圆周角定理及推论

圆周角定理推论
中心角定理：如果一个三角形的三条边的长度都已知，则可以用这三条边到三角形的三个角的长度来求解出这个三角形的三个角的大小，这个定理又称为三角形钝角定理。

也可以称之为圆周角定理，它是圆周角的一种表示法，说明圆周角满足三角形的钝角定理。

即如果已知圆周角的三边长度，则可求出其三个内角。

例如，已知圆周角的三边长度分别为4,4,4，则可求出其三个内角分别为60°，60°，60°。

圆周角定理的公式是：若a、b、c分别为圆周角的三边长度，则有A = arccos（（b2 + c2 - a2）/ 2bc），B = arccos（（a2 + c2 - b2）/ 2bc），C = arccos（（a2 + b2 - c2）/ 2bc）。

其中A，B，C分别为圆周角的三角形的三个内角。

圆周角定理的推论
一、什么是圆周角定理：
圆周角定理是一种几何定理，它指出了一个三角形与它所多接的弧线之间满足的某种关系，即：圆周上相邻的弧线之间的集合所形成的内角之和等于180度。

即可简写为：当三条线接触同一个圆的时候，它们共组成的内角之和是180度。

二、圆周角定理的推论
（1）中点定理：在任意一个多边形内，任意一边都和多边形内心连接构成一个角，这个角的度数相加一定为180度。

三、圆周角定理的适用范围
圆周角定理可用于描述任意一个多边形关于圆周角的位置关系，主要用于计算圆周角的大小，以及计算多边形中不同角的大小。

圆周角定理在平面几何中有着重要的应用，即它是描述多边形的重要定理，熟练的掌握和复习这个定理有助于更
好的理解多边形的内容。

初三数学圆周角知识点初三数学圆周角知识点初三数学圆周角知识点11、定义：顶点在圆上，角的两边都与圆相交的角。

(两条件缺一不可)2、定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

3、推论：1)在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。

2)直径(半圆)所对的圆周角是直角;900的圆周角所对的弦为直径。

(①常见辅助线：有直径可构成直角，有900圆周角可构成直径;②找圆心的方法：作两个900圆周角所对两弦交点)4、圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补。

(任意一个外角等于它的内对角)补充：1、两条平行弦所夹的弧相等。

2、圆的两条弦1)在圆外相交时，所夹角等于它所对的两条弧度数差的一半。

2)在圆内相交时，所夹的角等于它所夹两条弧度数和的一半。

3、同弧所对的(在弧的同侧)圆内部角最大其次是圆周角，最小的是圆外角。

初三数学圆周角知识点2一、圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

①定理有三方面的意义：a.圆心角和圆周角在同一个圆或等圆中;(相关知识点如何证明四点共圆 )b.它们对着同一条弧或者对的两条弧是等弧c.具备a、b两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半.②因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.二、圆周角定理的推论推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2：半圆(或直径)所对的`圆周角等于90°;90°的圆周角所对的弦是直径推论3：如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形三、推论解释说明圆周角定理在九年级数学知识点中属于几何部分的重要内容。

①推论1是圆中证明角相等最常用的方法，若将推论1中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立.因为一条弦所对的圆周角有两个.②推论2中“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”③圆周角定理的推论2的应用非常广泛，要把直径与90°圆周角联系起来，一般来说，当条件中有直径时，通常会作出直径所对的圆周角，从而得到直角三角形，为进一步解题创造条件④推论3实质是直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理.。

圆周角的定理及推论的应用圆周角是数学中的一个重要概念，掌握圆周角的定理及其推论，对于解决许多几何问题非常有帮助。

本文将围绕圆周角的定理及推论的应用展开阐述。

一、圆周角的定义圆周角是指落在圆周上的两条弧所对的角，即两个弧之间的角度量。

一般用大写字母表示圆周角，如∠ABC。

二、圆周角的定理1、相等圆周角定理：在同一个圆周上，所对的圆周角相等。

证明：作弦AB、CD相交于点E，则∠AEB=∠CED。

由于AE、BE、CE、DE均是从一个圆心O引出的弦，故∠AEB=∠CEB，∠CED=∠BED，又因为OE=OE，故OEB≌OED，由此可得∠OEB=∠OED，即∠AEB=∠CED。

2、圆心角的定理：在同一个圆中，所对的圆心角相等。

证明：连接圆心O到AB的中垂线OH，H为AB的中点。

则OH垂直于AB，因此∠AOH、∠BOH均为直角，所以∠AOB=2∠AOH=2∠BOH。

3、正弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R证明：如下图所示，以AB、BC、CA为边作三角形ABC的外接圆，设圆心为O。

