圆周角定理及其推论.pdf

1 圆周角定理及其推论一、知识点总结1．圆心角：顶点在圆心的角．注意：圆心角的底数等于它所对弧的度数．2．在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距中，只要有一组量相等，那么另外三组量也分别相等．3．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半．4．圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．注：有直径时，常添加辅助线，构造直径所对的圆周角，由此转化为直角三角形的问题．二、弧、弦、圆心角、弦心距间的关系举例例1 如图，AB 为⊙O 的弦，点C 、D 为弦AB 上两点，且OC=OD ，延长OC 、OD 分别交⊙O 于点E 、F ，试证明弧AE=弧BF ．例2 如图，点O 是∠EPF 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于点A 、B 和C 、D ．求证：AB=CD ．例3如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ，连接AC 、 OC 、BC ．(1)求证：∠ACO=∠BCD ．(2)若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O 的直径．例4 已知，如图，在⊿ABC 中，AD ，BD 分别平分∠BAC 和∠ABC ，延长AD 交⊿ABC 的外接圆于E ，连接BE ．求证：BE=DE ．2 三、苏州市中考例举1、如图，已知A 、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C 的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D 是⊙C 上的一个动点线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最小值是2、如图，已知A 、B两点的坐标分别为()、(0，2)，P 是△AOB 外接圆上的一点，且∠AOP=45°，则点P 的坐标为3、如图．AB 为⊙O 的直径，AC 交⊙O 于E 点，BC 交⊙O 于D 点，CD=BD ，∠C=70°．现给出以下四个结论：①∠A=45° ②AC=AB ③AE BE = ④CE ·AB=2BD 2．4、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，BM 平分∠ABC 交AC 于M ，以A 为圆心，AM 为半径作OA 交BM 于N ，AN 的延长线交BC 于D ，直线AB 交OA 于P 、K 两点．作MT ⊥BC 于T(1)求证AK=MT ；(2)求证：AD ⊥BC ；(3)当AK=BD 时，求证：BN AC BP BM=．。

圆周角定理及推论圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。

圆周角的性质：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半。

圆周角的推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。

②900的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角。

③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

④圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角例1：如图，点A、B 、C都在圆O上，如果∠AOB+∠ACB=840，那么∠ACB的大小是例2：如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E=360，则∠ADC的度数是（）A．44°B．54°C．72°D．53°例3：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠BCD，（1）证明：C B∥P D；（2）若B C＝3，，求⊙O的直径．1、（北京四中模拟）如图，弧BC与弧AD的度数相等，弦AB与弦CD交于点E，︒=∠80CEB,则CAB∠等于（）A．︒30B．︒40C．︒45D．︒602.（2011年北京四中中考全真模拟16）已知一弧长为L的弧所对的圆心角为120°那么它所对的弦长为( )A、3 34ΠL B、3 24ΠL C、3 32ΠL D、3 22ΠL（第3题图）3.（2011浙江杭州模拟7）如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A=75o ，∠C=45o ，那么∠AEB 度数为（ ）A. 30o B . 45o C. 60o D. 75o4.(2011浙江省杭州市10模) 如图，△ABC 内接于⊙O ，∠C=45°，AB=2，则⊙O 的半径为( )A ．1B ．22C ．2D ．25.(浙江省杭州市党山镇中2011年中考数学模拟试卷)如图，两圆相交于A ，B 两点，小圆经过大圆的圆心O ，点C ，D 分别在两圆上，若100ADB ∠=︒，则ACB ∠的度数为 ( )A ．35︒B ．40︒C ．50︒D ．80︒C ABD （第5题） O（第4题图）。

