4.1柱面、锥面

2
x y 2 pz
旋转抛物面
二、 柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫 柱面的母线. F1 ( x, y, z ) 0 设柱面的准线为 F ( x, y, z ) 0 (1) 2 母线的方向数为X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)为准线 上一点，则过点M1的母线方程为 x x1 y y1 z z1 (2) X Y Z
z


M1 (0, y1 , z1 )
y
o
x
z x 2 y 2 cot
M ( x, y, z )
例2: 求直线 z = ay 绕 z 轴旋转所得的旋转曲面方程. 解: 将 y 用 x 2 y 2 代入直线 方程, 得
z a( x2 y 2 )
y x
z
z = ay
平方得: z2 = a2 ( x2 + y2 ) 该旋转曲面叫做圆锥面, 其顶点在原点.
§５
一、旋转面 1、 定义:
旋转面、柱面和锥面
以一条平面曲线C绕其平面上的一 条直线旋转一周所成的曲面叫做旋 转曲面 , 这条定直线叫旋转曲面的 轴. 纬线
C
o
曲线C称为放置曲面的母线
经线
二、旋转曲面的方程 在空间坐标系中，设旋转曲面的母线为：
F1 ( x, y, z ) 0 C : (1) F2 ( x, y, z ) 0 旋转直线为： x x0 y y0 z z0 L: (2) X Y Z 其中P0(x0,y0,z0)为轴L上一定点，X，Y，Z为旋转轴 L的方向数。 设M1(x1,y1,z1)为母线C上的任意点，则M1的纬圆总 可以看成是过M1且垂直于旋转轴L的平面与以P0为中 心，|P0M1|为半径的球面的交线。

第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§ 4.1柱面1、已知柱面的准线为：⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。

解：（1）从方程⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(222=-+++--z y y z即：0235622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。

（2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线⎩⎨⎧==cz yx 的直线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=z z t y y tx x zz t y y t x x 000000 而0M 在准线上，所以⎩⎨⎧=+--+=-++-+--02225)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：02688823222=--+--++z y x xy z y x此即为要求的柱面方程。

2而0M 在准线上，所以：⎩⎨⎧+=-++=-)2(2)2(22t z t x t z y t x消去t ，得到：010*******22=--+++z x xz z y x此即为所求的方程。

3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。

解：过又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{}1,1,1的直线方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=t z z t y y tx x tz z t y y tx x 111111 将此式代入准线方程，并消去t 得到：013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x此即为所求的圆柱面的方程。

AB d



0 4 4 1 1 0 1 2 2 2 2 1
2 2
2
2 2 (1) 2 22

117 . 3


现设 P( x, y, z ) 为圆柱面上的任意点,那么 即
y 1 z 3 z 3 x 1 x 1 y 1 1 2 2 2 2 1
.
圆柱面的参数方程:


与上一节介绍的球面的参数方程一样,母线平行于轴 的圆柱面的参数方程在计算机绘图及数学分析课中 的重积分计算等应用上也是非常有效的. 在圆柱面的轴上任取一点作为坐标原点,轴的方向平 行于z轴建立直角坐标系. 设圆柱面上任一点到轴线 的距离为常数r, P( x, y, z )是圆柱面上任意一点,过P的 母线与准线圆交于M,那么 OP OM MP (r cos )i (r sin ) j uk .
故得圆柱面的参数方程是：
x r cos , y r sin , z u.
z
x
P u O r M
y
其中 , u 为参数, 0 , u
f ( x, y ) 0, z 0.

设 P( x, y, z ) 是柱面上的任意一点,过点P的母线与准线的交点为 M ( x1 , y1 , z1 ).那么 x x1 0,
y y 0, 1 z z1 u , f ( x , y ) 0, 1 1 z1 0.
2 2 2
AP d.

