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2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理科）名师简评该套试卷整体上来说与往年相比，比较平稳，试题中没有偏题和怪题，在考查了基础知识的基础上，还考查了同学们灵活运用所学知识的解决问题的能力。
题目没有很多汉字的试题，都是比较简约型的。
但是不乏也有几道创新试题，像选择题的第8题，填空题的13题，解答题第20题，另外别的试题保持了往年的风格，入题简单，比较好下手，但是做出来并不是很容易。
整体上试题由梯度，由易到难，而且大部分试题适合同学们来解答体现了双基，考查了同学们的四大思想的运用，是一份比较好的试卷。
本试卷分为第I 卷（选择题〉和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分,考试用时120分钟第I 卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）i 是虚数单位，复数7=3iz i-+= （A ）2i + （Ｂ）2i - （Ｃ）2i -+ （Ｄ）2i -- １．B【命题意图】本试题主要考查了复数的概念以及复数的加、减、乘、除四则运算. 【解析】7=3i z i -+=(7)(3)(3)(3)i i i i --+-=2173110i i ---=2i - （２）设R ϕ∈，则“=0ϕ”是“()=cos (+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的（A ）充分而不必要条件 （Ｂ）必要而不充分条件（Ｃ）充分必要条件 （Ｄ）既不充分也不必要条件 2．A【命题意图】本试题主要考查了三角函数的奇偶性的判定以及充分条件与必要条件的判定. 【解析】∵=0ϕ⇒()=cos (+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数，反之不成立，∴“=0ϕ”是“()=cos (+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的充分而不必要条件.（３）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为25-时，输出x 的值为（A ）1- （Ｂ）1 （Ｃ）3 （Ｄ）9 3．C【命题意图】本试题主要考查了算法框图的读取，并能根据已给的算法程序进行运算.【解析】根据图给的算法程序可知：第一次=4x ，第二次=1x ，则输出=21+1=3x ⨯.（4）函数3()=2+2x f x x -在区间(0,1)内的零点个数是（A ）0 （Ｂ）1 （Ｃ）2 （Ｄ）3 4．B【命题意图】本试题主要考查了函数与方程思想，函数的零点的概念，零点存在定理以及作图与用图的数学能力.，即(0)(1)<0f f ⋅且函数()f x B 正确.并借助于通项公式分析项+15r 5，∴103=1r -，即=3r ，∴x 的系数为40-.（6）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是,,a b c ，已知8=5b c ，=2C B ，则cosC= （A ）725 （Ｂ）725- （Ｃ）725± （Ｄ）24256．A【命题意图】本试题主要考查了正弦定理、三角函数中的二倍角公式. 考查学生分析、转化与计算等能力.【解析】∵8=5b c ，由正弦定理得8sin =5sin B C ，又∵=2C B ，∴8sin =5sin 2B B ，所以8sin =10sin cos B B B ，易知sin 0B ≠，∴4cos =5B ，2cos =cos 2=2cos 1C B B -=725. （7）已知△ABC 为等边三角形，=2AB ，设点P ，Q 满足=AP AB λ，=(1)AQ AC λ-，R λ∈，若3=2BQ CP ⋅-，则=λ （A ）127．A【命题意图】本试题以等边三角形为载体，主要考查了向量加减法的几何意义，平面向量基本定理，共线向量定理及其数量积的综合运用.【解析】∵=BQ AQ AB -=(1)AC AB λ--，=CP AP AC -=AB AC λ-，又∵3=2BQ CP ⋅-，且||=||=2AB AC ，0<,>=60AB AC ，0=||||cos 60=2AB AC AB AC ⋅⋅，∴3[(1)]()=2AC AB AB AC λλ----，2223||+(1)+(1)||=2AB AB AC AC λλλλ--⋅-，所以234+2(1)+4(1)=2λλλλ---，解得1=2λ.CBAPQ（8）设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是（A）[1（Ｂ）(,1[1+3,+)-∞∞（Ｃ）[2-（Ｄ）(,2[2+22,+)-∞-∞8．D【命题意图】本试题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，重要不等式，一元二次不等式的解法，并借助于直线与圆相切的几何性质求解的能力.【解析】∵直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，∴圆心(1,1)到直线的距离为d ，所以21()2m n mn m n +=++≤，设=t m n +， 则21+14tt ≥，解得(,2[2+22,+)t ∈-∞-∞. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调査，应从小学中抽取 所学校，中学中抽取 所学校. 9．18，9【命题意图】本试题主要考查了统计中的分层抽样的概念以及样本获取的方法与计算. 【解析】∵分层抽样也叫按比例抽样，由题知学校总数为250所，所以应从小学中抽取15030=18250⨯，中学中抽取7530=9250⨯. （10）―个几何体的三视图如图所示(单位：m )，则该几何体的体积为 3m .10．18+9π【命题意图】本试题主要考查了简单组合体的三视图的画法与体积的计算以及空间想象能力.【解析】由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体，所以其体积为：343=361+2()32V π⨯⨯⨯⨯=18+9π3m . （11）已知集合={||+2|<3}A x R x ∈，集合={|()(2)<0}B x R x m x ∈--,且=(1,)AB n -，则=m ,=n . 11．1-，1 【命题意图】本试题主要考查了集合的交集的运算及其运算性质，同时考查绝对值不等式与一元二次不等式的解法以及分类讨论思想.【解析】∵={||+2|<3}A x R x ∈={||5<<1}x x -,又∵=(1,)AB n -，画数轴可知=1m -，=1n .（12）己知抛物线的参数方程为2=2,=2,x pt y pt ⎧⎨⎩（t 为参数），其中>0p ，焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M 作的垂线，垂足为E ，若||=||EF MF ，点M 的横坐标是3，则=p . 12．2【命题意图】本试题主要考查了参数方程及其参数的几何意义，抛物线的定义及其几何性质.【解析】∵2=2,=2,x pt y pt ⎧⎨⎩可得抛物线的标准方程为2=2y px (>0)p ，∴焦点(,0)2p F ，∵点M的横坐标是3，则(3,M ±，所以点(,2p E -，222=()+(06)22p pEF p - 由抛物线得几何性质得=+32p MF ，∵=EF MF ，∴221+6=+3+94p p p p ，解得=2p .（13）如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦.过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D,过点C 作BD 的平行线与圆相交于点Ｅ，与AB 相交于点F ，=3AF ，=1FB ，3=2EF ，则线段CD 的长为 .13．43【命题意图】本试题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系，相交弦定理，切割线定理，相似三角形的概念、判定与性质.【解析】∵=3AF ，=1FB ，3=2EF ，由相交弦定理得=AF FB EF FC ⋅⋅，所以=2FC ，又∵B D ∥CE ，∴=AF FC AB BD ，4==23AB BD FC AF ⋅⨯=83，设=CD x ，则=4AD x ，再由切割线定理得2=BD CD AD ⋅，即284=()3x x ⋅，解得4=3x ，故4=3CD .（14）已知函数2|1|=1x y x --的图象与函数=2y kx -的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是 . 14．(0,1)(1,4)【命题意图】本试题主要考查了函数的图像及其性质，利用函数图像确定两函数的交点，从而确定参数的取值范围.【解析】∵函数=2y kx -的图像直线恒过定点B(0,2)-，且(1,2)A -，(1,0)C -，(1,2)D ，2+2==410-，由图像可知(0,1)(1,4)k ∈. .2sin (2+)+sin(2)+2cos 133x x x ππ--，x R ∈..【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】 （1）2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--2sin 2coscos 2)34x x x ππ=+=+ 函数()f x 的最小正周期为22T ππ==（2）32sin(2)11()444444x x x f x ππππππ-≤≤⇒-≤+≤⇒≤+≤⇔-≤≤当2()428x x πππ+==时，()max f x =，当2()444x x πππ+=-=-时，min ()1f x =-【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为=sin (+)y A x ωϕ的数学模型，再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.（16）（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率：（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率：（Ⅲ）用,X Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记=||X Y ξ-，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】（1）每个人参加甲游戏的概率为13p =，参加乙游戏的概率为213p -= 这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为22248(1)27C p p -=（2）44(4,)()(1)(0,1,2,3,4)k kk XB p P X kC p p k -⇒==-=，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为1(3)(4)9P X P X =+==（3）ξ可取0,2,48(0)(2)2740(2)(1)(3)8117(4)(0)(4)81P P X P P X P X P P X P X ξξξ=======+=====+==随机变量ξ的分布列为84017148024********E ξ=⨯+⨯+⨯=【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点，近年来都通过概率问题来考查，且常考常新,对于此类考题，要注意认真审题，从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型，独立事件、互斥事件等概率模型求解，因此对概率型应用性问题，理解是基础，转化是关键.