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第一节椭圆的方程及性质课时训练【选题明细表】一、选择题1. 已知两圆G:(x-4) 2+y2=169,C2：(x+4) 2+y2=9,动圆在圆G内部且和圆G相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为(D )x y(A) _ =12 2x y (C) :- =1x y(B) +=12 2x y (D) + =1解析：设圆M的半径为r,则|MC|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16>8=|C Q|,所以M的轨迹是以C,C2为焦点的椭圆，且2a=16,2c=8,x2 y2故所求的轨迹方程为■+ =1.故选D.x2 y22. 椭圆C: '+ =1的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆C上一点，则T T| + |的取值范围为(D )(A)[1,2] (B)[ ,2] (C)[2,4] (D)[2 ,4]解析:| + |=2| | € [2 ； ,4],故选 D.3. 已知两定点A(-2,0)和B(2,0),动点P(x,y)在直线l:y=x+3上移动,椭圆C以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为(B )(A) (B)::J 13 仇13(C) ：；(D)：；解析:设点A关于直线l的对称点为A i(x i,y 1),为石+厂7>1 衍-2——-------- --------- + 3#则有V 2解得x i=-3,y 1=1,则A i(-3,1),易知|PA|+|PB|的最小值等于|A i B|=「,\AB\ 4 2 屈因此椭圆C的离心率e=；「■粉的最大值为：；•故选B.4. 若F I,F2是两个定点，|F冋=6,动点M满足|MF I|+|MF2|=6,则点M的轨迹是(D )(A)椭圆(B)直线(C)圆(D)线段解析:由于|MF1|+|MF2|=6=|F 冋，所以M的轨迹为线段.故选D./ 1 於+ 15. 椭圆+ =1(a>b>0)的离心率是 < 则"的最小值为(A )(A) (B)1 (C) :(D)2兰/ I解析：因为椭圆+ =1(a>b>0)的离心率是，c 严-於 F7E I 3 所以e==左=a?=,即b2=a2,b2 + 1 a I p 1 护a II _ *'■________ ■■ = + > 2、y ,当且仅当-时等号成立，於十1 揖所以"'的最小值为.故选A.x2 y26. (2018 •台州模拟)设椭圆•=1的左、右焦点分别为F I,F2,点PT T在椭圆上，且满足•=9,则|PFi| • |PF2|的值为(D )(A)8 (B)10 (C)12 (D)15%2 y2解析：由椭圆方程• +• =1,可得C2=4,T T T所以|F I F2|=2C=4,而’’=-,所以「1=1 - |,两边同时平方，所以| |2+| |2=p ' |2+2 •=16+18=34,根据椭圆定义，得|PF i|+|PF 2|=2a=8,(|PF 1|+|PF 2|) 2=|PF1| 2+|PF2| 2+2|PF1| • |PF2|=64,所以34+2|PF1| • |PF2|=64,所以|PF1| • |PF2|=15.故选 D./ y27. 过椭圆+ =1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点，若/ F1PF=60° ,则椭圆的离心率为(B )品羽\1(A) (B) (C) ' (D);解析：由题意知P的坐标为(-C,:：)或(-C,-'),2c因为/ F i PF2=60° ,所以”=,即2ac二b2二(a 2-c2),所以.e+2e- =0,解得e= : (e=-：(舍)).故选B.兰/8. 过椭圆C「+ =1(a>b>0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于1 1另一个点B,且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F,若：<k< ,则椭圆离心率的取值范围是(C )I9 2(A)( :, ) (B)( ；,1)1 2 1(C)( -, ) (D)(0, J)1 1解析:因为•:<k<,b2由题意可知点B的坐标为(c,「)，因为点A的坐标为(-a,0),所以b2——oI a I 1 2< - < ,又因为b2=a2-c2,解得椭圆离心率的取值范围是(；:).故选C.二、填空题9. 已知方程(k 2-1)x 2+3y2=1表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是_______ .y2 *T 1解析:(k 2-1)x 2+3y2=1化为；+' ■ =1是焦点在y轴上的椭圆，丄1所以> 1>0,所以k2>4,所以k>2或k<-2.答案:(-乂,-2) U (2,+ 乂)1 110. 已知定点A(…,0),B是圆F:(x- -)2+y2=4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P,则动点P的轨迹方程为______________.解析:根据题意可知|BP|+|PF|=2,|PB|=|PA|,所以|AP|+|PF|=2,根据椭圆定义，动点P的轨迹为以A,F为焦点的椭圆，其中a=1,c=则b二,4故P的轨迹方程为x2+ y2=1.4答案:x 2+ y2=111. 设P,Q分别是圆x2+(y-1) 2=3和椭圆+y2=1上的点，则P,Q两点间的最大距离是_________________ .