九年级数学圆弧、弦、圆心角间的关系圆周角定理及其推论精选例题和练习..

圆【知识梳理】1.圆的有关概念和性质(1) 圆的有关概念①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．（2）圆的有关性质①圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。

③弧、半圆、优弧、劣弧：，简称弧．，用符号“⌒”表示，弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧．．以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。

半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆．．优弧：大于半圆的弧叫做优弧．．。

(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．．母表示。

)④弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。

⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．．.⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．．．⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.．．．（3）对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）2.与圆有关的角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。

圆心角的度数等于它所对的弧的度数．（2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。

OA BE FCD课前回顾1、垂径定理的概念及其推论：2、回顾练习：如图：AB 是的直径，CD 是弦，过A 、B 两点作CD 的垂线，垂足分别为E 、F ，若AB=10，AE=3，BF=5，求EC 的长。

知识点一、圆心角1、圆心角的定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。

2、圆心角的度数与它所对的弧的度数之间的关系：圆心角的度数等于它所对弧的度数。

3、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

4、圆心角定理推论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧、两条弦的弦心距中有一组量相等，其余各组量都相等。

例题讲练例题一、概念理解1．______________的______________叫做圆心角． 2．如图，若长为⊙O 周长的nm，则∠AOB =____________．与圆有关的角——圆心角、圆周角3．在同圆或等圆中，两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么_ _____________________．4．在圆中，圆心与弦的距离(即自圆心作弦的垂线段的长)叫做弦心距，不难证明，在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们的弦心距也______．反之，如果两条弦的弦心距相等，那么_____________________．5. 求证：在同圆或等圆中，两条弦相等，那么它们的弦心距也相等。

例题二、基础应用6．已知：如图，A、B、C、D在⊙O上，AB=CD．求证：∠AOC=∠DOB．7．已知：如图，P是∠AOB的角平分线OC上的一点，⊙P与OA相交于E，F点，与OB 相交于G，H点，试确定线段EF与GH之间的大小关系，并证明你的结论．8．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为的中点，若∠BAD=20°，求∠ACO的度数．例题三：综合应用9．⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是( )．A．AB>2AM B．AB=2AMC．AB<2AM D．AB与2AM的大小不能确定10．如图，⊙O中，AB为直径，弦CD交AB于P，且OP=PC，试猜想与之间的关系，并证明你的猜想．11．如图，⊙O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在上滑动(点C与A，点D与B不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E．(1)求证：AE=BF；(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由．CAB1、圆周角的定义：顶点在圆上，两条边与圆相交的角叫做圆周角．2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；都等于这条弧所对的圆心角的一半。

