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2020高考数学二轮复习第十二章概率与统计古典概型与几何概型理理数1. (2020湖北,7,5分)由不等式组确定的平面区域记为Ω1,不等式组确定的平面区域记为Ω2,在Ω1中随机取一点,则该点恰好在Ω2内的概率为()A. B. C. D.[答案] 1.D[解析] 1.区域Ω1为直角△AOB及其内部,其面积S△AOB=×2×2=2.区域Ω2是直线x+y=1和x+y=-2夹成的条形区域.由题意得所求的概率P===.故选D.2. (2020陕西,6,5分)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()A. B. C. D.[答案] 2.C[解析] 2.根据题意,2个点的距离小于该正方形边长的有4对,故所求概率P=1-=,故选C.3.(2020浙江,9,5分)已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3,n≥3),从乙盒中随机抽取i(i=1,2)个球放入甲盒中.(a)放入i个球后,甲盒中含有红球的个数记为ξi(i=1,2);(b)放入i个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i=1,2).则()A.p1>p2,E(ξ1)<E(ξ2)B.p1<p2,E(ξ1)>E(ξ2)C.p1>p2,E(ξ1)>E(ξ2)D.p1<p2,E(ξ1)<E(ξ2)[答案] 3.A[解析] 3.当i=1时,若从乙盒中抽取的1个球为红球,记从甲盒中取1个球是红球的事件为A1,则P(A1)=.若从乙盒中抽取的1个球为蓝球,记从甲盒中取1个球是红球的事件为A2,则P(A2)=×=,而A1与A2互斥,则p1=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=.此时,ξ1的取值为1或2,P(ξ1=1)=,P(ξ1=2)=,则E(ξ1)=1×+2×=.当i=2时,若从乙盒中抽取的2个球都为红球,记从甲盒中取1个球是红球的事件为B1,则P(B1)=. 若从乙盒中抽取的2个球为1个红球和1个蓝球,记从甲盒中取1个球是红球的事件为B2,则P(B2)=×.若从乙盒中抽取的2个球都是蓝球,记从甲盒中取1个球是红球的事件为B3,则P(B3)=×.因为B1,B2,B3互斥,则p2=P(B1+B2+B3)=P(B1)+P(B2)+P(B3)====.则p1-p2=>0,即有p1>p2.此时,ξ2的取值为1,2,3.P(ξ2=1)=,P(ξ2=2)=,P(ξ2=3)=,则E(ξ2)=1×+2×+3×==3p2=,则有E(ξ1)<E(ξ2),综上,p1>p2,E(ξ1)<E(ξ2),故选A.4.(2020课表全国Ⅰ，5，5分)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A. B. C. D.[答案] 4.D[解析] 4.由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有24种情况,而4位同学都选周六有1种情况,4位同学都选周日有1种情况,故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为P===,故选D.5. (2020山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，9) 向边长分别为的三角形区域内随机投一点，则该点与三角形三个顶点距离都大于1的概率为（）A． B. C. D.[答案] 5. A[解析] 5. 设△ABC的三边AB=5，BC=6，AC=. 根据余弦定理可得，又因为∠B∈（0，π），所以. 所以△ABC的面积为. 而在△ABC的内部且离点A距离小于等于1的点构成的区域的面积为，同理可得在△ABC的内部且离点B、C距离小于等于1的点构成的区域的面积分别为，，所以在△ABC内部，且与三角形三个顶点距离都大于1的平面区域的面积为，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为.6. (2020河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），3) 利用计算机产生0～1之间的均匀随机数, 则使关于的一元二次方程无实根的概率为( )[答案] 6. C[解析] 6. 由，故，选C .7. (2020湖北黄冈高三4月模拟考试，8) 假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进入手机的时间之差小于2秒，手机就会收到干扰，则手机收到干扰的概率为（）A.B.C.D.[答案] 7. C[解析] 7. 设两条短信进入手机的时间分别为、，则，作平面区域，如图，由几何概型知，手机受到干扰的概率为.8. (2020贵州贵阳高三适应性监测考试, 11) 在区间[0,2]上随机取两个数, 则0≤≤2的概率是（）A.B.C.D.[答案] 8.C[解析] 8.：如图，.9. (2020黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，10) 在二项式的展开式中只有第五项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都互不相邻的概率为（）A. B. C. D.[答案] 9. D[解析] 9. 因为展开式中只有第五项的二项式系数最大，所以，其通项公式为，当时，项为有理项，展开式的9项全排列为种，，所有的有理项互不相邻可把6个无理项全排，把3个有理项插入形成的7个空中，有，所以有理项互不相邻的概率为.10.（2020吉林实验中学高三年级第一次模拟，6）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手. 若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（）A．B．C．D．[答案] 10. D[解析] 10. 从18个选手中任选3人的选法有种选法，由数字1，2，3，…，18构成的以3为公差的等差数列其等差中项只能是4、5、…. 、15，每个等差中项对应1个等差数列，所以以3为公差的等差数列共有：12个，所以所求概率为.11.（2020湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，9）将一颗骰子连续抛掷三次, 已知它落地时向上的点数恰好依次成等差数列, 那么这三次抛掷向上的点数之和为12的概率为（）A． B． C．D．[答案] 11. A[解析] 11. 它落地时向上的点数恰好依次成等差数列的情况有公差为0：有6种情况；公差为1的有4×2=8个；公差为2的有：2×2=4个，而满足这三次抛掷向上的点数之和为12的有：（3,4, 5）、（5,4, 3）、（4,4, 4）、（2,4, 6）、（6,4, 2）共5个，根据古典概型的概率计算可得所求概率为.12. (2020重庆五区高三第一次学生调研抽测，7) 设点（）是区域内的随机点，函数在区间[）上是增函数的概率为（）A. B. C. D.