（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA 丄平面ABCD ，AC 丄AD ，AB 丄BC ，45BAC ︒∠=，==2PA AD ，=1AC .(Ⅰ)证明：PC 丄AD ；（Ⅱ）求二面角A PC D --的正弦值；（Ⅲ）设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为030， 求AE 的长.【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】（1）以,,AD AC AP 为,,x y z 正半轴方向，建立空间直角左边系A xyz - 则11(2,0,0),(0,1,0),(,,0),(0,0,2)22D C B P -（lby lfx ） (0,1,2),(2,0,0)0PC AD PC AD PC AD =-=⇒=⇔⊥ （2）(0,1,2),(2,1,0)PC CD =-=-，设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =DCBAP则0202200n PC y z y zx y x z n CD ⎧=-==⎧⎧⎪⇔⇔⎨⎨⎨-===⎩⎩⎪⎩ 取1(1,2,1)z n =⇒= (2,0,0)AD =是平面PAC 的法向量 630cos ,sin ,6AD n AD n AD n AD n<>==⇒<>=得：二面角A PC D -- （3）设[0,2]AE h =∈；则(0,0,2)AE =，11(,,),(2,1,0)22BE h CD=-=- cos ,BE CD BE CD h BE CD<>=⇔=⇔=即AE = 【点评】试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题相似，但底面是非特殊的四边形，一直线垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是第三问中点E 的位置是不确定的，需要学生根据已知条件进行确定，如此说来就有难度，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好.（18）(本小题满分13分）已知{n a }是等差数列，其前n 项和为n S ，{n b }是等比数列,且1a =1=2b ，44+=27a b ，44=10S b -.(Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式； (Ⅱ)记112231n n n n n T a b a b a b a b --=++++；证明：+12=2+10n n n T a b -+()n N ∈.【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】（1） 设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ；则 34434412732322710246210a b d d q S b q a d q +==⎧++=⎧⎧⇔⇔⎨⎨⎨-==+-=⎩⎩⎩ 得：31,2n n n a n b =-=（2）1211223112112222()22n n n nn n n n n n n a a T a b a b a b a b a a a a ----=++++=+++=+++111213132352222n n n n n n n a n n n c c +-----++==-=- 12231112[()()()]2()n n n n n n T c c c c c c c c ++=-+-++-=-1022(35)1021212102n n n n n n n b a T b a =⨯-+=--⇔+=-【点评】该试题命制比较直接，没有什么隐含的条件，就是等比与等差数列的综合应用，但方法多样，第二问可以用错位相减法求解证明，也可用数学归纳法证明，给学生思维空间留有余地，符合高考命题选拔性的原则.（19）（本小题满分14分）设椭圆2222+=1x y a b(>>0)a b 的左、右顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若直线AP 与BP 的斜率之积为12-，求椭圆的离心率；（Ⅱ）若||=||AP OA ，证明：直线OP 的斜率k 满足|k 【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】（1）取(0,)P b ，(,0),(,0)A a B a -；则221()22AP BP b b k k a b a a ⨯=⨯-=-⇔=222212a b e e a -==⇔=（2）设(cos ,sin )(02)P a b θθθπ≤<；则线段OP 的中点(cos ,sin )22ab Q θθ ||=||AP OA 1AQ AQ OP k k ⇔⊥⇔⨯=- sin sin cos 22cos AQ AQ AQ b k b ak ak a a θθθθ=⇔-=+2AQ AQ ak k k ⇒≤<⇔<⇔ 【点评】（20）（本小题满分14分）已知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中>0a . （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若对任意的[0,+)x ∈∞,有2()f x kx ≤成立，求实数k 的最小值； （Ⅲ）证明：=12ln (2+1)<221ni n i --∑*()n N ∈. 【参考答案】（1）函数()f x 的定义域为(,)a -+∞ ()ln()f x x x a =-+11()101x a f x x a a x a x a+-'⇒=-==⇔=->-++ ()01,()01f x x a f x a x a ''>⇔>-<⇔-<<-得：1x a =-时，min ()(1)101f x f a a a =-⇔-=⇔= （2）设22()()ln(1)(0)g x kx f x kx x x x =-=-++≥则()0g x ≥在[0,+)x ∈∞上恒成立min ()0(0)g x g ⇔≥=（*） (1)1ln 200g k k =-+≥⇒>1(221)()2111x kx k g x kx x x +-'=-+=++ ①当1210()2k k -<<时，0012()00()(0)02kg x x x g x g k-'≤⇔≤≤=⇒<=与（*）矛盾②当12k ≥时，min ()0()(0)0g x g x g '≥⇒==符合（*） 得：实数k 的最小值为12(lfxlby)（3）由（2）得：21ln(1)2x x x -+<对任意的0x >值恒成立取2(1,2,3,,)21x i n i ==-：222[ln(21)ln(21)]21(21)i i i i -+--<-- 当1n =时，2ln 32-< 得：=12ln (2+1)<221ni n i --∑（lb ylfx ） 当2i ≥时，2211(21)2321i i i <---- 得：121[ln(21)ln(21)]2ln 3122121ni i i i n =-++-<-+-<--∑(lfxlby)【点评】试题分为三问，题面比较简单，给出的函数比较常规，因此入手对于同学们来说没有难度，第二问中，解含参数的不等式时，要注意题中参数的讨论所有的限制条件，从而做到不重不漏；第三问中，证明不等式，应借助于导数证不等式的方法进行.。
2012 年高考文科数学真题及答案全国卷1注息事项 :1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷 (非选择题 )两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动 .用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后 .将本试卷和答且卡一并交回。
第1 卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合 A={ x|x2－ x－ 2<0} ， B={ x|－ 1<x<1} ，则（A）A B（B）BA（C）A=B（D）A∩B=【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法与集合间关系，是简单题.【解析】 A= （－ 1,2），故 B A ，故选 B.（ 2）复数 z＝3i的共轭复数是2 i（ A ）2 i（ B ）2 i（C）1 i（ D）1 i【命题意图】本题主要考查复数的除法运算与共轭复数的概念，是简单题.【解析】∵ z =3 ii ，∴ z 的共轭复数为 1 i ，故选D.= 12i（3）在一组样本数据（ x1， y1），（ x2， y2），⋯，（ x n， y n）（n≥ 2， x1,x2, ⋯ ,x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）(i=1,2, ⋯, n) 都在直线y 1x 1 y=1x+1上，则这组样本22数据的样本相关系数为（A）－ 1（B）0（C）1（D）1 2【命题意图】本题主要考查样本的相关系数，是简单题.【解析】有题设知，这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选 D.12x2y2=1（a＞ b ＞0）的左、右焦点，P 为直线 x3a（4）设F,F是椭圆E：a2b2上一2点，△ F2PF1是底角为300的等腰三角形，则 E 的离心率为A .1B .2C .3D .4 2345【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题.【解析】∵△F2 PF1是底角为300的等腰三角形，∴ PF 2A600， | PF 2 | | F 1F 2 | 2c ，∴ | AF 2 | = c ，∴2c3a ，∴e =3，故选 C.24（ 5）已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1) ，B(1,3) ，顶点 C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ ABC内部，则 zxy 的取值范围是（A ）(1－ 3，2)（ B ） (0， 2)（ C ）( 3－ 1，2)（ D ） (0， 1+ 3)【命题意图】本题主要考查简单线性规划解法，是简单题.【解析】有题设知C(1+ 3 ,2)，作出直线l 0：xy 0 ，平移直线l 0，有图像知，直线 l : zx y 过B点时， z max=2，过 C 时，z min =1 3 ，∴ z x y 取值范围为(1－3，2)，故选 A.（ 6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N ( N ≥2)和实数a 1，a 2，⋯，a N ，输出A ，B ，则A . A + B 为a 1，a 2，⋯，a N 的和ABB .为a 1，a 2，⋯，a N 的算术平均数C .A 和B 分别为a 1，a 2，⋯，a N 中的最大数和最小数D . A 和 B 分别为a 1，a 2，⋯，a N 中的最小数和最大数【命题意图】本题主要考查框图表示算法的意义，是 简单题 .【解析】由框图知其表示的算法是找大值和最小值，A 和B分别为 a 1， a 2，⋯， a N 中 的最大数和最小数，故选C.（7）如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为A .6B .9C .12D .18【命题意图】本题主要考查简单几何体的三视图及体积计算，是简单题 .【解析】由三视图知，其对应几何体为三棱锥，其底面为一边长为 6，这边上高为 3，棱锥的高为 3，故其体积为116 33 =9，32故选 B.