上海市徐汇区高一上册期末数学试卷(有答案)【精选】.doc

2022-2023学年上海市徐汇区高一上学期期末数学试题一、填空题1．已知集合{1,1,2}A =-，{}20B x x x =+=，则A B = __________．【正确答案】{}1-【分析】可求出集合B ，然后进行交集的运算即可．【详解】解：{1A =- ，1，2}，{1B =-，0}，{1}A B ∴=- ．故{}1-．2．函数()2log 2y x =+-的定义域为____________．【正确答案】1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭和()2log 2x -的定义域，再求交集.【详解】由题意21020x x +≥⎧⎨->⎩，解得122x -≤<，即1,22x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭；故1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.3．若幂函数a y x =的图像经过点(，则此幂函数的表达式为y =___________.【正确答案】12x 【分析】由幂函数所过的点求参数a ，即可得函数表达式.【详解】由题设，1233a ==，可得12a =，∴幂函数表达式为12y x =.故答案为.12x 4．已知函数()3x f x a =+的反函数为1()y f x -=，若函数1()y f x -=的图像过点(3,2)，则实数a 的值为__________．【正确答案】-6【分析】由1()y f x -=的图象过点(3,2)得函数()y f x =的图象过点(2,3)，把点(2,3)代入()y f x =的解析式求得a 的值．【详解】解：1()y f x -= 的图象过点(3,2)，∴函数()y f x =的图象过点(2,3)，又()3x f x a =+，233a ∴+=，即6a =-．故6-．5．设一元二次方程2630x x --=的两个实根为1x 、2x ，则2212x x +=________.【正确答案】42【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方和公式进行求解即可.【详解】一元二次方程2630x x --=的两个实根为1x 、2x ，所以有12126,3x x x x +==-，因此222121212()2362(3)42x x x x x x +=+-=-⨯-=，故426．若关于x 的方程34xa ⎛⎫= ⎪⎝⎭有负根，则实数a 的取值范围____________．【正确答案】()1,+∞【分析】关于x 的方程34x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭有负根可转化为指数函数34xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与y a =在第二象限有交点，结合图象即可求得实数a 的取值范围．【详解】关于x 的方程34x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭有负根等价于指数函数34xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与y a =在第二象限有交点，则当1a >时，34xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与y a =在第二象限有交点，所以实数a 的取值范围()1,+∞．故()1,+∞．7．若关于x 的不等式()2140x k x +-+>对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是___________.【正确答案】()3,5-【分析】根据一元二次不等式与二次函数的关系，可知只需判别式Δ0<，利用所得不等式求得结果.【详解】 不等式()2140x k x +-+>对一切实数x 恒成立，()2Δ1160414k k ∴=--<⇒-<-<，解得：35k -<<故答案为.()3,5-8．已知lg 2a =，103b =，试用a 、b 表示12log 25=________.【正确答案】2(1)2a a b-+【分析】根据对数式指数式互化公式，结合对数换底公式、对数的运算性质进行求解即可.【详解】因为103b =，所以lg 3b =，因此有：2122lg 25lg52lg52lg(102)2(1lg 2)2(1)log 25lg12lg(32)lg32lg 2lg32lg 2lg32lg 22a a b÷--======⨯++++，故2(1)2a a b-+9．已知函数22([0,1])y x ax x =+∈的最小值为-2，则实数a =________.【正确答案】32-【分析】根据二次函数的对称轴与所给区间的相对位置进行分类讨论求解即可.【详解】222()2()y f x x ax x a a ==+=+-，所以该二次函数的对称轴为：x a =-，当1a ≤-时，即1a ≤-，函数2()2f x x ax =+在[0,1]x ∈时单调递减，因此min 3()(1)1222f x f a a ==+=-⇒=-，显然符合1a ≤-；当01a <-<时，即10a -<<时，2min ()2f x a a =-=-⇒=，显然不符合10a -<<；当0a -≤时，即0a ≥时，函数2()2f x x ax =+在[0,1]x ∈时单调递增，因此min ()(0)02f x f ==≠-，不符合题意，综上所述：32a =-，故32-10．已知函数()y f x =是定义在实数集R 上的偶函数，若()f x 在区间(0,)+∞上是严格增函数，且(2)0f =，则不等式()0f x x≤的解集为______.【正确答案】(,2](0,2]-∞-⋃【分析】()f x 在区间(0,)+∞上是严格增函数，且(2)0f =，得到在(0,2)内()0f x <,在(2,+∞)内()0,f x >进一步利用偶函数的性质得到在0x <时函数的正负区间，然后根据不等式的基本性质将要求解的不等式分情况讨论求得解集.【详解】∵()f x 在区间(0,)+∞上是严格增函数，且(2)0f =，∴在(0,2)内()0f x <,在(2,+∞)内()0,f x >又∵()f x 为偶函数，∴在(-2,0)上，()0,f x <在(-∞，-2)内()0f x >,且()()220f f -==,不等式()0f x x≤等价于x >0时()0≤f x ，即2(]0,x ∈；当x <0时，()0f x ≥，即(],2,x ∈-∞-故答案为.(,2](0,2]-∞-⋃二、单选题11．“12a =”是“指数函数x y a =在R 上是严格减函数”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【正确答案】A【分析】根据定义，分充分性和必要性分别判断即可.【详解】充分性：12a =时，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上是严格减函数成立，故充分性满足；必要性：由“指数函数x y a =在R 上是严格减函数”可得：01a <<，所以12a =不一定成立，故必要性不满足.故“12a =”是“指数函数x y a =在R 上是严格减函数”的充分非必要条件.故选：A.12．任意x R ∈，下列式子中最小值为2的是（）A ．1x x +B ．22x x-+C ．222x x +D【正确答案】B【分析】A.通过举例排除；BCD 通过基本不等式及等号的成立条件来判断.【详解】A.当=1x -时，12x x+=-，排除；B.222-+≥=x x ，当且仅当0x =时等号成立，符合；C.222x x +≥2x =D.2=，当且仅当221x +=时等号成立，故等号不能2>，排除.故选：B.13．已知函数1,0()0,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，若2()()F x x f x =⋅，则()F x 是（）A ．奇函数，在(,)∞∞-+上为严格减函数B ．奇函数，在(,)∞∞-+上为严格增函数C ．偶函数，在(,0)-∞上严格减，在(0,)+∞上严格增D ．偶函数，在(,0)-∞上严格增，在(0,)+∞上严格减【正确答案】B【分析】由()()f x f x -=-可知()f x 为奇函数,利用奇偶函数的概念即可判断设2()()F x x f x =⋅的奇偶性,从而得到答案.【详解】1,01,0()0,00,0()1,01,0x x f x x x f x x x ⎧->>⎧⎪⎪-===-==-⎨⎨⎪⎪<-<⎩⎩ ()f x ∴为奇函数,又2()()F x x f x =⋅22()()()()()F x x f x x f x F x ∴-=-⋅-=-⋅=-()F x ∴是奇函数,可排除C,D.又222,0()()0,0,0x x F x x f x x x x ⎧>⎪=⋅==⎨⎪-<⎩()F x ∴在(,)∞∞-+上单调递增.故选：B三、解答题14．已知全集为R ，集合{}|342=->A x x .(1)求A ；(2)已知集合{}01B xx m =≤≤+∣，且A B = R ，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)2|23⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭A x x (2){}|1≥m m 【分析】（1）根据补集的运算可得答案；（2）利用A B = R 结合图形可得实数m 的取值范围.【详解】（1）因为{}{342|2=->=>A x x x x 或23⎫<⎬⎭x ，所以2|23⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭A x x .（2）因为A B = R ，所以12m +≥，解得m 1≥.实数m 的取值范围是{}|1≥m m .15．已知函数()()2112f x x =++．(1)请说明该函数图象是由函数2y x -=的图象经过怎样的平移得到的；(2)已知函数()()g x f x m =-的一个零点为3，求函数()g x 的另一个零点．【正确答案】(1)答案见解析(2)7-【分析】（1）根据函数平移变换即可得到答案.（2）首先根据题设得到()03g =得到2625m =，再求函数另一个零点即可.【详解】（1）21y x =向左平移2个单位得到()212y x =+，再向上平移1个单位得到()()2112f x x =++.（2）()()()2112g x f x m m x =-=+-+，因为函数()g x 的一个零点为3，所以11025m +-=，解得2625m =.所以()()211252g x x =-+，令()()2110252g x x =-=+，解得7x =-.所以函数()g x 的另一个零点为7-.16．将长为12米的钢筋截成12段，做成底面为正方形的长方体水箱骨架，问水箱的高h 及底面边长x 分别为多少时，这个水箱的表面积为最大？并求出这个水箱最大的表面积.【正确答案】1x =,1h =时,水箱的表面积为最大,最大值为6【分析】根据题意列出表面积关于x 的函数关系式以及定义域,再根据二次函数的性质求得结果.【详解】依题意可得8412x h +=,即32h x =-,所以302x <<,水箱的表面积224S x hx =+2224(32)612x x x x x =+-=-+26(1)6x =--+,因为302x <<,所以1x =时,max 6S =.所以1x =,1h =时,水箱的表面积为最大,最大值为6.本题考查了二次函数模型的应用,关键是根据题意列出函数关系式,属于基础题.17．已知关于x 的不等式2320ax x -+>的解集为{1x x ＜或}x b >（1）求实数a ､b 的值；（2）解关于x 的不等式0x cax b->-(c 为常数)【正确答案】（1）1,2a b ==；（2）答案见解析.（1）结合一元二次不等式的解集，利用韦达定理列方程，由此求得,a b .（2）对c 分成2,2,2c c c =><进行分类讨论，利用分式不等式的解法，求得不等式0x cax b->-的解集.【详解】（1）由题意可得，1和b 是2320ax x -+=的两个实数根，由韦达定理可得31b a+=，且21b a⨯=，解得1,2a b ==（2）关于x 的不等式0x cax b->-等价于()()20x c x -->，当2c =时，不等式的解集为{}2x x ≠；当2>c 时，不等式的解集为{x x c >，或2}x <；当2c <时，不等式的解集为{x x c <，或2}x >.本小题主要考查一元二次不等式解集与根的关系，考查分式不等式的解法，属于中档题.18．设21()21x x f x -=+.（1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）求证：函数()y f x =在R 上是严格增函数；（3）若()2(1)10f t f t -+-<，求t 的取值范围.【正确答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）证明见解析；（3）1t >或2t <-．【分析】（1）根据奇偶函数的定义进行判断即可；（2）利用单调性的定义，结合指数函数的单调性进行证明即可；（3）利用（1）（2）的结论，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.【详解】（1）函数()y f x =为奇函数，证明如下：21()21x xf x -=+的定义域为(,)∞∞-+，关于原点对称，()()2212112()()2112221x xx xx xx x f x f x --------===-+++∴()y f x =为奇函数；（2）证明：任取12,x x R ∈，且12x x <212122()1212121x x x x x f x +--===-+++()()()()()1212212212222222211212121212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫-=--=-= ++++++⎝⎭∵12x x <，∴21220x x >>，12220x x -<，2210x +>，1210x +>∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <∴函数()y f x =在R 上是严格增函数（2）∵()y f x =在R 上是奇函数且严格增函数，所以()()()2222(1)10(1)1111f t f t f t f t f t t t -+-<⇔-<--=-⇔-<-220t t ⇔+->(2)(1)0t t ⇔+->，解得1t >或2t <-所以t 的取值范围是1t >或2t <-．。

1上海中学2023学年第一学期高一年级数学期末2024.01一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．函数224y x x =−+的图像关于直线________成轴对称． 2．已知函数()21,2,lg ,2,x x f x x x +<= ≥ 则()()()05f f f +=________．3．已知扇形的弧长和半径都是4，则扇形的面积为________．4．已知点()sin ,cos P αα在第二象限，则角α的终边在第________象限．5．化简：4224441sin cos sin cos sin cos θ⋅θ+θ⋅θ=−θ−θ________．6．若函数()1f x x a =−+在区间[)1,+∞上是严格增函数，则实数a 的取值范围为______． 7．函数()21yf x =−的定义域为()0,1，则函数()1yf x =−的定义域为________．8．函数3132xx y −=−的值域是________．9．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，且当0x >时，其表达式为()22x f x x =+，则当0x <时，其表达式为()f x =________．10．已知函数()3log ,034,3x x f x x x <<= −≥，若存在0a b c <<<满足()()f a f b ==()f c ，则()()f a f c abc的取值范围为________．11．已知函数()f x ，()g x ，()h x 的定义域均为R ．给出以下3个命题： （1）()f x 一定可以写成一个奇函数和一个偶函数之差；（2）若()f x 是奇函数，且在().0−∞是严格减函数，则()f x 在R 上是严格减函数； （3）若()()f x g x +，()()g x h x +，()()h x f x +在R 上均是严格增函数；则()f x ，()g x ，2()h x 中至少有一介在R 上是严格增函数．其中，假命题的序号为________．12．已知函数()f x 满足：()()()()22114f x f x f x f x +−++−=则下列三个结论： （1）()()()()2220242024186518654f f f f −+−=；（2）()()20232024f f =； （3）()()202418654f f +≤．其中正确的结论是________． 二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分) 13．若幂函数()()22235mm f x mm x −−=+−的图像不经过原点，则m 的值为（ ）A ．2B ．3−C ．3D ．3−或214．存在函数()f x 满足：x R ∀∈都有（ ） A ．()31fx x +=B ．211f x x=−C ．()211f x x +=+D ．()221f x x x +=+15．已知函数()()1,0,2,0,x x f x x x x +< =−≥ 若(1)f x −在区间I 上恒负，且是严格减函数，则区间I 可以是（ ）．A ．()2,1−−B ．()1,0−C ．()0,1D ．()1,216．定义域和值域均为[],a a −（常数0a >）的函数()y f x =和()y g x =的图像如图所示，给出下列四个命题：其中正确的个数是（ ）． （1）函数()()f g x 有且仅有三个零点； （2）函数()()g f x 有且仅有三个零点； （3）函数()()f f x 有且仅有九个零点； （4）函数()()g g x 有且仅有一个零点，A ．1B ．2C ．3D ．43三、解答题(共5道大题,其中17题14分,18题14分,19题14分,20题16分,21题18分,共计76分)17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.)已知函数()f x 是R 上的严格增函数，()g x 是R 上的严格减函数，判断函数()()f x g x −的单调性，并利用定义证明．18.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.) 在下面的坐标系中画出下列函数的图像： （1）2y x −=（2）22x y =−．419.(本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题6分,第（2）小题8分.) 解下列关于x 的方程：（1）162log log 163x x +=； （2）()()2416290x x x a a a −+⋅−−⋅=．20.（本题满分16分.本题共有3小题,第(1)小题满分4分,第（2）小题满分6分.第 (3)小题满分6分)某地中学生社会实践小组为研究学校附近某路段交通拥堵情况，经实地调查、数学建模，得该路段上平均行车速度v （单位：km/h ）与该路段上的行车数量n （单位：辆）的关系为：2600,9,1033000,10,n n v n n k ≤ += ≥ + 其中常数k R ∈．该路段上每日t 时的行车数量22(125)100n t =−−−+，[)0,24t ∈，t Z ∈．已知某日17时测得的平均行车速度为3km/h ．（1）求实数k 的值；（2）定义q nv =，求一天内q 的最大值（结果四舍五入到整数）．521.（本题满分18分.本题共有3个小题,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分6分,在第(3)小题满分8分)若对任意的1a b ≤<，()f x 在区间(],a b 上不存在最小值，且对任意正整数n ，当(),1x n n ∈+时有()()()()()()11f n f x f x f n f n f n −+−+=−+．（1）比较()f n 与()1f n +，*n N ∈的大小关系； （2）判断()f x 是否为[)1,+∞上的增函数，并说明理由； （3）证明：当1x ≥时，()()2f x f x >．6参考答案一、填空题1.1x =；2.1；3.8；4.四；5.12； 6.(],2−∞； 7.()0,2； 8.()1,1,2−∞∪+∞；9.212x x +； 10.10,3； 11.（3）； 12.（1）（3）； 二、选择题13.A ； 14.D ； 15.B ； 16.B16.定义域和值域均为[],a a −（常数0a >）的函数()y f x =和()y g x =的图像如图所示，给出下列四个命题：其中正确的个数是（ ）．（1）函数()()f g x 有且仅有三个零点； （2）函数()()g f x 有且仅有三个零点； （3）函数()()f f x 有且仅有九个零点； （4）函数()()g g x 有且仅有一个零点，A ．1B ．2C ．3D ．4B(1)方程()0f g x = 有且仅有三个解;()g x 有三个不同值,由于()y g x =是减函数,所以有三个解,正确;(2)方程()0g f x = 有且仅有三个解;从图中可知,()()0f x ,a ∈可能有1,2,3个解,不正确; (3)方程()0f f x = 有且仅有九个解;类似(2)不正确;(4)方程()0g g x = 有且仅有一个解.结合图象,()y g x =是减函数,故正确.7故选B . 三、解答题 17.严格增，证明略 18. 画图略 19. （1）416x or =（2）①当0a ≤时，()23log 1x a =−；②当01a <<时，()()122233log 1,log 2x a x a =−=；③当1a ≥时，()23log 2x a =20.某地中学生社会实践小组为研究学校附近某路段交通拥堵情况，经实地调查、数学建模，得该路段上平均行车速度v （单位：km/h ）与该路段上的行车数量n （单位：辆）的关系为：2600,9,1033000,10,n n v n n k≤ +=≥ + 其中常数k R ∈．