【全国百强校】甘肃省2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题+答案

甘肃省2018年下学期期末考试高一数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，则（）A. B. C. D.2. 的值是（）A. B. C. D.3. 与直线平行且过点的直线方程为（）A. B.C. D.4. 已知向量与向量垂直，则（）A. -2B. -1C. 1D. 25. 已知向量，，且，则（）A. B. C. D.6. 下列四个函数中，既是上的增函数，又是以为周期的偶函数的是（）A. B. C. D.7. 已知，则的值是（）A. B. 3 C. D. -38. 函数在一个周期内的图像如图所示，则此函数的解析式为（）A. B.C. D.9. 已知，则的值是（）A. B. C. D.10. 在中，，，则（）A. 或B. 或C.D.11. 设，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.12. 定义一种运算，令，且，则函数的最大值是（）A. B. C. D. 1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知角的始边与轴正半轴重合，终边在射线上，则__________．14. 已知，则的值是__________．15. 在中，角所对的边分别为，，，当的面积等于时，__________．16. 在中，是的中点，，点在上且满足，则__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数.(1)求函数的最大值，并求取得最大值时的值；(2)求函数的单调递增区间.18. 已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）若，，求的值.19. 已知，.（1）若，，求的坐标；（2）设，若，，求点坐标.20. 已知向量，，，设函数.（1）求的最小正周期；（2）求在上的最大值和最小值.21. 已知向量，，设函数.（1）求函数的最小正周期；（2）已知分别为三角形的内角对应的三边长，为锐角，，，且恰是函数在上的最大值，求和三角形的面积.22. 已知函数为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为.（1）当时，求的单调递减区间；（2）将函数的图像沿轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，当时，求函数的值域.一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，则，应选答案B。

2018-2019学年甘肃省兰州市第一中学高一下学期期末考试数学试题一、单选题 1．（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】分析：根据终边相同的角正弦值相等，将的正弦化成的正弦，，即可求出结果.详解：由诱导公式可得，，，故选A.点睛：本题着重考查了终边相同的角、诱导公式，特殊角的三角函数值等知识，属于简单题.2．若tan <0α, cos <0α,则α的终边所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B【解析】由一全正二正弦三正切四余弦可得α的终边所在的象限为第二象限，故选B. 【考点】三角函数 3．已知向量，若，则（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先根据向量的平行求出的值，再根据向量的加法运算求出答案． 【详解】 向量，， 解得，∴，故选A ． 【点睛】本题考查了向量的平行和向量的坐标运算，属于基础题．4．如图，2AB CAOA a OB b OC c ====，，，，下列等式中成立的是（ ）A ．3122c b a =- B ．3122c a b =- C ．2c a b =- D ．2c b a =-【答案】B【解析】本题首先可结合向量减法的三角形法则对已知条件中的2AB CA =进行化简，化简为()2OB OA OA OC -=-，然后化简并代入OA a OB b OC c 、、===即可得出答案。

【详解】因为2AB CAOA a OB b OC c ====，，，， 所以()2OB OA OA OC -=-， 所以3122OC OA OB =-，即3122c a b =-，故选B 。

【点睛】本题考查的知识点是平面向量的基本定理，考查向量减法的三角形法则，考查数形结合思想与化归思想，是简单题。

5．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知,3,13A a b π===，则B =（ ） A ．3π B ．6π C ．56π D ．6π或56π【答案】B 【解析】【详解】由已知知b a <，所以B ＜A=3π，由正弦定理sin sin a b A B=得，sin sin b A B a =1sin 33π⨯12，所以6B π=，故选B 【考点】正弦定理6．在ABC ∆中，若tan tan 1A B >，那么ABC ∆是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定【答案】C【解析】由tan A tan B >1可得A ，B 都是锐角，故tan A 和tan B 都是正数，可得tan （A +B ）<0，故A +B 为钝角，C 为锐角，可得结论. 【详解】由△ABC 中，A ，B ，C 为三个内角，若tan A tan B >1，可得A ，B 都是锐角，故tan A 和tan B 都是正数， ∴tan （A +B ）1tanA tanBtanAtanB+=<-0，故A +B 为钝角．由三角形内角和为180°可得，C 为锐角，故△ABC 是锐角三角形， 故选：C ． 【点睛】本题考查根据三角函数值的符号判断角所在的范围，两角和的正切公式的应用，判断A +B 为钝角，是解题的关键．7．将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移π8个单位，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为（ ） A ．3π4B ．π4C ．π3D ．π6【答案】B【解析】利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换可得函数平移后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案． 【详解】令y ＝f （x ）＝sin （2x +φ），则f （x 8π+）＝sin[2（x 8π+）+φ]＝sin （2x φ4π++）， ∵f （x 8π+）为偶函数，∴φ4π+＝k π2π+， ∴φ＝k π4π+，k ∈Z ，∴当k ＝0时，φ4π=．故φ的一个可能的值为4π．故选：B ．【点睛】本题考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换，考查三角函数的奇偶性的应用，属于中档题． 8．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得。

……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2018-2019学年第二学期高一下学期期末考试数学试卷评卷人 得分一、选择题1、已知为角的终边上的一点，且，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．2、在等差数列中，,则（ ）A ．B ．C ．D ．3、若，则一定有（ ）A ．B ．C ．D ．4、已知等差数列的前项和为，若且，则当最大时的值是（ ）A ．B ．C ．D ．5、若，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．6、在中，已知，则的面积等于（ ）A ．B ．C ．D ．7、各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则（ ） A ．B ．C ．D ．……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………8、若变量满足约束条件，且的最大值为，最小值为，则的值是（ ） A ． B ．C ．D ．9、在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 10、当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距海里的处，有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西相距海里处的乙船，乙船立即朝北偏东角的方向沿直线前往处营救，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．11、已知是内的一点，且，若和的面积分别为，则的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ． 12、已知数列满足，则（ ） A ．B ．C ．D ．评卷人 得分二、填空题13、已知，且，则__________。

2018-2019学年甘肃省甘南藏族自治州高一下学期期末考试数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知平面向量(2,3)a =-r ，(,6)b x =r ，且//a b r r ，则||a b +r r ＝A B C ．5 D ．13答案：B根据向量平行求出x 的值，结合向量模长的坐标公式进行求解即可．解： ()()2,3,,6,a b x =-=r r 且//a b r r ，则23,4,6x x -=∴=-故()2,3a b +=-=r r故选B.点评：本题考查向量模长的计算，根据向量平行的坐标公式求出x 的值是解决本题的关键．2．在△ABC 中，D 是边BC 的中点，则AD AC -u u u v u u u v ＝A ．CB u u u vB ．BC uuu v C ．12CB u u u vD ．12BC u u u v 答案：C分析：利用平面向量的减法法则及共线向量的性质求解即可.详解：因为D 是BC 的中点，所以12CD CB =u u u vu u u v ， 所以12AD AC CD CB -==u u u v u u u v u u u v u u u v ，故选C. 点睛：本题主要考查共线向量的性质，平面向量的减法法则，属于简单题.3．设非零向量a r ，b r 满足a b a b +=-r r r r ，则（ ）A ．a b r r ⊥B ．a b =r rC ．a r //b rD ．a b >r r答案：A根据a b +r r 与a b -r r 的几何意义可以判断.解： 由a b a b +=-r r r r 的几何意义知，以向量a r ，b r 为邻边的平行四边形为矩形，所以a b r r ⊥.故选：A. 点评：本题考查向量的加减法的几何意义,同时，本题也可以两边平方，根据数量积的运算推出结论.4．如图，程序框图所进行的求和运算是（ ）A ．111124620+++⋯+B ．11113519+++⋯+ C ．11112418+++⋯+ D ．231011112222++++L 答案：A根据当型循环结构，依次代入计算s 的值，即可得输出的表达式.