(人教版)-高中数学必修2-第三章--直线与方程-直线系与对称问题(全)

第三章直线与方程复习整体设计教学分析本节课是对第三章的基本知识和方法的总结与归纳，从整体上来把握本章，使学生基本知识系统化和网络化，基本方法条理化．本章内容大致分为三个部分：(1)直线的倾斜角和斜率；(2)直线方程；(3)两条直线的位置关系．可采用分单元小结的方式，让学生自己回顾和小结各单元知识．在此基础上，教师可对一些关键处予以强调．比如可重申解析几何的基本思想——坐标法，并用解析几何的基本思想串联全章知识，使全章知识网络更加清晰．指出本章学习要求和要注意的问题，可让学生先阅读教科书中“学习要求和要注意的问题”有关内容．教师重申坐标法、函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与讨论思想等数学思想方法在本章中的特殊地位．三维目标通过总结和归纳直线与方程的知识，对全章知识内容进行一次梳理，突出知识间的内在联系，进一步提高学生综合运用知识解决问题的能力．能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力．重点难点教学重点：①直线的倾斜角和斜率．②直线的方程和两直线的位置关系的应用．③激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力．教学难点：①数形结合和分类讨论思想的渗透和理解．②处理直线综合问题的策略．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.我们知道学习是一个循序渐进的过程，更是一个不断积累的过程．送给大家这样一句话：疏浚源头流活水，承上基础梳理已整合；千寻飞瀑悬彩练，启下重点突破须提升．每学完一个单元都要总结复习，这节课我们就来复习刚结束的本章．引出课题．思路2.为了系统掌握第三章的知识，教师直接点出课题．推进新课新知探究提出问题①第一节是直线的倾斜角和斜率棳需 要注意什么?②第二节是直线的方程,有几种形式? 各自的适用范围怎样?③第三节是两直线的位置关系,分为哪些内容? 如何判断?④画出本章的知识结构图.活动：让学生自己回顾所学知识或结合教材，重新对知识整合，对没有思路的学生，教师可以提示按教材的章节标题来分类．对于画知识结构图，可让学生合作交流，待学生有了不同画法后，先对比分析，再画本章的知识结构图．讨论结果：①直线的倾斜角(α)和斜率(k )：倾斜角范围：0°≤α<180°，斜率：k ∈R .k 与α的关系：k ＝⎩⎪⎨⎪⎧不存在，α＝90°，tan α＝y 2－y 1x 2－x 1，α∈[0°，90°)∪(90°，180°). 注意倾斜角为90°的直线的斜率不存在(分类讨论)．②直线方程的五种形式及适用范围：(a)斜截式：y ＝kx ＋b ，不含与x 轴垂直的直线．(b)点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，不含与x 轴垂直的直线．(c)两点式：y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1，不含与x轴、y轴垂直的直线．(d)截距式：xa＋yb＝1，不含过原点和与x轴、y轴垂直的直线．(e)一般式：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，无限制(可表示任何直线)．注：两点式的“改良”(x－x1)(y2－y1)－(y－y1)(x2－x1)＝0，可表示任何直线．③分为：两条直线的位置关系及点到直线的距离和两条平行线间的距离．判定两条直线的位置关系(三种：相交、平行、重合)．设l1：y＝k1x＋b1，A1x＋B1y＋C1＝0；l2：y＝k2x＋b2，A2x＋B2y＋C2＝0.(a)l1∩l2＝P⇔k1≠k2或仅有一个不存在⇔A1B2－A2B1≠0；l1⊥l2⇔k1k2＝－1或一个为零一个不存在⇔A1A2＋B1B2＝0.(b)l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2或k1，k2均不存在⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0.(c)l1与l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2或k1，k2均不存在⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1＝0.④第三章的知识结构图如图1所示．从几何直观到代数表示(建立直线的方程)从代数表示到几何直观(通过方程研究几何性质和度量)图1应用示例思路11求满足下列条件的直线方程：(1)经过点P(2，－1)且与直线2x＋3y＋12＝0平行；(2)经过点Q(－1,3)且与直线x＋2y－1＝0垂直；(3)经过点R(－2,3)且在两坐标轴上截距相等；(4)经过点M(1,2)且与点A(2,3)、B(4，－5)距离相等；(5)经过点N(－1,3)且在x轴的截距与它在y轴上的截距的和为零．解：(1)2x＋3y－1＝0.(2)2x－y＋5＝0.(3)x＋y－1＝0或3x＋2y＝0.(4)4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.(5)3x＋y＝0或x－y＋4＝0.224，求直线l 的方程．解：设l ：3x ＋4y ＋m ＝0，则当y ＝0时，x ＝－m 3；当x ＝0时，y ＝－m 4. ∵直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为24，∴12·|－m 3|·|－m 4|＝24.∴m ＝±24.1．如果直线x ＋2ay －1＝0与直线(3a －1)x －ay －1＝0平行，则a 等于( )A ．0 B.16 C ．0或1 D ．0或162．直线l 1：mx ＋(m －1)y ＋5＝0与l 2：(m ＋2)x ＋my －1＝0互相垂直，则m 的值是________．答案：1.D 2.m ＝0或m ＝－12拓展提升问题：过点M (1,2)作l 1交x 正半轴于A ，作l 2交y 正半轴于B ，若l 1⊥l 2，且AB 恰平分四边形OAMB 的面积，求直线AB 的方程．解：设l 1：y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，l 2：y －2＝－1k(x －1)，即x ＋ky －2k －1＝0.则A (1－2k ，0)，B (0,2＋1k)． 则|OA |·|OB |＝|MA |·|MB |，∴|1－2k |·|2＋1k |＝(2k )2＋4·1＋(1k)2.解得k ＝34或k ＝－43. 则A (－53，0)，B (0，103)或A (52，0)，B (0，54)． ∴AB 方程为x －53＋y 103＝1或x 52＋y 54＝1， 即6x －3y ＋10＝0或2x ＋4y －10＝0.课堂小结本节课总结了第三章的基本知识并形成知识网络，归纳了常见的解题方法，渗透了几种重要的数学思想方法．作业课本本章复习参考题A 组8、9、10.设计感想本节在设计过程中，注重了两点：一是体现学生的主体地位，注重引导学生思考，让学生学会学习；二是既有基础知识的复习、基本题型的联系，又为了满足高考的要求，对教材内容适当拓展．本节课对此进行了归纳和总结．备课资料备用习题1．已知两直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0都通过点P (2,3)，求经过两点Q 1(a 1，b 1)，Q 2(a 2，b 2)的直线方程．解：依题意得2a 1＋3b 1＋1＝0，这说明Q 1(a 1，b 1)在直线2x ＋3y ＋1＝0上，同理，Q 2(a 2，b 2)也在直线2x ＋3y ＋1＝0上．因为两点确定一直线，所以经过两点Q 1(a 1，b 1)、Q 2(a 2，b 2)的直线方程为2x ＋3y ＋1＝0.2．从点A (－4,1)出发的一束光线l ，经过直线l 1：x －y ＋3＝0反射，反射光线恰好通过点B (1,6)，求入射光线l 所在的直线方程．解：设B (1,6)关于直线l 1的对称点为B ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＋12－y 0＋62＋3＝0，y 0－6x 0－1·1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝4. ∴直线AB ′的方程为y －14－1＝x ＋43＋4，即3x －7y ＋19＝0. 故直线l 的方程为3x －7y ＋19＝0.3．已知直线l ：2x －y ＋1＝0和点A (－1,2)、B (0,3)，试在l 上找一点P ，使得|P A |＋|PB |的值最小，并求出这个最小值．解：过点B (0,3)且与直线l 垂直的直线方程为l ′：y －3＝－12x ， 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0，y ＝－12x ＋3，得⎩⎨⎧ x ＝45，y ＝135，即直线l 与直线l ′相交于点Q (45，135)． 点B (0,3)关于点Q (45，135)的对称点为B ′(85，115)， 连接AB ′，则依平面几何知识，知AB ′与直线l 的交点P 即为所求．直线AB ′的方程为y －2＝113(x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0，y ＝113x ＋2713，得⎩⎨⎧x ＝1425，y ＝5325，即P (1425，5325)，相应的最小值为|AB ′|＝(－1－85)2＋(2－115)2＝1705.。