(8) 平面α截球 O 的球面所得圆的半径为1，球心 O 到平面α的距离为 2，则此球的体积为（ A ） 6π（ B ） 4 3π（C ） 4 6π（ D ） 6 3π【命题意图】【解析】N 个数中的最（ 9）已知>0，0，直线x =和x =5是函数f ( x) sin( x ) 图像的两条44相邻的对称轴，则=（ A ）ππ π 3π4（B ）3 （C ）2 （D ）4【命题意图】本题主要考查三角函数的图像与性质，是中档题.【解析】由题设知，5，∴ =1，∴= k（ k Z ），=4442∴= k （ kZ ），∵0，∴ =，故选 A.44（ 10）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 216x 的准线交于 A 、B 两点，| AB |=4 3，则C 的实轴长为A .2B .2 2C .4D .8.【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题【解析】由题设知抛物线的准线为： x 4 ，设等轴双曲线方程为：x 2 y 2 a 2，将x 4代入等轴双曲线方程解得y =16 a 2 ，∵| AB|=43，∴2 16a 2 = 4 3 ，解得 a =2，∴ C 的实轴长为4，故选 C.(11)当 0< x ≤1时，4xlog a x ，则a 的取值范围是222（A ）(0，2 ) （B ）( 2 ， 1) （C ） (1， 2) （D ） ( 2，2)【命题意图】本题主要考查指数函数与对数函数的图像与性质及数形结合思想， 是中档题 .0 a12 【解析】由指数函数与对数函数的图像知11，解得a2 ，故选 A.loga242（ 12）数列 { a n } 满足a n 1( 1)n a n2n 1 ，则{ a n }的前60项和为（ A ）3690 （B ） 3660（ C ） 1845 （ D ） 1830 【命题意图】本题主要考查灵活运用数列知识求数列问题能力，是难题 . 【解析】【法 1】有题设知a 2 a 1=1，① a 3a 2=3②a 4 a 3=5③a 5 a 4=7， a 6 a 5=9， a 7 a 6=11， a 8a 7=13， a 9 a 8=15， a 10 a 9=17， a 11a 10=19， a 12a1121 ，⋯⋯∴②－①得 a 1a 3=2，③+②得 a 4 a 2=8，同理可得 a 5 a 7=2， a 6 a 8=24， a 9a 11=2，a10a 12=40，⋯，∴ a 1 a 3，a 5 a 7，a 9 a 11，⋯，是各项均为 2 的常数列，a 2a 4，a 6a 8，a 10a 12，⋯是首项为8，公差为 16 的等差数列，∴ { a n } 的前 60 项和为 15 215 8116 15 14 =1830.2【法 2】可证明：bn 1a4 n 1a4n 2a4 n 3a4 n 4a4 n 3a4n 2a4 n 2a 4n 16b n16b 1a 1a 2 a 3 a 4 1 01 5 1 4 S 1510 1516 18302第Ⅱ卷二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。
2012年全国硕士研究生统一考试数学一试题及答案一、选择题：共8小题，每题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上。
1、曲线221x x y x +=-渐近线的条数（ ）（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3。
解：（C ）：22211lim lim 1111x x x x x x x→∞→∞++==--，可得有一条水平渐近线1y =；222112lim 1lim 1x x x x x x →→+==∞--，可得有一条铅直渐近线1x =；22111(1)1lim lim lim 1(1)(1)12x x x x x x x x x x x x →-→-→-++===--+-，可得1x =-不是铅直渐近线，故答案为（C ）。
2、设函数2()(1)(2)()x x nx y x e e e n =--- ，其中n 为正整数，则'(0)y =（ ） （A ）1(1)(1)!n n ---；（B ）(1)(1)!n n --；（C ）1(1)!n n --；（D ）(1)!n n -。
解：（A ）：(0)(11)(12)(1)0y n =---= ；则22000()(0)(1)(2)()(2)()'(0)lim lim lim0x x nx x nx x x x y x y e e e n x e e n y x x x→→→------===- 1(12)(1)(1)(1)!n n n -=--=-- 。
故答案为（A ）。
3．如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续，那么下列例题正确的是（ ）（A ）若极限(,)(0,0)(,)lim ||||x y f x y x y →+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微；（B ）若极限22(,)(0,0)(,)limx y f x y x y →+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微；（C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限(,)(0,0)(,)lim||||x y f x y x y →+存在；（D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限22(,)(0,0)(,)limx y f x y x y →+存在。
*************⎰0 0 *************中国科学院研究生院2012 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等数学（乙）考生须知：1. 本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。
2. 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一、选择题(本题满分 40 分，每小题 5 分。
请从每个题目所列的四个选项中选择一个适合放在空格中的项，并将你的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。
每 题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。
)(1) 设函数 f (x ) 在 x = 0 处可导且导函数连续， lim f ( x ) + 2 = 1 ，则 f '(0) = ()。
（A ）1（B ） -1x →03x - sin x（C ）2（D ） -2(2) 已知 f () = 2 ，[ f (x ) + f '(x )]sin xdx = 5 ，则 f (0) = ()。
0（A ）2 （B ）3 （C ）4（D ）5(3) x + 2 x (x +1)2dx = ( )。
1 x 21(A) ln+ + Cx +1 2 (B) ln| x +1| x 2++ Cx +11 (C) ln+ + Cx +1(D) ln (1+ x )2+ x +1 + C(4) 设函数 F (x , y ) 关于 x 和 y 有一阶偏导数， 且 F x (0, 0) = 1 ， F y (0, 0) = 2 ， 令z = F (u - v , ve u ),u = arctan t , v = sin t ，则 dz dtt =0= ()。
(A) 1(B) 0(C) 2(D) -1(5) 已知函数 y = 则 ()。
f (x ) 对一切 x 满足 xf '(x ) + 3x [ f '( x )]2 = 1- e -x ，若 f '(x ) = 0 ( x ≠ 0) （A ） f (x 0 ) 是 f (x ) 的极大值 （B ） (x 0 , f ( x 0 )) 是曲线 y = f (x ) 的拐点 （C ） f (x 0 ) 是 f (x ) 的极小值（D ） f (x 0 ) 不是 f (x ) 的极值科目名称：高等数学（乙）第 1 页 共 3 页x 1+ x x 1+ x ⎰科目名称：高等数学（乙） 第 2 页 共 3 页n ⎰ x 2 +n =2⎰(6) 设闭曲线 L : x 2+ ( y + 1)2= 2 取逆时针方向，则曲线积分□ xdy - ydx( )。
中国科学院大学2013年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等数学（乙）考生须知：1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一、选择题 (本题满分40分，每小题5分。
请从题目所列的选项中选择一个正确项填充空格。
每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。
请将你的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。
) （1）下列极限中不为0的是（ ）。
（A ） lim !n n e n →+∞ （B ） 11lim sin ln(1)n n n n →+∞+ （C ）lim arctann （D ） sin limn nn →+∞（2） 24sec 2tan lim 1cos 4x x xx π→-+=（ ）。
（A ）0 （B ）12（C ）1 （D ）2 （3） 以下关于函数261(3)xy x =++的叙述正确的是（ ）。
（A ）函数图像有唯一渐近线 （B ）函数在(3,3)-上是单调减的 （C ）函数图像没有拐点 （D ）32是函数最大值 （4） 设L 是由曲线1(01)y x x +=≤≤，1(10)y x x -=-≤≤和0(11)y x =-≤≤依次连接构成的曲线，方向为逆时针。
则曲线积分22()2Lx y dx xydy -+=⎰（ ）。
（A ）0 （B ）23 （C ）43（D ）83科目名称：高等数学（乙）第1页 共3页（5）设函数21(),(1,1)nn x f x x n∞==∈-∑，则'()f x =（ ）。
（A ）221x x -- （B ）221x x - （C ）221x x -+ （D ）221xx+ （6）设()f x 是定义在整个实轴R 上的连续函数，下列说法正确的是（ ）。
（A ） 若()f x 是一个偶函数，则它的原函数是一个奇函数 （B ） 若()f x 是一个奇函数，则它的原函数是一个偶函数 （C ） 若()f x 是一个周期函数，则它的原函数也是一个周期函数 （D ） 若()f x 是一个单调函数，则它的原函数也是一个单调函数（7）设D 是2R 上包含原点的一个区域，(,)f x y 是定义在D 上的连续函数。