2 2 (1) 2 22


117 . 3
化简得所求圆柱面的方程为：

M0M v r v
3.例 求半径为2，对称轴为 x y z 的圆柱面
的方程.
23
解：直线l0过点M0 (0, 0, 0), 其方向向量为 v(1, 2,3)
设M(x,y,z)为柱面上任一点，则柱面方程为：
M0M v 2 v
化简得：13x2 10 y2 5z2 4xy 12 yz 6zx 56 0
M0 ( x0 , y0 , z0 )，准线C的方程为
F ( x, y, z) 0, G( x, y, z) 0.
求这个锥面的方程.
点 M(x, y, z) 在此锥面上的充分必要条件是：M
在一条母线上，即，准线上有一点 M1(x1 , y1 , z1 ) 使得 NhomakorabeaM1
在直线
M
0
M
上.
F
方程为
F ( x, y, z) 0, G( x, y, z) 0.
求这个柱面的方程.
点 M(x, y, z)在此柱面上的充分必要条件是 M在某
一条母线上，即，有准线C 上一点 M0 (x0 , y0 , z0 )使得 M 在过 M0 且方向为 v 的直线上（如图3.7）.
因此，有
F (x0 , y0 , z0 ) 0,
y0 y0

( (
y y

(
x1,
y1
,
z1
)

0,
因此，有
Gx1(x1x, 0y1,
z1) 0, (x x0 )u,

y1

y0

(y

y0 )u,
消去 x1 , y1 , z1 得 z1 z0 (z z0 )u.

F1 ( x, y ) 0 F2 ( x, z ) 0
(2)
那么（2）与（1）是两个等价的方程组，也就 是（2）表示的曲线与（1）是同一条曲线。从而 曲面 F1 ( x, y) 0 与曲面 F2 ( x, z) 0 都通过已知曲线（1） 同理方程 F3 ( y, z) 0 也通过已知曲线（1）。 我们把曲面 F1 ( x, y) 0 称为空间曲线（1）对xOy坐 标面的射影柱面，而曲线
F ( x, y) 0 (1) z0 作准线，z轴的方向 0, 0,1 为母线的方向，来建立 柱面方程。 任取准线上的一点 M1 ( x1, y1, z1 ) ，过 M1 的母线 方程为 xx y y zz
1
0

1
0

1
1
即
x x1 y y1
(2)
又因为点
第四章
柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
主要内容
1、柱面 2、锥面 3、旋转曲面 4、椭球面 5、双曲面 6、抛物面 7、单叶双曲面与双曲抛物面的直母线
第一节
柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫 柱面的母线. F1 ( x, y, z ) 0 设柱面的准线为 F ( x, y, z ) 0 (1) 2 母线的方向数为X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)为准线 上一点，则过点M1的母线方程为 x x1 y y1 z z1 (2) X Y Z
f ( x 2 y 2 , z ) 0
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0绕 z 轴旋
转一周的旋转曲面方程.

