2008高等代数
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红河学院2007—2008学年秋季学期 《高等代数I 》课程期末考试试卷 卷别:B 卷 考试单位: 考试日期: 题目 一 二 三 四 总分 得分 得分 评卷人 一、判断题(在正确的题后括号内打“Ο”,错误的打“×”,每小题2分,共12分) 1、若n ααα,,,21"与βααα,,,,21n "等价,则β可由n ααα,,,21"线性表出; ( ) 2、可逆矩阵的和仍是可逆矩阵; ( ) 3、零多项式能被任意多项式整除; ( ) 4、设A 、B 为数域上的n 阶方阵,若P ,0=AB 则或; ( ) 0=A 0=B 5、设A 、B 都为数域P 上的阶方阵,则n BA AB =; ( ) 6、若矩阵A 的所有r 阶子式全为零,则A 的秩至多是r 。
( ) 得分 评卷人 二、填空题(每小题4分,共28分) 1、设),1,,2(),1,1,0(),,1,1(321k k −==−=ααα则321,,ααα线性无关的充要条件为 ;2、在行列式103140211−−中,第二行代数余子式之和为 ;3、设,,⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=333222111c b a c b a c b a A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=333222111d b a d b a d b a B 1−=A ,1=B ,则B A 32+−= ;4、阶行列式n 210100101−−−−%$$%= ; 5、设,则⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=101020101A ,12)(2−−=x x x f =)(A f ; 6、设A 、B 为方阵,A 可逆,,则 022=++B AB A =+−1)(B A ;7、设,,b ax x x x f +++=24)(1)(2++=x x x g )())(),((x g x g x f =,则 =a ,=b 。
得分 评卷人三、计算题(第1小题15分,第2小题5分,第3小题10分,共计30分)1、计算行列式(1) nn n n n x x x x x x x x x x x x D +++=λλλ"####"""21212121;(2) n n a n n n a a D +++="#"##""22211121。
浙02198# 线性代数试题 第 1 页(共 4 页)全国2008年4月高等教育自学考试线性代数试题课程代码:02198说明:在本卷中,A T 表示矩阵A 的转置矩阵,A *表示矩阵A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,|A |表示方阵A 的行列式.一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设A 为m×n 矩阵,B 为n×m 矩阵,m ≠n, 则下列矩阵中为n 阶矩阵的是( )A.B T A TB.A T B TC.ABAD.BAB 2.设行列式D =333231232221131211a a a a a a a a a =3,D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++,则D 1的值为( ) A.-15B.-6C.6D.153.设A 为n 阶方阵,n ≥2,则|-5A |=( )A.(-5)n |A |B.-5|A |C.5|A |D.5n |A |4.设A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321,则|A *|=( ) A.-4B.-2C.2D.45.向量组α1,α2…,αS (s>2)线性无关的充分必要条件是( )A. α1,α2,…,αS 均不为零向量B. α1,α2,…,αS 中任意两个向量不成比例C. α1,α2,…,αS 中任意s-1个向量线性无关D. α1,α2,…,αS 中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示浙02198# 线性代数试题 第 2 页(共 4 页) 6.设3元线性方程组Ax =b ,A 的秩为2,η1,η2,η3为方程组的解,η1+η2=(2,0,4)T ,η1+η3=(1,-2,1)T ,则对任意常数k ,方程组Ax =b 的通解为( )A.(1,0,2)T +k (1,-2,1)TB.(1,-2,1)T +k (2,0,4)TC.(2,0,4)T +k (1,-2,1)TD.(1,0,2)T +k (1,2,3)T7.设3阶方阵A 的特征值为1,-1,2,则下列矩阵中为可逆矩阵的是() A.E-A B.-E-AC.2E-AD.