该路段上每日t 时的行车数量22(125)100n t =−−−+，[)0,24t ∈，t Z ∈．已知某日17时测得的平均行车速度为3km/h ．（1）求实数k 的值；（2）定义q nv =，求一天内q 的最大值（结果四舍五入到整数）． （1）1000k = （2）522(1)由17时测得的平均行车速度为3/km h ,得100n =, 代入*2600,9,1033000,10,……n n vn N n n k +∈ +,可得2330003100k =+,解得1000k =. (2)①当9…n 时,60060010101nq nv n n===++为增函数,所以6009300109…q ×<+; ②当10…n 时,330001000q nv n n==+在(0,上单调递增,在,)+∞上单调递减,8且由()31.631.7,知,当31,32n n ==时,较大的q 值为最大值, 分别代入31n =和32n =计算,结果均约为522,故522max q ≈. 综上可知,一天内车流量q 的最大值为522.21.若对任意的1a b ≤<，()f x 在区间(],a b 上不存在最小值，且对任意正整数n ，当(),1x n n ∈+时有()()()()()()11f n f x f x f n f n f n −+−+=−+．（1）比较()f n 与()1f n +，*n N ∈的大小关系； （2）判断()f x 是否为[)1,+∞上的增函数，并说明理由； （3）证明：当1x ≥时，()()2f x f x >．（1）()f n <()1f n + （2）不是 （3）证明见解析（3）①首先证明对于任意*n N ∈,()()1.f n f n <+当()1x n,n ∈+时,由()()()()()()11f n f x f x f n f n f n −+−+=−+∣∣ 可知()f x 介于()f n 和()1f n +之间.若()()1,…f n f n +则()f x 在区间(]1n,n +上存在最小值()1f n +,矛盾. 利用归纳法和上面结论可得：对于任意*,k n N ∈,()(),.n k f n f k <<当时 ②其次证明当1…n 且x n >时,()()f x f n >;当2…n 且x n <时,()()…f x f n . 任取x n >,设正整数k 满足1剟n k x k <+,则()()()()1剟剟f n f k f x f k …+. 若存在01厖k x k n +>使得()()0…f x f n ,则()()()()00剟?f x f n f k f x , 即()()0f k f x =.由于当()1x k ,k ∈+时,()()…f k f x , 所以()f x 在区间(0k ,x 有最小值()0f x ,矛盾.9类似可证,当2…n 且x n <时,()()…f x f n .③最后证明:当1…x 时,()()2f x f x >.当1x =时,()()21f f >成立.当1x >时,由21x x x −=>可知,存在*n N ∈使得2x n x <<,所以()()()2…f x f n f x <.当()1x n,n ∈+时,有:()()()()()()11f n f x f x f n f n f n −+−+=−+∣∣ 若()()1f n f n =+,则()()()1,f x f n f n ==+所以()f x 在(]1n,n +上存在最小值,故不具有性质p ,故不成立.若()()1f n f n ≠+,则()(){}()()(){},11min f n f n f x max f n ,f n +<<+假设()()1f n f n +<,则()f x 在(]1n,n +上存在最小值,故不具有性质p ,故假设不成立. 所以当()1x n,n ∈+时,()()()1f n f x f n <<+对于任意*n N ∈都成立. 又()()1f n f n <+,故当()*m n m n N <∈、所以()()()()11,f m f m f n f n <+<…<−<即()()f m f n <.所以当x n <时,则存在正整数m 使得1剟m x m n −<,则()()()()1剟f m f x f m f n −< 所以当x n <时,()()f x f n <,同理可证得当x n >时,()()f x f n >.所以当1x >时,必然存在正整数n ,使得2x n x <<,所以()()()2f x f n f x <<; 当1x =时,()()21f f >显然成立; 所以综上所述:当1…x 时,()()2f x f x >.。

2016－２０17学年上海市徐汇区高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共１2小题，每小题3分，共20分).１．已知A={ｘ|x≤７},B={x｜x>2｝，则Ａ∩B＝．2.不等式的解集是.3．函数ｆ(ｘ)=的定义域是.4.若x>０,则函数f（x）=+ｘ的最小值为．5.若函数，,则ｆ(x）＋g（x）=．6.不等式|2x﹣1|<３的解集为．７.设ｆ(x）是R上的奇函数,当x≤0时，f(x)＝2x2﹣x,则f(1)= ．8.已知函数,则方程f﹣1(x）＝4的解x= ．9.若函数f(x)＝x2＋为偶函数，则实数a= ．１0.函数ｙ=的值域是.11．已知函数f(x）＝,且函数Ｆ(x）=f（x)+x﹣a有且仅有两个零点,则实数ａ的取值范围是．12.关于x的方程4ｘ﹣ｋ•2x+ｋ+３=0，只有一个实数解,则实数k的取值范围是.二、选择题:本大题共4小题,每小题4分,共３2分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的．13.“x+y=３”是“x=1且y=２”的（）A.充分不必要条件ﻩB.必要不充分条件C.充分必要条件ﻩD．既不充分也必要条件14．下列各对函数中，相同的是（)Ａ.ｆ(ｘ)=lgｘ2，ｇ（x）=2lｇxB.ｆ（x)=ｌｇ，g(x)＝lg（ｘ+1）﹣lg(x﹣1）C．f(ｕ）＝,ｇ（v)=D．ｆ(x)=ｘ,g(x)＝１5．设a,b是非零实数,若ａ＜b,则下列不等式成立的是( ）A．a２＜b2ﻩB.ab2<a2bﻩＣ． D.１6.若f(ｘ）是R上的奇函数,且f（x）在［0，+∞)上单调递增，则下列结论：①ｙ=|f(ｘ）|是偶函数；②对任意的ｘ∈R都有f（﹣ｘ)+｜ｆ(x）|=０；③ｙ＝ｆ（﹣x）在(﹣∞,0]上单调递增；④ｙ=ｆ(ｘ)f（﹣x)在（﹣∞，0]上单调递增.其中正确结论的个数为()A.1ﻩＢ.2ﻩC．3 D.4三、解答题：本大题共5小题,共４4分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程.1７．已知全集为R,集合A={x|≤0｝,集合Ｂ=｛ｘ||2x+１|＞3}．求A∩（∁R B)．1８．设函数ｆ(x)＝a﹣(a∈R).（１)请你确定a的值，使f(x）为奇函数;（2）用单调性定义证明，无论ａ为何值，f(x）为增函数．19．关于x的不等式＞１+(其中k∈R，k≠0）．（1）若x=３在上述不等式的解集中,试确定k的取值范围;(2）若k>１时,上述不等式的解集是x∈（３,+∞），求ｋ的值.２0．已知f(x）=()2（x＞1)（1）求f(x）的反函数及其定义域;（2）若不等式(1﹣）ｆ﹣１（ｘ）>a（a﹣）对区间x∈[,］恒成立，求实数ａ的取值范围．21.设a∈Ｒ,函数f(x)＝x|x﹣a|+2ｘ．(1）若a＝3,求函数ｆ(ｘ)在区间[0,4]上的最大值;(2)若存在a∈(2，４]，使得关于ｘ的方程f（x）＝t•ｆ（a）有三个不相等的实数解,求实数t的取值范围．2016-2０17学年上海市徐汇区高一（上)期末数学试卷参考答案与试题解+析一、填空题:本大题共１2小题,每小题3分,共20分)．1.已知A={x|x≤７}，B=｛x|x>2},则A∩B= {x|２<x≤7} ．【考点】交集及其运算.【分析】由Ａ与B，求出两集合的交集即可．【解答】解:∵A={x|ｘ≤7},B={x|x＞2}，∴A∩B={x｜2＜x≤7}，故答案为：{x｜２<x≤7｝２.不等式的解集是(﹣4，2）．【考点】其他不等式的解法.【分析】由不等式可得（x﹣2)（ｘ+４）<0，解此一元二次不等式求得原不等式的解集．【解答】解:由不等式可得<0，即(x﹣2)（x+４）<０，解得﹣4＜x<2，故不等式的解集为(﹣4,2）,故答案为（﹣4，2)．３．函数f（x）＝的定义域是{x｜x≥﹣２且x≠1} .【考点】函数的定义域及其求法.【分析】由题意即分母不为零、偶次根号下大于等于零,列出不等式组求解，最后要用集合或区间的形式表示．【解答】解:由题意，要使函数有意义，则，解得,ｘ≠1且x≥﹣2；故函数的定义域为:{x|x≥﹣2且x≠1}，故答案为：{x|x≥﹣2且x≠１｝．４．若x>０,则函数ｆ（ｘ)=+x的最小值为2．【考点】基本不等式．【分析】由x＞0,直接运用基本不等式，计算即可得到最小值.【解答】解：x＞0,则函数f（ｘ)=+x≥2=2,当且仅当x=时,f（ｘ)取得最小值2．故答案为:２．５．若函数,,则f(ｘ）＋g(x）=1（0≤x≤１) .【考点】函数解＋析式的求解及常用方法.【分析】容易求出f（x）,g（x)的定义域,求交集便可得出ｆ（x）+g(ｘ）的定义域，并可求得f（x)+g（x）=．【解答】解：;解得,０≤x≤1;∴(0≤x≤1)．故答案为:．6.不等式|2ｘ﹣1｜＜3的解集为{ｘ|﹣1＜ｘ＜2} .【考点】不等式;绝对值不等式．【分析】将2x﹣1看成整体,利用绝对值不等式将原不等式转化成整式不等式,最后利用不等式基本性质求解即可．【解答】解:∵｜2x﹣1|<3⇔﹣３<２x﹣１<３⇔﹣1＜ｘ<2，∴不等式|２x﹣1|<3的解集为{x|﹣1＜ｘ＜2}.故答案为:{x｜﹣１＜x＜2}．７.设ｆ(x)是R上的奇函数,当x≤0时，ｆ（x）＝2ｘ２﹣x,则ｆ（1）＝﹣3 ．【考点】函数的值.【分析】根据函数奇偶性的性质求f（﹣1）即可求出ｆ（1）的值．【解答】解：∵ｆ（x)是R上的奇函数,∴f（﹣1)＝﹣ｆ（1),∵当x≤0时，ｆ(x）＝２x2﹣x,∴f（﹣1）=２+1=3,∴ｆ(1）=﹣f(﹣１）=﹣３.故答案为:﹣3．８．已知函数，则方程f﹣1(ｘ）=4的解x= 1 ．【考点】反函数；对数的运算性质.【分析】根据互为反函数的两个函数间的关系知，欲求满足ｆ﹣1(x)=4的x值，即求f(4）的值．【解答】解:由题意得，即求ｆ(4）的值∵，,∴ｆ（４)＝ｌog3(1+2)=1，∴f(4)=1.即所求的解x=1．故答案为1.9.若函数f（x）=x2+为偶函数,则实数a= 1 .【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据偶函数的定义建立方程关系进行求解即可.【解答】解：∵函数f(x)=ｘ2+为偶函数，∴ｆ(﹣x)=ｆ（ｘ)，即x2﹣=x2＋,则=0,则ａ=1，故答案为：1１0．函数ｙ=的值域是（﹣１,）．【考点】函数的值域．【分析】分离常数后,根据指数函数的值域即可求函数y的范围．【解答】解:函数y＝＝＝﹣1．∵2x+3＞３,∴０<．∴函数y=的值域是（﹣１，)故答案为（﹣1，）1１．已知函数f（x）=，且函数F(x）＝f（ｘ)＋x﹣ａ有且仅有两个零点,则实数a的取值范围是a≤1.【考点】函数零点的判定定理.【分析】根据函数与方程的关系,将函数问题转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可.【解答】解:由F(x）＝f（ｘ）+x﹣a＝０得f（x）=﹣x+a,作出函数ｆ（x)和y=﹣x＋ａ的图象如图:当直线y=﹣x+ａ经过点A（0,１）时,两个函数有两个交点，此时1=﹣0＋a,即a=1,要使两个函数有两个交点,则a≤1即可，故实数ａ的取值范围是ａ≤１，故答案为：a≤112.关于ｘ的方程4x﹣ｋ•2x+k+3=0，只有一个实数解，则实数ｋ的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪{6}．【考点】函数的零点．【分析】首先换元，令t=2x,则关于t方程t2﹣kｔ+ｋ+3=0只有一个正根，根据根与系数的关系写出一元二次方程要满足的条件,得到结果．【解答】解：设t＝２x,ｔ＞0x的方程4x﹣ｋ•２ｘ+k+3=０转化为t2﹣kt＋ｋ+3＝0,设f(t)=t2﹣kｔ＋k+3，原方程只有一个根，则换元以后的方程有一个正根,∴ｆ(０）<0，或△=0，∴k<﹣3，或k=6故答案为(﹣∞，﹣3）∪{6}．二、选择题:本大题共４小题,每小题４分，共３2分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．１3．“ｘ+y=3”是“x＝1且y＝２”的( ）A.充分不必要条件ﻩＢ．必要不充分条件C.充分必要条件ﻩD.既不充分也必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当x=0，y=３时，满足x+y=3，但ｘ＝1且y=２不成立，即充分性不成立,若x=1且y=2，则x+ｙ＝３成立,即必要性成立，即“x＋ｙ=3”是“x＝１且y＝2”的必要不充分条件,故选:B1４．下列各对函数中,相同的是( ）A.f（ｘ)=lgx２,g（ｘ)=2lｇxB.f（x）=lg，g(x)=lg(ｘ+1）﹣lg(x﹣1）Ｃ．ｆ（u）=，g(v）=D．f（x）=x,g(x)=【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】对于A，通过定义域判断是不是相同的函数；对于B求出函数的定义域，即可判断是不是相同的函数;对于C:判断是否满足相同函数的要求即可;对于D:通过对应关系以及值域即可判断是不是相同的函数．【解答】解：对于A:f（x）=lgx2，ｇ（x）=2lｇx两个函数的定义域不同，不是相同的函数；对于B:f（ｘ)=ｌg，g（x）=ｌg(x+1)﹣lg(x﹣1)函数底的定义域不同，不是相同的函数；对于Ｃ：f（u)=,g（v）=,满足相同函数的要求，是相同的函数;对于D:f（x)=x,ｇ（x)=,定义域相同,都是对应关系以及值域不同,不是相同的函数．故选C．15.设a，b是非零实数，若a<b，则下列不等式成立的是( ）A.a2<b2B.ab2<a２bC.D．【考点】一元二次不等式的应用;不等关系与不等式．【分析】由不等式的相关性质,对四个选项逐一判断，由于a，b为非零实数，故可利用特例进行讨论得出正确选项【解答】解：A选项不正确,因为ａ＝﹣２，b=1时，不等式就不成立;Ｂ选项不正确,因为ａ＝1，b=2时,不等式就不成立；C选项正确,因为⇔a＜b,故当a<b时一定有；D选项不正确,因为ａ＝1,b＝2时,不等式就不成立；选项正确,因为y=2x是一个增函数，故当a>b时一定有2a＞2b，故选Ｃ.16．若f(x)是Ｒ上的奇函数,且f（ｘ）在［０,+∞）上单调递增,则下列结论:①y=|ｆ(x）|是偶函数；②对任意的ｘ∈R都有f（﹣ｘ)+｜f（x)｜＝0；③y＝f(﹣x)在(﹣∞,0]上单调递增；④y=f（ｘ）f(﹣x)在（﹣∞,0]上单调递增．其中正确结论的个数为(）A．1ﻩB.2ﻩC．３D.４【考点】命题的真假判断与应用.【分析】由ｆ（x）是Ｒ上的奇函数,且f（x)在［０,＋∞)上单调递增，知：y=|f(x)｜是偶函数；对任意的x∈Ｒ，不一定有f（﹣x)＋|ｆ（x)|=0;y=ｆ(﹣x)在(﹣∞，0]上单调递减；ｙ=f（ｘ）f(﹣x)=﹣[f(x)]２在（﹣∞,0］上单调递减.【解答】解：∵ｆ(ｘ)是R上的奇函数,且f(ｘ)在[0，+∞)上单调递增,∴y=|f（x)|是偶函数，故①正确；对任意的x∈R,不一定有ｆ（﹣x）+｜f（x）|=0，故②不正确；y=f(﹣ｘ)在（﹣∞,0]上单调递减，故③不正确；y=f(x)ｆ（﹣x）=﹣[f（x）]2在(﹣∞,0]上单调递增,故④正确.故选B．三、解答题：本大题共5小题，共44分.解答写出文字说明、证明过程或演算过程．１7.已知全集为R,集合A={x|≤0},集合Ｂ={x｜|２x＋1｜>3｝．求A∩(∁ＲB).【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合A、Ｂ,根据补集与交集的定义写出A∩（∁R B）即可．【解答】解:全集为R，集合A={x｜≤０｝={x｜﹣1＜x≤3｝,集合B=｛x||2x+１|＞３}={x|2x+1＞3或2x+１＜﹣３｝＝{x|x>1或ｘ＜﹣2}，所以∁R B=｛x｜﹣2≤x≤1｝,A∩(∁RＢ)={ｘ｜﹣1<ｘ≤1}.18.设函数f（x)=ａ﹣(a∈R)．（1)请你确定a的值,使f（x）为奇函数；(2）用单调性定义证明，无论a为何值,f(x)为增函数．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】(1)根据函数奇偶性的定义进行判断即可.（2)根函数单调性的定义进行证明即可．【解答】解:（1）∵函数f（x）是R上的奇函数,∴ｆ(0）=a﹣=０，∴a＝1；(2）证明：任取:x1＜x2∈R,）﹣f(x2)＝a﹣﹣a+=２•∴f(ｘ１∵x1<x２，∴,又>0,,∴ｆ(x1）﹣ｆ(x2)<0，即f(x1)＜f(x2),∴f(x)在Ｒ上的单调递增.１９．关于x的不等式＞1＋(其中k∈R，k≠0).（１)若x=3在上述不等式的解集中,试确定k的取值范围;（2)若k>1时,上述不等式的解集是x∈（3，＋∞），求k的值．【考点】其他不等式的解法．【分析】（１)若x＝3在上述不等式的解集中，即ｘ=3，求解关于k的不等式>1+即可.(2）根据不等式与方程的思想求解，移项通分,化简,利用x＝3求解k的值.【解答】解：（1)由题意:x=3时，不等式＞1+化简为，即,可得（5﹣ｋ）k>0,解得：0<ｋ＜5.∴当x=3在上述不等式的解集中,k的取值范围是（０,５）（2）不等式＞1+化简可得（其中k∈R，k≠０）．∵ｋ＞1,可得:⇔kx+2ｋ＞ｋ2+x﹣3不等式的解集是x∈（3,+∞)，∴ｘ＝3是方程ｋｘ＋2k=k２+x﹣３的解.即3k+２k=k2,∵k≠0，∴k=5.故得若k＞１时,不等式的解集是x∈（３，+∞）时ｋ的值为5.20.已知f(x）＝(）2（ｘ>１）(1）求ｆ（ｘ）的反函数及其定义域;(2)若不等式(１﹣)f﹣1(x）>a（a﹣)对区间x∈［，]恒成立,求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；反函数．【分析】(１）求出ｆ（ｘ）的值域,即f﹣1(x）的定义域,令y=()２,解得ｘ=,可得f﹣１（x).（２）不等式(1﹣)f﹣1（x)＞ａ(a﹣)在区间ｘ∈［,]恒成立⇔在区间x∈[，]恒成立,对区间x∈[，]恒成立.【解答】解;（１)∵ｘ＞１,∴0<ｆ(x）<1．令y=（)2(x＞1）,解得ｘ＝,∴f﹣1（x)＝（0＜x<１）；(2）∵ｆ﹣1（x)=(0<x＜1),∴不等式(1﹣)f﹣1（x）＞a(a﹣)在区间ｘ∈[，］恒成立⇔在区间x∈［,]恒成立,对区间ｘ∈[，]恒成立．当a=﹣1时,不成立，当ａ>﹣１时，a<在区间ｘ∈[，]恒成立，a<（)min，﹣1<a<.当a<﹣1时，a>在区间ｘ∈[,]恒成立,a＞（)max,ａ无解．综上:实数a的取值范围:﹣１＜a＜.21．设ａ∈R,函数f（x)=ｘ|x﹣a｜+２x．(1)若a＝3,求函数ｆ（x）在区间[0，4]上的最大值；（2）若存在a∈(2，4]，使得关于x的方程f（x）=ｔ•f(ａ）有三个不相等的实数解，求实数t的取值范围．【考点】分段函数的应用;根的存在性及根的个数判断．【分析】(１）求出f(x)的分段函数式,运用二次函数的性质，可得单调区间，求得最大值;（2）将x分区间进行讨论,去绝对值写出解+析式,求出单调区间,将ａ分区间讨论，求出单调区间解出即可．【解答】解：（1）当a=3，x∈[０,4]时,ｆ（x)=x|x﹣3|+2ｘ=，可知函数f(ｘ）在区间[０，]递增,在（，3]上是减函数，在[3,4］递增，则f()＝，ｆ(４)=12,所以f(x）在区间[0,4]上的最大值为f（4)＝1２.（2）f（ｘ)=，①当x≥a时，因为a＞2,所以＜a．所以f（x）在[a，＋∞)上单调递增.②当ｘ＜ａ时，因为ａ＞2，所以＜a.所以f（x）在(﹣∞,）上单调递增，在[,a]上单调递减.当２＜ａ≤4时,知f(ｘ）在(﹣∞，]和[ａ,+∞)上分别是增函数,在[，a]上是减函数,当且仅当2ａ<ｔ•f(a)＜时，方程f(ｘ)＝ｔ•ｆ(a）有三个不相等的实数解.即1<t<=(a++４).令ｇ(a)=ａ+，g(ａ)在ａ∈（2,4]时是增函数，=5.故g（a)maｘ∴实数t的取值范围是(1,).2017年2月1３日。

