当前位置：文档之家 › 二元一次方程组的解法加减消元法

二元一次方程组的解法加减消元法

  • 格式：doc
  • 大小：67.00 KB
  • 文档页数：4

下载文档原格式

  / 4

合集下载

二元一次方程组的解法之加减消元法

二元一次方程组的解法之加减消元法

②
12x 16y 32 ③ 12x 9y 3 ④
当程的方的方程两程组边的的都系两乘数（能x（个以相或不方一 同或互能程个或y为）使不适互相的两能当为反直的相系个接数反数数方用（数）相程加不，呢等中减为那？消零么元）就时， 可，使以可变用将形加方后减
消元法来解方程组了.
樂
见
2x 3y 11 ①
2x 3 (3) 11
解得 x 1 写解
3x 45 8
解得 x 4
x 1
因此原方程组的解是
y
3
x 4
因此原方程组的解是
y
5樂见
2x 3y 11 ①
（1）6x 5y 9
②
3x 4y 8 ① （2）4x 3y 1 ②
解：①×5得10x 15y 55③ 解：①×4得 12x 16y 32 ③
小结：如果两个方程中有一个未知数的系数相 等（或互为相反数），那么把这两个方程直接 相减（或相加）；否则，就把方程乘以适当的 数进行变形，再将所得方程相减（或相加）. 樂
见
1997m 1999n 3995 （5）1999m 1997n 3997
选择消
,将方程
①+②得
3996m3996n 39962

y
3
x 4
因此原方程组的解是
y
5樂见
牛刀小试
解下列方程组：
3x 2 y 8 ① （1）6x 5y 47 ②
2x 3y 12 ① （2） 3x 4 y 17 ②
樂 见
巩固练习
用加减法解下列方程时，你认为先消哪个未知数 比较简单，填写消元的过程.
2m 3n 1 ① 选择消 n
（1） 5m 3n 4 ② 将方程 ②－① 进行消元

8.2二元一次方程组的解法(加减消元)

8.2二元一次方程组的解法(加减消元)

5x 6
(4)
x

1
y
5 6

7
y
3 2
解：（1）xy

11(2)xy

3 2
(3)xy

8 x 4(4) y

11 2
14

3
（1）已知关于x、y的方程组（ nmx mn)yx6y 5
的解是xy
1，求m, 2

y

2
，所用的消元法是 加减消元法 ，首先用①
Байду номын сангаас
减去 ②，求出 x ，再求出 y 。
2. 解方程组：
（1）22xx

5y 3y

7 1
（3） x
3
y

x
2
y

6
3(x y) 2(x y) 28
(2)32xx

3y 4y

12 17
∴ x y2 x y3 12 33 28
甲、乙两人同解方程组
Ax Cx

By 3y

2 2,
甲正确解得 xy

11,乙抄错C，解得xy

2 ,
6
求A、B、C的值。
(1)解三元一次方程组：
x z 4 （1）z 2 y 1
n的值。
解：将xy
12代入方程组得2mmnn3
, 6
解得：
m 3 n 0
（2）若22000054xx

2005 2004
y y

2003 ,
2006
求

二元一次方程组的解法

二元一次方程组的解法

解二元一次方程组的基本方法是消元，而我们熟知的方法就是代入消元法和加减消元法，但这两种方法都比较繁琐．下面通过加减消元法的解答过程探讨更简单直接的方法．例．解方程组的解．加减消元法解答过程：······························①两式作差，得···························②··························③将③代入，得··························④所以，原方程组的解为：【解析】由方程组的解可知，，的分母均为，我们可先求二者的分母，而该值亦是②式中的系数，再由①式形式，我们可以通过把原方程组中的两个方程的，的系数写成如下形式：·····························⑤交叉相乘相减，得到二者的分母．再求的分子，即②式右边的数值，可由得到．事实上，用替换⑤中计算可得．即求的值时，用常数列相应替换的系数列．同样地，求的分子，可由得到．即求的值时，则在⑤中用常数列相应替换的系数列计算可得．通过上述推导，我们得到解二元一次方程组的简单方法：，．其中，，，．【注】作为，的分母，因此要求方程组才有解．事实上，二元一次方程组的解可看成两直线和的交点的横纵坐标，而条件“”告诉我们两直线相交，因此方程组有唯一解．而当时，则两直线平行或重合，相应地，方程组要么有无穷多解要么无解．。

