的三次三项式，并且一次项系数为－7.求m+n－k的值【解法指导】多项式的次数是单项式中次数最高的次数，单项式的系数是数字与字母乘积中的数字因数.解：因为是关于x的三次三项式，依三次知m＝3，而一次项系数为－7，即－（3n+1）＝－7，故n＝2.已有三次项为,一次项为－7x，常数项为5，又原多项式为三次三项式，故二次项的系数k＝0，故m+n－k＝3+2－0＝5.【变式题组】01．多项式是四次三项式，则m的值为（）A．2 B．－2 C．±2 D．±102．已知关于x、y的多项式不含二次项，求5a－8b的值.03．已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求n的值.【例５】已知代数式的值是8,求的值.【解法指导】由，现阶段还不能求出x的具体值，所以联想到整体代入法.解：由得由（3【变式题组】01．(贵州)如果代数式－2a+3b+8的值为18，那么代数式9b－6a+2的值等于（）A．28 B．－28 C．32 D．－3202．（同山）若,则的值为_______________.03．（潍坊）代数式的值为9,则的值为______________.【例６】证明代数式的值与m的取值无关.【解法指导】欲证代数式的值与m的取值无关，只需证明代数式的化简结果不出现字母即可.证明：原式＝∴无论m的值为何，原式值都为4.∴原式的值与m的取值无关.【变式题组】01．已知,且的值与x无关，求a的值.02．若代数式的值与字母x的取值无关，求a、b 的值.【例７】（北京市选拔赛）同时都含有a、b、c，且系数为1的七次单项式共有（）个A．4 B．12 C．15 D．25【解法指导】首先写出符合题意的单项式,x、y、z都是正整数，再依x+y+z＝7来确定x、y、z的值.解：为所求的单项式，则x、y、z都是正整数，且x+y+z＝7.当x＝1时，y＝1,2,3,4,5,z ＝5,4,3,2,1.当x＝2时，y＝1,2,3,4,z＝4,3,2,1. 当x＝3时，y＝1,2,3,z＝3,2,1.当 x ＝4时，y＝1,2,z＝2,1.当 x＝5时，y＝z＝1.所以所求的单项式的个数为5+4+3+2+1＝15，故选C．【变式题组】01．已知m、n是自然数，是八次三项式，求m、n值.02．整数n＝___________时，多项式是三次三项式.演练巩固·反馈提高01．下列说法正确的是（）A．是单项式 B．的次数为5 C．单项式系数为0 D．是四次二项式02．a表示一个两位数，b表示一个一位数，如果把b放在a的右边组成一个三位数.则这个三位数是（）A．100b+a B．10a+b C．a+b D．100a+b03．若多项式的值为1，则多项式的值是（）A．2 B．17 C．－7 D．704．随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑原售价为n元，降低m 元后，又降低20%，那么该电脑的现售价为（）A． B． C． D．05．若多项式是关于x的一次多项式，则k的值是（）A．0 B．1 C．0或1 D．不能确定06．若是关于x、y的五次单项式，则它的系数是____________.07．电影院里第1排有a个座位，后面每排都比前排多3个座位，则第10排有_______个座位.08．若,则代数式xy+mn值为________.09．一项工作，甲单独做需a天完成，乙单独做需b天完成，如果甲、乙合做7天完成工作量是____________.10．(河北)有一串单项式(1)请你写出第100个单项式；⑵请你写出第n个单项式.11．（安徽）一个含有x、y的五次单项式，x的指数为3,且当x＝2，y＝－1时，这个单项式值为32，求这个单项式.12．（天津）已知x＝3时多项式的值为－1，则当x＝－3时这个多项式的值为多少？13．若关于x、y的多项式与多项式的系数相同，并且最高次项的系数也相同，求a－b的值.14．某地电话拨号入网有两种方式，用户可任取其一.A：计时制：0.05元/分B：包月制：50元/月（只限一部宅电上网）.此外，每种上网方式都得加收通行费0.02元/分.⑴某用户某月上网时间为x小时，请你写出两种收费方式下该用户应该支付的费用；(2)若某用户估计一个月内上网时间为20小时，你认为采用哪种方式更合算.培优升级·奥赛检测01．（扬州）有一列数,从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差.若,则为（）。

