中科院高等数学甲历年真题

《高等数学》考试试卷A 卷及答案解析一．填空题（共24分，每小题3分）1．设函数x y z =，则__________________________=dz .2．方程333z e xyz e -=确定()y x z z ,=，则__________________=∂∂x z. 3. 曲线t t x sin -=，t y cos 1-=，2sin 2tz =在π=t 处切线方程为_________________________________________.4. 函数2u x y z =+在点(2,1,0)M 处最大的方向导数为__________________.5. 交换二次积分222(,)y y I dy f x y dx =⎰⎰的积分次序，得__________________=I .6.设平面曲线)10(:2≤≤=x x y L ，则曲线积分__________________=⎰ds x L.7. 幂级数∑∞=12n n n x n的收敛域是 ________________________.8. 微分方程022=+'-''y y y 的通解为___________________________.二、选择题（共12分，每小题3分）1. 设曲面2232y x z +=在点)5 , 1 , 1(M 处的切平面方程为064=+-+λz y x ，则λ=（ ）.(A) 15- (B) 0 (C) 5- (D) 52. 函数),(y x f 在点),(y x 处可微是函数),(y x f 在该点处存在偏导数的（ ）. (A) 必要条件 (B) 充分条件(C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件3. 设曲线L 是单位圆周122=+y x 按逆时针方向，则下列曲线积分不等于零的是（ ）.(A) ds y L⎰ (B) ds x L⎰ (C) dx y xdy L⎰+ (D) ⎰+-L y x ydxxdy 224. 下列级数中收敛的是（ ）.(A) ∑∞=122n n n (B) ∑∞=+12n n n(C) ∑∞=+1)2121(n n n (D) ∑∞=133n n n三、解答题：(共59分)1.（7分）求二元函数()3132,23---=y x xy y x f 的极值. 2. （7分）设函数2,x z f x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中()v u f ,具有二阶连续偏导数，求yx zx z ∂∂∂∂∂2 , .3．（7分）计算二重积分dxdy xy D⎰⎰2，其中D 是由圆周422=+y x 与y 轴所围成的右半区域.4．（7分）将函数())1ln(x x f +=展成1-x 的幂级数，并写出可展区间5．（7分）计算曲面积分(2)I xy x y z dS ∑=+++⎰⎰，其中∑为平面1x y z ++=在第一卦限中的部分.6. （8分） 求微分方程x xe y y y 223=+'-''的通解.7． （8分）计算曲线积分()()y d y xy dx yx x I L⎰+-+-=2322其中L 为曲线22x x y -=从)0,2(A 到)0,0(O 的弧段.8．（8分）利用高斯公式计算曲面积分()()d xdy x z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-+++=33332,其中∑为由上半球面224y x z --=与锥面22y x z +=围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧.四．（5分）设()f x 是在(,)-∞+∞内的可微函数, 且()()f x f x α'<, 其中01α<<. 任取实数0a , 定义1ln (),1,2,3n n a f a n -==.证明：级数11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.《高等数学》考试试卷A 卷答案一、填空题（共24分，每小题3分） 1. dy xy ydx y dz x x 1ln -+= 2. 3z z yzx e xy ∂=∂- 3.2022-=-=-z y x π4.5. 2(,)xI dx f x y dy =⎰⎰6.()11127. )21, 21[- 8. )sin cos (21x c x c e y x +=二、选择题（共12分，每小题3分） 1. C 2. B 3. D 4. D 三、解答题（共64分） 1. （7分）解： 令⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=022022y x f x y f yx 得驻点⎩⎨⎧==00y x ，⎩⎨⎧==22y x 2 分 x f xx 2-=，2=xy f ，2-=yy f 4 分 在（0，0）处， 2 , 2 , 0-===C B A04 2<-=-B AC ， ∴（0，0）为非极值点. 5 分在（2，2）处 2 , 2 , 04-==<-=C B A04 2>=-B AC ∴ 1)2 , 2(=f 为函数),(y x f 的极大值. 7 分2.（7分） 解：2121f xy f yx z '+'=∂∂ 3分)21(212f xy f yy y x z '+'∂∂=∂∂∂ ])([ 22])([11222212221221112x f yx f xy f x x f y x f y f y ''+-''+'+''+-''+'-= 223122113212221f y x f y x f yx f x f y ''+''-''-'+'-= 7 分3. （7分） 解：⎰⎰⎰⎰--=224 0222y Dxdx dy y dxdy xy3分⎰--=2 2 22)4(21dy y y 5 分 1564)4(2 0 42=-=⎰dy y y 7 分4. （7分）解：1(1)ln(1)1n n n x x n ∞+=-+=+∑ 11≤<-x 1 分)211ln(2ln )]1(2ln[)1ln(-++=⋅-+=+x x x 3分10)21(1)1(2ln +∞=∑-+-+=n n n x n∑∞=++-+-+=011)1(2)1()1(2ln n n n nx n 6分 1211≤-<-x ⇒ 31≤<-x 7分5.（7分）解：:1z x y ∑=--dS ∴== 2分(2DI xy ∴=+⎰⎰4分1102xDdx xydy dxdy -=+⎰5分()13202xx x dx =-++6分12=7分6.（8分）解 （1）先求微分方程023=+'-''y y y 的通解Y特征方程 0232=+-r r 即 0)1)(2(=--r r ，21=r ，12=rx x e c e c Y 221+= 3 分（2）求原方程的一个特解*y 2 =λ 是特征方程的根，故设 x x e bx ax e b ax x y 222)()(+=+=*5分令bx ax x Q +=2)(，则b ax x Q +='2)(，a x Q 2)(=''将)(x Q '，)(x Q ''代入方程x x Q p x Q ='++'')()2()(λ 得 x b ax a =++22则 ⎩⎨⎧=+=1212b a a ， 解之得⎪⎩⎪⎨⎧==021b a ， x xe y 221=*7 分 所求通解 x x x xe e c e c y 222121++= 8 分7.（8分） 解：⎰++-+-OAL dy y xy dx yx x )2()(322dxdy x y dxdy y Px Q DD)()(22⎰⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂= 3 分 ⎰⎰⋅=θd ρd cos 2 0220 ρρθπ5 分⎰==20 443cos 4ππθθd 6 分dy y xy dx yx x I OA ⎰+-+--=)2()(43322π 7 分2434320-=-=⎰ππxdx 8 分8. （8分） 解：由高斯公式dV z y x I )333(222⎰⎰⎰Ω++= 3 分2244 03 sin d d r dr ππθφφ=⎰⎰⎰ 6 分192(152π=- 8 分9.（5分）解：对任意设2n ≥,由拉格朗日中值定理，有111212121'()ln ()ln (),()n n n n n n n n n n f a a f a f a a a a a f ξαξ----------=-=-<-2 分其中1n ξ-介于1n a -与2n a -之间. 于是有11101,2,.n n n a a a a n α---<-=3分又级数1101n n a a α∞-=-∑收敛, 由比较审敛法知级数11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.5分。

