最新人教版高中数学必修2第三章《直线的倾斜角与斜率》目标导引

人教版高中数学直线的倾斜角和斜率教案一、教学目标1. 理解直线的倾斜角的概念，能够求直线的倾斜角。

2. 掌握直线的斜率计算公式，能够计算直线的斜率。

3. 理解倾斜角和斜率之间的关系，能够运用关系解决实际问题。

二、教学重点与难点1. 教学重点：直线的倾斜角的概念，直线的斜率计算公式，倾斜角与斜率之间的关系。

2. 教学难点：倾斜角与斜率之间的转换，运用关系解决实际问题。

三、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，如登山绳的倾斜角度，引出直线的倾斜角的概念。

2. 新课导入：介绍直线的倾斜角和斜率的定义，讲解直线的倾斜角和斜率的概念。

3. 实例讲解：通过具体例题，讲解直线的斜率计算公式，引导学生理解并掌握公式。

4. 练习巩固：布置练习题，让学生运用所学知识计算直线的斜率，巩固所学内容。

5. 知识拓展：引导学生思考倾斜角和斜率之间的关系，讲解二者之间的关系。

6. 课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调直线的倾斜角和斜率的概念及计算方法。

四、作业布置1. 计算下列直线的斜率：（1）直线y=2x+1；（2）直线x=3。

2. 思考题：（1）直线的倾斜角和斜率之间的关系是什么？（2）如何运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题？五、教学反思本节课通过具体实例引入直线的倾斜角的概念，让学生理解并掌握直线的斜率计算公式，通过练习题巩固所学内容。