圆周角定理及其推论一、圆周角定理圆周角定理是几何学的重要定理，它源于古希腊数学家弥尔顿（Archimedes）的研究。

圆周角定理规定：任何两个正夹角的正弦之积等于它们之间的乘积，也就是学术上说的“正夹角全乘积等于余弦。

”以上是圆周角定理的文字表示，而在数学上，圆周角定理又有如下式子体现：Sin（α+β）= Sinα×Cosβ+Cosα×Sinβ二、圆周角定理的推论1、正弦定理：一个三角形角α，β，γ的正弦值分别为Sinα，Sinβ，Sinγ，那么有Sinα：Sinβ：Sinγ=a：b：c；2、余弦定理：每个三角形角α，β，γ的余弦值分别为Cosα，Cosβ，Cosγ，那么有a2+b2=c2-2abCosγ；3、正切定理：任一三角形角α，β，γ的正切值分别为tanα，tanβ，tanγ，那么有tanα×tanβ=tanγ/1-tanαtanβ；4、正割定理：一个三角形角α，β，γ的正割值分别为cotα，cotβ，cotγ，那么有cotα+cotβ=cotγ/1+cotα cotβ；5、互补定理：任一角α，它的余角β满足Cosα=Sinβ；Cosβ=Sinα；6、倒数定理：对一角α，其余角β均有Secα=1/Cosα；Secβ=1/Cosβ；7、士角定理：一角α，其余角β乘积等于正弦定理，那么Sinα×Sinβ=Cos角γ/2;8、三边定理：任一三角形角α，β，γ的边长分别为a，b，c，那么有a/(Sinα)=b/(Sinβ)=c/(Sinγ)；9、兰勃托定理：一个等腰三角形，其底边和对边相较于当前对角之正弦的比值之和等于1，也就是说：Sinα/(a/2)+Sinβ/(a/2)=1；10、马克斯定理：一个三角形边长abc，那么有cosA+cosB+cosC=4cosA/2cosB/2cosC/2=3/2。