第四章柱面·锥面·旋转曲面与二次曲线教学目的:1.掌握消去参数法，能运用此法熟练地求出一般柱面、锥面、旋转曲面的方程.2.能识别母线平行于坐标轴的柱面方程,顶点在坐标原点的锥面方程,旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程.掌握求这些特殊位置的特殊曲面方程的方法,并能识别曲面的大致形状.3.掌握平行截线法,能运用此法讨论二次曲面的方程,认识曲面的形状.4.掌握椭球面、双曲面与抛物面的标准方程与主要性质.5.了解单叶双曲面与双曲抛物面的直纹性,并能掌握求直母线的方法.6.能根据给定条件,较准确地作出空间区域的简图.重点难点:1.柱面、锥面、旋转曲面的定义和一般方程的求法是重点,寻找柱面、锥面、旋转曲面的准线是难点.2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程、性质与形状是重点,一般二次曲面方程的灵活多样是难点.3.二次直纹面的性质及直母线方程求法是重点,证明单叶双曲面与双曲抛物面的一些性质难点.4.空间区域的作图是重点,其中在作空间区域时,分析并作出几个曲面的交线是难点.§4.1柱面一.柱面的定义空间中由平行于定方向且与定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫柱面.柱面的方向:定方向;准线:定曲线;母线:一族平行线中的每一条直线.柱面由其准线和定方向唯一确定,但对于一柱面,准线不唯一.二.柱面的方程在空间直角坐标系下,柱面准线Γ方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x F z y x F(1)母线的方向数X,Y,Z.即 {}Z Y X v ,,=(2)任取柱面准线Γ上一点),,(1111z y x M 则过此点的母线方程为Zz z Y y y X x x 111-=-=- 且有0),,(1111=z y x F ,0),,(1112=z y x F .从而消去参数111,,z y x 最后得到一个三元方程0),,(=z y x F ，这就是以⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x F z y x F 为准线, 母线的方向数X,Y,Z 的柱面方程.三.例题讲解例1.柱面的准线方程为⎪⎩⎪⎨⎧=++=++2221222222z y x z y x 母线的方向数为－1,0,1.求这柱面的方程.解 设),,(1111z y x M 是准线上的点,那么过),,(1111z y x M 的母线为101111z z y y x x -=-=--, 且 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++2221212121212121z y x z y x (1) 设t z z y y x x =-=-=--101111,那么 ,1t x x +=y y =1,t z z -=1, 代入(1)得⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=-+++2)(2)(21)()(222222t z y t x t z y t x 可得 0)(2=-t z ,即 z t = 求得柱面方程为 1)(22=++y t x . 例 2. 已知圆柱面的轴为 21211-+=--=z y x ,点(－1,－2,1)在此圆柱上, 求这柱面的方程.解法一 因为圆柱面的母线平行于其轴,所以母线的方向数即为轴的方向数－1,－2,－2.若能求出圆柱面的准线圆,问题即解决了.空间的圆总可以看成是某一球面与一平面的交线, 此圆柱面的准线圆可以看成是以轴上的点(0,－1,－1)为中心, 点(0,－1,－1)到已知点(－1,－2,1)的距离14=d 为半径的球面14)1()1(222=++-+z y x 与过知点(－1,－2,1)且垂直于轴的平面0322=---z y x 的交线,即准线圆的方程为⎩⎨⎧=---=-+-+032214)1()1(222z y x z y x设),,(111z y x 为准线圆上的点,那么14)1()1(212121=++-+z y x ,0322111=---z y x 且过的),,(111z y x 母线为221111--=--=-z z y y x x .消去参数111,,z y x 即得所求的圆柱面方程 0991818844558222=-+--++++z y yz xz xy z y x .解法二 将圆柱面看成是动点到轴线等距离的点的轨迹,这里的距离就是圆柱面的半径.轴的方向矢量为{}2,2,1--=v ,轴上的定点为)1,1,0(0-M ,而圆柱面上的点为)1,2,1(1-M ,所以{}2,3,110-=M M ,因此)1,2,1(1-M 到轴的距离为3117==d 再设),,(z y x M 为圆柱上任意点,那么有3117==d 即 3117)2()2(1211121221122222=-+-+--+-++--+-y x x x z y 化简整理得 0991818844558222=-+--++++z y yz xz xy z y x .定理4.1.1 在空间直角坐标系中，只含两个元（坐标）的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元(坐标)的同名坐标轴。

解析几何第四版吕林根-期末复习-课后习题(重点)详解第一章 矢量与坐标§1.3 数量乘矢量4、 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B、D 三点共线．证明 ∵→→→→→→→→→→=+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382 ∴→AB 与→BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B、D 三点共线．6、 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量, , CN 可 以构成一个三角形.证明： )(21AC AB AL += )(21BM +=)(21CB CA CN +=)(21=+++++=++∴BM7.、设L 、M 、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明OB OA ++OC =OL ++.[证明] LA OL OA += MB OM OB += +=)(NC MB LA ON OM OL OC OB OA +++++=++∴ =)(CN BM AL ON OM OL ++-++由上题结论知：0=++ ON OM OL OC OB OA ++=++∴从而三中线矢量,,构成一个三角形。

8.、如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明OA +OB +OC +＝4.[证明]：因为＝21(OA +OC ), ＝21(OB +OD ), 所以 2OM ＝21(OA +OB +OC +) 所以OA +OB +OC +＝4. 10、 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．证明 已知梯形ABCD ，两腰中点分别为M 、N ，连接AN 、BN ．→→→→→→++=+=DN AD MA AN MA MN ，→→→→→→++=+=CN BC MB BN MB MN ，∴ →→→+=BC AD MN ，即§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解 3.、设一直线上三点A , B , P 满足AP ＝λ(λ≠－1),O 是空间任意一点，求证：OP ＝λλ++1 [证明]：如图1-7，因为图1-5＝OP －, ＝－OP ,所以 OP －＝λ (－OP ), (1+λ)OP ＝+λ,从而 OP ＝λλ++1OB. 4.、在ABC ∆中,设,1e =2e =.(1) 设E D 、是边BC 三等分点,将矢量,分解为21,e e 的线性组合;（2）设AT 是角A 的平分线(它与BC 交于T 点),将AT 分解为21,e e 的线性组合解：（1）()12123131,e e e e -==-=-= ，2111231323131e e e e e +=-+=+=，同理123132e e +=（2）因为 ||||TC ||11e 且 BT 与方向相同，所以 BT ||21e e . 由上题结论有AT||||1||212211e e e e e +||||21e e +.5．在四面体OABC 中，设点G 是ABC ∆的重心（三中线之交点），求矢量对于矢量,,,的分解式。

