高三第一轮复习圆的方程及求法

高三一轮复习——圆的方程一. 教学内容：圆的方程二. 教学目的：使学生掌握圆的标准方程、一般方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的方程，能运用圆的方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题．三. 教学重、难点教学重点：掌握圆的方程的推导步骤；根据具体条件正确写出圆的方程．教学难点：运用圆的方程解决一些简单的实际问题．四. 基本内容1. 圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆．2. 求曲线方程的一般步骤为：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件P的点M的集合；（可以省略，直接列出曲线方程．）（3）用坐标表示条件P（M），列出方程；（4）化方程为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点（可以省略不写，如有特殊情况，可以适当予以说明）3. 圆的标准方程：已知圆心为，半径为，如何求圆的方程？运用上节课求曲线方程的方法，从圆的定义出发，正确地推导出：这个方程叫做圆的标准方程．若圆心在坐标原点上，这时，则圆的方程就是．4. 圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径．圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要三个量确定了且＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．确定，可以根据条件，利用待定系数法来解决．5. 圆的一般方程：将圆的标准方程的展开式为：，取得①再将①方程配方，得②不难看出，此方程与圆的标准方程的关系（1）当时，表示以（－，－）为圆心，为半径的圆；（2）当时，方程只有实数解，，即只表示一个点（－，－）；（3）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．综上所述，方程表示的曲线不一定是圆．只有当时，它表示的曲线才是圆，我们把形如的表示圆的方程称为圆的一般方程．6. 圆的一般方程与圆的标准方程比较，圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点：（1）和的系数相同，且不等于0；（2）没有这样的二次项．但要注意：以上两点是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件．看来，要想求出圆的一般方程，只要根据已知条件确定三个系数就可以了．7. 圆的切线的求法（1）若点（，）在圆+=的外面，则切线方程为（斜率存在时），利用圆心到切线的距离等于半径列出方程，求出k，当斜率不存在时，结合图形求出．（2）若点（，）在圆上，则切线方程为．（3）若切线斜率为k，则圆的切线方程为．8. 有关直线与圆的位置关系问题，为避免计算量过大，一般不用判别式，而是用圆心到直线的距离与半径的大小关系求解；圆与直线的交点问题则常用根与系数的关系简化运算过程．9. 圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R和r（R≥r），圆心距为d，则两圆的位置关系满足以下条件：外离 d > R＋r外切相交内切内含【典型例题】例1. 求以C（1，3）为圆心，并且和直线相切的圆的方程．解：已知圆心坐标C（1，3），故只要求出圆的半径，就能写出圆的标准方程．因为圆C和直线相切，所以半径就等于圆心C到这条直线的距离．根据点到直线的距离公式，得．因此，所求圆的方程是．点评：由本题可知，圆的标准方程是由圆心坐标和半径两因素决定的．而且圆的半径与圆的切线有着非常密切的联系，解题要注意运用圆的切线的性质．解题时画出草图可帮助思考．例2. 已知圆的方程，求经过圆上一点的切线方程．解：如图，设切线的斜率为，半径OM的斜率为．因为圆的切线垂直于过切点的半径，于是．∵∴．经过点M的切线方程是，整理得．因为点在圆上，所以，所求切线方程是．点评：用斜率的知识来求切线方程，这就是“代数方程”：即设出圆的切线方程，将其代入到圆的方程，得到一个关于或的一元二次方程，利用判别式进行求解，但此法不如用几何方法简练实用，几何方法就是利用圆心到直线的距离等于半径（本题利用了圆心到切点的距离为半径的知识），由此确定了斜率的，从而得到点斜式的切线方程，以上两种方法只能求出存在斜率的切线，若斜率不存在，则要结合图形配补．例3. 求过三点的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程．