高考正弦定理和余弦定理练习题及答案精选.

高考正弦定理和余弦定理练习题及答案

一、选择题

1. 已知△ABC 中，a ＝c ＝2，A ＝30°，则b ＝( ) A. 3

B. 2 3

C. 3 3

D. 3＋1 答案：B

解析：∵a ＝c ＝2，∴A ＝C ＝30°，∴B ＝120°.

由余弦定理可得b ＝2 3.

2. △ABC 中，a ＝5，b ＝3，sin B ＝

22，则符合条件的三角形有( ) A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 0个

答案：B

解析：∵a sin B ＝102， ∴a sin B

∴符合条件的三角形有2个．

3．(2010·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150°

答案：A

解析：利用正弦定理，sin C ＝23sin B 可化为c ＝23b .

又∵a 2－b 2＝3bc ，

∴a 2－b 2＝3b ×23b ＝6b 2，即a 2＝7b 2，a ＝7b .

在△ABC 中，cos A ＝b 2＋c 2－a 2

2bc

＝b 2＋(23b )2－(7b )22b ×23b

＝32， ∴A ＝30°.

4．(2010·湖南卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( )

A ．a >b

B ．a

C ．a ＝b

D ．a 与b 的大小关系不能确定

答案：A

解析：由正弦定理，得c sin120°＝a sin A ， ∴sin A ＝a ·3

22a ＝64>1

2.

∴A >30°.∴B ＝180°－120°－A <30°.∴a >b .

5. 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )

A. 5

18 B. 3

4

C. 3

2 D. 7

8

答案：D

解析：方法一：设三角形的底边长为a ，则周长为5a ，

∴腰长为2a ，由余弦定理知cos α＝(2a )2＋(2a )2－a 22×2a ×2a ＝7

8.

方法二：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，

则AC ＝2a ，CD ＝a 2，∴sin α2＝1

4，

∴cos α＝1－2sin 2α

2

＝1－2×116＝7

8.

6. (2010·泉州模拟)△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积等于(

) A. 3

2 B. 3

4

C. 3

2或 3 D. 32或3

4

答案：D

解析：∵sin C 3＝sin B

1，

∴sin C ＝3·sin30°＝3

2.

∴C ＝60°或C ＝120°.

当C ＝60°时，A ＝90°，S △ABC ＝12×1×3＝32

， 当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12×1×3sin30°＝34

. 即△ABC 的面积为

32或34. 二、填空题

7．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3

，则a ＝________. 答案：1

解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3

，sin B ＝12. 又b

.∴a ＝1. 8．(2010·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．

答案：π6

解析：∵sin B ＋cos B ＝2，

∴sin(B ＋π4

)＝1. 又0

. 又a

. 9. (2010·课标全国卷)在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝12

DC ，∠ADB ＝120°，AD ＝2.若△ADC 的面积为3－3，则∠BAC ＝________.

答案：60° 解析：S △ADC ＝12×2×DC ×32

＝3－3， 解得DC ＝2(3－1)，

∴BD ＝3－1，BC ＝3(3－1)．

在△ABD 中，AB 2＝4＋(3－1)2－2×2×(3－1)×cos120°＝6，

∴AB ＝ 6.

在△ACD 中，AC 2＝4＋[2(3－1)]2－2×2×2(3－1)×cos60°＝24－123， ∴AC ＝6(3－1)，

则cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 2

2AB ·AC

＝6＋24－123－9(4－23)2×6×6×(3－1)＝12， ∴∠BAC ＝60°. 三、解答题

10. 如图，△OAB 是等边三角形，∠AOC ＝45°，OC ＝2，A 、B 、C 三点共线．

(1)求sin ∠BOC 的值；

(2)求线段BC 的长．

解：(1)∵△AOB 是等边三角形，∠AOC ＝45°，

∴∠BOC ＝45°＋60°，

∴sin ∠BOC ＝sin(45°＋60°)

＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°

＝2＋64

. (2)在△OBC 中，OC sin ∠OBC ＝BC sin ∠BOC

， ∴BC ＝sin ∠BOC ×

OC sin ∠OBC ＝2＋64×2sin60°＝1＋33

. 11. (2010·全国Ⅱ卷)△ABC 中，D 为边BC 上的一点，BD ＝33，sin B ＝513

，cos ∠ADC ＝35

，求AD . 解：由cos ∠ADC ＝35>0知B <π2

， 由已知得cos B ＝1213，sin ∠ADC ＝45

， 从而sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －B )