圆周角、弧、弦的关系知识梳理教课重、难点作业达成状况典题研究例 1. 如图，过⊙O的直径AB上两点M，N，分别作弦CD，EF，若CD∥EF，AC=BF．求证：（1）弧 BEC=弧 ADF；（ 2） AM=BN．例 2.已知：如图，在⊙O中，弦AB的长是半径OA的倍，C为弧AB的中点．AB、OC订交于P点，求证：四边形 OACB是菱形．例3.如图，AB为半圆的直径，点C、D在半圆上．（2）若点 C、D在半圆上运动，并保持弧 CD的长度不变，（点 C、D不与点 A、B重合）．试比较∠DAB和∠ABC的大小．例 4. 已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB=CD．求证：∠OBA=∠ODC．操练方阵A档（稳固专练）1．（ 2011?巴中）以下说法中，正确的有（）① 两边及一内角相等的两个三角形全等；② 角是轴对称图形，对称轴是这个角的均分线；③ 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等；④ 无理数就是无穷小数．A．1个B．2个C．3 个D．4 个2．（2013?厦门）如下图，在⊙O 中，，∠ A=30 °，则∠ B=（）A ． 150°B．75°C． 60°D． 15°3．（ 2008?庆阳）如图，AB是⊙ O 的直径， CD 为弦， CD⊥ AB 于 E，则以下结论中不必定建立的是（）A ．∠COE= ∠ DOE B ． CE=DE C． OE=BE D．4．（ 2005?茂名）以下三个命题：① 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；条弦；③ 相等圆心角所对的弧相等．此中是真命题的是（② 垂直于弦的直径均分这）A．① ②B．② ③C．① ③D．① ②③5．（ 2013?奉贤区一模）在两个圆中有两条相等的弦，则以下说法正确的选项是（）A ．这两条弦所对的弦心距相等B ．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦所对的弧相等 D ．这两条弦都被垂直于弦的半径均分6．如图，⊙ O 中，假如=2，那么（）A ．AB=AC B．AB=AC C． AB ＜2AC D． A B＞ 2AC7．如图，在⊙ O 中，若点 C 是的中点，∠ A=50 °，则∠ BOC 的度数为（）A ．30°B．40°C． 50°D． 60°8．（ 2013?太仓市二模）如图，直尺ABCD 的一边与量角器的零刻度线重合，若从量角器的中心O 引射线OF 经过刻度120°，交 AD 交于点 E，则∠ DEF=_________ °．9．（ 2013?南京二模）如图，点 A 1、A 2、A 3、A 4、 A 5在⊙ O 上，且====，B、 C 分别是 A 1A2、 A 2A 3上两点， A 1B=A 2C，A 5B 与 A 1C 订交于点 D ，则∠ A 5DC 的度数为 _________．10．如图，AC 是⊙ O 的直径，AB=AC ，AB 交⊙ O 于 E，BC 交⊙ O 于 D，∠ A=44 °，则的度数是_________度．B档（提高精练）11．如图， AB 是半圆的直径，O 是圆心，=2，则∠ ABC=_________度．12．如图，已知圆O 的面积为3π， AB 为直径，弧AC 的度数为80°，弧 BD 的度数为20°，点 P 为直径AB 上任一点，则PC+PD 的最小值为 _________．13．已知半径为 5 的⊙ O 中，弦 AB=5，弦AC=5，则∠ BAC的度数是_________．14．如图，⊙ O 上 B 、D 两点位于弦AC 的双侧，，若∠ D=62°，则∠ AOB=_________．15．如图， PO 是直径所在的直线，且PO 均分∠ BPD ， OE 垂直 AB ， OF 垂直 CD ，则：① AB=CD ；② 弧 AB 等于弧 CD ；③ PO=PE；④弧 BG 等于弧 DG ；⑤ PB=PD；此中结论正确的是 _________（填序号）16．如图是两个半圆，点 O 为大部分圆的圆心， AB 平行于半圆的直径且是大部分圆的弦且与小半圆相切，且AB=24 ，则图中暗影部分的面积是 _________．17．如图， CD 是半圆的直径， O 为圆心， E 是半圆上一点，且∠ EOD=93 °， A 是 DC 延伸线上一点， AE 与半圆订交于点 B，假如 AB=OC ，则∠ EAD=_________ °，∠ EOB=_________ °，∠ ODE=_________ ．18．（ 2010?潍坊）如图， AB 是⊙ O 的直径， C 、 D 是⊙ O 上的两点，且 AC=CD ．（ 1）求证： OC ∥ BD ；（ 2）若 BC 将四边形 OBDC 分红面积相等的两个三角形，试确立四边形OBDC 的形状．19．（ 2008?天津）已知 Rt △ABC 中，∠ ACB=90 °，CA=CB ，有一个圆心角为 45°，半径的长等于 形 CEF 绕点 C 旋转，且直线 CE ，CF 分别与直线 AB 交于点 M ， N ． （Ⅰ）当扇形 CEF 绕点 C 在∠ ACB 的内部旋转时，如图 1，求证： MN 2=AM 2 +BN 2；2 2 2切合勾股定理的形式，需转变为在直角三角形中解决．可将 （思路点拨：考虑 MN =AM +BN 直线 CE 对折，得 △DCM ，连 DN ，只要证 DN=BN ，∠ MDN=90 °就能够了．请你达成证明过程． （Ⅱ）当扇形 CEF 绕点 C 旋转至图 2 的地点时， 关系式 MN 2 =AM 2 +BN 2能否仍旧建立？若建立， 若不建立，请说明原因．CA 的扇△ACM 沿）请证明；20．（ 2004?泉州）如图，⊙ O 为四边形 ABCD 的外接圆，圆心 O 在 AD 上， OC ∥AB ．（ 1）求证： AC 均分∠ DAB ；（ 2）若 AC=8 ， AD ： BC=5： 3，试求⊙ O 的半径．C 档（超越导练）21．（ 2001?宁夏）用三种方法证明：如图，已知在⊙ O 中，半径 OA ⊥ OB ， C 是 OB 延伸线上一点， AC交⊙ O 于 D ，求证：弧 AD 的度数是∠ C 的 2 倍．22．（ 2007?天河区一模）如图，AB 为半圆的直径，点C、 D 在半圆上．（ 1）若，求∠ DAB和∠ ABC的大小；（ 2）若点 C、D 在半圆上运动，并保持弧CD 的长度不变，（点 C、D 不与点 A 、B 重合）．试比较∠ DAB和∠ ABC 的大小．23．如图，⊙ O 的两条弦AB 、 CD 相互垂直，垂足为E，且 AB=CD ．（1）求证： AC=BD（2）若 OF⊥ CD 于 F，OG⊥ AB 于 G，问：四边形 OFEG 是何特别四边形？并说明原因．24．小明学习了垂径定理，做了下边的研究，请依据题目要求帮小明达成研究．（ 1）改换定理的题设和结论能够获得很多真命题．如图1，在⊙ 0 中， C 是劣弧 AB 的中点，直线CD ⊥AB 于点 E，则 AE=BE ．请证明此结论；（ 2）从圆上随意一点出发的两条弦所构成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2， PA， PB 构成⊙ 0 的一条折弦． C 是劣弧 AB 的中点，直线 CD⊥PA 于点 E，则 AE=PE+PB ．能够经过延伸DB 、AP 订交于点F，再连结 AD 证明结论建立．请写出证明过程；（ 3）如图 3， PA．PB 构成⊙ 0 的一条折弦，若 C 是优弧 AB 的中点，直线CD ⊥ PA 于点 E，则 AE ，PE 与 PB 之间存在如何的数目关系？写出结论，不用证明．25．已知：如图， AB 是⊙ O 的直径，点 C、D 为圆上两点，且弧 CB=弧 CD ， CF⊥ AB 于点 F， CE⊥ AD 的延伸线于点 E．求证： DE=BF ．26．如图，已知⊙ O 的两条半径 OA 与 OB 相互垂直， C 为上的一点，且222，求∠ OAC AB +OB =BC的度数．27．如图，四边形ABCD 中， AB ∥CD， AD=DC=DB=p ， BC=q ．求对角线AC 的长．28．如图，已知圆内接△ABC中，AB＞AC，D为的中点，DE⊥ AB于E，求证：BD2﹣AD2=AB ?AC．29．如图，在☉O 中， AB 是直径， C、 D 是圆上两点，使得AD=BC ．求证： AC=BD ．30．如图， AB 为⊙ O 的直径，弦 CD 与 AB 的延伸线交于点P，且 DP=OB ，若∠ P=29°，求弧 AC 的度数．成长踪迹课后检测圆周角弧弦的关系参照答案典题研究例 1.证明：（1）连接OC、OF，∴OC=OF，OA=OB．∵AC=BF，∴△COA≌ △FOB．∴ ∠CAO=∠OBF，∠ ACO=∠ BFO．∴ AC∥ BF ．连接 CF，则∠ BFC= ∠ ACF，∴ 弧 BEC=弧 ADF．（ 2）∵AC∥ BF，∴ ∠ BFC=∠ ACF．∵ CD∥ EF，∴ ∠ EFC=∠ DCF．∴ ∠ ACM=∠ BFN．又 CD∥ EF ，∴ ∠CMA= ∠ BNF．∵ AC=BF，∴ △ ACM≌ △ BFN．∴ AM=BN．例 2.例 3.例 4.证明：过点O分别作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F．∵ AB=CD，∴OE=OF．又∵BO=DO，∴Rt △ BOE≌ Rt △ DOF（ HL），∴ ∠ OBA=∠ ODC．操练方阵A 档（稳固专练）1．解：① 由于SSA不可以判断三角形全等，故本项错误；② 角是轴对称图形，对称轴是这个角的均分线所在的直线，故本项错误；③ 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，故本项正确；④ 无穷不循环小数是无理数．此说法遗漏了不循环这个条件，故本项错误．应选 A．2．3．4．解：∵在⊙ O 中，，∴AB=AC ，∴△ ABC 是等腰三角形，∴∠ B= ∠C；又∠ A=30 °，∴∠ B==75 °（三角形内角和定理）．应选 B．解：由垂径定理可知B、 D 均建立；由圆心角、弧之间的关系可得 A 也建立．不必定建立的是OE=BE ．应选 C．解：正确的选项是①②．一定是同圆或等圆中，相等圆心角所对的弧相等，因此③ 是错误的．应选 A．5．解：A、这两条弦所对的弦心距不必定相等，原说法错误，故本选项错误；B、这两条弦所对的圆心角不必定相等，原说法错误，故本选项错误；C、这两条弦所对的弧不必定相等，原说法错误，故本选项错误；D、这两条弦都被垂直于弦的半径均分（垂径定理），原说法正确，故本选项正确；应选 D．6．解：取弧AB 的中等 D，连结 AD ， DB ，∵=2，∴AD=BD=AC ，在△ADB 中由三角形的三边关系可知AD+BD ＞ AB ，∴2AC＞AB ，即 AB ＜2AC ，应选 C．7．解：∵∠ A=50 °， OA=OB ，∴∠ OBA= ∠OAB=50 °，∴∠ AOB=180 °﹣50°﹣ 50°=80°，∵点C是的中点，OC过O，∴AD=BD ，∵OA=OB ，∴∠ BOC= ∠AOB=40 °，应选 B．8．解：由已知量角器的一条刻度线OF 的读数为 120°，即∠ BOF=120 °，∴∠ COF=180 °﹣∠ BOF=60 °，∵AD ∥BC，∴∠ DEF= ∠ COF=60 °，故答案为： 60．9．解：∵====，∴每段弧的度数是：=72°，则的度数是： 3×72=216°，∴∠ A 5A 1A 2=108°．∵在△A 1A 5B 和△A2A 1C 中，，∴△ A 1A 5B≌△ A 2A 1C（ SAS），∴∠ A 1A 5B=∠ A 2A1C，∴∠ A 5DC= ∠ A 1A 5D+ ∠A 5A 1D= ∠A 5A 1D+∠ A 2A 1C=∠ A 5A 1A 2=108 °．故答案是： 108°．10．解：∵ AB=AC，∠ A=44°∴∠ ABC= （ 180°﹣ 44°） ÷2=68°又∵ AC 是⊙ O 的直径∴∠ AEC=90 °∴∠ ECD=90 °﹣ 68°=22 °∴ 的度数为 44°．故填 44°．B 档（提高精练）.11． 解：∵ AB 是半圆的直径， O 是圆心，∴∠ AOB=180 °；又∵ =2 ，∴ 2∠ AOC= ∠ BOC ，∴∠ BOC=120 °；∵ OB=OC （⊙ O 的半径），∴∠ OBC= ∠ OCB （等边平等角） ；∴∠ BOC+ ∠ OBC+ ∠ OCB=2 ∠ ABC+ ∠ COB=180 °（三角形内角和定理） ， ∴∠ ABC=30 °．故答案是： 30°．12． 解：设圆 O 的半径为 r ，∵⊙ O 的面积为 3π， ∴ 3π=πR 2，即 R= ．作点 C 对于 AB 的对称点 C ′，连结 OD ， OC ′， DC ′，则 DC ′的长即为 PC+PD 的最小值，∵ 的度数为 80°，∴= =80 °， ∴ =100°，∵ =20 °，∴ = + =100 °+20 °=120 °， ∵ OC ′=OD ，∴∠ ODC ′=30 °∴ DC ′=2OD ?cos30°=2 × =3 ，即 PC+PD 的最小值为 3．故答案为： 3．13． 解：如图，连结 OC ， OA ，OB ．∵ OC=OA=AC=5 ，∴△ OAC 是等边三角形，∴ CAO=60 °，∵ OA=OB=5 ， AB=5，∴OA 2+OB2=50=AB ，2∴△ OAB 是等腰直角三角形，∠OAB=45 °，点 C 的地点有两种状况，如左图时，∠ BAC= ∠CAO+ ∠ OAB=60 °+45°=105°；如右图时，∠ BAC= ∠CAO ﹣∠ OAB=60 °﹣ 45°=15 °．14．解：连结OC．∵∠ D= ∠AOC （同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；又∵（已知），∴∠ AOB= ∠BOC （等弧所对的圆心角相等）；∴∠ AOB= ∠D=62 °．故答案是： 62°．15．解：PO均分∠ BPD，OE垂直AB，OF垂直CD，则OE=OF，即弦 AB ，CD 的弦心距相等，因此 AB=CD ，弧 AB 等于弧 CD ，则弧 EG 等于弧 DG，则弧BG 等于弧 DG；故①、② 、④正确；易证△PEO≌△ PFO，则 PE=PF，依据 AB=CD ，获得 BE=DF ，则 PB=PD，故⑤正确．16．解：将小圆向右平移，使两圆变为齐心圆，如图，连OB ，过 O 作 OC⊥ AB 于 C 点，则 AC=BC=12 ，∵ AB 是大部分圆的弦且与小半圆相切，∴ OC 为小圆的半径，2222∴ S 暗影部分 =S 大部分圆﹣ S 小半圆 =π?OB ﹣π?OC =π（ OB﹣OC ）2=πBC =72π．故答案为72π．17．解：设∠ A=x，∵AB=OC ，∴∠ BOA=x ，∴∠ EBO=2x ，而 OB=OE ，∴∠ AEO=2x ，∴∠EOD= ∠A+ ∠AEO ，而∠ EOD=93 °，∴x+2x=93 °，∴x=31°，∴∠ EOB=180 °﹣ 4x=180 °﹣ 124°=56 °，∴∠ ODE= （180°﹣ 93°）÷2=43.5°．故答案为31°， 56°， 43.5°．18．（1）证明：∵ AC=CD，∴弧 AC 与弧 CD 相等，∴∠ ABC= ∠CBD ，又∵ OC=OB （⊙ O 的半径），∴∠ OCB= ∠OBC ，∴∠ OCB= ∠CBD ，∴OC∥BD ；（ 2）解：∵ OC∥ BD ，不如设平行线OC 与 BD 间的距离为h，又 S△OBC=OC ×h， S△DBC=BD ×h，由于 BC 将四边形OBDC 分红面积相等的两个三角形，，即S△OBC=S△DBC∴OC=BD ，∴四边形OBDC 为平行四边形，又∵ OC=OB ，∴四边形OBDC 为菱形．。

