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数学学年论文毕业论文正定二次型的判断及应用正定二次型的判断及应用摘要：在二次型中，正定二次型占有特殊的地位，本文总结了正定二次型的一些判断方法及其在证明不等式与极值问题中的应用。
关键词：正定二次型正定阵顺序主子式一、正定二次型的判断: 定理1、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是它的正惯性指数等于n证明:设实二次型AXX x x x f n '=),,,(21 经线形替换X=PY 化为标准形222211nn y d y d y d f +++=)1(其中.,,2,1,n i R d i=∈由于p为可逆矩阵,所以n x x x ,,,21 不全为零时ny y y ,,,21 也不全为零,反之亦然.)(?如果f是正定二次型,那么当n x x x ,,,21 不全为零,即n y y y ,,,21 不全为零时,有2222211>+++=n n y d y d y d f)2(若有某个),1(n i d i ≤≤比方说.0≤n d 则对1,0121=====-n n y y y y 这组不全为零的数,代入)1(式后得.0≤=n d f 这与f是正定二次型矛盾.因此,必有),,2,1.(0n i d i =>即f的正惯性指数等于n )(?如果f的正惯性指数等于,n 则),,2,1(,0n i d i=>于是当n x x x ,,,21 不全为零,即当n y y y ,,,21 不全为零时)2(式成立,从而f是正定型定理2、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是对任何n 维实的非零列向量X 必有0>'A X X证明：)(?由假设f是正定二次型,故存在实的非退化的线形替换,QY X=使22221ny y y AX X +++=')1(对,0≠X因Q 非奇异,故,0≠Y 于是由)1(可知0>'A X X)(?设AX X '的秩与正惯性指数分别为r 与,p 先证,p r =如,r p <则由惯性定理,存在非退化的线形替换,QY X=使得221221'rp p y y y y AX X ---++=+)2(由假设,对任何,0,0>'≠AX X X 但对列向量)0,,0,1,0,,0(≠'= Q X（因Q 是非奇异阵,1是X 的第1+p 个分量）却有1<-='A X X 这与假设矛盾.故pr =.再证nr=.如果,n r<则)2(式应化为nr y y y AX X r <+++=,22221')3(于是取 0)1,0,,0(≠'= Q X由)3(即得,0='A X X又与假设矛盾,故,p n r ==即f是正定二次型定理3、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是f的规范形为2222121),,,(nn y y y x x x f +++=证明：)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由定理1可知f 的正惯性指数为n ，则二次型AXX x x x f n '=),,,(21 可经过非退化实线形替换成2222121),,,(nn y y y x x x f +++=)(?f的规范形为2222121),,,(n n y y y x x x f +++= ,则f的正惯性指数为,n 由定理1可知f为正定二次型定理4、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 与单位矩阵合同证明：)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由定理3,可知f的规范形为2222121),,,(nn y y y x x x f +++=此即存在非退化线形替换(CY X=其中C 可逆),使得2222121)()(),,,(nn y y y ACYC Y CY A CY AXX x x x f +++=''='='=所以,E ACC ='因此矩阵A 单位矩阵合同)(?矩阵A 单位矩阵合同,则存在可逆矩阵,C 使得EACC ='，令CYX=则2222121)()(),,,(nn y y y ACYC Y CY A CY AX X x x x f +++=''='='=因此,由证明4,可知f是正定二次型定理5、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 的主子式全大于零证明：)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,以kA 表示A的左上角k 阶矩阵,下证),,,2,1(,0n k A k =>考虑以k A 为矩阵的二次型jki kj i ij k xx a x x x g ∑∑===1121),,,(由于)0,,0,,,,(),,,(2121 k k x x x f x x x g =所以当k x x x ,,,21 不全为零时,由f 正定二次型可知,0>g从而g 为正定二次型,固.0>k A)(?