2．1　圆周角定理对应学生用书P12]1．圆周角定理(1)文字语言：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．(2)符号语言：在⊙O BAC，∠BOC，则有∠BAC＝∠BOC＝(3)图形语言：如图所示．2．圆周角定理的推论(1)推论1　同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．(2)推论2　半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弧是半圆．1．圆周角定理中圆周角与圆心角所对的弧是同一段弧吗？提示：一定对着同一条弧才能有定理中的数量关系．2．推论1中若把“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论还成立吗？提示：不成立．因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在一般情况下是不相等的．对应学生用书P13]利用圆周角定理解决计算问题[例1][思路点拨]　本题主要考查圆周角定理．顶点A的位置不确定，所以点A和圆心O可能在BC的同侧，也可能在BC的异侧．[精解详析]　(1)当点A和圆心O在BC的同侧时，如图①所示．∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∵∠OBC＝35°，∴∠BOC＝180°－2∠OBC＝110°.∴∠BAC＝∠BOC＝55°.(2)当点A和圆心O在BC的异侧时，如图②所示．设P为圆上与圆心O在BC的同侧一点，连接PB，PC.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∵∠OBC＝35°，∴∠BOC＝180°－2∠OBC＝110°.∴∠BPC＝∠BOC＝55°.∴∠BAC＝180°－∠BPC＝180°－55°＝125°.综上所得，∠A的度数是55°或125°.使用圆周角定理时，一定要注意“同一条弧”所对的圆周角与圆心角这一条件．1．如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，则∠OCD的度数是( )A．40° B．25°C．50° D．60°解析：选A　连接OB.因为∠A＝50°，所以BC弦所对的圆心角∠BOC＝100°，∠COD＝∠BOC＝50°，∠OCD＝90°－∠COD＝90°－50°＝40°.所以∠OCD＝40°.[例2]　如图，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC＝4 cm.(1)试判断OD与AC的关系；(2)求OD的长；(3)若2sin A－1＝0，求⊙O的直径．[思路点拨]　本题主要考查圆周角定理推论2的应用．解题时，可判断∠ACB＝90°.利用OD∥BC可得OD⊥AC.用相似可得OD的长，由边角关系可求⊙O的直径．[精解详析]　(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵OD∥BC，∴∠ADO＝∠ACB＝90°，∴OD⊥AC.(2)∵△AOD∽△ABC，∴＝＝，∴OD＝BC＝×4＝2(cm)．(3)∵2sin A－1＝0，∴sin A＝.∵sin A＝，∴＝，∴AB＝2BC＝2×4＝8(cm)．“半圆(直径)所对的圆周角是直角，和直径能构成直角三角形”这一性质应用广泛，解题时注意直角三角形中有关定理的应用．本例的条件变为：“弦AC＝4，BC＝3，CD⊥AB于D”，求CD.解：由勾股定理知AB＝5，∵S△ACB＝AC·BC＝AB·CD，∴3×4＝5×CD，∴CD＝.利用圆周角定理解决证明问题[例3]E，求证：AE ＝BE.[思路点拨]　本题主要考查利用圆周角定理证明问题．解题时只需在△ABE中证明∠ABE＝∠EAB.而要证这两个角相等，只需借助∠ACB即可．[精解详析]　∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC为直角，又AD⊥BC，∴Rt△BDA∽Rt△BAC.∴∠BAD＝∠BCA.FBA＝∠ACB.∴∠BAD＝∠FBA.∴△ABE为等腰三角形．∴AE＝BE.有关圆的题目中，圆周角与它所对的弧及弦可以相互转化．即欲证圆周角相等，可转化为证明它们所对的弧相等．要证线段相等可以转化为证明它们所对的弧相等．这是证明圆中线段相等的常用方法．2．如图，AB是⊙O的直径，C为圆周上一点，∠ABC＝30°，⊙O过点B的切线与CO的延长线交于点D.求证：(1)∠CAB＝∠BOD.(2)△ABC≌△ODB.证明：(1)因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB＝90°，由∠ABC＝30°，所以∠CAB＝60°.又OB＝OC，所以∠OCB＝∠OBC＝30°，所以∠BOD＝60°，所以∠CAB＝∠BOD.(2)在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，得AC＝AB，又OB＝AB，所以AC＝OB.由BD切⊙O于点B，得∠OBD＝90°.在△ABC和△ODB中，所以△ABC≌△ODB.本课时主要考查圆周角定理及推论的计算与证明问题，难度中档．[考题印证]如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD＝DC，连接AC，AE，DE.求证：∠E＝∠C.[命题立意]本题主要考查圆周角定理的推论及平行线的性质．[自主尝试]　连接OD，因为BD＝DC，O为AB的中点，所以OD∥AC，于是∠ODB＝∠C.因为OB＝OD，所以∠ODB＝∠B.于是∠B＝∠C.因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角，故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.对应学生用书P14]一、选择题1.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，∠BCD＝25°，则下列结论错误的是( )A．AE＝BE B．OE＝DEC．∠AOD＝50° D．D解析：选B　因为CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，AE＝BE，因为∠BCD＝25°，所以∠AOD＝2∠BCD＝50°，故A，C，D正确，B不能得证．2．如图所示，AB是⊙O的直径，C AC＝8，BC＝6，则⊙O的半径r等于( )A． B．5C．10 D．不确定解析：选B　由已知得∠ACB＝90°，∴AB＝＝10，即2r＝10，r＝5.3.如图，直径为10的⊙C经过点A(0,5)和点O(0,0)，B是y轴右侧⊙C弧上一点，则cos∠ABO的值为( )A． B．C． D．解析：选B　法一：设⊙C与x轴另一个交点为D，连接AD，如图所示：因为∠AOD＝90°，所以AD为⊙C的直径，又因为∠ABO与∠ADO为圆弧AO所对的圆周角，所以∠ABO＝∠ADO，又因为A(0,5)，所以OA＝5，在Rt△ADO中，AD＝10，AO＝5，根据勾股定理得：OD＝＝5.所以cos∠ABO＝cos∠ADO＝＝＝，故选B.法二：连接CO，因为OA＝5，AC＝CO＝5，所以△ACO为等边三角形，∠ACO＝60°，∠ABO＝∠ACO＝30°，所以cos∠ABO＝cos 30°＝.4．已知P R都在弦AB的同侧，且点P Q的圆内，点R(如图)，则( )A．∠AQB<∠APB<∠ARBB．∠AQB<∠ARB<∠APBC．∠APB<∠AQB<∠ARBD．∠ARB<∠APB<∠AQB解析：选D　如图所示，延长AQ交圆O于点C，设AR与圆O相交于点D，连接BC，BD，则有∠AQB>∠ACB，∠ADB>∠ARB.因为∠ACB＝∠APB＝∠ADB，所以∠AQB>∠APB>∠ARB.二、填空题5.如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝60°，则∠ABC的度数是．解析：因为∠AOC＝60°，所以弧ABC的度数为60°，AC对的优弧的度数为360°－60°＝300°，所以∠ABC＝150°.答案：150°6.如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B＝60°，∠BOD＝100°，则∠C的度数为．解析：因为∠BOD＝100°，所以∠A＝∠BOD＝50°.因为∠B＝60°，所以∠C＝180°－∠A－∠B＝70°.答案：70°7.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O 上，∠ADC＝68°，则∠BAC＝ .解析：因为AB是圆O的直径，所以弧ACB的度数为180°，它所对的圆周角为90°，所以∠BAC＝90°－∠ABC＝90°－∠ADC＝90°－68°＝22°.答案：22°8.如图，在半径为2 cm的⊙O内有长为2 cm的弦AB，则此弦所对的圆心角∠AOB为．解析：作OC⊥AB于C，则BC＝，在Rt△BOC中，∵OC＝＝＝1(cm)，∴＝，∴sin∠B＝，∠B＝30°，∴∠BOC＝60°，∴∠AOB＝120°.答案：120°三、解答题9.如图，在⊙O中，弦AB＝16，点C在⊙O上，且sin C＝.求⊙O的半径长．解：作直径AD，连接BD，则∠ABD＝90°，∠D＝∠C.因为sin C＝，所以sin D＝.在Rt△ABD中，sin D＝＝，又因为AB＝16，所以AD＝16×＝20，所以OA＝AD＝10，即⊙O的半径长为10.10．如图，已知在⊙O中，直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD和BD的长．解：因为AB为直径，所以∠ACB＝∠ADB＝90°.在Rt△ABC中，BC＝＝＝8(cm)．因为CD平分∠ACB，所以△ADB为等腰三角形．所以AD＝BD＝AB＝×10＝5(cm)．11.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1＝∠C.(1)求证：CB∥MD.(2)若BC＝4，sin M＝，求⊙O的直径．解：(1)证明：因为∠C与∠M是同一弧所对的圆周角，所以∠C＝∠M.又∠1＝∠C，所以∠1＝∠M，所以CB∥MD(内错角相等，两直线平行)．(2)由sin M＝知，sin C＝，所以＝，BN＝×4＝.由射影定理得：BC2＝BN·AB，则AB＝6.所以⊙O的直径为6.。