重点考点训练：圆心角、弧、弦以及圆心角与圆周角关系 知识梳理一、圆心角、弧、弦之间的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦________．2．推论同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等．三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立．二、圆心角与圆周角1．定义顶点在________上的角叫做圆心角；顶点在________上，角的两边和圆都________的角叫做圆周角．2．性质(1)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对________的度数的一半．(2)同弧或等弧所对的圆周角________，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧________．(3)半圆(或直径)所对的圆周角是______，90°的圆周角所对的弦是________．三、圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补．重点考题1.如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝34°，则∠AEO 的度数是( )A.51°B.56C.68°D.78°2．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠AOC ＝60°，则∠ABC 的度数是__________°.3．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D ，E 是⊙O 上的点，则∠1＋∠2＝__________.4. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，则∠BCD 的度数为( )A.100°B.110°C.120°D.135°5.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵，连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连接AC.若∠ABC ＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为( )A.45°B.50°C.55°D.60°6.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，四边形ABCO 是平行四边形，则∠ADC ＝( )A.45°B.50°C.60°D.75°7.如图，在⊙O 中，点A 、B 、C 在⊙O 上，且∠ACB ＝110°，则∠α＝ .8.如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD ＝105°，则∠DCE 的大小是( )A.115°B.105°C.100°D.95°9.如图，点O 为优弧ACB ︵所在圆的圆心，∠AOC ＝108°，点D 在AB 的延长线上，BD ＝BC ，则∠D ＝ .10.如图，把直角三角板的直角顶点O 放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M 、N ，量得OM ＝8 cm ，ON ＝6 cm ，则该圆玻璃镜的半径是( )A.10B.5 cmC.6 cmD.10 cm11.如图，∠BOD的度数是( )A.55°B.110°C.125°D.150°12.如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D. (1)求BC的长；(2)求BD的长.13．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F．（1）求证：CF﹦BF；（2）若CD﹦6，AC﹦8，则⊙O的半径为，CE的长是．14．已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．（1）求证：AB=AC；（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．。