解：设所求的圆的方程为：∵在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于的三元一次方程组，即解此方程组，可得：．∴所求圆的方程为：．；．得圆心坐标为（4，－3）．或将左边配方化为圆的标准方程，，从而求出圆的半径，圆心坐标为（4，－3）．例4. 已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线．分析：在求出曲线方程之前，很难确定曲线类型，所以应按照求曲线方程的一般步骤先将曲线方程求出．解：在给定的坐标系里，设点是曲线上的任意一点，也就是点属于集合．即，整理得：所求曲线方程即为：．将其左边配方，得．∴此曲线是以点C（－1，0）为圆心，2为半径的圆.如右上图所示．例 5. 求圆心在直线x－y－4=0上，且经过两圆和的交点的圆的方程．解：设经过两已知圆的交点的圆的方程为则其圆心坐标为．∵所求圆的圆心在直线上，∴．∴所求圆的方程为．说明：此题也可先求出两圆的交点，然后用待定系数法求出圆的方程．例6. 如图所示，已知点P是圆上的一个动点，点A是轴上的定点，坐标为（12，0）.点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？分析：应先根据线段中点坐标公式得点M的横、纵坐标，表示出来，然后判断其关系，从而确定其曲线类型．解：设点M的坐标是（）．∵圆的参数方程为：又∵点P在圆上，∴设P的坐标为（4cosθ，4sinθ）由线段中点坐标公式可得点M的轨迹的参数方程为：．从而判断线段PA的中点M的轨迹是以点（6，0）为圆心、2为半径的圆．例7. 若实数满足，求的最大值．分析一：将圆化为参数方程来解．解法一：将圆变为∴圆的参数方程为代入得=（1+cosθ）－（－2+sinθ）=3+（cosθ－sinθ）=3+cos（θ+）≤3+∴的最大值为3+．分析二：令=u代入圆方程来解.解析二：令u=，则代入圆方程得由即∴3－≤u≤3+，即3－≤x－y≤3+∴的最大值为3+．例8. 已知对于圆上任意一点P（），不等式恒成立，求实数的取值范围．分析：将圆的参数方程代入，转化为求的最值问题来解．解：由得其参数方程为：代入，得cosθ+1+sinθ+≥0∴≥－cosθ－sinθ－1．∴≥－sin（θ＋）－1恒成立，∴转化为求－sin（θ+）－1的最大值，∵－sin（θ+）－1的最大值为－1．∴≥－1．例9. 已知点A（0，2）和圆C：，一条光线从A点出发射到轴上后沿圆的切线方向反射，求这条光线从A点到切点所经过的路程．解：设反射光线与圆相切于D点.点A关于轴的对称点的坐标为，则光线从A点到切点所走的路程为｜｜．在Ｒｔ△中，∴｜｜＝．即光线从A点到切点所经过的路程是．点评：此例的解法关键是利用A关于x轴的对称点在反射光线上，把光线从A点到折射点再到切点D的路程，转化为求线段的长.本例的其他解法都不如这个解法简便．例10. 已知圆和直线交于P、Q两点且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径．分析：利用“OP⊥OQ”求出m，问题可解．解：将代入方程，得设P、Q，则满足条件：∵OP⊥OQ，∴而，，∴，∴m=3，此时Δ>0，圆心坐标为（－，3），半径．点评：在解答中，我们采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧，由于“OP⊥OQ，”即等价于“”所以最终应考虑用韦达定理来求m．另外，在使用“设而不求”的技巧时，必须注意这样的交点是否存在，这可由判别式大于零帮助考虑．例11. 设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程.解法一：设圆的圆心为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为│b│，│a│.由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截x轴所得的弦长为，故r2=2b2，又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2=a2+1.从而得2b2－a2=1.又点P（a，b）到直线x－2y=0的距离为，所以5d2=│a－2b│2=a2+4b2－4ab≥a2+4b2－2（a2+b2）=2b2－a2=1，当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1，从而d取得最小值.由此有解此方程组得或由于r2=2b2知.于是，所求圆的方程是（x－1）2+（y－1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2.