解：根据循环结构程序框图可知，110,422s n =+==， 11,624s n =+=， 111,8246s n =++=， …1111,2024618s n =+++⋅⋅⋅=，11111,222461820s n =+++⋅⋅⋅+=， 跳出循环体，所以结果为111112461820s =+++⋅⋅⋅+， 故选：A.点评：本题考查了当型循环结构的应用，执行循环体计算输出值，属于基础题.5．阅读如图所示的程序，若运该程序输出S 的值为100，则WHILE 的面的条件应该是（ ）A ．19i >B ．19i >=C ．19i <D ．19i <=答案：D 根据输出值和代码，可得输出的最高项的值，进而结合当型循环结构的特征得判断框内容.解：根据循环体，可知1357S =++++⋅⋅⋅因为输出S 的值为100，所以由等差数列求和公式可知求和到19停止，结合当型循环结构特征，可知满足条件时返回执行循环体，因而判断框内的内容为19i <=，故选：D.点评：本题考查了当型循环结构的代码应用，根据输出值选择条件，属于基础题.6．如图所示的程序框图，若执行的运算是111112345⨯⨯⨯⨯，则在空白的执行框中，应该填入A ．T T i =⋅B ．(1)T T i =⋅+C ．11T T i =⋅+ D ．1T T i=⋅ 答案：D试题分析：解：运行第一次：1,1,i 2T T T =⨯==，5i >不成立； 运行第二次：11,1,i 322T T T =⨯=⨯=，5i >不成立； 运行第三次：111,1,i 4323T T T =⨯=⨯⨯=，5i >不成立； 运行第四次：1111,1,i 54234T T T =⨯=⨯⨯⨯=，5i >不成立； 运行第四次：11111,1,i 652345T T T =⨯=⨯⨯⨯⨯=，5i >成立； 输出111112345T =⨯⨯⨯⨯ 所以应选D.【考点】循环结构.7．下图是500名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，则这500名学生中测试成绩在区间[90，100）中的学生人数是A ．60B ．55C ．45D ．50答案：D 分析：根据频率分布直方图可得测试成绩落在[)90,100中的频率，从而可得结果. 详解：由频率分布直方图可得测试成绩落在[)90,100中的频率为0.01100.1⨯=， 所以测试成绩落在[)90,100中的人数为5000.150⨯=，，故选D.点睛：本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直观图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为1；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率.8．一组数据中的每一个数据都乘以3，再减去30，得到一组新数据，若求得新数据的平均数是3.6，方差是9.9，则原来数据的平均数和方差分别是（ ）A ．11.2，1.1B ．33.6，9.9C ．11.2，9.9D ．24.1，1.1 答案：A根据新数据所得的均值与方差，结合数据分析中的公式，即可求得原来数据的平均数和方差.解：设原数据为123,,x x x ⋅⋅⋅则新数据为123330,330,330x x x ---⋅⋅⋅所以由题意可知()()330 3.6,3309.9E x D x -=-=，则()()330 3.6,99.9E x D x -==，解得()()11.2, 1.1E x D x ==，故选：A.点评：本题考查了数据处理与简单应用，平均数与方差公式的简单应用，属于基础题.9．某公司的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有下列对应数据：已知y对x呈线性相关关系，且回归方程为·6.517.5y x=+，工作人员不慎将表格中y的第一个数据遗失，该数据为（）A．28 B．30 C．32 D．35答案：B由回归方程经过样本中心点(),x y，求得样本平均数后代入回归方程即可求得第一组的数值.解：设第一组数据为m，则2456855x++++==，4060507022055m my+++++==，根据回归方程经过样本中心点2205,5m+⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入回归方程·6.517.5 y x=+，可得2206.5517.55m+=⨯+，解得30m=，故选：B.点评：本题考查了回归方程的性质及简单应用，属于基础题.10．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，...，960，分组后某组抽到的号码为41．抽到的32人中，编号落入区间[]401,755的人数为（）A．10 B．11C．12 D．13答案：C由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n＝30n﹣19，由401≤30n﹣21≤755，求得正整数n的个数，即可得出结论．解：∵960÷32＝30，∴每组30人，∴由题意可得抽到的号码构成以30为公差的等差数列，又某组抽到的号码为41，可知第一组抽到的号码为11，∴由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，∴等差数列的通项公式为a n＝11+（n﹣1）30＝30n﹣19，由401≤30n﹣19≤755，n为正整数可得14≤n≤25，∴做问卷C的人数为25﹣14+1＝12，故选C．点评：本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，根据系统抽样的定义转化为等差数列是解决本题的关键，比较基础．11．某班有男生30人，女生20人，按分层抽样方法从班级中选出5人负责校园开放日的接待工作．现从这5人中随机选取2人，至少有1名男生的概率是（）A．110B．310C．710D．910答案：D解：分析：根据分在层抽样求出抽取的男生为3人，女生为2人，再跟姐姐概率的公式，即可得到答案.详解：由题意，男生30人，女生20人，按照分层抽样方法从半径中抽取5人负责小圆开放日的接待工作，则男生为305350⨯=人，女生为205250⨯=，从这5人中随机选取2人，共有10种，起哄全是女生的只有1种，所以至少有1名女生的概率为1911010P=-=，故选D.点睛：本题主要考查了分层抽样与古典概型及其概率的计算，其中解答中根据分层抽样，确定好男生和女生的人数，找出基本事件的总数，利用古典概型及概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.12．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有1名男生和至少有1名女生B．至多有1名男生和都是女生C．至少有1名男生和都是女生D．恰有1名男生和恰有2名男生答案：D试题分析：A中两事件不是互斥事件；B中不是互斥事件；C中两事件既是互斥事件又是对立事件；D 中两事件是互斥但不对立事件【考点】互斥事件与对立事件二、填空题13．已知向量()1,2a =-r ，(),1b m =r .若向量a b +r r 与a r 垂直，则m =________.答案：7由a b +r r 与a r垂直，则数量积为0，求出对应的坐标，计算即可.解： ()1,2a =-r ，(),1b m =r ，()1,3a b m +=-r r ，又a b +r r 与ar 垂直， 故()0a b a +⋅=r r r ， 解得()160m --+=，解得7m =.故答案为：7.点评：本题考查通过向量数量积求参数的值.14．下面茎叶图记录了在某项体育比赛中，九位裁判为一名选手打出的分数情况，则去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值为_________，方差为________.答案：91 4.7分析：先由题意列出所剩数据，由平均数和方差公式依次求出平均数，方差即可. 详解：则去掉一个最高分和一个最低分后所剩数据：88,89,90,90,93,93,94， 所以平均数()188899090939394915x =++++++=， 方差()()()()()()()2222222218891899190919091939194919391 4.75S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-+-=⎣⎦故答案为91,4.7.点睛：本题考查平均数和方差公式，属于基础题. 解答此类问题关键为概念清晰，类似概念有样本数据的算术平均数， 12n 1(x +x +...+x )x n =． 样本方差2222121[()()...()]n s x x x x x x n=-+-++-， 标准差222121[()()...()]n s x x x x x x n=-+-++-. 15．求374与238的最大公约数结果用5．进制．．表示为_________. 答案：(5)114根据最大公约数的公式可求得两个数的最大公约数，再由除k 取余法即可将进制进行转换.解：374与238的最大公约数求法如下：3742381136÷=⋅⋅⋅，2381361102÷=⋅⋅⋅，136102134÷=⋅⋅⋅，102343÷=，所以两个数的最大公约数为34.由除k 取余法可得：53456451101⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅所以将34化为5进制后为(5)114，故答案为：(5)114.点评：本题考查了最大公约数的求法，除k 取余法进行进制转化的应用，属于基础题.16．某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长， 其中至少有1名女生当选的概率是______答案： 试题分析：∵从7人中选2人共有C 72=21种选法，从4个男生中选2人共有C 42=6种选法∴没有女生的概率是621=27，∴至少有1名女生当选的概率1-27=57． 【考点】本题主要考查古典概型及其概率计算公式． 点评：在使用古典概型的概率公式时，应该注意：（1）要判断该概率模型是不是古典概型；（2）要找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．三、解答题17．如图，OADB 是以向量,OA a OB b ==u u u r u u u r rr 为边的平行四边形，又11,33BM BC CN CD ==，试用,a b r r 表示,,OM ON MN u u u u r u u u r u u u u r ．答案：1566OM a b =+u u u u r r r ，2233ON a b =+u u u r r r ，1126MN a b =-u u u u r r r 试题分析：利用向量的加减法的几何意义得14222,()33333CN CD ON OC OA OB a b =∴==+=+u u u r u u u r u u u r u u u r r r Q ，再结合已知及图形得1566OM a b =+u u u u r r r 最后求出1126MN a b =-u u u u r r r ． 试题解析：解：14222,()33333CN CD ON OC OA OB a b =∴==+=+u u u r u u u r u u u r u u u r r r Q 11,,36BM BC BM BA =∴=Q 1()6OM OB BM OB OA OB ∴=+=+-u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r 1566a b =+r r 1126MN ON OM a b ∴=-=-u u u u r u u u r u u u u r r r 【考点】向量的加减法的几何意义18．