2020-2021学年数学新教材人教A版必修第一册 3.1 函数的概念及其表示 学案 (1)

【新教材】3.1.1 函数的概念（人教A版）

1.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则。

2.掌握判定函数和函数相等的方法。

3.学会求函数的定义域与函数值。

重点：函数的概念，函数的三要素。

难点：函数概念及符号y=f(x)的理解。

一、 预习导入

阅读课本60-65页，填写。

1．函数的概念

(1)函数的定义：

设A，B是 ，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的 ，在集合B中都有 和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作

.

(2)函数的定义域与值域：

函数y＝f(x)中，x叫做 ， 叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做 ，函数值的集合 叫做函数的值域．显然，值域是集合B的 ．

2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)

3．其它区间的表示 定义 名称 符号 数轴表示

{x|a≤x≤b} 闭区间

{x|a＜x＜b} 开区间

{x|a≤x＜b} 半开半闭区间

{x|a＜x≤b} 半开半闭区间

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)区间表示数集，数集一定能用区间表示． ( )

(2)数集{x|x≥2}可用区间表示为[2，＋∞]． ( )

(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了.（ ）

(4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应.（ ）

(5)函数的定义域和值域一定是无限集合． ( )

2．函数y＝1x＋1的定义域是 ( )

A．[－1，＋∞) B．[－1,0) C．(－1，＋∞) D．(－1,0)

3．已知f(x)＝x2＋1，则f ( f (－1))＝ ( )

A．2 B．3 C．4 D．5

4．用区间表示下列集合：

(1){x|10≤x≤100}用区间表示为________．

(2){x|x＞1}用区间表示为________．

题型一 函数的定义

例1 下列选项中(横轴表示x轴,纵轴表示y轴),表示y是x的函数的是( )

跟踪训练一

1.集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列不表示从A到B的函数的是( ) R

{x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a}

定

义

符

号

题型二 相等函数

例2 试判断以下各组函数是否表示同一函数:

(1)f(x)=(√x)2,g(x)=√x2;

(2)y=x0与y=1(x≠0);

(3)y=2x+1(x∈Z)与y=2x-1(x∈Z).

跟踪训练二

1.试判断以下各组函数是否表示同一函数: ①f(x)=x2-xx,g(x)=x-1;

②f(x)=√xx,g(x)=x√x;

③f(x)=√(x+3)2,g(x)=x+3;

④f(x)=x+1,g(x)=x+x0;

⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x≤5).

其中表示相等函数的是 (填上所有正确的序号).

题型三 区间

例3 已知集合A={x|5-x≥0},集合B={x||x|-3≠0},则A∩B用区间可表示为

.

跟踪训练三

1.集合{x|0

2. 若集合A=[2a-1,a+2],则实数a的取值范围用区间表示为 .

题型四 求函数的定义域

例4 求下列函数的定义域:

(1)y=(x+2)0|x|-x; (2)f(x)=x2-1x-1−√4-x.

跟踪训练四

1.求函数y=√2x+3−1√2-x+1x的定义域.

2.已知函数f(x)的定义域是[-1,4],求函数f(2x+1)的定义域.

题型五 求函数值（域）

例5 (1)已知f(x)＝11+x(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，则f(2)＝________，

f(g(2))＝________.

(2)求下列函数的值域：

①y＝x＋1； ②y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；

③y＝3x−11+x； ④y＝2x－√x−1.

跟踪训练五

1.求下列函数的值域：

(1)y＝ √2x+1 ＋1；(2)y＝1−x21+x2.