上海市徐汇区2023-2024学年高一上册期末数学学情检测模拟试题一、填空题1．已知{0,1,2,3,4}A =，{|2,N}B x x x =≤∈，则A B = _______.【正确答案】{}0,1,2【分析】求出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B ⋂.【详解】因为集合{}0,1,2,3,4A =，{}{|2,N}0,1,2B x x x =≤∈=，因此，{}0,1,2A B = .故答案为.{}0,1,22．“0x ≠且1x ≠”的否定形式为________.【正确答案】0x =或1x =【分析】根据原命题的否定的定义可直接写出结论.【详解】原命题的否定形式为：0x =或1x =，故0x =或1x =.3．若实数a 、b 、x 满足21a x =+，b x =，则a 与b 的大小关系是a ______b .【正确答案】＞【分析】一般利用作差比较法解答.【详解】由题得22131()024a b x x x -=+-=-+>，所以a ＞b.故答案为＞本题主要考查作差法比较大小，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.4．已知21log 3a =，则3a =____.【正确答案】2利用对数与指数的互化以及指数的运算性质可求得3a 的值.【详解】21log 3a = ，132a ∴=，因此，313322a ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故答案为.25．函数1()3(01)x f x a a a +=->≠,的图象恒过定点________.【正确答案】()1,2--【分析】根据x y a =过定点(0,1)可得函数()13x f x a +=-的图象必过定点()1,2--.【详解】因为1()3x f x a +=-，(0,1)a a >≠，所以，当=1x -时，总有11(1)3132f a -+-=-=-=-，∴()f x 必过点()1,2--，故()1,2--．6．已知2x >，则22x x +-的最小值是___________.【正确答案】2+22##22+2【分析】首先利用配凑法，将原式配成积为定值的形式，再结合基本不等式以及x 的范围，即可求解.【详解】由2x >，知2x ->0则()22222222x x x x +=-++≥+=+--当且仅当222x x -=-时，即2x =，等号成立.故2+7．若幂函数()211m y m m x -=--在(0,)+∞上严格减，则m =________.【正确答案】1-【分析】根据幂函数得到211m m --=，解方程再验证单调性得到答案.【详解】由()211m y m m x -=--是幂函数，则211m m --=，解得2m =或1m =-.当2m =时，y x =，函数在(0,)+∞上严格增，不满足；当1m =-时，2y x -=，函数在(0,)+∞上严格减，满足；综上所述：1m =-故1-8．已知2()1(1)f x x x =->，则1(3)f -=________.【正确答案】2【分析】欲求1(3)f -的值，根据反函数的概念，只要求出使()3f x =成立的x 的值即可．【详解】令()3f x =得：213x -=(1)x >⇒2x =，∴1(3)2f -=．故2．9．关于x 的不等式24824xx x -+>的解集为_______.【正确答案】()(),24,-∞⋃+∞【分析】构造函数()2xf x =，根据其单调性解不等式即可.【详解】224848224,22,xx x xx x -+-+>∴>函数()2xf x =，()f x 单调递增，2482,x x x ∴-+>解之：()(),24,.x ∈-∞⋃+∞故()(),24,-∞⋃+∞10．已知函数()211,124,1a x x y x x x ⎧++<=⎨-+-≥⎩在R 上为严格减函数，则实数a 的取值范围为_______.【正确答案】[)5,1--【分析】根据分段函数的单调性得到1011124a a +<⎧⎨++≥-+-⎩，解得答案.【详解】函数()211,124,1a x x y x x x ⎧++<=⎨-+-≥⎩在R 上为严格减函数，则1011124a a +<⎧⎨++≥-+-⎩，解得51a -≤<-.故[)5,1--11．设()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()1f x x ax =-+.若函数()y f x =的值域为R ，则实数a 的取值范围是__________.【正确答案】[2,)+∞【分析】由于函数是R 上的奇函数，所以要使函数的值域为R ，只要当0x >时，2()1f x x ax =-+的函数能取到所有正数即可，从而可求出实数a 的取值范围【详解】因为函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()1f x x ax =-+，所以要使()y f x =的值域为R ，则当0x >时，()f x 能取到所有正数即可,所以202Δ40aa ⎧>⎪⎨⎪=-≥⎩，解得2a ≥，又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在(,0)-∞上可以取到所有的负实数，又(0)0f =,故函数()y f x =的值域为R ，所以实数a 的取值范围是[2,)+∞，故[2,)+∞12．已知函数()y f x =和函数()y g x =的图象关于y 轴对称，当函数()y f x =和函数()y g x =在区间[,]a b 上同时递增或者同时递减时，把区间[,]a b 叫做函数的“不动区间”，若区间[1,3]为函数()3x f x k =-的“不动区间”，则实数k 的取值范围是_______.【正确答案】133⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【分析】由题意知，函数()3xf x k =-和函数()3xg x k -=-在[1,3]上单调性相同，由3x y k =-和3x y k -=-单调性相反，可得()()330x xk k --≤-在[1,3]上恒成立，进而求出k 的取值范围．【详解】因为函数()y f x =与()y g x =的图象关于y 轴对称，所以()()3xg x f x k -=-=-,因为[1,3]为函数()3xf x k =-的“不动区间”，所以函数()3xf x k =-和函数()3xg x k -=-在区间[1,3]上的单调性相同,又因为3x y k =-和3x y k -=-的单调性相反，所以()()330x xk k --≤-在[1,3]上恒成立，而在[1,3]x ∈时，113[3,27],3[,]273x x-∈∈，所以33x x k -≤≤在[1,3]上恒成立，所以133k ≤≤，故答案为.133⎡⎤⎢⎥⎣⎦已知函数单调性求参数的范围的常用方法，(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解．二、单选题13．已知实数a b >，下列结论一定正确的是（）A ．22a b>B ．22a b >C ．1ab<D ．11a b<【正确答案】A【分析】根据指数函数的单调性、特殊值、差比较法确定正确答案.【详解】依题意a b >，A 选项，2x y =在R 上递增，所以22a b >，所以A 选项正确.B 选项，1,1a b ==-，满足a b >，但221a b ==，所以B 选项错误.C 选项，1a a b b b--=，其中0a b ->，但b 的符号无法确定，所以C 选项错误.D 选项，1,1a b ==-，满足a b >，但11a b>，所以D 选项错误.故选：A14．下列函数中，值域为(0,)+∞的函数是（）A ．12y x=B ．y =C ．|1|2x y =-D ．2y x -=【正确答案】D【分析】先求解四个选项对应函数的定义域，再根据定义域求解值域，即可.【详解】对于A ，因为函数12y x =的定义域为[)0,∞+，值域为[)0,∞+，不是()0,∞+所以选项A 不符合题意；对于B ，因为函数y ={1x x ≤-或}1x ≥所以值域为[)0,∞+，不是()0,∞+，选项B 不符合题意.对于C ，因为函数|1|2x y =-的定义域为R ，则120,12>->-x x ，所以,1|2|0=-≥x y 则值域为[)0,∞+，不是()0,∞+，所以选项C 不符合题意；对于D ，因为函数2y x -=的定义域为{}0x x ≠关于原点对称，且()22x x ---=，所以函数2y x -=为偶函数，当0x >时，()2210,-==+∞y x x ，单调递减，当0x <时，()2210,-==+∞y x x ，单调递增，即函数2y x -=值域为()0,∞+，所以选项D 符合题意.故选：D15．函数()3f x x =+-的零点所在区间是（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【正确答案】B【分析】根据函数的单调性以及零点存在性定理求得正确答案.【详解】()f x 在[)0,∞+上单调递增，()()110,210f f =-<->，所以()f x 的零点在区间()1,2.故选：B16．设函数()f x 是R 上的奇函数，当0x <时，()27f x x x =--，则不等式()(1)0f x f x --<的解集为（）A ．(2,4)-B ．(3,4)-C ．(2,3)-D ．()3,3-【正确答案】B【分析】根据题意，结合函数的奇偶性分析可得函数的解析式，结合不等式和二次函数的性质以及函数图象的递减区间，分析可得答案.【详解】根据题意，设0x >，则0x -<，所以2()7f x x x -=-+，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以2()7()f x x x f x -=-+=-，所以2()7f x x x =-，即0x ≥时，2()7f x x x =-，此时函数在7[0,2上单调递减，在7(,)2+∞单调递增；当0x <时，2()7f x x x =--，此时函数在7(,)2-∞-上单调递增，在7(,0)2-单调递减；所以函数()f x 在77(,)22-上单调递减，若()(1)0f x f x --<，即(1)()f x f x ->，又由1x x -<，且(3)(4),(3)(4)f f f f -=-=，必有144x x ->-⎧⎨<⎩时，()(1)0f x f x --<，解得：34x -<<，所以不等式()(1)0f x f x --<的解集为(3,4)-.故选.B方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，奇偶性和单调性的作用如下：（1）奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数的对称性确定对称区间的单调性；（2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系.三、解答题17．已知函数2lg 1x y x -=+的定义域为P ，不等式|1|2x +≤的解集为Q .(1)求集合P 、Q ；(2)已知全集U =R ，求P Q .【正确答案】(1){|1P x x =<-或}2x >，{}|31Q x x =-≤≤(2){}|11P Q x x ⋂=-≤≤【分析】（1）根据函数的定义域的求法、不等式的解法求得,P Q .（2）根据补集和交集的知识求得P Q .【详解】（1）由201x x ->+解得1x <-或2x >，所以{|1P x x =<-或}2x >，1221231x x x +≤⇔-≤+≤⇔-≤≤，所以{}|31Q x x =-≤≤.（2）由（1）得{}|12P x x =-≤≤，所以{}|11P Q x x ⋂=-≤≤.18．已知函数()[]221,2,5f x x tx x =-+∈严格单调，且()f x 的最大值为8，求实数t 的值.【正确答案】95【分析】先求出二次函数的对称轴，再分2t <，722t ≤≤，752t <<和5t ≥四种情况，进行分类讨论，根据最大值列出方程，求出实数t 的值.【详解】()()[]222211,2,5f x x tx x t t x =-+=-+-∈，对称轴为x t =，开口向上，当2t <时，()221f x x tx =-+在[]2,5x ∈上单调递增，故当5x =时，()f x 取得最大值，()5251018f t =-+=，解得：95t =，满足2t <，当722t ≤≤时，()221f x x tx =-+在[]2,x t ∈上单调递减，在(],5x t ∈上单调递增，且()()25f f ≤，所以当5x =时，()f x 取得最大值，由()5251018f t =-+=，解得：95t =，与722t ≤≤矛盾，舍去；当752t <<时，()221f x x tx =-+在[]2,x t ∈上单调递减，在(],5x t ∈上单调递增，且()()52f f <，所以当2x =时，()f x 取得最大值，由()24418f t =-+=，解得：34t =-，与752t <<矛盾，舍去；当5t ≥时，()221f x x tx =-+在[]2,5x ∈上单调递减，故当2x =时，()f x 取得最大值，()24418f t =-+=，解得：34t =-，与5t ≥矛盾，舍去；综上.95t =19．已知函数16()1x f x a a+=-+是定义在R 上的奇函数.(1)求实数a 的值；(2)求函数()f x 的值域.【正确答案】(1)3(2)(1,1)-【分析】(1)根据奇函数的定义即可求解；(2)结合（1）的结论和指数函数的值域即可求解.【详解】（1）因为函数16()1x f x a a+=-+是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，即610a a-=+，解得：3a =，此时162()113331x x f x +=-=-++，故对于任意的x ∈R ，有22223()()22031313131x x x x x f x f x -⨯+-=--=--=++++，即函数()f x 是R 上的奇函数，所以实数a 的值为3.（2）由（1）可知：162()113331x x f x +=-=-++，因为30x >，所以131x <+，则20231x<<+，22031x-<-<+，所以211131x-<-<+，故函数()f x 的值域为(1,1)-.20．设a ∈R ，函数()||2f x x x a x =⋅-+．(1)若2a =，求函数()f x 在区间[0,3]上的最大值；(2)若4a =，写出函数()f x 的单调区间（不必证明）；(3)若存在(2,4]a ∈，使得关于x 的方程()()f x t f a =⋅有三个不相等的实数解，求实数t 的取值范围．【正确答案】(1)9(2)单调递增区间为(],3∞-和[4,)+∞，单调递减区间为[]3,4(3)91,8t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【分析】（1）当2a =时，()|2|2f x x x x =-+，结合去绝对值求每段区间上的最值即可；（2）采用去绝对值解法，写出分段函数，画出函数大致图象，判断函数增减区间即可；（3）22(2),()(2),x a x x a f x x a x x a ⎧+-≥=⎨-++<⎩，分析二次函数的对称轴与a 的大小关系，确定()f x 的单调性，画出函数图象，数形结合得出关于参数t 的不等式求解即可.【详解】（1）当2a =，[]0,3x ∈时，22,23()224,02x x f x x x x x x x ⎧≤≤=-+=⎨-+≤<⎩，当[0,2)x ∈时，函数24y x x =-+为增函数，()[0,4)f x ∈；当[]2,3x ∈时，函数2y x =为增函数，()[]4,9f x ∈；所以函数()f x 在区间[0,3]上的最大值为9.（2）当4a =时，222,4()6,4x x x f x x x x ⎧-≥=⎨-+<⎩，当4x ≥时，函数22y x x =-对称轴为1x =，所以当4x ≥时，()f x 单调递增；当4x <时，函数26y x x =-+对称轴为3x =，当(,3]x ∈-∞时，函数单调递增，当[]3,4x ∈时，函数单调递减，综上所述，当(,3]x ∈-∞和[4,)+∞时，函数()f x 单调递增，当[]3,4x ∈时，函数()f x 单调递减；（3）当(2,4]a ∈时，22(2),()(2),x a x x af x x a x x a⎧+-≥=⎨-++<⎩函数2(2)y x a x =+-的对称轴22a x a -=<，所以函数()f x 在x a ≥时单调递增，函数2(2)y x a x =-++的对称轴22a x a +=<，则()f x 在2,2a x +⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递增，()f x 在2,2a x a +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减，函数图象如图所示:要使()()f x t f a =⋅有三个不相等的实数根，即()t f a ⋅应介于如图所示两虚线12,l l 范围之间，而()2f a a =，()()22222222224a a a a f a ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2(2)2()4a a t f a +<⋅<，化简得2(2)11488a t a a a +4⎛⎫<<=+ ⎪⎝⎭，即存在(2,4]a ∈，使得上式成立.只需max 14148t a a ⎡⎤⎛⎫<<++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.令()44g x x x=++，设2142x x ≥>>，则()()()122121212112444x x g x g x x x x x x x x x ⎛⎫--=+--=- ⎪⎝⎭，由2142x x ≥>>得210x x ->，124x x >，故()()210g x g x ->，所以()()21g x g x >，所以()g x 在(2,4]x ∈为增函数，所以当(2,4]a ∈时，max444149a a ⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭，故max 149488a a ⎡⎤⎛⎫++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故91,8t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭21．如果存在非零常数c ，对函数()y f x =定义域内的任意x ，都有()()f x c f x +>成立，则称函数()y f x =为“Z 函数”.(1)判断[)2,1,y x x =∈-+∞和||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭是否为“Z 函数”，并说明理由；(2)证明：定义域为R 的严格单调函数一定是“Z 函数”；(3)高斯函数是[]y x =为“Z 函数”，求正实数c 的最小值，并证明.（[]x 表示不超过x 的最大整数）【正确答案】(1)[)2,1,y x x =∈-+∞是“Z 函数”；||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭不是“Z 函数”，理由见解析(2)证明见解析(3)1，证明见解析【分析】（1）根据“Z 函数”的定义得到220xc c +>恒成立，考虑0c >和0c <两种情况，得到结果；220xc c +<，不等式不恒成立，得到答案.（2）考虑函数为增函数和减函数两种情况，根据“Z 函数”定义得到证明.（3）首先举反例排除01c <<的情况，再证明1c =时，函数是“Z 函数”，得到最小值.【详解】（1）假设[)2,1,y x x =∈-+∞是“Z 函数”，则()()f x c f x +>，即()22x c x +>，即220xc c +>恒成立，当0c >时，20x c +>，2c x >-，22x -≤，故2>c ，当0c <时，20x c +<，2c x <-，不恒成立，排除.综上所述：存在2>c 使()()f x c f x +>恒成立，故[)2,1,y x x =∈-+∞是“Z 函数”；假设||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭是“Z 函数”，则()()f x c f x +>，即||||1122x c x +⎛⎫⎛⎫⎝>⎪⎪⎝⎭⎭，即x c x +<，即220xc c +<，不等式不恒成立，故||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭不是“Z 函数”，（2）若()f x 是单调增函数，当0c >时，都有()()f x c f x +>，故函数为“Z 函数”；若()f x 是单调减函数，当0c <时，都有()()f x c f x +>，故函数为“Z 函数”；综上所述：定义域为R 的严格单调函数一定是“Z 函数”；（3）高斯函数[]y x =为“Z 函数”，则[][]x c x +>，当01c <<时，取0x =，则[][]0x c c +==，[][]00x ==，不成立，故1c ≥，现证明1c =时成立：设[]x m =，m ∈Z ，则1m x m ≤<+，112m x m +≤+<+，故[]11x m +=+，即[][]1x x +>恒成立，故函数是“Z 函数”，即正实数c 的最小值为1上海市徐汇区2023-2024学年高一上册期末数学学情检测模拟试题一、填空题1．若扇形的弧长为2π，半径为2，则该扇形的面积是__________【正确答案】2π【分析】根据扇形面积公式求得正确答案.【详解】依题意，扇形的面积为12π22π2⨯⨯=.故2π2．已知一元二次方程20(0)x ax a a --=>的两个实根为12x x 、，则1211x x +=____【正确答案】1-【分析】先利用韦达定理得到1212,x x x x +，再由12121211x xx x x x ++=代入即可求解.【详解】因为一元二次方程20(0)x ax a a --=>的两个实根为12x x 、，所以1212,x x a x x a +==-.故121212111x x a x x x x a++===--故1-3．函数22log 1x y x +=-的定义域是__________.【正确答案】(,2)(1,)-∞-+∞ 【分析】先利用对数式中真数为正得到201x x +>-，再将分式不等式化为一元二次不等式进行求解.【详解】要使22log 1x y x +=-有意义，须201x x +>-，即(2)(1)0x x +->，解得1x >或<2x -，即函数22log 1x y x +=-的定义域是(,2)(1,)-∞-+∞ .故答案为.(,2)(1,)-∞-+∞ 4．已知cos160m = ，则tan20= __________【正确答案】m【分析】根据诱导公式及同角三角函数的基本关系求得sin20 的值，进而求得cos20 的值.【详解】因为cos160m = ，所以cos20cos160m =-=- ，所以sin 20===所以sin 20tan 20cos 20===故m-5．定义{A B xx A -=∈∣且}x B ∉，若{}{}1,3,5,7,9,2,3,5A B ==，则()()A B B A -⋃-=______【正确答案】{}1,2,7,9【分析】根据题目定义，分别求得{}1,7,9A B -=和{}2B A -=，再利用并集运算即可得出结果.【详解】根据集合{A B xx A -=∈∣且}x B ∉的定义可知，当{}{}1,3,5,7,9,2,3,5A B ==时，可得{}1,7,9A B -=，{}2B A -=；所以()(){}1,2,7,9A B B A -⋃-=故{}1,2,7,96．将函数2x y =的图象向左平移__________个单位可得到函数32x y =⋅的图象.【正确答案】2log 3【分析】根据指数对数的运算知22log 3log 322232x x x y +=⋅==⋅，即可求解.【详解】因为22log 3log 322232x x x y +=⋅==⋅，所以将函数2x y =的图象向左平移2log 3个单位可得函数32x y =⋅的图象.故2log 37．当lg lg a b =，()a b ≠时，则13a b+的最小值是__________．【正确答案】【分析】由lg lg a b =且a b ¹，得出1ab =，用均值不等式即可得出答案．【详解】lg lg a b = ，且a b ¹，而函数lg y x =在()0,+∞上单调递增，lg lg lg 0ab a b ∴=+=，即1ab =，且0a >，0b >，13a b ∴+≥=当且仅当13a b =，即b =，a =故8．已知关于x 的方程265x x a -+=有四个不相等的实数根，则a 的取值范围___________.【正确答案】(0,4).