一、圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC对同弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC。

以下分五种情况证明【证明】情况1：当圆心O在∠BAC的内部时：图1连接AO，并延长AO交⊙O于D解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径）∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等）∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD（∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC【证明】情况2：当圆心O在∠BAC的外部时：图2连接AO，并延长AO交⊙O于D，连接OB、OC。

解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径）∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等）∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD（∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）∴∠BOC=∠COD-∠BOD=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC【证明】情况3：当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：图3∵OA、OC是半径解：∴OA=OC∴∠BAC=∠OCA（等边对等角）∴∠BOC=∠BAC+∠OCA=2∠BAC（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，由AB 为平角180°、三角形△AOC内角和为180°得到。

）【证明】情况4：圆心角等于180°：圆心角∠AOB=180°，圆周角是∠ACB，∵∠OCA=∠OAC=21∠BOC （BC弧）∠OCB=∠OBC=21∠AOC （AC弧）∴∠OCA+∠OCB=（∠BOC+∠AOC）/2=90度∴∠AOB2=∠ACB【证明】情况5：圆心角大于180°：图5圆心角是（360°-∠AOB），圆周角是∠ACB，延长CO交园于点E，∠CAE=∠CBE=90°（圆心角等于180°）∴∠ACB+∠AEB=180°，即∠ACB=180°-∠AEB∵∠AOB=2∠AEB∴360°-∠AOB=2（180°-∠AEB）=2∠ACB二、圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。