设两个非零向量a r 与b r不共线，（1）若AB a b =+u u u r r r ，28BC a b =+u u u r r r ，3()CD a b =-u u u r r r ，求证：,,A B D 三点共线；（2）试确定实数k ，使ka b +r r 和a kb +r r同向.答案：（1）证明见解析（2）1k =（1）根据向量的运算可得5BD AB =u u u r u u u r，再根据平面向量共线基本定理即可证明,,A B D 三点共线；（2）根据平面向量共线基本定理，可设()ka b a kb λ+=+r r r r，由向量相等条件可得关于λ和k 的方程组，解方程组并由0λ>的条件确定实数k 的值.解：（1）证明：因为AB a b =+uu u r r r ，28BC a b =+uu u r r r ，3()CD a b =-u u ur r r ，所以283()28335()5BD BC CD a b a b a b a b a b AB =+=++-=++-=+=u u u r u u u r u u u r r r r r r r r r r r u u u r .所以,AB BD u u u r u u u r共线， 又因为它们有公共点B ， 所以,,A B D 三点共线.（2）因为ka b +r r 与a kb +rr 同向，所以存在实数(0)λλ>，使()ka b a kb λ+=+r r r r，即ka b a kb λλ+=+r r r r.所以()(1)k a k b λλ-=-r r.因为,a b r r是不共线的两个非零向量，所以0,10,k k λλ-=⎧⎨-=⎩解得1,1k λ=⎧⎨=⎩或1,1,k λ=-⎧⎨=-⎩又因为0λ>， 所以1k =. 点评：本题考查了平面向量共线定理的应用，三点共线的向量证明方法应用，属于基础题. 19．某中学从高三男生中随机抽取100名学生，将他们的身高数据进行整理，得到下侧的频率分布表.（Ⅰ）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行体能测试，问第3，4，5组每组各应抽取多少名学生进行测试；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求第3组中至少有一名学生被抽中的概率；（Ⅲ）试估计该中学高三年级男生身高的中位数位于第几组中，并说明理由.答案：（1）3人，2人，1人.（2）0.8.（3）第3组分析：（Ⅰ）由分层抽样方法可得第3组：30660⨯＝3人；第4组：20660⨯＝2人；第5组：10660⨯＝1人；（Ⅱ）利用列举法可得6个人抽取两人共有15中不同的结果，其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的情况有12种，利用古典概型概率公式可得结果；（Ⅲ）由前两组频率和为0.4，中位数可得在第3组.详解：（Ⅰ）因为第3，4，5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组学生人数分别为：第3组：30660⨯＝3人；第4组：20660⨯＝2人；第5组：10660⨯＝1人.所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，1人.（Ⅱ）设第3组3位同学为A1，A2，A3，第4组2位同学为B1，B2，第5组1位同学为C1，则从6位同学中抽两位同学的情况分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）.共有15种.其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的情况分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C 1），（A 3，B 1），（A 3，B 2），（A 3，C 1），共有12种可能. 所以，第4组中至少有一名学生被抽中的概率为0.8. 答：第4组中至少有一名学生被抽中的概率为0.8. （Ⅲ）第3组点睛：本题主要考查分层抽样以及古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B …. 1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.20．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问10分，（Ⅱ）小问3分）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表： 年份2010 2011 2012 2013 2014 时间代号12 3 4 5 储蓄存款（千亿元） 567810（Ⅰ）求y 关于t 的回归方程（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年（）的人民币储蓄存款.附：回归方程中答案：（Ⅰ），（Ⅱ）千亿元. 试题分析：（Ⅰ）列表分别计算出，的值，然后代入求得，再代入求出值，从而就可得到回归方程，（Ⅱ）将代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款．试题解析：（1）列表计算如下i1 1 5 1 52 2 6 4 123 3 7 9 214 4 8 16 325 5 10 25 5015 36 55 120这里又从而.故所求回归方程为.（2）将代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为【考点】线性回归方程.21．某学校为了了解高三文科学生第一学期数学的复习效果.从高三第一学期期末考试成绩中随机抽取50名文科考生的数学成绩，分成6组制成如图所示的频率分布直方图.（1）试利用此频率分布直方图求m 的值及这50名同学数学成绩的平均数的估计值； （2）该学校为制定下阶段的复习计划，从被抽取的成绩在[130,140)的同学中选出3位作为代表进行座谈，若已知被抽取的成绩在[130,140)的同学中男女比例为2: 1，求至少有一名女生参加座谈的概率.答案：（1）0.008m =；平均数的估计值121.8（2）45（1）根据各小矩形面积和为1可求得m 的值；由频率分布直方图，结合平均数的求法即可求解.（2）根据频率分布直方图先求得成绩在[130,140)的同学人数，结合分层抽样可得男生4人，女生2人，设男生分别为,,,A B C D ；女生分别为,x y ，利用列举法可得抽取3人的所有情况，进而得至少有一名女生的情况，即可由古典概型概率公式求解. 解：（1）由题(0.0040.0120.0240.040.012)101m +++++⨯=， 解得0.008m =，由频率分布直方图，得这50名同学数学成绩的平均数的估计值为：950.004101050.012101150.024x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯101250.040101350.012101450.00810121.8+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（2）由频率分布直方图知，成绩在[130,140)的同学有0.01210506⨯⨯=人， 由比例可知男生4人，女生2人，记男生分别为,,,A B C D ；女生分别为,x y ， 则从6名同学中选出3人的所有可能如下：,,,,,,,,ABC ABD ABx ABy ACD ACx ACy ADx ,,ADy BCD ,,,,BCx BCy BDX BDy ,,CDX CDy ,,,Axy Bxy Cxy Dxy 共20种，其中不含女生的有,,ABC ABD ACD 4种，设至少有一名女生参加座谈为事件A ， 则至少有一名女生参加座谈的概率44()1205P A =-=. 点评：本题考查了频率分布直方图的性质及平均数求法，分层抽样及各组人数的确定方法，列举法求古典概型的概率，属于基础题.22．某质检机构检测某产品的质量是否合格，在甲、乙两厂匀速运行的自动包装传送带上每隔10分钟抽一包产品，称其质量（单位：克），分别记录抽查数据，获得质量数据茎叶图（如图）.（1）该质检机构采用了哪种抽样方法抽取的产品？根据样本数据，求甲、乙两厂产品质量的平均数和中位数；（2）若从甲厂6件样品中随机抽取两件. ①列举出所有可能的抽取结果；②记它们的质量分别是a 克，b 克，求3a b -≤的概率.答案：（1）系统抽样；乙厂产品质量的平均数114，乙厂质量的中位数是113；甲厂质量的平均数114，甲厂质量的中位数是113（2）①详见解析②13（1）根据抽样方式即可确定抽样方法；根据茎叶图中的数据，即可分别求得两组的平均数与中位数；（2）由甲厂的样品数据，即可由列举法得所有可能；根据列举的数据，即可得满足3a b -≤的情况，即可求得复合要求的概率.解：（1）由题意该质检机构抽取产品采用的抽样方法为系统抽样， 甲厂质量的平均数1(108111112114116123)1146x =+++++=， 甲厂质量的中位数是113， 乙厂产品质量的平均数1(108109112114115126)1146y =+++++=， 乙厂质量的中位数是113.（2）①从甲厂6件样品中随机抽取两件，分别为：{108,111},{108,112},{108,114},{108,116},{108,123}， {111,112},{111,114},{111,116},{111,123},{112,114}，{112,116},{112,123},{114,116},{114,123},{116,123}，共15个.②设“3a b -≤”为事件A ，则事件A 共有5个结果：{108,111},{111,112},{111,114},{112,114},{114,116}.所以3a b -≤的概率1()3P A =. 点评：本题考查了茎叶图的简单应用，由茎叶图求平均值与中位数，列举法求古典概型概率的应用，属于基础题.。