第三讲 整式的加减 （一）一、常考题型题型总结【题型1】抄错题问题【例1】小郑在一次测验中计算一个多项式A 减去时，不小心看成加上xz yz xy 235+-，计算出错误结果为，试求出正确答案。

xz yz xy 235+-xz yz xy 462-+【例2】数学课上七年级一班的张老师给同学们写了这样一道题“当时,求多2,2-==b a 项式 ⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-2233233414213b b a b a b b a b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛++b a b a 23341的值”,马小虎做题时把错抄成,王小真没抄错题,但他们322+-b 2=a 2-=a 做出的结果却都一样,你知道这是怎么回事吗?说明理由.【培优练习】1、李明在计算一个多项式减去时，误认为加上此式，计算出错误结果为2245x x -+，试求出正确答案。

221x x -+-2、某同学做一道数学题,误将求“A-B”看成求“A+B”, 结果求出的答案是3x 2-2x+5.已知A=4x 2-3x-6,请正确求出A-B.3、一位同学做一道题：“已知两个多项式A ，B ，计算2A+B ”。

他误将“2A+B ”看成“A+2B ”，求得的结果为7292+-x x 。

已知B=232-+x x ，求原题的正确答案。

4、计算下式的值： 甲同学把错抄成，但他计算的结果也是正确的，你能说明其中的原因吗？【题型2】分类讨论型问题【例1】如果关于x 的多项式与是次数相同的多项式,求21424-+x ax x x b 53+的值4322123-+-b b b 【培优练习】1、多项式是关于x 的二次多项式，求12423232+++-+x x x ax x a a aa ++221【题型3】绝对值双值性【例1】已知3x 2y |m|-（m-1）y+5是关于x ，y 的三次三项式，求2m 2-3m+1的值．【培优练习】1、 若多项式是关于的五次二项式，求的值()22532mx y n y +--x y ，222m mn n -+2、如果为四次三项式，则________。

初中七年级数学竞赛培优讲义全套专题07 整式的加减专题07：整式的加减整式的加减涉及许多概念，准确地理解这些概念并注意它们的区别与联系是解决有关问题的基础。

要掌握好以下两点：1.理解“三式”和“四数”的概念：三式指单项式、多项式、整式；四数指单项式的系数、次数和多项式的系数、次数。

2.掌握“两种排列”和“三个法则”：两种排列指按某一字母的升幂或降幂排列多项式；三个法则指去括号法则、添括号法则及合并同类项法则。

同类项是指整式中所含字母相同，且相同字母的次数也相同的单项式。

一个多项式中的同类项可以合并在一起，使得整式大为简化，整式的加减实质就是合并同类项。

例题与求解：例1：如果代数式ax^5+bx^3+cx-5，当x=-2时的值是7，那么当x=7时，该式的值是多少？解题思路：将x=7代入式子中，得到ax^5+bx^3+cx-5的值，需要寻找两个多项式的联系。

例2：已知-1<b<1，-1<a<1，那么在代数式a-b，a+b，a+b^2，a^2+b中，对于任意a，b对应的代数式的值最大的是哪个？解题思路：采用赋值法，令a=1，b=0.5，计算四个式子的值，从中找出值最大的。

例3：已知x=2，y=-4时，求代数式ax^2+3ax-24by^3+4986的值。

解题思路：将给定的x，y值分别代入对应的代数式，寻找已知与待求式子之间的联系，整体代入求值。

例4：已知关于x的二次多项式a(x^3-x^2+3x)+b(2x^2+x)+x^3-5，当x=2时的值为-17，求当x=-2时，该多项式的值。

解题思路：根据多项式降幂排列、多项式次数等概念挖掘隐含的关于a，b的等式。

例5：一条公交线路上起点到终点有8个站。

一辆公交车从起点站出发，前6站上车100人，前7站下车80人。

问从前6站上车而在终点下车的乘客有多少人？解题思路：根据乘客数量守恒的原理，计算从第7站到终点下车的乘客数量，再用总乘客数减去前6站和第7站到终点的乘客数量即可。

七年级数学整式的加减讲义2七年级数学整式的加减第二章整式的加减（2）一、本节学习指导会判断是否为同类项，能熟练地进行合并同类项，掌握去括号的法则，对掌握整式的加减会有很大的帮助；二、知识要点课时3 合并同类项1、合并同类项：学习要求：掌握同类项及合并的概念，能熟练地进行合并，掌握有关的应用．（1）、同类项;所含 (字母)相同，并且相同字母的（指数、系数）也相同的项叫做同类项。