人教版高中数学目录——必修选修说明:必修五个模块,选修四个系列,选修一系列为文科必选,选修二系列为理科必选。

必修1第一章集合与函数概念1.1集合阅读与思考集合中元素的个数1.2函数及其表示阅读与思考函数概念的发展历程1.3函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象实习作业小结第二章基本初等函数(Ⅰ2.1指数函数信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质2.2对数函数阅读与思考对数的发明探究也发现互为反函数的两个函数图象之间的关系2.3幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3.1函数与方程阅读与思考中外历史上的方程求解信息技术应用借助信息技术方程的近似解3.2函数模型及其应用信息技术应用收集数据并建立函数模型实习作业小结复习参考题必修2第一章空间几何体1.1空间几何体的结构1.2空间几何体的三视图和直观图阅读与思考画法几何与蒙日1.3空间几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.2直线、平面平行的判定及其性质2.3直线、平面垂直的判定及其性质阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法小结复习参考题第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率探究与发现魔术师的地毯3.2直线的方程3.3直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何小结复习参考题第四章圆与方程4.1圆的方程阅读与思考坐标法与机器证明4.2直线、圆的位置关系4.3空间直角坐标系信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹:圆小结复习参考题必修3第一章算法初步1.1算法与程序框图1.2基本算法语句1.3算法案例阅读与思考割圆术小结第二章统计2.1随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结第三章概率3.1随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2古典概型3.3几何概型阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修4第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.2任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学1.3三角函数的诱导公式1.4三角函数的图像与性质探究与发现函数y=Asin(ωx+φ及函数y=Acos(ωx+φ探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质信息技术应用1.5函数y=Asin(ωx+φ的图像阅读与思考振幅、周期、频率、相位1.6三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念阅读与思考向量及向量符号的由来2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例阅读与思考向量的运算(运算律与图形性质小结复习参考题第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式信息技术应用利用信息技术制作三角函数表3.2简单的三角恒等变换小结复习参考题必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3实习作业小结复习参考题第二章数列2.1数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列信息技术应用2.2等差数列2.3等差数列的前n项和2.4等比数列2.5等比数列的前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3.1不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式(组与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4基本不等式小结复习参考题第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词阅读与思考“且”“或”“非”与“交”“并”“补”1.4全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹:椭圆2.2双曲线探究与发现2.3抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4生活中的优化问题举例实习作业走进微积分数学选修1-2第一章统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用1.2独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.2复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4.1流程图4.2结构图信息技术应用用word2002绘制流程图小结第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.2椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹:椭圆2.3双曲线探究与发现2.4抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3.2立体几何中的向量方法小结复习参考题第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.2导数的计算1.3导数在研究函数中的应用1.4生活中的优化问题举例1.5定积分的概念1.6微积分基本定理1.7定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明2.3数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.2复数代数形式的四则运算小结复习参考题数学选修2-3第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2排列与组合1.3二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密小结复习参考题第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.2二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布信息技术应用μ,σ对正态分布的影响小结复习参考题第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题数学选修3-1第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身学习总结报告数学选修3-3引言第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性思考题第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角思考题第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1.球面三角形2.三面角3.对顶三角形4.球极三角形思考题第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和思考题第五讲球面三角形的全等1.“边边边”(s.s.s判定定理2.“边角边”(s.a.s.判定定理3.“角边角”(a.s.a.判定定理4.“角角角”(a.a.a.判定定理思考题第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式思考题第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1.向量的向量积2.球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离思考题第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史学习总结报告数学选修3-4引言第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质思考题二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换思考题三平面图形的对称群思考题第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n 元对称群Sn思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积思考题第三讲对称与群的故事一带饰和面饰思考题二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论学习总结报告附录一附录二五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线学习总结报告数学选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质数学选修4-2引言第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1．旋转变换2．反射变换3．伸缩变换4．投影变换5．切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法三线性变换的基本性质（一）线性变换的基本性质（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1．逆变换与逆矩阵2．逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1．二元一次方程组的矩阵形式2．逆矩阵与二元一次方程组探索与发现三阶矩阵与三阶行列式第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1．特征值与特征向量2．特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1．Anα的简单表示2．特征向量在实际问题中的应用学习总结报告后记数学选修4-4引言第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线学习总结报告数学选修4-5引言第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲讲明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式学习总结报告2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥学习总结报告附录一剩余系和欧拉函数附录二多项式的整除性数学选修4-6第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质数学选修4-7第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用学习总结报告一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲第三讲第四讲一决策树方法风险型决策的敏感性分析马尔可夫型决策简介马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例学习总结报告数学选修4-9第一讲风险与决策的基本概念。

教学课题 人教版必修二第三章直线与方程一、知识框架3.1 直线的倾斜角与斜率1. 倾斜角与斜率（1）倾斜角（2）斜率定义 当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．规定当直线l 与x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为︒0 记法 α图示范围0°≤α<180° 作用(1)用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度。

(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可。

定义α≠90°一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率 α＝90° 斜率不存在③当直线l 1∥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且相等，也可能斜率都不存在．④对于不重合的直线l 1，l 2，其倾斜角分别为α，β，有l 1∥l 2⇔α＝β.（2）垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．有12121-=⋅⇔⊥k k l l①当直线l 1⊥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且乘积为定值－1，也可能一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0；②较大的倾斜角总是等于较小倾斜角与直角的和．3.2 直线的方程1. 直线的点斜式方程（1）直线的点斜式方程①定义：如下图所示，直线l 过定点P (x 0，y 0)，斜率为k ，则把方程)(00x x k y y -=-叫做直线l 的点斜式方程，简称点斜式．特别地，当倾斜角为︒0时，有0=k ，此时直线与x 轴平行或重合，方程为00=-y y 或者0y y =。

②说明：如下图所示，过定点P (x 0，y 0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x －x 0＝0，或0x x =（2）直线的斜截式方程 ①定义：如下图所示，直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0，b )，则方程b kx y +=叫做直线l 的斜截式方程，简称斜截式．②说明：左端y 的系数恒为1，一条直线与y 轴的交点(0，b )的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距．倾斜角是︒90的直线没有斜截式方程．2. 直线的两点式方程（1）直线的两点式方程①定义：如图所示，直线l 经过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)，则方程y －y 1y 2－y 1＝121x x x x --叫做直线l 的两点式方程，简称两点式．②说明：与坐标轴垂直的直线没有两点式方程，当x 1＝x 2时，直线方程为x ＝x 1；当y 1＝y 2时，直线方程为y ＝y 1.（2）直线的截距式方程①定义：如图所示，直线l 与两坐标轴的交点分别是P 1(a,0)，P 2(0，b )(其中a ≠0，b ≠0)，则方程为1=+by a x 叫做直线l 的截距式方程，简称截距式．2. 利用三种直线方程求直线方程时，要注意这三种直线方程都有适用范围，利用它们都不能求出垂直于x 轴的直线方程。

1 = 1（ x 人教版高中数学必修二第三章直线与方程知识点总结第三章 直线与方程1、直线倾斜角的概念：当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定 α=0°.2、 倾斜角 α 的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线 l 与 x 轴垂直时, α= 90°.3、直线的斜率:⑴一条直线的倾斜角 α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,常用小写字母 k 表示,也就是 k = tan α。