8.2.2二元一次方程组解法 加减消元法

8.2.2二元一次方程组解法 加减消元法

3x 2y 8 ①
（1）
x2y 4
②
（2）
3x

x

y y

8 4
① ②
解：①－②得
2x=4
x=2 把x=2代入②得
2+2y=4
2y=2
y=1
ห้องสมุดไป่ตู้
x 2
所以这个方程组的解是

y

1
解：①+②得
4x=12
x=3
把x=3代入②得
3+y=4
y=1
x 3
所以这个方程组的解是
法二，+得4a+4b=12 a+b=3
能力拓张
2、已知 5x 3y 23 (x3y7)2 0 ，求 x - y 的值。
解：由题意可得：
5x 3y 23 x 3y 7 0
0
① ②
①-②，得 4x-16=0
解得 x ＝ 4
把x＝ 4 代入②得 4+3y-7=0
x ＝－6 解: ①＋②，得
8x＝16 x ＝2
填空题:
用加减法解下列方程组
3u 2t 7 (1) 6u 2t 11
解：① + ②，得
① ②
9u=18
解得 u ＝ 2
把u＝ 2 代入①得 3×2+2t=7
解得 t ＝ 0.5 所以这个方程组的解是
t 0.5 u
计算题 ：用加减法解方程组
8.2.2二元一次方程组解法 加减消元法
问题：
小明和小军到学校饭堂吃早餐，小明买了两支水和一 个面包，花了14元；小军买了一支水和一个面包花了 12元，问：一支水和一个面包分别多少元？

8.2《二元一次方程组的解法-加减消元法》教案

8.2《二元一次方程组的解法-加减消元法》教案
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解加减消元法的基本概念。加减消元法是一种解决二元一次方程组的方法，通过适当的加减运算，消去一个未知数，从而简化方程组，便于求解。它在数学和实际生活中有广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何使用加减消元法解决实际问题，以及它如何帮助我们找到方程组的解。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“加减消元法在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
4.培养学生团队合作意识，提高沟通与交流能力，形成批判性思维和解决问题的策略。
5.引导学生感悟数学在实际问题中的应用价值，增强数学建模和数学应用的意识。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解加减消元法的原理及其在求解二元一次方程组中的应用。
-学会根据方程组的特点选择合适的消元顺序，将方程组化为简化行阶梯形式。
同时，我也发现部分学生在解题过程中，对于已学过的知识点的运用不够熟练。这说明，在平时的教学中，我们需要加强对学生知识巩固的训练。通过设计不同难度的练习题，让学生在反复练习中，提高对知识点的掌握程度。
8.2《二元一次方程组的解法-加减消元法》教案
一、教学内容
本节课选自八年级数学下册第8章《二元一次方程组》的8.2节，《二元一次方程组的解法-加减消元法》。教学内容主要包括以下部分：
1.理解加减消元法的概念和原理。

3.3.4 二元一次方程组的解法——加减消元法

3.3.4 二元一次方程组的解法——加减消元法

知2－讲
化简，得x＋y＝3 ③，①－②，
得－x＋y＝－1④，联立③和④，得 x+y 3,
③＋④，得2y＝2，解得y＝1. ③－④，得2x＝4，解得x＝2.
x+y 1,
所以原方程组的解是
x 2,

y

1.
(来自《点拨》)
总结
知2－讲
解轮换对称方程组的步骤： ①两式相加； ②两式相减； ③把新得的两个方程联立，解这个方程组．
知2－讲
x 6,

y

6.
（来自《点拨》）
例4
解方程组

x
2
y

x
3
y

6,
知2－讲
导引：先将方程组2化 x简 y， 再3x用加3 y减 2法4.解方程组．
解：将原方程组化简，得 5x+y 36,①
①×5，得25x＋5y＝180x.③ 5,
解法一:（消去x) 将①×2,得8x+2y=28.③ ②-③，得y= 2. 把y =2代入①，得4x + 2 = 14. x = 3.
知1－讲
所以
解法二: （消去y)x请 同3, 学们自己完成.