1圆的基本性质考点一、圆的相关概念 （1）圆的定义圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。

（2）圆的几何表示以点O 为圆心的圆记作“⊙O ”，读作“圆O ”考点二、弦、弧等与圆有关的定义（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（如图中的AC ）（2）直径：经过圆心的弦叫做直径。

（如图中的AB ）直径等于半径的2倍。

（3）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（4）弧、优弧、劣弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A ，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”。

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）考点三、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理及其推论可概括为：过圆心直径 平分弦知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧考点四、圆的对称性 （1）圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

（2）圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

2考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理（1）圆心角：顶点在圆心，角的两边和圆相交的角叫做圆心角。

（2）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。

（3）弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相 等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

圆心角定理【知识要点】（1）圆的对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．圆不仅是轴对称图形，而且还是 图形，圆独有的性质是 ． （2）概念：弦、弦心距弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径。

直径是圆中最大的弦。

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。

【典型例题】例1．（1）过已知⊙O 中一已知点P 的弦中，最短的弦是 ；最长的弦是 ．（2）已知⊙O 中，AB 是直径，长10cm ，点M 为⊙O 内的一点，OM=4cm ，则⊙O 中过点M 的弦中，最长的弦等于 ．（3）在⊙O 中，弦AB ∥弦CD ，且AB 、CD 的度数分别为︒120和︒60，⊙O 的半径为6cm ，则AB 与CD 之间的距离是 ．（4）如图1，⊙O 中，弦CD 与直径AB 交于E ，且∠AEC=︒30，AE=1cm ，BE=5cm ，则弦CD 的弦心距OF= cm ，弦CD 的长为 cm.（3）概念：弧，圆心角弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。

弧分为半圆，优弧、劣弧三种。

圆心角 ：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

例2．（1）如图2，在△ABC 中，︒=∠︒=∠25,90B BCA ，以C 为圆心，CA 为半径的圆交AB 于D ，则AD 的度数是 ．（2）在⊙O 中，弦AB 与过B 点的半径夹角为︒55，那么弦AB 所对的优弧AMB 的度数为 。

（3）一条弦的弦心距等于它所在圆的直径的41，则这条弦所对的劣弧的度数是 。

（4）已知⊙O 中，AB=2CD ，则弦AB 2CD ．（填“〉”、“〈”或“=” ）· A C FE ODB 图1· O 图4AB C图2CBDD A图3·OE C AB（5）如图3所示，已知C 是⊙O 直径AB 上一点，过C 作弦DE ，使CD=CO ，若AD 的度数为︒40，BE 的度数 。