甘肃省白银市会宁县高一下学期期末数学试题一、单选题1．设集合{}12A x x =-<≤，{}1B x x =>，则A B =I （ ） A ．{}12x x <≤ B ．{}11x x -≤≤C ．{}2x x ≤D ．{}1x x >-【答案】A【解析】根据交集的定义直接计算即可得解. 【详解】Q 集合{}12A x x =-<≤，{}1B x x =>，∴A B =I {}12x x <≤.故选：A. 【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.2．下列各角中，与126°角终边相同的角是（ ） A ．126-o B ．486oC ．244o -D ．574o【答案】B【解析】写出与126°的角终边相同的角的集合，取k=1得答案． 【详解】解：与126°的角终边相同的角的集合为{α|α=126°+k•360°，k ∈Z}． 取k=1，可得α=486°．∴与126°的角终边相同的角是486°． 故选B ． 【点睛】本题考查终边相同角的计算，是基础题．3．已知样本数据为3，1，3，2，3，2，则这个样本的中位数与众数分别为（ ） A ．2，3 B ．3，3C ．2.5，3D ．2.5，2【答案】C【解析】将样本数据从小到大排列即可求得中位数，再找出出现次数最多的数即为众数. 【详解】将样本数据从小到大排列：1，2，2，3，3，3，中位数为232.52+=，众数为3. 故选：C. 【点睛】本题考查了中位数和众数的概念，属于基础题. 4．下列函数，是偶函数的为（ ） A ．cos 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．sin 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．tan 2y x =【答案】B【解析】逐项判断各项的定义域是否关于原点对称，再判断是否满足()()f x f x -=即可得解. 【详解】易知各选项的定义域均关于原点对称.()cos sin sin 2y x x x π⎛⎫=-==-- ⎪⎝⎭，故A 错误；()sin cos cos 2y x x x π⎛⎫=-==-⎪⎝⎭，故B 正确； sin cos cos sin 42444y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=-≠- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故C 错误；()tan 2tan 2y x x ==--，故D 错误.故选：B. 【点睛】本题考查了诱导公式的应用和函数奇偶性的判断，属于基础题. 5．已知tan 3α=，则sin 2cos sin ααα-等于（ ）A ．13B ．23C ．3-D ．3【答案】C【解析】等式分子分母同时除以cos α即可得解. 【详解】 由tan 3α=可得sin tan 332cos sin 2tan 23ααααα===----.故选：C.【点睛】本题考查了三角函数商数关系的应用，属于基础题.6．在集合{6x x ≤且}x N ∈中任取一个元素，所取元素x 恰好满足方程()11x-=的概率是（ ） A ．37B ．47C ．12D ．25【答案】B【解析】写出集合中的元素，分别判断是否满足()11x-=即可得解. 【详解】集合{6x x ≤且}x N ∈的元素0，1,2，3，4，5，6.基本事件总数为7，满足方程()11x-=的基本事件数为4.故所求概率47P =. 故选：B. 【点睛】本题考查了古典概型概率的求解，属于基础题.7．已知向量()a ab ⊥+r r r ，2b a =r r ，则a r ，b r的夹角为（ ）A ．23π B ．34π C ．56π D ．π【答案】A【解析】由题意得()0a a b ⋅+=r r r ，即可得2a b a ⋅=-r r r ，再结合2b a =r r即可得解.【详解】由题意知()220a a b a a b a a b ⋅+=+⋅=+⋅=r r r r r r r r r ，则2a b a ⋅=-r r r .221cos ,22a a b a b a b a-⋅===-r r r r r r r r ，则a r ，b r 的夹角为23π.故选：A. 【点睛】本题考查了向量数量积的应用，属于基础题.8．一个几何体的三视图如图（图中尺寸单位：m ），则该几何体的体积为（ ）A ．33m πB ．34m πC ．3m πD ．334m π 【答案】C【解析】根据三视图判断几何体的形状，计算即可得解. 【详解】该几何体是一个半径为1的球体削去四分之一，体积为33443r ππ⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查了三视图的识别和球的体积计算，属于基础题.9．设函数()2,01,0x x f x x ⎧≥=⎨<⎩，则满足()()2f x f x <的x 的取值范围是（ ）A ．(),0-∞B ．()0,∞+C ．()0,1D ．()1,+∞【答案】B【解析】分别解0x <和0x ≥时条件对应的不等式即可. 【详解】①当0x <时，20x <，此时()()21f x f x ==，不合题意；②当0x ≥时，20≥x ，()()2f x f x <可化为222x x <即2x x <，解得0x >. 综上，()()2f x f x <的x 的取值范围是()0,∞+. 故选：B. 【点睛】本题考查了分段函数不等式的解法，考查了分类讨论思想，属于基础题. 10．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ=+>>≤⎛⎫⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()y f x =的表达式是（ ）A ．()2sin 12f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．()22sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】D【解析】根据函数的最值求得A ，根据函数的周期求得ω，根据函数图像上一点的坐标求得ϕ，由此求得函数的解析式. 【详解】由题图可知2A =，且11522122T πππ=-=即T π=，所以222T ππωπ===， 将点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入函数()()2sin 2x x f ϕ=+， 得()5262k k ππϕπ+=+∈Z ，即()23k k πϕπ=-∈Z ， 因为2πϕ≤，所以3πϕ=-，所以函数()f x 的表达式为()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．故选D. 【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求三角函数的解析式，属于基础题. 11．在面积为S 的平行四边形ABCD 内任取一点P ，则三角形PBD 的面积大于3S的概率为（ ） A ．19B ．29C ．13D ．49【答案】A【解析】转化条件求出满足要求的P 点的范围，求出面积比即可得解. 【详解】如图，设P 到BD 距离为h ，A 到BD 距离为H ，则11233PBD S S BD h BD H =⋅>=⨯⋅V ，∴23h H >，∴满足条件的点P 在AGH V 和CEF △中， 所求概率12199AGH SS P S S ===V . 故选：A. 【点睛】本题考查了几何概型的概率计算，属于基础题. 12．关于x 的方程sin 26x m π⎛⎫+= ⎪⎝⎭在[0,]π内有相异两实根，则实数m 的取值范围为（ ）A ．3142⎤⎥⎣⎦B ．3142⎫⎪⎪⎣⎭C ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】将问题转化为2y m =与sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭有两个不同的交点；根据0x π≤≤可得7,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，对照sin x 的图象可构造出不等式求得结果. 【详解】方程有两个相异实根等价于2y m =与sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭有两个不同的交点 当0x π≤≤时，7,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦由sin x 图象可知：1212m ≤<，解得：11,42m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭本题正确选项：C本题考查正弦型函数的图象应用，主要是根据方程根的个数确定参数范围，关键是能够将问题转化为交点个数问题，利用数形结合来进行求解.二、填空题13．已知(),2a x =r ，()1,1b x =-r ，若//a b r r ，则实数x =________.【答案】2或1-【解析】根据向量平行的充要条件12210x y x y -=代入即可得解. 【详解】由//a b r r有：()120x x --=，解得2x =或1-.故答案为：2或1-. 【点睛】本题考查了向量平行的应用，属于基础题.14．按照如图所示的程序框图，若输入的x 值依次为1-，0，1，运行后，输出的y 值依次为1y ，2y ，3y ，则123y y y ++=________.【答案】5【解析】根据程序框图依次计算出1y 、2y 、3y 后即可得解. 【详解】由程序框图可知11x =-，()1314y =--=；2100x -<=<，2101y =+=；310x =>，32log 10y ==.所以3124105y y y ++=++=. 故答案为：5.本题考查了程序框图的应用，属于基础题.15．圆2210100x y x y +++=与圆2262400x y x y ++--=的公共弦长为________.【答案】【解析】先求出公共弦方程为3100x y ++=，再求出弦心距后即可求解. 【详解】两圆方程相减可得公共弦直线方程l 为3100x y ++=，圆2210100x y x y +++=的圆心为()5,5--，半径为∴圆心到l =，∴公共弦长为=故答案为：【点睛】本题考查了圆的一般方程以及直线与圆位置关系的应用，属于基础题. 16．把函数4sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度，所得图象正好关于原点对称，则ϕ的最小值为________. 【答案】23π 【解析】根据条件先求出平移后的函数表达式为4sin 3y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令43k πϕπ+=即可得解. 【详解】由题意可得平移后的函数表达式为4sin 3y x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭， Q 图象正好关于原点对称，∴()43k k Z πϕπ+=∈即()43k k Z πϕπ=-∈， 又 0ϕ>，∴ϕ的最小值为23π. 故答案为：23π. 【点睛】本题考查了函数图像的平移以及三角函数()sin y A ωx φ=+的图像与性质，属于基础题.三、解答题17．已知函数()2sin 214f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.求： （1）函数()f x 的最大值、最小值及最小正周期； （2）函数()f x 的单调递增区间.【答案】（1）最大值1，最小值为3-，最小正周期π；（2）()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【解析】（1）根据[]2sin 22,24x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭即可求出最值，利用2T πω=即可求出最小正周期；（2）根据复合函数的单调性，令()222242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈即可得解.【详解】（1）Q []2sin 22,24x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， ∴函数()f x 的最大值为211-=，最小值为213--=-；函数()f x 的最小正周期为222T πππω===. （2）令()222242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，得：()388k x k k Z ππππ-≤≤+∈，故函数()f x 的增区间为()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了三角函数()sin y A ωx φ=+的性质以及单调区间的求解，属于基础题. 18．如图，在三棱锥A BCD -中，E ，F 分别为棱BC ，CD 上的三等份点，2DF FC =，2BE EC =.