【解读报告作者】姓 名：邵红能工作单位：上海市城市科技学校2012年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷（理工农医类）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.2.本试卷共有23道试题，满分150分.考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．计算：=+-ii13 （i 为虚数单位）.2．若集合}012|{>+=x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A .3．函数1sin cos 2)(-= x x x f 的值域是 .4．若)1,2(-=是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.5．在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于 .6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为 ，，，，n V V V 21，则=+++∞→)(lim 21n n V V V .7．已知函数||)(a x e x f -=（a 为常数）．若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围是 .8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 .9．已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ，若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g .10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6πα=，若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf .11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）.12．在平行四边形ABCD 中，3π=∠A ，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD ||||CD BC =⋅的取值范围是 .13．已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、)5,21(B 、)0,1(C ， 函数)(x xf y =（10≤≤x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为 .14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2=BC ，若c AD 2=， 且a CD AC BD AB 2=+=+，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15．若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（ ）A ．3,2==c b .B ．3,2=-=c b .C ．1,2-=-=c b .D ．1,2-==c b .16．在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形.B ．直角三角形.C ．钝角三角形.D ．不能确定.17．设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x ，随机变量1ξ取值54321x x x x x 、、、、的概率均为2.0，随机变量2ξ取值222221554433221x x x x x x x x x x +++++、、、、的概率也均为2.0，若记21ξξD D 、分别为21ξξ、的方差，则（ ）A ．21ξξD D >.B ．21ξξD D =.C ．21ξξD D <. D ．1ξD 与2ξD 的大小关系与4321x x x x 、、、的取值有关.18．设25sin1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是（ ） A ．25. B ．50. C ．75. D ．100.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2=AB ，22=AD ，2=PA ，求： （1）三角形PCD 的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数)1lg()(+=x x f ．（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =（]2,1[∈x ）的反函数.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7． （1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求 救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ：1222=-y x ．（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x 轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OQ OP ⊥；（3）设椭圆2C ：1422=+y x ，若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且ON OM ⊥，求证：O 到直线MN 的距离是定值.23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分8分.对于数集}1{21n x x x X ，，，， -=，其中n x x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集},),,(|{X t X s t s Y ∈∈==，若对任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使得021=⋅a a ，则称X 具有性质P ．例如}2,1,1{-具有性质P ．（1）若2>x ，且},2,1,1{x -具有性质P ，求x 的值；（2）若X 具有性质P ，求证：X ∈1，且当1>n x 时，11=x ；（3）若X 具有性质P ，且11=x 、q x =2（q 为常数），求有穷数列n x x x ，，， 21的通项公式.2012年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷（理工农医类）答案要点及解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．计算：=+-ii13 （i 为虚数单位）. 【解析】复数i ii i i i i i 21242)1)(1()1)(3(13-=-=-+--=+-. 故答案为i 21-.2．若集合}012|{>+=x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A .【解析】集合}21{}012{->=>+=x x x x A ，}31{}21{<<-=<-=x x x x B ，所以}321{<<-=x x B A ，即)3,21(-. 故答案为)3,21(-. 3．函数1sin cos 2)(-= x xx f 的值域是 .【解析】函数x x x x f 2sin 212cos sin 2)(--=--=，因为12sin 1≤≤-x ，所以212sin 2121≤-≤-x ，232sin 21225-≤--≤-x ，即函数)(x f 的值域为]23,25[--. 故答案为]23,25[--.4．若)1,2(-=n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.【解析】 设倾斜角为α，由题意可知，直线的一个方向向量为（1,2），则2tan =α， ∴α=2arctan . 故答案为2arctan .5．在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于 . 【解析】二项展开式的通项为k kk k k kk x C xx C T )2()2(26666661-=-=----+，令026=-k ，得3=k ，所以常数项为160)2(3364-=-=C T .故答案为160-.6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为 ，，，，n V V V 21，则=+++∞→)(lim 21n n V V V .【解析】由题意可知，该列正方体的体积构成以1为首项，81为公比的等比数列， ∴1V +2V +…+n V =811811--n =)811(78n -，∴=+++∞→)(lim 21n n V V V 78. 故答案为78.7．已知函数||)(a x e x f -=（a 为常数）．若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围是 .【解析】令a x t -=，则a x t -=在区间),[+∞a 上单调递增，而te y =为增函数，所以要是函数ax e x f -=)(在),1[+∞单调递增，则有1≤a ，所以a 的取值范围是]1,(-∞.故答案为]1,(-∞.8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 .【解析】因为半圆面的面积为ππ2212=l ，所以42=l ，即2=l ，即圆锥的母线为2=l ，底面圆的周长πππ22==l r ，所以圆锥的底面半径1=r ，所以圆锥的高322=-=r l h ，所以圆锥的体积为πππ33331313=⨯=h r . 故答案为π33. 9．已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ，若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g . 【解析】因为2)(x x f y +=为奇函数，所以22)()(x x f x x f --=+-，所以22)()(x x f x f --=-，32)1()1(=+=f g ，所以1)1(22)1(2)1()1(-=-=+--=+-=-f f f g . 故答案为1-.10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6πα=， 若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf .【解析】设直线上的任一点为P ),(θρ,因为6π=∠PAB ,所以θπ-=∠6OPA , 根据正弦定理得OPAOAOAP OP ∠=∠sin sin , 即)6sin(2)6sin(θπππρ-=-，即)6sin(1)6sin(6sin2θπθππρ-=-=．故答案为)6sin(1θπρ-=.11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）.【解析】三位同学从三个项目选其中两个项目有27232323=C C C 中，若有且仅有两人选择的项目完成相同，则有18122323=C C C ，所以有且仅有两人选择的项目完成相同的概率为322718=. 故答案为32. 12．在平行四边形ABCD 中，3π=∠A ，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足||||CD CN BC BM =，则AN AM ⋅的取值范围是 .【解析】设CDCN BCBM==λ（0≤λ≤1），则BM λ==λ,)1(λ-==)1(λ-，则AN AM ⋅=))((DN AD BM AB ++=])1()[(λλ-++ =⋅+2)1(λ-+2λ+⋅-)1(λ, 又∵⋅=2×1×3cosπ=1，2=4，2=1，∴AM ⋅=6)1(5222++-=+--λλλ，∵0≤λ≤1，∴2≤AM ⋅≤5，即⋅的取值范围是[2,5]. 故答案为[2,5].13．已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、)5,21(B 、)0,1(C ， 函数)(x xf y =（10≤≤x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为 .【解析】当210≤≤x ，线段AB 的方程为x y 10=，当121≤<x 时． 线段BC 方程为121150--=--x y ， 整理得1010+-=x y ，即函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤==121,1010210,10)(x x x x x f y ， 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤==121,1010210,10)(22x x x x x x xf y ，函数与x 轴围成的图形面积为dx x x dx x )1010(102121212+-=+⎰⎰12123213)5310(310x x x +-+=45=. 