解法二：同解法一，得∴得①将a2=2b2－1代入①式，整理得②把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即△=8（5d2－1）≥0，得5d2≥1.∴5d2有最小值1，从而d有最小值.将其代入②式得2b2±4b+2=0. 解得b=±1.将b=±1代入r2=2b2，得r2=2. 由r2=a2+1得a=±1.综上a=±1，b=±1，r2=2.由=1知a，b同号.于是，所求圆的方程是（x－1）2+（y－1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2.【模拟试题】1. 求下列各圆的标准方程：（1）圆心在上且过两点（2，0），（0，－4）；（2）圆心在直线上，且与直线切于点M（2，－1）.（3）圆心在直线上，且与坐标轴相切．2. 已知圆．求：（1）过点A（4，－3）的切线方程.（2）过点B（－5，2）的切线方程．3. 下列方程各表示什么图形？（1）；（2）；（3）4. 求下列各圆的半径和圆的坐标：（1）（2）（3）5. 若实数x、y满足等式，那么的最大值为（）A. B. C. D.6. 经过圆上任一点P作x轴的垂线，垂足为Q，求线段PQ中点轨迹的普通方程．7. 已知点M是圆上的一个动点，点N（2，6）为定点，当点M在圆上运动时，求线段MN的中点P的轨迹方程，并说明轨迹的图形．8. 已知一圆C的圆心为（2，－1），且该圆被直线：x－y－1=0 截得的弦长为2，求该圆的方程及过弦的两端点的切线方程．9. 已知直线：mx－y=0 ，：x+my－m－2=0．（1）求证：对m ∈R，与的交点P在一个定圆上；（2）若与定圆的另一个交点为，与定圆的另一交点为，求当m在实数范围内取值时，Δ面积的最大值及对应的m．【试题答案】1. 分析：从圆的标准方程可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定三个参数．解：（1）设圆心坐标为（），则所求圆的方程为，∵圆心在上，∴①又∵圆过（2，0），（0，－4）∴②③由①②③联立方程组，可得∴所求圆的方程为．（2）∵圆与直线相切，并切于点M（2，－1），则圆心必在过点M（2，－1）且垂直于的直线：上，，即圆心为C（1，－2），=，∴所求圆的方程为：．（3）设所求圆的方程为，∵圆与坐标轴相切，∴．又∵圆心（）在直线上，∴．由，得∴所求圆的方程为：或2. 分析：求过一点的切线方程，当斜率存在时可设为点斜式，利用圆心到切线的距离等于圆的半径列出方程，求出斜率k的值，斜率不存在时，结合图形验证；当然若过圆上一点的切线方程，可利用公式求得．解：（1）∵点A（4，－3）在圆上．∴过点A的切线方程为：．（2）∵点B（－5，2）不在圆上，当过点B（－5，2）的切线的斜率存在时，设所求切线方程为，即由，得．∴此时切线方程为：．当过点B（－5，2）的切线斜率不存在时，结合图形可知=－5，也是切线方程．综上所述，所求切线方程为：或=－5．3.（1）解：此方程表示一个点O（0，0）．（2）解：可化为：∴此方程表示以点（1，－2）为圆心，为半径的圆．（3）解：可化为：，∴此方程表示以（－，0）为圆心，为半径的圆．4.（1）答案：即，圆心为（3，0），半径为3（2）答案：即，圆心为（0，－b），半径为｜b|．（3）答案：即，圆心为（，），半径为｜｜．5. 解：∵实数满足，∴（）是圆上的点，记为P，∵是直线OP的斜率，记为．∴OP：，代入圆方程，消去，得．直线OP与圆有公共点的充要条件是≥0，∴，所以，选Ｄ．6. 解：设M（）为线段PQ的中点，∵圆的参数方程为又∵点P为圆上任一点∴可设点P的坐标为（2cosθ，2sinθ）则Q点的坐标为（2cosθ，０）由线段中点坐标公式，得点M轨迹的参数方程为：消去参数θ，可得：即．7. 分析：先将圆化为利用圆的参数方程求解．解：将已知圆的方程化为：则其参数方程为故可设点M（2+2cosθ，2sinθ）又∵点N（2，6）.∴MN的中点P为∴点P的轨迹方程为：它表示圆心在（2，3），半径为1的圆．8. 分析：通过弦长与圆半径的关系可以求出圆的半径，得到圆的方程，其它问题易解．解：设圆C的方程是（r>0），则弦长P=2，其中d为圆心到直线x－y－1=0的距离，∴P=2=2，∴，圆的方程为．由，解得弦的二端点坐标是（2，1）、（0，－1）．∴过弦二端点的该圆的切线方程是和即和．点评：在圆中，对弦长的计算有两种方法：一用弦长公式．二用勾股定理，注意根据已知条件选用．本题中的切线方程若结合图形极易得出9. 分析：请试从作与的图形，分析与的位置入手解题．解：（1）与分别过定点（0，0）、（2，1），且两两垂直，∴与的交点必在以（0，0）、（2，1）为一条直径的圆：即上．（2）由（1）得（0，0）、（2，1），∴Δ面积的最大值必为．此时OP与的夹角是，∴m=3或．点评：涉及多条曲线位置关系问题，要注意运用图形分析方法，用图形的直观来避免代数运算的盲目性和复杂性．。