（6）如图4，在⊙O 中，AB 的度数是︒50，∠OBC=︒40，那么∠OAC 等于 。

第08讲圆心角与圆周角（核心考点讲与练）【知识梳理】一．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．二．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．三．相交弦定理（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．几何语言：若弦AB、CD交于点P，则P A•PB＝PC•PD（相交弦定理）（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝P A•PB（相交弦定理推论）．【核心考点精讲】一．圆心角、弧、弦的关系（共4小题）1．（2021•江北区校级开学）在⊙O中，如果＝2．那么弦AB与弦CD之间的关系是（）A．AB＝2CD B．AB＞2CD C．AB＜2CD D．无法确定【分析】根据圆周角、弧、弦的关系，三角形的三边关系即可得到结论．【解答】解：取的中点E，连接AE，BE，则＝，∵＝2，∴＝＝，∴CD＝AE＝BE，∵AE+BE＞AB，∴AB＜2CD．故选：C．【点评】本题考查了圆周角、弧、弦的关系，三角形的三边关系，熟练掌握圆周角、弧、弦的关系，三角形的三边关系是解题的关键．2．（2020秋•靖江市期中）已知弦AB的长等于⊙O的半径，弦AB所对的圆周角是30或150度．【分析】在圆中，由半径和弦组成的三角形是等腰三角形，又因为AB的长等于半径，所以由弦和半径组成的三角形是等边三角形，根据等边三角形的性质，弦所对的圆心角为60°，所以弦所对的圆周角为30°或150°．【解答】解：如图示，AB＝OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠ACB＝30°，∴∠ADB＝150°．故弦AB所对的圆周角是30或150度．故答案为：30或150．【点评】本题极易漏解，需注意圆中的一条弦对着两个圆周角，它们是互补关系．3．（2021•广州模拟）如图，AB，CD为⊙O内两条相交的弦，交点为E，且AB＝CD，求证：AD∥BC．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系和平行线的判定定理即可得到结论．【解答】解：∵AB＝CD，∴＝，∴﹣＝﹣，即＝，∴∠A＝∠B，∴AD∥BC．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．4．（2022春•永嘉县月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，E都在⊙O上，OC⊥AB，＝2，DE∥AB交OC于点D，延长OC至点F，使FC＝OC，连接EF．（1）求证：CD＝OD．（2）若⊙O的直径是4，求EF的长．【分析】（1）连接OE、CE，如图，利用＝2得到∠COE＝2∠AOE＝60°，则可判定△OCE为等边三角形，接着证明DE⊥OC，然后根据等边三角形的性质得到结论；（2）先利用勾股定理计算出DE＝，然后在Rt△EFD中利用勾股定理计算EF．【解答】（1）证明：连接OE、CE，如图，∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∵＝2，∴∠COE＝2∠AOE，∴∠COE＝60°，而OE＝OC，∴△OCE为等边三角形，∵DE∥AB，OC⊥AB，∴DE⊥OC，∴CD＝OD；（2）解：∵⊙O的直径是4，∴OE＝OC＝CF＝2，CD＝OD＝1，在Rt△ODE中，DE＝＝，在Rt△EFD中，EF＝＝＝2．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了等边三角形的判定与性质．二．圆周角定理（共5小题）5．（2022•浦江县模拟）已知：如图，OA是⊙O的半径，若∠BAO＝27°，则圆周角∠BDA 的度数是（）A．63°B．60°C．58°D．54°【分析】连接OB，可先求出∠AOB的度数，进而根据圆周角定理可得∠BDA的度数．【解答】解：连接OB，∵OA＝OB，∠BAO＝27°，∴∠BOA＝180°﹣2∠BAO＝180°﹣54°＝126°，∴∠BDA＝∠BOA＝63°，故选：A．【点评】本题考查圆的性质定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．6．（2021秋•嘉兴期末）如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，若∠ABC＝70°，则∠BAC 的度数为（）A．70°B．60°C．40°D．20°【分析】由AB是⊙•O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠C的度数，又由∠ABC＝70°，利用直角三角形中两锐角互余，即可求得∠BAC的度数．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵∠ABC＝70°，∴∠BAC＝90°﹣70°＝20°，故选：D．【点评】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握直径所对的圆周角是直角定理的应用，注意数形结合思想的应用．7．（2022•柯桥区一模）如图，在⊙O中，AD是直径，∠ABC＝35°，则∠CAD等于（）A．75°B．65°C．55°D．45°【分析】由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ADC的度数，又由AD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得答案．【解答】解：∵∠ABC＝35°，∴∠ADC＝∠ABC＝35°，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠ADC＝55°．故选：C．【点评】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．8．（2022•文成县一模）如图，点A，B，C都在⊙O上，∠AOC：∠BOC＝2：5，OA∥BC，则∠ABC＝20°．【分析】根据圆周角定理及三角形内角和定理求解即可．【解答】解：∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∵OA∥BC，∴∠A＝∠ABC，∵∠AOC＝2∠ABC，∠AOC：∠BOC＝2：5，∴∠BOC＝5∠ABC，∴∠AOB＝7∠ABC，在△AOB中，∠A+∠AOB+∠OBA＝180°，∴9∠ABC＝180°，∴∠ABC＝20°，故答案为：20．【点评】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．9．（2021秋•嵊州市期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径作⊙O，分别交BC，AC于点D，E，连结OD，DE．（1）求证：BD＝DC．（2）若∠BAC＝50°，求∠ODE的度数．【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到∠B＝∠ODB，∠B＝∠C，再判断OD∥AC，然后利用平行线分线段成比例得到BD＝DC；（2）利用三角形内角和计算出∠B＝∠C＝65°，则∠ODB＝∠B＝65°，再利用圆内接四边形的性质得到∠EDC＝∠A＝50°，然后利用平角定义可计算出∠ODE的度数．【解答】（1）证明：∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∴＝＝1，∴BD＝DC；（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣50°）＝65°，∴∠ODB＝∠B＝65°，∵∠EDC＝∠A＝50°，∴∠ODE＝180°﹣∠ODB﹣∠EDC＝180°﹣65°﹣50°＝65°．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质．三．相交弦定理（共2小题）10．（2021秋•东阳市月考）已知四边形ABCD两条对角线相交于点E，AB＝AC＝AD，AE ＝3，EC＝1，则BE•DE的值为（）A．6B．7C．12D．16【分析】由题意可知AB＝AC＝AD，点D、C、B在以点A为圆心的圆周上运动，由相交弦定理可得，BE•DE＝CE•EF即可求出答案．【解答】解：∵AB＝AC＝AD，∴点D、C、B在以点A为圆心的圆周上运动，AE＝3，EC＝1，∴AC＝AF＝AE+CE＝3+1＝4，EF＝AE+AF＝3+4＝7，由相交弦定理可得，BE•DE＝CE•EF＝1×7＝7，故选：B．【点评】本题考查了相交弦定理，根据圆心和半径构建圆是解题的关键．11．（2021秋•余姚市期中）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP＝6，BP＝8，CP ＝4，则CD长为（）A．16B．24C．12D．不能确定【分析】由相交线定理可得出AP•BP＝CP•DP，再根据AP＝6，BP＝8，CP＝4，可得出PD的长，从而得出CD即可．【解答】解：∵AP•BP＝CP•DP，∴PD＝，∵AP＝6，BP＝8，CP＝4，∴PD＝12，∴CD＝PC+PD＝12+4＝16．故选：A．【点评】本题考查了相交线定理，圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．【过关检测】一．选择题（共10小题）1．（2021秋•西城区校级期中）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角的大小是（）A．60°B．75°C．80°D．90°【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到圆心，进而解答即可．【解答】解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．连接AQ，CQ，在△APQ与△CQN中，∴△APQ≌△CQN（SAS），∴∠AQP＝∠CQN，∠P AQ＝∠CQN∵∠AQP+∠P AQ＝90°，∴∠AQP+∠CQN＝90°，∴∠AQC＝90°，即所对的圆心角的大小是90°，故选：D．【点评】本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法．2．（2022•富阳区一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上一点，连接AD，AG，GD，BC．则下列结论错误的是（）A．∠ADC＝∠AGDB．若∠ADC＝∠GAD，则＝2C．若＝，则△ADG是等腰三角形D．若＝，则△AGF是等腰三角形【分析】根据圆周角定理求解判断即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴＝，∴＝，∴∠ADC＝∠AGD，故A正确，不符合题意；∵∠ADC＝∠GAD，∴＝，∴＝，∵＝2，∴＝2，故B正确，不符合题意；若＝，∴＝，∵＝，∴＝，∴AD＝DG，∴△ADG是等腰三角形，故C正确，不符合题意；由＝，不能推出△AGF是等腰三角形，故D错误，符合题意；故选：D．【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．3．（2022•舟山二模）如图，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，∠ABC＝25°，则弧CD的度数（）A．50°B．25°C．100°D．65°【分析】连接OA，根据圆周角定理可得∠AOC的度数，从而求出的度数，然后再利用垂径定理可得＝，即可解答．【解答】解：连接OA，∵∠ABC＝25°，∴∠AOC＝2∠ABC＝50°，∴的度数为50°，∴BC是⊙O的直径，AD⊥BC，∴＝，∴弧CD的度数为50°，故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，以及垂径定理是解题的关键．4．（2022•西湖区一模）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，设∠ABC ＝α，∠ABD＝β，∠AEC＝γ，则（）A．α+β﹣γ＝90°B．β+γ﹣α＝90°C．α+γ﹣β＝90°D．