故答案为45. 14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2=BC ，若c AD 2=，且a CD AC BD AB 2=+=+，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最 大值是 ．【解析】过点A 做AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，由AD ⊥BC 可知，BC ⊥平面ADE ， 所以BC S V V V ADE ADE C ADE B ⋅=+=--31=ADE S 32， 当AB=BD=AC=DC=a 时，四面体ABCD 的体积最大.过E 做EF ⊥DA ，垂足为点F ，已知EA=ED ，所以△ADE 为等腰三角形，所以点E 为AD 的中点，又12222-=-=a BE AB AE ，∴EF=12222--=-c a AF AE ，∴ADE S =EF AD ⋅21=122--c a c ， ∴四面体ABCD 体积的最大值=max V ADE S 32=13222--c a c .故答案为13222--c a c .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15．若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（ ）A ．3,2==c b B ．3,2=-=c b C ．1,2-=-=c b D ．1,2-==c b 【解析】因为i 21+是实系数方程的一个复数根，所以i 21-也是方程的根，则b i i -==-++22121，c i i ==-+3)21)(21(，所以解得2-=b ，3=c ．故答案选B ．16．在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定 【解析】根据正弦定理可知由C B A 222sin sin sin <+,可知222c b a <+，在三角形中02cos 222<-+=abc b a C ，所以C 为钝角，三角形为钝角三角形．故答案选C ．17．设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x ，随机变量1ξ取值54321x x x x x 、、、、的概率均为2.0，随机变量2ξ取值222221554433221x x x x x x x x x x +++++、、、、的概率也均为2.0，若记21ξξD D 、分别为21ξξ、的方差，则（ ）A ．21ξξD D >B ．21ξξD D =C ．21ξξD D < D ．1ξD 与2ξD 的大小关系与4321x x x x 、、、的取值有关 【解析】由题意可知21ξξE E =，又由题意可知，1ξ的波动性较大，从而有21ξξD D >. 注意：本题也可利用特殊值法． 故答案选A ． 18．设25sin1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是（ ） A ．25 B ．50 C ．75 D ．100【解析】当1≤n ≤24时，n a ＞0，当26≤n ≤49时，n a ＜0，但其绝对值要小于1≤n ≤24时相应的值，当51≤n ≤74时，n a ＞0，当76≤n ≤99时，n a ＜0，但其绝对值要小于51≤n ≤74时相应的值，∴当1≤n ≤100时，均有n S ＞0． 故答案选D ．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2=AB ，22=AD ，2=PA ，求： （1）三角形PCD 的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小.【解析】（1）∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥CD ， 又∵CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面PAD ， ∴CD ⊥PD ， 又∵32)22(222=+=PD ，CD=2，∴△PCD 的面积为3232221=⨯⨯． （2）解法一：取PB 的中点F ，连接EF,AF, 则EF ∥BC ，∴∠AEF(或其补角)是异面直线 BC 与AE 所成的角．在△ADF 中，EF=2、AF=2,AE=2， ∴△AEF 是等腰直角三角形， ∴∠AEF=4π， ∴异面直线BC 与AE 所成的角大小为4π． 解法二：如图所示，建立空间直角坐标系， 则B(2,0,0),C(2，22,0),E(1，2,1)，∴AE =(1，2,1)，BC =(0,22,0), 设AE 与BC 的夹角为θ，则ACAE AC AE =θcos =222224=⨯,, 又∵0＜θ≤2π，∴θ=4π．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数)1lg()(+=x x f ．（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =（]2,1[∈x ）的反函数．【解析】（1）由⎩⎨⎧>+>-01022x x ，得11<<-x .由1lg )1lg()22lg(0122<=+--<+-x x x x 得101122<<+-x x .因为01>+x ，所以1010221+<-<+x x x ，3132<<-x .由⎩⎨⎧<<-<<-313211x x 得3132<<-x . （2）当x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==.由单调性可得]2lg ,0[∈y .因为yx 103-=，所以所求反函数是xy 103-=，]2lg ,0[∈x ．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7． （1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求 救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？【解析】（1）5.0=t 时，P 的横坐标x P =277=t ，代入抛物线方程24912x y =中，得P 的纵坐标y P =3. 由|AP |=2949，得救援船速度的大小为949海里/时.由tan ∠OAP =30712327=+，得∠OAP =arctan 307，故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度.（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t . 由222)1212()7(++=t t vt ，整理得337)(1442122++=t t v . 因为2212≥+t t ，当且仅当t =1时等号成立，所以22253372144=+⨯≥v ，即25≥v .因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ：1222=-y x ．（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x 轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OQ OP ⊥；（3）设椭圆2C ：1422=+y x ，若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且ON OM ⊥，求证：O 到直线MN 的距离是定值．【解析】（1）双曲线1:21212=-y C x ，左顶点)0,(22-A ，渐近线方程：x y 2±=.过点A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为)(222+=x y ，即12+=x y . 解方程组⎩⎨⎧+=-=122x y x y ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=2142y x .所以所求三角形的面积1为8221||||==y OA S .（2）设直线PQ 的方程是b x y +=.因直线与已知圆相切， 故12||=b ，即22=b .由⎩⎨⎧=-+=1222y x b x y ，得01222=---b bx x . 设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则⎩⎨⎧--==+1222121b x x bx x .（lb ylfx ） 又2，所以221212121)(2b x x b x x y y x x OQ OP +++=+=⋅022)1(2222=-=+⋅+--=b b b b b ，故OP ⊥OQ .（3）当直线ON 垂直于x 轴时， |ON |=1，|OM |=22，则O 到直线MN 的距离为33.当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为kx y =（显然22||>k ），则直线OM 的方程为x y k1-=. 由⎩⎨⎧=+=1422y x kx y ，得⎪⎩⎪⎨⎧==++22242412k k k y x ，所以22412||k k ON ++=.同理121222||-+=k k OM . 设O 到直线MN 的距离为d ，因为22222||||)|||(|ON OM d ON OM =+， 所以3133||1||1122222==+=++k k ON OM d ，即d =33.综上，O 到直线MN 的距离是定值.23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分8分.对于数集}1{21n x x x X ，，，， -=，其中n x x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集},),,(|{X t X s t s a a Y ∈∈==，若对任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使得021=⋅a a ，则称X 具有性质P ．例如}2,1,1{-具有性质P ．（1）若2>x ，且},2,1,1{x -具有性质P ，求x 的值；（2）若X 具有性质P ，求证：X ∈1，且当1>n x 时，11=x ；（3）若X 具有性质P ，且11=x 、q x =2（q 为常数），求有穷数列n x x x ，，， 21的通项公式.【解析】（1）选取)2,(1x a =，Y 中与1a 垂直的元素必有形式),1(b -，所以x =2b ，从而x =4. （2）证明：取Y x x a ∈=),(111.设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a .由0)(1=+x t s 得0=+t s ，所以s 、t 异号.因为-1是X 中唯一的负数，所以s 、t 中之一为-1，另一为1，故1∈X .假设1=k x ，其中n k <<1，则n x x <<<101.选取Y x x a n ∈=),(11，并设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a ，即01=+n tx sx ，则s 、t 异号，从而s 、t 之中恰有一个为-1.若s =-1，则2，矛盾；若t =-1，则n n x s sx x ≤<=1，矛盾.所以x 1=1．（3）[解法一]猜测1-=i i q x ，i =1, 2, …, n .记},,,1,1{2k k x x A -=，k =2, 3, …, n .