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2015年中国科学院大学601高等数学（甲）考研真题及详解[视频讲解]
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中国科学院大学硕士研究生入学考试《高等数学（甲）》考试大纲中国科学院大学硕士研究生入学考试高等数学（甲）考试大纲一、 考 试 性 质中国科学院大学硕士研究生入学高等数学（甲）考试是为招收理学非数学专业硕士研究生而设置的选拔考试。

它的主要目的是测试考生的数学素质，包括对高等数学各项内容的掌握程度和应用相关知识解决问题的能力。

考试对象为参加全国硕士研究生入学考试、并报考理论物理、原子与分子物理、粒子物理与原子核物理、等离子体物理、凝聚态物理、天体物理、天体测量与天体力学、空间物理学、光学、物理电子学、微电子与固体电子学、电磁场与微波技术、物理海洋学、海洋地质、气候学等专业的考生。

二、 考试的基本要求要求考生系统地理解高等数学的基本概念和基本理论，掌握高等数学的基本方法。

要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

三、 考试方法和考试时间高等数学（甲）考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为150分，考试时间为180分钟。

四、考试内容和考试要求（一）函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形数列极限与函数极限的概念 无穷小和无穷大的概念及其关系 无穷小的性质及无穷小的比较 极限的四则运算 极限存在的单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：0sin lim 1x x x →=， e xx x =+∞→)11(lim 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 函数的一致连续性概念考试要求1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。

2. 理解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

掌握判断函数这些性质的方法。

3. 理解复合函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

会求给定函数的复合函数和反函数。

如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝成绩进步，学习愉快！如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝成绩进步，学习愉快！中国科学院研究生院2012 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等数学（甲）考生须知：1.本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。

2.所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。

一、选择题(本题满分50 分，每小题5 分。

请从题目所列的选项中选择一个正确项填充空格。

每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。

请将你的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。

)(1)函数, 正确结论是( )。

(a)在内有界(b) 当时为无穷大(c) 在内无界(d) 当时极限存在(2)函数在上是连续函数, 且。

则的最大取值区间是( )。

(a) (b) (c) (d)(3)微分方程的一个特解是( )。

(a) (b) (c) (d)(4)已知是正整数,且, 如果则下面结论正确的一个是( )。

(a)(b) (c) (d) 的大小关系不确定(5)函数在其定义域内零点的个数是( )。

(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 多于3科目名称：高等数学（甲）第1 页共3 页(6)若函数的导函数在上连续, 则( )。