在教学过程中，注意引导学生思考倾斜角和斜率之间的关系，培养学生的思维能力。

在作业布置上，既有计算题，又有思考题，让学生在巩固知识的能够运用所学知识解决实际问题。

总体来说，本节课达到了预期的教学目标。

六、教学策略1. 运用数形结合的方法，通过图形展示直线的倾斜角和斜率，帮助学生直观理解概念。

2. 采用“问题驱动”的教学模式，引导学生主动探究直线的倾斜角和斜率之间的关系。

3. 利用实际生活中的实例，让学生体验数学与生活的紧密联系，提高学习兴趣。

4. 设计层次化、多样化的练习题，满足不同学生的学习需求，提高学生的实践能力。

第三章第一节直线的倾斜角与斜率第二课时设计思想本课教学的指导思想是：让学生亲身体验直线的倾斜角与斜率这两个数学概念形成的“心路历程”，即它们是怎么样定义出来的．因为数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，要通过典型例子的分析和学生的自主探索活动，促使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，从而体会蕴涵在其中的数学思想方法．因此，本课设计上以“引入—探究—归纳”模式作为教学特色．教材分析本节课的教学内容为：人教A版必修2第三章《直线与方程》的第一课时——3.1.1倾斜角与斜率．《课程标准》指出：①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式．《学科教学指导意见》与此相同，不过另外提出了发展要求：能用三角函数描述斜率．第三章《直线与方程》是平面解析几何初步的开篇教学内容，主要是用坐标法研究平面上最简单的曲线——直线．它的第一节内容是§3.1直线的倾斜角与斜率，这一节教学分两个课时：第一课时就是3.1.1倾斜角与斜率，第二课时是3.1.2两条直线平行与垂直的判定．作为高中阶段教学中的重点模块——解析几何的首章首节的第一课时，它起着“承上启下”的重要作用．“承上”是因为学生在初中已学过直线(一次函数)的内容，对直线已有了一定的感性认识和知识基础；“启下”是指学生还没有真正系统的接受过解析几何研究问题的方法，即用代数的方法研究几何图形的性质，这是数形结合的数学思想．通过本课时教学，学习和掌握好直线的倾斜角与斜率，不仅可以为研究直线方程、两直线的位置关系、点到直线的距离等本章的后续内容打下基础，而且对初步感受和体验解析几何的主要方法——坐标法，可以起到领进门的“带头”的作用，为以后进一步深入学习奠定了思想和方法的基础．“良好的开端是成功的一半”．能否学好本节“开堂”课，必将关系到学生对解析几何知识学习的未来，例如这节课中的直线斜率不存在的问题，在直线与圆、直线与圆锥曲线的问题解决中，仍是一个难点，这节课中没有真正理解的话，很可能成为教学中“永远的痛”．因此，从某种意义上讲，本节课甚至决定着解析几何教学的成败也不为过．学情分析学生原有的知识基础：初中已学的一次函数(直线)的认识，让学生对直线倾斜角具有直接的认同感；三角函数和向量作为工具，用于倾斜角的大小、向量的平移的研究，为解决斜率的引入和代数表示两点斜率公式的推导，提供了知识上的支持；向量的运用也更好地解决了斜率与直线上两点位置是否相关的问题．1．直线的倾斜角由画正方形的对角线来引入，从学生已有的知识出发，在问题解决中由感性向理性思考．2．直线的倾斜角概念及范围：用“最简”的思想去确定，通过尝试、比较后决定，而不是硬性地规定，使学生感受到数学是自然的，不是强加给他们的；数学的概念不是靠死记硬背，在经历概念形成的过程中达到掌握和理解概念．3．以过原点的直线为“支点”，推广到其他情形，这样从简单到复杂、从特殊到一般的教学更易为学生接受和理解．4．同样先讨论过原点直线的斜率，再推广到一般，结合已学的向量平行的几何意义，就能顺利推导过两点直线的斜率公式．5．对倾斜角为90°的直线斜率，可利用正切的定义或函数的定义域加以判断，tanα当然不存在．6．为什么用正切表示直线的斜率？教材和教师用书上都是用“坡度”这个平面几何的量去引入斜率．那么，为什么不用sinα、cosα呢？考虑到已经学过三角函数的内容，因此对这三个函数进行选择，从定义和图象性质两方面入手比较，过程更具挑战性，这样的安排更加合理些．教学目标(一)知识与技能目标1．理解和掌握直线倾斜角的概念与它的范围．2．理解和掌握直线斜率的概念和倾斜角与斜率的关系．3．掌握过两点的直线的斜率公式并能用于计算．为学生以后的学习打好扎实的基础，特别要明确当倾斜角为直角时，直线没有斜率．(二)过程与方法目标1．经历倾斜角与斜率的形成过程，感受分类讨论的思想2．经历用代数的方法刻画直线斜率的过程，感受解析几何的基本方法3．初步体验“坐标法”，感受数形结合的思想解析几何的主要特点是“算”，即“以数助形”．通过对倾斜角与斜率的“量化”，引领学生开启“由常量数学进入变量数学”的大门．(三)情感、态度与价值观目标1．在探索确定直线几何要素的过程中，培养学生运用数学语言表达、交流合作的能力．2．对概念形成的探索，增强学生观察发现、归纳抽象的数学思维能力．3．对定义的合理性的分析，提高学生理性思维的能力．学生的学习过程应当成为教师引导下的“再创造”过程，在不断思考、自我反思过程中理解和掌握概念，才能正确运用所学知识．重点难点(一)教学重点直线的倾斜角与斜率的概念；用代数的方法刻画直线斜率的过程；直线斜率的计算公式．(二)教学难点直线的倾斜角与斜率的关系；直线斜率公式的推导．(三)教学策略与手段教学过程中，在教师的引导和组织下，鼓励学生自主探索与合作交流，通过教师创设适当的问题情境，使学生发现数学的规律和问题解决的途径，让他们经历知识形成的过程．课前准备(一)学生的学习准备1．在一个直角坐标系中画直线：y＝x，y＝x－1，y＝2，x＝－3.2．复习必修4中的《平面向量》．(二)教师的教学准备制作多媒体课件，事先拷贝到教室电脑上并预演、试验．(三)教学环境的设计与布置课前打开教室的电脑和投影仪．(四)教学用具的设计和准备使用几何画板演示，过一点可以有无数条不同的直线，而每条直线对应有唯一的倾斜角，加强了几何直观，由此在感性的基础上引导学生进行理性思考；利用平移的动画演示，还可以让学生体验对概念和公式从特殊到一般的推广过程；小结和作业等的幻灯片的使用，提高了课堂教学的效率．教学过程(一)直线倾斜角1．引入：过平面上一点A能画几条直线？两点呢？画边长为3 cm的正方形的一条对角线所在直线AC，像黑板上边长为30 cm的正方形，你能用自己的工具来画直线AC吗？利用∠CAB＝45°来确定直线AC，说明过一点和一个“角”也能确定一条直线，这个角是直线AC 与定直线AB(或AD)所成的角．放到直角坐标系中，若以A为原点，讨论：现在，定直线有x轴或y轴，怎样选择？方向是正向还是负向？选与x轴正向所成的角，更符合“视觉”习惯吧．直线AC的方程就是y＝x，与x轴正向成的角表示为π4＋2kπ或5π4＋2kπ(k∈Z)，两种角的终边在同一直线上，方向向上还是向下？选前者；正角还是负角？最后确定为直线方向向上与x轴正半轴所成的[0，π)内的角．2．探究：由动画演示过原点的直线与[0，π)内的角有一一对应的关系，若与直线x 轴重合时，可看作为0.对过原点的直线，只要这个“角”确定，那么直线也确定，反之也是；这个“角”反映出对应直线的倾斜程度，称之为“倾斜角”．那么，不经过原点的其他直线的倾斜角在哪里？利用“两直线平行，同位角相等”就能说明．3．归纳：一般地，给出直线倾斜角的定义(略)，说出倾斜角α的范围是[0，π)，如下进行分类．图5 (二)直线的斜率1．引入：如果已知直线的方程是y ＝x ，怎样确定它的倾斜角？y ＝3x ，y ＝2x 呢？ 在每条直线上取一个特殊点，然后利用坐标来研究．2．探究：对三条特殊的直线，由两个思维层次去考查：一方面从三角函数的定义sin α＝y r 、cos α＝x r 与tan α＝y x来思考；另一方面从三种函数在[0，π)上的图象去研究． (1)此时sin α∈[0,1]，但在[0，π)上不单调，因为x ∈(0，π)时，图象关于x ＝π2对称，若sin α＝22，α＝45°还是135°？所以sin α的值不能唯一确定α的大小；另外，当直线在第一、第三象限分别取点，却有sin α>0与sin α<0，正弦值不能与α建立一一对应关系．(2)y ＝cos x 虽然在[0，π)上单调但递减；当直线在第一、第三象限取点分别有cos α>0和cos α<0，余弦值也不能与α建立一一对应关系．说明：一般地，α的正弦值和余弦值都不能唯一确定α的大小．(3)tan α在第一、三象限都取正数，且y ＝tan x 在(0，π2)和(π2，π)分别递增．比较这三种情况，可以得出用tan α能够确定倾斜角α的大小，且一一对应．具体地说：当α∈(0，π2)时，tan α>0且随α的增大而增大；当α∈(π2，π)时，tan α<0且随α的增大而增大；当α＝90°时，tan α不存在．说明tan α也能反映直线的倾斜程度，称之为直线的“斜率”．3．归纳：若要求y ＝kx 的斜率呢？类似地有tan α＝y x.发现：斜率tan α原来就是这个系数k ，所以常用k 来表示直线的斜率．推广到一般，其他直线看作平移而得到，于是有斜率的定义：当倾斜角α≠90°时，斜率就是k ＝tan α；当α＝90°时，直线没有斜率．对应上面(一)3中的四个图形有：(1)α＝0°⇔k ＝0；(2)0<α<90°⇔k >0；(3)α＝90°⇔k 不存在；(4)90°<α<180°⇔k <0.说明：斜率是另一个能表示直线倾斜程度的量；过一定点和已知直线斜率能确定一条直线．(三)过两点的直线斜率公式1．引入：过两点能确定一条直线，如直线l 过两点P 1(－2，－1)、P 2(2,3)，那么这条直线的斜率怎么求呢？借用上面的方法，过原点l 作平行线l ′，由P 1P 2→＝(4,4)，根据向量平行的几何意义，设OP →＝P 1P 2→，则点P (4,4)在l ′上，k ′＝44＝1＝tan α，则l ′的斜率为1，倾斜角为45°，所以l 的斜率也是1，倾斜角为45°.2．探究：一般地，已知直线l 上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)，则P 1P 2→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，平移向量使P 1P 2→＝OP →，则有P (x 2－x 1，y 2－y 1)，那么k ＝tan α＝y 2－y 1x 2－x 1.讨论：图6 (1)如果交换P 1与P 2的位置，同样有k ＝tan α＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 2－y 1x 2－x 1. (2)若l 上另取两点P 3(x 3，y 3)，P 4(x 4，y 4)(x 3≠x 4)，由于P 1P 2→与P 3P 4→共线，有P 3P 4→＝λP 1P 2→＝λ(x 2－x 1，y 2－y 1)，得P (λ(x 2－x 1)，λ(y 2－y 1))，tan α＝λ(y 2－y 1)λ(x 2－x 1)＝y 2－y 1x 2－x 1. 说明：直线l 的斜率与l 上两点的位置无关．归纳：于是得出直线斜率的计算公式．直线上有两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则这条直线的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1，这个公式有什么限制条件？(x 1≠x 2.因为当x 1＝x 2时，分母等于零，没有意义，此时对应的倾斜角是直角，斜率k 不存在．)知识凡固1．例题选讲：课本本节例1、例2；2．课堂练习：课本本节练习1、2、3、4.反思小结1．直线倾斜角和斜率这两个量，分别从“形”和“数”两方面描述了直线的倾斜程度．2．直线倾斜角α的定义和范围；并指出：“任何直线都有倾斜角，但不都有斜率”．3．斜率k ＝tan α与k ＝y 2－y 1x 2－x 1这两个公式的条件分别是：α≠π2和x 1≠x 2，究其本质是相同的．4．思考题：(1)仅已知直线的倾斜角，能确定一条直线吗？这些直线有什么关系吗？(2)仅已知直线的斜率，能确定一条直线吗？这些直线有什么关系吗？板书设计作业设计1．设一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象是直线l ，则l 倾斜角的取值范围是 …( )A ．(0，π2)B ．[0，π)C ．(0，π)D ．(0，π2)∪(π2，π) 2．直线x ＝k (k ∈R )的倾斜角α( )A ．不存在B ．是0C ．是直角D ．由k ＝tan α而确定3．直线x ＝3y 的斜率是( )A.π6B.π3C.33D. 3 4．斜率为－3的直线倾斜角的大小是( )A ．60°B ．120°C ．30°D ．150°5．直线l 过两点A (1,1)、B (2,0)，则l 的倾斜角α＝__________.6．某山地斜坡与水平面成75°角，那么这个斜坡的坡度等于__________．7．若直线l 的倾斜角为150°，且过点P (3，－2)，则l 在y 轴上的截距是________．8．设直线l 的斜率为k ，且已知：关于x 的一元二次不等式x 2－2kx ＋1<0的解集为空集，求直线l 倾斜角α的范围．参考答案1．D 2.C 3.C 4.B 5.135° 6.2＋3 7.－1 8.[0，π4]∪[3π4，π)． 问题研讨1．在这里，数学的概念或定义通过这样的“探究”来进行教学，是否应更多运用？2．不使用“坡度”导入斜率，是否恰当，实际的效果相对又会如何？。