【分析】由题知转化为函数265y x x =-+与y a =有4个不同的交点，画出函数265y x x =-+的图像即可求出a 的取值范围.【详解】方程265x x a -+=有四个不相等的实数根，等价于函数265y x x =-+与y a =有4个不同的交点.由函数265y x x =-+的图像知：a 的取值范围为.04a <<故(0,4)本题主要考查方程的根的问题，转化为函数的交点问题为解题的关键，属于中档题.9．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数1,()0,x y D x x ⎧==⎨⎩为有理数为无理数，该函数被称为狄利克雷函数．若存在三个点11(,())A x D x 、22(,())B x D x 、33(,())C x D x ，使得ABC 为等边三角形，则123()()()D x D x D x ++=________．【正确答案】1【分析】由狄利克雷函数分析得出ABC 的位置有两种情况，逐一分析即可得出答案．【详解】 1,()0,x y D x x ⎧==⎨⎩为有理数为无理数，∴()0D x =或1，存在三个点11(,())A x D x 、22(,())B x D x 、33(,())C x D x ，使得ABC 为等边三角形，∴123(),(),()D x D x D x 不同时为0或1，不妨设123x x x <<，分析得ABC 的位置有两种情况，第一种情况：当1x 为有理数时，即1()1D x =，如图，过点B 作BD AC ⊥，垂足为D ，得1BD =，AD =AB AC BC ===可知，2113x x AD x =+=+为无理数，31x x =即2()0D x =，3()0D x =，与图形不一致，舍去；第二种情况：当1x 为无理数时，即1()0D x =，如图，过点B 作BD AC ⊥，垂足为D ，得1BD =，AD =3AB AC BC ===，可知，211x x AD x =+=+31x x =存在1x =210Q x x =+∈，且31x x =即2()1D x =，3()0D x =与图形一致，符合题意，此时，123()()()0101D x D x D x ++=++=，故1．10．已知函数()1ln xf x x+=在(]0,1是严格增函数，在[)1,+∞上为严格减函数，若对任意()0,x ∞∈+，都有e x x k ≤，则k 的取值范围是_________【正确答案】1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【分析】根据函数的单调性求出函数最大值可求出ln x x -的最大值，对e x x k ≤两边取自然对数，分离ln k ，利用不等式恒成立求解即可.【详解】因为()1ln xf x x+=在(]0,1是严格增函数，在[)1,+∞上为严格减函数，所以1ln ()(1)1xf x f x+=≤=.由0x >，可得ln 1x x -≤-，又()0,x ∞∈+时，由e x x k ≤可得ln ln(e )ln x x k k x ≤=+，即ln ln x x k -≤恒成立，所以ln 1k ≥-，即1ek ≥.故1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭二、单选题11．若α为第三象限角，则（）A ．cos 20α>B ．cos20α<C ．sin 20α>D ．sin 20α<【正确答案】C利用α为第三象限角，求2α所在象限，再判断每个选项的正误.【详解】因为α为第三象限角，所以3222k k πππαπ+<<+()k Z ∈，可得24234k k ππαππ+<<+()k Z ∈，所以2α是第第一，二象限角，所以sin 20α>，cos 2α不确定，故选：C本题主要考查了求角所在的象限以及三角函数在各个象限的符号，属于基础题.12．已知定义域为R 的函数()y f x =满足：①对任意,R x y ∈，()()()f x y f x f y +=⋅恒成立；②若x y ≠则()()f x f y ≠.以下选项表述不正确．．．的是（）A ．()y f x =在R 上是严格增函数B ．若(3)10f =，则(6)100f =C ．若(6)100f =，则1(3)10f -=D ．函数()()()F x f x f x =+-的最小值为2【正确答案】A【分析】根据给定条件，探讨函数()f x 的性质，再举例判断A ；取值计算判断B ，C ；借助均值不等式求解判断D 作答.【详解】任意,R x y ∈，()()()f x y f x f y +=⋅恒成立，R a ∈且0a ≠，假设()0f a =，则有(2)()()()0()f a f a a f a f a f a =+=⋅==，显然2a a ≠，与“若x y ≠则()()f x f y ≠”矛盾，假设是错的，因此当R a ∈且0a ≠时，()0f a ≠，取0,0x a y =≠=，有()()(0)f a f a f =⋅，则(0)1f =，于是得R x ∀∈，()0f x ≠，R x ∀∈，2()()[(0222x x x f x f f =+=>，()()(0)1f x f x f ⋅-==，对于A ，函数1()(2xf x =，,x y ∀∈R ，111()()((()()222x y x y f x y f x f y ++==⋅=⋅，并且当x y ≠时，()()f x f y ≠，即函数1()()2xf x =满足给定条件，而此函数在R 上是严格减函数，A 不正确；对于B ，(3)10f =，则(6)(3)(3)100f f f =⋅=，B 正确；对于C ，(6)100f =，则(3)(3)100f f ⋅=，而(3)0f >，有(3)10f =，又(3)(3)1f f ×-=，因此1(3)10f -=，C 正确；对于D ，()()1f x f x ⋅-=，()0f x >，则有()()()1F x f x f x =+-匙=，当且仅当()()1f x f x =-=，即0x =时取等号，所以函数()()()F x f x f x =+-的最小值为2，D 正确.故选：A关键点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值即可.13．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠病毒感染累计人数()I t （t 的单位:天）的Logistic 模型:()()0.23531e t K I t --=+其中K 为最大病毒感染数.当()0.95I t K ≥时，标志着该地区居民工作生活进入稳定窗口期.在某地区若以2022年12月15日为1t =天，以Logistic 模型为判断依据，以下表述符合预期的选项是（）A ．该地区预计2023年元旦期间进入稳定窗口期;B ．该地区预计2023年1月底进入稳定窗口期;C ．该地区预计2023年2月中下旬进入稳定窗口期;D ．该地区预计2023年某时刻不起再有新冠病毒感染者.【正确答案】C【分析】根据条件列不等式，解指数型不等式即可.【详解】由题意知，0.23(53)0.951et K K --≥+，即：0.23(53)201e19t --+≤，所以ln19353535313660.230.23t ≥+≈+≈+=，因为以2022年12月15日为1t =天，所以66t ≥天，即预计2023年2月18日后该地区进入稳定窗口期，即该地区预计2023年2月中下旬进入稳定窗口期.故选：C.14．已知函数()()23log 2f x mx x m =-+，定义域为A ，值域为B .则以下选项正确的是（）A ．存在实数m 使得R AB ==B ．存在实数m 使得R A B =⊆C ．对任意实数10,m A B -<<⋂≠∅D ．对任意实数0,m A B >⋂≠∅【正确答案】D【分析】设22y mx x m =-+，考虑1m >，1m =，01m <<，0m =，10m -<<，1m ≤-几种情况，分别计算集合A 和B ，再对比选项得到答案..【详解】设22y mx x m =-+，当2440m ∆=->，即11m -<<时，设对应方程的两根为1x ，2x ，不妨取12x x <，当1m >时，2440m ∆=-<，R A =，R B ≠且B ≠∅；当1m =时，()(),11,A =-∞+∞ ，R B =；当01m <<时，2440m ∆=->，()()12,,A x x =-∞+∞ ，R B =；当0m =时，(),0A =-∞，R B =；当10m -<<时，2440m ∆=->，()12,A x x =，max 1y m m =-，故31,log B m m ⎛⎤⎛⎫=-∞- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦；当1m ≤-时，函数无意义.对选项A ：根据以上情况知不存在R A B ==的情况，错误；对选项B ：根据以上情况知不存在R A B =⊆的情况，错误；对选项C ：假设任意实数10m -<<，A B ⋂≠∅，取119m m -=，解得m =(],2B =-∞-，对于220mx x m -+=，有122x m=，此时应满足12x =<-，解得405m -<<，易得118m -=不在此范围内，假设不成立，此时A B ⋂=∅，错误；对选项D ：根据以上情况知对任意实数0,m A B >⋂≠∅，正确；故选：D关键点睛：本题考查了对数型复合函数的定义域和值域，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，根据二次函数的开口方向和∆的正负讨论a 的范围，进而计算集合A 和B 是解题的关键，分类讨论的方法是常考方法，需要熟练掌握.三、解答题15．如图所示：角α为锐角，设角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点2,cos 3P α=，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转π2后与单位圆交于点()11,Q x y .(1)求tan α的值;(2)求1y 的值.【正确答案】(2)23【分析】（1）确定sin 0α>，计算sin α=，根据sin tan cos ααα=得到答案.（2）设终边OQ 对应的角度为β，则π2βα=+，1cos y α=，计算得到答案.【详解】（1）角α为锐角，sin 0α>，2cos 3α=，则sin α===sin tan cos 2ααα==.（2）设终边OQ 对应的角度为β，π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π2βα=+，1π2sin sin cos 23y βαα⎛⎫==+==⎪⎝⎭16．集合S ={()()(),0,f x f x x y x∈+∞=∣为严格增函数}.()()2121(0),(0)f x x x f x x x =+>=>(1)直接写出()()12,f x f x 是否属于集合;S (2)若()m x S ∈.解不等式：()()223223ee e e xxxx m m -+⋅<⋅(3)()()()()120H x af x bf x ab =+≠证明：“()H x S ∈”的充要条件是“0,0b a ><”【正确答案】(1)()1f x 不属于集合S ，()2f x 属于集合S (2)()3,1-(3)证明见解析【分析】（1）根据定义直接判断即可；（2）由()m x S ∈，可得函数()m x y x=为增函数，不等式()()223223ee e e xxxx m m -+⋅<⋅，即为不等式()()222332e e e e x xxxm m ++<，再根据函数的单调性解不等式即可；（3）()H x S ∈，即函数()H x y x=在定义域内为增函数，根据函数的单调性结合充分条件和必要条件的定义证明即可.【详解】（1）因为()()1110f x y x xx==+>在定义域内为减函数，所以()1f x 不属于集合S ，因为()()20f x y x x x==>在定义域内为增函数，所以()2f x 属于集合S ；（2）不等式()()223223e e e e x xx x m m -+⋅<⋅，即为不等式()()222332e e e e xx x x m m ++<，因为()m x S ∈，所以函数()m x y x =为增函数，所以223e e x x +<，所以223x x +<，解得31x -<<，所以不等式()()223223e e e e x x x x m m -+⋅<⋅的解集为()3,1-；（3）()()()()2120H x af x bf x bx ax a ab =+=++≠，则()()0H x a bx a x x x=++>，令()()0a g x bx a x x =++>，当()H x S ∈，则()()0a g x bx a x x=++>在()0,∞+上递增，令120x x <<，则()()210g x g x -≥对任意的12,x x 恒成立，()()2121212112a x x a a bx a bx a b x x x x x x -⎛⎫++-++=-- ⎪⎝⎭()()2112120x x bx x a x x --=≥恒成立，即120bx x a -≥恒成立，因为0ab ≠，所以0,0a b ≠≠，当0b >时，12a x x b≥恒成立，因为120x x >，所以0a b ≤，又0,0b a >≠，所以a<0，当0b <时，12a x x b≤恒成立，因为120x x >没有最大值，所以12a x x b ≤不恒成立，与题意矛盾，综上所述，当()()0a g x bx a x x =++>在()0,∞+上递增时，0,0b a ><，当0,0b a ><时，则函数,a y bx y a x==+在()0,∞+上都是增函数，所以函数()()0a g x bx a x x =++>在()0,∞+上是增函数，综上所述，“()H x S ∈”的充要条件是“0,0b a ><”.关键点点睛：解决本题的关键在于把握新定义的含义，以及函数单调性的判定及利用函数的单调性解不等式.。

上海市徐汇区高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共12小题，每小题3分，共20分）.1．（3分）已知A={|≤7}，B={|＞2}，则A∩B=．2．（3分）不等式的解集是．3．（3分）函数f（）=的定义域是．4．（3分）若＞0，则函数f（）=+的最小值为．5．（3分）若函数，，则f（）+g（）=．6．（3分）不等式|2﹣1|＜3的解集为．7．（3分）设f（）是R上的奇函数，当≤0时，f（）=22﹣，则f（1）=．8．（3分）已知函数，则方程f﹣1（）=4的解=．9．（4分）若函数f（）=2+为偶函数，则实数a=．10．（4分）函数y=的值域是．11．（4分）已知函数f（）=，且函数F（）=f（）+﹣a有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是．12．（4分）关于的方程4﹣•2++3=0，只有一个实数解，则实数的取值范围是．二、选择题：本大题共4小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．13．（4分）“+y=3”是“=1且y=2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也必要条件14．（4分）下列各对函数中，相同的是（）A．f（）=lg2，g（）=2lgB．f（）=lg，g（）=lg（+1）﹣lg（﹣1）C．f（u）=，g（v）=D．f（）=，g（）=15．（4分）设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．ab2＜a2b C．D．16．（4分）若f（）是R上的奇函数，且f（）在[0，+∞）上单调递增，则下列结论：①y=|f（）|是偶函数；②对任意的∈R都有f（﹣）+|f（）|=0；③y=f（﹣）在（﹣∞，0]上单调递增；④y=f（）f（﹣）在（﹣∞，0]上单调递增．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题：本大题共5小题，共44分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（6分）已知全集为R，集合A={|≤0}，集合B={||2+1|＞3}．求A∩（∁R B）．18．（8分）设函数f（）=a﹣（a∈R）．（1）请你确定a的值，使f（）为奇函数；（2）用单调性定义证明，无论a为何值，f（）为增函数．19．（8分）关于的不等式＞1+（其中∈R，≠0）．（1）若=3在上述不等式的解集中，试确定的取值范围；（2）若＞1时，上述不等式的解集是∈（3，+∞），求的值．20．（10分）已知f（）=（）2（＞1）（1）求f（）的反函数及其定义域；（2）若不等式（1﹣）f﹣1（）＞a（a﹣）对区间∈[，]恒成立，求实数a 的取值范围．21．（12分）设a∈R，函数f（）=|﹣a|+2．（1）若a=3，求函数f（）在区间[0，4]上的最大值；（2）若存在a∈（2，4]，使得关于的方程f（）=t•f（a）有三个不相等的实数解，求实数t的取值范围．上海市徐汇区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共12小题，每小题3分，共20分）.1．（3分）已知A={|≤7}，B={|＞2}，则A∩B={|2＜≤7} ．【解答】解：∵A={|≤7}，B={|＞2}，∴A∩B={|2＜≤7}，故答案为：{|2＜≤7}2．（3分）不等式的解集是（﹣4，2）．【解答】解：由不等式可得＜0，即（﹣2）（+4）＜0，解得﹣4＜＜2，故不等式的解集为（﹣4，2），故答案为（﹣4，2）．3．（3分）函数f（）=的定义域是{|≥﹣2且≠1} ．【解答】解：由题意，要使函数有意义，则，解得，≠1且≥﹣2；故函数的定义域为：{|≥﹣2且≠1}，故答案为：{|≥﹣2且≠1}．4．（3分）若＞0，则函数f（）=+的最小值为2．【解答】解：＞0，则函数f（）=+≥2=2，当且仅当=时，f（）取得最小值2．故答案为：2．5．（3分）若函数，，则f（）+g（）=1（0≤≤1）．【解答】解：；解得，0≤≤1；∴（0≤≤1）．故答案为：．6．（3分）不等式|2﹣1|＜3的解集为{|﹣1＜＜2} ．【解答】解：∵|2﹣1|＜3⇔﹣3＜2﹣1＜3⇔﹣1＜＜2，∴不等式|2﹣1|＜3的解集为{|﹣1＜＜2}．故答案为：{|﹣1＜＜2}．7．（3分）设f（）是R上的奇函数，当≤0时，f（）=22﹣，则f（1）=﹣3．【解答】解：∵f（）是R上的奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1），∵当≤0时，f（）=22﹣，∴f（﹣1）=2+1=3，∴f（1）=﹣f（﹣1）=﹣3．故答案为：﹣3．8．（3分）已知函数，则方程f﹣1（）=4的解=1．【解答】解：由题意得，即求f（4）的值∵，，∴f（4）=log3（1+2）=1，∴f（4）=1．即所求的解=1．故答案为1．9．（4分）若函数f（）=2+为偶函数，则实数a=1．【解答】解：∵函数f（）=2+为偶函数，∴f（﹣）=f（），即2﹣=2+，则=0，则a=1，故答案为：110．（4分）函数y=的值域是（﹣1，）．【解答】解：函数y===﹣1．∵2+3＞3，∴0＜．∴函数y=的值域是（﹣1，）故答案为（﹣1，）11．（4分）已知函数f（）=，且函数F（）=f（）+﹣a有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是a≤1．【解答】解：由F（）=f（）+﹣a=0得f（）=﹣+a，作出函数f（）和y=﹣+a的图象如图：当直线y=﹣+a经过点A（0，1）时，两个函数有两个交点，此时1=﹣0+a，即a=1，要使两个函数有两个交点，则a≤1即可，故实数a的取值范围是a≤1，故答案为：a≤112．（4分）关于的方程4﹣•2++3=0，只有一个实数解，则实数的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪{6} ．【解答】解：设t=2，t＞0的方程4﹣•2++3=0转化为t2﹣t++3=0，设f（t）=t2﹣t++3，原方程只有一个根，则换元以后的方程有一个正根，∴f（0）＜0，或△=0，∴＜﹣3，或=6故答案为（﹣∞，﹣3）∪{6}．二、选择题：本大题共4小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．13．（4分）“+y=3”是“=1且y=2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也必要条件【解答】解：当=0，y=3时，满足+y=3，但=1且y=2不成立，即充分性不成立，若=1且y=2，则+y=3成立，即必要性成立，即“+y=3”是“=1且y=2”的必要不充分条件，故选：B14．（4分）下列各对函数中，相同的是（）A．f（）=lg2，g（）=2lgB．f（）=lg，g（）=lg（+1）﹣lg（﹣1）C．f（u）=，g（v）=D．f（）=，g（）=【解答】解：对于A：f（）=lg2，g（）=2lg两个函数的定义域不同，不是相同的函数；对于B：f（）=lg，g（）=lg（+1）﹣lg（﹣1）函数底的定义域不同，不是相同的函数；对于C：f（u）=，g（v）=，满足相同函数的要求，是相同的函数；对于D：f（）=，g（）=，定义域相同，都是对应关系以及值域不同，不是相同的函数．故选C．15．（4分）设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．ab2＜a2b C．D．【解答】解：A选项不正确，因为a=﹣2，b=1时，不等式就不成立；B选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；C选项正确，因为⇔a＜b，故当a＜b时一定有；D选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；选项正确，因为y=2是一个增函数，故当a＞b时一定有2a＞2b，故选C．16．（4分）若f（）是R上的奇函数，且f（）在[0，+∞）上单调递增，则下列结论：①y=|f（）|是偶函数；②对任意的∈R都有f（﹣）+|f（）|=0；③y=f（﹣）在（﹣∞，0]上单调递增；④y=f（）f（﹣）在（﹣∞，0]上单调递增．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵f（）是R上的奇函数，且f（）在[0，+∞）上单调递增，∴y=|f（）|是偶函数，故①正确；对任意的∈R，不一定有f（﹣）+|f（）|=0，故②不正确；y=f（﹣）在（﹣∞，0]上单调递减，故③不正确；y=f（）f（﹣）=﹣[f（）]2在（﹣∞，0]上单调递增，故④正确．故选B．三、解答题：本大题共5小题，共44分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（6分）已知全集为R，集合A={|≤0}，集合B={||2+1|＞3}．求A∩（∁R B）．【解答】解：全集为R，集合A={|≤0}={|﹣1＜≤3}，集合B={||2+1|＞3}={|2+1＞3或2+1＜﹣3}={|＞1或＜﹣2}，所以∁R B={|﹣2≤≤1}，A∩（∁R B）={|﹣1＜≤1}．18．（8分）设函数f（）=a﹣（a∈R）．（1）请你确定a的值，使f（）为奇函数；（2）用单调性定义证明，无论a为何值，f（）为增函数．【解答】解：（1）∵函数f（）是R上的奇函数，∴f（0）=a﹣=0，∴a=1；（2）证明：任取：1＜2∈R，∴f（1）﹣f（2）=a﹣﹣a+=2•∵1＜2，∴，又＞0，，∴f（1）﹣f（2）＜0，即f（1）＜f（2），∴f（）在R上的单调递增．19．（8分）关于的不等式＞1+（其中∈R，≠0）．（1）若=3在上述不等式的解集中，试确定的取值范围；（2）若＞1时，上述不等式的解集是∈（3，+∞），求的值．【解答】解：（1）由题意：=3时，不等式＞1+化简为，即，可得（5﹣）＞0，解得：0＜＜5．∴当=3在上述不等式的解集中，的取值范围是（0，5）（2）不等式＞1+化简可得（其中∈R，≠0）．∵＞1，可得：⇔+2＞2+﹣3不等式的解集是∈（3，+∞），∴=3是方程+2=2+﹣3的解．即3+2=2，∵≠0，∴=5．故得若＞1时，不等式的解集是∈（3，+∞）时的值为5．20．（10分）已知f（）=（）2（＞1）（1）求f（）的反函数及其定义域；（2）若不等式（1﹣）f﹣1（）＞a（a﹣）对区间∈[，]恒成立，求实数a 的取值范围．【解答】解；（1）∵＞1，∴0＜f（）＜1．令y=（）2（＞1），解得=，∴f ﹣1（）=（0＜＜1）；（2）∵f﹣1（）=（0＜＜1），∴不等式（1﹣）f﹣1（）＞a（a﹣）在区间∈[，]恒成立⇔在区间∈[，]恒成立，对区间∈[，]恒成立．当a=﹣1时，不成立，当a＞﹣1时，a＜在区间∈[，]恒成立，a＜（）min，﹣1＜a＜．当a＜﹣1时，a＞在区间∈[，]恒成立，a＞（）ma，a无解．综上：实数a的取值范围：﹣1＜a＜．21．（12分）设a∈R，函数f（）=|﹣a|+2．（1）若a=3，求函数f（）在区间[0，4]上的最大值；（2）若存在a∈（2，4]，使得关于的方程f（）=t•f（a）有三个不相等的实数解，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）当a=3，∈[0，4]时，f（）=|﹣3|+2=，可知函数f（）在区间[0，]递增，在（，3]上是减函数，在[3，4]递增，则f（）=，f（4）=12，所以f（）在区间[0，4]上的最大值为f（4）=12．（2）f（）=，①当≥a时，因为a＞2，所以＜a．所以f（）在[a，+∞）上单调递增．②当＜a时，因为a＞2，所以＜a．所以f（）在（﹣∞，）上单调递增，在[，a]上单调递减．当2＜a≤4时，知f（）在（﹣∞，]和[a，+∞）上分别是增函数，在[，a]上是减函数，当且仅当2a＜t•f（a）＜时，方程f（）=t•f（a）有三个不相等的实数解．即1＜t＜=（a++4）．令g（a）=a+，g（a）在a∈（2，4]时是增函数，故g（a）ma=5．∴实数t的取值范围是（1，）．。