x1 y1 z1
解：（ 1）设 M 1( x1, y1 , z1) 是母线 1
1
2 上任一点，过 M 1 的纬圆为：
Байду номын сангаас
( x x1) ( y y1) 2(z z1) 0
(1)
x2 y2 (z 1)2 x12 y12 ( z1 1)2
(2)
又 M 1 在母线上。
x1 1 y1 1 z1 1
1
1
2
从（ 1）——（ 3）消去 x1, y1, z1 ，得到：
(2)
又 M 1 在母线上，所以
z1 x12
(1)
x12 y12 1
(2)
从（ 1）——（ 3）消去 x1, y1, z1 ，得到：
x2 y 2 1
z z1 x12 1 0 z 1
即旋转面的方程为： x2 y 2 1 ( 0 z 1 )
xy
2、将直线
0
z 绕 z 轴旋转，求这旋转面的方程，并就
1
么曲面？
3 / 24
将它们代入准线方程，并消去
X0 Y0 Z0
t 得：
3 ( x 3)t 1 (y !)t 2 ( z 2)t
3x2 5y2 7 z2 6xy 2 yz 10xz 4x 4 y 4 z 4 0
此为要求的锥面方程。 4、求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程。 解：（这里仅求Ⅰ、Ⅶ卦限内的圆锥面，其余类推）
AM // AM ，且 AM 0 （顶点不在准线上）
AM vAM
即
0 v( (u) 0 )
亦即 v (u) (1 v) 0
5 / 24
此为锥面的矢量式参数方程。 若将矢量式参数方程用分量表示，即：
{ x, y, z} v{ x(u), y(u), z(u)} (1 v){ x0, y0, z0}

M
M
而 M 与 M 到 l 的距离相等 |M0M | = |M0M| .
于是 M S
M , MM u0 = 0,
|M0M| = |M0M| .
上页 下页 结束
方程
上页 下页 结束
上页 下页 结束
例
求直线
x2 0
y 1 0
z 1
绕直线
x 0
y 0
z 1
旋转一周所得旋转曲面的方程。
b2
1
z 0
绕 y 轴一周
.
z
y
o
a
x
3 旋转单叶双曲面
上题双曲线
x2 y2
a
2
b2
1
z 0
绕 y 轴一周
得单叶旋转双曲面 . .
x2 z2 y2
1
a2
b2
z
y
o
a
x
.
4 旋转锥面
两条相交直线
x 2 y 2 = 0 a2 b2 z = 0
绕 x 轴一周
x
o
y
4 旋转锥面
两条相交直线
z1 z
| y1 | MP x 2 y 2
Sz
z1 C
o
y1
y
.
S：f ( x 2 y 2 , z) 0.
x
上页 下页 结束
建立旋转曲面的方程：
如图 设 M ( x, y, z),
(1) z z1
（2）点M 到z 轴的距离
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
双
曲
线
x a
y b
z
绕 x 轴一周

方程 x
(6) 直线的射影式方程
X X z ( x0 z0 ) 表示的平面平行于oy轴 Z Z 在直角坐标系下又垂直 与坐标面xoz Y Y 方程 y z ( y0 z0 ) 表示的平面平行于ox轴 Z Z 在直角坐标系下又垂直 与坐标面 yoz
直线向坐标面所引的射影平面
x y a ① 例 画出 C : 2 2 x y 2 z 2 2a 2 ②
首先证: 以原点为顶点的锥面方程是 x , y , z 的齐次方程. 设锥面的准线为 C
D0
z
推论 关于 x x0 , y y0 , z z0 的齐次方程表示顶点在 ( x0 , y0 , z0 )的锥面.
F ( x, y, z ) 0 C : Ax By Cz D 0 O M ( x, y, z ) x y z 1 x1 y1 z1 t F ( x1 , y1 , z1 ) 0
为所求柱面方程
4 x 2z y 2 2 x z 5 5
2
M0 ( x0 , y0 , z0 )
C
l 考虑方程 F ( x , y ) 0 在 x y 平面上 它一般表示一条曲线C.
z