-2E-A8.设λ=2是可逆矩阵A 的一个特征值,则矩阵(A 2)-1必有一个特征值等于() A.41B.21C.2D.49.设3阶方阵A 的秩为2,则与A 等价的矩阵为( )A.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000111 B. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000110111C. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000222111D. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛33322211110.二次型f (x 1,x 2,x 3,x 4,)=43242322212x x x x x x ++++的秩为( )A.1B.2C.3D.4二、填空题(本大题共10小题,每空2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。
河南科技大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案及评分标准科目代码: 856 科目名称: 高等代数一、(15分)计算下列各题:1、(5分)已知4阶行列式D 的第3行元素分别为 1,0,2,4-,第4行元素对应的余子式依次是5,10,,4a ,求a 的值。
2、(5分)已知矩阵B A ,满足关系A B AB =-,其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200012021B ,求矩阵A 。
3、(5分)设*A 为3阶方阵A 的伴随矩阵,A =2,计算行列式|21)3(|*1A A --。
解:1、因为 31413242334334440a A a A a A a A +++=,(3)L L分这里ij a 和ij A 分别是第i 行第j 列处的元素和该元素的代数余子式,所以有 150102440a -⨯+⨯+⨯-+⨯=(-)(),可得212a =。
(5)L L 分 2、 因为B A AB =-,所以B E B A =-)(,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-20001210211)(1E B B A ,(5)L L 分 3、|21)3(|*1A A --=111||3A A ---=12||3A --=312()||3A --=427-。
(5)L L 分二、(15分)计算)3(≥n n 阶行列式:0111101010n x xD x x x x =L L LM M M OM L。
(注释:该行列式主对角线上元素都是0,第一行和第一列除去第一个位置的元素是0外,其余的都是1,行列式中其余的元素都是x 。
要求写出解题步骤,也可以用语言叙述)。
解(法一):0111101010n x x D x x x x =L L LM M M O M L1(),(2,3,,)i r x r i n ⨯-+=L 0111100100100x x x---L L L M M M O M L(6)L L 分当0x ≠时,再把第j 列的1x倍加到第1列(2,3,,j n =L ),就把n D 化成了上三角行列式 121111000(1)(1)000000n n n n x x D n x x x----==----L LL M M M O M L, (12)L L 分当0x =时,显然有0n D =。
福州大学2008年招收硕士研究生入学考试试卷招生学院_______________招生专业________________考试科目________________科目编号________________本卷共十题,每题15分一、填空题(每小题4分,满分20分)1、多项式32()61514f x x x x =-+-的有理根是_________;【答案解析】:22、矩阵012114210A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的逆矩阵1A -=_________;【答案解析】:124211221232⎛⎫- ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭3、设P 为数域,在线性空间[]n P x 中,多项式()f x 在基1{1,(),...,()}n x a x a ---下的坐标是_________;【答案解析】:(1)()()((),(),,...,)2!(1)!n f a f a f a f a n -'''-4、在欧式空间4R 中,向量1(1,2,2,3)α=,2(3,1,5,1)α=的夹角为________;【答案解析】:455、已知1101A ⎛⎫=⎪⎝⎭,则nA =________;【答案解析】:101n ⎛⎫⎪⎝⎭二、简答题(每小题5分,满分25分)6、求非齐次线性方程组1231234123412344212357375822268x x x x x x x x x x x x x x x -+=-⎧⎪-+++=⎪⎨-+-=-⎪⎪---=-⎩的通解;【考察重点】:求非齐次线性方程组的通解,属于简单计算题,掌握知识点即可。