2021-2022学年上海市徐汇区高一（上）期末数学试卷试题数：21，总分：1001.（填空题，3分）已知全集U=R，A={x|x＜0}，则∁U A=___ ．2.（填空题，3分）函数y= √2x+1 + √3−4x的定义域为___ ．3.（填空题，3分）不等式|x|-1＜0的解集是 ___ ．4.（填空题，3分）已知关于x的不等式ax2-3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，则b的值为 ___ ．5.（填空题，3分）若3x=2，则log29-log38用含x的代数式表示为 ___ ．6.（填空题，3分）不等式5x−2≤1的解集是 ___ ．7.（填空题，3分）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|0＜x＜6，x∈N}，则满足条件A⊂C⊆B 的集合C的个数为 ___ 个．8.（填空题，3分）函数y=2- √−x2+4x的值域是___ ．9.（填空题，3分）已知函数f(x)={(1−a)x，x≤1a x，x＞1（a＞0且a≠1）在x∈R上有最大值，那么实数a的取值范围为 ___ ．10.（填空题，3分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上为严格单调递增，则满足f(2x−1)＜f(13)的x的取值范围是 ___ ．11.（填空题，3分）狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若f（x）= {1，x∈Q0，x∈∁R Q，则称f（x）为狄利克雷函数．对于狄利克雷函数f（x），给出下面4个命题：其中真命题的有 ___ ．① 对任意x∈R，都有f[f（x）]=1；② 对任意x∈R，都有f（-x）+f（x）=0；③ 对任意x1∈R，都存在x2∈Q，f（x1+x2）=f（x1）；④ 若a＜0，b＞1，则有{x|f（x）＞a}={x|f（x）＜b}．12.（填空题，3分）已知函数f(x)=ax+bx，若存在两相异实数m，n使f（m）=f（n）=c，且a+4b+c=0，则|m-n|的最小值为 ___ ．13.（单选题，4分）若a＜b＜0，则下列不等式中不能成立的是（）A. 1a ＞1bB. 1a−b ＞ 1a C.|a|＞|b| D.a 2＞b 214.（单选题，4分）若x 1、x 2是方程2x 2+6x+3=0的两个根，则 x 2x 1+x1x 2=（ ）A. −12B.2C.4D.815.（单选题，4分）已知函数f （x ）= {x 2+2x ，x ≤0|lgx |，x ＞0 ，则函数g （x ）=f （3-x ）-1的零点个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.416.（单选题，4分）对于函数y=f （x ），若存在x 0，使f （x 0）=-f （-x 0），则称点（x 0，f （x 0））与点（-x 0，-f （-x 0））是函数f （x ）的一对“隐对称点”．若函数 f (x )={x 2+2x ，x ＜0mx +2，x ≥0的图象存在“隐对称点”，则实数m 的取值范围是（ ）A. [2−2√2，0)B. (−∞，2−2√2]C. (−∞，2+2√2]D. (0，2+2√2]17.（问答题，6分）已知正数x 、y 满足x+2y=1，求 1x + 1y 的最小值，并求出 1x + 1y 取到最小值时x ，y 的值．18.（问答题，10分）已知非空集合A={x|x 2-（3a-1）x+2a 2-a ＜0}，集合B={x|x 2-4x+3＜0}． （Ⅰ）当a=2时，求A∩B ；（Ⅱ）命题p ：x∈A ，命题q ：x∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．19.（问答题，10分）已知函数g(√x+2)=x+2√x+1．（1）求函数g（x）的解析式；（2）设f(x)=g(x)−2xx，若存在x∈[2，3]使f（x）-kx≤0成立，求实数k的取值范围．20.（问答题，10分）随着全球5G网络技术的不断升温，中美两国5G的技术较量已进入白热化阶段．特朗普政府宣布将在5G领域具有全球领导力的华为公司列入禁止出口实体名单．值此国家危难之际，炎黄子孙当为中华之崛起而读书．华为投资研究部表明：市场占有率y与每日研发经费x（单位：亿元）有关，其公式为y=3x2x2+mx+2(x＞0)．（1）若m=0时，华为市场占有率超过23，试估计每日研发经费的取值范围（单位：亿元）？（保留小数点后两位）（2）若-1＜m＜1时，华为市场占有率的最大值为45，求常数m的值．21.（问答题，12分）已知函数f(x)=x+bx2+a 是定义在[-2，2]上的奇函数，且f(1)=15．（1）求实数a，b的值；（2）判断f（x）在[-2，2]上的单调性，并用定义证明；（3）设g（x）=kx2+2kx+1（k≠0），若对任意的x1∈[-2，2]，总存在x2∈[-1，2]，使得f （x1）=g（x2）成立，求实数k的取值范围．2021-2022学年上海市徐汇区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1001.（填空题，3分）已知全集U=R ，A={x|x ＜0}，则∁U A=___ ． 【正确答案】：[1]{x|x≥0}【解析】：由已知结合补集的运算性质，即可直接求解．【解答】：解：因为U=R ，A={x|x ＜0}， 所以∁U A={x|x≥0}． 故答案为：{x|x≥0}．【点评】：本题主要考查了补集的运算，属于基础题．2.（填空题，3分）函数y= √2x +1 + √3−4x 的定义域为___ ． 【正确答案】：[1][ −12，34 ]【解析】：由根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解．【解答】：解：由 {2x +1≥03−4x ≥0，解得 −12≤x ≤34 ．∴函数y= √2x +1 + √3−4x 的定义域为[ −12，34 ]． 故答案为：[ −12，34]．【点评】：本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题． 3.（填空题，3分）不等式|x|-1＜0的解集是 ___ ． 【正确答案】：[1]（-1，1）【解析】：由题意利用绝对值的意义，求得x 的范围．【解答】：解：不等式|x|-1＜0，即|x|＜1，∴-1＜x ＜1， 故不等式的解集为（-1，1）， 故答案为：（-1，1）．【点评】：本题主要考查绝对值的意义，属于基础题．4.（填空题，3分）已知关于x 的不等式ax 2-3x+2＞0的解集为{x|x ＜1或x ＞b}，则b 的值为 ___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：根据不等式与对应方程的关系，再利用根与系数的关系即可求出b 的值．【解答】：解：因为不等式ax 2-3x+2＞0的解集为{x|x ＜1或x ＞b}， 所以1和b 是方程ax 2-3x+2=0的实数解，且b ＞1， 由根与系数的关系，知 {1+b =3a1×b =2a ，解得a=1，b=2．故答案为：2．【点评】：本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，是基础题． 5.（填空题，3分）若3x =2，则log 29-log 38用含x 的代数式表示为 ___ ． 【正确答案】：[1] 2x−3x【解析】：由3x =2，得到x=log 32，再由log 29-log 38=2log 23-3log 32，求出结果即可．【解答】：解：若3x =2，则x=log 32， 所以log 29-log 38=2log 23-3log 32= 2x −3x ． 故答案为： 2x−3x ．【点评】：本题考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6.（填空题，3分）不等式5x−2≤1 的解集是 ___ ．【正确答案】：[1]（-∞，2）∪[7，+∞） 【解析】：根据分式不等式的解法进行求解即可．【解答】：解：不等式等价为 {x −2＞05≤x −2 或 {x −2＜0x ∈R ，得 {x ＞2x ≥7 或x ＜2，得x≥7或x ＜2，即不等式的解集为（-∞，2）∪[7，+∞），故答案为：（-∞，2）∪[7，+∞）．【点评】：本题主要考查不等式的求解，将不等式转化为不等式组是解决本题的关键，是基础题．7.（填空题，3分）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|0＜x＜6，x∈N}，则满足条件A⊂C⊆B的集合C的个数为 ___ 个．【正确答案】：[1]7【解析】：本题考查集合的包含关系，先将A，B化简，再有A⊂C⊆B，从元素数由少到多写出即可．【解答】：解：集合A={x|x2-3x+2=0，x∈R }={1，2}，B={x|0＜x＜6，x∈N }={1，2，3，4，5}，∵A⊂C，∴1∈C，2∈C，又∵C⊆B∴集合C可能为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．共7个．故答案为：7．【点评】：本题考查了集合的子集、真子集关系，注意集合A，B的代表元素和范围，属于基础题．8.（填空题，3分）函数y=2- √−x2+4x的值域是___ ．【正确答案】：[1][0，2]【解析】：值域问题应先确定定义域[0，4]，此题对根号下二次函数进行配方，利用对称轴与区间的位置关系求出最值进而确定值域【解答】：解：定义域应满足：-x2+4x≥0，即0≤x≤4，y=2−√−x2+4x = 2−√−(x−2)2+4所以当x=2时，y min=0，当x=0或4时，y max=2所以函数的值域为[0，2]，故答案为[0，2]．【点评】：本题考查闭区间上复合函数函数的值域，先求得定义域后，再计算根号下二次函数的最值，进而确定复合函数的值域，属于中档题．9.（填空题，3分）已知函数f(x)={(1−a)x，x≤1a x，x＞1（a＞0且a≠1）在x∈R上有最大值，那么实数a的取值范围为 ___ ．【正确答案】：[1]（0，12]【解析】：由题意可得函数f（x）要有最大值，则函数在（-∞，1]上必须为单调递增函数，然后求出最大值，并比较端点值，由此即可求解．【解答】：解：由题意可得函数f（x）要有最大值，则函数在（-∞，1]上必须为单调递增函数，则1-a＞0，解得0＜a＜1，所以函数在（1，+∞）上为单调递增函数，则当x≤1时，f（x）max=f（1）=1-a，且1-a≥a，则a ≤12，所以实数a的取值范围为（0，12]，故答案为：（0，12]．【点评】：本题考查了分段函数的单调性，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．10.（填空题，3分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上为严格单调递增，则满足f(2x−1)＜f(13)的x的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1] (13，23)【解析】：根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．【解答】：解：∵偶函数f（x）在区间[0，+∞）上为严格单调递增，∴ f(2x−1)＜f(13)等价为f（|2x-1|）＜f（13），即|2x-1|＜13，得- 13＜2x-1＜13，得13＜x＜23，即不等式的解集为（13，23），故答案为：（13，23）．【点评】：本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键，是基础题．11.（填空题，3分）狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若f（x）= {1，x∈Q0，x∈∁R Q，则称f（x）为狄利克雷函数．对于狄利克雷函数f（x），给出下面4个命题：其中真命题的有 ___ ．① 对任意x∈R，都有f[f（x）]=1；② 对任意x∈R，都有f（-x）+f（x）=0；③ 对任意x1∈R，都存在x2∈Q，f（x1+x2）=f（x1）；④ 若a＜0，b＞1，则有{x|f（x）＞a}={x|f（x）＜b}．【正确答案】：[1] ① ③ ④【解析】：根据狄利克雷函数的定义逐一判断即可．【解答】：解：因为当x为有理数时，f（x）=1，f[f（x）]=f（1）=1；当x为无理数时，f （x）=0，f[f（x）]=f（0）=1，故对任意x∈R，都有f[f（x）]=1成立，所以① 正确；因为当x为有理数时，-x也是有理数，所以有f（x）=1，f（-x）=1，故有f（-x）=f（x）；因为当x为无理数时，-x也是无理数，所以有f（x）=0，f（-x）=0，故有f（-x）=f（x）；综上，对任意x∈R，都有f（-x）=f（x），所以② 错误；当x1是有理数时，x1+x2也是有理数，所以f（x1+x2）=f（x1）=1；当x1是无理数时，x1+x2是无理数，所以f（x1+x2）=f（x1）=0；所以③ 正确；当a＜0时，f（x）＞a的解集为∅，当b＞1时，f（x）＜b的解集为∅，故有{x|f（x）＞a}={x|f（x）＜b}=∅，所以④ 正确；故答案为：① ③ ④ ．【点评】：本题考查了分段函数的性质及分类讨论思想，属于基础题．12.（填空题，3分）已知函数f(x)=ax+bx，若存在两相异实数m，n使f（m）=f（n）=c，且a+4b+c=0，则|m-n|的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1] √32【解析】：由题意，m，n是方程ax2-cx+b=0的两个不等实数根，利用根与系数的关系把|m-n|化为含有a，b的代数式，令t= ba，进一步转化为关于t的二次函数，再由配方法求最值．【解答】：解：由题意，当f（x）=ax+ bx=c，有ax2-cx+b=0（x≠0），∵f（m）=f（n）=c，∴m，n是方程ax2-cx+b=0的两个不等实数根，∴m+n= ca ，mn= ba，而|m-n|= √(m−n)2−4mn = √c2−4aba2，∵a+4b+c=0，即c=-4b-a，∴|m-n|= √16b2+4ab+a2a2 = √16(ba)2+4•ba+1，令t= ba ，则|m-n|= √16t2+4t+1 = √4(2t+14)2+34，则当t=- 18时，|m-n|的最小值为√32．故答案为：√32．【点评】：本题考查函数的最值及其几何意义，考查一元二次方程根与系数的关系，训练了利用配方法求最值，是中档题．13.（单选题，4分）若a＜b＜0，则下列不等式中不能成立的是（）A. 1a ＞1bB. 1a−b ＞1aC.|a|＞|b|D.a2＞b2【正确答案】：B【解析】：由于a＜b＜0，利用函数单调性可以比较大小．【解答】：解：∵a＜b＜0，f（x）= 1x 在（-∞，0）单调递减，所以1a＞1b成立；∵a＜b＜0，0＞a-b＞a，f（x）= 1x 在（-∞，0）单调递减，所以1a−b＜1a，故B不成立；∵f（x）=|x|在（-∞，0）单调递减，所以|a|＞|b|成立；∵f（x）=x2在（-∞，0）单调递减，所以a2＞b2成立；故选：B．【点评】：本题考查了函数单调性与数值大小的比较，属于基础题．14.（单选题，4分）若x1、x2是方程2x2+6x+3=0的两个根，则x2x1+x1x2=（）A. −12 B.2C.4D.8【正确答案】：C【解析】：利用韦达定理，结合表达式化简求解即可．【解答】：解：x 1、x 2是方程2x 2+6x+3=0的两个根， 可得x 1+x 2=-3，x 1x 2= 32 ，则 x 2x 1+x 1x 2= (x 1+x 2)2−2x 1x 2x 1x 2 = 9−2×3232=4． 故选：C ．【点评】：本题考查函数的零点与方程根的关系，考查转化思想以及计算能力，是基础题． 15.（单选题，4分）已知函数f （x ）= {x 2+2x ，x ≤0|lgx |，x ＞0 ，则函数g （x ）=f （3-x ）-1的零点个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4【正确答案】：C【解析】：利用已知条件求出f （3-x ）的表达式，令f （3-x ）=1即可求得符合条件的x 的个数．【解答】：解：函数f （x ）= {x 2+2x ，x ≤0|lgx |，x ＞0，f （3-x ）= {x 2−8x +15，x ≥3|lg (3−x )|，x ＜3，当x ＜3时，令|lg （3-x ）|=1，解得x=-7或x= 2910 ， 当x≥3时，令x²-8x+15=1，解得x=4+ √2 则函数g （x ）=f （3-x ）-1的零点共3个， 故选：C ．【点评】：本题考查函数的零点个数的判断与应用，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力．16.（单选题，4分）对于函数y=f（x），若存在x0，使f（x0）=-f（-x0），则称点（x0，f （x0））与点（-x0，-f（-x0））是函数f（x）的一对“隐对称点”．若函数f(x)={x2+2x，x＜0mx+2，x≥0的图象存在“隐对称点”，则实数m的取值范围是（）A. [2−2√2，0)B. (−∞，2−2√2]C. (−∞，2+2√2]D. (0，2+2√2]【正确答案】：B【解析】：由隐对称点的定义可知函数f（x）图象上存在关于原点对称的点，进而可解出．【解答】：解：由隐对称点的定义可知函数f（x）图象上存在关于原点对称的点，设g（x）的图象与函数y=x2+2x，x＜0的图象关于原点对称，令x＞0，则-x＜0，∴f（-x）=（-x）2+2（-x）=x2-2x，∴g（x）=-x2+2x，故原题义等价于方程mx+2=-x2+2x（x＞0）有零点，解得m=-x- 2x+2，又因-x- 2x +2≤−2√x×2x+2 =2-2 √2，当且仅当x= √2时取等号，∴m ∈(−∞，2−2√2]．故选：B．【点评】：本题考查了函数的性质，基本不等式，新概念的理解，属于基础题．17.（问答题，6分）已知正数x、y满足x+2y=1，求1x + 1y的最小值，并求出1x+ 1y取到最小值时x，y的值．【正确答案】：【解析】：根据题意，分析可得 1x + 1y =（ 1x + 1y ）（x+2y ）=3+ 2y x + x y ，利用基本不等式分析可得答案．【解答】：解：根据题意，x ＞0，y ＞0，且x+2y=1，则 1x + 1y =（ 1x + 1y ）（x+2y ）=3+ 2y x + x y ≥3+2 √2 ，（当且仅当 2y x = x y ，即x= √2 -1，y= 2−√22 时，等号成立） 故当x= √2 -1，y=2−√22 时，（ 1x + 1y）min =3+2 √2 ． 【点评】：本题考查基本不等式的性质以及应用，注意基本不等式的形式，属于基础题．18.（问答题，10分）已知非空集合A={x|x 2-（3a-1）x+2a 2-a ＜0}，集合B={x|x 2-4x+3＜0}． （Ⅰ）当a=2时，求A∩B ；（Ⅱ）命题p ：x∈A ，命题q ：x∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）把a=2代入集合A ，解得集合A ，B 对应不等式，求出A∩B 结果即可； （Ⅱ）若q 是p 的必要条件，则集合A⊆B ．