3.1.1 函数的概念第一课时-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册导学案

§3．1．1 函数的概念

导学目标：

1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。

2．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．

（预习教材P59~ P66，回答下列问题）

回忆：初中学习的函数概念是什么？

设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，则称x是自变量，y是x的函数；其中自变量x的取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y的值叫做函数的值域。

情景：请同学们考虑以下两个问题：

①1y是函数吗？

②yx和2xyx是同一个函数吗？

为了得到函数更准确的定义，我们一起看下面几个函数，回答相应的问题：

问题一：某“复兴号”高速列车加速到350km后保持匀速运行半小时，这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t(单位：h）的关系可以表示为350St．①

思考1：有人说：“根据对应关系350St，这趟列车加速到50/kmt后，运行1h就前进了350km．”你认为这个说法正确吗?

本题中，t和S是两个变量，

而且对于t的每一个确定的值，

S都有唯一确定的值与之对应，

所以S是t的函数．

第二章 一元二次函数、方程和不等式

- 2 - 问题二：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资。显然，工人一周的工资w（元）和他一周工作天数d（天）的关系可表示为350wd．②

思考2：问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么?

问题三：下图是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图．如何根据该图确定这一天内任一时刻t的空气质量指数的值I？

思考3：本题中变量I是变量t的函数吗？

问题四：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。下表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从表中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高．

思考4：本题中恩格尔系数r是时间（年）y的函数吗？请仿照前面的方法描述说明？

思考5：上述四个问题有何异同点：

不同点：

相同点：

本题中，d和w是两个变量，而且对于d的每一个确定的值，

w都有唯一确定的值与之对应，所以w是d的函数． 【知识点一】函数的概念

1．函数的概念

一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y＝f(x)，x∈A．

2．函数的定义域和值域

函数y＝f(x)中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(domain)；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range)．

显然，值域是集合B的子集．

自我检测1：下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是( )

A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方

B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方

C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数

D．A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积

【知识点二】区间的概念

1．区间的几何表示

定义 名称 符号 数轴表示

{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]

{x|a

{x|a≤x

{x|a

2．实数集R的区间表示

实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”；

“－∞”读作“负无穷大”；“＋∞”读作“正无穷大”．

3．无穷大的几何表示

定义 符号 数轴表示

{x|x≥a} [a，＋∞)

{x|x>a} (a，＋∞)

{x|x≤b} (－∞，b]

{x|x

第二章 一元二次函数、方程和不等式

- 4 - 自我检测2：试用区间表示下列实数集

(1) 152xx____ _；

(2) 123xxx或_____ ___．

【知识点三】函数定义域的求法

(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：

①分式的分母不为0； ②偶次根式的被开方数非负；③0yx要求0x．

(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．

(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接．

自我检测3：函数11xfxx的定义域是( )

A．[－1,1) B．[－1,1)∪(1，＋∞)

C．[－1，＋∞) D．(1，＋∞)

【知识点四】两函数为同一函数的判断方法

判断两个函数是否为同一函数，要看三要素是否对应相同．函数的值域可由定义域及对应关系来确定，因而只要判断定义域和对应关系是否对应相同即可．

判断同一函数的三个步骤和两个注意点

(1)判断同一函数的三个步骤

(2)两个注意点：

①在观察定义域时，应观察所给函数的原型；

观察对应关系时，应观察等价化简后的函数形式；

②与用哪个字母表示无关． 自我检测4：下列函数中哪个与函数yx是同一个函数？

(1) 2yx； (2) 33uv；

(3) 2yx； (4) 2xyx

题型一 函数的定义

【例1-1】根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A到集合B的函数：

(1)A＝{1,2,3}，B＝{7,8,9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；

(2)A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，对应关系如右图所示；

(3)A＝R，B＝{y|y>0}，f：x→y＝|x|；

(4)A＝Z，B＝{－1,1}，n为奇数时，f(n)＝－1，n为偶数时，f(n)＝1．

【例1-2】写出下列函数的对应法则、定义域、值域

第二章 一元二次函数、方程和不等式

- 6 - 题型二 集合的区间表示法

【例2】试用区间表示下列实数集

（1） 56xx

（2） 9xx

（3） 152xxxx

（4） 9920xxxx

题型三 函数定义域的求法

【例3-1】已知函数132fxxx．

（1）求函数的定义域；

（2）求3f，23f；

（3）当1a时，求fa，1fa．

【例3-2】求下列函数的定义域．

①2126fxxxx；

②01xfxxx．

题型四 两函数为同一函数的判断方法

【例4】试判断下列函数是否为同一函数．

(1) 2xxfxx，1gxx；

(2) xfxx，xgxx；

(3) 2fxx，21gxx；

(4) fxx，2gxx．

1． 设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( )

A．0个 B．1个

C．2个 D．3个

2．函数12xfxx的定义域为( )

A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)

C．[1,2) D．[1,2)∪(2，＋∞)

3．下列各组函数表示同一函数的是( )

A．293xyx与y＝x＋3 B．21yx与1yx

C．0yx与10yx D．1,yxxZ与1,yxxZ

4．已知函数f(x)＝－1，则f(2)的值为( )

A．－2 B．－1

C．0 D．不确定

5．求下列函数的定义域：

(12632fxxx；

(2) 01xfxxx；

(3) 11232fxxxx．

第二章 一元二次函数、方程和不等式

- 8 - 【参考答案】

情景：①是；②不是．

思考1：根据问题的条件，我们不能判断列车以350 km/h运行半小时后的情况，所以上述说法不正确、显然，其原因是没有关注到t的变化范圈．

思考2：问题1和问题2中的函数不是同一个函数，因为问题1中t的取值集合与问题2中d的取值集合不同．

思考3：变量I是变量t的函数．

思考4：

思考5：上述四个问题有何异同点：

不同点：

实例（1）（2）是用解析式刻画变量之间的对应关系，但有不同的取值范围；

实例（3）是用图象刻画变量之间的对应关系；

实例（4）是用表格刻画变量之间的对应关系．

相同点：

（1）都包含两个非空数集，用A，B来表示；

（2）都有一个对应关系；

（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中部有唯一确定的数y和它对应．

【自我检测1】

【自我检测2】答案：(1)－12，5 (2)(－∞，1)∪(2,3]

【自我检测3】答案：B

【自我检测3】答案：（2）