解析：由圆的性质可知,P,Q两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径•，设Q(x,y),则圆心(0,1)到椭圆上点的距离为d二“” “匕一1=■.: 11 __16J1 4^/3因为-1 <y < 1,所以当y=-「时,d取最大值，A/3 所以P,Q两点间的最大距离为d max+ =:.A/3答案：：彳 / 3^2-2 I 2 ---12. 已知椭圆C: + =1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),且点(-3, )在椭圆C上则椭圆C的标准方程为 ________________ .解析：因为右焦点为(3,0),所以椭圆的两个焦点坐标分别为(-3,0),(3,0),3^2又椭圆经过点(-3, ),匸+拧+已L O)2所以2a= - +j(-3-3)2 + (^-0)z=6 ,所以a=3 ,又已知c=3,所以b2=a2-c2=9,x2 y2所以椭圆的方程为+ =1.x2 y2答案：• + =1y213. 以椭圆+ =1(a>b>0)的长轴AA为一边向外作一等边三角形AAP,若椭圆的一个短轴的端点B恰为三角形AAP的重心，则椭圆的离心率为________ .解析:因为△ AAP为等边三角形，设A(-a,O),A 2(a,0),P(0, a),B(O,b),A/3依题意,b= a,故e==\ "= * .答案：/ y214. 已知椭圆C: + =1(a>b>0)的右焦点为F,左顶点为A,过点F作倾斜角为120°的直线I交椭圆的上半部分于点P,此时AP垂直PF,则椭圆C的离心率是__________ .3c - a ^3(a + c)解析:利用直角三角形有一个角为30°得P( ,')，代入椭2圆方程得e=l2答案::15. 已知M(x°,y o)是椭圆E: + =1(a>b>0)上一点AB是其左、右顶点，若2• = -a2,则离心率e= __________________ .解析：由题意知A(-a,O),B(a,O), 所以一j=(x o +a,y 。
椭圆定义及性质的应用一、椭圆的定义椭圆第一定义第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.★过点1F 作12PF F ∆的P ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 的轨迹方程为222x y a +=.推导过程：延长1F Q 交2F P 于M ，连接OQ ，由已知有PQ 为1MF 的中垂线，则1PF PM =，Q 为1F M 中点，212OQ F M ==()1212PF PF +=a ，所以Q 的轨迹方程为 222x y a +=.（椭圆的方程与离心率学案第5题）椭圆第二定义第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆.2PF e d =（d 为点P 到右准线的距离），右准线对应右焦点，其中2PF 称作焦半径，左、右准线公式2a x c=±..椭圆的焦半径公式为：1020,PF a ex PF a ex =+=-.推导过程：2200aPF ed e x a exc⎛⎫==-=-⎪⎝⎭；同理得10PF a ex=+.简记为：左加右减a在前.由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数. （离心率、焦点弦问题）例1：（2010全国卷Ⅱ理数12题）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=＞＞的离心率为3，过右焦点F且斜率为(0)k k>的直线与C相交于,A B两点．若3AF FB=u u u r u u u r，则k=（）A.1 D.2B【解析】解法一：1122(,),(,)A x yB x y，∵3AF FB=u u u r u u u r，∴123y y=-，∵2e=，设2,a t c==，b t=，∴222440x y b+-=，直线AB方程为x my=.代入消去x，∴222(4)0m y b++-=，∴2121222,44by y y ym m+=-=-++，则2222222,344by ym m-=--=-++，解得212m=，则k= 0k>.解法二：设直线l为椭圆的右准线，e为离心率，过,A B别作11,AA BB垂直于l，11,A B为垂足，过B作BH垂直于1AA与H，设BF m=，由第二定义得，11,AF BFAA BBe e==，由3AF FB=u u u r u u u r，得13mAAe=,2mAHe=，4AB m=，则21cos42mAH eBAHAB m e∠====，则sin BAH∠=tan BAH∠=，则k=0k>.故选B.（离心率、焦点弦问题）例2：倾斜角为6π的直线过椭圆)0(12222>>=+babyax的左焦点F，交椭圆于,A B 两点，且有3AF BF=，求椭圆的离心率.33【解析】解法一：,AF BF 为左焦点上的焦半径，所以过,A B 两点分别作垂直于准线的直线且和准线交于11,A B 两点，从B 点作1BH AA ⊥.因为3AF BF =，设BF m =，则3AF m =，4AB m =，又因为11AF BF e AA BB ==，则1BF m BB e e ==,13m AA e =，所以2m AH e=，在ABH ∆中，6BAH π∠=，所以32AH AB =，解得33e =. 解法二：如图，设,3BF m AF m ==，则122,23BF a m AF a m =-=-，在12AF F ∆中，由余弦定理得222394(23)cos 62232m c a m m cπ+--==⨯⨯，化简得23326cm b am =-+①，222534(2)cos 6222m c a m m cπ+--=-=⨯⨯，化简得2322cm b am -=-+②，①＋②×3化简得，223b m a =，代入①解得3e =. 椭圆第三定义第三定义：在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 中，,A B 两点关于原点对称，P 是椭圆上异于,A B 两点的任意一点，若PB PA k k ,存在，则1222-=-=⋅e a b k k PBPA .