y

2.
（来自教材）
例3
解方程组：4x+2y 5, ① 5x 3y 9. ②
y

24.②
③－②，得26x＝156，解得x＝6.
把x＝6代入①，得y＝6.
所以原方程组的解是知2－讲源自x 6, y

6.
(来自《点拨》)
总结
知2－讲
每个二元一次方程组均可采用代入法或加减法求解，但是 在解题中我们应根据方程组的特点灵活选用最恰当的方法， 使计算过程简单，一般地，当化简后的方程组存在一个方 程的某个未知数的绝对值是1或有一个方程的常数项是0时， 用代入法；当两个方程中的某一个未知数系数的绝对值相 等或成倍数关系时，用加减法．

二元一次方程组的解法之加减消元法


3x 45 8
解得 y 3 写解 解得 x 4
x 1
因此原方程组的解是
y
3
x 4
因此原方程组的解是
y
5樂见
牛刀小试
解下列方程组：
3x 2 y 8 ① （1）6x 5y 47 ②
2x 3y 12 ① （2） 3x 4 y 1Βιβλιοθήκη ②樂 见巩固练习
用加减法解下列方程时，你认为先消哪个未知数 比较简单，填写消元的过程.
2m 3n 1 ① 选择消 n
（1） 5m 3n 4 ② 将方程 ②－① 进行消元
5m 3n 2 ① 选择消 m
（2） 5m 3n 4 ② 将方程 ①+② 进行消元
樂 见
5x 4 y 23 ① 选择消 y
（3） 3x 2 y 15 ② 将方程②×2－① 进行消元
7m 3n 1 ① 选择消 n
（1）6x 5y 9
②
3x 4y 8 ① （2）4x 3y 1 ②
方程①×4 方程②×3
归纳
6x 9y 33 ③
6x 5y 9
②
12x 16y 32 ③ 12x 9y 3 ④
当程的方的方程两程组边的的都系两乘数（能x（个以相或不方一 同或互能程个或y为）使不适互相的两能当为反直的相系个接数反数数方用（数）相程加不，呢等中减为那？消零么元）就时， 可，使以可变用将形加方后减
七年级下册
二元一次方程组的解 法
——加减消元法
樂 见
回顾思考
代入法解二元一次方程组一般步骤：
<1>变 ——用含有一个未知数的代数式表示另 一个未知数,写成y=ax+b或x=ay+b；
<2>代——把变形后的方程代入到另一个方程

3.3(2)二元一次方程组的解法(加减消元)及典型例题

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m = 1 +2n
1 2 2 5
所以原方程组的解：
m =5 n=2
即m 的值是5，n 的值是4.
7、如果∣y + 3x - 2∣+∣5x + 2y -2∣= 0，求 x 、y 的值. 解：由题意知, y + 3x – 2 = 0 ① 5x + 2y – 2 = 0 ② 由①得：y = 2 – 3x ③ 把③代入② 得： 5x + 2（2 – 3x）- 2 = 0 5x + 4 – 6x – 2 = 0 5x – 6x = 2 - 4 -x = -2 即x 的值是2，y 的值是-4. 把x = 2 代入③，得： y= 2 - 3×2 y= -4 所以原方程组的解： ∴ x=2 y = -4
1 3y 2 3y 6
把（3）代人（2）得
5
解法二：由（1）得：3 y=1-2x (3) 把（3）代人（2）得5x-(1-2x)=6 解法三：(1)+(2)得 : 7x=7 x=1
y 1 3
把x=1代入(1)得 2+3y=1

x 1 1 y 3
试 一 试 ， 有 谁 能 用 三 种 方 法 解 ？
有相
这样可以通过第一个方程组求出x和y的值，再将 这两个值代入第二个方程，求关于a和b的二元 一次方程组。
9、 关于x、y的方程组 解满足3x＋2y＝19，求原方程组的解。
解：
的
分别把m＝1代入到 x＝7m、y＝－m中， 得： x＝7 ，y＝－1 ∴原方程组的解为：
①＋②，得： 2x＝14m x＝7m
6、若方程5x 求m 、n 的值.
m-2n+4y 3n-m =