先证明：若1+k A 具有性质P ，则k A 也具有性质P.任取),(1t s a =，s 、t ∈k A .当s 、t 中出现-1时，显然有2a 满足021=⋅a a ；当1-≠s 且1-≠t 时，s 、t ≥1.因为1+k A 具有性质P ，所以有),(112t s a =，1s 、1t ∈1+k A ，使得021=⋅a a ，从而1s 和1t 中有一个是-1，不妨设1s =-1. 假设1t ∈1+k A 且1t ∉k A ，则11+=k x t .由0),1(),(1=-⋅+k x t s ，得11++≥=k k x tx s ，与s ∈k A 矛盾.所以1t ∈k A .从而k A 也具有性质P.现用数学归纳法证明：1-=i i q x ，i =1, 2, …, n .当n =2时，结论显然成立；假设n=k 时，},,,1,1{2k k x x A -=有性质P ，则1-=i i q x ，i =1, 2, …, k ；当n=k +1时，若},,,,1,1{121++-=k k k x x x A 有性质P ，则},,,1,1{2k k x x A -=也有性质P ，所以},,,,1,1{111+-+-=k k k x q q A .取),(11q x a k +=，并设),(2t s a =满足021=⋅a a ，即01=++qt s x k .由此可得s 与t中有且只有一个为-1.若1-=t ，则1，不可能；所以1-=s ，kk k q q q qt x =⋅≤=-+11，又11-+>k k q x ，所以k k q x =+1.综上所述，1-=i i q x 1-=i i q x ，i =1, 2, …, n .[解法二]设),(111t s a =，),(222t s a =，则021=⋅a a 等价于2211st t s -=.记|}|||,,|{t s X t X s B ts >∈∈=，则数集X 具有性质P 当且仅当数集B 关于原点对称. 注意到-1是X 中的唯一负数，},,,{)0,(32n x x x B ---=-∞ 共有n -1个数，所以),0(∞+ B 也只有n -1个数.由于1221x x x x x x x x n n n n n n<<<<-- ，已有n -1个数，对以下三角数阵1221x x x x x x x x n n n n n n <<<<--113121x x x x x x n n n n n -----<<<……12x x注意到,12111x x x x x x n n >>>- 所以,12211x x x x x x n n n n ===--- 从而数列的通项公式为n k q xx x x k k k ,,2,1,11121 ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--.2012年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷（文史类）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.2.本试卷共有23道试题，满分150分.考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1、计算：31ii-=+ （i 为虚数单位）2、若集合{}210A x x =->，{}1B x x =<，则A B ⋂＝3、函数sin 2()1cos x f x x=-的最小正周期是4、若(2,1)d =是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）5、一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为6、方程14230xx +--=的解是7、有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n n V V V →∞+++=8、在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于9、已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -=10、满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是11、三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）12、在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BCCD=，则AM AN ⋅的取值范围是13、已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C ，函数()y xf x =（01x ≤≤）的图像与x 轴围成的图形的面积为14、已知1()1f x x =+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=， 若20102012a a =，则2011a a +的值是二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15、若1+i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A 、2,3b c ==B 、2,1b c ==-C 、2,1b c =-=-D 、2,3b c =-=16、对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充分必要条件 D 、既不充分也不必要条件17、在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ ） A 、钝角三角形 B 、直角三角形 C 、锐角三角形 D 、不能确定18、若2sin sin (i)777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（ ）A 、16B 、72C 、86D 、100三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点，已知∠BAC ＝2π，2AB =，23AC =，2PA =，求：（1）三棱锥P ABC -的体积（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知()lg(1)f x x =+（1）若0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围（2）若()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，求函数()y g x =（[]1,2x ∈）的反函数21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当0.5t =时，写出失事船所在位置P 的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:21C x y -=（1）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点，若MF =M 的坐标； （2）过C 的左焦点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（3）设斜率为k （k <）的直线l 交C 于P 、Q 两点，若l 与圆221x y +=相切，求证：OP ⊥OQ .23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于项数为m 的有穷数列{}n a ，记{}12max ,,...,k k b a a a =（1,2,...,k m =），即k b 为12,,...,k a a a 中的最大值，并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5.（1）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{}n a （2）设{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1k m k a b C -++=（C 为常数，1,2,...,k m =），求证：k k b a =（1,2,...,k m =）（3）设100m =，常数1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若(1)22(1)n n n a an n +=--，{}n b 是{}n a 的控制数列，求1122()()b a b a -+-+100100...()b a +-.2012年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷（文史类）答案要点及解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1、计算：31ii-=+ （i 为虚数单位） 【解析】复数i ii i i i i i 21242)1)(1()1)(3(13-=-=-+--=+-. 故答案为i 21-.2、若集合{}210A x x =->，{}1B x x =<，则A B ⋂＝【解析】集合}21{}012{>=>-=x x x x A ，}11{}1{<<-=<=x x x x B ，所以}121{<<=x xB A ，即)1,21(. 故答案为)1,21(. 3、函数sin 2()1cos x f x x=-的最小正周期是【解析】函数x x x x f 2sin 212)2(cos sin )(+=--=，周期ππ==22T ，即函数)(x f 的周期为π. 故答案为π.4、若(2,1)d =是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.【解析】因为直线的方向向量为),1(2)21,1(2)1,2(k ==，即直线的斜率21=k ，即21tan =α，所以直线的倾斜角21arctan =α. 故答案为21arctan .5、一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为【解析】底面圆的周长ππ22=r ，所以圆柱的底面半径1=r ，所以圆柱的侧面积为π4 两个底面积为ππ222=r ．，所以圆柱的表面积为π6. 故答案为π6. 6、方程14230xx +--=的解是【解析】原方程可化为0322)2(2=-⋅-xx ，解得32=x，或12-=x （舍去），∴3log 2=x . 故答案为3log 2.7、有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n n V V V →∞+++=【解析】由题意可知，该列正方体的体积构成以1为首项，81为公比的等比数列， ∴1V +2V +…+n V =811811--n =)811(78n -，∴=+++∞→)(lim 21n n V V V 78.故答案为78.8、在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于【解析】r rrr xx C T )1(661-=-+=r r r x C 266)1(--，令r 26-=0，得r =3．故常数项为336)1(-C =－20.故答案为－20.9、已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -= 【解析】由12)1()1(=+=f g ，得1)1(-=f ，所以32)1(2)1()1(=+-=+-=-f f g . 故答案为3.10、满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是【解析】作出约束条件表示的平面区域可知，当2=x ，0=y 时，目标函数取最小值，为－2.故答案为－2.11、三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）.