如：2a+3a-a+3a2中2a,3a,a是同类项，而2a,3a2则不是同类项。

注意：同类项与系数无关，与字母的顺序无关；如：3a2b与5ba2 （是、不是）同类项。

所有的常数项_______（是/不是）同类项。

例题：1.下列各组整式中不是同类项的是（）12122xy与xyC．－5ab与－5×103ab D．35与－12 3332222．(1)在ab2与ba,－2x3与－2y3，4abc与cab，a3与43，?与5，4a2b3c与4a2b3中，同类项有( )．323A．3m2n与3nm2 B．(A)5组(B)4组(C)3组(D)2组4－3.若am?1b2与3a3bnm是同类项，则m+n的值为______．5（2）、合并同类项：把多项式里的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

（3）、合并同类项法则：所得同类项的系数进行合并，而字母部分不变。

（系数相加或相减，字母及指数保持不变）。

如：2a+3a-a合并同类项得：（2+3-1）a=4a；数字相加或相减，字母不变。

例题：1.若代数式3ax+7b4 与代数式�Ca4b2y 是同类项，则 xy的值是（） A．9 B.-9 C. 4 D.-4 2．下列合并同类项错误的个数有( )．(A)1个(B)2个①5x6＋8x6＝13x12；(C)3个 (D)4个②3a＋2b＝5ab；③8y2－3y2＝5；④6anb2n－6a2nbn＝0．3．合并同类项 (1)6a2b＋5ab2－4ab2－7a2b (2)－3x2y＋2x2y＋3xy2－2xy2 步骤：1.把同类项分别分为一组；=（6a2b－7a2b）+（5ab2－4ab2） 2. 系数合并； =（6－7）a2b +（5－4）ab2 3.计算结果； =- a2b +ab21七年级数学整式的加减课堂学习检测一、填空题1．(1)5ab－2ab－3ab＝______. (2)mn＋nm＝______．(3)－5xn－xn－(－8xn)＝______.(4)－5a2－a2－(－7a2)＋(－3a2)＝_____．(5)若4am?1b2与3a3bn－m5是同类项，则m、n的值为______．(6)若23a2bm与－0.5anb4的和是单项式，则m＝______，n＝_____．(7)把(x－1)当作一个整体，合并3(x－1)2－2(x－1)3－5(1－x)2＋4(1－x)3的结果是_______．(8)把(m－n)当作一个整体，合并(m?n)2?2(m?n)?13(n?m)2?3m?3n＝_______．二、选择题2．(1)在23223ab2与2ba,－2x3与－2y3，4abc与cab，a3与43，?3与5，4a2b3c 与4a2b3中，同类项有( (A)5组(B)4组(C)3组(D)2组(2)若－5x2n-1y4与2x3y4能够合并，则代数式(1-n)2021(n-1)2021的值是( )．(A)0(B)1(C)－1(D)1或－1(3)下列合并同类项错误的个数有( )．(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个①5x6＋8x6＝13x12；②3a＋2b＝5ab；③8y2－3y2＝5；④6anb2n－6a2nbn ＝0．三、解答题3．(1)6a2b＋5ab2－4ab2－7a2b (2)－3x2y＋2x2y＋3xy2－2xy2(3)3m2n?mn2?65mn?n2m?0.8mn?3n2m(4)(a?b)2?2(a?b)2?13(a?b)2?0.5(a?b)2 注意：把（a+b）看作一个整体。

教学过程一、复习预习1. 列代数式(1)若正方形的边长为a，则正方形的面积是；(2)若三角形一边长为a，并且这边上的高为h，则这个三角形的面积为；(3)若x表示正方形棱长，则正方形的体积是；(4)若m表示一个有理数，则它的相反数是；(5)小明从每月的零花钱中贮存x元钱捐给希望工程，一年下来小明捐款元.2. 请说出所列代数式的意义。