人教版数学七年级下册8.2二元一次方程组的解法加减消元法优秀教学案例

（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣，使学生能够主动学习，乐于探究；
2.培养学生团队合作的精神，使学生在合作交流中，提高解决问题的能力；
3.通过实际问题的解决，使学生感受到数学在生活中的应用，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
在教学过程中，我将关注学生的情感态度，以鼓励、激励的方式，激发学生的学习兴趣。通过设置生活情境，让学生感受到数学的实际应用，从而提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。同时，我将注重培养学生的团队合作精神，使学生在合作交流中，提高解决问题的能力。
（四）反思与评价
1.让学生进行自我反思：在教学过程中，引导学生对自己的学习过程进行反思，发现自身的优点和不足，提高自我认知；
2.组织学生相互评价：鼓励学生之间相互评价，取长补短，共同进步；
3.进行课堂总结：在课堂结束时，对学生的学习情况进行总结，给予肯定和鼓励，并提出改进意见。
在教学过程中，我将注重学生的反思与评价，让学生在自我反思和相互评价中，发现自身的优点和不足，提高自我认知。通过课堂总结，对学生的学习情况进行全面评价，给予肯定和鼓励，并提出改进意见，促进学生的持续发展。
人教版数学七年级下册8.2二元一次方程组的解法加减消元法优秀教学案例
一、案例背景
本节内容为人教版数学七年级下册8.2二元一次方程组的解法——加减消元法。在学习了二元一次方程组的基本概念和一元一次方程的解法基础上，学生已具备了一定的数学思维和解决问题的能力。然而，对于二元一次方程组的解法，尤其是加减消元法，仍存在一定的难度。
3.问题导向：在教学过程中，我引导学生提出问题，并鼓励学生自主探究、课堂讨论。通过问题导向的方式，让学生在思考和解决问题的过程中，加深对二元一次方程组解法的理解和掌握。

8.2.2 二元一次方程组的解法-加减法

解由③④组成的方程组
解得 【点睛】整体代入法（换元法）是数学中的重要方法之一，这种方法往
往能使运算更简便．
练一练
例6：2辆大卡车和5辆小卡车工作2小时可运送垃圾36吨，3辆大卡车和2辆 小卡车工作5小时可运输垃圾80 吨, 那么1辆大卡车和1辆小卡车每小时各运 多少吨垃圾？
解：设1辆大卡车和1辆小卡车每小时各运x吨和y吨垃圾.
讲解新知
怎样解下面的二元一次方程组呢？ 3 x + 5 y = 21 ①
2 x – 5 y = -11 ②
5y和－5y互为相反数……
分析： ①+② (3x+5y)+ (2x-5y) = 21 + (－11)
①左边 + ② 左边 = ① 右边 + ②右边 3x+5y +2x － 5y＝10 5x=10 x=2
3
将③代入②得 5 23 2 y 2 y 33
3
解得：y=4
把y=4代人③ ，得x=5 x=5
所以原方程组的解为： y=4
除代入消元， 还有其他方法吗？
讲解新知
3x+2y=23 ① 5x+2y=33 ②
y的系数相等
分析： ①-② (3x+2y) - (5x+2y) = 23 - 33 ①左边 - ② 左边 = ① 右边 - ②右边 3x+2y -5x － 2y＝-10 -2x=-10 x=5
① ②
解： ②×4得： 4x-4y=16③
①＋③得：7x = 35，
解得：x = 5.
把x = 5代入②得，y = 1.
所以原方程组的解为
知识小结
同一未知数的系数 不相等也不互为相反数 时，利用等式的性质，使得
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