①当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ②当直线 l 与 x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在.当∈ [0 ,90 时， k ≥ 0 ，k 随着 α 的增大而增大； 当∈ (90,180)时， k < 0 ，k 随着α 的增大而增大； 当= 90时，k 不存在。

由此可知, 一条直线 l 的倾斜角 α 一定存在,但是斜率 k 不一定存在.P (x , y ) 、 P (x , y )y 2 - y 1 ⑵过两点 11 12 22 的直线的斜率公式：k =(x 1 ≠ x 2 )x 2 - x 1注意下面四点：(1)当 x 1 = x 2 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90°； (2)k 与 P 1、P 2 的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率，再求倾斜角。

※三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的连线都有斜率且都相等，那么这三点共线； 反之，三点共线，任意两点连线的斜率不一定相等。

解决此类问题要先考虑斜率是否存在。

4、直线方程（注意各种直线方程之间的转化）①直线的点斜式方程： y - y 0 = k (x - x 0 ) ，k 为直线的斜率，且过点(x 0 , y 0 )，适用条件是不垂直 x 轴。

§3.1直线的倾斜角与斜率学习目标1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；2．掌握过两点的直线斜率的计算公式；3．能用公式和概念解决问题.学习过程一、课前准备（预习教材P90~ P91，找出疑惑之处）复习1：在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢?复习2：在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭,有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢?二、新课导学※学习探究新知1：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角（angle of inclination）.关键：①直线向上方向；②x轴的正方向；③小于平角的正角.注意:当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度..试试：请描出下列各直线的倾斜角.反思：直线倾斜角的范围？探究任务二：在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”，则坡度的公式是怎样的？新知2：一条直线的倾斜角()2παα≠的正切值叫做这条直线的斜率(slope).记为tankα=.试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为⑴当0oα=时，则k；⑵当090o oα<<时，则k；⑶当90oα=时，则k；⑷当090180oα<<时，则k.新知3：已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y12()x x≠的直线的斜率公式：2121y ykx x-=-.探究任务三：1.已知直线上两点1212(,),(,),A a aB b b运用上述公式计算直线的斜率时，与,A B两点坐标的顺序有关吗？2．当直线平行于y轴时，或与y轴重合时，上述公式还需要适用吗？为什么？※典型例题例1 已知直线的倾斜角，求直线的斜率：⑴30οα=；⑵135οα=；⑶60οα=；⑷90οα=变式：已知直线的斜率，求其倾斜角.⑴0k=；⑵1k=；⑶3k=-；⑷k不存在.例 2 求经过两点(2,3),(4,7)A B的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角.※ 动手试试练 1. 求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角. ⑴(2,3),(1,4)A B -； ⑵(5,0),(4,2)A B -.练2．画出斜率为0,1,1-且经过点(1,0)的直线.练3．判断(2,12),(1,3),(4,6)A B C --三点的位置关系，并说明理由.三、总结提升※ 学习小结 1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角的范围是[0,180)︒. 2.直线斜率的求法：⑴利用倾斜角的正切来求；⑵利用直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 的坐标来求；⑶当直线的倾斜角90οα=时，直线的斜率是不存在的※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列叙述中不正确的是（ ）.A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B ．每一条直线都惟一对应一个倾斜角C ．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0o 或90οD ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α 2. 经过(2,0),(5,3)A B --两点的直线的倾斜角（ ）.A ．45οB ．135οC ．90οD ．60ο 3. 过点P (－2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为().A.1B.4C.1或3D.1或4 4. 直线经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则α为 角；k 的取值范围 . 5． 已知直线l 1的倾斜角为α1，则l 1关于x 轴对称的直线l 2的倾斜角2α为________. 1. 已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围.2. 已知直线l 过2211(2,()),(2,())A t B t t t-+-两点，求此直线的斜率和倾斜角.§ 3.2两直线平行与垂直的判定1. 熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；2．通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力；3．通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣． 一、课前准备：（预习教材P 95~ P 98，找出疑惑之处） 复习1：1．已知直线的倾斜角(90)οαα≠，则直线的斜率为 ；已知直线上两点1122(,),(,)A x y B x y 且12x x ≠，则直线的斜率为 .2.若直线l 过(－2,3)和(6，－5)两点，则直线l 的斜率为 ,倾斜角为 .3．斜率为2的直线经过(3，5)、(a ,7)、(－1,b )三点，则a 、b 的值分别为 . 4．已知12,l l 的斜率都不存在且12,l l 不重合，则两直线的位置关系 . 5．已知一直线经过两点(,2),(,21)A m B m m --，且直线的倾斜角为60ο，则m = .复习2：两直线平行(垂直)时它们的倾斜角之间有何关系?二、新课导学：※ 学习探究问题1：特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时： (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为 ，两直线位置关系是 . (2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为 ，另一条直线的倾斜角为 ，两直线的位置关系是 .问题2：斜率存在时两直线的平行与垂直．设直线1l 和2l 的斜率为1k 和2k .⑴两条直线平行的情形．如果21//l l ，那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系，反过来成立吗？新知1：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即12//l l ⇔1k =2k注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立． ⑵两条直线垂直的情形.如果12l l ⊥，那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系，反过来成立吗？新知2：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直.即12l l ⊥⇔121k k =-⇔121k k =-※ 典型例题例1 已知(2,3),(4,0),(3,1),(1,2)A B P Q ---，试判断直线BA 与PQ 的位置关系, 并证明你的结论.例2 已知(1,1),(2,2),(3,0)A B C -三点，求点D 的坐标，使直线CD AB ⊥，且//CB AD .变式：已知(5,1),(1,1),(2,3)A B C -，试判断三角形ABC 的形状.※ 动手试试练 1. 试确定m 的值，使过点(,1),(1,)A m B m -的直线与过点(1,2),(5,0)P Q -的直线 ⑴平行； ⑵垂直练 2. 已知点(3,4)A ，在坐标轴上有一点B ，若2AB k =，求B 点的坐标.三、总结提升： ※ 学习小结：1．1212//l l k k ⇔=或12,l l 的斜率都不存在且不重合. 2．12121l l k k ⊥⇔=-或10k =且2l 的斜率不存在，或20k =且1l 的斜率不存在.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列说法正确的是（ ）. A ．若12l l ⊥，则121k k =-B ．若直线12//l l ，则两直线的斜率相等C ．若直线1l 、2l 的斜率均不存在，则12l l ⊥D ．若两直线的斜率不相等，则两直线不平行 2. 过点(1,2)A 和点(3,2)B -的直线与直线1y =的位置关系是（ ）.A ．相交 B.平行 C.重合 D.以上都不对3. 经过(,3)m 与(2,)m 的直线l 与斜率为4-的直线互助垂直，则m 值为（ ）.A ．75-B ．75C ．145-D ．1454. 已知三点(,2),(5,1),(4,2)A a B C a -在同一直线上，则a 的值为 . 5． 顺次连结(4,3),(2,5),(6,3),(3,0)A B C D --，所组成的图形是 .1. 若已知直线1l 上的点满足260ax y ++=，直线2l 上的点满足2(1)10(1)x a y a a +-+-=≠，试求a 为何值时，⑴12//l l ；⑵12l l ⊥.2． 已知定点(1,3),(4,2)A B -，以,A B 为直径的端点，作圆与x 轴有交点C ，求交点C 的坐标.§ 3.2.1直线的点斜式方程1.理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围； 2.能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程； 3.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.一、课前准备： （预习教材P 101~ P 104，找出疑惑之处） 复习1．已知直线12,l l 都有斜率，如果12//l l ，则 ；如果12l l ⊥，则 . 2．若三点(3,1),(2,),(8,11)A B k C -在同一直线上，则k 的值为 .3．已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为(0,1),(1,0),(3,2)A B C ，则第四个顶点D 的坐标 .4．直线的倾斜角与斜率有何关系?什么样的直线没有斜率?二、新课导学： ※ 学习探究问题1：在直线坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？新知1：已知直线l 经过点00(,)P x y ，且斜率为k ，则方程00()y y k x x -=-为直线的点斜式方程.问题2：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？