（反之亦成立）.（★焦点在Y 轴上时，椭圆满足22ba k k PB PA -=⋅） 推导过程：设(,)P x y ，11(,)A x y ，则11(,)B x y --．所以12222=+b y a x ①，1221221=+by a x ②；由①－②得22122212b y y a x x --=-，所以22212212a b x x y y -=--，所以222111222111PA PB y y y y y y b k k x x x x x x a -+-⋅=⋅==--+-为定值． 例1:已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴长为4，若点P 是椭圆上任意一点，过原点的直线l 与椭圆相交与N M ,两点，记直线PN PM ,的斜率分别为21,k k .若4121-=⋅k k ，则椭圆的方程为 . 1422=+y x .【解析】解法一：(,)P x y ，11(,)M x y ，则11(,)N x y --，因为12222=+b y a x ，则)1(2222ax b y -=，)1(221221a x b y -=，则222212222211112222221111(1)(1)14x x b b y y y y y y b a a k k x x x x x x x x a ----+-⋅=⋅===-=--+--.且42=a ，则椭圆方程为1422=+y x .解法二：由第三定义知4122-=-a b ，且42=a ，则则椭圆方程为1422=+y x .例2:已知椭圆)0(13422>>=+b a y x 的左右顶点分别为21,A A ，点P 在椭圆上，且直线2PA 的斜率的取值范围是]1,2[--，那么直线1PA 的斜率的取值范围是 .]43,83[.【解析】设1PA ，2PA 的斜率分别为21,k k ，则432221-=-=⋅a b k k ，又]1,2[2--∈k ，所以]43,83[1∈k . 二、椭圆的性质焦点三角形椭圆焦点三角形的边角关系：122F F c =， 122PF PF a +=，周长为22a c +.设12F PF θ∠=. （1）当点P 处于短轴的顶点处时，顶角θ最大；（2）221221cos b PF PF a θ⋅=≤+，当且仅当12PF PF =时取等号；（3）122tan2PF F S b θ∆=；（4）12112122PF F B F F S S c b bc ∆∆≤=⨯⨯=，当且仅当12PF PF =时取等号. 推导过程：（1）()()()2222222212002222222120004444cos 12222PF PF c a ex a ex c a c PF PF a e x a e x θ+-++---===-⋅-+， 当00x =时，cos θ有最小值2222a c a-，即12F PF θ∠=最大； （2）22212124cos 2PF PF c PF PF θ+-=⋅，()221212122cos 24PF PF PF PF PF PF c θ⋅=+-⋅-则有，21221cos b PF PF θ⋅=+，2221220max 2221cos 1cos 12cos 12b b b PF PF θθθ⋅=≤=+++-，（当点P 为短轴顶点时θ取得最大值0θ，此时0cos 2b a θ=），代入化简得221221cos b PF PF a θ⋅=≤+. （3）由（2）得12222212sin 2sin cos tan21cos 2222cos 2PF F b b S b θθθθθθ∆=⨯⋅=⋅=+. （离心率问题）例1.已知12,F F 分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点，椭圆C 上存在一点P ，使得1290F PF ∠=︒，则椭圆C 的离心率的取值范围是__________.【解析】解法一：在椭圆中，焦点三角形顶角最大时点B 位于短轴的交点处，由题意得145F BO ∠≥︒， 所以1FO OB ≥,即c b ≥,解得e ∈. 解法二：设(,)P x y ，由题意得椭圆C 上存在一点P ，使得12F P F P ⊥u u u r u u u u r，即(,)(,)0x c y x c y +-=，化简，得222x y c +=，与12222=+b y a x 联立，消去y 得2222222a c ab x a b -=-，由椭圆范围知220x a ≤<，即22222220a c a b a a b -≤<-，化简得222b c a ≤<，解得[2e ∈. 变式1：已知12,F F 分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点，椭圆C 上存在一点P ，使得12F PF ∠为钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围是__________.【解析】在椭圆中，焦点三角形顶角最大时点B 位于短轴的交点处，12F PF ∠为钝角，所以145F BO ∠>︒，所以1FO OB >,即c b >,解得,1)2e ∈. 变式2：已知12,F F 分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左右焦点，椭圆C 上存在一点P ，使得1260F PF ∠=︒（变式3：12120F PF ∠=︒），则椭圆C 的离心率的取值范围是__________.1[,1)2【解析】在椭圆中，焦点三角形顶角最大时点B 位于短轴的交点处，由题意得130F BO ∠≥︒，所以11sin sin 302c F BO a ∠=≥︒=，则1[,1)2e ∈.变式3：e ∈.（离心率问题）例2.