连接AO、BO、CO，过O点作弦AD、BE、CF，则OD=OE=OF=R，所以AOD、BOE、COF都是等边三角形。

因此，∠OAB=∠CFO、∠OBA=∠CEO、∠OBC=∠AEO、∠OCB=∠AFO。

设∠BAC=x，∠ABC=y，∠ACB=z，由三角形内角和公式得：x+y+z=180又由圆周角定理得：∠BOC=2y，∠AOC=2z，∠AOB=2x于是：∠AOB+∠BOC+∠AOC=3602x+2y+2z=360，即x+y+z=180。

将sinA、sinB、sinC带入上述公式中，可得：sinA/BC=sinB/CA=sinC/AB=1/2R即sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R。

4、余弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：cosA=(b²+c²-a²)/2bc，cosB=(a²+c²-b²)/2ac，cosC=(a²+b²-c²)/2ab证明：将ABC的外接圆的半径延长到BC、AC和AB上分别交于点D、E、F。

圆周角定理及推论圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。

圆周角的性质：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半。

圆周角的推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。

②900的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角。

③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

④圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角例1：如图，点A、B 、C都在圆O上，如果∠AOB+∠ACB=840，那么∠ACB的大小是例2：如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E=360，则∠ADC的度数是（）A．44°B．54°C．72°D．53°例3：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠BCD，（1）证明：C B∥P D；（2）若B C＝3，，求⊙O的直径．1、（北京四中模拟）如图，弧BC与弧AD的度数相等，弦AB与弦CD交于点E，︒=∠80CEB,则CAB∠等于（）A．︒30B．︒40C．︒45D．︒602.（2011年北京四中中考全真模拟16）已知一弧长为L的弧所对的圆心角为120°那么它所对的弦长为( )A、3 34ΠL B、3 24ΠL C、3 32ΠL D、3 22ΠL（第3题图）3.（2011浙江杭州模拟7）如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A=75o ，∠C=45o ，那么∠AEB 度数为（ ）A. 30o B . 45o C. 60o D. 75o4.(2011浙江省杭州市10模) 如图，△ABC 内接于⊙O ，∠C=45°，AB=2，则⊙O 的半径为( )A ．1B ．22C ．2D ．25.(浙江省杭州市党山镇中2011年中考数学模拟试卷)如图，两圆相交于A ，B 两点，小圆经过大圆的圆心O ，点C ，D 分别在两圆上，若100ADB ∠=︒，则ACB ∠的度数为 ( )A ．35︒B ．40︒C ．50︒D ．80︒C ABD （第5题） O（第4题图）。

圆周角定理及其推论一、圆周角定理圆周角定理是几何学的重要定理，它源于古希腊数学家弥尔顿（Archimedes）的研究。

圆周角定理规定：任何两个正夹角的正弦之积等于它们之间的乘积，也就是学术上说的“正夹角全乘积等于余弦。

”以上是圆周角定理的文字表示，而在数学上，圆周角定理又有如下式子体现：Sin（α+β）= Sinα×Cosβ+Cosα×Sinβ二、圆周角定理的推论1、正弦定理：一个三角形角α，β，γ的正弦值分别为Sinα，Sinβ，Sinγ，那么有Sinα：Sinβ：Sinγ=a：b：c；2、余弦定理：每个三角形角α，β，γ的余弦值分别为Cosα，Cosβ，Cosγ，那么有a2+b2=c2-2abCosγ；3、正切定理：任一三角形角α，β，γ的正切值分别为tanα，tanβ，tanγ，那么有tanα×tanβ=tanγ/1-tanαtanβ；4、正割定理：一个三角形角α，β，γ的正割值分别为cotα，cotβ，cotγ，那么有cotα+cotβ=cotγ/1+cotα cotβ；5、互补定理：任一角α，它的余角β满足Cosα=Sinβ；Cosβ=Sinα；6、倒数定理：对一角α，其余角β均有Secα=1/Cosα；Secβ=1/Cosβ；7、士角定理：一角α，其余角β乘积等于正弦定理，那么Sinα×Sinβ=Cos角γ/2;8、三边定理：任一三角形角α，β，γ的边长分别为a，b，c，那么有a/(Sinα)=b/(Sinβ)=c/(Sinγ)；9、兰勃托定理：一个等腰三角形，其底边和对边相较于当前对角之正弦的比值之和等于1，也就是说：Sinα/(a/2)+Sinβ/(a/2)=1；10、马克斯定理：一个三角形边长abc，那么有cosA+cosB+cosC=4cosA/2cosB/2cosC/2=3/2。

圆周角定理及其推论的证明和应用《圆周角定理及其推论的证明和应用》
圆周角定理又被称为“角定律”，是不论圆弧大小都成立的一个数学公理，它指出圆形中任意大小的圆弧所对应的圆心角之和，都是 360 度。