第三章第一节直线的倾斜角与斜率第一课时教学设计（一）根据新一轮课程改革的要求，新授课的教学设计必须用现代建构主义理念作指导，其核心意义在于不仅要突出学生对数学知识的掌握和数学能力的培养，还要关心和改善学生的学习方式，更要重视学生对数学的情感、态度等非智力因素的发展，如对创新起至关作用的“兴趣和好奇心”“问题意识”“毅力”等，从本质上体现素质教育的要求．本设计注重了探究过程的展开，使学生进一步理解、渗透数形结合、分类讨论的数学思想方法；同时，本设计还注重培养学生对数学知识的理解能力、应用能力以及转化能力．教材分析直线的倾斜角和斜率从初中所学“两点确定一条直线”出发，引起学生对平面直角坐标系中的直线的几何要素的确定，是今后学习直线方程的必备知识．它不仅在人们的生活、生产、科技中有着广泛的实际应用，如神六的发射、建筑的设计有关计算等等，而且通过本节课的学习，能够培养学生观察、分析、猜想、抽象概括等数学基本思维方法．而这些又都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．学情分析教学对象是刚接触解析几何的学生，虽然具有一定的观察和分析问题的能力，抽象概括能力也已初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻与辩证，从而导致思维的片面、不够严谨，同时学生又很容易把本节内容与立体几何中所学的研究方法进行类比，但其在认知上有明显的不利因素：解析几何所用的研究方法与欧氏几何不同，前者是在直角坐标系的基础上，而后者所用的研究方法是以公理为基础，容易有思维的负迁移．教学目标1．知识与技能目标(1)正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．(2)理解直线的倾斜角的唯一性．(3)理解直线的斜率的存在性．(4)斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．设计意图：这一目标体现了基础知识的落实、基本技能的形成，这是数学教学的首要环节，也正符合课程标准的要求．2．过程与方法目标通过过两点的直线斜率公式及其应用，培养学生对数学知识的理解能力，应用能力及其转化能力；通过坐标法的引入，培养学生联系、对应、转化等辩证思维．设计意图：因为数学教学的最终目的是通过思想方法的渗透以及思维品质的锻炼，从而让学生在能力上得到有效、持续地发展．3．情感、态度与价值观(1)通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生的观察、探索能力，运用数学语言的表达能力、数学交流与评价能力．(2)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．重点难点分析本节课的重点：直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式．难点：斜率概念的学习，过两点的直线的斜率公式．设计意图：这样确定重点，既能夯实“双基”，又培养学生观察、探索能力、运用数学语言表达能力、数学交流与评价能力．帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．教学策略与手段以问激学、以景激情、师生共同探讨，这样既能尊重学生的主体地位，又能充分发挥教师的主导作用，让学生亲历数学的发现过程，能充分调动学生学习的积极性与主动性．课前准备1．学生的学习准备：复习初中一次函数的图象及相关的性质，预习本节新课知识．2．教师的教学准备：了解学生原有的直线储备知识的基础上备课，制作课件．3．教学环境的设计与布置：在提前一周内，用黑板报及图片方式宣传创立解析几何的两位数学家笛卡儿和费马的相关历史，以及在几何方面有突出贡献(实现机器证明)的我国数学家吴文俊．4．教学用具的设计和准备：多媒体、三角板．教学过程创设情境，提出问题一次函数的图象有什么特点？提出问题在直角坐标系中棳过 一个定点P 的直线位置确定吗?问题：它对x 轴的相对位置有几种情形，请画出来？(学生总结概括)引入倾斜角的概念来刻画直线的倾斜程度．设计意图：这样，学生可以在对比、观察、思维的基础上提升自己的思维，使新旧知识之间尽可能产生自然的联系，而不是人为地告诉其正确的结果，把经验、结论强加给学生．尊重学生，首先要接纳学生的认知基础，并加以诱导，使不同层次的学生都得到发展，这也正是“双自主”实验所倡导的．由楼梯坡度的启发，引入直线的斜率图1 图2提问：日常生活中，我们还有没有表示倾斜程度的量呢？学生可以自主回答，教师根据学生的回答利用多媒体演示不同坡度的楼梯，并说明“坡度”实际就是“倾斜角α的正切”．从而得出斜率的概念．这样我们就得出一个是从“形”的方面刻画直线相对x 轴的倾斜程度——倾斜角，一个是从“数”的方面刻画直线相对x 轴的倾斜程度——斜率，同时强调倾斜角是90°的直线没有斜率．引入斜率的定义及表示法k ＝tan α(α≠90°)．设计意图：以日常生活中的斜面为例，引入斜率的概念，然后通过多媒体师生互动探讨，加深对斜率的理解，也有助于培养学生的观察分析，抽象概括能力．生活中的实例以及多彩的多媒体图片可激发学生的学习兴趣，充分引导学生主动参与的意识．在明白直线的倾斜角与斜率都是用来刻画倾斜程度的基础上，进一步提出问题：斜率为正或负时，倾斜角是怎样变化的？直线具有 怎样的位置？学生思考，探究，可借助多媒体(教师演示或让学生亲自操作动画过程)．如图3：拖动点P ，改变直线的倾斜角α，可以观察到什么？然后由学生发现与总结．图3设计意图：充分利用现代化教学手段，引进数学实验，呈现直观、形象的数学，让问题的设计更具有开放性，更能激发学生的学习兴趣；把数学的学术形态转化为学生易于接受的教学形态，化解学生的认知疑难．探究：直线斜率与直线上两点有关吗？提出问题如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率的定义tan α求出直线的斜率；如果给定直线上的两点坐标，直线是确定的，倾斜角也是确定的，斜率就是确定的，那么又怎样求出直线的斜率呢？即已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，求直线P 1P 2的斜率(见教材中图)．首先实验、演示，观察、猜想．利用几何画板课件演示：学生观察①两点坐标的变化；②观察斜率与坐标y 1－y 2x 2－x 1比值的关系，探索猜测k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 设计意图：多媒体课件的引入可以增强课堂的趣味性，能够在动态演示中化解教学难点，有效的解决教学重点．(学生思考，自主探究，合作交流)其次利用多媒体演示探究过程，最后请同学们用已学知识给出证明．(1)引导图形的4种可能情形．(2)把α转化到直角三角形中．(3)然后用数形结合的思想求出倾斜角的正切值．设计意图：利用多媒体演示探究过程，课堂上的探究成果，犹如磁铁一般吸引着学生．带着强烈的好奇心，学生的自主探究便扬帆起航了，更关键的是有如弗赖登塔尔指出的那样，有利于学生亲自参加“数学再创造”的历程．学生通过同化和顺应等心理活动，自主构建数学知识，不断完善数学认知结构，并有充分的机会表达自己对问题的理解和认识，从而获得成就感，改变那种“灌输——接受”的落后学习方式，让学生真正成为数学学习的主体．让他们感受到数学探索的价值和魅力．纠错题：根据学生对概念的理解，请同学们思考以下几个问题．(1)不论倾斜角α是锐角还是钝角，斜率表示式是否一样？(2)当直线倾斜角α确定后，k值与点A，B的顺序是否有关？(3)当直线AB与x轴平行或重合时，公式还成立吗？(4)当直线AB与y轴平行或重合时，公式还成立吗？教师结合学生的回答，强调公式的适用条件(让学生了解分类讨论的思想方法)并熟记公式，以便以后的应用．设计意图：不仅完善了斜率的公式，也有助于培养学生的质疑意识，养成勤于动脑的良好思维习惯．有助于帮助学生自主学习，学会学习．例题教学1如图4，已知A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．(由形定数)例1是简单的应用，可略讲．图42在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，－1，2和－3的直线．(由数定形)例2可用启发式教学：问1：已知斜率和原点，能不能迅速画出对应的直线？问2：通过斜率能找到倾斜角吗？问3：还可以选用什么方法找呢？(两点确定一条直线)最后师生共同利用斜率公式找出直线上除原点的另一点，并利用多媒体画出对应的直线．设计意图：通过教科书例1和例2，巩固对倾斜角与斜率概念的理解及应用，并且培养学生自主探究、解决问题的能力．课堂练习一组辨析概念的是非题．教科书本节练习中第1、2、3、4题，其中1、2题以对答案的方式，3、4题可借助计算机直接生成图象，使学生获得直接映象．设计意图：使学生进一步熟练对倾斜角、斜率的定义及斜率公式的理解．从而体验到学习的成功和快乐．课堂小结(1)今天学到了什么？(2)体验了哪些数学思想？(3)对今天的问题你还有什么困惑吗？设计意图：在这节课的最后由学生进行反思与评价；由学生谈学习本节课的最大收获，可以是知识上的，也可以是方法能力上的．知结构和板书设计1．必做题：课本习题3.1 A 组1、2、3、4、5题．2．备选练习：(1)直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，若－1<k <1，则α的取值范围是( )A ．(－π4，π4)B ．[0，π4)∪(3π4，π) C ．(0，π4)∪(π2，3π4) D ．[0，π4)∪(3π4，π] (2)直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，若π4＜α＜3π4，则k 的取值范围是( ) A ．[－1,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．[－1,1](3)已知直线l 的斜率A ＝－2k ＝－2，A (－1,1)为l 上的一定点，P (x ，y )为l 上的一动点，则y 关于x 的函数关系式是______________．设计意图：设计选做题的目的是注意分层教学和因材施教，为学有余力的学生提供思考与训练的空间．问题研讨1．新课程教学中如何把所学知识应用到生活实际中的应用意识的培养？2．探究式学习方法在目前的新课标下，如何在实际的课堂教学中使学生真正有所收益？怎么避免基础差的学生探究行为进展停顿的现象？3．“两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等”这个辨析题是否有价值？。