1．对于集合𝐴={𝑥|0≤𝑥≤2}，𝐵={𝑦|0≤𝑦≤3}，由下列图形给出的对应𝑓中，不能构成从𝐴到𝐵的函数有（ ）个

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2．函数2121fxaxx的定义域为R，则实数a的取值范围为（ ）

A．a>1 B．0

3．函数f（x）=√𝑥−1𝑥+3的定义域为

A．{𝑥|1≤𝑥<3或𝑥>3} B．{𝑥|𝑥>1}

C．{𝑥|1≤𝑥<2} D．{𝑥|𝑥≥1}

4．已知函数𝑓(2𝑥+1)的定义域为(−2,0)，则𝑓(𝑥)的定义域为（ ）

A.(−2,0) B.(−4,0) C.(−3,1) D.(−12,1)

5．下列各组函数中，fx与gx相等的是（ ）

A．2,2fxxgxx B．323,fxxgxx

C．22,2xfxgxxx D．22,1xxxfxgxxx

6．集合A={x|x≤5且x≠1}用区间表示____________．

7．已知函数8()32fxxx.

（1）求函数()fx的定义域；

（2）求(2)f及(6)f的值．

8．求下列函数的值域：

（1）f（x）=211xx；

（2）f（x）=x–1x．

答案

小试牛刀

1．（1）× （2） × （3）√ （4）× （5 ）×

2．C

3．D

4. (1)[10,100] (2)(1，＋∞)

自主探究

例1 【答案】D

跟踪训练一【答案】C

例2 【答案】见解析

【解析】:(1)因为函数f(x)=(√x)2的定义域为{x|x≥0},而g(x)=√x2的定义域为{x|x∈R},它们的定义域不同,所以它们不表示同一函数.

(2)因为y=x0要求x≠0,且当x≠0时,y=x0=1,故y=x0与y=1(x≠0)的定义域和对应关系都相同,所以

它们表示同一函数.

(3)y=2x+1(x∈Z)与y=2x-1(x∈Z)两个函数的定义域相同,但对应关系不相同,故它们不表示同一函数.

跟踪训练二【答案】⑤

【解析】①f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数;

②f(x)与g(x)的解析式不同,不是同一函数;

③f(x)=|x+3|,与g(x)的解析式不同,不是同一函数;

④f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数;

⑤f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同,是同一函数.

例3 【答案】(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]

【解析】∵A={x|5-x≥0},∴A={x|x≤5}.

∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x≠±3}.

∴A∩B={x|x<-3或-3

即A∩B=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5].

跟踪训练三

【答案】(1)(0,1)∪[2,11] (2)(-∞,3)

【解析】 (2)由区间的定义知,区间(a,b)(或[a,b])成立的条件是a

∵A=[2a-1,a+2],∴2a-1

∴实数a的取值范围是(-∞,3).

例4【答案】(1) (-∞,-2)∪(-2,0) (2) (-∞,1)∪(1,4]

【解析】(1)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足{x+2≠0,|x|-x≠0,即{x≠-2,|x|≠x,解得x<0,且x≠-2.故原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0).

(2)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足{4-x≥0,x-1≠0,即{x≤4,x≠1.

故原函数的定义域为(-∞,1)∪(1,4].

跟踪训练四

【答案】(1) {x|-32≤x<2,且x≠0} (2) [-1,32]

【解析】(1)要使函数有意义,需{2x+3≥0,2-x>0,x≠0,

解得-32≤x<2,且x≠0,所以函数y=√2x+3−1√2-x+1x的定义域为{x|-32≤x<2,且x≠0}.

(2)已知f(x)的定义域是[-1,4],即-1≤x≤4.

故对于f(2x+1)应有-1≤2x+1≤4,

∴-2≤2x≤3,∴-1≤x≤32.

∴函数f(2x+1)的定义域是[-1,32].

例5

【答案】（1）13 17 （2）① R ② [2,6) ③ {y|y∈R且y≠3} ④ 158，＋∞

【解析】(1) ∵f (x)＝11＋x，∴f(2)＝11＋2＝13.

又∵g (x)＝x2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6，

∴f ( g(2))＝f (6)＝11＋6＝17.

(2) ①(观察法)因为x∈R，所以x＋1∈R，即函数值域是R.

②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．

③(分离常数法)y＝3x－1x＋1＝3x＋3－4x＋1＝3－4x＋1.

∵4x＋1≠0，∴y≠3，

∴y＝3x－1x＋1的值域为{y|y∈R且y≠3}．

④(换元法)设t＝x－1，则t≥0且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2 t－142＋158，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为158，＋∞.