M ( x, y, z )
在空间直角坐标系中,以C为准线, 作母线平行于z轴的柱面Σ. 空间中任一点 M ( x , y , z ) M 在 x y平面上的投影为M1 ( x , y ,0)
三元方程中,如果不含z: F ( x , y ) 0 则它一定表示一个 母线平行于z轴的柱面. 反之,任何一个母线平行于z 轴的柱面, 它的方程中 一定不含z.
z

o x
y
证 设Σ是一个母线平行于z轴的柱面,

(a
x2 1 h2
y2
c2 )2 (b 1 h2
zh
1 c2 )2
无论h取何值，此方程组总表示在平面: z h
上的椭圆，它的两半轴为：a 1 h2 c2 与b 1 h2 c2
此时椭圆的两轴端点（± a 1 h2 c2 ，0， h）与
（0， ±b 1 h2 c2 ， h）分别在两条主截线（双
曲线）上，且所在平面与腰椭圆平行.
所表示的曲面，叫做单叶双曲面, 做单叶双曲面的标准方程.
此方程叫
方程
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
与
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
表示的曲面也是单叶双曲面.
二、性质
1. 对称性
x2 y2 z2 1(a,b, c 0) a2 b2 c2
中心 ：坐标原点（1个）;
主轴 ：x轴、y轴和z轴（3条）;
§4.1 柱面
定义4.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动 的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线叫
柱面的准线，
母线
动直线叫柱面
的母线.
观察柱面的形
成过程:
准
线
柱面举例：
z
M(x, y, z)
M1( x, y,0)
z
•
• x2 2y
平面
o
y
o
y
x
抛物柱面 x
y x
抛物柱面方程：
x2 2y
平面方程：
相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面形状的截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．

z
M1
C
代人椭圆方程，整理得锥 x2 y 2 z 2 面方程： 2 2 2 0。 a b c
0
x
y
17
例2
例 2：已知圆锥面的顶点为A (1, 2,3)，轴垂直于平面 2x 2y z 1 0，母线与轴组成 30的夹角，求圆锥面的方程。
解1: 设M ( x, y, z)为任一母线上的点,则过M 的母线的方向为
解析几何
第四章 柱面锥面旋转曲面与二次曲面
§4.1 柱面
§4.2 锥面 §4.3 旋转曲面 §4.4 椭球面 §4.5 双曲面 §4.6 抛物面 §4.7 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线
1
第四章 柱面 锥面 旋转曲面 及二次曲面 教学安排说明
教学时数： 14课时 本章教学目标及要求：1.掌握球面、空间圆等特殊曲面、曲 线的方程及求法； 2.熟悉母线平行于坐标轴的柱面、顶点在某一 点的锥面和特殊的旋转面的方程,并能从方程判断曲面的形状； 3.能识别椭球面、双曲面、抛物面、单叶双曲面、双曲抛物面的 几何特征及方程，并能从方程中判断曲面的形状。 本章教学重点：1. 常见二次曲面的定义及标准方程； 2. 坐标面上曲线绕坐标轴旋转， 所产生的旋转曲面的方程及求法。 本章教学难点： 1.锥面方程的特征及其论证；2. 单叶双曲面的 几何性质及分析； 3. 二次曲面的直纹性及相关证明。
2 2 2
M1
过点M1且垂直于轴的平面方程为：
M0
x2 y 2 z 3 0； 它们的交线即柱面 x 2 ( y 1)2 ( z 1)2 14 的准线方程： ,轴线的方向就是 x 2 y 2z 3 0 柱面的方向，再按例1的解法即可求出柱面的方程。
7
解法2