二元一次方程组的解法 ----加减消元法
教学目标
1．知识目标：进一步了解加减消元法，并能够熟练地运用这种方法解较为复杂的二元一次方程组。

2．能力目标：经历探索用“加减消元法”解二元一次方程组的过程，培养学生分析问题、解决问题的能力和创新意识。

3．情感目标：在自由探索与合作交流的过程中，不断让学生体验获得成功的喜悦，培养学生的合作精神，激发学生的学习热情，增强学生的自信心。

教学重点难点
教学重点：利用加减法解二元一次方程组。

教学难点：二元一次方程组加减消元法的灵活应用。

复习：
1、解二元一次方程组的基本思路是什么？
基本思路: 消元: 二元→ 一元
2、用代入法解方程的步骤是什么？
主要步骤：
变形 用一个未知数的代数式表示另一个未知数
代入 消去一个元
求解 分别求出两个未知数的值
写解 写出方程组的解
新课导入：
怎样解下面的二元一次方程组呢？
① ②
思路1：把②变形得：2115-=
y x 代入①，不就消去了x 思路2：把②变形得
可以直接代入①
分析：（3x ＋ 5y ）+（2x － 5y ）＝21+（2x － 5y ）
（3x ＋ 5y ）+（2x － 5y ）＝21 + (－11)
①左边 + ② 左边 = ① 右边 + ②右边
3X+5y +2x － 5y ＝10
5x+0y ＝10
5x=10
过程：
解:由①+②得: 5x=10 ⎩
⎨⎧=-=+11-52125y 3x y x 1125+=x y ⎩⎨⎧=-=+11-52125y 3x y x
x ＝2
把x ＝2代入①，得
y ＝3
所以原方程组的解是 参考上面的思路，怎样解下面的二元一次方程组呢？
分析：观察方程组中的两个方程，未知数x 的系数相等，都是2．把这两个方程两边分别相减，就可以消去未知数x ，同样得到一个一元一次方程．
① ②
解：把 ②－①得:8y ＝－8
y ＝－1
把y ＝－1代入①，得
2x －5×（－1）＝7
解得:x ＝1
所以原方程组的解是
归纳:
两个二元一次方程中同一未知数的系数相等或相反时,将两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程,这种方法叫做加减消元法,简称加减法
练习：
一.填空题：
1.已知方程组 x+3y=17
2x-3y=6 两个方程只要两边 就可以消去未知数 。

2.已知方程组 25x-7y=16
25x+6y=10 两个方程只要两边 就可以消去未知数 。

二.选择题
1. 用加减法解方程组 6x+7y=-19① 应用( )
6x-5y=17②
A.①-②消去y
B.①-②消去x
C. ②- ①消去常数项
D. 以上都不对
2.方程组 3x+2y=13 消去y 后所得的方程是（ ）
3x-2y=5
A.6x=8
B.6x=18
C.6x=5
D.x=18
三、指出下列方程组求解过程中有错误步骤，并给予订正：
7x －4y ＝4
5x －4y ＝－4 ⎩⎨⎧==3
2x y ⎩⎨⎧-=+=-1
3275y 2x y x ⎩⎨⎧-=+=-13275y 2x y x ⎩⎨⎧-==1
1x y
解:①－②，得 2x ＝4－4， x ＝0 －4y ＝14
5x ＋4y ＝2
解 ①－②，得
－2x ＝12
x ＝－6
议一议：上面这些方程组的特点是什么?解这类方程组基本思路是什么？
主要步骤有哪些？
特点: 同一个未知数的系数相同或互为相反数
基本思路: 加减消元: 二元→ 一元
主要步骤：加减 元消去一个
求解 分别求出两个未知数的值
写解 写出原方程组的解
知识推进：
用加减法解方程组:
① ② （1）上面的方程组是否符合用加减法消元的条件？
（2）如何转化可使某个未知数系数的绝对值相等？
分析：对于当方程组中两方程不具备上述特点时，必须用等式性质来改变方程组中方程的形式，即将原方程组化为某未知数系数的绝对值相等的新的方程组，从而为加减消元法解方程组创造条件．
解：①×3得
6x+9y=36 ③
②×2得
6x+8y=34 ④
③-④得: y=2
把y ＝2代入①，
解得: x ＝3
所以原方程组的解是
总结 ：1.加减消元法解方程组基本思路是什么？
主要步骤有哪些？
基本思路: 加减消元: 二元→ 一元
主要步骤：
变形 同一个未知数的系数相同或互为相反数
加减 元消去一个
求解 分别求出两个未知数的值
写解 写出原方程组的解
2. 二元一次方程组解法有 .
⎩⎨⎧=+=+17
43123y 2x y x ⎩⎨⎧-==1
1x y
练习 410 3.615108x y x y +=⎧⎨-=⎩32147x y x y +=-⎧⎨+=-⎩34165633x y x y +=⎧⎨-=⎩731232m n n m -=⎧⎨+=-⎩。