已知12,F F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左右焦点，若在直线2a x c=上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆的离心率的取值范围是________.e ∈【解析】22PF c =，22PF F H ≥，即22a c c c ≥-解得：e ∈. （焦点三角形面积问题）例3.已知椭圆21221925F F y x 、，=+为焦点，点P 为椭圆上一点，123F PF π∠=，求21PF F S ∆.33【解析】解法一：设12,,PF m PF n ==则有10m n +=，在21F PF ∆中由余弦定理得mn n m c -+==222644，则mn mn n m 31003)(642-=-+=，则12=mn ，则333sin 2121==∆πmn S PF F .解法二：122tan9tan26PF F S b θπ∆==⨯=（焦点三角形面积问题）例4.过椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 中心的直线与椭圆交于,A B 两点，右焦点为2(c,0)F ，则 2ABF ∆的最大面积为_________.bc 【解析】由题意得,A B 关于原点对称，则有212ABF AF F S S ∆∆=，故当A 位于短轴的顶点处时，面积最大，为bc . （焦点三角形边角问题）例5.已知椭圆22194x y +=的两个焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，（1）在椭圆上满足12PF PF ⊥的点P 的个数是？（2）12PF PF ⋅的最大值是？（3）12F PF ∠为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是？【解析】（1）画图知，所求点的个数即为圆222x y c +=与椭圆的交点个数，由于52c b =>=，故有4个点.（2）解法一：设12,,PF m PF n ==则有6m n +=，212()92m n PF PF mn +⋅=≤=，当且仅当m n =时取等号.解法二：由性质得2221220min 2221cos 1(cos )12cos 12b b b PF PF θθθ⋅=≤=+++-，（当点P 为短轴顶点时取得最大值，此时0cos 2b a θ=），代入化简得221221cos b PF PF a θ⋅=≤+. （3）如图所示，222x y c +=与椭圆有4个交点，假设在第一象限的交点为00(,)P x y ，此时122F PF π∠=，设12,,PF m PF n ==则有6m n +=，222420m n c +==，解得4,2m n ==（或2,4m n ==），由等面积法得0222y c mn ⨯=，则05y =，则由勾股定理得22200()c x y n -+=，解得05x =，则由对称性可知，点P 的横坐标的取值范围是3535(,)-. (焦点三角形中与距离最值有关的问题):注意在三角函数与解析几何中最值问题的一个很重要的用法：（1）三角形两边之和大于第三边，当三点在一条线上时取得最小值； （2）两边之差小于第三边.焦点三角形中的最值问题一般是距离之和的最值，且存在定点，故可以用三角形中的不等式来求； ★若点A 为椭圆内一定点，点P 在椭圆上，则有：111AF PA PF AF -≤-≤.（三角形三边关系）★若点A 为椭圆内一定点，点P 在椭圆上，则有：12122a AF PA PF a AF -≤+≤+.推导过程：连接11,,AP AF PF ，()21122AP PF AP a PF a AP PF +=+-=+-由三角形三边关系得111AF PA PF AF -≤-≤，则有12122a AF PA PF a AF -≤+≤+（椭圆定义的应用，三角形三边关系）.焦点弦经过椭圆焦点的弦是焦点弦.（1）焦点弦长可用弦长公式求22212121212211()41()4AB k x x x x y y y y k=++-=++-； *（2）设焦点弦所在的直线的倾斜角为θ，则有22222||=cos ab AB a c θ-. *（3）2211ba BF AF =+（F 为某一焦点）. （4）2ABF ∆的周长为4a .（离心率、焦点弦问题）（同第二定义例1）例1：（2010全国卷Ⅱ理数12题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为32，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的直线与C 相交于,A B 两点．若3AF FB =u u u r u u u r ，则k =（ ）A.1B.2C.3D.2B 【解析】解答题解法：1122(,),(,)A x y B x y ，∵ 3AF FB =u u u r u u u r，∴ 123y y =-， ∵ 3e =，设2,3a t c t ==，b t =，∴ 222440x y b +-=，直线AB 方程为3x my b =+.代入消去x ，∴ 222(4)230m y mby b ++-=，∴ 21212223,4mb b y y y y m +=-=-+，则22222232,34mb b y y m -=--=-+，解得212m =，则2k =，0k >.中点弦AB 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的任意一弦，P 是AB 中点，则1222-=-=⋅e ab k k OPAB .证明：令()()1122,,,A x y B x y ，()00,P x y则()1202x x x+=，()1202y y y +=，()()()()22112212121212222222221..01x y x x x x y y y y a b a b x y a b ⎫+=⎪+-+-⎪⇒+=⎬⎪+=⎪⎭， ()()()()2121221212y y b x x x x a y y -+⇒=--+，由于()()1212AB y y k x x -=-，00OPy k x =，则 22AB OP b k k a⋅=-. 