3. 观察所列代数式包含哪些运算，有何共同运算特征.二、知识讲解1. 单项式（1）由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式.（2）单独一个数或一个字母也是单项式，如a，5.2. 单项式系数和次数单项式的系数：单项式前面的数字.单项式的次数：各个字母的指数和.3. 多项式多项式概念：几个单项式的和叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫做多项式的项.其中，不含字母的项，叫做常数项. 一个多项式含有几项，就叫几项式.多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数.4. 单项式与多项式统称整式5. 升幂排列与降幂排列（1）把多项式按x的指数从大到小的顺序排列，叫做这个多项式按字母x的降幂排列；（2）若按x的指数从小到大的顺序排列，叫做这个多项式按字母x的升幂排列.6. 同类项（1）所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项(simil a r terms)；（2）所有的常数项都是同类项.7. 合并同类项（1）定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项；（2）合并同类项法则：同类项的系数相加作为新的系数，字母和字母的指数不变.8. 去括号、添括号法则（1）括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里的各项都不改变符号；括号前面是“—”号，把括号和它前面的“—”号去掉，括号里的各项都改变符号. （2）括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不改变符号；括号前面是“—”号，括到括号里的各项都改变符号.9. 整式加减的一般步骤（1）如果有括号，那么先去括号；（2）如果有同类项，再合并同类项.考点/易错点1（1）圆周率π是常数；（2）当一个单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写，如x2，－a2b等；（3）单项式次数只与字母指数有关.考点/易错点2注意：（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，多项式的次数为最高次项的次数；（2）多项式的每一项都包括它前面的符号.考点/易错点3注意：（1）重新排列多项式时，每一项一定要连同它的符号一起移动；（2）含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一字母升幂排列或降幂排列. 考点/易错点4判别同类项的关键（1）“两同”即字母同，同字母的指数同；（2）同类项与其系数的大小无关；（3）同类项与其字母的排列顺序无关.考点/易错点5去括号、添括号时要注意括号前面的符号还有数字，不要出现忘变号和漏乘的现象. 三、例题精析【例题1】【题干】判断下列各代数式哪些是单项式.(1)21x；(2)abc；(3)b2；(4)－5a b2；(5)y；(6)－xy2；(7)－5【答案】（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）【解析】本题考查的是单项式的概念，要特别注意的是（1）形式上特别像单项式，但是出现了“+”号，是多项式.【变形1】下列代数式中，（ ）是单项式．A ．212xy - B ．a b + C ．21x + D ．21a 【答案】A【解析】根据单项式的定义可知，几个字母与数的乘积或单个的字母与单个的数都是单项式，即可得答案．【变形2】下列代数式不是单项式的是（ ）A ．()23--B ．13x - 【答案】D【解析】数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式，可以做出选择．【例题2】【题干】判断下列各代数式是否是单项式。

初一数学-整式加减-教师辅导讲义讲 义 内 容知识概括本章知识点总括：加法运算律运算律 乘法交换律：ba ab = 乘法运算律 乘法结合律：)()(bc a c ab = 乘法分配律：ac ab c b a +=+)(公式（周长、面积、体积、路程、工程等）法则：如ba b a 1⋅=÷（b ≠0）数量关系（或变化规律）定义：用运算符号把数字和字母连接而成的式子，叫做代数式。

单独的一个数或一个字母也叫做代数式。

列代数式：按代数式的书写要求将问题中的数量关系用代数式表示出来。

用代数表示到语言表示（先算的先读） 代数式的意义代数式表示的实际意义（开放型）代数式求值：用数字代替代数式中的字母，就可以求出代数式的值。

定义：由数和字母的乘积组成的式子叫做单项式，单独的数或字母也是单项式。

单项式 系数：单项式中的数字因数次数：单项式中所有字母的指数之和 定义：几个单项式的和叫做多项式 多项式 项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。

次数：多项式中次数最高的单项式的次数，叫做这个多项式的次数 整式：单项式和多项式统称为整式。

合并同类项 括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里的符号都不变。

去括号 括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉后，原括号里各项的符号 都改变探索规律：验证所探索的规律知识点一：单项式的有关概念 1、单项式：像a xb %)151(8.0910162+，，π等，都是数与字母的乘积，这样的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式不含加减计算，只含乘法（包括乘方）和数字做分母的除法运算。

2、单项式的系数：单项式中的数字因数（字母前面的数）叫做这个单项式的系数。

单项式的系数包括它前面的符号。

3、单项式的次数：单项式中所有字母的指数和叫做此单项式的次数。

单独一个非零数的次数是0。

4、注意：圆周率π是常数，当单项式中含有π时，π是单项式的系数的组成部分。