高考数学一轮复习知识点：圆的方程确定圆的方程主要要领是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r，或直接求出圆心(a，b)和半径r。

下面是查字典数学网整理的2019-2019高考数学一轮温习知识点，请考生认真学习。

1、圆的定义：平面内到一定点的隔断即是定长的点的聚集叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

2、圆的方程(1)标准方程，圆心，半径为r;(2)一般方程当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为当时，表示一个点;当时，方程不表示任何图形。

(3)求圆方程的要领：一般都采取待定系数法：先设后求。

确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r;若利用一般方程，需要求出D，E，F;别的要注意多利用圆的几多性质：如弦的中垂线必议决原点，以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置干系：直线与圆的位置干系有相离，相切，相交三种环境，基本上由下列两种要领鉴别：(1)设直线，圆圆心到l的隔断为则有(2)设直线，圆，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令此中的鉴别式为，则有;;注：如圆心的位置在原点，可使用公式去解直线与圆相切的标题，此中表示切点坐标，r表示半径。

(3)过圆上一点的切线方程：①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(讲义命题).②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(讲义命题的推广).4、圆与圆的位置干系：议决两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的巨细比较来确定。

设圆，两圆的位置干系常议决两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的巨细比较来确定。

当时两圆外离，此时有公切线四条;当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条;当时两圆相交，连心线垂直中分大众弦，有两条外公切线; 当时，两圆内切，连心线议决切点，只有一条公切线;当时，两圆内含;当时，为同心圆。

第二节圆与方程第1课时系统知识——圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系1．圆的定义及方程点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.[提醒] 不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆．[谨记常用结论]若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有：当F＝0时，圆过原点.当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上.当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点.当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切.[小题练通]1.[人教A版教材P124A组T4]圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1,3)，则圆C的方程为____________．答案：(x－2)2＋y2＝102.[教材改编题]经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为________________．答案：(x －1)2＋(y －1)2＝13.[教材改编题]圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是________． 答案：(x －1)2＋(y －1)2＝24.[易错题]已知圆的方程为x 2＋y 2＋ax ＋2y ＋a 2＝0，一定点为A (1,2)，要使过定点A 的圆的切线有两条，则a 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，2335．若坐标原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则实数m 的取值范围是________． 答案：(－2，2)6．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________________． 答案：x 2＋y 2－2x ＝01．直线与圆的位置关系(半径r ，圆心到直线的距离为d )2．圆的切线(1)过圆上一点的圆的切线①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程是(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(2)过圆外一点的圆的切线过圆外一点M (x 0，y 0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k ，从而得切线方程；若求出的k 值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x ＝x 0.(3)切线长①从圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)外一点M (x 0，y 0)引圆的两条切线，切线长为 x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F .②两切点弦长：利用等面积法，切线长a 与半径r 的积的2倍等于点M 与圆心的距离d 与两切点弦长b 的积，即b ＝2ard.[提醒] 过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． 3．圆的弦问题直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：(1)几何法：因为半弦长L2、弦心距d 、半径r 构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2r 2－d 2.(2)代数法：若直线y ＝kx ＋b 与圆有两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1k2|y 1－y 2|.[谨记常用结论]过直线Ax ＋By ＋C ＝0和圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝D 2＋E 2－4F ＞交点的圆系方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λAx ＋By ＋C ＝0.,[小题练通]1.[教材改编题]若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案：C2.[教材改编题]直线y ＝ax ＋1与圆x 2＋y 2－2x －3＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交C ．相离D ．随a 的变化而变化解析：选B ∵直线y ＝ax ＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x －1)2＋y 2＝4的内部，故直线与圆相交．3.[教材改编题]已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是________．解析：由题意知点M 在圆外，则a 2＋b 2＞1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2＜1，故直线与圆相交．答案：相交4.[易错题]过点(2,3)且与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线的方程为________________． 解析：当切线的斜率存在时，设圆的切线方程为y ＝k (x －2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为1，得k ＝43，所以切线方程为4x －3y ＋1＝0；当切线的斜率不存在时，易知直线x＝2是圆的切线，所以所求的直线方程为4x －3y ＋1＝0或x ＝2.答案：x ＝2或4x －3y ＋1＝05．以M (1,0)为圆心，且与直线x －y ＋3＝0相切的圆的方程是________． 答案：(x －1)2＋y 2＝86．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 解析：由x 2＋y 2＋2y －3＝0，得x 2＋(y ＋1)2＝4.∴圆心C (0，－1)，半径r ＝2.圆心C (0，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|1＋1|2＝2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2. 答案：2 2圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)[提醒] 涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．[谨记常用结论]圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交时：将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程； 两圆圆心的连线垂直平分公共弦；x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λx 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0表示过两圆交点的圆系方程不包括C 2[小题练通]1.[人教A 版教材P133A 组T9]圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦的长为________．答案：2 22.[教材改编题]若圆x 2＋y 2＝1与圆(x ＋4)2＋(y －a )2＝25相切，则实数a ＝________.答案：±25或03.[教材改编题]圆x2＋y2＝r2与圆(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则半径r＝________.解析：由题意，得2r＝32＋－2，所以r＝10 2.答案：10 24.[易错题]若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是________．答案：[1,121]5．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )A．21 B．19C．9 D．－11解析：选C 圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y －4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝25－m(m＜25)．从而|C1C2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋25－m＝5，解得m＝9，故选C.6．与圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，C2：x2＋y2－14x－2y＋14＝0都相切的直线有( ) A．1条 B．2条C．3条 D．4条解析：选A 两圆分别化为标准形式为C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，C2：(x－7)2＋(y－1)2＝36，则两圆圆心距|C1C2|＝7－32＋[1－－2]2＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.。

