柱面锥面二次曲线

第4章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§ 4.1柱面1、已知柱面的准线为：⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。

解：（1）从方程⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(222=-+++--z y y z 即：0235622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。

（2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线⎩⎨⎧==c z yx 的直线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=z z t y y tx x zz t y y tx x 000000 而0M 在准线上，所以⎩⎨⎧=+--+=-++-+--02225)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：02688823222=--+--++z y x xy z y x 此即为要求的柱面方程。

2、设柱面的准线为⎩⎨⎧=+=z x z y x 222，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。

解：由题意知：母线平行于矢量{}2,0,1- 任取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 的母线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z z yy tx x tz z y y tx x 2200000而0M 在准线上，所以：⎩⎨⎧+=-++=-)2(2)2(22t z t x t z y t x 消去t ，得到：010*******22=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。

3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。

解：过原点且垂直于已知三直线的平面为0=++z y x ：它与已知直线的交点为())34,31,31(),1,0,1(,0,0,0--，这三点所定的在平面0=++z y x 上的圆的圆心为)1513,1511,152(0--M ，圆的方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-++++07598)1513()1511()152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。

第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§ 4.1柱面2、设柱面的准线为⎩⎨⎧=+=z x z y x 222，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。

解：由题意知：母线平行于矢量{}2,0,1- 任取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 的母线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z z yy tx x tz z y y t x x 22000000 而0M 在准线上，所以：⎩⎨⎧+=-++=-)2(2)2(22t z t x t z y t x 消去t ，得到：010*******22=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。

3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。

解：过原点且垂直于已知三直线的平面为0=++z y x ：它与已知直线的交点为())34,31,31(),1,0,1(,0,0,0--，这三点所定的在平面0=++z y x 上的圆的圆心为)1513,1511,152(0--M ，圆的方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-++++07598)1513()1511()152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。

又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{}1,1,1的直线方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=t z z t y y tx x tz z t y y t x x 111111 将此式代入准线方程，并消去t 得到：013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x§ 4.2锥面2、已知锥面的顶点为)2,1,3(--，准线为0,1222=+-=-+z y x z y x ，试求它的方程。

解：设),,(z y x M 为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：221133++=++=--z Z y Y x X 令它与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使⎪⎩⎪⎨⎧++-=++-=-+=t z Z t y Y t x X )2(2)!(1)3(3000 将它们代入准线方程，并消去t 得：044441026753222=+-+-+--+-z y x xz yz xy z y x此为要求的锥面方程。

特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面引言空间解析几何所研究的曲面主要是二次曲面。

但是也可以研究一些非二次特殊曲面。

本论文中将利用直线或曲线适合某几何特征来建立一些曲面的方程。

主要讨论由直线产生的柱面和锥面，曲线产生的旋转曲面这三大类。

1.柱面定义1：一直线平行于一个定方向且与一条定曲线Γ相交而移动时所产生的曲面叫做柱面（图1），曲线Γ作叫做准线。

构成柱面的每一条直线叫做母线。

显然，柱面的准线不是唯一的，任何一条与柱面所有母线都相交的曲线都可以取做柱面的准线，通常取一条平面曲线作为准线。

特别地，若取准线Γ为一条直线，则柱面为一平面，可见平面是柱面的特例。

下面分几种情形讨论柱面的方程。

1.1 母线平行于坐标轴的柱面方程选取合适的坐标系，研究对象的方程可以大为化简。

设柱面的母线平行于z 轴，准线为Oxy 面上的一条曲线，其方程为：(),00f x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩图1u v又设(),,P x y z 为柱面上一动点（图2），则过点P 与z 轴平行的直线是柱面的一条母线，该母线与准线Γ的交点记为(),,0M x y ，因点M 在准线上，故其坐标应满足准线方程，这表明柱面上任一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y =反过来，若一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y =，过P 作z 轴的平行线交Oxy 面于点M ，则点M 的坐标(),,0x y 满足准线Γ的方程(),0,0f x y z ==，这表明点M 在准线Γ上，因此直线MP 是柱面的母线 (因为直线MP 的方向向量为{}{}0,0,||0,0,1z )，所以点P 在柱面上。