α+β+γ＝180°【分析】连接AC，根据圆周角定理及三角形外角性质求解即可．【解答】解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠BCD+∠ACD＝90°，∵∠ACD＝∠ABD＝β，∴∠BCD＝90°﹣β，∵∠AEC＝∠ABC+∠BCD＝γ，∠ABC＝α，∴γ＝α+90°﹣β，即γ+β﹣α＝90°，故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理，熟记“直径所对的圆周角等于90°”是解题的关键．5．（1999•山西）如图，⊙O中，弦AB和CD相交于P，CP＝2.5，PD＝6，AB＝8，那么以AP、PB的长为两根的一元二次方程是（）A．x2﹣8x﹣15＝0B．x2﹣8x+15＝0C．x2+8x﹣15＝0D．x2+8x+15＝0【分析】如果设AP＝a，PB＝b；根据相交弦定理：AP×PB＝DP×PC；可知ab＝15，又根据a+b＝AB＝8；根据一元二次方程根与系数的关系，可判断谁是正确的．【解答】解：设AP＝a，PB＝b；则根据相交弦定理可得：AP×PB＝DP×PC，∴ab＝15，又知：a+b＝AB＝8；∴根据一元二次方程根与系数的关系可得方程为：x2﹣8x+15＝0；故选：B．【点评】本题考查的知识点是相交弦定理和一元二次方程根与系数的关系．6．（2022•鹿城区校级二模）如图，△ABC的两顶点A，B在⊙O上，点C在圆外，∠C＝46°，边AC交⊙O于点D，DE∥BC经过圆心交⊙O于点E，则的度数为（）A．44°B．80°C．88°D．92°【分析】根据平行线的性质得到∠ADE＝46°，进而得到的度数，再用180°减去的度数即可得到答案．【解答】解：∵DE||BC，∴∠C＝∠ADE＝46°，∴的度数是92°，∴的度数为180°﹣92°＝88°．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质和圆周角定理，解题的关键是先求出的度数．7．（2022•黄岩区一模）如图，△ABC是等边三角形，点A，点B在数轴上，点A表示数﹣2，点B表示数2，以AB为直径作圆交边AC于点P，以B为圆心，BP为半径作弧交数轴于点Q，则点Q在数轴上表示的数为（）A．B．2C．2﹣2D．2﹣2【分析】根据题意可得AB＝4，利用等边三角形的性质可得∠BAC＝60°，由AB是⊙O的直径可得∠APB＝90°，由三角形内角和定理可得∠ABP＝30°，由此可得AP＝2，根据勾股定理可以求得BP的长，进而可以得到点Q表示的数．【解答】解：由题意可得AB＝4，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∴∠ABP＝30°，∴AP＝AB＝2，在Rt△APB中，AB＝4，AP＝2，∴PB＝＝＝＝2，∵BP为半径作弧交数轴于点Q，∴BQ＝PB＝2．∴点Q表示数为2﹣2．故选：C．【点评】本题主要考查实数与数轴、圆周角定理、勾股定理等知识，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理和勾股定理的运用．8．（2022•永康市模拟）如图，线段AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠AOC＝60°，点P 是线段AB延长线上的一点，连结PC，则∠APC的度数不可能是（）A．30°B．25°C．10°D．5°【分析】连接CB，根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求出∠ABC的度数，再利用三角形的外角即可解答．【解答】解：连接CB，∵∠AOC＝60°，∴∠ABC＝∠AOC＝30°，∵∠ABC是△PBC的一个外角，∴∠ABC＞∠APC，∴∠APC的度数不可能是30°，故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．9．（2022•东坡区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为（）A．10B．13C．15D．16【分析】连接OF，首先证明AC＝DF＝12，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，连接OF．∵DE⊥AB，∴DE＝EF，＝，∵点D是弧AC的中点，∴＝，∴＝，∴AC＝DF＝12，∴EF＝DF＝6，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，则有x2＝62+（x﹣3）2，解得x＝，∴AB＝2x＝15，故选：C．【点评】本题考查垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．10．（2021秋•杭州期末）如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知AD＝BD＝4，PC＝6，那么CD的长为（）A．6B．7C．8D．9【分析】根据圆周角定理，可证∠C＝∠B，又由AD＝BD，可证∠B＝∠DAB，即得∠DAP ＝∠C，可证△DAP∽△DCA，得到AD：CD＝DP：AD，代值计算即可求CD的长．【解答】解：连接AC，由圆周角定理知，∠C＝∠B，∵AD＝BD∴∠B＝∠DAB，∴∠DAP＝∠C∴△DAP∽△DCA，∴AD：CD＝DP：AD，得AD2＝DP•CD＝CD•（CD﹣PC），把AD＝4，PC＝6代入得，CD＝8．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．二．填空题（共4小题）11．（2021秋•亭湖区期末）如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是51°．【分析】由＝＝，可求得∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．【解答】解：如图，∵＝＝，∠COD＝34°，∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝78°．又∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE，∴∠AEO＝×（180°﹣78°）＝51°．故答案为：51°．【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．12．（2014秋•柯城区校级期中）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点E，AE＝2cm，BE ＝6cm，DE＝3cm，则CE＝4cm；学以致用：点P是直径为10的⊙Q中一点且PQ＝2，过点P作弦HK，则线段PH与线段PK的积等于21．【分析】根据相交弦定理得AE•BE＝CE•DE，然后把AE＝2，BE＝6，DE＝3代入即可计算出CE的长；如图过P点的直径为MN，先计算出PM＝QM﹣PQ＝3，PN＝QN+PQ＝7，然后根据相交弦定理进行计算．【解答】解：∵AE•BE＝CE•DE，∴2×6＝3×CE，∴CE＝4；如图，过P点的直径为MN，∵PQ＝2，∴PM＝QM﹣PQ＝5﹣2＝3，PN＝QN+PQ＝5+2＝7，∵PH•PK＝PM•PN，∴PH•PK＝3×7＝21．故答案为4；21．【点评】本题考查了相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．13．（2021秋•定海区期末）一块直角三角板的30°角的顶点A落在圆O上，两边分别交圆O于B、C两点，则弧BC的度数为60°．【分析】利用圆周角定理，圆心角、弧、弦的知识解决问题即可．【解答】解：连接OB、OC，∵∠A＝30°，又∵∠BOC＝2∠A，∴∠BOC＝60°，∴弧BC的度数为60°，故答案为：60°．【点评】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是求得圆心角的度数．14．（2021秋•温州期末）如图，点A在半圆O上，BC是直径，．若AB＝2，则BC的长为．【分析】连接OA，由圆心角，弦，弧的关系可得OA⊥BC，结合等腰直角三角形的性质可求解OB的长，进而可求解BC的长．【解答】解：连接OA，∵，BC是直径，∴OA⊥BC，∵OA＝OB，AB＝2，∴OA＝OB＝，∴BC＝2OA＝．故答案为：．【点评】本题主要考查圆周角，弦，弧的关系，等腰直角三角形的性质，求解OA，OB的长是解题的关键．三．解答题（共6小题）15．（2021秋•淳安县期中）如图，在⊙O中，弦AD＝BC，连接AB、CD．求证：AB＝CD．【分析】在⊙O中，由弦AD＝BC，可得＝，根据等式的性质可得+＝+，即＝，进而得出AB＝CD．【解答】解：在⊙O中，∵AD＝BC，∴＝，∴+＝+，即＝，∴AB＝CD．【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系以及等式的性质，掌握圆心角、弧、弦的关系以及等式的性质是正确解答的关键．16．（2021秋•上城区期中）如图，AD、BC是⊙O的两条弦，且AB＝CD，求证：AD＝BC．【分析】根据弦和弧的关系，由AB＝CD可得，进而得到＝，即可证明AD ＝BC．【解答】证明：∵AB＝CD，∴，∴，∴＝，∴AD＝BC．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，掌握圆心角，弧、弦之间的关系定理是解题的关键．17．（2021秋•长兴县期中）如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在，上，且AB＝CD，M是的中点．求证：MB＝MD．【分析】欲证明BM＝DM，只要证明＝即可．【解答】证明：∵M是的中点，∴＝，∵AB＝CD，∴＝，∴+＝+，即＝，∴MB＝MD．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能熟记圆心角、弧、弦之间的关系是解此题的关键．18．（2021秋•诸暨市期末）如图，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，连接CD、BD、AD，CD＝BD．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．（1）求证：CD＝DE；（2）若AC＝6，半径OB＝5，求BD的长．【分析】（1）连接BC，由CD＝BD，AB为直径可得∠E＝∠ECD，进而求解．（2）由勾股定理求出BC的值，再由△AEB为等腰三角形可得BD＝BE，再通过勾股定理求解．【解答】（1）证明：∵AB为直径，∴∠ADB＝∠ADE＝90°，∵CD＝BD，∴∠EAD＝∠DAB，∴∠E＝∠ABE，连接BC，则∠DCB＝∠DBC，∠ACB＝∠ECB＝90°，∵∠EBC+∠E＝90°，∠DCB+∠ECD＝90°，∴∠E＝∠ECD，∴CD＝DE．（2）解：在Rt△ACB中，由勾股定理得BC＝＝＝8，∵∠E＝∠ABE，∴△AEB为等腰三角形，∴AB＝AE，BD＝DE，∴CE＝AE﹣AC＝AB﹣AC＝10﹣6＝4，在Rt△BCE中，由勾股定理得BE＝＝＝4，∴BD＝BE＝2．【点评】本题考查圆与三角形的结合，解题关键是掌握圆周角定理，掌握解直角三角形的方法．19．（2021秋•滨江区期末）如图，在⊙O中，AB＝CD，弦AB与CD相交于点M．（1）求证：＝．（2）连接AC，AD，若AD是⊙O的直径，求证：∠BAC+2∠BAD＝90°．【分析】（1）利用圆心角，弧，弦之间的关系解决问题即可；（2）利用圆周角定理，三角形内角和定理，三角形的外角的性质解决问题．【解答】（1）证明：如图，∵AB＝CD，∴＝，∴+＝+，∴＝．（2）证明：连接AD．∵＝，∴∠ADC＝∠BAD，∴∠AMC＝∠MAD+∠MDA＝2∠BAD，∵AD是直径，∴∠ACD＝90°，∴∠CAB+∠AMC＝90°，∴∠CAB+2∠BAD＝90°．【点评】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．（2001•温州）⊙O的两条弦AB，CD交于点P，已知AP＝4，BP＝6，CP＝3，求CD 的长．【分析】求CD，已知了CP的长，关键是求出PD的长．已知了AP，BP的长，可根据相交弦定理来求出PD的长，进而可求出CD的长．【解答】解：∵圆O的弦AB，CD相交于P，∴AP•PB＝CP•PD，∵AP＝4，BP＝6，CP＝3，∴PD＝AP•PB÷CP＝4×6÷3＝8，∴CD＝CP+PD＝3+8＝11．即：CD的长是11．【点评】本题主要考查的是相交弦定理的应用，根据相交弦定理求出PD的长是解题的关键．。