对集合A 对应的不等式进行讨论，其解集的端点是 2a-1和a ，大小有三种情况，在每种情况下，求出集合A ，借助数轴列出A⊆B 时区间端点间的大小关系，解不等式组求出a 的范围即可．【解答】：解：（I ）当a=2时，集合A={x|x 2-（3a-1）x+2a 2-a ＜0}={x|x 2-5x+6＜0}={x|2＜x ＜3}．集合B={x|x 2-4x+3＜0}={x|1＜x ＜3}．故A∩B={x|2＜x ＜3}．（Ⅱ）若q 是p 的必要条件，则集合A⊆B ．集合A={x|x 2-（3a-1）x+2a 2-a ＜0}={x|（x-a ）[x-（2a-1）]＜0}．① a ＜1时，a ＞2a-1，集合A={x|2a-1＜x ＜a}，要使A⊆B ，则 {a ≤32a −1≥1， 解得1≤a≤3，因为a ＜1，故这种情况不成立．② 当a=1时，a=2a-1，集合A=∅，这与题目条件矛盾．③ 当a ＞1时，a ＜2a-1，集合A={x|a ＜x ＜2a-1}，要使A⊆B ，则 {2a −1≤3a ≥1， 解得：1≤a≤2，因为a ＞1，故1＜a≤2．综上所述：实数a 的取值范围为（1，2]．【点评】：本题考查集合间的交、并、补运算方法以及A⊆B 时2个区间端点之间的大小关系（借助数轴列出不等关系），体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．19.（问答题，10分）已知函数 g(√x +2)=x +2√x +1 ．（1）求函数g （x ）的解析式；（2）设 f (x )=g (x )−2x x ，若存在x∈[2，3]使f （x ）-kx≤0成立，求实数k 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）利用换元法或配凑法进行求解即可．（2）利用换元法进行转化，利用一元二次函数的性质进行转化求解即可．【解答】：解：（1）解法一：∵ g(√x +2)=x +2√x +1=(√x +1)2 ，∴g （x ）=（x-1）2． 又 √x +2≥2 ，∴g （x ）=（x-1）2（x≥2）．解法二：令 t =√x +2 ，则x=（t-2）2．由于 √x ≥0 ，所以t≥2．代入原式有g （t ）=（t-2）2+2（t-2）+1=（t-1）2，所以g （x ）=（x-1）2（x≥2）．（2）∵ f (x )=g (x )−2x x ，∴ f (x )=x +1x−4 ． ∵存在x∈[2，3]使f （x ）-kx≤0成立，∴ k ≥(1x )2−4x +1 在x∈[2，3]时有解．令 t =1x ，由x∈[2，3]，得 t =1x ∈[13，12] ， 设h （t ）=t 2-4t+1=（t-2）2-3．则函数h （t ）的图象的对称轴方程为t=2，∴当 t =12 时，函数h （t ）取得最小值- 34 ．∴k≥- 34 ，即k 的取值范围为[- 34 ，+∞）．【点评】：本题主要考查函数解析式的求解意见不等式恒成立问题，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键，是中档题．20.（问答题，10分）随着全球5G 网络技术的不断升温，中美两国5G 的技术较量已进入白热化阶段．特朗普政府宣布将在5G 领域具有全球领导力的华为公司列入禁止出口实体名单．值此国家危难之际，炎黄子孙当为中华之崛起而读书．华为投资研究部表明：市场占有率y 与每日研发经费x （单位：亿元）有关，其公式为 y =3x 2x 2+mx+2(x ＞0) ．（1）若m=0时，华为市场占有率超过 23 ，试估计每日研发经费的取值范围（单位：亿元）？（保留小数点后两位）（2）若-1＜m ＜1时，华为市场占有率的最大值为 45 ，求常数m 的值．【正确答案】：【解析】：（1）列出不等式，求解即可．（2）利用函数的解析式，结合基本不等式，转化求解即可．【解答】：解：（1）由已知得 3x 2x 2+2＞23 ，整理得4x 2-9x+4＜0，得 9−√178＜x ＜9+√178 ， 将 √17≈4.2 代入得0.61＜x ＜1.64．∴每日研发经费大约在0.61亿元到1.64亿元之间；（2）依题意得 y =32(x+1x )+m ， ∵ x +1x ≥2⋅√x ⋅1x =2 ，当且仅当x=1时，取等号，∴ y =32(x+1x )+m ≤34+m =45 ， ∴ m =−14 ．【点评】：本题考查函数与方程的应用，不等式的解法，是中档题．21.（问答题，12分）已知函数 f (x )=x+b x 2+a 是定义在[-2，2]上的奇函数，且 f (1)=15 ． （1）求实数a ，b 的值；（2）判断f （x ）在[-2，2]上的单调性，并用定义证明；（3）设g （x ）=kx 2+2kx+1（k≠0），若对任意的x 1∈[-2，2]，总存在x 2∈[-1，2]，使得f （x 1）=g （x 2）成立，求实数k 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1） f (x )=x+b x 2+a 是定义在[-2，2]上的奇函数⇒f （0）= b a =0⇒b=0，由f （1）= 1a+1 = 15 可求得a ；（2）f （x ）在[-2，2]上单调递增，用定义证明，任取-2≤x 1＜x 2≤2，作差f （x 1）-f （x 2）后化积，分析符号，可证得结论成立；（3）依题意知，f （x ）的值域为g （x ）的值域的子集，由（2）知：f （x ）∈[- 14 ， 14 ]，分k ＞0与k ＜0讨论，分析可求得实数k 的取值范围．【解答】：解：（1）因为函数 f (x )=x+b x 2+a 是定义在[-2，2]上的奇函数，所以f （0）= b a =0⇒b=0；.......1分又f （1）= 1a+1 = 15 ⇒a=4.........................................2分所以 f (x )=x x 2+4 ，经检验，该函数为奇函数．.........3分（2）f （x ）在[-2，2]上单调递增，证明如下：任取-2≤x 1＜x 2≤2，f （x 1）-f （x 2）= x 1x 12+4 - x 2x 22+4 = x 1(x 22+4)−x 2(x 12+4)(x 12+4)(x 22+4) = (x 1x 2−4)(x 2−x 1)(x 12+4)(x 22+4) ，其中x 1x 2-4＜0，x 2-x 1＞0，所以f （x 1）-f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2），故f （x ）在[-2，2]上单调递增．........7分（3）由于对任意的x 1∈[-2，2]，总存在x 2∈[-1，2]，使得f （x 1）=g （x 2）成立，所以f （x ）的值域为g （x ）的值域的子集..........................................8分而由（2）知：f （x ）∈[- 14 ， 14 ]，当k ＞0时，g （x ）在[-1.2]上递增，g （x ）∈[1-k ，8k+1]，所以 {1−k ≤−1414≤8k +1 ，即k≥ 54 ....................10分 当k ＜0时，g （x ）在[-1.2]上递减，g （x ）∈[8k+1，1-k]，所以 {8k +1≤−1414≤1−k ，即k≤- 532 ．....................11分 综上所述，k∈（-∞，- 532 ]∪[ 54 ，+∞）．....................12分【点评】：本题考查函数恒成立问题，着重考查函数基本性质的综合应用，涉及分类讨论思想与转化与化归思想的应用，考查逻辑推理与运算求解能力，属于难题．。

2021-2022学年上海市徐汇区高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共16.0分） 1. 若a <b <0，则下列不等式中不能成立的是( )A. 1a >1bB. 1a−b >1aC. |a|>|b|D. a 2>b 22. 若x 1、x 2是方程2x 2+6x +3=0的两个根，则x 2x 1+x 1x 2=( )A. −12B. 2C. 4D. 83. 已知函数f(x)={x 2+2x,x ≤0|lgx|,x >0，则函数g(x)=f(3−x)−1的零点个数为( )A. ，1B. 2C. 3D. 44. 对于函数y =f(x)，若存在x 0，使f(x 0)=−f(−x 0)，则称点(x 0,f(x 0))与点(−x 0,−f(−x 0))是函数f(x)的一对“隐对称点”.若函数f(x)={x 2+2x,x <0mx +2,x ≥0的图象存在“隐对称点”，则实数m 的取值范围是( )A. [2−2√2,0)B. (−∞,2−2√2]C. (−∞,2+2√2]D. (0,2+2√2]二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 已知全集U =R ，A ={x|x <0}，则∁U A =______．6. 函数y =√2x +1+√3−4x 的定义域为______．7. 不等式|x|−1<0的解集是______．8. 已知关于x 的不等式ax 2−3x +2>0的解集为{x|x <1或x >b}，则b 的值为______． 9. 若3x =2，则log 29−log 38用含x 的代数式表示为______． 10. 不等式5x−2≤1的解集是______．11. 已知集合A ={x|x 2−3x +2=0}，B ={x|0<x <6,x ∈N}，则满足条件A ⊂C ⊆B 的集合C 的个数为______个．12. 函数y =2−√−x 2+4x 的值域是______．13. 已知函数f(x)={(1−a)x,x ≤1a x ,x >1(a >0且a ≠1)在x ∈R 上有最大值，那么实数a 的取值范围为______．14. 已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上为严格单调递增，则满足f(2x −1)<f(13)的x 的取值范围是______．15. 狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若f(x)={1,x ∈Q0,x ∈∁R Q，则称f(x)为狄利克雷函数．对于狄利克雷函数f(x)，给出下面4个命题：其中真命题的有______． ①对任意x ∈R ，都有f[f(x)]=1； ②对任意x ∈R ，都有f(−x)+f(x)=0；③对任意x 1∈R ，都存在x 2∈Q ，f(x 1+x 2)=f(x 1)； ④若a <0，b >1，则有{x|f(x)>a}={x|f(x)<b}．16. 已知函数f(x)=ax +bx ，若存在两相异实数m ，n 使f(m)=f(n)=c ，且a +4b +c =0，则|m −n|的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共48.0分）17. 已知正数x 、y 满足x +2y =1，求1x +1y 的最小值，并求出1x +1y 取到最小值时x ，y 的值．18. 已知非空集合A ={x|x 2−(3a −1)x +2a 2−a <0}，集合B ={x|x 2−4x +3<0}．(Ⅰ)当a =2时，求A ∩B ；(Ⅱ)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．19. 已知函数g(√x +2)=x +2√x +1．(1)求函数g(x)的解析式；(2)设f(x)=g(x)−2xx，若存在x∈[2,3]使f(x)−kx≤0成立，求实数k的取值范围．20.随着全球5G网络技术的不断升温，中美两国5G的技术较量已进入白热化阶段．特朗普政府宣布将在5G领域具有全球领导力的华为公司列入禁止出口实体名单．值此国家危难之际，炎黄子孙当为中华之崛起而读书．华为投资研究部表明：市场占有率y与每日研发经费x(单位：亿元)有关，其公式为y=3x2x2+mx+2(x>0)．(1)若m=0时，华为市场占有率超过23，试估计每日研发经费的取值范围(单位：亿元)？(保留小数点后两位)(2)若−1<m<1时，华为市场占有率的最大值为45，求常数m的值．21.已知函数f(x)=x+bx2+a 是定义在[−2,2]上的奇函数，且f(1)=15．(1)求实数a，b的值；(2)判断f(x)在[−2,2]上的单调性，并用定义证明；(3)设g(x)=kx2+2kx+1(k≠0)，若对任意的x1∈[−2,2]，总存在x2∈[−1,2]，使得f(x1)=g(x2)成立，求实数k的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵a <b <0，f(x)=1x 在(−∞,0)单调递减，所以1a >1b 成立；∵a <b <0，0>a −b >a ，f(x)=1x 在(−∞,0)单调递减，所以1a−b <1a ，故B 不成立； ∵f(x)=|x|在(−∞,0)单调递减，所以|a|>|b|成立； ∵f(x)=x 2在(−∞,0)单调递减，所以a 2>b 2成立； 故选：B ．由于a <b <0，利用函数单调性可以比较大小． 本题考查了函数单调性与数值大小的比较，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：x 1、x 2是方程2x 2+6x +3=0的两个根， 可得x 1+x 2=−3，x 1x 2=32， 则x 2x 1+x 1x 2=(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 1x 2=9−2×3232=4．故选：C ．利用韦达定理，结合表达式化简求解即可．本题考查函数的零点与方程根的关系，考查转化思想以及计算能力，是基础题．3.【答案】B【解析】解：函数f(x)={x 2+2x,x ≤0|lgx|,x >0，f(3−x)={x 2−8x +15,x ≥3|lg(3−x)|,x <3，则函数g(x)=f(3−x)−1的零点个数就是y =f(3−x)与y =1交点个数，如图：可知两个函数的图象有2个交点，函数g(x)=f(3−x)−1的零点个数为2．故选：B．利用已知条件求出f(3−x)的表达式，利用函数的图象，求解两个函数图象交点个数即可．本题考查函数的零点个数的判断与应用，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力．4.【答案】B【解析】【分析】由隐对称点的定义可知函数f(x)图象上存在关于原点对称的点，进而可解出．本题考查了函数的性质，基本不等式，新概念的理解，属于拔高题．【解答】解：由隐对称点的定义可知函数f(x)图象上存在关于原点对称的点，设g(x)的图象与函数y=x2+2x，x<0的图象关于原点对称，令x>0，则−x<0，∴f(−x)=(−x)2+2(−x)=x2−2x，∴g(x)=−x2+2x，故原题义等价于方程mx+2=−x2+2x(x>0)有零点，解得m=−x−2x+2，又因−x−2x +2≤−2√x×2x+2=2−2√2，当且仅当x=√2时取等号，∴m∈(−∞,2−2√2]．故选：B．5.【答案】{x|x ≥0}【解析】解：因为U =R ，A ={x|x <0}， 所以∁U A ={x|x ≥0}． 故答案为：{x|x ≥0}．由已知结合补集的运算性质，即可直接求解． 本题主要考查了补集的运算，属于基础题．6.【答案】[−12,34]【解析】解：由{2x +1≥03−4x ≥0，解得−12≤x ≤34．∴函数y =√2x +1+√3−4x 的定义域为[−12,34]. 故答案为：[−12,34].由根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解． 本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．7.【答案】(−1,1)【解析】解：不等式|x|−1<0，即|x|<1，∴−1<x <1， 故不等式的解集为(−1,1)， 故答案为：(−1,1)．由题意利用绝对值的意义，求得x 的范围． 本题主要考查绝对值的意义，属于基础题．8.【答案】2【解析】解：因为不等式ax 2−3x +2>0的解集为{x|x <1或x >b}， 所以1和b 是方程ax 2−3x +2=0的实数解，且b >1， 由根与系数的关系，知{1+b =3a1×b =2a ，解得a =1，b =2．故答案为：2．根据不等式与对应方程的关系，再利用根与系数的关系即可求出b 的值． 本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，是基础题．9.【答案】2x −3x【解析】解：若3x =2，则x =log 32，所以log 29−log 38=2log 23−3log 32=2x −3x ． 故答案为：2x −3x ．由3x =2，得到x =log 32，再由log 29−log 38=2log 23−3log 32，求出结果即可． 本题考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】(−∞,2)∪[7，+∞)【解析】解：不等式等价为{x −2>05≤x −2或{x −2<0x ∈R ，得{x >2x ≥7或x <2， 得x ≥7或x <2，即不等式的解集为(−∞,2)∪[7，+∞)， 故答案为：(−∞,2)∪[7，+∞)． 根据分式不等式的解法进行求解即可．本题主要考查不等式的求解，将不等式转化为不等式组是解决本题的关键，是基础题．11.【答案】7【解析】解：集合A ={x|x 2−3x +2=0,x ∈R }={1，2}，B ={x|0<x <6,x ∈N }={1，2，3，4，5}， ∵A ⊂C ， ∴1∈C ，2∈C ， 又∵C ⊆B∴集合C 可能为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}， {1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．共7个．故答案为：7．本题考查集合的包含关系，先将A，B化简，再有A⊂C⊆B，从元素数由少到多写出即可．本题考查了集合的子集、真子集关系，注意集合A，B的代表元素和范围，属于基础题．12.【答案】[0,2]【解析】【分析】值域问题应先确定定义域[0,4]，此题对根号下二次函数进行配方，利用对称轴与区间的位置关系求出最值进而确定值域本题考察闭区间上复合函数函数的值域，先求得定义域后，再计算根号下二次函数的最值，进而确定复合函数的值域，属于基础题．【解答】解：定义域应满足：−x2+4x≥0，即0≤x≤4，y=2−√−x2+4x=2−√−(x−2)2+4所以当x=2时，y min=0，当x=0或4时，y max=2所以函数的值域为[0,2]，故答案为[0,2]．]13.【答案】(0,12【解析】解：由题意可得函数f(x)要有最大值，则函数在(−∞,1]上必须为单调递增函数，则1−a>0，解得0<a<1，所以函数在(1,+∞)上为单调递增函数，，则当x≤1时，f(x)max=f(1)=1−a，且1−a≥a，则a≤12]，所以实数a的取值范围为(0,12].故答案为：(0,12由题意可得函数f(x)要有最大值，则函数在(−∞,1]上必须为单调递增函数，然后求出最大值，并比较端点值，由此即可求解．本题考查了分段函数的单调性，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．14.【答案】(13,23)【解析】解：∵偶函数f(x)在区间[0,+∞)上为严格单调递增， ∴f(2x −1)<f(13)等价为f(|2x −1|)<f(13)，即|2x −1|<13，得−13<2x −1<13， 得13<x <23，即不等式的解集为(13,23)， 故答案为：(13,23).根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键，是基础题．15.【答案】①③④【解析】解：因为当x 为有理数时，f(x)=1，f[f(x)]=f(1)=1；当x 为无理数时，f(x)=0，f[f(x)]=f(0)=1，故对任意x ∈R ，都有f[f(x)]=1成立，所以①正确；因为当x 为有理数时，−x 也是有理数，所以有f(x)=1，f(−x)=1，故有f(−x)=f(x)； 因为当x 为无理数时，−x 也是无理数，所以有f(x)=0，f(−x)=0，故有f(−x)=f(x)； 综上，对任意x ∈R ，都有f(−x)=f(x)，所以②错误；当x 1是有理数时，x 1+x 2也是有理数，所以f(x 1+x 2)=f(x 1)=1；当x 1是无理数时，x 1+x 2是无理数，所以f(x 1+x 2)=f(x 1)=0；所以③正确；当a <0时，f(x)>a 的解集为⌀，当b >1时，f(x)<b 的解集为⌀，故有{x|f(x)>a}={x|f(x)<b}=⌀，所以④正确； 故答案为：①③④．根据狄利克雷函数的定义逐一判断即可．本题考查了分段函数的性质及分类讨论思想，属于基础题．16.【答案】√32【解析】解：由题意，当f(x)=ax +bx =c ，有ax 2−cx +b =0(x ≠0)， ∵f(m)=f(n)=c ，∴m ，n 是方程ax 2−cx +b =0的两个不等实数根， ∴m +n =ca ，mn =ba ，而|m −n|=√(m −n)2−4mn =√c2−4aba 2，∵a +4b +c =0，即c =−4b −a ， ∴|m −n|=√16b 2+4ab+a 2a 2=√16(b a )2+4⋅ba +1，令t =ba ，则|m −n|=√16t 2+4t +1=√4(2t +14)2+34， 则当t =−18时，|m −n|的最小值为√32．故答案为：√32．由题意，m ，n 是方程ax 2−cx +b =0的两个不等实数根，利用根与系数的关系把|m −n|化为含有a ，b 的代数式，令t =ba ，进一步转化为关于t 的二次函数，再由配方法求最值． 本题考查函数的最值及其几何意义，考查一元二次方程根与系数的关系，训练了利用配方法求最值，是中档题．17.【答案】解：根据题意，x >0，y >0，且x +2y =1，则1x +1y =(1x +1y )(x +2y)=3+2y x+x y≥3+2√2，(当且仅当2y x=xy，即x =√2−1，y =2−√22时，等号成立)故当x =√2−1，y =2−√22时，(1x +1y )min =3+2√2．【解析】根据题意，分析可得1x +1y =(1x +1y )(x +2y)=3+2y x+xy ，利用基本不等式分析可得答案．本题考查基本不等式的性质以及应用，注意基本不等式的形式，属于基础题．18.【答案】解：(I)当a =2时，集合A ={x|x 2−(3a −1)x +2a 2−a <0}={x|x 2−5x +6<0}={x|2<x <3}．