例1：过点(2,1)M 作一条直线l 交椭圆221169x y +=于点AB ，若点M 恰好是弦AB 的中点，求直线l 的方程.【解析】解答题步骤：解法一（点差法）：由题意得直线l 有斜率，设其斜率为k ，1122(,),(,)A x y B x y ，00(,)M x y ，代入椭圆方程，有222211221,1169169x y x y +=+=，两式作差得()()()()12121212..0169x x x x y y y y +-+-+=，()()120120916y y y x x x -⨯=--，即19216k ⨯=-，则98k =-.则直线l 的方程为91(2)8y x -=-⨯-，即98260x y +-=. 解法二（代入法）：由题意得直线l 有斜率，设其直线方程为1(2)y k x -=-，得12y kx k =+-，代入221169x y +=得222(916)32(12)16(12)1440k x k k x k ++-+--=，则120232(12)24916k k x x x k -+=-==+，解得98k =-，则直线l 的方程为98260x y +-=.这两种方法都体现了设而不求的思想，这是圆锥曲线解题的常用思想.切线及切点弦切线方程：（1）设),(00y x P 为圆222r y x =+上一点，则过该点的切线方程为：200r y y x x =+；（2）设),(00y x P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，则过该点的切线方程为：12020=+b y y a x x .切点弦方程：（1）设),(00y x P 是圆222r y x =+外的一点，过点P 作曲线的两条切线,切点N M 、,则切点弦MN 所在直线方程为200r y y x x =+；（2）设),(00y x P 是椭圆外的一点，过点P 作曲线的两条切线,切点N M 、,则切点弦MN 所在直线方程为1220=+byyaxx.例1：以422=+yx上的点)3,1(P为切点的切线方程为_________.【解析】解法一：由题意得切线有斜率，设切线方程为)1(3-=-xky，则03=-+-kykx，则有2132=+-kk，解得33-=k，则切线方程为043=-+yx.解法二：点)3,1(P为切点，由公式得，切线方程为431=⨯+⨯yx，即043=-+yx.例2：以13422=+yx上的点)23,1(P为切点的切线方程为_________.【解析】解法一：由题意得切线有斜率，设切线方程为)1(23-=-xky，代入13422=+yx，化简得3124)23(4)43(222=--+-++kkxkkxk，则有0)3124)(43(4)23(162222=--+--=∆kkkkk，解得21-=k，则切线方程为042=-+yx.解法二：点)23,1(P为切点，由公式得，切线方程为132341=⨯+⨯yx，即042=-+yx.★过椭圆准线上任一点作椭圆和切线，切点弦AB过该准线对应的焦点.推导过程：设2,aM yc⎛⎫⎪⎝⎭，则AB的方程为2221ax y yca b+=，即021y yxc b+=必过点(),0c.★过椭圆焦点弦的两端点作椭圆的切线，切线交点在准线上.光学性质★椭圆的光学性质：过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点.★椭圆上一个点P 的两条焦半径12,PF PF 的夹角12F PF ∠被椭圆在点P 处的法线平分.（入射光线、反射光线、镜面、法线）已知：如图，椭圆C的方程为22221x y a b +=，12,F F 分别是其左、右焦点，l 是过椭圆上一点00(,)P x y 的切线，'l 为垂直于l 且过点P 的椭圆的法线，交x 轴于D ，设21,F PD F PD αβ∠=∠=， 求证：αβ=.证明：在2222:1x y C a b+=上，00(,)P x y C ∈， 则过点P 的切线方程为：00221x x y y a b+=，'l 是通过点 P 且与切线l 垂直的法线，则0000222211':()()()y x l x x y b a b a-=-， ∴法线'l 与x 轴交于20((),0)c D x a， ∴22102022||,||c c F D x c F D c x a a=+=-，∴201220||||a cx F D F D a cx +=-，又由焦半径公式得：1020||,||PF a ex PF a ex =+=-，∴1122||||||||F D PF F D PF =，∴PD 是12F PF ∠的平分线， ∴αβ=，∵90ααββ''+=︒=+，故可得αβαβ''=⇔=.例1. 已知椭圆方程为1162522=+y x ，若有光束自焦点(3,0)A 射出，经二次反射回到A 点，设二次反射点为,B C ，如图所示，则ABC D 的周长为 .20【解析】：∵椭圆方程为1162522=+y x 中，225169c =-=， ∴(3,0)A 为该椭圆的一个焦点，∴自(3,0)A 射出的光线AB 反射后，反射光线BC 定过另一个焦点(3,0)A ¢-，故ABC D 的周长为：''44520AB BA A C CA a +++==⨯=.。