第九讲：弧、弦、圆心角、圆周角一、基本知识:1、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分 垂径定理推论：平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且平分2、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 ，所对的 ____. 圆心角定理推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一对量相等，那么 都相等。

注解：在由“弦相等，得出弧相等”或由“弦心距相等，得出弧相等”时，这里的“弧相等”是指对应的劣弧与劣弧相等，优弧与优弧相等。

3、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角定理推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是 ；90°的圆周角所对的弦是______圆周角定理推论2：在同圆或等圆中， 所对的圆周角相等； _______ 的也相等 4、圆内接四边形的对角之和为 。

二、例题讲解 1、圆心角定理(1)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB=AC=13,BC=24，求⊙O 的半径为 ．⑵ 下列说法正确的是（ ）A ．相等的圆心角所对的弧相等 B.等弧所对的圆心角相等 C ．相等的弦所对的圆心到弦的距离相等 D.圆心到弦的距离相等,则弦相等⑶ 如图AB 是⊙O 的直径，弧AD=弧AC ，求证：∠BOD= ∠ BOC（4）如图，⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于P ，M 、N 分别是 AB 、CD 的中点，PM ＝PN ，求证：AB ＝CD2、圆周角定理⑴ 求圆中的角x 的度数？⑵ 如图，AB 是⊙O 的直径，∠ A =80°，∠ABC =______.B⑶ 如图，D 是弧AC 的中点，与∠ABD 相等的角是________________.⑷ 如图，已知AB 为⊙O 的直径， C 为⊙O 外一点， BC 交⊙O 于 AC 交⊙O 于D ，∠DOE =60°，求∠ C 的度数.三、练 习1． 如图所示，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，∠ACB 的 角平分线CD 交⊙O 于D ，则∠ABD ＝_____________度。

圆心角定理【知识要点】1、圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．2、圆心角 顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。

推论： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦或两条弦的弦的弦心距中有一组量相等，那么它所对应的其余各组量都分别相等。

4、整个圆被分成360份，每一份的弧叫做10的弧，圆心角的度数等于它所对弧的度数。

【经典例题】例1 已知，如图7—40，⊙O 的弦AB 、CD 相交于P ，PO 平分∠APD ． 求证：AB ＝CD ．例2 如图AB 是⊙o 的直径，过AB 上任意一点Q 作与AB 相交成ο45的弦PR ，如果⊙o 的半径为R ，求证：22QP PR +是定值例3．如图所示，已知AB 为⊙O 的弦，从圆上任一点引弦CD ⊥AB ，作∠OCD 的平分线· A BROPQ交⊙O 于P 点，边结PA 、PB ．求证:PA=PB.例4．如图所示， ABCD （BC AB <）的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交BC ，AD 于E 、F ，延长BA 交⊙O 于M 。