(a) (b) (c) (d)(7)若幂级数在处条件收敛，则级数( )。

(a)条件收敛(b) 发散(c) 绝对收敛(d) 不能确定(8)设为螺旋面, , 的一部分，,, 则的值为( )。

(a) (b) (c) (d)(9)的值为( )。

(a) (b) (c) (d)(10)一平面过点且与直线垂直，则该平面与平面的交线的方向数是( )。

(a) (b) (c) (d)二、(本题满分10 分) 证明极限存在, 并求出极限值。

三、（本题满分10 分）求微分方程的通解。

四、(本题满分10 分) 计算，其中是由抛物线和抛物线围成的闭区域。

五、(本题满分10 分) 将函数 ( )展开成正弦级数。

专题1 函数、极限、连续第1部分 考试内容函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形数列极限与函数极限的概念 无穷小和无穷大的概念及其关系 无穷小的性质及无穷小的比较 极限的四则运算 极限存在的单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：0sin lim 1x x x →=， e xx x =+∞→)11(lim 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 函数的一致连续性概念第2部分 考试要求（1）理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式.（2）理解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.掌握判断函数这些性质的方法.（3）理解复合函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.会求给定函数的复合函数和反函数.（4）掌握基本初等函数的性质及其图形.（5）理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系.（6）掌握极限的性质及四则运算法则，会运用它们进行一些基本的判断和计算.（7）掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限.掌握利用两个重要极限求极限的方法.（8）理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限.（9）理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型.（10）掌握连续函数的运算性质和初等函数的连续性，熟悉闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理等），并会应用这些性质.（11）理解函数一致连续性的概念.第3部分考试大纲详解一、函数1．函数的定义设数集D R，则称映射f：D→R为定义在D上的函数，简记为，其中x称为自变量，y称为因变量．D称为定义域，记作，即．2．函数的表示方法（1）表格法（2）图形法（3）解析法（公式法）二、函数的性质1．有界性 （1）上界：若存在K 1，对任意x I Î有1()f x K £，则称函数()f x 在Ｉ上有上界，而K 1称为函数()f x 在Ｉ上的一个上界.（2）下界：若存在K 2，对任意x I Î有2()f x K ³，则称函数()f x 在Ｉ上有下界，而K 2称为函数()f x 在Ｉ上的一个下界.（3）有界：若对任意x I Î，存在M ＞0，总有()f x M £，则称()f x 在I 上有界.2．单调性（1）单调递增 当12x x <时，12()()f x f x <.（2）单调递减 当12x x <时，12()()f x f x >.3．周期性（1）定义 ()()f x T f x +=（T 为正数）.（2）最小正周期 函数所有周期中最小的周期称为最小正周期.4．奇偶性f （x ）的定义域关于原点对称，则：（1）偶函数 f （－x ）＝f （x ），图形关于y 轴对称.（2）奇函数 f （－x ）＝－f （x ），图形关于原点对称.三、反函数、复合函数、隐函数1．反函数（1）定义设函数f ：D →f （D ）是单射，则它存在逆映射f －1：f （D ）→D ，称此映射f －1为函数f 的反函数.（2）特点 ①当f 在D 上是单调递增函数，f －1在f （D ）上也是单调递增函数；②当f 在D 上是单调递减函数，f －1在f （D ）上也是单调递减函数；③f 的图像和f －1的图像关于直线y ＝x 对称，如图1－1所示．图1－12．复合函数（1）复合函数概念设函数y ＝f （u ）的定义域为f D ，函数u ＝g （x ）的定义域为g D ，且其值域g f R D Ì，则函数称为由函数u ＝g （x ）与函数y ＝f （u ）构成的复合函数，它的定义域为g D ，变量u 称为中间变量.注：函数g 与函数f 构成的复合函数，即按“先g 后f ”的次序复合的函数，记为 ，即.（2）构成复合函数的条件g 与f 能构成复合函数的条件是：函数g 的值域R g 必须包含于函数f 的定义域D f ，即g f R D Ì.3．隐函数 如果变量ｘ，ｙ满足一个方程(,)0F x y =，在一定条件下，当ｘ取区间I 任一值时，相应地总有满足该方程的唯一的ｙ存在，则称方程(,)0F x y =在区间I 确定了一个隐函数．四、基本初等函数1．初等函数定义 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.2．基本初等函数性质和图形（1）幂函数①表达式：(R)n y x n =∈；②定义域：使(R)n y xn =∈有意义的全体实数构成的集合；③性质： a ．当n ＞0时，图象过点（0，0）和（1，1），在区间(0,)+∞上是增函数; b ．当n ＜0时，图象过点（1，1），在区间(0,)+∞上是减函数④图像：图像如图1－2所示：图1－2（2）指数函数①表达式：(0,1)x y aa a =>≠；②定义域：R ；③值域：(0,)+∞④性质： a ．当a ＞1时，图象过点（0，1），在R 上是增函数； b ．当0＜a ＜1时，图象过点（0，1），在R 上是减函数． ⑤图像：图像如图1－3所示：图1－3（3）对数函数①表达式：log (0,1)a y x a a =>≠；②定义域：(0,)+∞；③值域：R④性质：a ．当a ＞1时，图象过点（1，0），在(0,)+∞上是增函数；b ．当0＜a ＜1时，图象过点（1，0），在(0,)+∞上是减函数． ⑤图像：图像如图1－4所示：。