1.1直线的倾斜角和斜率“导学案”：【学习目标】 1了解在直角坐标系中，确定直线位置的几何要素2理解直线的倾斜角和斜率的概念3掌握过两点的斜率的计算公式 【重点难点】重点是直线的倾斜角和斜率的概念；难点是是直线的倾斜角与斜率的关系【知识链接】复习 1：在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不 能确定一条直线呢?复习 2：在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭, 有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢?【学法指导】一倾斜角和斜率的概念探究任务1（看课本59 一、直线的确定，然后思考并填空）在直角坐标系中，确定直线位置的几何要素有1倾斜角的定义是注：1定义的关键①直线向上方向；②x 轴的正方向；③小于 平角的正角.2当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾 斜角为 度..试试：请描出下列各直线的倾斜角函数y=x 的图像的倾斜角为 , y=-x 的图像的倾斜角为 , 直线x=1倾斜角为 ,直线y=0倾斜角为 .3：直线倾斜角的范围为探究任务2：在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度” ，则坡度的公式是怎样的？2斜率的定义：一条直线的倾斜角 a (α≠900) 的正切值叫做这条直线的斜率(slope).记为k= tan . 试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为⑴ α=0°时，则k⑵ 0°<α< 90°,则k⑶ α= 90°，,则k⑷ 90 °<α< 180°，则k二斜率的公式： 已知直线上两点1p (),11y x ,),(222y x p (21x x ≠)的直线的斜率公式： 1212x x y y k --= .探究任务三：1.已知直线上两点),(),,(2211b a B b a A 运用上述公式计算直线的斜率时，与 , A B 两点坐标的顺序有关吗？2．当直线平行于 y 轴时，或与 y 轴重合时，上述公式还需要适用吗？为什么？※ 典型例题例 1 已知直线的倾斜角，求直线的斜率：⑴ 。

人教版高中数学直线的倾斜角和斜率教案第一章：直线的倾斜角教学目标：1. 理解直线的倾斜角的概念；2. 学会计算直线的倾斜角；3. 掌握直线的倾斜角与斜率的关系。

教学重点：直线的倾斜角的概念及计算方法。

教学难点：直线的倾斜角与斜率的关系。

教学准备：直角坐标系图。

教学过程：1. 引入：引导学生回顾初中阶段学过的直线的倾斜概念，提问：直线的倾斜角是什么？2. 讲解：讲解直线的倾斜角的定义，通过直角坐标系图，演示直线的倾斜角的计算方法。