（1）求证：//BD 平面AEF ；（2）若BD CD ⊥，AE ⊥平面BCD ，求证：平面AEF ⊥平面ACD . 【答案】(1)见证明；(2)见证明【解析】（1）由2DF FC =，2BE EC =，得12CF CE FD BE ==，进而得//AD EF 即可证明//BD 平面AEF . （2）AE ⊥平面BCD 得BD CD ⊥，由BD CD ⊥，//BD EF ，得CD EF ⊥，进而证明CD ⊥平面AEF ，则平面AEF ⊥平面ACD 【详解】证明：（1）因为2DF FC =，2BE EC =，所以12CF CE FD BE ==， 所以//AD EF ，因为EF ⊂平面AEF ，BD ⊄平面AEF ， 所以//BD 平面AEF .（2）因为AE ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 所以AE CD ⊥.因为BD CD ⊥，//BD EF ，所以CD EF ⊥， 又AE EF E ⋂=，所以CD ⊥平面AEF .又CD ⊂平面ACD ，所以平面AEF ⊥平面ACD . 【点睛】本题考查线面平行的判定，面面垂直的判定，考查空间想象及推理能力，熟记判定定理是关键，是基础题19．某小型企业甲产品生产的投入成本x （单位：万元）与产品销售收入y （单位：万元）存在较好的线性关系，下表记录了最近5次该产品的相关数据. x （万元） 3 5 7 9 11 y （万元） 810131722（1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，判断该企业甲产品投入成本12万元的毛利率更大还是投入成本15万元的毛利率更大（毛利率=-收入成本收入100%⨯）？相关公式：()()()1122211ˆ=nniii ii i nni i i i x x y y x y nx ybx xx nx====---=--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-. 【答案】（1）ˆ 1.75 1.75y x =+；（2）12万元的毛利率更大【解析】（1）根据题意代入数值分别算出ˆb与ˆa 即可得解； （2）分别把12x =与15x =代入线性回归方程算出ˆy再算出毛利率即可得解. 【详解】（1）由题意7x =，14y =.()()()()()()()()5137814571014771314iii x x y y =--=--+--+--∑()()971714+--()117+-()221470-=，()()()()()()522222213757779711740i i x x=-=-+--+-+-=+∑，()()()51521ˆ 1.75iii ii x x y y bx x ==--==-∑∑，ˆ147 1.75 1.75a=-⨯= 故y 关于x 的线性回归方程为ˆ 1.75 1.75yx =+. （2）当12x =时，ˆ22.75y=，对应的毛利率为22.7512100%47.3%22.75-⨯≈，当15x =时，ˆ28y=，对应的毛利率为2815100%46.4%28-⨯≈， 故投入成本12万元的毛利率更大.本题考查了线性回归方程的求解和应用，考查了计算能力，属于基础题.20．已知向量)a x ω=r，()sin ,1b x ω=-r .函数()f x a b =⋅r r的图象关于直线6x π=-对称，且()1,3ω∈.（1）求函数()f x 的表达式： （2）求函数()f x 在区间,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域. 【答案】（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）⎡⎤⎣⎦ 【解析】（1）转化条件得()2sin 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，由对称轴可得()662k k Z πππωπ--=+∈，再结合()1,3ω∈即可得解； （2）根据自变量的范围可得2366x πππ-≤-≤，利用整体法即可得解.【详解】（1）由题意()cos 2sin 6f x a b x x x πωωω⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭r r ，Q 函数()f x 的图象关于直线6x π=-对称，∴sin 166πωπ⎛⎫--=± ⎪⎝⎭.∴()662k k Z πππωπ--=+∈即()64k k Z ω=--∈.又()1,3ω∈，∴1643k <--<，得7566k -<<-，由k Z ∈得1k =-，故2ω=.则函数()f x 的表达式为()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）Q 126x ππ-≤≤，∴2366x πππ-≤-≤.∴1sin 2262x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，∴()1f x ≤≤， 则函数()f x 在区间,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎤⎣⎦.本题考查了向量数量积的坐标运算、函数()sin y A ωx φ=+表达式和值域的确定，考查了整体意识，属于基础题.21．有n 名学生，在一次数学测试后，老师将他们的分数（得分取正整数，满分为100分），按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的分组作出频率分布直方图（如图1），并作出样本分数的茎叶图（如图2）（图中仅列出了得分在[)60,70，[]90,100的数据）.（1）求样本容量n 和频率分布直方图中x 、y 的值；（2）分数在[]80,100的学生中，男生有2人，现从该组抽取三人“座谈”，求至少有两名女生的概率.【答案】（1）25n =，0.024x =，0.012y =；（2）710【解析】（1）利用[]90,100之间的人数和频率即可求出n ，进而可求出x 、y ； （2）列出所有基本事件，再找到符合要求的基本事件即可得解. 【详解】（1）由题意可知，样本容量2250.00810n ==⨯，610.0242510x =⨯=，0.1000.0080.0160.0240.0400.012y =----=.（2）由题意知，分数在[]80,100的学生共有5人，其中男生2人，女生3人，分别设编号为1b ，2b 和1a ，2a ，3a ，则从该组抽取三人“座谈”包含的基本事件：()123,,a a a ，()121,,a a b ，()311,,a a b ，()321,,a a b ，()122,,a a b ，()312,,a a b ，()322,,a a b ，()121,,b b a ，()122,,b b a ，()123,,b b a ，共计10个.记事件A “至少有两名女生”，则事件A 包含的基本事件有：(),,a a a ，(),,a a b ，(),,a a b ，(),,a a b ，(),,a a b ，(),,a a b ，()322,,a a b ，共计7个.所以至少有两名女生的概率为()710P A =. 【点睛】本题考查了频率分布直方图和古典概型概率的求法，属于基础题.22．已知函数()f x = （1）证明函数()f x 在定义域上单调递增； （2）求函数()f x 的值域；（3）令()()()2g x f x m R =∈，讨论函数()g x 零点的个数.【答案】（1）证明见解析；（2）(；（3）当0m ≥时，()g x 没有零点；当0m <时，()g x 有且仅有一个零点【解析】（1）求出函数定义域后直接用定义法即可证明；（2）由题意得()0f x >，对()f x 两边同时平方得()22f x =-⎡⎤⎣⎦14x -的取值范围即可得解；（3）转化条件得()()()22f x g x m f x m =-++⎡⎤⎣⎦，令()(0f x t t =<≤，利用二次函数的性质分类讨论即可得解. 【详解】（1）证明：令120120x x⎧+≥⎨-≥⎩，解得0x ≤，故函数的定义域为(],0-∞令120x x <≤，()()21f x f x -=-=+由21x x >，可得2122x x >>> 故()()210f x f x ->即()()21f x f x >，所以函数()f x 在定义域上单调递增.（21>1<，故()0f x >，()222f x =-=-⎡⎤⎣⎦，当0x ≤时，041x <≤，有0141x ≤-<，可得：01≤<，故()202f x <⎡⎤⎣≤⎦， (（3）由（2）知()22f x =-⎡⎤⎣⎦， 则()(){}()()()2222g x m f x m f x f x m f x =-+=-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，令()(0f x t t =<≤，则()22g x mt t m =-++，令()(220h t mt t m t =-++<≤，①当0m =时，()(h t t =∈，此时函数()h t 没有零点，故函数()g x 也没有零点； ②当0m <时，二次函数()h t 的对称轴为()11022t m m=-=<⨯-，则函数()h t 在区间(单调递增，而()020h m =<，0h=>，故函数()h t 有一个零点，又由函数()f x 单调递增，可得函数()g x 也只有一个零点； ③当0m >时，0m -<，二次函数()h t 开口向下，对称轴201t m=>，又 ()020h m =>，0h =>，此时函数()h t 没有零点，故函数()g x 也没有零点.综上，当0m ≥时，函数()g x 没有零点；当0m <时，函数()g x 有且仅有一个零点. 【点睛】本题考查了函数单调性的证明、值域的求解和零点问题，考查了转化化归思想和分类讨论思想，属于中档题.。