对二次型的元数n 作数学归纳法当1=n时,,)(21111x a x f =因为,011>a 所以f 正定,假设,1>n 且对1-n 元实二次型结论成立由于,01111>=a a 用111a a i -乘A 的第1列到第i 列,再用111a a i -乘第A 的第1行到第i 行),,,3,2(n i=经此合同变换后A ,可变为以下的一个矩阵000111A aB =因为矩阵A 与B 合同,所以B 是一个n 阶对称矩阵.从而1A也是对称矩阵.上述的变换不改变A 的主子式的值,因此B ,的主子式也全大于零,而B 的)2(n k k ≤≤阶主子式等于1A 的1-k 阶主子式乘以,11a 并且011>a 于是1A 的主子式全大于零,由归纳假设,1A 与1-n I 合同,所以A 与单位矩阵合同,此即f 是正定二次型定理6、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 的顺序主子式全都大于零证明：)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由定理5可知A 的主子式全大于零,所以A 的顺序主子式也全大于零.)(?对二次型的元数n作数学归纳法当1=n时,,)(21111x a x f =由条件知,011>a 所以)(1x f 是正定的.假设充分性的判断对于1-n 元的二次型已经成立,现在来证n 元的情形.令1A =?----1,11,11,111n n n n a a a a=-nn n a a ,11α于是矩阵A 可以分块写成：A ='nna A αα1则1A 的顺序主子式也全大于零,由归纳法假定,1A 是正定矩阵则存在可逆的1-n 阶矩阵,G 使得1-='n E AG G令1C =100G于是''=???? ?????? ??'???? ??'='-nn n nn a G G E Ga A G ACC αααα111110010再令2C =--10'1a G E n则有?''-=''-ααG G a E C AC C C nn n 012112 令21C C C =dG G a nn =''-αα就有='d AC C11两边取行列式,dA C=2,则由条件,0>A 因此0>d.=??????? ?d d d 111111111所以矩阵A 与单位矩阵合同,因此A 是正定矩阵即f是正定二次型定理7、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵TT T A('=是实可逆矩阵)证明：)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由定理4可知存在可逆矩阵,C 使得EAC C ='则 1111)()(----'='=CCCC A令1-=CT,则T T A '=)(?若,T T A '=则 )()(),,,(21TX TX TX T X AX X AX X x x x f n '=''='='=令TXY=则 2222121),,,(nn y y y Y Y x x x f +++='=所以f 为正定二次型.定理8、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是ATT '正定矩阵(其中T 是实可逆矩阵) 证明：)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则A是正定阵, 令(1Y X T=-其中T 可逆)则 A T Y T Y TY A TY x x x f n ''='=)()(),,,(21又因非退化线性替换不改变正定性,则ATYT Y x x x f n ''=),,,(21是正定二次型,所以AT T '是正定阵)(?ATT '是正定阵,令ATYT Y y y y g n ''=),,,(21 ,则),,,(21n y y y g 是正定二次型令TYX=则),,,(21n y y y g AXX x x x f n '==),,,(21 是正定二次型定理9、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 的全部特征值都是正的证明:)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则A是正定阵,又对于任意一个n 阶实对称矩阵,A 都存在一个n 阶正交矩阵,T 使得ATTAT T 1'-=成为对角形令AT T AT T 1'-==n λλ1则),,2,1(,0n i i =>λ否则与f为正定二次型相矛盾，则ATT1-特征值为n λλλ,,,21 均大于零,即为正的.又相似矩阵有相同特征值，则A 的特征值也均为正)(? A的全部特征值均为正的,则存在一个n 阶正交矩阵,T 使得AT T AT T 1'-==n λλ1其中),,2,1(n i i =λ为A 的特征值,此由相似矩阵有相同的特征值得到. 令,TY X=则222221121),,,(nn n y y y A T Y T Y AXX x x x f λλλ+++=''='=所以f为正定二次型定理10、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 是正定阵证明：)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由正定阵的定义可知A 是正定阵.)