特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面引言空间解析几何所研究的曲面主要是二次曲面。

但是也可以研究一些非二次特殊曲面。

本论文中将利用直线或曲线适合某几何特征来建立一些曲面的方程。

主要讨论由直线产生的柱面和锥面，曲线产生的旋转曲面这三大类。

1.柱面定义1：一直线平行于一个定方向且与一条定曲线Γ相交而移动时所产生的曲面叫做柱面（图1），曲线Γ作叫做准线。

构成柱面的每一条直线叫做母线。

显然，柱面的准线不是唯一的，任何一条与柱面所有母线都相交的曲线都可以取做柱面的准线，通常取一条平面曲线作为准线。

特别地，若取准线Γ为一条直线，则柱面为一平面，可见平面是柱面的特例。

下面分几种情形讨论柱面的方程。

1.1 母线平行于坐标轴的柱面方程选取合适的坐标系，研究对象的方程可以大为化简。

设柱面的母线平行于z 轴，准线为Oxy 面上的一条曲线，其方程为：(),00f x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩图1u v又设(),,P x y z 为柱面上一动点（图2），则过点P 与z 轴平行的直线是柱面的一条母线，该母线与准线Γ的交点记为(),,0M x y ，因点M 在准线上，故其坐标应满足准线方程，这表明柱面上任一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y =反过来，若一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y =，过P 作z 轴的平行线交Oxy 面于点M ，则点M 的坐标(),,0x y 满足准线Γ的方程(),0,0f x y z ==，这表明点M 在准线Γ上，因此直线MP 是柱面的母线 (因为直线MP 的方向向量为{}{}0,0,||0,0,1z )，所以点P 在柱面上。

综上所述，我们有如下结论：母线平行上于z 轴，且与Oxy 面的交线为(),0,0f x y z ==的柱面方程为：(),0f x y = （1）它表示一个无限柱面。

若加上限制条件a z b ≤≤，变得它的一平截段面。

同理，母线平行于x 轴，且与Oyz 面的交线为(),0,0g y z x ==的柱面方程为(),0g y z =；母线平行于y 轴，且与Ozx 面的交线为(),0,0h x z y ==的柱面方程为(),0h x z =。

第五节 旋转面、柱面和锥面
一、旋转面 二、柱面 三、和锥面
在右手直角坐标系下讨论
§5
旋转面、柱面和锥面
一、球面的普通方程 二、球面的参数方程，点的球面方程 三、曲面和曲线的普通方程 四、旋转面
5.1 旋转曲面 定义3.1 一条 曲线Γ 绕一条直 线l 旋转一周所 成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线l 叫旋转 曲面的轴， Γ 称为 旋转面的母线。．


0
0
0
0
满足的方程，即为所求 旋转曲面的方程。
任取l 上的点 M1 , | MM1 || M 0 M1 |
例2. 设旋转面的轴线 l 过点M 0 (1,3, 1) ， 平行于向量 u0 (1,1,1) ，准线 是过点 M1 (0, 2,1) 平行于向量 u1 (1, 1,1) 的直线 求此旋转面方程。 x y 2 z 1 解： 先写出准线 方程： 1 1 1 旋转轴 l : x 1 y 3 z 1 设旋转面上点 M ( x, y, z ) 由准线上点 M ( t , 2 t , 1 t ) 旋转而得。 M M u0 M M u0＝0
u (1,1,1) 或( 1,1,1)， (1, 1,1)， (1,1, 1)
设点 M ( x , y, z ) 在圆锥面上
cos OM , u cos e1 , u
P91 例2.16
2 2 2 2 | e1 u |( x y z ) x y z | OM v | | e v | | OM | 1 | u | xy yz 2 zx 2 0 | OM || u | | OM u | | OM |
柱面：（准线为坐标面上的线， 母线平行于坐标轴）

第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§4.1 柱面教学目的：1.理解柱面的定义；2.掌握求柱面方程的步骤，会求柱面的方程。

教学重点：柱面的定义；求柱面方程的步骤；会求柱面的方程教学难点：会求柱面的方程课时安排：1课时教学方法：教授法教学过程：一、柱面的定义定义4.1.1在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫做柱面.定方向叫柱面的方向，定曲线叫柱面的准线，平行直线族中的每一条都叫柱面的母线.注：一个柱面的准线不惟一。