2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是( )A. B=A∩CB. B∪C=CC. A CD. A=B=C【答案】B【解析】【分析】由集合A，B，C，求出B与C的并集，判断A与C的包含关系，以及A，B，C三者之间的关系即可．【详解】由题B A，∵A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，∴B∪C＝{小于90°的角}＝C，即B C，则B不一定等于A∩C，A不一定是C的真子集，三集合不一定相等，故选B．【点睛】此题考查了集合间的基本关系及运算，熟练掌握象限角，锐角，以及小于90°的角表示的意义是解本题的关键，是易错题2.已知角的终边经过点，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的定义，求出，即可得到的值．【详解】因为，，所以．故选：A．【点睛】本题主要考查已知角终边上一点，利用三角函数定义求三角函数值，属于基础题．3.的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：．考点：诱导公式4.已知中，，，为边上的中点，则( )A. 0B. 25C. 50D. 100【答案】C【解析】【分析】三角形为直角三角形，CM为斜边上的中线，故可知其长度，由向量运算法则，对式子进行因式分解，由平行四边形法则，求出向量，由长度计算向量积.【详解】由勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形，CM为斜边上的中线，所以，原式=.故选C.【点睛】本题考查向量的线性运算及数量积，数量积问题一般要将两个向量转化为已知边长和夹角的两向量，但本题经化简能得到共线的两向量所以直接根据模的大小计算即可.5.在四边形中，，且·＝0，则四边形是（）A. 菱形B. 矩形C. 直角梯形D. 等腰梯形【答案】A【解析】【分析】由可得四边形为平行四边形，由·＝0得四边形的对角线垂直，故可得四边形为菱形．【详解】∵，∴与平行且相等，∴四边形为平行四边形．又，∴，即平行四边形的对角线互相垂直，∴平行四边形为菱形．故选A．【点睛】本题考查向量相等和向量数量积的的应用，解题的关键是正确理解有关的概念，属于基础题．6.已知非零向量、且，，，则一定共线三点是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量共线定理，即可判断．【详解】因为，所以三点一定共线．故选：B．【点睛】本题主要考查利用平面向量共线定理判断三点是否共线，涉及向量的线性运算，属于基础题．7.已知向量，，则向量的夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出向量，再根据向量的数量积求出夹角的余弦值．【详解】∵，∴．设向量的夹角为，则．故选C．【点睛】本题考查向量的线性运算和向量夹角的求法，解题的关键是求出向量的坐标，然后根据数量积的定义求解，注意计算的准确性，属于基础题．8.已知，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】利用诱导公式和同角三角函数的商数关系，得，再利用化弦为切的方法，即可求得答案.【详解】由已知则故选C.【点睛】本题考查利用三角函数的诱导公式、同角三角函数的基本关系化简求值，属于三角函数求值问题中的“给值求值”问题，解题的关键是正确掌握诱导公式中符号与函数名称的变换规律和化弦为切方法.9.已知函数图象的一条对称轴是，则的值为（）A. 5B.C. 3D.【答案】D【解析】【分析】化简函数f（x）＝acosx+sinx为一个角的一个三角函数的形式，利用图象关于直线对称，就是时，函数取得最值，求出a即可．详解】函数f（x）＝acosx+sinx sin（x+θ），其中tanθ＝a，，其图象关于直线对称，所以θ，θ，所以tanθ＝a ，故答案为D【点睛】本题考查正弦函数的对称性，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．10.函数（）的部分图象如图所示，其中是图象的最高点，是图象与轴的交点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数的周期为，四分之一周期为，而函数的最大值为，故，由余弦定理得，故.11.在中，角的对边分别为，已知，则的大小是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴，又，∴，又为三角形的内角，所以，故．选C．12.半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是（）A. 2 B. 0 C. -2 D. 4【答案】C【解析】【分析】将转化为，利用向量数量积运算化简，然后利用基本不等式求得表达式的最小值.【详解】画出图像如下图所示，,等号在，即为的中点时成立.故选C.【点睛】本小题主要考查平面向量加法运算，考查平面向量的数量积运算，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.13.已知函数，，若直线与函数的图象有四个不同的交点，则实数k的取值范围是_____.【答案】(0,1)【解析】【分析】画出函数f(x)在以及直线y=k的图象,数形结合可得k的取值范围.【详解】解:画出函数y=cosx+2|cosx|=,以及直线y=k的图象,如图所示;由f(x)的图象与直线y=k有且仅有四个不同的交点,可得0<k<1.故答案为:(0,1).【点睛】本题主要考查利用分段函数及三角函数的性质求参数，数形结合是解题的关键.14.已知，，，若，则__________．【答案】-3【解析】由可知，解得，15.若为锐角，，则__________．【答案】【解析】因为为锐角，，所以，.16.函数的定义域为__________；【答案】【解析】【分析】根据偶次被开方数大于等于零，分母不为零，列出不等式组，解出即可．【详解】依题意可得，，解得即，故函数的定义域为．故答案为：．【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，涉及三角不等式的解法，属于基础题．17.已知，则 __________．【答案】【解析】18.有下列四个说法：①已知向量，，若与的夹角为钝角，则；②先将函数的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩小为原来的后，再将所得函数图象整体向左平移个单位，可得函数的图象；③函数有三个零点；④函数在上单调递减，在上单调递增.其中正确的是__________.（填上所有正确说法的序号）【答案】②③④【解析】【分析】根据向量，函数零点，函数的导数，以及三角函数有关知识，对各个命题逐个判断即可．【详解】对①，若与的夹角为钝角，则且与不共线，即，解得且，所以①错误；对②，先将函数的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩小为原来的后，得函数的图象，再将图象整体向左平移个单位，可得函数的图象，②正确；对③，函数的零点个数，即解的个数，亦即函数与的图象的交点个数，作出两函数的图象，如图所示：由图可知，③正确；对④，，当时，，当时，，故函数在上单调递减，在上单调递增，④正确．故答案为：②③④．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及向量数量积，三角函数图像变换，函数零点个数的求法，以及函数单调性的判断等知识的应用，属于中档题．三、解答题：本大题共4小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.已知.（1）若三点共线，求的关系；（2）若,求点的坐标.【答案】（1）a+b=2；（2）(5,-3).【解析】【分析】（1）求出和的坐标，然后根据两向量共线的等价条件可得所求关系式．（2）求出的坐标，根据得到关于的方程组，解方程组可得所求点的坐标．【详解】由题意知，，．（1）∵三点共线，∴∥，∴，∴．(2)∵，∴，∴，解得，∴点的坐标为．【点睛】本题考查向量共线的应用，解题的关键是把共线表示为向量的坐标的形式，进而转化为数的运算的问题，属于基础题．20.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调区间.【答案】(1) 的最小正周期为 (2) 的单调增区间为【解析】试题分析：（1）化简函数的解析式得，根据周期公式求得函数的周期；（2）由求得的取值范围即为函数的单调增区间，由求得取值范围即为函数的单调减区间．试题解析：（Ⅰ）∴的最小正周期为.（Ⅱ）由，得∴的单调增区间为由得∴的单调减区间为21.设向量．（Ⅰ）若与垂直，求值；（Ⅱ）求的最小值.【答案】(Ⅰ)2；(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)先由条件得到的坐标，根据与垂直可得，整理得，从而得到．(Ⅱ)由得到，故当时，取得最小值为．试题解析：（Ⅰ）由条件可得，因为与垂直，所以，即，所以，所以.（Ⅱ）由得，所以当时，取得最小值，所以的最小值为.22.已知函数f(x)＝sin ωx·cosωx＋cos2ωx－(ω＞0)，直线x＝x1，x＝x2是y＝f(x)图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为 .（Ⅰ）求f(x)的表达式；（Ⅱ）将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调减区间.【答案】（1）f(x)＝sin.（2）【解析】试题分析：（1）先利用二倍角公式和辅助角公式化简，再利用周期公式即可求得正解；（2）根据图像变换求出的表达式，再利用符合函数法求得递减区间.试题解析：(1)f(x)＝sin 2ωx＋×－＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin，由题意知，最小正周期T＝2×＝，T＝＝＝，所以ω＝2，∴f(x)＝sin.(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝sin的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin的图象．所以g(x)＝sin.由，得所以所求的单调减区间为2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是( )A. B=A∩CB. B∪C=CC. A CD. A=B=C【答案】B【解析】【分析】由集合A，B，C，求出B与C的并集，判断A与C的包含关系，以及A，B，C三者之间的关系即可．【详解】由题B A，∵A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，∴B∪C＝{小于90°的角}＝C，即B C，则B不一定等于A∩C，A不一定是C的真子集，三集合不一定相等，故选B．【点睛】此题考查了集合间的基本关系及运算，熟练掌握象限角，锐角，以及小于90°的角表示的意义是解本题的关键，是易错题2.已知角的终边经过点，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的定义，求出，即可得到的值．【详解】因为，，所以．故选：A．【点睛】本题主要考查已知角终边上一点，利用三角函数定义求三角函数值，属于基础题．3.的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：．考点：诱导公式4.已知中，，，为边上的中点，则( )A. 0B. 25C. 50D. 100【答案】C【解析】【分析】三角形为直角三角形，CM为斜边上的中线，故可知其长度，由向量运算法则，对式子进行因式分解，由平行四边形法则，求出向量，由长度计算向量积.【详解】由勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形，CM为斜边上的中线，所以，原式=.故选C.【点睛】本题考查向量的线性运算及数量积，数量积问题一般要将两个向量转化为已知边长和夹角的两向量，但本题经化简能得到共线的两向量所以直接根据模的大小计算即可.5.在四边形中，，且·＝0，则四边形是（）A. 菱形B. 矩形C. 直角梯形D. 等腰梯形【答案】A【解析】【分析】由可得四边形为平行四边形，由·＝0得四边形的对角线垂直，故可得四边形为菱形．【详解】∵，∴与平行且相等，∴四边形为平行四边形．又，∴，即平行四边形的对角线互相垂直，∴平行四边形为菱形．故选A．【点睛】本题考查向量相等和向量数量积的的应用，解题的关键是正确理解有关的概念，属于基础题．6.已知非零向量、且，，，则一定共线三点是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量共线定理，即可判断．【详解】因为，所以三点一定共线．故选：B．【点睛】本题主要考查利用平面向量共线定理判断三点是否共线，涉及向量的线性运算，属于基础题．7.已知向量，，则向量的夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出向量，再根据向量的数量积求出夹角的余弦值．【详解】∵，∴．设向量的夹角为，则．故选C．