(? A 是正定阵,则A 的顺序主子式全都大于零.由定理6可知f是正定二次型.二、实二次型的正定性证明不等式例1 设)(ij t T=是一个n 阶实非退化矩阵,求证:≤2T)(222121ni i ni i t t t +++∏=证明：若A 是正定矩阵,必有nna a a A 2211≤, 其中nn a a a ,,,2211 是A 的主对角线上的元素因为T 是实非退化矩阵,所以=nn n n n n nnnnn n t t t t t t t t t t t t t t t t t t T T 212222111211212221212111'=∑∑∑===nk knnk k nk k t t t 12122121是正定矩阵,由上述定理得)(112'∏∑==≤ni nk ki t T T =)(222121ni i ni i t t t +++∏=此即,≤2T)(222121ni i ni i t t t +++∏=三、实二次型的正定性在极值问题中的应用例1、求三元函数y y x zyxz y x f u642),,(222-++++==的极值解：先求三个一阶偏导数,令它们为0,解方程组得驻点,再求二阶偏导数得二次型的相应矩阵,A 由A 的正定性确定极值=-==+=??=+=??062042022z zU y y U x x U=-=-=321z y x得驻点)3,2,1(0--p222=??xU2=yx U2=zx U2=xy U222=??y U2=zy U2=xz U2=yz U222=??zU所以A =200020002 因为A 为正定阵,所以得极小值143*6)2(*4)1(*23)2()1()3,2,1(2220-=--+-++-+-=--=f p U参考文献：[1] 王向东《高等代数常用方法》科学出版社[2] 霍元极《高等代数》北京师范大学出版社 [3] 屠伯埙《高等代数》上海科技出版社 [4] 张盛祝《高等代数典型方法》信阳师范学院数学系Is deciding two times of judgments and the applicationAbstract: In two center, was deciding two time holds the special status, this article summarizes has been deciding in two times of so judgments methods and its in the proof inequality and the minimum problem application.Key words: Is deciding two time Is deciding The smooth principal minor。
p.138 - p.139 习题6.4 (实二次型的定性)1. 判断下列实二次型是否是正定.(1) 222123123121323(,,)342210f x x x x x x x x x x x x =+++-+ (2) 12341213232434(,,,)62428f x x x x x x x x x x x x x x =++++ (3) 课本中的第(4)题解这类型题目可用两种方法. 法一：直接将二次型化为标准形或规范形，然后判定；法二：写出二次型的矩阵A ，判定A 是否正定，应灵活运用各种判据，包括必要条件，常用顺序主子式判据.解：（采用法二）(1) 该二次型的矩阵为111135154A -⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭，其三个顺序主子式为：1||10A =>，211||2013A ==>，3||||300A A = =-< 因此，A 不是正定矩阵，从而，原二次型不是正定的.(2) 该二次型的矩阵为03103021*******0A ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，由于A 的主对角线上有元素为0，表明A 不是正定矩阵，所以，原二次型不是正定的.（本题运用正定的性质：实对称矩阵A 正定，则其主对角元全大于0）(3) 该二次型的矩阵为1032012132422127A ⎛⎫ ⎪-=⎪- ⎪ ⎪⎝⎭. 观察A ，对其进行相合变换，得 10321032012101013242300421272147A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=−−−−→ =⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭记为相合变换 则A 相合于B ，而B 的第3个主对角元为0，故B 不是正定的，即A 不是正定的，原二次型不是正定的.2. 