3. 练习：让学生在直角坐标系图中找出给定直线的倾斜角，并计算。

第二章：斜率的定义教学目标：1. 理解斜率的定义；2. 学会计算直线的斜率；3. 掌握斜率的符号表示。

教学重点：斜率的定义及计算方法。

教学难点：斜率的符号表示。

教学准备：直角坐标系图。

教学过程：1. 引入：引导学生回顾初中阶段学过的斜率概念，提问：斜率是什么？2. 讲解：讲解斜率的定义，通过直角坐标系图，演示斜率的计算方法。

3. 练习：让学生在直角坐标系图中找出给定直线的斜率，并计算。

第三章：斜率的计算教学目标：1. 掌握斜率的计算方法；2. 学会使用斜率公式；3. 能够应用斜率公式解决实际问题。

教学重点：斜率的计算方法及应用。

教学难点：斜率公式的运用。

教学准备：直角坐标系图。

教学过程：1. 引入：让学生回顾上一章所学的内容，提问：如何计算直线的斜率？2. 讲解：讲解斜率的计算方法，通过直角坐标系图，演示斜率的计算过程。

3. 练习：让学生运用斜率公式计算给定直线的斜率，并解决实际问题。

第四章：直线的倾斜角与斜率的关系教学目标：1. 理解直线的倾斜角与斜率的关系；2. 学会利用直线的倾斜角求斜率；3. 能够利用斜率求直线的倾斜角。

教学重点：直线的倾斜角与斜率的关系。

教学难点：利用斜率求直线的倾斜角。

教学准备：直角坐标系图。

教学过程：1. 引入：让学生回顾前几章所学的内容，提问：直线的倾斜角与斜率有什么关系？2. 讲解：讲解直线的倾斜角与斜率的关系，通过直角坐标系图，演示如何利用直线的倾斜角求斜率，以及如何利用斜率求直线的倾斜角。