问题3：⑴x 轴所在直线的方程是 ，y 轴所在直线的方程是 .⑵经过点000(,)P x y 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是 . ⑶经过点000(,)P x y 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是 .问题4：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0,)b ，求直线l 的方程.新知2：直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距（intercept ）.直线y kx b =+叫做直线的斜截式方程. 注意：截距b 就是函数图象与y 轴交点的纵坐标. 问题5：能否用斜截式表示平面内的所有直线? 斜截式与我们学过的一次函数表达式比较你会得出什么结论.※ 典型例题 例1 直线过点(1,2)-，且倾斜角为135ο，求直线l 的点斜式和斜截式方程，并画出直线l .变式：⑴直线过点(1,2)-，且平行于x 轴的直线方程 ；⑵直线过点(1,2)-，且平行于x 轴的直线方程 ；⑶直线过点(1,2)-，且过原点的直线方程 . 例2 写出下列直线的斜截式方程，并画出图形： ⑴，在y 轴上的距截是－2； ⑵ 斜角是0135，在y 轴上的距截是0变式：已知直线的方程3260x y +-=，求直线的斜率及纵截距.※ 动手试试练1. 求经过点(1,2)，且与直线23y x =-平行的直线方程.练2. 求直线48y x =+与坐标轴所围成的三角形的面积.三、总结提升：※ 学习小结1.直线的方程：⑴点斜式00()y y k x x -=-；⑵斜截式y kx b =+；这两个公式都只能在斜率存在的前提※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 过点(4,2)-，倾斜角为135ο的直线方程是（）. A20y ++-=B360y +++C．40x -=D ．40x += 2. 已知直线的方程是21y x +=--，则（ ）. A ．直线经过点(2,1)-，斜率为1- B ．直线经过点(2,1)--，斜率为1 C ．直线经过点(1,2)--，斜率为1- D ．直线经过点(1,2)-，斜率为1-3. 直线130kx y k -+-=，当k 变化时，所有直线恒过定点（ ）. A ．(0,0)B ．（3，1）C ．(1,3)D ．(1,3)-- 4. 直线l 的倾斜角比直线12y 的倾斜角大45ο，且直线l 的纵截距为3，则直线的方程 . 5. 已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程. 1. 已知三角形的三个顶点(2,2),(3,2),(3,0)A B C -，求这个三角形的三边所在的直线方程.2. 直线l 过点(2,3)P -且与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的方程.§ 3.2.2直线的两点式方程1．掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；2．了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.105106，找出疑惑之处）复习1：直线过点(2,3)-，斜率是1，则直线方程为 ；直线的倾斜角为60ο，纵截距为3-，则直线方程为 . 2．与直线21y x =+垂直且过点(1,2)的直线方程为 .3．方程()331--=+x y 表示过点______，斜率是______，倾斜角是______，在y 轴上的截距是______的直线.4．已知直线l 经过两点12(1,2),(3,5)P P ,求直线l 的方程.二、新课导学：※ 学习探究新知1：已知直线上两点112222(,),(,)P x x P x y 且1212(,)x x y y ≠≠，则通过这两点的直线方程为1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--，由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式（two-point form ）.问题1：哪些直线不能用两点式表示？例 已知直线过(1,0),(0,2)A B -，求直线的方程并画出图象.新知2：已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ，与y 轴的交点为(0,)B b ，其中0,0a b ≠≠，则直线l 的方程1=+bya x 叫做直线的截距式方程. 注意：直线与x 轴交点（a ,0）的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距；直线与y 轴交点（0,b ）的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距.问题3：a ,b 表示截距，是不是表示直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？问题4：到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？※ 典型例题例1 求过下列两点的直线的两点式方程，再化为截距式方程.⑴(2,1),(0,3)A B -； ⑵(4,5),(0,0)A B --.例2 已知三角形的三个顶点(5,0),(3,3)A B --， (0,2)C ，求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.※动手试试练1.求出下列直线的方程，并画出图形.⑴倾斜角为045，在y轴上的截距为0；⑵在x轴上的截距为－5，在y轴上的截距为6；⑶在x轴上截距是－3，与y轴平行；⑷在y轴上的截距是4，与x轴平行.三、总结提升：※学习小结1．直线方程的各种形式总结为如下表格：1122中点(,)M x y,则2121,22x x y yx y++==.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 直线l过点(1,1),(2,5)--两点，点(1002,)b在l 上，则b的值为（）.A．2003 B．2004 C．2005 D．20062. 若直线0Ax By C++=通过第二、三、四象限，则系数,,A B C需满足条件( )A. ,,A B C同号 B. 0,0AC BC<<C. 0,0C AB=< D. 0,0A BC=<3. 直线y ax b=+（0a b+=）的图象是( )4. 在x轴上的截距为2，在y轴上的截距为3-的直线方程.5. 直线21y x=-关于x轴对称的直线方程，关于y轴对称的直线方程关于原点对称的方程.1. 过点P(2，1）作直线l交,x y正半轴于AB两点，当||||PA PB⋅取到最小值时，求直线l的方程.2. 已知一直线被两直线1:460l x y++=，2l：3x 560y--=截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程.§ 3.2.3直线的一般式方程1.明确直线方程一般式的形式特征；2.会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；3.会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.107109，找出疑惑之处）复习1：⑴已知直线经过原点和点(0,4)，则直线的方程.⑵在x轴上截距为1-，在y轴上的截距为3的直线方程.⑶已知点(1,2),(3,1)A B，则线段AB的垂直平分线方程是.复习2：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于,x y的二元一次方程表示吗？二、新课导学：※学习探究新知：关于,x y的二元一次方程0Ax By C++=（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（general form）．注意：直线一般式能表示平面内的任何一条直线问题1：直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？问题4：在方程0Ax By C++=中，,,A B C为何值时，方程表示的直线⑴平行于x轴；⑵平行于y轴；⑶与x轴重合；⑷与y重合. ※典型例题例1 已知直线经过点(6,4)A-，斜率为12，求直线的点斜式和一般式方程.例2 把直线l的一般式方程260x y-+=化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.变式：求下列直线的斜率和在y轴上的截距，并画出图形⑴350x y+-=；⑵145x y-=；⑶20x y+=；⑷7640x y-+=；⑸270y-=.※ 动手试试练 1.根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：⑴ 斜率是12-，经过点(8,2)A -；⑵ 经过点(4,2)B ，平行于x 轴；⑶ 在x 轴和y 轴上的截距分别是3,32-；⑷ 经过两点12(3,2),(5,4)P P --.练2.设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且｜P A ｜＝｜PB ｜，若直线P A 的方程为10x y -+=，求直线PB 的方程三、总结提升：※ 学习小结1．通过对直线方程的四种特殊形式的复习和变形，概括出直线方程的一般形式：0Ax By C ++=（A 、B 不全为0）； 2．点00(,)x y 在直线0Ax By C ++=上⇔00Ax By + 0C +=学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1 斜率为3-，在x 轴上截距为2的直线的一般式方程是（ ）.A ．360x y ++=B ．320x y -+=C ．360x y +-=D ．320x y --= 2. 若方程0Ax By C ++=表示一条直线，则（ ）. A ．1A ≠ B ．0B ≠C ．0AB ≠D ．220A B +≠ 3. 已知直线1l 和2l 的夹角的平分线为y x =，如果1l 的方程是0(0)ax by c ab ++=>，那么2l 的方程为（ ）.A ．0bx ay c ++=B ．0ax by c -+=C ．0bx ay c +-=D ．0bx ay c -+= 4. 直线270x y ++=在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则a b += . 5. 直线1:2(1)40l x m y +++=与直线2:3l mx y + 20-=平行，则m = .课后作业1. 菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于x 轴和y 轴上，求菱形各边所在的直线的方程.2．光线由点(1,4)A -射出，在直线:2360l x y +-=上进行反射，已知反射光线过点62(3,)13B ，求反射光线所在直线的方程.§ 3.1两条直线的交点坐标学习目标1．掌握判断两直线相交的方法；会求两直线交点坐标；2.体会判断两直线相交中的数形结合思想.学习过程一、课前准备：（预习教材P 112~ P 114，找出疑惑之处）1．经过点(1,2)A -，且与直线210x y +-+垂直的直线 .2．点斜式、斜截式、两点式和截距式能否表示垂直于坐标轴的直线?3．平面直角系中两条直线的位置关系有几种？二、新课导学：※ 学习探究问题1：已知两直线方程1111:0l A x B y C ++=，222:l A x B y +20C +=，如何判断这两条直线的位置关系？问题2：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？※ 典型例题例1 求下列两直线1:3420l x y +-=，2:22l x y ++ 0=的交点坐标.变式：判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.⑴1:0l x y -=，2:33100l x y +-=； ⑵1:30l x y -=，2:630l x y -=；⑶1:3450l x y +-=，2:68100l x y +-=.例2 求经过两直线2330x y --=和20x y ++=的交点且与直线310x y +-=平行的直线方程.变式：求经过两直线2330x y --=和20x y ++=的交点且与直线310x y +-=垂直的直线方程.