【点睛】本题考查向量的线性运算和向量夹角的求法，解题的关键是求出向量的坐标，然后根据数量积的定义求解，注意计算的准确性，属于基础题．8.已知，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】利用诱导公式和同角三角函数的商数关系，得，再利用化弦为切的方法，即可求得答案.【详解】由已知则故选C.【点睛】本题考查利用三角函数的诱导公式、同角三角函数的基本关系化简求值，属于三角函数求值问题中的“给值求值”问题，解题的关键是正确掌握诱导公式中符号与函数名称的变换规律和化弦为切方法.9.已知函数图象的一条对称轴是，则的值为（）A. 5B.C. 3D.【答案】D【解析】【分析】化简函数f（x）＝acosx+sinx为一个角的一个三角函数的形式，利用图象关于直线对称，就是时，函数取得最值，求出a即可．详解】函数f（x）＝acosx+sinx sin（x+θ），其中tanθ＝a，，其图象关于直线对称，所以θ，θ，所以tanθ＝a，故答案为D【点睛】本题考查正弦函数的对称性，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．10.函数（）的部分图象如图所示，其中是图象的最高点，是图象与轴的交点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数的周期为，四分之一周期为，而函数的最大值为，故，由余弦定理得，故.11.在中，角的对边分别为，已知，则的大小是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴，又，∴，又为三角形的内角，所以，故．选C．12.半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是（）A. 2B. 0C. -2D. 4【答案】C【解析】【分析】将转化为，利用向量数量积运算化简，然后利用基本不等式求得表达式的最小值.【详解】画出图像如下图所示，,等号在，即为的中点时成立.故选C.【点睛】本小题主要考查平面向量加法运算，考查平面向量的数量积运算，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.13.已知函数，，若直线与函数的图象有四个不同的交点，则实数k的取值范围是_____.【答案】(0,1)【解析】【分析】画出函数f(x)在以及直线y=k的图象,数形结合可得k的取值范围.【详解】解:画出函数y=cosx+2|cosx|=,以及直线y=k的图象,如图所示;由f(x)的图象与直线y=k有且仅有四个不同的交点,可得0<k<1.故答案为:(0,1).【点睛】本题主要考查利用分段函数及三角函数的性质求参数，数形结合是解题的关键.14.已知，，，若，则__________．【答案】-3【解析】由可知，解得，15.若为锐角，，则__________．【答案】【解析】因为为锐角，，所以，.16.函数的定义域为__________；【答案】【解析】【分析】根据偶次被开方数大于等于零，分母不为零，列出不等式组，解出即可．【详解】依题意可得，，解得即，故函数的定义域为．故答案为：．【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，涉及三角不等式的解法，属于基础题．17.已知，则 __________．【答案】【解析】18.有下列四个说法：①已知向量，，若与的夹角为钝角，则；②先将函数的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩小为原来的后，再将所得函数图象整体向左平移个单位，可得函数的图象；③函数有三个零点；④函数在上单调递减，在上单调递增.其中正确的是__________.（填上所有正确说法的序号）【答案】②③④【解析】【分析】根据向量，函数零点，函数的导数，以及三角函数有关知识，对各个命题逐个判断即可．【详解】对①，若与的夹角为钝角，则且与不共线，即，解得且，所以①错误；对②，先将函数的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩小为原来的后，得函数的图象，再将图象整体向左平移个单位，可得函数的图象，②正确；对③，函数的零点个数，即解的个数，亦即函数与的图象的交点个数，作出两函数的图象，如图所示：由图可知，③正确；对④，，当时，，当时，，故函数在上单调递减，在上单调递增，④正确．故答案为：②③④．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及向量数量积，三角函数图像变换，函数零点个数的求法，以及函数单调性的判断等知识的应用，属于中档题．三、解答题：本大题共4小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.已知.（1）若三点共线，求的关系；（2）若,求点的坐标.【答案】（1）a+b=2；（2）(5,-3).【解析】【分析】（1）求出和的坐标，然后根据两向量共线的等价条件可得所求关系式．（2）求出的坐标，根据得到关于的方程组，解方程组可得所求点的坐标．【详解】由题意知，，．（1）∵三点共线，∴∥，∴，∴．(2)∵，∴，∴，解得，∴点的坐标为．【点睛】本题考查向量共线的应用，解题的关键是把共线表示为向量的坐标的形式，进而转化为数的运算的问题，属于基础题．20.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调区间.【答案】(1) 的最小正周期为 (2) 的单调增区间为【解析】试题分析：（1）化简函数的解析式得，根据周期公式求得函数的周期；（2）由求得的取值范围即为函数的单调增区间，由求得取值范围即为函数的单调减区间．试题解析：（Ⅰ）∴的最小正周期为.（Ⅱ）由，得∴的单调增区间为由得∴的单调减区间为21.设向量．（Ⅰ）若与垂直，求值；（Ⅱ）求的最小值.【答案】(Ⅰ)2；(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)先由条件得到的坐标，根据与垂直可得，整理得，从而得到．(Ⅱ)由得到，故当时，取得最小值为．试题解析：（Ⅰ）由条件可得，因为与垂直，所以，即，所以，所以.（Ⅱ）由得，所以当时，取得最小值，所以的最小值为.22.已知函数f(x)＝sin ωx·cosωx＋cos2ωx－(ω＞0)，直线x＝x1，x＝x2是y＝f(x)图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为 .（Ⅰ）求f(x)的表达式；（Ⅱ）将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调减区间.【答案】（1）f(x)＝sin.（2）【解析】试题分析：（1）先利用二倍角公式和辅助角公式化简，再利用周期公式即可求得正解；（2）根据图像变换求出的表达式，再利用符合函数法求得递减区间.试题解析：(1)f(x)＝sin 2ωx＋×－＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin，由题意知，最小正周期T＝2×＝，T＝＝＝，所以ω＝2，∴f(x)＝sin.(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝sin的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin的图象．所以g(x)＝sin.由，得所以所求的单调减区间为。

2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一.选择题：1. 已知直线经过两点，则的斜率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接代入两点的斜率公式，计算即可得出答案．【详解】故选A【点睛】本题考查两点的斜率公式，属于基础题．2. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=A. B. C. 2 D. 3【答案】D【解析】【详解】由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！3. 在正项等比数列中，，数列的前项之和为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的性质，即可解出答案．【详解】故选B【点睛】本题考查等比数列的性质，同底对数的运算，属于基础题．4. 如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】在三角形中，利用正弦定理求得，然后在三角形中求得.【详解】在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得＝，所以BC＝.在Rt△ABC中，AB＝BCtan ∠ACB＝15×＝15.故选：D【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查解直角三角形，属于基础题.5. 过点，且圆心在直线上的圆的方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】直接根据所给信息，利用排除法解题．【详解】本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线上，排除B、D，点在圆上，排除A故选C【点睛】本题考查利用排除法选出圆的标准方程，属于基础题．6. 若，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由不等式性质证明不等式是正确的，举反例说明不等式是错误的．【详解】若，则、均错，若，则错，∵，∴，C正确．故选C．【点睛】本题考查不等式的性质，解题时一定要注意不等式的性质：“不等式两边同乘以或除以一个正数，不等号方向不变，同乘以或除以一个负数，不等号方向改变”，这里一定要注意所乘（或除）的数一定要分正负，否则易出错．7. 圆关于直线对称，则值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】圆关于直线对称，所以圆心(1,1)在直线上，得.故选B.8. 已知直线、，平面、，给出下列命题：①若，，且，则；②若，，且，则；③若，，且，则；④若，，且，则．其中正确的命题是（）A. ①③B. ②④C. ③④D. ①④【答案】A【解析】【分析】利用线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理可判断①③④的正误；举反例可判断②错误.【详解】对于命题①，若，，且，则或，若，则；若，则过直线的平面与平面的交线满足，，，又，.命题①正确；对于命题②，若直线、同时与平面、的交线平行，且，，则，，但与不平行，命题②错误；对于命题③④，若，，则，，则过直线的平面与平面的交线满足，，，，命题③正确，命题④错误.故选：A.【点睛】本题考查面面位置关系命题正误的判断，考查推理能力，属于中等题.9. 在中，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则的形状为（）A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】由二倍角公式和余弦定理化角为边后变形可得．【详解】∵，∴，，，整理得，∴三角形为直角三角形．故选：B．【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查二倍角公式和余弦定理，用余弦定理化角为边是解题关键．10. 