椭圆的方程及性质一、椭圆的定义1、一动圆与已知圆1)3(:221=++y x O 及圆81)3(:222=+-y x O 相内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为 变式：（1）已知圆1)2(:22=-+y x M 及圆0774:22=-++y y x N ，动圆C 与二圆相内切，则动圆圆心C 的轨迹方程为 （2）方程10)4()4(2222=+-+++y x y x 化简后得到的曲线方程为2、已知21,F F 为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线与椭圆交于B A ,两点，若1222=+B F A F ，则AB 的长为变式：（1）已知椭圆12:22=+y x C 的两焦点为21,F F ，点),(00y x P 满足1202020<+<y x ，则21PF PF +的取值范围是（2）已知21,F F 分别是椭圆14822=+y x 的左右焦点，P 是椭圆上的任意一点，则121PF PF PF -的取值范围是3、设P 为椭圆192522=+y x 上的点，21,F F 分别为左右焦点，若∠6021=PF F °，那么Δ21PF F 的面积为变式：（1）设21,F F 分别为椭圆1422=+y x 的左右焦点，P 是椭圆上的点，当Δ21PF F 的面积为1时，向量1PF 和2PF 的数量积为（2）已知P 是椭圆141222=+y x 上的动点，21,F F 分别为左右焦点，则21PF ∙的取值范围是 二、椭圆的标准方程1、与椭圆192522=+y x 有相同的焦点，长轴与椭圆11692522=+y x 相等的椭圆的标准方程为 变式：过点)3,2(-且与364922=+y x 有相同焦点的椭圆的标准方程为2、与椭圆13422=+y x 有相同的离心率，且过点)3,2(-的椭圆方程为 变式：已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为23，双曲线122=-y x 的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形面积为16，则椭圆C 的方程为3、已知方程12122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是变式：（1）若椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，则实数k 的值为 （2）若方程16522=-+-ky k x 表示的图形是椭圆，则实数k 的范围是（3）已知),0(πα∈，方程1cos sin 22=-ααy x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则α的取值范围是 三、椭圆的离心率及范围1、已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为1F ，点),0(),0,(b B a A -分别是其左顶点和上顶点，若1F 到直线AB 的距离为7b ，则椭圆的离心率为变式：（1）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为1F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上且1BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴与点P ，若PB AP 2=，则椭圆的离心率为（2）椭圆)0(12222>>=+b a by a x 中，A 是左顶点F 是右焦点，B 是短轴的一个端点，若∠90=ABF °，则椭圆的离心率为2、已知P 是椭圆192522=+y x 上不在x 轴上的点，21,F F 是其焦点，设∠α=21PF F ，∠β=21F PF ，∠γ=12F PF ,则=+αγβsin sin sin变式：（1）设P 是以21,F F 为焦点的椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 上的一点，若021=∙PF ，并且tan ∠2121=F PF ，则此椭圆的离心率为 （2）已知椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，两焦点为21,F F ，P 为椭圆上的一点，且∠1521=F PF °，∠12F PF =75°，则椭圆的离心率为3、设椭圆:C )0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为F ，过F 的直线与椭圆C 交于B A ,两点，若直线AB 的倾斜角为60°，且FB AF 2=，则椭圆的离心率为变式：已知椭圆:C )0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，过其右焦点F 且斜率为)0(>k k 的直线与C交于B A ,两点，若3=，则k 的值为4、设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，若椭圆上存在点P ，使得∠21PF F =90°，则椭圆的离心率e 的范围是变式：（1）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，若椭圆上存在点P ，使得∠21PF F =60°，则椭圆的离心率e 的范围是（2）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，若椭圆上存在点P ，使得∠21PF F =120°，则椭圆的离心率e 的范围是（3）椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，∠α=ABF ，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,12ππα，则椭圆的离心率e 的范围是5、已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，若椭圆上存在一点P ，令∠α=21F PF ，∠β=12F PF 满足βαsin sin ca =，则椭圆的离心率e 的范围是 变式：椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，P 为右准线c a x l 2:=上一点，若线段PF 