【解析】三位同学从三个项目选其中两个项目有27232323=C C C 中，若有且仅有两人选择的项目完成相同，则有18122323=C C C ，所以有且仅有两人选择的项目完成相同的概率为322718=. 故答案为32. 12、在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BCCD=，则AM AN ⋅的取值范围是【解析】==λ（0≤λ≤1），则BM λ==λ,DC DN )1(λ-==AB )1(λ-，则AM ⋅=))((++=])1()[(AB AD AD AB λλ-++ =AD AB ⋅+2)1(AB λ-+2AD λ+AB AD ⋅-)1(λ, 又∵⋅=0， ∴AM ⋅=λ34-，∵0≤λ≤1，∴1≤AM ⋅≤4，即⋅的取值范围是[1,4]. 故答案为[1,4].13、已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C ，函数()y xf x =（01x ≤≤）的图像与x 轴围成的图形的面积为【解析】⎪⎩⎪⎨⎧+-=,22,2)(x x x f ,121,210≤<≤≤x x ，∴⎪⎩⎪⎨⎧+-=,22,222x x x y ,121,210≤<≤≤x x∴围成的面积⎰⎰+-+=12122102)22(2dx x x dx x S =213310x +12123)5310(x x +-=41. 故答案为41. 14、已知1()1f x x =+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=， 若20102012a a =，则2011a a +的值是【解析】由题意得，213=a ，325=a ，…，13811=a ， ∵20122010a a =，且.n a ＞0，∴2512010+-=a ，易得2010a =2008a =…=24a =22a =24a =.20a ， ∴.20a +11a =251+-+138=265133+.故答案为265133+. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15、若1+i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A 、2,3b c ==B 、2,1b c ==-C 、2,1b c =-=-D 、2,3b c =-= 【解析】因为i 21+是实系数方程的一个复数根，所以i 21-也是方程的根，则b i i -==-++22121，c i i ==-+3)21)(21(，所以解得2-=b ，3=c ，选D.故答案选D.16、对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充分必要条件 D 、既不充分也不必要条件 【解析】∵mn ＞0，∴⎩⎨⎧>>,0,0n m 或⎩⎨⎧<<,0,0n m ．方程22ny mx +=1表示的曲线是椭圆，则一定有⎩⎨⎧>>,0,0n m 故“mn ＞0”是“方程22ny mx +=1表示的是椭圆”的必要不充分条件． 故答案选B ．17、在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ ） A 、钝角三角形 B 、直角三角形 C 、锐角三角形 D 、不能确定【解析】根据正弦定理可知由C B A 222sin sin sin <+,可知222c b a <+，在三角形中02cos 222<-+=abc b a C ，所以C 为钝角，三角形为钝角三角形，选A.故答案选A ． 18、若2sin sin (i)777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（ ）A 、16B 、72C 、86D 、100【解析】由题意可知，1413S S ==2827S S ==4241S S ==…=9897S S ==0，共14个，其余均为正数，故共有100-14=86个正数． 故答案选C ．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点，已知∠BAC ＝2π，2AB =，AC =2PA =，求：（1）三棱锥P ABC -的体积（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）【解析】（1）3232221=⨯⨯=∆ABC S ， 三棱锥P -ABC 的体积为3343131232=⨯⨯=⨯=∆PA S V ABC ．（2）取PB 的中点E ，连接DE 、AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE （或其补角）是异面直线 BC 与AD 所成的角．在三角形ADE 中，DE=2，AE=2，AD=2， 4322222222cos ==∠⨯⨯-+ADE ，所以∠ADE =43arccos ． 因此，异面直线BC 与AD 所成的角的大小是43arccos ． 12分20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知()lg(1)f x x =+（1）若0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围（2）若()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，求函数()y g x =（[]1,2x ∈）的反函数 【解析】 （1）由⎩⎨⎧>+>-01022x x ，得11<<-x .由1lg )1lg()22lg(0122<=+--<+-x x x x 得101122<<+-x x .因为01>+x ，所以1010221+<-<+x x x ，3132<<-x .PA BCDE由⎩⎨⎧<<-<<-313211x x 得3132<<-x . （2）当x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==.由单调性可得]2lg ,0[∈y .因为yx 103-=，所以所求反函数是xy 103-=，]2lg ,0[∈x ．21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当0.5t =时，写出失事船所在位置P 的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？【解析】（1）5.0=t 时，P 的横坐标x P =277=t ，代入抛物线方程24912x y =中，得P 的纵坐标y P =3． ……2分 由|AP |=2949，得救援船速度的大小为949海里/时．由tan ∠OAP =30712327=+，得∠OAP =arctan 307，故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度．（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t ． 由222)1212()7(++=t t vt ，整理得337)(1442122++=t t v .……10分 因为2212≥+t t ，当且仅当t =1时等号成立，所以22253372144=+⨯≥v ，即25≥v .因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:21C x y -=（1）设F 是C 的左焦点，M 是C右支上一点，若MF =M 的坐标； （2）过C 的左焦点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（3）设斜率为k（k <）的直线l 交C 于P 、Q 两点，若l 与圆221x y +=相切，求证：OP ⊥OQ . 【解析】（1）双曲线1:2212=-y C x ，左焦点)0,(26-F .设),(y x M ，则22222262)3()(||+=++=x y x MF ， 由M 是右支上一点，知22≥x ，所以223||22=+=x MF ，得26=x .所以)2,(26±M .（2）左顶点)0,(22-A ，渐近线方程：x y 2±=.过A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为：)(222+=x y ，即12+=x y .解方程组⎩⎨⎧+=-=122x y x y ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=2142y x .所求平行四边形的面积为42||||==y OA S .（3）设直线PQ 的方程是b kx y +=.因直线与已知圆相切，故11||2=+k b ，即122+=k b (*).由⎩⎨⎧=-+=1222y x b kx y ，得012)2(222=----b kbx x k . 设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则⎪⎩⎪⎨⎧==+----22221212221k b k kbx x x x . ))((2121b kx b kx y y ++=，所以2212122121)()1(b x x kb x x k y y x x OQ OP ++++=+=⋅22222222221222)1)(1(k k b k b k k b k --+-----+=+.由(*)知0=⋅，所以OP ⊥OQ .23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于项数为m 的有穷数列{}n a ，记{}12max ,,...,k k b a a a =（1,2,...,k m =），即k b 为12,,...,k a a a 中的最大值，并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5（1）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{}n a （2）设{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1k m k a b C -++=（C 为常数，1,2,...,k m =），求证：k k b a =（1,2,...,k m =）（3）设100m =，常数1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若(1)22(1)n n n a an n +=--，{}n b 是{}n a 的控制数列，求1122()()b a b a -+-+100100...()b a +-。