例3 已知两点(2,1),(4,3)A B -，求经过两直线2310x y -+=和3210x y +-=的交点和线段AB 中点的直线l 的方程.※ 动手试试练 1. 求直线20x y --=关于直线330x y -+=对称的直线方程.练2. 已知直线1l 的方程为30Ax y C ++=，直线2l 的方程为2340x y -+=，若12,l l 的交点在y 轴上，求C 的值.三、总结提升：※ 学习小结1．两直线的交点问题.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组11122200A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩，若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组有无数组解，则两直线重合；若方程组无解，则两直线平行. 2．直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 两直线12:210,:220l x y l x y ++=-++=的交点坐标为（ ）.A ．13(,)24B ．13(,)24-C ．13(,)24--D ．13(,)24-2. 两条直线320x y n ++=和2310x y -+=的位置关系是（ ）.A ．平行B ．相交且垂直C ．相交但不垂直D ．与n 的值有关 3. 与直线2360x y +-=关于点(1,1)-对称的直线方程是（ ）.A ．3220x y -+=B ．2370x y ++=C ．32120x y --=D ．2380x y ++= 4. 光线从(2,3)M -射到x 轴上的一点(1,0)P 后被x 轴反射，则反射光线所在的直线方程 . 5. 已知点(5,8),(4,1)A B ，则点A 关于点B 的对称点C 的坐标 .1. 直线54210x y m +--=与直线230x y m +-=的交点在第四象限，求m 的取值范围.2. 已知a 为实数，两直线1l ：10ax y ++=，2l ：0x y a +-=相交于一点，求证交点不可能在第一象限及x 轴上.§ 3.3.2两点间的距离1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性.3．体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题.一、课前准备：（预习教材P 115~ P 116，找出疑惑之处）1．直线0mx y m +-=，无论m 取任意实数，它都过点 . 2．若直线111:1l a x b y +=与直线222:1l a x b y +=的交点为(2,1)-，则112a b -= .3．当k 为何值时，直线3y kx =+过直线2x y - 10+=与5y x =+的交点?二、新课导学：※ 学习探究 问题1：已知数轴上两点,A B ，怎么求,A B 的距离？问题2：怎么求坐标平面上,A B 两点的距离？及,A B 的中点坐标？新知：已知平面上两点111222(,),(,)P x y P x y，则12PP 特殊地：(,)Px y 与原点的距离为OP =※ 典型例题例 1 已知点(8,10),(4,4)A B -求线段AB 的长及中点坐标.变式：已知点(1,2),A B -，在x 轴上求一点，使PA PB =,并求PA 的值.例 2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和.变式：证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等.※动手试试练1.已知点(1,2),(3,4),(5,0)A B C，求证：ABC∆是等腰三角形.练2.已知点(4,12)A，在x轴上的点P与点A的距离等于13，求点P的坐标.三、总结提升：※学习小结1.坐标法的步骤：①建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量；②进行有关的代数运算；③把代数运算结果“翻译”成几何关系.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 两点(1,3),(2,5)A B-之间的距离为（）.A．BC D．32. 以点(3,0),(3,2),(1,2)A B C---为顶点的三角形是（）三角形.A．等腰B．等边C．直角D．以上都不是3. 直线a x＋2y＋８＝0，4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值（）.A．2-B．2C．1D．1-4.已知点(1,2),A B-，在x轴上存在一点P，使PA PB=，则PA=. 5. 光线从点M(－2，3）射到x轴上一点P(1，0)后被x轴反射，则反射光线所在的直线的方程.1. 经过直线23y x=+和320x y-+=3的交点，且垂直于第一条直线.2. 已知a为实数，两直线1l：01=++yax，2l：0=-+ayx相交于一点，求证交点不可能在第一象限及x轴上.§ 3.3点到直线的距离及两平行线距离学习目标1．理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；2．会用点到直线距离公式求解两平行线距离 3．认识事物之间在一定条件下的转化.用联系的观点看问题学习过程一、课前准备：（预习教材P 117~ P 119，找出疑惑之处）复习1．已知平面上两点(0,3),(2,1)A B -，则AB 的中点坐标为 ，AB 间的长度为 .复习2．在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为00(,)x y ，直线l 的方程是:0l Ax By C ++=，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢?二、新课导学：※ 学习探究新知1：已知点00(,)P x y 和直线:0l Ax By C ++=，则点P 到直线l 的距离为：0022Ax By Cd A B++=+.注意：⑴点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离；⑵在运用公式时，直线的方程要先化为一般式.问题2：在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为00(,)x y ，直线方程0:=++C By Ax l 中，如果0A =，或0B =，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢并画出图形来.例 分别求出点(0,2),(1,0)A B -到直线341x y -- 0=的距离.问题3：求两平行线1l ：2380x y +-=，2l ：23x y + 10-=的距离.新知2：已知两条平行线直线1l 10Ax By C ++=，2:l 20Ax By C ++=，则1l 与2l 的距离为1222C C d A B -=+注意：应用此公式应注意如下两点：（1）把直线方程化为一般式方程；（2）使,x y 的系数相等.※ 典型例题例1 已知点(1,3),(3,1),(1,0)A B C -，求三角形ABC 的面积.例2 求两平行线1l ：2380x y +-=，2l ：46x y + 10-=的距离.※ 动手试试练1. 求过点(1,2)A -的直线方程.练2．求与直线:51260l x y -+=平行且到l 的距离为2的直线方程.三、总结提升：※ 学习小结1.点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1． 求点(5,7)P -到直线12530x y +-=的距离（ ）A ．1B ．0C ．1413D ．28132. 过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是（ ）. A.250x y +-= B.240x y +-= C.370x y +-= D.350x y +-=3. 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ）. A ．0x y -= B ．0x y += C ．0x y -= D ．0x y -=4. 两条平行线3x －2y －1＝0和3x －2y ＋1＝0的距离5. 在坐标平面内，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有条. 1．已知正方形的中心为(1,0)G -，一边所在直线的方程为350x y +-=，求其他三边所在的直线方程.2．,A B 两个厂距一条河分别为400m 和100m ，,A B 两厂之间距离500m ，把小河看作一条直线，今在小河边上建一座提水站，供,A B 两厂用水，要使提水站到,A B 两厂铺设的水管长度之和最短，问提水站应建在什么地方？§ 3.3.3章未复习提高1． 掌握直线的倾斜角的概念、斜率公式； 2． 掌握直线的方程的几种形式及其相互转化，以及直线方程知识的灵活运用； 3． 掌握两直线位置关系的判定，点到直线的距离公式及其公式的运用.一、课前准备：复习知识点：一．直线的倾斜角与斜率1．倾斜角的定义 ， 倾斜角α的范围 ， 斜率公式k = ，或 . 二．直线的方程1． 点斜式：00()y y k x x -=-2． 斜截式：y kx b =+3． 两点式：112121y y x x y y x x --=-- 4． 截距式：1x y a b+=5． 一般式：0Ax By C ++=三．两直线的位置关系1． 两直线平行 2． 两直线相交.⑴两直线垂直，⑵两直线相交 3． 两直线重合 四．距离 1． 两点之间的距离公式 ， 2． 点线之间的距离公式 ， 3． 两平行直线之间的距离公式 .二、新课导学： ※ 典例分析例1 如图菱形ABCD 的60O BAD ∠=，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.例2 已知在第一象限的ABC ∆中，(1,1),(5,1)A B ，60,45O O A B ∠=∠=.求⑴AB 边的方程；⑵AC 和BC 所在直线的方程.例3 求经过直线3260x y ++=和2570x y +-=的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.例4 已知两直线1:40l ax by -+=，2:(1)l a x y -+0b +=，求分别满足下列条件的,a b 的值.⑴直线1l 过点(3,1)--，并且直线1l 与直线2l 垂直；⑵直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到12,l l 的距离相等.例5 过点(4,2)P 作直线l 分别交x 轴、y 轴正半轴于,A B 两点，当AOB ∆面积最小时，求直线l 的方程.※ 动手试试练1. 设直线l 的方程为(2)3m x y m ++=,根据下列条件分别求m 的值.⑴l 在x 轴上的截距为2-； ⑵斜率为1-.练2．已知直线l 经过点(2,2)-且与两坐标轴围成单位面积的三角形，求该直线的方程．三、总结提升： ※ 学习小结1．理解直线的倾斜角和斜率的要领，掌握过两点的斜率公式；掌握由一点和斜率写出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般 式，并能根据条件熟练地求出直线方程.2．掌握两条直线平行和垂直的条件，点到直线的距离公式；能够根据直线方程判断两直线的位置关※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 点(3,9)关于直线3100x y +-=对称的点的坐标是（ ）.A ．(1,3)-- B.(17,9)- C ．(1,3)- D ．(17,9)-2．方程(1)210()a x y a a R --++=∈所表示的直线（ ）.A ．恒过定点(2,3)-B ．恒过定点(2,3)C ．恒过点(2,3)-和(2,3)D ．都是平行直线 3．已知点(3,)m到直线40x-=的距离等于1，则m =（）.AB ．C ． D4．已知(3,)P a 在过(2,1)M -和(3,4)N -的直线上，则a = .5． 将直线2)y x =-绕点(2,0)按顺时针方向旋转30o ，所得的直线方程是. 1．已知直线12:220,:1l x ay a l ax y +--=+-a - 0=.⑴若12//l l ，试求a 的值；⑵若12l l ⊥，试求a 的值2．两平行直线12,l l 分别过点1(1,0)P 和(0,5)P ， ⑴若1l 与2l 的距离为5，求两直线的方程； ⑵设1l 与2l 之间的距离是d ，求d 的取值范围.。