1的垂直平分线恰过点2F ，则椭圆的离心率的范围是6、已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆上任意一点，且21PF PF ∙的最大值的取值范围是[]223,c c ，其中22b a c -=，则该椭圆的离心率的范围是7、椭圆中心在原点O ，焦点在x 轴上，过椭圆的左焦点1F 的直线交椭圆与Q P ,两点，且OP ⊥OQ ，则此椭圆的离心率的范围是四、与椭圆相关的范围问题1、若点),(y x P 在椭圆1422=+y x 上，则y x +的范围是 变式：已知实数y x ,满足191622=+y x ，则xy 的取值范围是 2、函数x x y 3123-+-=的值域为 变式：函数638)(++-=x x x f 的值域为3、设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 恒过定点)2,1(A ，则椭圆中心到准线的距离的最小值是变式：（1）若点O 和F 分别为椭圆13422=+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上任意一点，则FP OP ∙的最大值为(2)若点),(00y x P 为椭圆13422=+y x 上一点，21,F F 是椭圆的左右焦点，且121≥-PF PF ，则212135PF PF PF PF -∙的最小值为4、若N M ,是椭圆126:22=+y x C 上不重合的两点，若点)0,3(D 满足DN DM λ=，则实数λ的范围是 变式：已知圆8)1(:22=++y x C ，定点)0,1(A ，M 是圆上一动点，点P 在线段AM 上，点N 在线段CM上且满足0,2=∙=AM NP AP AM ，点N 的轨迹为曲线E 。
椭圆的几何性质讲义本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March28．1 椭圆方程及性质一、明确复习目标1．掌握椭圆的定义、标准方程，了解椭圆的参数方程2．掌握椭圆的简单几何性质;掌握a ,b ,c ,e 等参数的几何意义及关系．二．建构知识网络1． 椭圆的两种定义：(1)平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()212F F a >的点的轨迹，即点集M ={P | |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。
其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。
(2)平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M ={P | e dPF =，0＜e ＜1的常数}。
（1=e 为抛物线；1>e 为双曲线）2． 标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。
其中22b a c -=（一个∆Rt ）（2）焦点在y 轴上，中心在原点：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。
其中22b a c -=（3）两种标准方程可用统一形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上），这种形式用起来更方便。
33．性质：对于椭圆：12222=+by a x （a ＞b ＞0）如下性质必须熟练掌握：①范围; ②对称轴,对称中心; ③顶点;④焦点; ⑤准线方程; ⑥离心率; (参见课本) 此外还有如下常用性质：⑦焦半径公式： |PF 1|=左r =a +ex 0，|PF 2|=右r =a-ex 0；(由第二定义推得)c a PF c a PF -=+=min max ,⑧焦准距c b p 2=；准线间距c a 22=;通径长22b a⨯;⑨最大角()12122max F PF F B F ∠=∠ 证:设|PF 1|=r 1,|PF 2|=r 2,则222221212121212221222124()24cos 222211,"",.()2r r c r r r r c P r r r r b b r r r r a +-+--==≤-=-==+时取角最大对于椭圆：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）的性质可类似的给出（请课后完成）。
椭圆一．椭圆定义：⑴第一定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和为常数212F F a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21,F F 叫椭圆的焦点.当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在;当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21,F F 为端点的线段⑵椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线L (定点F 不在定直线L 上)的距离之比是常数e(0<e<1)的点的轨迹为椭圆 【例】⑴已知21,F F 为椭圆192522=+y x的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若1222=+BF AF ，则AB =__________⑵已知圆Q ：0556-22=-+x y x ，动圆M 与已知圆内切，且过定点P （-3，0），求圆心M 的轨迹方程二．