这一定理被著名数学家费马正式地证明。

圆周角定理表明，圆心角累加360度，任意两个圆心角之间的圆弧相连，形成一个封闭的面。

根据其特点，学者们推导出了以下几个推论：全角相等推论、全边相等推论、定点外接圆内接圆推论、正多边形五边形内角之和推论、外角等于内角和推论、立体角之和推论等。

圆周角定理及其推论的证明和应用，主要是在几何中，这些定理及其推论也被广泛应用到绘图，比如构造一个正多角形及相关图形，解决正多角形有关问题，画出平行线，学习平面三角函数等。

例如利用圆周角定理及其推论，可以将人们自然认定的几何图形（如梯形、多边形等），实际转化为一组有效的数学公式，以绘制直观的几何图形，从而解决数学问题。

总之，圆周角定理与其相关的推论，是构成数学的一项重要基础，在几何中有着广泛的应用，在数学中起到至关重要的作用，是值得大家及早去学习和掌握的重要内容。

一、圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC对同弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC。

以下分五种情况证明【证明】情况1：当圆心O在∠BAC的内部时：图1连接AO，并延长AO交⊙O于D解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径）∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等）∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD（∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC【证明】情况2：当圆心O在∠BAC的外部时：图2连接AO，并延长AO交⊙O于D，连接OB、OC。

解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径）∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等）∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD（∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）∴∠BOC=∠COD-∠BOD=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC【证明】情况3：当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：图3∵OA、OC是半径解：∴OA=OC∴∠BAC=∠OCA（等边对等角）∴∠BOC=∠BAC+∠OCA=2∠BAC（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，由AB 为平角180°、三角形△AOC内角和为180°得到。

）【证明】情况4：圆心角等于180°：圆心角∠AOB=180°，圆周角是∠ACB，∵∠OCA=∠OAC=21∠BOC （BC弧）∠OCB=∠OBC=21∠AOC （AC弧）∴∠OCA+∠OCB=（∠BOC+∠AOC）/2=90度∴∠AOB2=∠ACB【证明】情况5：圆心角大于180°：图5圆心角是（360°-∠AOB），圆周角是∠ACB，延长CO交园于点E，∠CAE=∠CBE=90°（圆心角等于180°）∴∠ACB+∠AEB=180°，即∠ACB=180°-∠AEB∵∠AOB=2∠AEB∴360°-∠AOB=2（180°-∠AEB）=2∠ACB二、圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。

圆的圆周角定理及推论好啦，今天我们来聊聊圆的圆周角定理，说起来可能大家觉得“哎呀，数学又来了”，可其实呢，圆周角这东西并不神秘，反倒挺有趣的。

咱们不妨换个角度，想象一下你在和朋友们一起玩抛圈圈游戏，大家站成一圈，忽然之间有人跑到圆圈里头拿个棍子，一边转圈一边和你讨论“圆的圆周角定理”。

你可能会眨眨眼，觉得这不就是某种数学谜题？但仔细一想，你会发现，这个定理竟然和生活中的很多事儿有点儿相似。

圆周角定理就像你玩游戏时总能猜到最后那个“秘密”一样，既简单又有点“套路”。

圆周角定理说的是什么呢？其实很简单，就是圆上的一个角度——圆周角，它的大小是由圆心角来决定的。

而这个圆心角呢，指的是从圆心出发，连到圆上两个点的角度。

所以如果你在圆上随便选两个点，拉直线，假如你能测量一下这个角度，嘿，你就能发现，这个角的大小只和圆心角有关。

更好玩的事儿是，圆周角的大小，恰好是圆心角的一半！就这么简单。

举个例子吧，如果你在圆上找了两个点，这两个点连起来形成的圆心角是60度，那你会发现，跟它对应的圆周角只有30度。

这就像在和朋友聊着天，忽然某个话题比你想象的要简单，反倒让你松了口气。

那你可能会问了，这个圆周角定理到底有什么用呢？你肯定不想它只是个“纸上谈兵”的概念吧。

其实啊，生活中有很多地方都可以见到它的身影。

你想象一下，小时候你玩过很多那种圆形的游戏，比如用绳子跳大圈圈，或者玩那种圈套，能不能发现，每当你站在圆的一边，看到圆的另一边时，角度总是很相似？其实这就是圆周角定理在你生活中的“小小表现”了。

没错，数学不仅仅是死板的公式，它就像是生活中的一种暗号，随时都能让你意外地收获“惊喜”。

别急，我知道你可能还没完全get到，所以咱们再说一下圆的圆周角定理的几个小推论。

第一个就是圆周角相等的定理，意思是说，在同一圆上，若两个圆周角的“顶点”都在圆的同一条弧上，那么这两个圆周角的大小一定是一样的。

就像你和我站在同一个位置，看到的风景基本差不多，心情也是差不多的对吧？第二个推论就有点更酷了：任何一个圆上，连接圆心的直线都可以把圆分成两半，而这两半就像是你人生的两条路：无论你走哪条，结果都会是相同的。