必修二 第三章 直线与方程（1)直线的倾斜角定义：ｘ轴正向与直线向上方向或重合时,我们规定它的倾斜角为０度。

因此，倾斜角的取值范围是(2）直线的斜率①定义：倾斜角不是9０°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用 当直线ｌ与x 轴平行或重合时， α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与ｘ轴垂直时, α＝ 90°, k 不存在. 当[)90,0∈α时,0≥k ； 当()180,90∈α时,0<k ; 当90=α时,k 不存在。

②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=（ P1(x1，y1),P ２(x2,ｙ2),ｘ１≠ｘ2）注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°；(2)k 与P 1、P ２的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

注意：当直线的斜率为０°时，k=0，直线的方程是1。

当直线的斜率为9０°时,直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示.但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是ｘ＝ｘ1。

（7)两条直线的交点0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交 交点坐标即方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 的一组解。

方程组无解21//l l ⇔ ; 方程组有无数解⇔1l 与2l 重合 (８)两点间距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的两个点， 则222121||()()AB x x y y =-+-（9)点到直线距离公式：一点()00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离2200BA C By Ax d +++=(１0）两平行直线距离公式已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2221BA C C d +-=直线的方程1.设a ，b ，c 是互不相等的三个实数,如果A (ａ，a ３）、B (b ，ｂ3)、C (c ，c 3）在同一直线上,求证:ａ+ｂ+c =０.证明 ∵A 、B 、C 三点共线,∴k AB ＝k AC ，∴ca c ab a b a --=--3333,化简得ａ２+ab +b ２=a ２+ac +c 2,∴b 2-c ２+ab -ac =0,（b －c ）（ａ＋b +c )=0， ∵a 、b 、ｃ互不相等,∴b -c ≠0,∴a +b +c =0. ２.若实数x ，y 满足等式(ｘ－2)2+ｙ２=3,那么xy的最大值为ﻩ ﻩ（ )A .21ﻩ B ．33ﻩﻩ Ｃ.23ﻩ ﻩﻩ D .3答案D3.求经过点Ａ（-5，2)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程； 解 ①当直线l 在ｘ、y 轴上的截距都为零时，设所求的直线方程为y =ｋｘ, 将（-５，2）代入y =kx 中,得k =-52,此时，直线方程为y =-52x , 即2x +5y =０. ②当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为ay a x+2=１，将(－5,2）代入所设方程，解得a =－21, 此时，直线方程为x +2ｙ+1=0.综上所述，所求直线方程为x +2ｙ+1=0或2x ＋5ｙ＝0.４．直线l 经过点P （3，2）且与x ,y 轴的正半轴分别交于Ａ、B 两点，△O ＡＢ的面积为12，求直线l 的方程.解 方法一 设直线l 的方程为1=+bya x （a ＞０,b ＞0）, ∴A (a ,0),Ｂ(0,b ), ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=.123,24ba ab 解得⎩⎨⎧==.4,6b a∴所求的直线方程为46yx +=１,即2x ＋3y -12=０． 方法二 设直线l 的方程为y -２=ｋ（x -３), 令y ＝0,得直线l 在x 轴上的截距a =3-k2，令x =0,得直线l 在y 轴上的截距ｂ＝２－３ｋ. ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-k 23(2-3k )＝24.解得ｋ=-32.∴所求直线方程为y -２=-32(x －3).即２x ＋3y －12＝0.9．已知线段PQ 两端点的坐标分别为(-1,1）、（２，２），若直线l ：x +my +m ＝0与线段P Ｑ有交点，求ｍ的取值范围.解 方法一 直线x +ｍｙ＋m =0恒过A （0,-１）点. ｋＡP ＝1011+--=-2，k AQ =2021---=23， 则-m 1≥23或－m 1≤-2, ∴-32≤m ≤21且m ≠0．又∵m =0时直线x ＋m ｙ＋m ＝0与线段PQ 有交点,∴所求ｍ的取值范围是－32≤ｍ≤21. 方法二 过P 、Ｑ两点的直线方程为y -1=1212+-(x +1)，即y ＝31x +34，代入x+ｍy ＋m ＝0, 整理，得ｘ=-37+m m . 由已知－1≤－37+m m ≤2, 解得-32≤m ≤21. 两直线方程例1 已知直线l １:ax +2ｙ+6=０和直线l 2：ｘ＋(a -１)y +a 2-1=0, (1）试判断l 1与l 2是否平行； (2）l １⊥l ２时，求ａ的值．解 （1）方法一 当ａ=１时,l １:x +2y +6=0,l 2:x =０，ｌ1不平行于ｌ2;当ａ=0时,ｌ1:y ＝-3,ｌ２:x -y -1=０,l １不平行于ｌ２； ﻩ ﻩ ﻩ当ａ≠1且a ≠０时,两直线可化为 l 1：y ＝-x a 2-3,l 2:y =x a-11－(ａ+１）， l 1∥ｌ2⇔⎪⎩⎪⎨⎧+-≠--=-)1(3112a a a ,解得a ＝-1, ﻩﻩﻩ综上可知，ａ=-1时,ｌ１∥l 2,否则l 1与ｌ2不平行.ﻩ ﻩ ﻩ ﻩ方法二 由A 1B 2-A 2B 1=0，得ａ(a -1）－1×2=０,由Ａ1C 2－Ａ２C 1≠０,得ａ（ａ2-1)－１×6≠０,ﻩ∴l 1∥l 2⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠⨯--=⨯--061)1(021)1(2a a a a ﻩﻩ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠-=--6)1(0222a a a a ⇒a =－1,ﻩﻩﻩﻩ 故当a ＝-１时,l 1∥l ２,否则ｌ1与ｌ2不平行．ﻩ ﻩ ﻩﻩﻩﻩ（２)方法一 当a =1时,l 1:x +２ｙ+６＝0,l ２:x =0,l 1与l ２不垂直,故a =１不成立. ﻩﻩﻩﻩ当a ≠１时，ｌ１:y =－2a x －3,ｌ2:ｙ=x a -11-(ａ+1),ﻩ由⎪⎭⎫⎝⎛-2a ·a-11＝-1⇒a ＝32.