二、柱面的方程设在给定的坐标系下，柱面S 的准线为⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x F z y x F(1)母线的方向数为X ，Y ，Z .求柱面方程的步骤： 1.写出母线方程若M 1(x 1，y 1，z 1) 为准线上任一点，则过M 1的母线方程为Z z z Y y y X x x 111-=-=- (2)2.写出关于参数x 1，y 1，z 1且、的约束条件（方程） 0),,(0),,(11121111==z y x ，F z y x F (3)3.消参从（2）与（3）两组等式中消去参数x 1，y 1，z 1，最后得一个三元方程F (x ，y ，z ) = 0就是以（1）为准线，以{X ，Y ，Z }为方向的柱面的方程.这里需要特别强调的是，消去参数的几何意义，就是让点M 1遍历准线上的所有位置，就是让动直线（1）“扫”出符合要求的柱面. 三、典型例题例1 已知一个柱面的准线方程为2222221222x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩，其母线的方向数是－1，0，1，求该柱面的方程.解 设M 1(x 1，y 1，z 1)是准线上的点，过M 1(x 1，y 1，z 1)的母线为111101x x y y z z ---==- (1)且有2221111x y z ++= (2) 222122222x y z ++= (3)由(1)得 111,,x x t y y z z t =+==- (4)将(4)代入(2)和(3)得222()()1x t y z t +++-= (5) 2222()2()2x t y z t +++-= (6)由（5）和（6）得2()0,z t t z -== (7) 将（7）代入（5）（或（6））得所求柱面方程为22()1x z y ++= 即222210x y z xz +++-=. 例2 已知圆柱面的轴为11122x y z -+==--，点M 1(1，－2，1)在此柱面上，求这个圆柱面的方程.解法一：因圆柱面的母线平行于其轴，故母线的方向数为1，－2，－2，若能求得圆柱面的准线圆，则用例1的方法即可解题.空间的圆总可看成某一球面与某一平面的交线，圆柱面的准线圆可看成以轴上的点M 0(0，1，－1)为中心，14||10==M M d 为半径的球面222(1)(1)14x y z +-++=与过已知点M 1(1，－2，1) 且垂直于轴的平面2230x y z ---=的交线，即准线圆方程为：222(1)(1)142230x y z x y z ⎧+-++=⎨---=⎩设111(,,)x y z 为上的任意点，则过111(,,)x y z 的母线为111122x x y y z z ---==--且有222111(1)(1)14x y z +-++= 1112230x y z ---=消去参数x 1，y 1，z 1，得所求圆柱面的方程为2228554481818990x y z xy xz yz y z ++-+--+-=.解法二：因轴的方向向量为v = {1，－2，－2}，轴上的定点为M 0(0，1，－1)，M 1(1，－2，1)是S 上的定点，点M 1到轴的距离10v M M d v⨯={1,2,2}{1,3,1}{1,2,2}--⨯-==--.设M (x ，y ，z ) 是圆柱面上任意一点，则M 到轴l 的距离为3117，即31173|}2,2,1{}1,1,{|||||0=--⨯+-=⨯z y x M v v化简整理就得S 的方程为0991818844558222=-+--+-++z y yz xz xy z y x四、思考证明方程222210x y z xz +++-=表示的曲面是柱面。

第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§ 4.1柱面1、已知柱面的准线为：⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于轴；（2）母线平行于直线，试求这些柱面的方程。

x c z y x ==,解：（1）从方程⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 中消去，得到：x 25)2()3()3(222=-+++--z y y z 即：0235622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。

（2）取准线上一点，过且平行于直线的直线方程为：),,(0000z y x M 0M ⎩⎨⎧==c z yx ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=z z t y y tx x zz t y y tx x 000000而在准线上，所以0M ⎩⎨⎧=+--+=-++-+--02225)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去后得到：t 02688823222=--+--++z y x xy z y x 此即为要求的柱面方程。

2、设柱面的准线为，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。

⎩⎨⎧=+=zx z y x 222解：由题意知：母线平行于矢量{}2,0,1-任取准线上一点，过的母线方程为：),,(0000z y x M 0M ⎪⎩⎪⎨⎧+==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z z y y tx x tz z y y t x x 2200000而在准线上，所以：0M ⎩⎨⎧+=-++=-)2(2)2(22t z t x t z y t x 消去，得到：t 010*******22=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。

3、求过三条平行直线的圆柱面方程。

211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与解：过原点且垂直于已知三直线的平面为：它与已知直线的交点为0=++z y x ，这三点所定的在平面上的圆的圆心为())34,31,31(),1,0,1(,0,0,0--0=++z y x ，圆的方程为：1513,1511,152(0--M ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-++++075981513(1511(152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。