【答案解析】:解:142011420110245231570555501111371580555500000222680666600000A -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭可知原方程组与下面方程组同解1342342451x x x x x x --=-⎧⎨-++=⎩令340x x ==,得原方程组的一个特解()5100--且原方程组的两个基础解系为()()123010,1001αα=-=-所以原方程组的通解为()()()12510030101001x k k =--+-+-其中1k ,2k 为任意常数。
北京大学2008年硕士研究生入学考试试题考试科目:数学基础考试2(高代、几何) 考试时间:2008年1月20日下午 招生专业:数学学院各专业 研究方向:数学学院各方向说明:答题一律写在答题纸上(含填空题、选择题等客观题),写在此页上无效。
注:本试题中()r A 表示A 的秩,A 表示矩阵A 的行列式,'A 表示矩阵A 的转置矩阵。
1.(14分)设A 为一s n ⨯矩阵,(1)若非齐次线性方程组AX β=有解且()r A r =,则AX β=的解向量中线性无关的最多有多少个?并找出一组个数最多的线性无关的解向量。
(2)若线性方程组AX β=对任意非零s 维列向量β都有解,求()r A 。
2.(12分)(1)设A 为一s n ⨯矩阵,B 为一n m ⨯矩阵且满足()()r AB r B =,则对任一m l ⨯矩阵C ,是否一定有()()r ABC r BC =?并说明理由。
(2)设A 为一n 阶实矩阵且A 的每一元素的代数余子式等于此元素,求()r A 。
3.(20分)(1)设,A C 分别为n 阶和m 阶实对称矩阵,B 为一n m ⨯实矩阵,若'A B B C ⎛⎫ ⎪⎝⎭为正定矩阵,证明:'A B A C B C ≤⋅且等号成立当且仅当B O =。
(2)设()ij n n A a ⨯=为一n 阶实矩阵且它的每一元素的绝对值1ij a ≤,证明:2n A n ≤。
4.(12分)设()f x 为一整系数多项式且n 不整除(0),(1),...,(1)f f f n -,证明:()f x 无整数根。
5.(12分)设A 为数域K 上一n 阶矩阵,证明:若A 的特征多项式的复数根都属于K ,则A 与上三角矩阵相似。
6.(15分)设V 是数域K 的线性空间,,A B 都是V 上的线性变换。
设A 与B 的最小多项式互素,求满足AC CB =的所有线性变换C 。
7.(15分)设A 是n 维欧氏空间V 上的一正交变换,证明:A 是第一类的当且仅当存在V 上的正交变换B 使得2A B =。
【育明教育】中国考研考博专业课辅导第一品牌育明教育官方网站:12008年中山大学考研真题答案精解之高等代数【育明教育】中国考研考博专业课辅导第一品牌育明教育官方网站:22015考研英语写作七大误区词汇与语法错误考研英语写作让很多同学都很头痛,有两点原因:一为词汇,二为语法。
因为英语与汉语的区别是一词多义,非常讲究用词准确而且正式。
同时,英语的词汇非常丰富,一个词语通常都有许多同义词和近义词。
考生如果平时注意积累并加以练习,就能够在考试中熟练地加以运用。
英文写作也同样非常讲究语法,尤其是考研作文作为正式文体,需要注意以下几点小细节:(1)尽量少用缩写形式。
如don't,can't,won't 应写为do not,cannot,will not 等。
(2)用更加正式的否定形式。
如not…any 应写为no,not…much 写为little,not many 写做few 等。
(3)尽量少用"etc.","and so on"等表达方式。
例如:Activities include dancing,singing,etc 。
Activities include dancing,singing,and other fun stuff 。
◎中文式思维模式很多考生在考试过程中把一些中文的成语、谚语翻译成英文,这种做法导致的结果就是文章不仅行文不符合英文的规律,读起来也让人觉得非常不舒服。
纠正中文思维习惯的关键依然在于培养英文语感,同时考生在平时的练习中也要尽量让自己用英文来思考。
如果考生需要用到谚语,名句等,最好的办法是直接掌握英文的谚语、名句,并灵活运用到文章中。
◎注意字数与标点考研英语作文一分钟平均7~8个字,字数多少算个够?自己目测一下,以大作文为例,中等大小一行15字,最起码写到12,13位置,因为阅卷人做的第一件事情就是看你的字数,就看你的位置到没有到。