ﻩ 方法二 由Ａ１A 2+B 1Ｂ2=0，得a +2(a －1)＝０⇒a =32．例3 已知直线l 过点Ｐ（3,1)且被两平行线l １:x +y +1=0，ｌ2:x +ｙ+6=0截得的线段长为5，求直线l 的方程.解 方法一 若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为ｘ＝３,此时与ｌ1,l ２的交点分别是A （3,-4）,B (３,-9）, 截得的线段长|AB |＝|－４+9｜=5，符合题意.ﻩﻩﻩ若直线ｌ的斜率存在时，则设直线l 的方程为y =k （ｘ－3)+1,分别与直线l 1,l ２的方程联立，由⎩⎨⎧=+++-=011)3(y x x k y ，解得Ａ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-141,123k k k k .ﻩﻩﻩﻩ ﻩ ﻩ ﻩ 8分由⎩⎨⎧=+++-=061)3(y x x k y ,解得B ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-191173k k ，k k ，由两点间的距离公式,得2173123⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-k k k k ＋2191141⎪⎭⎫⎝⎛+--+-k k k k =2５, 解得k =0,即所求直线方程为y =１.ﻩﻩ ﻩ ﻩ ﻩﻩﻩ 综上可知，直线l 的方程为x ＝3或y =1. ﻩﻩ ﻩﻩﻩﻩ方法二 设直线ｌ与l １，l 2分别相交于A (x 1，ｙ1),B （x 2,y ２),则x 1+y 1+１=０，x 2+y 2+6=０,两式相减，得(x 1－ｘ2）+(y １-y 2）=5 ﻩﻩ① ﻩﻩﻩﻩ６分又(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=25ﻩﻩﻩ②联立①②可得⎩⎨⎧=-=-052121y y x x 或⎩⎨⎧=-=-502121y y x x ,ﻩﻩﻩﻩﻩ１０分由上可知，直线l 的倾斜角分别为０°和90°, 故所求的直线方程为ｘ=3或y =1.例４ 求直线l 1:ｙ=2x +3关于直线l ：ｙ＝x +1对称的直线ｌ2的方程.解 方法一 由⎩⎨⎧+=+=132x y x y 知直线l 1与ｌ的交点坐标为（－2,-1），∴设直线ｌ2的方程为y +1=k (x +2),即kx -y ＋2k -１=0.在直线ｌ上任取一点(１，2），由题设知点（1,2)到直线l 1、l 2的距离相等， 由点到直线的距离公式得 221122kk k +-+-=22)1(2322-++-，解得ｋ＝21（k =2舍去),∴直线ｌ2的方程为x -2y =0. 方法二 设所求直线上一点P (x ，ｙ）,则在直线l 1上必存在一点P 1(x 0，y 0）与点P 关于直线ｌ对称． 由题设：直线P Ｐ1与直线ｌ垂直，且线段PP 1的中点P 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,200y y x x 在直线l 上.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=•--122110000x x y y x x yy ,变形得⎩⎨⎧+=-=1100x y y x , 代入直线l 1:ｙ=２x +3,得x +1=2×(ｙ-1)＋3,整理得x －２y =0.所以所求直线方程为x -2y =０.直线与方程1.设直线l 与x 轴的交点是P ,且倾斜角为α，若将此直线绕点P 按逆时针方向旋转４5°,得到直线的倾斜角为α+45°，则ﻩﻩ ﻩ ﻩ ﻩ ﻩ ﻩ （ ）Ａ.0°≤α<180°ﻩ ﻩ ﻩﻩＢ.０°≤α<13５°C ． 0°＜α≤135°ﻩﻩﻩﻩＤ． ０°<α<1３5°答案 D2.曲线ｙ=x 3-2x +4在点（1，3)处的切线的倾斜角为ﻩﻩ( ) A .30°ﻩ ﻩB .４5°ﻩﻩC .６0° ﻩD .１２0°答案 B3.过点M (-2,ｍ)，N (ｍ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为ﻩﻩ ﻩ( )A .1ﻩ ﻩﻩ ﻩB .4 ﻩﻩﻩC .1或3ﻩ ﻩD ．1或4答案 A４.过点Ｐ（-1，2）且方向向量为a ＝（-1，2）的直线方程为ﻩﻩﻩﻩ（ )A .2ｘ+ｙ=0Ｂ．ｘ－2y ＋５=0 C .x -2y ＝0ﻩﻩﻩD .x +2y －5=０ 答案 A5.一条直线经过点A （-２，2）,并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则此直线的方程为 . 答案 x +2y －2=0或2ｘ＋y +2=0例1 已知三点A (1,-1),B （3，3）,C （４,5）. 求证：Ａ、Ｂ、Ｃ三点在同一条直线上.证明∵A （1，-1)，B （３,3)，C (4,5）, ∴k A Ｂ=1313-+＝2,k B Ｃ＝3435--＝２，∴k A Ｂ＝ｋＢC ， ∴A 、B 、Ｃ三点共线.例２已知实数x ，y 满足y =x 2-２x +２ （-1≤ｘ≤1)． 试求:23++x y 的最大值与最小值. 解 由23++x y 的几何意义可知，它表示经过定点Ｐ（－２,-3）与曲线段ＡB 上任一点（x ,y )的直线的斜率ｋ,如图可知：k P Ａ≤k ≤k ＰB ,由已知可得：A (1,1）,B (-1，5)， ∴34≤k ≤８，故23++x y 的最大值为８，最小值为34．例3 求适合下列条件的直线方程：(1）经过点P （３,2）,且在两坐标轴上的截距相等；（2）经过点A (－1，-3)，倾斜角等于直线y ＝3ｘ的倾斜角的2倍. 解 (1）方法一 设直线l 在x ,y 轴上的截距均为a ,若ａ＝0,即l 过点(０,0)和(3,２）,∴l 的方程为ｙ=32x ,即2x -3y ＝0. 若ａ≠0，则设l 的方程为1=+b ya x ，∵ｌ过点（3，2）,∴123=+aa ，∴a =５,∴ｌ的方程为x +y -5=0, 综上可知,直线l 的方程为2x -3ｙ=0或ｘ+ｙ－5=0. 方法二 由题意知,所求直线的斜率k 存在且k ≠0,设直线方程为ｙ-2=ｋ(ｘ-３),令ｙ=0,得ｘ=3-k2,令x ＝０,得y =2-3ｋ, 由已知3－k 2=2-3k ，解得k =-1或k =32，∴直线l 的方程为:y -2=-(x -3）或y -2=32(x －3), 即x +y -５=0或２x -3y ＝0.(2)由已知：设直线y =3x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α. ∵ｔan α＝3，∴t ａn2α=αα2tan 1tan 2-=-43．又直线经过点A （-1,-3）,、 因此所求直线方程为y +3=-43(x ＋１),即３x +４y +15=0. 例4 (12分)过点P （2，1)的直线l 交x 轴、y 轴正半轴于A 、Ｂ两点,求使: （1)△AOB 面积最小时ｌ的方程； （2)|P Ａ｜·|P Ｂ|最小时ｌ的方程. 