3.1.1 函数的概念-2020-2021学年高一数学新教材配套学案(人教A版必修第一册)

3.1 函数的概念及其表示

3.1.1 函数的概念

【学习目标】

课程标准 学科素养

1.理解函数的概念(重点、难点).

2.了解构成函数的三要素(重点).

3.正确使用函数、区间符号. 1、直观想象

2、数学运算

3、数学抽象

【自主学习】

1. 函数的概念

(1)函数的定义

设A，B是

，如果对于集合A中的 ，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作

.

(2)函数的定义域与值域

函数y＝f(x)中，x叫做 ， A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做 ，函数值的集合 叫做函数的值域．显然，值域是集合B的 ．

(3)对应关系f：除解析式、图象表格外，还有其他表示

对应关系的方法，引进符号f统一表示对应关系．

注意：判断对应关系是否为函数的2个条件

①A、B必须是非空数集．

①A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．

2.函数的三要素

由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：

、

和 。

3．相同函数

值域是由 和 决定的，如果两个函数的定义域和 相同，我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同，但定义域不同，则它们 相同的函数．

4. 区间及有关概念

(1)一般区间的表示.

设a，b①R，且a

定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间

{x|a

{x|a≤x

{x|a

(2)特殊区间的表示.

定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x

符号

【小试牛刀】

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)根据函数的定义，定义域中的一个x可以对应着不同的y.( )

(2)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )

(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．( )

(4)两个函数相同指定义域和值域相同的函数．( )

(5)f(x)＝3x＋4与f(t)＝3t＋4是相同的函数．( )

(6)函数值域中每一个数在定义域中有唯一的数与之对应．( )

(7)函数f(2x－1)的定义域指2x－1的取值范围．( )

【经典例题】

题型一 函数关系的判定

例1(1) 若集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从M到N的函数f：M→N的是( )

(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数？为什么？

①f：把x对应到3x＋1； ①g：把x对应到|x|＋1；

①h：把x对应到1x；

①r：把x对应到x.

[跟踪训练] 1 设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数y＝f(x)的定义域为M，值域为N，对于下列四个图象，不可作为函数y＝f(x)的图象的是( )

题型二 已知函数的解析式求定义域

求函数定义域的几种类型

(1)若f(x)是整式，则函数的定义域是R.

(2)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．

(3)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．

(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．

(5)若f(x)是实际情境的解析式，则应符合实际情境，使其有意义．

例2 求下列函数的定义域．

（1）y＝2＋3x－2； (2)y＝x2－2x－3；

(3)y＝3－x·x－1； (4)y＝(x－1)0＋2x＋1；

[跟踪训练] 2 求下列函数的定义域：

(1)y＝x＋12x＋1－－x2－x＋6. (2)y＝10－x2|x|－3.

题型三 函数相同

判断两个函数为同一函数的方法

判断两个函数是否为同一函数，要先求定义域，若定义域不同，则不是同一函数；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．

注意：（1）在化简解析式时，必须是等价变形.（2）函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.

例3 下列各组函数：

①f(x)＝x2－xx，g(x)＝x－1；

①f(x)＝xx，g(x)＝xx；

①f(x)＝（x＋3）2，g(x)＝x＋3；

①f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0；

①汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5).

其中表示相等函数的是________(填上所有正确的序号).

[跟踪训练] 3 （1）与函数y＝x－1为同一函数的是( )

A．y＝x2－xx B．m＝(n－1)2

C．y＝x－x0 D．y＝3t－13

（2）判断以下各组函数是否表示相等函数：

①f(x)＝(x)2；g(x)＝x2.

①f(x)＝x2－2x－1；g(t)＝t2－2t－1. 题型四 求抽象函数的定义域

两类抽象函数的定义域的求法

(1)已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域：若f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))中a≤g(x)≤b，从中解得x的取值集合即为f(g(x))的定义域.

(2)已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域：若f(g(x))的定义域为[a，b]，即a≤x≤b，求得g(x)的取值范围，g(x)的值域即为f(x)的定义域.

例4 (1)设函数f(x)＝x，则f(x＋1)等于什么？f(x＋1)的定义域是什么？

(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0，＋∞)，那么函数y＝f(x＋1)的定义域是什么？

[跟踪训练] 4 已知函数f(x)的定义域为[1,3]，求函数f(2x＋1)的定义域．

注意：定义域是x的取值范围，f(x)中的x与f(2x＋1)中的2x＋1是相对应的．

例5 (1)已知函数y＝f(x)的定义域为[－2，3]，求函数y＝f(2x－3)的定义域；

(2)已知函数y＝f(2x－3)的定义域是[－2，3]，求函数y＝f(x＋2)的定义域.

[跟踪训练] 5（1）函数f(2x＋1)的定义域为[1,3]，求函数f(x)的定义域．

(2)函数f(1－x)的定义域为[1,3]，求函数f(2x＋1)的定义域。

题型五 求函数值及值域

求函数值的方法

①已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．

①求f[g(a)]的值应遵循由里往外的原则．

求函数值域常用的4种方法

①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；

①配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；

①分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；

①换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋cx＋d(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法．

例6 已知f(x)＝11＋x(x①R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x①R).

(1)求f(2)，g(2)的值； (2)求f(g(3))的值.

[跟踪训练] 6已知函数f(x)＝x＋1x＋2.

(1)求f(2)；(2)求f(f(1)).

例7 求下列函数的值域：

（1）y＝x＋1，x①{1,2,3,4,5}； （2）y＝x2－2x＋3，x①[0,3)；

（3）y＝2x＋1x－3； (4)y＝x＋2x－1.

[跟踪训练] 7 求下列函数的值域：

(1)y＝x－1；

(2)y＝5x－14x＋2；

(3)y＝2x－x－1.

【当堂达标】

1．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )

A．y＝x－1和y＝x2－1x＋1 B．y＝x0和y＝1

C．f(x)＝(x－1)2和g(x)＝(x＋1)2 D．f(x)＝x2x和g(m)＝mm2

2．已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f2xx－1的定义域是( )

A．[0,1] B．[0,1)

C．[0,1)①(1,4] D．(0,1)

3．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是(

)

A．y＝x B．y＝1x

C．y＝1x D．y＝x2＋1

4.已知全集U＝R，A＝{x|1

5．若函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(2x)＋fx＋23的定义域为________．

6.．已知区间[－2a,3a＋5]，则a的取值范围为________．

7．设函数f(x)＝x2－2x－1，若f(a)＝2，则实数a＝________.

8.已知函数f(x)＝x2＋x－1.

(1)求f(2)，f1x；

(2)若f(x)＝5，求x的值.

9.试判断函数y＝x－1·x＋1与函数y＝（x＋1）（x－1）是否相等，并说明理由.

10.已知函数y＝mx2－6mx＋m＋8的定义域是R，求实数m的取值范围．