求证：EF=FM【课堂训练】（时间为40分钟，看谁做得又对又快。

）得分1．在同圆或等圆中，如果圆心角∠BOA 等于另一圆心角∠COD 的2倍，则下列式子中能成立的是（ ）A 、AB=2CDB 、AB=2CDC 、AB <2CD D 、AB=CD 2．∠AOB ，B O A ''∠分别为⊙O 、⊙o '的圆心角，若∠AOB=B O A ''∠，则（ ） A 、⊙O 、⊙o '是等圆 B 、AB=B A '' C 、AB=B A '' D ．AB 的度数与B A ''的度数相等3．在ABC ∆中，∠B=︒90,以BC 为直径作圆交AC 于E,若BC=12,AB=312,那么BE 的度数( )A 、︒60B 、︒80C 、︒100D 、︒120 4．⊙O 的半径为10cm ，AB 是︒60，那么弦AB 的弦心距长为（ ）A 、cm 310B 、cm 3215C 、cm 35D 、cm 325ABECDFMP5．下列语句中，正确的个数为（ ）①等弧的度数相等；②等弧的长度相等；③度数相等弧是等弧；④长度相等的孤是等弧；A 、1个别B 、2个C 、3个D 、4个 6．如右图，在两半径不同的同心圆中，∠AOB=B O A ''∠=︒60，则（ ）A 、AB=B A ''B 、AB >B A ''C 、AB 的度数=A ''的度数D 、AB 的长度=B A ''的长度 二、解答题（13分）1、如图，⊙O 的弦CB 、ED 的延长线交于点A ，且BC=DE ．求证：AC=AE ．2、如图所示，已知C 是⊙O 直径AB 上一点，过C 作弦DE ，使CD=CO ，若AD 的度数为︒40BE 的度数．AB·O D EC O ．ABB ' A '【作业】日期 姓名 完成时间 成绩一、填空1．已知⊙O 中，AB 是直径，长10cm ，点M 为⊙O 内的一点，OM=4cm ，则⊙O 中过点M 的弦中，最长的弦等于 ．2．在⊙O 中，弦AB ∥弦CD ，且AB 、CD 的度数分别为︒120和︒60，⊙O 的半径为6cm ，则AB 与CD 之间的距离是 ．3．如图1，⊙O 中，弦CD 与直径AB 交于E ，且∠AEC=︒30，AE=1cm ，BE=5cm ，则弦CD 的弦心距OF= cm ，弦CD 的长为 cm.4.一条弦分圆周为7:5两部分，则这条弦所对的圆心角等于 度．5．如图2所示，在ABC ∆中，∠A=︒72，⊙O 截ABC ∆的三条边长所得的三条弦等长，则∠BOC= .6．如图3所示，直径AB ⊥弦CD ，垂足为E ，∠AOC=︒130，则AD 的度数 ，CBD 的度数 ．7．直径为20cm 的⊙O 为︒60，则弦AB 的弦心距为 ．8．如图4，⊙O 的半径OP=10cm ，弦AB 过OP 中点Q ，∠OQB=︒45，则弦AB 的弦心距 ．9．P 为⊙O 内一点，已知OP=1cm ，⊙O 的半径r=2cm ，则过P 点弦中，最短的弦长为 10．在⊙O 中，AB 与CD 为两平行弦，AB >CD ，AB 、CD 所对圆心角分别为︒︒60,120，若⊙O 的半径为6，则AB 、CD 两弦相距 （有两种情况，）·O AB CDE · A C FE OD 图1·OABC图2图30·A PB Q图4。

弧.弦.圆心角.圆周角点、直线、圆与圆的位置关系仁如图，四边形ABCD内接于0O,若ZBOD=138°,则它的一个外角ZDCE等于（）.A. 69。

B. 42°C・ 48。

D・ 38°2•如图所示，Zl, Z2, Z3的大小关系是（）.A・ Z1>Z2>Z3 B・ Z3>Z1>Z2 C・ Z2>Z1>Z3 D・ Z3>Z2>Z13.如图，在矩形ABCD中，AB=4, AD=3,以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范囤是________ ・仁这是一个射门游戏, 球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张角（ZABC）有关。

2、我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线，那么经过一个点能作几个圆？经过两点、三点……呢？结论:知识点一（弧、弦、IS心角、圆周角）【知识梳理】知识点一、弧、弦、圆心角的关系1•圆心角定义如图所示，ZAOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角.2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等.知识点二、圆周角1.圆周角定义：像图中ZAEB、ZADB、ZACB这样，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.2.圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。

的圆周角所对的弦是直径.4•圆内接四边形：（1）左义：圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形.（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）.5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，它们中间只要有一组量相等, （例如圆心角相等），那么英它各组量也分別相等（即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等）. *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各•组量也分别不等.【例题精讲】类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用例1.已知：如图所示，OO中弦AB=CD.求证：AD = BC.【变式】如图所示，已知AB是00的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM丄AB, DN丄AB.求证:AC = BD.类型二、圆周角定理及应用【变式】如图，ZiABC内接于0O, ZC=45% AB=4,则G>0的半径为()・【课堂练习】仁观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角?2•如图，四边形ABCD内接于二0,点E在对角线AC上，EC=BC=DC.(1)若匸CBD=39°.求二BAD的度数：(2)求证："1=12・3•如图，二0的直径AB垂直于弦CD,垂足为E, ZA=22.5% 0C=4, CD的长为(知识点二（点、直线、圆与圆的位置关系）【知识梳理】要点一、点和圆的位置关系1.点和圆的三种位置关系：由于平而上圆的存在，就把平而上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判泄方法；设0O的半径为r,点P到圆心的距离为d,则有（2）点P在圆上Od二厂O 十》2 _ r；（3）点P在圆外Od "O 十2.三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.要点二、直线和圆的位置关系1.直线和圆的三种位置关系：（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交.这时直线叫做圆的割线.（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切.这时直线叫做圆的切线，公共点叫切点.（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.2.直线与圆的位置关系的判定和性质.直线与圆的位宜关系能否像点与圆的位宜关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确赵圆的大小，因此研究宜线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点（圆心）的位置关系.下而图（1）中直线与圆心的距离小于半径：图（2）中直线与圆心的距离等于半径; 图（3）中直线与圆心的距离大于半径.B. 4 c. W2 D. 8 （1）点戸在圆内OH如果0O的半径为r,圆心O到直线/的距离为d,那么C1)直线，和OOffl交od<r;(2)直线/和©0相切O d =〔3)直线闲100相离0 d〉r.要点三、圆和圆的位置关系1. 圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2. 两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系；设00］的半径为门，002半径为门，两圆心002的距离为d,则:两圆外离Od>ri+r2两圆外切Od=r】+r2两圆相交O ri-r2<d<r1+r2 (rE)两圆内切O d=r「r2 (ri>r2)两圆内含OdVrw (ri>r2)【例题精讲】类型一、点与圆的位置关系例1•已知00的半径r=5cm,圆心O 到直线/的距离d=OD=3cm,在直线/上有P 、Q 、R 三点，且有PD=4cm, QD>4cm, RDV4cm, P 、Q 、R 三点与00位巻关系各是怎样的？类型二、直线与圆的位置关系彳列2.如图，以0为原点建立平面直角坐标系，每一小格为一个单位，圆心为A (3, 0)的匚A 被y 轴截得 的弦长BC=8,如图，解答下列问题：(1) ::A 的直径为 _____ :(2) 请在图中将:JA 先向上平移6个单位，再向左平移花8个单位得到二D,观察你所画的图形，则匚D 的 圆心D 的坐标为 _____ :匚D 与x 轴的位置关系是 ______ ,匚D 与y 轴的位置关系是 _____ ,匚D 与匚A 的位宜 关系是 ：【变式】如图，两个同心圆，大圆半径为5cm,小圆的半径为3cm,若大圆的弦AB 与小圆相交，则弦AB4-• ••••••••< § X • § 旳■•峠■ ••斗《 • ■ •■斗• K 斗• ••寸 ' • •••••••• § k W •••中• •ittiicir! ：：：：：：：：.J：：：：：：：； T T T T T T T rZL I 4- ■ • ! 4 ：：：：：：：：：：：：：：：：：：4»-i ・•丿• • x J •• ・■■■■■■•♦• •••••••a § A • 丫 ••冲■ •峠••・乂••呵• • ■ •■斗• •• •• ••••••••• ••••••••0♦ •。