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1:8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 曲线221x x y x +=-渐近线的条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数2()(1)(2)()xxnx y x e ee n =---L ,其中n 为正整数,则(0)y '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -(3) 如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( )(A) 若极限00(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微(B) 若极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 (C) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限00(,)limx y f x y x y →→+存在(D) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在 (4)设2sin (1,2,3)k x K e xdx k π==⎰I 则有 ( )(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I <<(5)设1100C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411C α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(D)200020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}p X Y <=( )(A)15 (B) 13(C) 25 (D) 45 (8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 ( )(A) 1 (B) 12 (C) 12- (D)1-二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)若函数()f x 满足方程'''()()2()0f x f x f x +-=及''()()2f x f x e +=，则()f x =(10)2x =⎰(11)(2,1,1)()|zgrad xy +y=(12)设(){},,1,0,0,0x y z x y z x y z ∑=++=≥≥≥，则2y ds ∑=⎰⎰(13)设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵T E XX -的秩为 (14)设A ,B ,C 是随机变量，A 与C 互不相容，()()()11,,23p AB P C p AB C === 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)证明21ln cos 1(11)12x x x x x x ++≥+-<<-(16)求函数222(,)x y f x y xe +-=的极值(17)求幂级数22044321nn n n x n ∞=+++∑的收敛域及和函数 (18)已知曲线(),:(0),cos 2x f t L t y tπ=⎧≤<⎨=⎩其中函数()f t 具有连续导数，且'(0)0,()0(0).2f f t t π=><<若曲线L的切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1，求函数()f t 的表达式，并求此曲线L 与x 轴与y 轴无边界的区域的面积。
2012年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（17计数原理、二项式定理）一、选择题：1. (2012安徽理)2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是（ ） ()A 3- ()B 2- ()C 2 （D ）3 【解析】选D第一个因式取2x ，第二个因式取21x得：1451(1)5C ⨯-=第一个因式取2，第二个因式取5(1)-得：52(1)2⨯-=- 展开式的常数项是5(2)3+-=2.(2012安徽理)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品 的同学人数为（ ）()A 1或3 ()B 1或4 ()C 2或3 （D ）2或4 【解析】选D261315132C -=-=①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为2人 ②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为4人3. (2012北京理)从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )A. 24B. 18C. 12D. 6【解析】由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇。
如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种，因此总共12+6=18种情况。
【答案】B4．(2012广东理)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任选一个，其中个位数为0的概率是（ ） A ．94 B ．31 C ．92 D ．91解析：（D ）．两位数共有90个，其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有45个，而其中个位数为0的有5个，是10,30,50,70,90。
所以，所求事件的概率为91455=5．(2012湖北理)设a ∈Z ，且013a ≤<，若201251a +能被13整除，则a =A ．0B ．1C ．11D ．12 考点分析：本题考察二项展开式的系数. 难易度：★ 解析：由于51=52-1，152...5252)152(1201120122011120122012020122012+-+-=-C C C ,又由于13|52,所以只需13|1+a ，0≤a<13,所以a=12选D.6.(2012辽宁理) 一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ） (A)3×3！ (B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！ 【答案】C【解析】此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个家庭有3!种排法，三个家庭共有33!3!3!(3!)⨯⨯=种排法；再把三个家庭进行全排列有3!种排法。
2012考研真题及答案2012年的考研真题是许多考生备战考研的重要资料，了解这些真题并熟悉其中的答案对于备考考研的同学来说是至关重要的。
在本文中，将为您介绍2012年的考研真题及其答案。
第一部分：数学一2012年的考研数学一科目主要涵盖了数学分析、高等代数和概率论等内容。
以下是部分考题及其答案的概要。
题一：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，证明：在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(b)-f(a)=(b-a)f' ( ξ )。
解析：根据罗尔定理，由于f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，那么在[a,b]上有f(a)=f(b)。
根据拉格朗日中值定理，存在一点ξ∈(a,b)，使得f' ( ξ )=(f(b)-f(a))/(b-a)。
所以，f(b)-f(a)=(b-a)f' ( ξ )。
题二：已知数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-3^n+4^n-5^n，求证数列{a_n}是等差数列。
解析：我们可以通过数学归纳法来证明这个结论。
当n=1时，a_1=2-3+4-5=-2。
当n=k时，假设a_k=2^k-3^k+4^k-5^k成立。
当n=k+1时，我们需要证明a_(k+1) =2^(k+1)-3^(k+1)+4^(k+1)-5^(k+1)也成立。
根据等差数列的性质，我们有a_(k+1)-a_k = (2^(k+1)-3^(k+1)+4^(k+1)-5^(k+1)) - (2^k-3^k+4^k-5^k)。
化简后可得a_(k+1)-a_k= -2 × 3^k + 3^(k+1) -2 × 5^k + 5^(k+1)。
通过整理和变换，我们得到a_(k+1)-a_k = -3^k (2-3) + 5^k (5-2) = 0。
因此，数列{a_n}是等差数列。
通过以上两道题目，我们可以看出2012年考研数学一科目的难度适中，考察了数学分析和代数的基本概念和推导方法。
中科院考研高等数学(甲)和高等数学(乙)考试大纲.txt我这人从不记仇，一般有仇当场我就报了。
没什么事不要找我，有事更不用找我！就算是believe中间也藏了一个lie！我那么喜欢你，你喜欢我一下会死啊?我又不是人民币，怎么能让人人都喜欢我？中科院考研高等数学（甲）和高等数学（乙）考试大纲高等数学（甲）和高等数学（乙）考试大纲一、考试性质中国科学院研究生院硕士研究生入学高等数学考试是为招收理学非数学专业硕士研究生而设置的具有选拔功能的水平考试。
它的主要目的是测试考生的数学素质，包括对高等数学各项内容的掌握程度和应用相关知识解决问题的能力。
考试对象为参加全国硕士研究生入学高等数学考试的考生。
二、考试的基本要求要求考生比较系统地理解高等数学的基本概念和基本理论，掌握高等数学的基本方法。
要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。
三、考试方法和考试时间高等数学考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为 150 分，考试时间为 180 分钟。
四、试卷分类及适用专业根据各学科、专业对硕士研究生入学所应具备的数学知识和能力的要求不同，将高等数学试卷分为高等数学（甲）、高等数学（乙）。
每种试卷适用的招生专业如下：高等数学（甲）适用的招生专业：理论物理、原子与分子物理、粒子物理与原子核物理、等离子体物理、凝聚态物理、天体物理、天体测量与天体力学、空间物理学、光学、物理电子学、微电子与固体电子学、电磁场与微波技术、物理海洋学、海洋地质、气候学等专业。
高等数学（乙）适用的招生专业：大气物理学与大气环境、气象学、天文技术与方法、地球流体力学、固体地球物理学、矿物学、岩石学、矿床学、构造地质学、第四纪地质学、地图学与地理信息系统、自然地理学、人文地理学、古生物学与地层学、生物物理学、生物化学与分子生物学、物理化学、无机化学、分析化学、高分子化学与物理、地球化学、海洋化学、海洋生物学、植物学、生态学、环境科学、环境工程、土壤学等专业。
2012 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：物理化学（乙）考生须知：1．本试卷满分为150 分，全部考试时间总计180 分钟。
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
3．可以使用无字典存储和编程功能的电子计算器。
下列一些基本常数供解题时参考：普朗克常数h = 6.626 ×10-34 J·s；玻兹曼常数kB = 1.381×10-23 J·K-1；摩尔气体常数R = 8.314 J·mol-1·K-1；法拉第常数F = 96500 C·mol-11 标准大气压p = 101325 Pa一. 是非题（每小题1 分，共15 分）（判断下列各题是否正确，正确用“ ”表示，错误用“ ”表示）1. van’t Hoff 公式是从动力学角度说明温度对平衡常数的影响，而Arrhenius 公式是从热力学的角度说明温度对反应速率常数的影响。
2. 在耦合反应中，某一反应可以影响另一个反应的平衡位置，甚至使原先不能单独进行的反应得以通过另外的途径而进行。
3. 金溶胶的粒子大小不同时，呈现不同的颜色，这种颜色的变化是由溶胶系统的光吸收而引起的。
4. 任何两个粒子数相同的独立粒子体系，经典统计的不定因子 值趋于一致。
5. 量子统计认为全同粒子在不同的量子态中不可别。
6. 在相同温度下，摩尔质量越小的气体分子，其最概然速率越大。
7. 根据Arrhenius 公式，若某双分子反应指前因子的实验值很小，则说明活化能有绝对值较大的负值。
8. 转动的基态能级是非简并的，其余能级是简并的。
9. 使用瑞利（Rayleigh）散射光强度公式2 2 2 2 2 21 24 2 21 2I= 24πA νV n -nλn +2n，可根据已知溶胶样品的粒子大小或浓度值来计算另一份未知的、半径≤47 nm 的导电粒子的粒子大小或浓度。
10. i ( F n )j i T,p,n是化学势。