3.1.3 直线的倾斜角与斜率、平行与垂直的应用一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，加深数形结合思想的应用，灵活的运用斜率公式，定义，与其它知识融合，提升数学思维和数学能力． （二）学习目标 1．深化倾斜角和斜率的关系变化．2．灵活运用两点连线的斜率公式，提升数形结合思想．3．结合其它函数，三角知识，提高数学能力．（三）学习重点 1．数形结合的思想和方法． 2．公式的熟练应用．3．综合性问题的解题途径和策略的学习．（四）学习难点 1．数学结合思想的实际应用． 2．多内容融合后的分析问题的方法．3．几何性质转化为数学等式的能力．二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 （1）回顾前两节的知识，填空：直线l 的倾斜角的范围是)000,180α⎡∈⎣． 我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫这条直线的斜率，即：tan k α＝．经过两点111(,)P x y ，222(,)P x y ()12x x ≠的直线的斜率2121y y k x x --＝． 当直线l 1，l 2的斜率存在时，12l l ⇔12αα＝⇔12k k ＝．当直线l 1，l 2的斜率存在时，12l l ⊥⇔12k k ＝-1．2．预习自测（1）如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是（ ）A ．-13B ．3-C ．13D ．3【知识点】直线的斜率． 【数学思想】数形结合．【解题过程】结合图形，通过画图平移直线 【思路点拨】从图形入手 【答案】A（2）若1(2,3),(3,2),(,)2A B C m --三点共线 则m 的值为（ ）A ．21B ．21- C ．2- D ．2【知识点】点的坐标与直线的斜率．【解题过程】三点共线则任意两点间连线的斜率相等，建立方程求解． 【思路点拨】点的坐标与直线的斜率的关系建立方程 【答案】A（3）已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．34k ≥B ．324k ≤≤C ．324k k ≥≤或D ．2≥k【知识点】点的坐标与直线的斜率． 【数学思想】数形结合【解题过程】先求出P 与两个端点连线的斜率，再从图形得到范围． 【思路点拨】数形结合得答案 【答案】C (二)课堂设计 1．问题探究探究一 复习倾斜角和斜率的定义，公式，应用 ●活动① 回顾知识请在笔记本上分别画出一条倾斜角为锐角、直角、钝角的直线，默写斜率公式．【设计意图】回忆已有知识，加强知识的记忆．●活动②例题解答，加深对知识的理解和掌握．例1．某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数关系如图所示（收支差额=车票收入-支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则A．①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ）B．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ）C．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ）D．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）【知识点】直线的关系，直线的斜率．【数学思想】数形结合．【解题过程】从题目意义理解，建议(Ⅰ)不改变车票价格，减少支出费用，则所得射线与原射线平行；建议(Ⅱ)不改变支出费用，提高车票价格，则所得射线与原射线起点相同，斜率更大．【思路点拨】从实际问题的意义去理解【答案】B【设计意图】通过实际问题的分析，培养学生应用数学知识的能力，加深对直线斜率的理解．●活动③例题解答，加深对知识的理解和技巧的掌握．例2．已知实数x，y满足2x＋y＝8，当2≤x≤3时，求yx的最大值与最小值．【知识点】斜率与坐标的关系．【数学思想】数形结合【解题过程】yx的几何意义是过M(x，y)，N(0，0)两点的直线的斜率∵实数x，y满足2x＋y＝8，且2≤x≤3，∴设该线段为AB 且A (2，4)，B (3，2)．∵k NA ＝2，k NB ＝23，∴y x 的最小值为23，最大值为2． 【思路点拨】联想斜率公式． 【答案】y x 的最小值为23，最大值为2． 【设计意图】通例题的解答，加强对斜率的坐标公式的理解和掌握． ●活动④ 变式练习，加深对知识的理解和技巧的掌握，培养学生综合能力．变式一．过原点引直线l ，使l 与连接)1,1(A 和)1,1(-B 两点间的线段相交，则直线的倾斜角的取值范围是 ．【知识点】斜率与坐标的关系，倾斜角与斜率的关系． 【数学思想】数形结合【解题过程】A (1，1)，B (1，-1)． ∵k OA ＝1，k OB ＝1-，结合图形∴[]1,1k ∈-，联系倾斜角{}|045,135180ααα︒≤≤︒︒≤<︒或【思路点拨】先求斜率范围，再联系倾斜角与斜率的关系求倾斜角范围． 【答案】{}|045,135180ααα︒≤≤︒︒≤<︒或．【设计意图】通例题的解答，加强对斜率与倾斜角关系的理解和掌握． ●活动⑤思考与总结：倾斜角的变化与斜率变化的规律探究二 复习两直线平行，垂直的关系与应用 ●活动① 回顾知识请在笔记本上默写两条直线相互垂直的条件和两直线平行的条件． 【设计意图】回忆已有知识，加强知识的记忆． ●活动② 例题解答，加深对知识的理解和掌握．例3．已知直线1l ：012=++y a x 和直线2l ：03)1(2=+-+by x a ．（1）若12-=b ，21//l l ，求a 的值； （2）若21l l ⊥，则b a ⋅的最小值． 【知识点】两条直线的平行、垂直关系．【解题过程】12-=b ，21//l l ，则22(1)a a b +=-得到3±=a ；21l l ⊥则22(1)0a a b +-=，得到222(1)1112a b ab a a a a+==+⇒=+≥ 【思路点拨】用平行与垂直的关系的关系建立等式 【答案】（1）3±=a （2）2【设计意图】通过例题的解答，加深两条直线的平行、垂直关系理解和掌握． ●活动③变式练习，加深对知识的理解和技巧的掌握，培养学生综合能力．变式二：若点A (a,0)，B (0，b )，C (1，－1)(a >0，b <0)三点共线，则a －b 的最小值等于( ) A ．4 B ．2 C ．1D ．0【知识点】斜率与坐标的关系． 【解题过程】∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即b －00－a ＝－1－01－a，∴1a －1b ＝1．∴a －b ＝(a －b )(1a －1b )＝2－b a －a b ＝2＋[(－b a )＋(－ab )]≥2＋2＝4．(当a ＝－b ＝2时取等号)． 【思路点拨】先建立关系，再求范围． 【答案】A ．【设计意图】通学生动手练习，加强对斜率公式理解和掌握． ●活动④ 例题解答，加深对知识的理解和技巧的掌握．例4．设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线xsinA+ay+c=0 与bx﹣y sin B+sin C=0的位置关系是（ ）A ．垂直B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直【知识点】解三角形，两条直线的平行、垂直关系．【解题过程】a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长则sin sin sin a b c A B C ==，则1212sin ,1sin A bk k k k a B=-=⇒=-，所以两直线垂直． 【思路点拨】利用正弦定理寻找关系 【答案】A【设计意图】通过例题的解答，加深两条直线的平行、垂直关系理解和掌握． 【答案】A 3．课堂总结 知识梳理整理与记忆前两节公式． 直线l 的倾斜角的范围是)000,180α⎡∈⎣．我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫这条直线的斜率，即tan k α＝． 经过两点111(,)P x y ，222(,)P x y ()12x x ≠的直线的斜率2121y y k x x --＝． 当直线l 1，l 2的斜率存在时，12l l ⇔12αα＝⇔12k k ＝．当直线l 1，l 2的斜率存在时，12l l ⊥⇔12k k ＝-1．重难点归纳公式2121y y k x x --＝应用的过程中数形结合． （三）课后作业 基础型 自主突破1．若A 、B 两点的横坐标相等，则直线AB 的倾斜角和斜率分别是( ) A ．45°，1 B ．135°，－1 C ．90°，不存在D ．180°，不存在【知识点】倾斜角与斜率的概念，关系． 【数学思想】【解题过程】若A 、B 两点的横坐标相等，倾斜角为90°，斜率不存在． 【思路点拨】倾斜角与斜率的概念，关系判断． 【答案】C ．2．若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成60°角，则l 的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°【知识点】倾斜角的概念 【数学思想】数形结合【解题过程】直线l 可能有两种情形，如图所示，故直线l 的倾斜角为30°或150°．【思路点拨】画图了解． 【答案】C ．3．直线l 过点A (1,2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的最大值是( ) A ．0 B ．1 C ．12D ．2【知识点】斜率定义． 【数学思想】数形结合【解题过程】如图，k OA ＝2，k l ′＝0，只有当直线落在图中阴影部分才符合题意，故k ∈[0,2]．故直线l 的斜率k 的最大值为2． 【思路点拨】画图． 【答案】D ．4．已知直线()()1:424240l m x m y m --++-=与()()2:1210l m x m y -+++=，则“2m =-”是“12//l l ”的（ ）条件．A ．充要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分又不必要 【知识点】两直线平行的关系． 【数学思想】【解题过程】()()()()1242//2412m m l l m m m +=-+-⇒-=±⇒，【思路点拨】 【答案】B ．5．已知三条直线2310x y -+=， 4350x y ++=， 10mx y --=不能构成三角形，则实数m 的取值集合为（ ）A ．42,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．42,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．424,,333⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．422,,333⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【知识点】直线间的关系． 【数学思想】数形结合【解题过程】不能构成三角形，则有三种可能，即第三条直线分别于两条已知直线平行或者三条直线交于一点，得到422,,333m ⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭．【思路点拨】考虑各种情况． 【答案】D ．6．已知过点()m A ,2-和点()4,m B 的直线为21,l l ：012=-+y x ，3:10l x ny ++=．若,//21l l 32l l ⊥，则实数n m +的值为（ ） A ．-10 B ．-2 C ．0 D ．8 【知识点】直线间的关系．【解题过程】12//8l l m ?-，232l l n ^?-，所以10m n +=-． 【思路点拨】根据关系求值． 【答案】A ． 能力型 师生共研7．已知点A (1,2)，在坐标轴上求一点P 使直线PA 的倾斜角为60°． 【知识点】倾斜角与坐标关系，解方程． 【数学思想】方程思想【解题过程】 (1)当点P 在x 轴上时，设点P (a,0)， ∵A (1,2)，∴k P A ＝0－2a －1＝－2a －1． 又∵直线P A 的倾斜角为60°，∴tan 60°＝－2a －1，解得a ＝1－233．∴点P 的坐标为)0,3321(-． (2)当点P 在y 轴上时，设点P (0，b )．同理可得b ＝2－3， ∴点P 的坐标为(0,2－3)．【思路点拨】．利用斜率与坐标的关系建立方程 【答案】)0,3321(-或(0,2－3)． 8．已知直线l 1的倾斜角α1＝15°，直线l 1与l 2的交点为A ，把直线l 2绕着点A 按逆时针方向旋转到和直线l 1重合时所转的最小正角为60°，则直线l 2的斜率的值为________．【知识点】倾斜角的定义． 【数学思想】数形结合【解题过程】设直线l 2的倾斜角为α2，则由题意知： 180°－α2＋15°＝60°，α2＝135°， k 2＝tan α2＝－tan 45°＝－1． 【思路点拨】三点共线则斜率相等． 【答案】－1． 探究型 多维突破9．已知坐标平面内三点A (－1,1)，B (1,1)，C (2，3＋1)． (1)求直线AB 、BC 、AC 的斜率和倾斜角；(2)若D 为△ABC 的边AB 上一动点，求直线CD 斜率k 的变化范围． 【知识点】数学结合，倾斜角斜率的综合运用． 【数学思想】数形结合 【解题过程】(1)由斜率公式得k AB ＝1－11－(－1)＝0，k BC ＝3＋1－12－1＝3．k AC ＝3＋1－12－(－1)＝33．倾斜角的取值范围是0°≤α<180°．又∵tan 0°＝0，∴AB 的倾斜角为0°． tan 60°＝3，∴BC 的倾斜角为60°． tan 30°＝33，∴AC 的倾斜角为30°．(2)如图，当斜率k 变化时，直线CD 绕C 点旋转，当直线CD 由CA 逆时针方向旋转到CB 时，直线CD 与AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时k 由k CA 增大到k CB ，所以k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3．【思路点拨】利用k ＝y 2－y 1x 2－x 1及k ＝tan α求解．【答案】（1）30°；（2）⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，310．已知实数x ，y 满足y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)，试求y ＋3x ＋2的最大值和最小值． 【知识点】数学结合，用几何意义解释数学等式． 【数学思想】数形结合【解题过程】如图所示，由y ＋3x ＋2的几何意义可知，它表示经过定点P (－2，－3)与曲线段 A B上任一点(x ，y )的直线的斜率k ，由图可知k P A ≤k ≤k PB ，由已知可得A (1,1)，B (－1,5)．则k P A ＝1－(－3)1－(－2)＝43，k PB ＝5－(－3)－1－(－2)＝8．∴43≤k ≤8，∴y ＋3x ＋2的最大值为8，最小值为43．【思路点拨】用几何意义解释数学等式．【答案】最大值为8，最小值为43．自助餐1．下列说法正确的是( )A ．一条直线和x 轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角B ．直线的倾斜角α的取值范围是锐角或钝角C ．与x 轴平行的直线的倾斜角为180°D ．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率【知识点】倾斜角，斜率的概念．【解题过程】A 成立的前提条件为直线和x 轴相交，故错误；选项B 中倾斜角α的范围是0°≤α<180°，故错误；选项C 中与x 轴平行的直线，它的倾斜角为0°，故错误；选项D 中每一条直线都存在倾斜角，但是直线与y 轴平行时，该直线的倾斜角为90°，斜率不存 在，故正确．【答案】D ．2．已知直线()()13310l k x k y -+-+=：与()223230l k x y --+=：垂直，则k 的值是（ ） A ．2或3 B ． 3 C ． 2 D ． 2或3-【知识点】两条直线垂直时的斜率的关系．【解题过程】2123l l k k ^?=或，当3k =时经检验不符条件 ．【思路点拨】建立斜率的等式．【答案】C ．3．光线从点A (－2，3)射到x 轴上的B 点后，被x 轴反射，这时反射光线恰好过点C (1,23)，则光线BC 所在直线的倾斜角为________．【知识点】入射光与反射光的斜率互为相反数．【数学思想】数形结合【解题过程】A (－2，3)关于x 轴的对称点为A ′(－2，－3)，由物理知识知k BC ＝k A ′C ＝23－(－3)1－(－2)＝3， 所以所求倾斜角为60°．【思路点拨】入射光与反射光的之间的关系．【答案】60°．4．若直线220ax y -+=与直线()310x a y +-+=平行，则实数a 的值为_______．【知识点】平行直线间的斜率关系．【解题过程】由题意可得1a =【思路点拨】．画图得到倾斜角的范围【答案】1．5．直线l 1经过点A (m,1)，B (－3,4)，直线l 2经过点C (1，m )，D (－1，m ＋1)，当l 1∥l 2或l 1⊥l 2时，分别求实数m 的值．【知识点】平行直线，垂直直线间的斜率关系．【解题过程】当l 1∥l 2时，由于直线l 2的斜率存在，则直线l 1的斜率也存在，则k AB ＝k CD ，即4－1－3－m ＝m ＋1－m －1－1，解得m ＝3； 当l 1⊥l 2时，由于直线l 2的斜率存在且不为0，则直线l 1的斜率也存在，则k AB k CD ＝－1， 即4－1－3－m ·m ＋1－m －1－1＝－1，解得m ＝－92． 综上，当l 1∥l 2时，m 的值为3；当l 1⊥l 2时，m 的值为－92．【思路点拨】平行直线，垂直直线间的斜率关系．【答案】当l 1∥l 2时，m 的值为3；当l 1⊥l 2时，m 的值为－92．6．当m 为何值时，过两点A (1,1)，B (2m 2＋1，m －2)的直线：(1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行？【知识点】平行直线，垂直直线间的斜率关系．【解题过程】解：(1)由k AB ＝m －32m 2＝tan 135°＝－1，解得m ＝－32，或m ＝1．(2)由k AB ＝m －32m 2，且－7－20－3＝3． 则m －32m 2＝－13，解得m ＝32，或m ＝－3．(3)令m－32m2＝9＋3－4－2＝－2，解得m＝34，或m＝－1．【思路点拨】平行直线，垂直直线间的斜率关系．【答案】m＝34，或m＝－1．。