集合B ={x|x 2−4x +3<0}={x|1<x <3}． 故A ∩B ={x|2<x <3}．(Ⅱ)若q 是p 的必要条件，则集合A ⊆B ．集合A ={x|x 2−(3a −1)x +2a 2−a <0}={x|(x −a)[x −(2a −1)]<0}． ①a <1时，a >2a −1，集合A ={x|2a −1<x <a}，要使A ⊆B ，则{a ≤32a −1≥1，解得1≤a ≤3，因为a <1，故这种情况不成立．②当a =1时，a =2a −1，集合A =⌀，这与题目条件矛盾． ③当a >1时，a <2a −1，集合A ={x|a <x <2a −1}，要使A ⊆B ，则{2a −1≤3a ≥1，解得：1≤a ≤2，因为a >1， 故1<a ≤2．综上所述：实数a 的取值范围为(1,2]．【解析】(Ⅰ)把a =2代入集合A ，解得集合A ，B 对应不等式，求出A ∩B 结果即可； (Ⅱ)若q 是p 的必要条件，则集合A ⊆B.对集合A 对应的不等式进行讨论，其解集的端点是2a −1和a ，大小有三种情况，在每种情况下，求出集合A ，借助数轴列出A ⊆B 时区间端点间的大小关系，解不等式组求出a 的范围即可．本题考查集合间的交、并、补运算方法以及A ⊆B 时2个区间端点之间的大小关系(借助数轴列出不等关系)，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．19.【答案】解：(1)解法一：∵g(√x +2)=x +2√x +1=(√x +1)2，∴g(x)=(x −1)2． 又√x +2≥2，∴g(x)=(x −1)2(x ≥2)．解法二：令t =√x +2，则x =(t −2)2.由于√x ≥0，所以t ≥2． 代入原式有g(t)=(t −2)2+2(t −2)+1=(t −1)2， 所以g(x)=(x −1)2(x ≥2)． (2)∵f(x)=g(x)−2xx，∴f(x)=x +1x −4．∵存在x ∈[2,3]使f(x)−kx ≤0成立， ∴k ≥(1x )2−4x +1在x ∈[2,3]时有解． 令t =1x ，由x ∈[2,3]，得t =1x ∈[13,12]，设ℎ(t)=t2−4t+1=(t−2)2−3．则函数ℎ(t)的图象的对称轴方程为t=2，∴当t=12时，函数ℎ(t)取得最小值−34．∴k≥−34，即k的取值范围为[−34,+∞)．【解析】(1)利用换元法或配凑法进行求解即可．(2)利用换元法进行转化，利用一元二次函数的性质进行转化求解即可．本题主要考查函数解析式的求解意见不等式恒成立问题，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键，是中档题．20.【答案】解：(1)由已知得3x2x2+2>23，整理得4x2−9x+4<0，得9−√178<x<9+√178，将√17≈4.2代入得0.61<x<1.64.∴每日研发经费大约在0.61亿元到1.64亿元之间；(2)依题意得y=32(x+1x )+m，∵x+1x ≥2⋅√x⋅1x=2，当且仅当x=1时，取等号，∴y=32(x+1x )+m≤34+m=45，∴m=−14．【解析】(1)列出不等式，求解即可．(2)利用函数的解析式，结合基本不等式，转化求解即可．本题考查函数与方程的应用，不等式的解法，是中档题．21.【答案】解：(1)因为函数f(x)=x+bx2+a 是定义在[−2,2]上的奇函数，所以f(0)=ba=0⇒b=0；又f(1)=1a+1=15⇒a=4所以f(x)=xx2+4，经检验，该函数为奇函数，(2)f(x)在[−2,2]上单调递增，证明如下：任取−2≤x 1<x 2≤2， f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12+4−x 2x 22+4=x 1(x 22+4)−x 2(x 12+4)(x 12+4)(x 22+4)=(x 1x 2−4)(x 2−x 1)(x 12+4)(x 22+4)，其中x 1x 2−4<0，x 2−x 1>0，所以f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，故f(x)在[−2,2]上单调递增． (3)由于对任意的x 1∈[−2,2]，总存在x 2∈[−1,2]，使得f(x 1)=g(x 2)成立， 所以f(x)的值域为g(x)的值域的子集 而由(2)知：f(x)∈[−14,14]，当k >0时，g(x)在[−1,2]上递增，g(x)∈[1−k,8k +1]， 所以{1−k ≤−1414≤8k +1，即k ≥54当k <0时，g(x)在[−1,2]上递减，g(x)∈[8k +1,1−k]， 所以{8k +1≤−1414≤1−k ，即k ≤−532．综上所述，k ∈(−∞,−532]∪[54,+∞)．【解析】(1)f(x)=x+bx 2+a 是定义在[−2,2]上的奇函数⇒f(0)=ba =0⇒b =0，由f(1)=1a+1=15可求得a ； (2)f(x)在[−2,2]上单调递增，用定义证明，任取−2≤x 1<x 2≤2，作差f(x 1)−f(x 2)后化积，分析符号，可证得结论成立；(3)依题意知，f(x)的值域为g(x)的值域的子集，由(2)知：f(x)∈[−14,14]，分k >0与k <0讨论，分析可求得实数k 的取值范围．本题考查函数恒成立问题，着重考查函数基本性质的综合应用，涉及分类讨论思想与转化与化归思想的应用，考查逻辑推理与运算求解能力，属于难题．。

2022-2023学年上海市徐汇区高一上学期期末数学试题一、填空题1．设集合，，，则______．{}1,2,3,4,5,6U ={}2,3,6A ={}1,3,4B =A B = 【答案】##{}2,6{}6,2【分析】利用补集及交集的定义运算即得.【详解】因为，{}{}1,2,3,4,5,6,1,3,4U B ==所以，又因为，{}2,5,6B ={}2,3,6A =所以.{}2,6A B = 故答案为：.{}2,62．关于的不等式，解集为，则不等式的解集为___________.x 230x ax +-<(3,1)-230ax x +-<【答案】3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】根据不等式的解集为，可得是方程的两根，即可求出a 的值，代(3,1)-3,1-230x ax +-=入所求不等式，根据一元二次不等式的解法，即可得答案.【详解】由题意得，是方程的两根，可得，解得，3,1-230x ax +-=31a -+=-2a =所以不等式为，整理为，解得，2230x x +-<(23)(1)0x x +-<312x -<<故答案为：.3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查含参的一元二次不等式的解法，考查分析理解，求值化简的能力，属基础题.3．幂函数在上单调递减，则的值为______．()()226633mm f x m m x -+=-+()0,∞+m 【答案】2【分析】利用幂函数定义求出m 值，再借助幂函数单调性即可判断作答.【详解】解：因为函数是幂函数，()()226633mm f x m m x -+=-+则有，解得或，2331m m -+=1m =2m =当时，函数在上单调递增，不符合题意，1m =()f x x =()0,+∞当时，函数在上单调递减，符合题意.2m =2()f x x -=()0,+∞所以的值为m 2m =故答案为：24．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________.(21)y f x =+[]1,2-(1)=-y f x 【答案】[]0,6【分析】根据抽象函数的定义域求解规则求解即可.【详解】函数的定义域为，即，所以，(21)y f x =+[]12-，12x -≤≤1215x -≤+≤所以，即，115x -≤-≤06x ≤≤所以函数的定义域为.[]0,6故答案为：.[]0,65．设实数满足，则________．x 2log 4log 1x x -=x =【答案】或214【分析】结合对数的换底公式整理得，求出，结合对数和指数式的互化222(log )log 20x x +-=2log x 即可求出.x 【详解】由于，所以原式转化为，22log 42log 2log x x x ==222log 1log x x -=即，解得或，所以或．222(log )log 20x x +-=2log 2x =-2log 1x =14x =2x =故答案为: 或2.146．函数的值域是________.()20.4log 34y x x =-++【答案】[)2,-+∞【解析】先求出函数的定义域为，设，，根据()1,4-()223253424f x x x x ⎛⎫=-++=--+⎪⎝⎭()1,4x ∈-二次函数的性质求出单调性和值域，结合对数函数的单调性，以及利用复合函数的单调性即可求出的单调性，从而可求出值域.()20.4log 34y x x =-++【详解】解：由题可知，函数，()20.4log 34y x x =-++则，解得：，2340x x -++>14x -<<所以函数的定义域为，()1,4-设，，()223253424f x x x x ⎛⎫=-++=--+⎪⎝⎭()1,4x ∈-则时，为增函数，时，为减函数，31,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()f x 3,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x 可知当时，有最大值为，32x =()f x 254而，所以，()()140f f -==()2504f x <≤而对数函数在定义域内为减函数，0.4log y x =由复合函数的单调性可知，函数在区间上为减函数，在上为增函数，()20.4log 34y x x =-++31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭3,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，0.425log 24y ∴≥=-∴函数的值域为.()20.4log 34y x x =-++[)2,-+∞故答案为：.[)2,-+∞【点睛】关键点点睛：本题考查对数型复合函数的值域问题，考查对数函数的单调性和二次函数的单调性，利用“同增异减”求出复合函数的单调性是解题的关键，考查了数学运算能力.7．已知：，：，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是p 35x -<q 123a x a -<<-p qa ________．【答案】112a a ⎧⎫≥⎨⎩⎭【分析】先求解绝对值不等式，由是的充分不必要条件，可得，列出不等式组，p qP Q P Q ⊆≠，求解即可【详解】3553528x x x -<∴-<-<∴-<< 记{|28},{|123}P x x Q x a x a =-<<=-<<-由是的充分不必要条件，可得，且p qP Q ⊆P Q≠故，且等号不同时成立，解得12238a a -≤-⎧⎨-≥⎩112a ≥故答案为：112a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭8．设函数，若在上单调递增，则的取值范围是__________．221,1()(4),1xx ax x f x a x ⎧-++≤=⎨->⎩()f x R a 【答案】4[1,]3【分析】由函数在每一段上都递增，列出不等式，且有，再联立求解即得.()f x (1)4f a ≤-【详解】因函数在上单调递增，则有在上递增，221,1()(4),1xx ax x f x a x ⎧-++≤=⎨->⎩R 221=-++y x ax (,1]-∞于是得，1a ≥在上也递增，于是得，即，并且有，即，解得(4)x y a =-(1,)+∞41a ->3a <(1)4f a ≤-24a a ≤-，43a ≤综上得：，413a ≤≤所以的取值范围是.a 4[1,]3故答案为：4[1,]39．已知，且，则的最小值为_________．0,0a b >>1ab =11822a b a b +++【答案】4【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.82a b a b +++【详解】，,0,0,0a b a b >>∴+> 1ab =11882222ab ab a b a b a b a b∴++=++++，当且仅当=4时取等号，842a b a b +=+≥=+ab +结合,解得.1ab =22a b =-=+22a b ==故答案为：4【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.10．给出下列四个结论函数的最大值为；①211()2x y -+=12已知函数且在上是减函数，则a 的取值范围是；②()log 2(0a y ax a =->1)a ≠()0,1()1,2在同一坐标系中，函数与的图象关于y 轴对称；③2log y x =12log y x=在同一坐标系中，函数与的图象关于直线对称．④2xy =2log y x =y x =其中正确结论的序号是______．【答案】④【分析】根据指数函数的单调性可得二次函数的最值，求得的最小值为；根据①211()2x y -+=12②对数函数的图象与性质，求得a 的取值范围是；同一坐标系中，函数与(]1,2③2log y x =的图象关于x 轴对称；同一坐标系中，函数与的图象关于直线对12log y x=④2xy =2log y x=y x =称．【详解】对于，函数的最大值为1，的最小值为，错误；①21t x =-+211()2x y -+∴=12∴①对于，函数且在上是减函数，②()log 2(0a y ax a =->1)a ≠()0,1，{120a a >∴-≥解得a 的取值范围是，错误；(]1,2②对于，在同一坐标系中，函数与的图象关于x 轴对称，错误；③2log y x =12log y x=③对于，在同一坐标系中，函数与的图象关于直线对称，正确．④2xy =2log y x =y x =④综上，正确结论的序号是．④故答案为．④【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的性质与应用问题，是基础题．11．已知为R 上的奇函数，且，当时，，则()f x ()()20f x f x +-=10x -<<()2xf x =的值为______．()22log 5f +【答案】##-0.845-【分析】由题设条件可得的周期为2，应用周期性、奇函数的性质有()f x ，根据已知解析式求值即可.()2242log 5(log )5f f +=-【详解】由题设，，故，即的周期为2，(2)()()f x f x f x -=-=-(2)()f x f x +=()f x 所以，且，()22225542log 5(22log )(log )(log 445f f f f +=⨯+==-241log 05-<<所以.()24log 5242log 525f +=-=-故答案为：.45-12．设，对任意实数x ，记，其中．若R a ∈()2min{2,35}f x x x ax a =--+-{},min ,,a a ba b b a b ≤⎧=⎨>⎩至少有3个零点，则实数a 的取值范围为________．()f x 【答案】[)10,+∞【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出()235g x x ax a =-+-()2h x x =-()g x ，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的0∆≥a a a 不等式，综合可求得实数的取值范围.a 【详解】设，，由可得.()235g x x ax a =-+-()2h x x =-20x -=2x =±要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，()f x 3()g x 212200a a ∆=-+≥解得或.2a ≤10a ≥①当时，，作出函数、的图象如下图所示：2a =()221g x x x =-+()g x ()h x 此时函数只有两个零点，不合乎题意；()f x ②当时，设函数的两个零点分别为、，2a <()g x 1x ()212x x x <要使得函数至少有个零点，则，()f x 322x ≤-所以，，解得；()2224550ag a ⎧<-⎪⎨⎪-=+-≥⎩a ∈∅③当时，，作出函数、的图象如下图所示：10a =()21025g x x x =-+()g x ()h x由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；()f x 3④当时，设函数的两个零点分别为、，10a >()g x 3x ()434x x x <要使得函数至少有个零点，则，()f x 332x ≥可得，解得，此时.()222450a g a ⎧>⎪⎨⎪=+-≥⎩4a >10a >综上所述，实数的取值范围是.a [)10,+∞故答案为：.[)10,+∞【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、单选题13．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．<B ．a 2>b 21a 1bC ．>D ．a |c |>b |c |21a c +21b c +【答案】C【分析】举特例即可判断选项A ，B ，D ，利用不等式的性质判断C 即可作答.【详解】当a =1，b =-2时，满足a >b ，但，a 2<b 2，排除A ，B ；11a b >因>0，a >b ，由不等式性质得，C 正确；211c +2211a b c c >++当c =0时，a |c |>b |c |不成立，排除D ，故选：C14．下列命题中，真命题是（ ）A ．B ．若且，则x ，y 至少有一个大于12R,2x x x∀∈>,R x y ∈2x y +>C ．D ．的充要条件是2R,20x x ∃∈+≤0a b +=1ab =-【答案】B【分析】举反例可判断AD ，由，可判断C ，由逆否命题与原命题同真假可证明B.2R,0x x ∀∈≥【详解】选项A ，当时，，错误；2x =22x x =选项B ，若，则，故若且，则x ，y 至少有一个大于1，正确；1,1x y ≤≤2x y +≤,R x y ∈2x y +>选项C ，由于，故，错误；2R,0x x ∀∈≥222R,x x ∈+≥∀选项D ，当时，无意义，错误.0a b ==ab 故选：B 15．若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是()f x ()422x g x x =+-()f x A ．B ．C ．D ．3()2f x x =-2()(2)f x x =-()1xf x e =-3()ln()4f x x =+【答案】D【详解】函数的零点即函数与函数图象交点横坐标，如图，()422xg x x =+-()4x h x =()22r x x =-a 据根的存在性定理结合图形不难判断出，而选项A 、B 、C 、D 的零点分别为，可102a <<31,2,024，立即排除A 、B 、C ，故选D ．16．已知函数，若存在使得，则()()ln2,01ln 2ln 2,12xx f x x x ⎧<<⎪=⎨-+≤<⎪⎩02a b c <<<<()()()f a f b f c ==的取值范围是（ ）111ab bc ca ++A ．B ．20,93⎛⎫ ⎪⎝⎭20,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．D．∞⎫+⎪⎪⎭⎫⎪⎪⎭【答案】A 【分析】，易得与的图象关于直线对称，()()ln 2ln 2ln 22x x -+=-ln2y x =()ln 2ln2y x =-+1x =由大小关系易判断，再将全部代换为含a 的式子得，,,a b c 12,4b c ab +==111ab bc ca ++()16281a a a +-令，利用换元法和对勾函数性质进而得解.81t a =-【详解】∵，∴与的图象关于直线对称，()()ln 2ln2ln 22x x ⎡⎤-+=-⎣⎦ln 2y x =()ln 2ln2y x =-+1x =作出的大致图象如图所示，()f x 易知，由，即，，得，2b c +=ln2ln2a b=ln 2ln 2a b -=ln 40ab =14ab =∵，∴，得，112b <<11124a <<1142a <<∴. ()()421621112181244a a a a b c a c ab bc ca abc a a +++++++====--设， 则，.81t a =-()1,3t ∈111117184t ab bc cat ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭17t t +≥=t 故当时，令，单减，，()1,3t ∈()1718h t t t +=+()h t ()()80136,33h h ==故.1172018,943t t ⎛⎫⎛⎫++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A三、解答题17．已知集合或，集合．{1A x x =≤-}5x ≥{}22B x a x a =≤≤+（1）若求和；1a =-，A B ⋂()R A B（2）若，求实数a 的取值范围．A B B = 【答案】（1），；{|21}A B x x ⋂=-≤≤-(){}R |25A B x x ⋃=-≤< （2）.(]()32-∞-⋃+∞，，【分析】（1）当时，，直接进行集合的并集和补集并集计算即可求解；1a =-{|21}B x x =-££（2）由题意可得再讨论和时列不等式组，解不等式即可求解.B A ⊆B =∅B ≠∅【详解】（1）当时，集合或，，1a =-{|1A x x =≤-5}x ³{|21}B x x =-££可得，{|21}A B x x ⋂=-≤≤-因为，{}R |15A x x =-<< 所以；(){}R |25A B x x ⋃=-≤< （2）因为，所以，A B B = B A ⊆当时，，可得，B =∅22a a >+2a >当时或，可得，B ≠∅2221a a a ≤+⎧⎨+≤-⎩2225a a a ≤+⎧⎨≥⎩3a ≤-综上所述：或．2a >3a ≤-所以实数a 的取值范围为.(]()32-∞-⋃+∞，，18．已知关于x 的不等式．250,R mx x m m ++<∈(1)若，求不等式的解集；2m =(2)若不等式的解集非空，则求m 的取值范围．