综上所述，我们有如下结论：母线平行上于z 轴，且与Oxy 面的交线为(),0,0f x y z ==的柱面方程为：(),0f x y = （1）它表示一个无限柱面。

若加上限制条件a z b ≤≤，变得它的一平截段面。

同理，母线平行于x 轴，且与Oyz 面的交线为(),0,0g y z x ==的柱面方程为(),0g y z =；母线平行于y 轴，且与Ozx 面的交线为(),0,0h x z y ==的柱面方程为(),0h x z =。

一、柱面及其方程平行定直线并沿定曲线移动的直线形成的轨迹称为柱面。

定曲线称为准线，直线称为母线。

准线与母线不唯一。

以平行于坐标轴的直线为母线的柱面方程为由两个变量描述的方程，即在空间直角坐标系中，由两个变量描述的方程都表示母线平行于其不包含的变量对应的坐标轴的柱面。

平面是一类特殊的柱面。

二、锥面及其方程在空间，通过一定点且与定曲线（定点在曲线外）相交的一族直线所生成的曲面叫做锥面。

直线称为锥面的母线，定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准线。

锥面由它的顶点和准线唯一确定，准线不唯一且所有母线都相交于顶点。

圆锥面是旋转曲面，它的准线可以取为垂直于旋转轴的圆;同时，圆锥面也可以看成是由所有经过顶点，并与中心轴成相同角度的直线形成的曲面。

三、直纹面由一族直线所形成的曲面称为直纹面。

比如，柱面、单叶双曲面、双曲抛物面、锥面都可以由直线生成，所以它们的图形都为直纹面图形。

一般直纹面方程可以分解为相等的两两一次项或零次项乘积。

比如单叶双曲面方程因此，根据比例关系，可以将上述等式用如下两个式子来描述其中u,v为实数。

上面两组方程表示的都是直线，当u,v取不同的值时，构成不同的直线，所有这样的直线构成的直线族描述单叶双曲面的图形。

四、常见二次曲面及其标准方程三元二次方程（二次项系数不全为 0 ）所描述的图形通常为二次曲面。

基本的二次曲面类型有：椭球面（特殊情况为旋转椭球面、球面）、抛物面（椭圆抛物面、双曲抛物面，特殊为旋转抛物面）、双曲面（双叶双曲面、单叶双曲面，特殊为旋转双曲面）、锥面（圆锥面）。

适当选取直角坐标系，或者通过坐标的平移、旋转变换可得它们的标准方程。

【注】：对于教材、课件中列出的二次曲面的标准方程结构和几何图形特征要非常熟悉，尤其与坐标轴、坐标面的位置关系要非常清楚！看到方程要能够想到图形，看到相应的图形名称，要能够直接写出相应结构的方程。

⾼等数学⼏种常见的曲⾯及其⽅程⼀、⼆次曲⾯
1-1球⾯
(X-X0)2+(Y-Y0)2+(Z-Z0)2=R2
球⼼为M0(X0,Y0,Z0)
1-2椭圆锥⾯
1-3椭球⾯
其中，表⽰xOz平⾯上的椭圆绕z轴旋转⽽成的椭球⾯。

1-4单叶双曲⾯
其中，表⽰xOz平⾯上的双曲线绕z轴旋转⽽成的单叶双曲⾯。

1-5双叶双曲⾯
其中，表⽰xOz平⾯上的双曲线绕x轴旋转⽽成的双叶双曲⾯。

1-6椭圆抛物⾯
1-7双曲抛物⾯（马鞍⾯）
⼆、柱⾯
2-1圆柱⾯
X2+Y2=R2
2-2椭圆柱⾯
2-3双曲柱⾯
2-4抛物柱⾯
y2=2px
注：形如⼆、柱⾯只含x,y⽽缺少z的⽅程F(x,y)=0在空间直⾓坐标系中表⽰母线平⾏于z 轴的柱⾯，其准线为xOy平⾯上的曲线C：F(x,y)=0
特别地，
1.球x2+y2+z2=R2
2.圆柱⾯x2+y2=R2
3.旋转抛物⾯X2+Y2=z(以原点为顶点，上下两个开⼝分别向上向下的抛物线旋转⽽成的图形)
4.X2+Y2=z2(以原点为顶点，上下两个开⼝分别向上向下的圆锥，锥顶⾓为90。

)。