当t 取何值时, 下列二次型是正定的? (1) 2221231231223(,,)422f x x x x x x tx x x x =++++解：该二次型的矩阵为1041011t A t ⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭，A 正定⇔A 的顺序主子式全大于0，即 12223||101||40410||4130011A t A t t t A t t =>⎧⎪⎪ ==->⎪⎨⎪⎪ = =->⎪⎩⇔t <所以，当t <. (注：今后遇到此类型题按此格式书写！)这里给出关于正定、半正定的一些性质：性质1 设m n A ⨯∈R ，则(1) T n n A A ⨯∈R 为正定或半正定矩阵：当rank()A n =时，T A A 为正定矩阵；当rank()A n <时，T A A 为半正定矩阵.(2) T AA m m ⨯∈R 为正定或半正定矩阵：当rank()A m =时，T AA 为正定矩阵；当rank()A m <，T AA 为半正定矩阵.(3) 当m n =时，若A 可逆，则T A A 和T AA （注意：二者通常不相等）都是正定矩阵；若A 不可逆，则T A A 和T AA 都是半正定矩阵.证明：只证(1)，其余的类似可证.m n A ⨯∈R ，则T n n A A ⨯∈R 为实对称矩阵，考虑T A A 对应的实二次型T T X A AX ，1) 若rank()A n =，则对任意非零列向量n α∈R ，有0A α≠，设()T12,,m A a a a α= , ，于是T T T 22212()()0m A A A A a a a αααα==+ + +>，故根据定义，实二次型T T X A AX 是正定的，因此，T A A 为正定矩阵.2) 若rank()A n <，则对任意非零列向量n α∈R ，A α可能是m 维零向量，也可能是m 维非零实向量，设()T12,,m A a a a α= , ，于是T T T ()()A A A A αααα= 222120m a a a =+ + +≥，故实二次型T T X A AX 是半正定的，因此，T A A 为半正定矩阵.性质2 如果,A B 都是n 阶正定矩阵，则A B + 是正定矩阵；如果A 是n 阶正定矩阵，B 是n 阶半正定矩阵，则A B + 是正定矩阵.证明：若,A B 都是n 阶正定矩阵，则A B + 为n 阶实对称矩阵，现考虑实二次型1(,,)n f x x =T ()X A B X +. 对于任意非零列向量n α∈R ，由,A B 正定可知，T 0A αα>，T 0B αα>，故T T T ()0A B A B αααααα+=+>，因此，1(,,)n f x x 为正定二次型，即A B + 是正定矩阵. 后一个结论的证明是类似的，略.性质3 如果A 是n 阶正定矩阵，k ∈R 且0k >，则kA 是正定矩阵. 证明简单，略.（可类似性质2证，也可用正定矩阵判据证） 性质4 如果A 是n 阶正定矩阵，则1A -和A *都是正定矩阵.证明：若A 是n 阶正定矩阵，则A 可逆，且存在可逆矩阵C ，使得T A C C =，于是111T ()A C C ---=，记1T ()D C -=，则D 可逆，且1T A D D -=，因此，1A -是正定矩阵. 注意到1||A A A *-= ⋅，而A 正定，||0A >，所以由性质3，A *是正定矩阵.性质5 设1A 和2A 分别是n 阶和m 阶实对称矩阵，则分块对角矩阵1200A A ⎛⎫ ⎪⎝⎭是正定矩阵当且仅当1A 和2A 都是正定矩阵.证明： (证明方法有多种，这里仅给出一种证法.)（⇒）若1200A A ⎛⎫ ⎪⎝⎭是正定的，则1200A A ⎛⎫ ⎪⎝⎭的顺序主子式全大于0，而1A 的顺序主子式正是1200A A ⎛⎫ ⎪⎝⎭的顺序主子式的前n 个，说明1A 的顺序主子式全大于0，因此，1A 是正定的. 又T122100000000n m n n m n m n m n m m n m n m m n n m I A I A I A I A ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即12210000A A A A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因而2100A A ⎛⎫⎪⎝⎭也是正定的，类似上面的证明可知，2A 是正定矩阵. （⇐）若1A 和2A 都是正定矩阵，则存在n 阶可逆矩阵1C 和m 阶可逆矩阵2C ，使得T 111A C C =，T222A C C =，于是，1200C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭是可逆矩阵且T111222000000A C C A C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此，1200A A ⎛⎫⎪⎝⎭是正定矩阵.由这些性质，第3,4,6,7,10,11,12,13题容易证明.8. 若A 是n 阶实方阵, 且对任意的非零向量n α∈R , 都有T 0A αα>. 证明: 存在正定矩阵B 及反对称矩阵C , 使得A B C =+, 并且对任意向量α，都有T T ,A B αααα= T 0C αα =. 并问：这样的正定矩阵B 和反对称矩阵C 是唯一的吗？证明： (这里A 是实方阵，没说是对称矩阵，所以不能根据条件就说A 是正定的.)