《直线的倾斜角与斜率》教学设计【教学目标】1.探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程。

2.通过教学，使学生感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是符合辩证唯物主义思想的。

3.经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。

【重点难点】重点：1.形成倾斜角与斜率两个概念；2.推导过两点的直线斜率公式的过程；难点：用代数方法推导斜率的过程。

【教学方法】发现法与探究相结合。

学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。

【教学过程】（一）创设情境问题1.在直角坐标系下，确定一条直线的几何要素有哪些？过一点能不能确定一条直线?由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式（1）已知直线上两点（2）已知直线上一点和直线的倾斜程度问题2.在平面直角坐标系下，以哪条轴线为基准形成刻画倾斜程度的角？以x轴或y问题3.过点P与x轴形成45它对应呢？教师引导学生选取不同的方向来描述角，并区分L 1与L 2 如何用数学语言准确描述这个角呢？1. 倾斜角的定义：在直角坐标系下，以x 轴为基准，当直线l 与x 轴相交时，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α，叫做直线l 的倾斜角。

注意： (1) 直线向上方向；(2) x 轴的正方向； （3）最小正角。

学生练习画出过点P 的各种倾斜角的直线。

（二）巩固旧知，同化新知生活中，我们都有过爬山、爬坡的体验，对于斜坡的倾斜程度，可以用什么量来反映？（坡角与坡度）初中对坡度是如何定义的？当坡角α增大时，坡度如何变化？当坡角α=90与0时，升高量、前进量分别是什么？坡度又分别是什么？坡角、坡度都能反映倾斜程度，迁移到数学中，坡角相当于直线的倾斜角，而坡度则对应于直线的斜率。

坡度（比）=2．斜率：倾斜角不是90 的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。

3.1.1直线的倾斜角和斜率教材：选自人教版普通高中课程标准实验教科书必修2一、教学目标1、知识目标（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素，主动构建理解直线的倾斜角和斜率的概念；（2）初步感悟用代数方法解决几何问题的思想方法，掌握过两点的直线斜率的计算公式；（3）掌握直线的倾斜角与斜率的关系，会求直线的倾斜角和斜率。

2、能力目标（ 1）引导学生观察发现、类比，猜想和实验探索，培养学生的分析、抽象、归纳能力及创新能力和实践能力；（2）突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的发散性思维能力。

3、思想目标通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，进一步提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力 , 使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路，培养学生的数形结合思想和综合运用知识解决问题的能力。

4、美育目标帮助学生进一步了解分类思想、数形结合思想，在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，使学生体会数、形的统一美，激发学生学习数学的兴趣，对学生进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育，培养学生勇于探索、勇于创新的精神。

二、教学重点与难点重点： 1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念以及它们的相互关系；2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式；3、使学生经历几何问题代数化的过程，初步了解解析几何研究问题的基本思想方法，体会坐标法。