听课正文 第50讲 圆的方程1.圆的定义及方程定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准 方程(r>0)圆心 ,半径一般 方程(D 2+E 2-4F>0)圆心为-D 2,-E 2,半径为12√D 2+E 2-4F2.点与圆的位置关系点M (x 0,y 0)与圆(x-a )2+(y-b )2=r 2(r>0)的位置关系:(1)若M (x 0,y 0)在圆外,则 . (2)若M (x 0,y 0)在圆上,则 . (3)若M (x 0,y 0)在圆内,则 . 常用结论常见圆的方程的设法:标准方程的设法一般方程的设法圆心在原点 x 2+y 2=r 2x 2+y 2-r 2=0过原点 (x-a )2+(y-b )2=a 2+b 2x 2+y 2+Dx+Ey=0圆心在 x 轴上(x-a )2+y 2=r 2x 2+y 2+Dx+F=0圆心在y 轴上x 2+(y-b )2=r 2x 2+y 2+Ey+F=0与x 轴 相切(x-a )2+(y-b )2=b 2x 2+y 2+Dx+Ey+14D 2=0与y 轴 相切(x-a )2+(y-b )2=a 2x 2+y 2+Dx+Ey+14E 2=0题组一 常识题1.[教材改编] 若点(5a+1,12a )在圆(x-1)2+y 2=1的内部,则实数a 的取值范围是 .2.[教材改编]已知A(3,4),B(-5,6),则以线段AB为直径的圆的方程是.3.[教材改编]圆心在直线x=2上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则圆C的方程为.题组二常错题◆索引:忽视表示圆的条件D2+E2-4F>0;遗漏方程的另一个解;忽略圆的方程中变量的取值范围.4.若方程x2+y2-mx+y+m2=0表示一个圆心在y轴右侧的圆,则实数m的取值范围是.5.半径为3,圆心的纵、横坐标相等且与两条坐标轴都相切的圆的方程为.6.已知点P(x,y)为圆x2+y2=1上的动点,则x2-4y的最小值为.探究点一圆的方程的求法例1(1)[2018·伊春二中月考]过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是()A.(x-3)2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4(2)经过A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程为.[总结反思]求圆的方程一般有两种常用方法:(1)几何法,通过研究圆的几何性质,确定圆心坐标与半径长,即得到圆的方程;(2)代数法,用待定系数法求解,其关键是根据条件选择圆的方程,若已知圆上三点,则选用圆的一般方程,若已知条件与圆心及半径有关,则选用圆的标准方程.变式题 (1)在△ABC 中,已知A (0,3),B (4,0),若直线l :8x-6y-7=0与线段AB 交于点D ,且D 为△ABC 的外心,则△ABC 的外接圆的方程为 .(2)圆心为直线x+y-2=0和-x+3y+10=0的交点,且与直线x+y-4=0相切的圆的标准方程是 .探究点二 与圆有关的最值问题微点1 斜率型最值问题例2 (1)[2018·深圳三模] 已知x ,y 满足x 2+y 2-4x-2y-4=0,则2x+3y+3x+3的最大值为 ( )A .2B .174 C .295 D .134√13 (2)[2018·抚州临川一中月考] 点M (x ,y )在圆x 2+(y-2)2=1上运动,则xy 4x 2+y 2的取值范围是( )A .(-∞,-14]∪[14,+∞) B .(-∞,-14]∪[14,+∞)∪{0} C .[-14,0)∪(0,14] D .[-14,14][总结反思] 处理与圆有关的最值问题,应充分探究圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,利用数形结合思想求解.求形如k=y-bx-a 的最值问题,可转化为求斜率的最值问题,即过点(a ,b )和(x ,y )的直线斜率的最值问题.微点2 截距型最值问题例3 (1)已知实数x ,y 满足方程x 2+y 2+4y-1=0,则√2x+y 的最大值是 ,最小值是 .