[答案] 12. C[解析] 12. 表示的区域的面积为. 函数在区间[）上是增函数，则，所以概率. 选C.13.(2020湖北武汉高三2月调研测试，8) 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G．设AB＝2AA1＝2a．在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为P，当点E，F分别在棱A1B1，BB1上运动且满足EF＝a时，则P的最小值为[答案] 13. D[解析] 13. 根据几何概型，===，其中“＝” 当且仅当时成立. 故选D.14.(2020吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 5) 小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离小于，则周末去踢球，否则去图书馆. 则小波周末去图书馆的概率是（）A.B.C.D.[答案] 14. B[解析] 14. 圆的面积为，点到圆心的距离小于的面积为，所以点到圆心的距离大于的面积为，由几何概型小波周末去图书馆的概率为.15. (2020河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 8) 已知菱形的边长为4，，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率（）A. B. C. D.[答案] 15.D[解析] 15.如右图，阴影部分M即为点到菱形四个顶点的距离大于1的点的集合，空白部分是半径为的圆，所以.16. (2020兰州高三第一次诊断考试, 9) 下列五个命题中正确命题的个数是( )①对于命题，则，均有②是直线与直线互相垂直的充要条件③已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5) ，则回归直线方程为＝1.23x＋0.08④若实数，则满足的概率为⑤ 曲线与所围成图形的面积是A. 2B. 3C. 4D. 5[答案] 16. A[解析] 16. 对①，因为命题，则，均有，故①错误；对②，由于直线与直线垂直的充要条件是或0，故②错误；对③，设线性回归方程为，由于样本点的坐标满足方程，则，解得，回归直线方程为，故③正确；对④，有几何概型知，所求概率为，故④错误；对⑤，曲线与所围成图形的面积是，正确.故正确的是③⑤，共2个.17. (2020湖北黄冈高三期末考试) 福彩3D是由3个0～9的自然数组成投注号码的彩票，耀摇奖时使用3台摇奖器，各自独立、等可能的随机摇出一个彩球，组成一个3位数，构成中奖号码，下图是近期的中奖号码（如197,244, 460等），那么在下期摇奖时个位上出现3的可能性为（）[答案] 17. A[解析] 17. 古典概型. 依题意，个位上的数字由10种情况，个位上的数去3 只有一种情况，故所求的概率，即个位上出现3的可能性是10%.18. (2020广东,11,5分)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为________.[答案] 18.[解析] 18.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数有种选法.要使抽取的七个数的中位数是6,则6,7,8,9必须取,再从0,1,2,3,4,5中任取3个,有种选法,故概率为=.19. (2020福建,14,4分)如图,在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为________.[答案] 19.[解析] 19.∵y=ex与y=ln x互为反函数,故直线y=x两侧的阴影部分面积相等,只需计算其中一部分即可.如图,S1=exdx=ex=e1-e0=e-1.∴S总阴影=2S阴影=2(e×1-S1)=2[e-(e-1)]=2,故所求概率为P=.20. (2020江西,12,5分)10件产品中有7件正品、3件次品,从中任取4件,则恰好取到1件次品的概率是________.[答案] 20.[解析] 20.从10件产品中任取4件有种取法,取出的4件产品中恰有1件次品有种取法,则所求的概率P==.21.(2020江苏,4,5分)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是________.[答案] 21.[解析] 21.从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,有(1,2),(1,3),(1,6),(2,3),(2,6),(3,6),共6种情况.满足条件的有(2,3),(1,6),共2种情况.故P==.22.(2020辽宁,14,5分)正方形的四个顶点A(-1,-1),B(1,-1),C(1,1),D(-1,1)分别在抛物线y=-x2和y=x2上,如图所示.若将一个质点随机投入正方形ABCD中,则质点落在图中阴影区域的概率是________.[答案] 22.[解析] 22.由对称性可知S阴影=S正方形ABCD-4x2dx=22-4×=,所以所求概率为=.23.（2020重庆一中高三下学期第一次月考，13）（原创）小钟和小薛相约周末去爬尖刀山，他们约定周日早上8点至9点之间（假定他们在这一时间段内任一时刻等可能的到达）在华岩寺正大门前集中前往，则他们中先到者等待的时间不超过15分钟的概率是（用数字作答）。
2021年高考数学二轮复习第5讲：古典概型、
几何概率
1．古典概型
解决古典概型问题应注意2点
(1)对于古典概型中的抽取问题，要注意是否有顺序性，是否有无放回，如T1，T2，T3，T4.
(2)在利用排列、组合与两个基本计数原理求样本空间所含的基本事件数n 以及事件A所含的基本事件数m时，要明确事件之间是对立关系还是互斥关系．如T2.
1．[一题多解]从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是()
A.5
18 B.
4
9 C.
5
9 D.
7
9
C[法一：∵9张卡片中有5张奇数卡片，4张偶数卡片，且为不放回地随机抽取，
∴P(第一次抽到奇数，第二次抽到偶数)＝5
9×
4
8＝
5
18，
P(第一次抽到偶数，第二次抽到奇数)＝4
9×
5
8＝
5
18，
∴P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝5
18＋
5
18＝
5
9.
法二：依题意，得P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝5×4
C29＝
5
9.]
2．现有大小形状完全相同的4个小球，其中红球有2个，白球与蓝球各1个，将这4个小球任意排成一排，则中间2个小球不都是红球的概率为()
A.1
6 B.
1
3 C.
5
6 D.
2
3
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