椭圆的方程与几何性质:见上表【例1】⑴已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)1P ，(2P ，求椭圆方程5⑶已知椭圆A 和椭圆2212420xy+=共准线，且离心率为12，求椭圆A 的方程⑷已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为33P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程，求椭圆方程 【例2】⑴椭圆1422=+myx的离心率为21，则m=_________⑵短轴长为5，离心率32=e 的椭圆两焦点为21,F F ，过1F 作直线交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为 （ ） A.3B.6C.12D.24⑶设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为424-，求此椭圆方程⑷如图，把椭圆1162522=+yx的长轴AB 分成8等份，过每个分点作X 轴的垂线交椭圆的上半部分于7654321,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点,则=++++++7654321FP FP FP FP FP FP FP ________⑸在ABC ∆中,3,2,30===∠∆ABC S AB A ,若以A,B 为焦点的椭圆经过点C,该椭圆的离心率e=___⑹如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是_______【例3】⑴椭圆191622=+yx上的点到直线L:x+y-9=0的距离的最小值为_________⑵已知13422=+yx内有P（1，-1），F 是椭圆的右焦点，①求离心率 ②在椭圆上求一点M ，使MF MP 2+的值最小，并求出这个最小值三．位置关系 1.点),x (00y P 与椭圆12222=+by ax 的位置关系:当12222>+by ax 时,点P 在椭圆外; 当12222<+by ax 时,点P 在椭圆内; 当12222=+by ax 时,点P 在椭圆上2.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交0>∆⇔; 直线与椭圆相切0=∆⇔; 直线与椭圆相离0<∆⇔ 3.弦长公式：21222122221),,(),,()0(1:,:1x x kAB y x B y x A b a b y a x m kx y l -⋅+=>>=++=则，交点为椭圆已知直线212221222211),,(),,()0(1:,:1y y kAB y x B y x A b a bx ay m kx y l -⋅+=>>=++=则，交点为椭圆已知直线四.点差法：适用：求平行弦的中点轨迹，求过定点的弦中点的轨迹，求被定点平分的弦所在直线的方程 【例】⑴求椭圆方程1222=+y x 中斜率为2的平行弦的中点轨迹方程⑵求椭圆方程1222=+y x中过定点P （0，2）的弦AB 的中点M 的轨迹方程⑶在椭圆12422=+yx中，过点P(1,1)的弦AB 恰被点P 平分，求弦AB 所在直线的方程【习题】1.已知两定点1(1,0)F -、2(1,0)F 且12F F 是1P F 与2P F 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是（ ）A.221169xy+= B.2211612xy+= C.22143xy+= D.22134xy+=2.离心率为黄金比12的椭圆称为“优美椭圆”.设22221(0)x y a b ab+=>>是优美椭圆，F 、A 分别是它的左焦点和右顶点，B 是它的短轴的一个顶点，则FBA ∠等于（ ）A.60B.75C.90D.1203.点P(-3,1)在椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的左准线上，过点P 且方向向量为(2,5)a =-的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）313C.2D.124. 已知(1,0)A -,(1,0)B ,点(,)C x y 12=，则AC BC +=( ).A 6 .B 4 .C 2 .D 不能确定 5.如图，把椭圆2212516xy+=的长轴A B 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则1234567P F P F P F P F P F P F P F ++++++= . 6.已知P 是椭圆22221x y ab+=()0a b >>上任意一点，P 与两焦点连线互相垂直，且P 到两准线距离分别为6、12，则椭圆方程为_____________ 7.直线l 过点()1,1M ，与椭圆22143xy+=相交于A 、B 两点，若A B 的中点为M ，试求直线l 的方程.8.已知椭圆1422=+y x 及直线y=x+m,⑴当m 为何值时，直线和椭圆有公共点 ⑵若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程9．椭圆C:1162522=+yx内有一点A （2，1）F 是椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上的动点，求PF PA 35+的最小值10.椭圆C:1162522=+yx内有一点A （2，1）F 是椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上的动点，求PF PA +的最大值与最小值11. 椭圆C:1162522=+yx外有一点A （5，6），l 为椭圆的左准线，P 为椭圆C 上的动点，点P 到的l 距离为d,求d PA 53+的最小值12.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P,Q 两点，且210,=⊥PQ OQ OP ,求椭圆方程。