【答案】(1)12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭(2)5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】(1)代入，根据二次不等式的解法即可求解；2m =(2)分，和三种情况讨论，时，结合二次函数的性质即可求解．0m =0m <0m >0m ≠【详解】（1）当，不等式，2m =22520x x ++<解得，或，22520x x ++=12x =-2-故的解集是．22520x x ++<12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭（2）若，则解得，此时符合题意；0m =50x <0x <若，二次函数开口向下，必然存在函数值小于0，此时符合题意；0m <25y mx x m =++若，二次函数开口向上，0m >25y mx x m =++若要不等式的解集非空，则需解得；20Δ2540m m >⎧⎨=->⎩502m <<综上，的取值范围是．m 5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭19．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产x （百辆），需另投入成本（万元），且()C x ．由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年()210100,040,100005014500,40x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩能全部销售完．(1)求出2022年的利润（万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；()L x (2)2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．【答案】(1)2104002000,040()100002500,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--⎪⎩ (2)当时，即2022年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为2300万元．100x =【分析】（1）根据年利润销售额投入的总成本固定成本，分和两种情况得到=--040x <<40x 利润（万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；()L x （2）当时利用二次函数的性质求出的最大值，当时，利用基本不等式求040x <<()L x 40x 的最大值，最后再比较即可．()L x 【详解】（1）解：当时，，040x <<22()500101002000104002000L x x x x x x =---=-+-当时，，40x 1000010000()500501450020002500L x x x x x x =--+-=--；2104002000,040()100002500,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪∴=⎨--⎪⎩ （2）当时，，040x <<2()104002000L x x x =-+-这个二次函数的对称轴为，所有当时，为最大值，20x =20x =()2000L x =当时，，40x 1000010000()25002500()L x x x x x =--=-+，当且仅当即时，等号成立， 10000200x x += 10000x x =100x =，()25002002300L x ∴-= 即当时，取到最大值2300，100x =()L x ，23002000> 当时，即2022年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为2300万元．∴100x =20．已知函数()22x x a f x b +=+（1）当，时，解关于的方程；4a =2b =-x ()2x f x =（2）若函数是定义在上的奇函数，求函数解析式；()f x R ()f x （3）在（2）的前提下，函数满足，若对任意且，不等式()g x ()[()2]22x x f x g x -+⋅=-x R ∈0x ≠恒成立，求实数m 的最大值．()()210g x m g x ≥⋅-【答案】（1）；（2）；（3）221()21x x f x -=+【分析】（1）将，代入，可转化为关于的二次方程，解方程进而可得的值；4a =2b =-2xx （2）利用奇函数的性质直接求解；（3）化简可得，代入不等式分离参数，转化为函数求最值，利用换元法及基本不等()22x x g x -=+式直接求最值.【详解】（1）当，时，．4a =2b =-24()222x x x f x -+==即，2(2)3240x x -⋅-=解得：或（舍去），∴；24x =21x =-2x =（2）若函数是定义在上的奇函数，()f x R 则，即()()f x f x -=-2222x x x x a a bb --++=-++即恒成立，()(22)220x x a b ab -++++=解得：，，或，1a =1b =-1a =-1b =经检验，满足函数的定义域为，1a =-1b =R ．21()21x x f x -∴=+（3）当时，函数满足，0x ≠()g x ()[()2]22x x f x g x -⋅+=-∴，则()[()2]22,(0)x x f x g x x -⋅+=-≠()22x x g x -=+不等式恒成立，()()210g x m g x ≥⋅-即恒成立()()22222210x x x x m --+-≥⋅+-即恒成立，8(22)22x x x x m --≤+++设，则，即，恒成立，22x x t -=+2t >8m t t ≤+2t >由平均值不等式可得：当取最小值．t =8t t +故，即实数m 的最大值为m ≤【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．21．已知函数（其中，且）的图象关于原点对称.()ln 1ax f x b x =-+⎛⎫ ⎪⎝⎭a b ∈R 0a ≠（1）求，的值；a b （2）当时，0a >①判断在区间上的单调性（只写出结论即可）；()x y f e =()0,+¥②关于的方程在区间上有两个不同的解，求实数的取值范围.x ()ln 0x f e x k -+=(]0,ln 4k【答案】（1）或；（2）①在区间上单调递增；②.21a b =⎧⎨=⎩21a b =-⎧⎨=-⎩()0,+¥2033k <≤【分析】（1）由图象关于原点对称知：，结合函数解析式可得，即可()()0f x f x -+=()2211a b b ⎧-=⎪⎨=⎪⎩求参数.（2）由已知得，①为，的构成的复合函数，由它们()1ln 1x f x x -=+()x y f e =211x t e =-+()ln g t t =在上均单调递增，即知的单调性；②由①整理方程得在区间()0,+¥()x y f e =()11x x x e e k e +=-上有两个不同的解，令，有，结合基本不等式求其最值，进(]0,ln 41x u e =-(]0,3u ∈23k u u =++而确定的取值范围.k 【详解】（1）由题意知：，整理得，即()()0f x f x -+=()()ln[011a b x b a b x b x x -+--⨯=-+，对于定义域内任意都成立，()22221a b x b x --=-x ∴，解得或.()2211a b b ⎧-=⎪⎨=⎪⎩21a b =⎧⎨=⎩21a b =-⎧⎨=-⎩（2）由知：，故0a >21a b =⎧⎨=⎩()21ln 1ln 11x x x x f x -⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭①，由，在上均单调递增，()2ln(1)1x x y f e e ==-+211x t e =-+()ln g t t =()0,+¥∴在区间上的单调递增.()x y f e =()0,+¥②由①知，可得，即在区间上有1ln ln 01x x e x k e --+=+1ln ln ln 01x x x e e k e --+=+()11x x x e e k e +=-(]0,ln 4两个不同的解，令，1xu e =-(]0,3u ∈∴当且仅当()()()11223331x x x e e u u k u e u u +++===++≥+=+-u =在上递减，在上递增，且时.23k u u =++3]3u =203k =∴.2033k +<≤【点睛】关键点点睛：（1）利用函数的对称性，结合解析式列方程求参数值；（2）根据对数型复合函数的构成判断单调性，应用参变分离、换元思想，将方程转化为在上存在不同的对应相同的值，求参数范围.23k u u =++(]0,3u ∈u k。

上海市徐汇区高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共12小题，每小题3分，共20分）.1．（3分）已知A={x|x≤7}，B={x|x＞2}，则A∩B= ．2．（3分）不等式的解集是 ．3．（3分）函数f（x）=的定义域是 ．4．（3分）若x＞0，则函数f（x）=+x的最小值为 ．5．（3分）若函数，，则f（x）+g（x）= ．6．（3分）不等式|2x﹣1|＜3的解集为 ．7．（3分）设f（x）是R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则f（1）= ．8．（3分）已知函数，则方程f﹣1（x）=4的解x= ．9．（4分）若函数f（x）=x2+为偶函数，则实数a= ．10．（4分）函数y=的值域是 ．11．（4分）已知函数f（x）=，且函数F（x）=f（x）+x﹣a有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是 ．12．（4分）关于x的方程4x﹣k•2x+k+3=0，只有一个实数解，则实数k的取值范围是 ．　二、选择题：本大题共4小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．13．（4分）“x+y=3”是“x=1且y=2”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也必要条件14．（4分）下列各对函数中，相同的是（ ）A．f（x）=lgx2，g（x）=2lgxB．f（x）=lg，g（x）=lg（x+1）﹣lg（x﹣1）C．f（u）=，g（v）=D．f（x）=x，g（x）=15．（4分）设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（ ）A．a2＜b2B．ab2＜a2bC．D．16．（4分）若f（x）是R上的奇函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，则下列结论：①y=|f（x）|是偶函数；②对任意的x∈R都有f（﹣x）+|f（x）|=0；③y=f（﹣x）在（﹣∞，0]上单调递增；④y=f（x）f（﹣x）在（﹣∞，0]上单调递增．其中正确结论的个数为（ ）A．1B．2C．3D．4三、解答题：本大题共5小题，共44分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（6分）已知全集为R，集合A={x|≤0}，集合B={x||2x+1|＞3}．求A∩（∁R B）．18．（8分）设函数f（x）=a﹣（a∈R）．（1）请你确定a的值，使f（x）为奇函数；（2）用单调性定义证明，无论a为何值，f（x）为增函数．19．（8分）关于x的不等式＞1+（其中k∈R，k≠0）．（1）若x=3在上述不等式的解集中，试确定k的取值范围；（2）若k＞1时，上述不等式的解集是x∈（3，+∞），求k的值．20．（10分）已知f（x）=（）2（x＞1）（1）求f（x）的反函数及其定义域；（2）若不等式（1﹣）f﹣1（x）＞a（a﹣）对区间x∈[，]恒成立，求实数a的取值范围．21．（12分）设a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|+2x．（1）若a=3，求函数f（x）在区间[0，4]上的最大值；（2）若存在a∈（2，4]，使得关于x的方程f（x）=t•f（a）有三个不相等的实数解，求实数t的取值范围．　上海市徐汇区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共12小题，每小题3分，共20分）.1．（3分）已知A={x|x≤7}，B={x|x＞2}，则A∩B=　{x|2＜x≤7}　．【解答】解：∵A={x|x≤7}，B={x|x＞2}，∴A∩B={x|2＜x≤7}，故答案为：{x|2＜x≤7}2．（3分）不等式的解集是　（﹣4，2）　．【解答】解：由不等式可得＜0，即（x﹣2）（x+4）＜0，解得﹣4＜x＜2，故不等式的解集为（﹣4，2），故答案为（﹣4，2）．3．（3分）函数f（x）=的定义域是　{x|x≥﹣2且x≠1}　．【解答】解：由题意，要使函数有意义，则，解得，x≠1且x≥﹣2；故函数的定义域为：{x|x≥﹣2且x≠1}，故答案为：{x|x≥﹣2且x≠1}．4．（3分）若x＞0，则函数f（x）=+x的最小值为　2　．【解答】解：x＞0，则函数f（x）=+x≥2=2，当且仅当x=时，f（x）取得最小值2．故答案为：2．5．（3分）若函数，，则f（x）+g（x）=　1（0≤x≤1）　．【解答】解：；解得，0≤x≤1；∴（0≤x≤1）．故答案为：．6．（3分）不等式|2x﹣1|＜3的解集为　{x|﹣1＜x＜2}　．【解答】解：∵|2x﹣1|＜3⇔﹣3＜2x﹣1＜3⇔﹣1＜x＜2，∴不等式|2x﹣1|＜3的解集为{x|﹣1＜x＜2}．故答案为：{x|﹣1＜x＜2}．7．（3分）设f（x）是R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则f（1）=　﹣3　．【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1），∵当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，∴f（﹣1）=2+1=3，∴f（1）=﹣f（﹣1）=﹣3．故答案为：﹣3．8．（3分）已知函数，则方程f﹣1（x）=4的解x=　1　．【解答】解：由题意得，即求f（4）的值∵，，∴f（4）=log3（1+2）=1，∴f（4）=1．即所求的解x=1．故答案为1．9．（4分）若函数f（x）=x2+为偶函数，则实数a=　1　．【解答】解：∵函数f（x）=x2+为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即x2﹣=x2+，则=0，则a=1，故答案为：110．（4分）函数y=的值域是　（﹣1，）　．【解答】解：函数y===﹣1．∵2x+3＞3，∴0＜．∴函数y=的值域是（﹣1，）故答案为（﹣1，）11．（4分）已知函数f（x）=，且函数F（x）=f（x）+x﹣a有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是　a≤1　．【解答】解：由F（x）=f（x）+x﹣a=0得f（x）=﹣x+a，作出函数f（x）和y=﹣x+a的图象如图：当直线y=﹣x+a经过点A（0，1）时，两个函数有两个交点，此时1=﹣0+a，即a=1，要使两个函数有两个交点，则a≤1即可，故实数a的取值范围是a≤1，故答案为：a≤112．（4分）关于x的方程4x﹣k•2x+k+3=0，只有一个实数解，则实数k的取值范围是　（﹣∞，﹣3）∪{6}　．【解答】解：设t=2x，t＞0x的方程4x﹣k•2x+k+3=0转化为t2﹣kt+k+3=0，设f（t）=t2﹣kt+k+3，原方程只有一个根，则换元以后的方程有一个正根，∴f（0）＜0，或△=0，∴k＜﹣3，或k=6故答案为（﹣∞，﹣3）∪{6}．二、选择题：本大题共4小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．13．（4分）“x+y=3”是“x=1且y=2”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也必要条件【解答】解：当x=0，y=3时，满足x+y=3，但x=1且y=2不成立，即充分性不成立，若x=1且y=2，则x+y=3成立，即必要性成立，即“x+y=3”是“x=1且y=2”的必要不充分条件，故选：B14．（4分）下列各对函数中，相同的是（ ）A．f（x）=lgx2，g（x）=2lgxB．f（x）=lg，g（x）=lg（x+1）﹣lg（x﹣1）C．f（u）=，g（v）=D．f（x）=x，g（x）=【解答】解：对于A：f（x）=lgx2，g（x）=2lgx两个函数的定义域不同，不是相同的函数；对于B：f（x）=lg，g（x）=lg（x+1）﹣lg（x﹣1）函数底的定义域不同，不是相同的函数；对于C：f（u）=，g（v）=，满足相同函数的要求，是相同的函数；对于D：f（x）=x，g（x）=，定义域相同，都是对应关系以及值域不同，不是相同的函数．故选C．15．（4分）设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（ ）A．a2＜b2B．ab2＜a2bC．D．【解答】解：A选项不正确，因为a=﹣2，b=1时，不等式就不成立；B选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；C选项正确，因为⇔a＜b，故当a＜b时一定有；D选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；选项正确，因为y=2x是一个增函数，故当a＞b时一定有2a＞2b，故选C．16．（4分）若f（x）是R上的奇函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，则下列结论：①y=|f（x）|是偶函数；②对任意的x∈R都有f（﹣x）+|f（x）|=0；③y=f（﹣x）在（﹣∞，0]上单调递增；④y=f（x）f（﹣x）在（﹣∞，0]上单调递增．其中正确结论的个数为（ ）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，∴y=|f（x）|是偶函数，故①正确；对任意的x∈R，不一定有f（﹣x）+|f（x）|=0，故②不正确；y=f（﹣x）在（﹣∞，0]上单调递减，故③不正确；y=f（x）f（﹣x）=﹣[f（x）]2在（﹣∞，0]上单调递增，故④正确．故选B．三、解答题：本大题共5小题，共44分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（6分）已知全集为R，集合A={x|≤0}，集合B={x||2x+1|＞3}．求A∩（∁R B）．【解答】解：全集为R，集合A={x|≤0}={x|﹣1＜x≤3}，集合B={x||2x+1|＞3}={x|2x+1＞3或2x+1＜﹣3}={x|x＞1或x＜﹣2}，所以∁R B={x|﹣2≤x≤1}，A∩（∁R B）={x|﹣1＜x≤1}．18．（8分）设函数f（x）=a﹣（a∈R）．（1）请你确定a的值，使f（x）为奇函数；（2）用单调性定义证明，无论a为何值，f（x）为增函数．【解答】解：（1）∵函数f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=a﹣=0，∴a=1；（2）证明：任取：x1＜x2∈R，∴f（x1）﹣f（x2）=a﹣﹣a+=2•∵x1＜x2，∴，又＞0，，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在R上的单调递增．19．（8分）关于x的不等式＞1+（其中k∈R，k≠0）．（1）若x=3在上述不等式的解集中，试确定k的取值范围；（2）若k＞1时，上述不等式的解集是x∈（3，+∞），求k的值．【解答】解：（1）由题意：x=3时，不等式＞1+化简为，即，可得（5﹣k）k＞0，解得：0＜k＜5．∴当x=3在上述不等式的解集中，k的取值范围是（0，5）（2）不等式＞1+化简可得（其中k∈R，k≠0）．∵k＞1，可得：⇔kx+2k＞k2+x﹣3不等式的解集是x∈（3，+∞），∴x=3是方程kx+2k=k2+x﹣3的解．即3k+2k=k2，∵k≠0，∴k=5．故得若k＞1时，不等式的解集是x∈（3，+∞）时k的值为5．20．（10分）已知f（x）=（）2（x＞1）（1）求f（x）的反函数及其定义域；（2）若不等式（1﹣）f﹣1（x）＞a（a﹣）对区间x∈[，]恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解；（1）∵x＞1，∴0＜f（x）＜1．令y=（）2（x＞1），解得x=，∴f﹣1（x）=（0＜x＜1）；（2）∵f﹣1（x）=（0＜x＜1），∴不等式（1﹣）f﹣1（x）＞a（a﹣）在区间x∈[，]恒成立⇔在区间x∈[，]恒成立，对区间x∈[，]恒成立．当a=﹣1时，不成立，当a＞﹣1时，a＜在区间x∈[，]恒成立，a＜（）min，﹣1＜a＜．当a＜﹣1时，a＞在区间x∈[，]恒成立，a＞（）max，a无解．　综上：实数a的取值范围：﹣1＜a＜．21．（12分）设a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|+2x．（1）若a=3，求函数f（x）在区间[0，4]上的最大值；（2）若存在a∈（2，4]，使得关于x的方程f（x）=t•f（a）有三个不相等的实数解，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）当a=3，x∈[0，4]时，f（x）=x|x﹣3|+2x=，可知函数f（x）在区间[0，]递增，在（，3]上是减函数，在[3，4]递增，则f（）=，f（4）=12，所以f（x）在区间[0，4]上的最大值为f（4）=12．（2）f（x）=，①当x≥a时，因为a＞2，所以＜a．所以f（x）在[a，+∞）上单调递增．②当x＜a时，因为a＞2，所以＜a．所以f（x）在（﹣∞，）上单调递增，在[，a]上单调递减．当2＜a≤4时，知f（x）在（﹣∞，]和[a，+∞）上分别是增函数，在[，a]上是减函数，当且仅当2a＜t•f（a）＜时，方程f（x）=t•f（a）有三个不相等的实数解．即1＜t＜=（a++4）．令g（a）=a+，g（a）在a∈（2，4]时是增函数，故g（a）max=5．∴实数t的取值范围是（1，）．。