(2)已知P (x ,y )在圆(x-1)2+(y-1)2=5上运动,2x+ay (a>0)的最大值为8,则其最小值为 .[总结反思]若(x,y)为圆上任意一点,求形如u=ax+by的最值,可转化为求动直线截距的最值.具体方法是:(1)数形结合法,当直线与圆相切时,直线在y轴上的截距取得最值;(2)把u=ax+by 代入圆的方程中,消去y得到关于x的一元二次方程,由Δ≥0求得u的范围,进而求得最值.微点3距离型最值问题例4(1)若P是圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上任一点,则点P到直线y=kx-1距离的最大值为()A.4B.6C.3√2+1D.1+√10(2)已知动点P(x,y)满足x2+y2-|x|-|y|=0,O为坐标原点,则√x2+y2的最大值为.[总结反思]若(x,y)为圆上任意一点,求形如t=(x-a)2+(y-b)2的最值,可转化为圆上的点到定点的距离的最值,即把(x-a)2+(y-b)2看作是点(a,b)与圆上的点(x,y)连线的距离的平方,利用数形结合法求解.微点4利用对称性求最值例5已知点A(-1,1)和圆C:(x-5)2+(y-7)2=4,一束光线从A出发,经x轴反射到圆C上的最短路程的长是()A.6√2-2B.8C.4√6D.10[总结反思]求解形如|PM|+|PN|且与圆C有关的折线段的最值问题(其中M,N均为动点)的基本思路:(1)“动化定”,把与圆上的点的距离,转化为与圆心的距离;(2)“曲化直”,即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.应用演练1.【微点3】圆x2+y2-4x-4y+6=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离分别是()A.2√2,√2B.3√2,√2C.4,2D.4√2,2√22.【微点3】已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1与圆M关于x轴对称,Q为圆M上的动点,当Q到直线y=x+2的距离最小时,Q的横坐标为()A.2-√22B.2±√22C.3-√22D.3±√223.【微点4】已知点P为直线y=x+1上的一点,M,N分别为圆C1:(x-4)2+(y-1)2=4与圆C2:x2+(y-2)2=14上的点,则|PM|-|PN|的最大值为()A.4B.92C.112D.74.【微点2】若实数x,y满足x2+y2+8x-6y+16=0,则x+y的最小值为.5.【微点1】P(x,y)是圆(x-4)2+y2=4上的点,则yx的取值范围是.6.【微点3】[2018·浙江五校联考]已知圆C:x2+(y+1)2=3,设EF为直线l:y=2x+4上的一条线段,若对于圆C上的任意一点Q,∠EQF≥π2,则|EF|的最小值是.探究点三与圆有关的轨迹问题例6(1)已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所围成的图形的面积等于()A.πB.4πC.8πD.9π(2)[2018·合肥二模]圆C过点M(5,2),N(3,2)且圆心在x轴上,点A为圆C上的点,O为坐标原点,连接OA,延长OA到P,使得|OA|=|AP|,则点P的轨迹方程为.[总结反思]与圆有关的轨迹问题的四种常用求解方法:(1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法:根据圆、直线等的定义列方程.(3)几何法:利用圆的几何性质列方程.(4)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式列方程.变式题(1)已知A(-2,0),B(1,0)两点,动点P不在x轴上,且满足∠APO=∠BPO,其中O为原点,则P点的轨迹方程是()A.(x+2)2+y2=4(y≠0)B.(x+1)2+y2=1(y≠0)C.(x-2)2+y2=4(y≠0)D.(x-1)2+y2=1(y≠0)(2)已知圆M的圆心在直线x-2y+4=0上,且与x轴交于两点A(-5,0),B(1,0).又D(-3,4),点P在圆M上运动,则以AD,AP为一组邻边的平行四边形的另一个顶点Q的轨迹方程为.。