由p.33，习题2.1，第12题，A 可唯一表示为一个对称矩阵B 与一个反对称矩阵C 之和，事实上，A B C =+，其中T 1()2B A A =+为实对称矩阵，T 1()2C A A =-为实反对称矩阵. 对任意非零向量n α∈R ，由于C 是反对称矩阵，则T T T T T T ()C C C C αααααααα= ==- ，故T 0C αα =，这样，又有T T T T T ()A B C B B C αααααααααα 0<=+==+因此，B 是正定矩阵.当然，由于A 表示为对称矩阵与反对称矩阵之和的表示式是唯一的，所以，满足题意的正定矩阵B 和反对称矩阵C 是唯一的.9. 设()ij n n A a ⨯=是n 阶正定矩阵. 证明它的行列式1||nii i A a = ≤∏, 且等式成立当且仅当A 为对角阵.证明： (数学归纳法，对矩阵阶数n 作归纳)1° 若11()A a =为1阶正定矩阵，当然1111||A a a =≤，结论成立.2° 假设结论对所有1n -阶正定矩阵成立. 现考虑n 阶正定矩阵情形，设()ij n n A a ⨯=为正定矩阵. 则将A 分块为：1T nn A A a αα⎛⎫= ⎪⎝⎭，当然，由于A 是实对称矩阵，1A 也是实对称矩阵，且1A 的顺序主子式恰为A 的顺序主子式的前1n -个，故皆大于0，即1A 也是正定矩阵，于是，由归纳假设，111||n ii i A a -= ≤∏，并且等式成立当且仅当1A 为对角阵. 此外，根据正定矩阵的性质知，0nn a >.T11111111111T T 111T 110101010100n n n n nn nn A I I A I A I A A a A A B a A αααααααα---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫= = ⎪-⎝⎭记为说明B 相合于A ，那么B 也是正定矩阵，于是，T 110nn a A αα-->. 由于1A 是正定矩阵，11A -也是正定矩阵，则T 110A αα-≥，这样，T 110nn nn a a A αα-≥->. 因此，11T 1111T 111T 111111100()0101n n nn n n nn nn i iii n i n i A I I A A A B A a A a A A a A a a a αααααα--=--=----=⋅⋅===⋅---≤⋅≤⋅=∏∏易知，上式中等号成立当且仅当：111||n ii i A a -= =∏，且T11nn nn a a A αα-=-. 由归纳假设，111||n ii i A a -= =∏当且仅当1A 为对角阵. 而T 11nn nn a a A αα-=-当且仅当T 110A αα-=，由于11A -是正定矩阵，T 110A αα-=当且仅当10n α-=∈R . 因此，等号成立当且仅当：1A 为对角阵且0α=，即A 为对角阵.综上，结论对任意阶正定矩阵成立.14. 设A 为n 阶正定矩阵, 证明A 可以表成n 个半正定矩阵之和.证明：由于A 为n 阶正定矩阵，所以存在n 阶可逆矩阵C ，使得T A C C I =，于是， T T T T T T T 1122110010101001nn A C C C C C C C C C C C C C CE E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎝=+++=++⎭+ 显然，T ,1,2,,ii C C i E n =，都是半正定矩阵. 结论得证.15. 设()ij n n A a ⨯=是正定矩阵, 则二次型111121221211(,,,)0n n n n nn n na a y a a y g y y y a a y y y =是负定的.证明：记T 21(,,,)n y Y y y = ，则T T T T T 112111T 10(,,,)010)0(010n A Y I A Y I A Yg y y y Y Y A Y A A Y A Y Y A A Y Y A Y------==⋅⋅-==--⋅=-由于A 是正定矩阵，故1A A --是负定矩阵，因此，12(,,,)n g y y y 是负定二次型.16. 证明正定矩阵的最大元素位于主对角线上. (这条也是正定矩阵的性质)证明：设()ij n n A a ⨯=是n 阶正定矩阵，则二次型T ()f X X AX =是正定二次型. 假如A 的最大元素不在主对角线上，设()kl lk a a k l = <是A 的最大元素，取()T00,,0,1,0,,0,1,0,,00k l X k lεε=-=-≠则T 000()0kk ll kl lk f X X AX a a a a ==+--<，这与二次型T ()f X X AX =正定矛盾. 因此，A 的最大元素只能在主对角线上.17. 提示：类似 p.136，定理4，必要性证明. 只是将k α“延伸”为α时，不是在后面直接补0，而是应将k α的分量分别依次放在第1,,k i i 个分量位置，其余位置放上0.当然本题也可用合同变换思想证明.18. 提示：由B 为实可逆矩阵，利用上面的性质1（或第13题）知，T B B 正定，利用第9题即得.。