解 方法一 设直线的方程为1=+bya x (a ＞2,b ＞1)， 由已知可得112=+b a (1)∵2ba 12•≤b a 12+＝1，∴a ｂ≥8.ﻩ∴S △A ＯB =21ab ≥4． ﻩﻩ当且仅当a 2＝b 1=21，即a =4,b =2时，S △ＡOB 取最小值4，此时直线l 的方程为24yx +=1,即ｘ＋2ｙ-4=０. 6分 （2）由a 2+b1=1,得ab －ａ-2b =０， 变形得（a -２)(ｂ-１）＝2,|PA |·|PB |=22)01()2(-+-a ·22)1()02(b -+-＝]4)1[(]1)2[(22+-⋅+-b a ≥)1(4)2(2-⋅-b a ．ﻩ当且仅当a -2=1,b -1=２，即a =３，b =3时，|ＰA |·|ＰB |取最小值4.此时直线l 的方程为ｘ+y -3=０．ﻩ 方法二 设直线l 的方程为ｙ-1=ｋ(ｘ-2） (ｋ<0),则l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,12k 、B (0,１-2ｋ）.(１）S △AOB =21⎪⎭⎫ ⎝⎛-k 12(１-2k ）=21×⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+)1()4(4k k ≥21（４+4)=4. 当且仅当－４k ＝-k 1,即ｋ=-21时取最小值，此时直线l 的方程为ｙ-1=-21(ｘ-2）,即ｘ+2ｙ－４=0.6分（2）|PA ｜·｜PB |=22441)1(k k ++=84422++k k ≥4, 当且仅当24k=4k ２，即k =-1时取得最小值，此时直线l 的方程为y -1=-(ｘ-2),即x +y -３=0．一、选择题1.过点（1,3）作直线l ，若经过点(a ,0）和(0,ｂ)，且a ∈Ｎ*，b ∈N *，则可作出的l 的条数为（ ）·A .1ﻩﻩ ﻩ Ｂ.2 ﻩﻩ Ｃ.3ﻩD .４答案B2.经过点P （1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为（ ) A .x ＋２y -6=0 ﻩﻩﻩ ﻩ ﻩ B .2x +y -6=0C ．x -２y +7=0ﻩﻩﻩﻩD .ｘ-2y -7=０答案B3．若点A （2，-3)是直线a 1x ＋b １y +1=0和ａ2x +b 2y +1=0的公共点,则相异两点（ａ1,ｂ1)和(ａ2，b 2）所确定的直线方程是 ﻩﻩﻩﻩﻩﻩ ﻩﻩﻩ ﻩ ( ） A ．2x －３ｙ+1=0ﻩﻩﻩﻩﻩB .3x －2y +1=0C .2x －3y －1＝0 ﻩﻩﻩＤ.3x －2y -1＝0答案A二、填空题4.已知a ＞0,若平面内三点Ａ（1,－ａ)，B (2,a 2），C (3，a 3）共线,则a ＝ . 答案 1+2５.已知两点A (－1，－5），B （３，-2）,若直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，则l 的斜率是 . 答案31三、解答题６.已知线段P Ｑ两端点的坐标分别为（－１,1)、（2,2）,若直线l :x ＋ｍy +ｍ＝0与线段PQ 有交点,求m 的取值范围.解 方法一 直线x ＋my ＋m =0恒过A (0，-1）点. k AP ＝1011+--=-２,ｋAQ =2021---＝23,则-m 1≥23或-m 1≤-２,∴-32≤ｍ≤21且m ≠0． 又∵m =0时直线x +ｍy +ｍ＝0与线段ＰQ 有交点，∴所求m 的取值范围是－32≤m ≤21． 方法二 过P 、Q 两点的直线方程为 ｙ-1=1212+-(x +1),即y =31x +34,代入x ＋my +m =0,整理，得x =-37+m m .由已知－1≤－37+m m ≤2, 解得-32≤m ≤21. 7.已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程: （1）过定点A （-3，4);(2）斜率为61. 解 (１)设直线ｌ的方程是y =k (x +３)+4,它在x 轴，y 轴上的截距分别是-k4-3,3k ＋４, 由已知,得（３k +4）（k4+3）=±6,解得ｋ1=-32或ｋ２＝-38． 直线l 的方程为2x +3y -6=0或8ｘ+3y +1２=０． （2）设直线ｌ在y 轴上的截距为ｂ,则直线l 的方程是y =61x +b ,它在x 轴上的截距是-6b , 由已知，得|-6b ·ｂ|=6,∴b ＝±1．∴直线l 的方程为x -６y ＋6=0或x -6y -6=０． 8.已知两点A (-1,2)，B （m ，３). （1）求直线AB 的方程；（2）已知实数m ∈⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---13,133，求直线ＡB 的倾斜角α的取值范围． 解 (1）当m ＝-1时,直线ＡＢ的方程为x =-1,当m ≠-1时，直线AB 的方程为y －2＝11+m (x +1). （2）①当m =-1时,α=090;②当m ≠－1时,ｍ+1∈(]3,00,33 ⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡-,∴k =11+m ∈（-∞，-3］∪⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡+∞,33, ∴α∈[)(]0120,9090,30 .综合①②知,直线AB 的倾斜角α∈[]0120,30.９．过点Ｐ(3，0)作一直线，使它夹在两直线l １:2x -y -2=0与l ２：x ＋y ＋3＝0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程.解 方法一 设点Ａ(x ，y )在l 1上,由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+0232B B y y x x ,∴点B (6-x ，-y ),解方程组⎩⎨⎧=+-+-=--03)()6(022y x y x ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==316311y x ,∴k ＝833110316=--． ∴所求的直线方程为y =8(x -3),即8x －y -24＝0. 方法二 设所求的直线方程为y =ｋ（x -3)，则⎩⎨⎧=---=022)3(y x x k y ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=24223k ky k k x A A , 由⎩⎨⎧=++-=03)3(y x x k y ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=16133k ky k k x B B . ∵P （3,０)是线段ＡＢ的中点，∴y A ＋y B =0，即24-k k ＋16+-k k =０,∴k 2-８ｋ=0，解得ｋ=０或k =8． 又∵当k =0时，x Ａ＝1，ｘB =-３,此时32312≠-=+B A x x ,∴k ＝0舍去,∴所求的直线方程为ｙ=8（x－3), 即8ｘ－y-24=０.。