难点： 1、倾斜角概念的形成，对斜率概念的理解。

2、用代数方法推导斜率的过程；3、直线的斜率与其倾斜角之间的关系。

三、教学方法与手段教学方法：观察发现、启发引导、探索实验。

教学手段：“启发探究式”教学法；计算机辅助教学与引导法相结合；坚持协同创新原则。

四、教学过程教学教学过程设计意图环节创设问题情境，激发了学生的创新意识，营造了创情问题情境 1、如何确定一条直线的位新思维的氛围。

景置？通过这四个问题，打开了设问题情境 2、用一个很小的等腰直角学生的原有认知结构，为置 ,三角板，能不能画出一个很大的正方知识的创新做好了准备；引形的对角线？怎么画？同时也让学生领会到，直入问题情境 3、第二个问题对你解决第线的倾斜角这一概念的课一个问题有什么启示？产生是为了研究直线，从题通过讨论探究得出：两点可以确定一而明确新课题研究的必条直线。

高中数学《直线的倾斜角和斜率》教案一、教学目标1. 理解直线的倾斜角的概念，能够求出直线的倾斜角。

2. 掌握直线的斜率与倾斜角的关系，能够计算直线的斜率。

3. 能够运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。

二、教学内容1. 直线的倾斜角的概念2. 直线的斜率与倾斜角的关系3. 直线的倾斜角和斜率的计算4. 直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：直线的倾斜角的概念，直线的斜率与倾斜角的关系，直线的倾斜角和斜率的计算。

2. 教学难点：直线的倾斜角和斜率的计算，直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过探究直线的倾斜角和斜率的概念及关系，提高学生的思维能力。

2. 利用数形结合法，结合图形讲解直线的倾斜角和斜率，增强学生的直观理解。

3. 通过实例分析，让学生学会运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。

五、教学过程1. 导入：通过复习初中阶段学习的直线的倾斜角的概念，引导学生思考直线的倾斜角与斜率的关系。

2. 新课讲解：（1）讲解直线的倾斜角的概念，介绍直线的倾斜角的定义及求法。

（2）讲解直线的斜率与倾斜角的关系，引导学生理解斜率与倾斜角之间的联系。

（3）讲解直线的倾斜角和斜率的计算方法，让学生掌握计算直线的倾斜角和斜率的技巧。

3. 实例分析：运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题，如计算直线的倾斜角和斜率，分析直线在坐标系中的位置等。

4. 课堂练习：布置一些有关直线的倾斜角和斜率的练习题，让学生巩固所学知识。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调直线的倾斜角和斜率的概念及计算方法。

6. 作业布置：布置一些有关直线的倾斜角和斜率的练习题，让学生课后巩固所学知识。

六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体直线图形，让学生理解直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。

2. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享各自对直线倾斜角和斜率的理解，互相学习，提高理解。

§3.1.1直线的倾斜角和斜率两课时【学习目标】： 1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；2．掌握过两点的直线斜率的计算公式；3．能用公式和概念解决问题. 重点：倾斜角与斜率的概念。

难点：直线的斜率与倾斜角的关系一、【预习导航】：1．在直角三角形中，当内角α为锐角时，sinα＝，cosα＝，tanα＝，其中x、y分别为角α的邻边、对边，r为斜边．2．α为锐角时：tan(180°－α)＝ .3．几个特殊角的三角函数值：tan30°＝；t an45°＝；tan60°＝；tan120°＝；tan135°＝；tan150°＝ .4．点确定一条直线．5．倾斜角的定义：当直线L与x轴相交时，取作为基准，x轴与直线L之间所成的角α叫做直线L的倾斜角．规定：当直线L与x轴平行或重合时，它的倾斜角为6．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是．7．斜率的定义：对于倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的叫做直线的斜率，记作K= ；倾斜角为90°的直线的斜率．8. 斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为探究活动：几何图形问题的研究主要通过两种不同的方式：一种方式，直接依据几何图形中的点、线、面的关系研究几何图形的性质。

例如以前学的平面几何、立体几何就是如此。

另一种方式，就是用代数的方法来研究几何图形的性质。

17世纪，法国数学家笛卡尔，有一天躺在床上观察虫子在天花板上爬行位置，激发了灵感，产生了坐标的概念，创立了解析几何。

简单来说，解析几何是通过建立直角坐标系，通过坐标的运算用代数方程来研究几何图形性质问题的一门科学。

直线的倾斜角的概念我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同.怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?引入直线的倾斜角的概念:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜．．角．.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α=0°.问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°.当直线l 与x 轴垂直时, α=90°.因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.若直线a ∥b ∥c, 那么它们的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点．．．P ．和一个倾斜角．．．．．．α. 说明：理解倾斜角的概念时，要注意三个条件：①x 轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角． (二)直线的斜率:探究二 直线的斜率问题：生活中你知道有哪些量可以用来表示某一斜坡的倾斜程度（坡度）？斜率的定义:对于倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的 叫做直线的斜率，斜率通常用k 表示，即k= 问题：倾斜角为90°的直线的斜率存在吗?一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是k=tan α说明：①当倾斜角是90°时，直线的斜率k 不存在，并不是直线不存在，此时，直线垂直于x ；轴；当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k=tan0°=0; ②所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率；③直线的斜率也反映直线相对于x 轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α<90°时，斜率越大，直线的倾斜程度就越大；当90°<α<180°时，斜率越大，倾斜角也越大；当直线绕定点由与x 轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与y 轴平行(或重合)时，斜率由0逐渐增大到＋∞；按顺时针方向时，斜率由0逐渐减小到－∞，这种方法即可定性分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围.④k >0⇔0°<α<90°；k ＝0⇔α＝0°；k <0⇔90°<α<180°；k 不存在⇔α＝90°○5补正切函数图像：○6公式:α为锐角，tan(180°－α)=-tan α 例如, α=45°时, k=tan45°=1;α=135°时, k=tan135°=tan(180°－45°) =-tan45°=-1. 学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度. 做一做 (熟记下列角的正切值)倾斜角α 00 300 450 600 900 1200 1350 1500αtan 前进量升高量)比(坡度==斜率k给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?讨论:如图，给定直线L上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，如何求直线P1P2的斜率?并判别斜率k的符号.思考1:如图，当P1P2的位置对调，K值如何呢?结论:综上所述，我们得到经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的斜率公式为思考2:当直线平行于x轴，或与x轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？思考3:当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？斜率公式: k=2121y yx x--斜率公式要注意下面四点：(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°, 直线与x轴垂直；(2)与两点的顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置；分子是纵坐标之差，分母是对应横坐标之差;(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;(4) 当 y1=y2时, 斜率k=0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合.例1、已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.分析: 已知两点坐标,而且x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得k的值;解: 直线AB的斜率k1=1/7>0, 所以它的倾斜角α是锐角;直线BC的斜率k2=-0.5<0, 所以它的倾斜角α是钝角;直线CA的斜率k3=1>0, 所以它的倾斜角α是锐角.例2、在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1, -1, 2, 及-3的直线a, b, c, l.分析:要画出经过原点的直线a, 只要再找出a上的另外一点M. 而M的坐标可以根据直线a的斜率确定。