下载文档原格式
如何判断正定二次型及例题正定二次型是一个非常重要的概念，它在数学、物理、工程等领域都有广泛应用。
本文将介绍如何判断正定二次型，并提供一些实例加深理解。
一、定义设 $A$ 是一个 $n$ 阶实对称矩阵，$x$ 是 $n$ 维实向量。
则$f(x)=x^T A x$ 称为二次型。
若对于任意非零向量 $x$，都有$f(x)>0$，则称该二次型为正定二次型；若对于任意非零向量 $x$，都有 $f(x)<0$，则称该二次型为负定二次型；若存在某些非零向量$x$，使得 $f(x)>0$，同时存在某些非零向量 $y$，使得 $f(y)<0$，则称该二次型为不定二次型。
二、判断方法1. 特征值法正定二次型的判断方法之一是使用特征值法。
设 $A$ 的特征值为 $lambda_i$，对应的特征向量为 $x_i$。
则二次型 $f(x)=x^T A x$ 可以表示为：$$f(x)=sum_{i=1}^n lambda_i x_i^2 $$因此，若 $lambda_i>0$，则 $f(x)$ 为正定二次型；若$lambda_i<0$，则 $f(x)$ 为负定二次型；若存在特征值$lambda_i$ 为 $0$，则不能判断二次型的类型。
2. 奇异值法奇异值法也是判断正定二次型的一种方法。
设 $A$ 的奇异值为$sigma_i$，对应的奇异向量为 $v_i$。
则二次型 $f(x)=x^T A x$ 可以表示为：$$f(x)=sum_{i=1}^n sigma_i^2 (x^T v_i)^2 $$因此，若 $sigma_i>0$，则 $f(x)$ 为正定二次型；若$sigma_i<0$，则 $f(x)$ 为负定二次型；若存在奇异值$sigma_i$ 为 $0$，则不能判断二次型的类型。
3. 行列式法设 $A$ 的顺序主子式为 $D_i$，则有以下判断规律：1) $D_i>0$（$i=1,2,cdots,n$），则 $f(x)$ 为正定二次型。