设点是函数图象上的任意一点，点满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】函数表示圆位于x轴下面的部分．利用点到直线的距离公式，求出最小值．【详解】函数化简得．圆心坐标,半径为2.所以【点睛】本题考查点到直线的距离公式，属于基础题．11. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（）A. 4B. 10C. 5D.【答案】C【解析】【分析】由题意结合直线位置关系的判断可得两直线互相垂直，由直线过定点可得定点与定点，进而可得，再利用基本不等式，即可得解．【详解】由题意直线过定点，直线可变为，所以该直线过定点，所以，又，所以直线与直线互相垂直，所以，所以即，当且仅当时取等号,所以的最大值为5.故选：C.【点睛】本题考查了直线位置关系判断及直线过定点的应用，考查了基本不等式的应用，合理转化条件是解题关键，属于中档题．12. 三棱锥中，互相垂直，，是线段上一动点，若直线与平面所成角的正切的最大值是，则三棱锥的外接球的表面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】是线段上一动点，连接，∵互相垂直，∴就是直线与平面所成角，当最短时，即时直线与平面所成角的正切的最大．此时，，在直角△中，．三棱锥扩充为长方体，则长方体的对角线长为，∴三棱锥的外接球的半径为，∴三棱锥的外接球的表面积为．选B.点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．二、填空题13. 已知圆锥表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为__________.【答案】【解析】【分析】设出底面圆的半径，用半径表示出圆锥的母线，再利用表面积，解出半径．【详解】设圆锥的底面圆的半径为，母线为，则底面圆面积为，周长为，则解得故填2【点睛】本题考查根据圆锥的表面积求底面圆半径，属于基础题．14. 已知数列满足，则__________.【答案】【解析】【分析】数列为以为首项，1为公差的等差数列．【详解】因为所以又所以数列为以为首项，1为公差的等差数列．所以所以故填【点睛】本题考查等差数列，属于基础题．15. 直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成的角的余弦值为______.【答案】【解析】【分析】取中点，证明，得异面直线所成的角，然后计算．【详解】如图，取中点，连接，，因为，分别是，的中点，所以，，即，∴平行四边形，，∴异面直线与所成的角为（或其补角），在直三棱柱中，设，则由可得：，，，那么在等腰中．故答案为：．【点睛】本题考查求异面直线所成的角，解题关键是作出异面直线所成的角．16. 已知，，，则的最小值为__________．【答案】8【解析】由题意可得：则的最小值为.当且仅当时等号成立.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．三、解答题17. 求适合下列条件的直线方程：经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的倍；经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据倾斜角等于直线的倾斜角的倍，求出直线的倾斜角，再利用点斜式写出直线．（2）与两坐标轴围成一个等腰直角三角形等价于直线的斜率为.【详解】（1）已知，直线方程为化简得（2）由题意可知，所求直线的斜率为.又过点，由点斜式得，所求直线的方程为或【点睛】本题考查直线方程，属于基础题．18. 如图，在斜三棱柱中，侧面是边长为的菱形，平面，，点在底面上的射影为棱的中点，点在平面内的射影为证明：为的中点：求三棱锥的体积【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）先证平面平面，说明平面且，根据菱形的性质即可说明为的中点．（2）根据，即求出即可．【详解】（1）证明：因为面，平面，所以平面平面；交线为过作，则平面，又是菱形，，所以为的中点（2）由题意平面【点睛】本题考查面面垂直性质定理，利用等体积转换法求三棱锥的体积，属于基础题．19. 在直角坐标系中，以坐标原点为圆心的圆与直线相切．求圆的方程；若圆上有两点关于直线对称，且，求直线的方程；【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）直接利用点到直线的距离公式求出半径，即可得出答案．（2）设出直线，求出圆心到直线的距离，利用半弦长直角三角形解出即可．【详解】解（1），所以圆的方程为（2）由题意，可设直线的方程为则圆心到直线的距离则，即所以直线的方程为或【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题．20. 在中，内角所对的边分别为.已知，.（I）求的值；（II）求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系，再根据余弦定理求出，进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.试题解析：（Ⅰ）解：由，及，得.由，及余弦定理，得.（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入，得.由（Ⅰ）知，A为钝角，所以.于是，，故.考点：正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.21. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1.(1)求证：AD⊥平面BFED；(2)点P在线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE所成锐二面角为θ，试求θ的最小值．【答案】（1）证明见解析（2）θ最小值为60°【解析】【分析】（1）在梯形ABCD中，利用勾股定理，得到AD⊥BD，再结合面面垂直的判定，证得DE⊥平面ABCD，即可证得AD⊥平面BFED；（2）以D为原点，直线DA，DB，DE分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面PAB与平面ADE法向量，利用向量的夹角公式，即可求解。

2018—2019学年下期期末考试 高中一年级 数学 参考答案一、选择题1—5 BACCC 6—10 BDDAD 11—12 CB 二、填空题13、 14.π3 15.1016.三、计算题17.解：（1）∵,a b ∴1221-=0x y x y 可得x ＝﹣1．……………………（4分） （2）依题意a ﹣2＝（2﹣2x ，4）．∵a ⊥（a ﹣2）， ∴a •（a ﹣2）＝0，即4﹣4x +8＝0，解得x ＝3，∴b ＝（3，﹣1）．……………………（8分） 设向量a 与的夹角为θ，∴5cos 5a b a bθ==．……………………（10分）18.【解答】解：（1）由题意可得cos α＝﹣，sin α＝，tan α＝＝﹣，……（2分）∴＝＝＝﹣．……（6分）（2）若•＝|OP |•|OQ |•cos （α﹣β）＝cos （α﹣β）＝，即 cos （α﹣β）＝，∴sin （α﹣β）＝＝． ……（9分）∴sin β＝sin[α﹣（α﹣β）]＝sin αcos （α﹣β）﹣cos αsin （α﹣β）＝﹣（﹣）•＝．……（12分）19.解：Ⅰ)∑∑∑===----=ni ni ii ni iiy yx x y y x x r 11221)()()(）（=. ……………………（2分）Ⅱ依题意得,∑==--6130.80)(i i i y y x x ）（，∑==-61230.14i i x x ）（, 所以61621()()80.30ˆ 5.6214.30()iii ii x x y y bx x ==--==≈-∑∑. 又因为ˆˆ29.23-5.62 3.97.31a y bx=-=⨯≈, 故线性回归方程ˆˆˆ=5.62+7.31ya bx x =+ . ……………………（9分）当时，根据回归方程有：y，发生火灾的某居民区与最近的消防站相距千米，火灾的损失千元．………（12分）20.解：解：（1）由图象可知，可得：A ＝2，B ＝﹣1，……………………（2分）又由于＝﹣，可得：T ＝π，所以，……………………（3分）由图象知1)12(=πf ，1)122sin(=+⨯ϕπ，又因为3263πϕππ<+<-所以2×+φ＝， φ＝，所以f （x ）＝2sin （2x +）﹣1． ……………………（4分）令2x +＝k π，k ∈Z ，得x ＝﹣，k ∈Z ， 所以f （x ）的对称中心的坐标为（﹣，﹣1），k ∈Z ．…（6分）（2）由已知的图象变换过程可得：g （x ）＝2sin x ……………………（8分）由g （x ）＝2sin x 的图像知函数在0≤x ≤上的单调增区间为]2,0[π， 单调减区间]672[ππ，……………………（10分）当2π=x 时，g （x ）取得最大值2；当67π=x 时，g （x ）取得最小值1-. ………………（12分） 21解：（Ⅰ）依题意得（a +b +0.008+0.027+0.035）×10＝1，所以a +b ＝0.03，又a ＝4b ，所以a ＝0.024，b ＝0.006. ………………（2分）（Ⅱ）平均数为550.08650.24750.35850.27950.0674.9⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=, 中位数为0.50.080.247075.14.0.035--+≈众数为7080752+=.………………（5分） （Ш）依题意，知分数在[50，60）的市民抽取了2人，记为a ，b ，分数在[60，70）的市民抽取了6人，记为1，2，3，4，5，6，所以从这8人中随机抽取2人所有的情况为：（a ，b ），（a ，1），（a ，2），（a ，3），（a ，4），（a ，5），（a ，6），（b ，1），（b ，2），（b ，3），（b ，4），（b ，5），（b ，6），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共28种， ……………（8分） 其中满足条件的为（a ，b ），（a ，1），（a ，2），（a ，3），（a ，4），（a ，5），（a ，6），（b ，1），（b ，2），（b ，3），（b ，4），（b ，5），（b ，6）共13种， ……………（11分） 设“至少有1人的分数在[50，60）”的事件为A ，则P （A ）＝．……………（12分）22.解：（Ⅰ）()f x a b =＝cos ωx sin ωx ﹣cos 2ωx ＝sin2ωx ﹣（1+cos2ωx ）═sin2ωx ﹣cos2ωx ﹣＝sin （2ωx ﹣）﹣， ……………（2分）∵函数()f x a b =的两个对称中心之间的最小距离为，∴＝，得T ＝π，ω>0,即T ＝＝π，得ω＝1，即f （x ）＝sin （2x ﹣）﹣． ……………（5分） 则f （）＝sin （2×﹣）﹣＝1﹣＝， ……………（6分）（Ⅱ）函数g （x ）＝a +1﹣f （）＝a +1﹣[sin （x ﹣）﹣]＝0，得a ＝sin （x ﹣）﹣﹣1， ……………（8分）当0≤x≤π时，﹣≤x﹣≤，当≤x﹣≤且x﹣≠时，y＝sin（x﹣）才有两个交点，此时≤sin（x﹣）＜1，则，≤sin（x﹣）＜，……………（10分）即0≤sin（x﹣）﹣＜，﹣1≤sin（x﹣）﹣﹣1＜﹣1，即﹣1≤a＜﹣1，即实数a的取值范围是[﹣1，﹣1）．……………（12分）。