柱面锥面二次曲线
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(整理)柱面锥面旋转曲面与二次曲面
第4章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§ 4.1柱面1、已知柱面的准线为：⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。
解：（1）从方程⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(222=-+++--z y y z 即：0235622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。
（2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线⎩⎨⎧==c z yx 的直线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=z z t y y tx x zz t y y tx x 000000 而0M 在准线上，所以⎩⎨⎧=+--+=-++-+--02225)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：02688823222=--+--++z y x xy z y x 此即为要求的柱面方程。
2、设柱面的准线为⎩⎨⎧=+=z x z y x 222，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。
解：由题意知：母线平行于矢量{}2,0,1- 任取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 的母线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z z yy tx x tz z y y tx x 2200000而0M 在准线上，所以：⎩⎨⎧+=-++=-)2(2)2(22t z t x t z y t x 消去t ，得到：010*******22=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。
解：过原点且垂直于已知三直线的平面为0=++z y x ：它与已知直线的交点为())34,31,31(),1,0,1(,0,0,0--，这三点所定的在平面0=++z y x 上的圆的圆心为)1513,1511,152(0--M ，圆的方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-++++07598)1513()1511()152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。
3.1柱面、锥面和旋转曲面PPT课件
1)参数方程
已知柱面的准线为 (u) x(u), y(u), z(u)
母线的方向平行于矢量 S X ,Y, Z
柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：
x x(u) Xv
x
Y (u)
vS
与
y
y(u)
Yv
z z(u) Zv
式中的 u, v 为参数.
-
7
2） 柱面的一般方程
设柱面的准线的方程为
而母线的方向数是－1，0，1，求这柱面的方程.
解 设 M 1(x1, y1, z1) 是准线上的点，那么过 M 1(x1, y1, z1)
的母线为
xx yy zz
1
1
1
1 0
1
且有
x12 y12 z12 1
（4）
2 x12
2 -
y12
z12
2
（5）
15
x x1 y y1 z z1
1 0
1,
z c.
zc
这是平面上的一个椭圆
O
y
• 因此,这个锥面又常常被称为椭圆锥x 面.
-
35
3.1.3 旋转曲面
定义. 一条曲线C一条定直线旋转一周所形成 的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转轴 .
例如 :
-
36
1、旋转曲面的有关概念
Ⅰ 母线上任意一点绕旋转轴 l 旋转的轨迹是一个圆，称为旋转面的纬圆或纬线 Ⅱ 以旋转轴 l 为边界的半平面与旋转面的交线称为旋转面的经线
说明：
ⅰ纬圆也可看作垂直于旋转轴 l 的平面与旋转面的交线
ⅱ 任一经线都可以作为母线，但母线不一定是经线.
如:单叶旋转双曲面的母线是双曲线或直线;而经线是双曲
已知柱面的准线为 (u) x(u), y(u), z(u)
母线的方向平行于矢量 S X ,Y, Z
柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：
x x(u) Xv
x
Y (u)
vS
与
y
y(u)
Yv
z z(u) Zv
式中的 u, v 为参数.
-
7
2） 柱面的一般方程
设柱面的准线的方程为
而母线的方向数是－1，0，1，求这柱面的方程.
解 设 M 1(x1, y1, z1) 是准线上的点，那么过 M 1(x1, y1, z1)
的母线为
xx yy zz
1
1
1
1 0
1
且有
x12 y12 z12 1
（4）
2 x12
2 -
y12
z12
2
（5）
15
x x1 y y1 z z1
1 0
1,
z c.
zc
这是平面上的一个椭圆
O
y
• 因此,这个锥面又常常被称为椭圆锥x 面.
-
35
3.1.3 旋转曲面
定义. 一条曲线C一条定直线旋转一周所形成 的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转轴 .
例如 :
-
36
1、旋转曲面的有关概念
Ⅰ 母线上任意一点绕旋转轴 l 旋转的轨迹是一个圆，称为旋转面的纬圆或纬线 Ⅱ 以旋转轴 l 为边界的半平面与旋转面的交线称为旋转面的经线
说明：
ⅰ纬圆也可看作垂直于旋转轴 l 的平面与旋转面的交线
ⅱ 任一经线都可以作为母线，但母线不一定是经线.
如:单叶旋转双曲面的母线是双曲线或直线;而经线是双曲
4.1柱面
AB d
0 4 4 1 1 0 1 2 2 2 2 1
2 2
2
2 2 (1) 2 22
117 . 3
现设 P( x, y, z ) 为圆柱面上的任意点,那么 即
y 1 z 3 z 3 x 1 x 1 y 1 1 2 2 2 2 1
.
圆柱面的参数方程:
与上一节介绍的球面的参数方程一样,母线平行于轴 的圆柱面的参数方程在计算机绘图及数学分析课中 的重积分计算等应用上也是非常有效的. 在圆柱面的轴上任取一点作为坐标原点,轴的方向平 行于z轴建立直角坐标系. 设圆柱面上任一点到轴线 的距离为常数r, P( x, y, z )是圆柱面上任意一点,过P的 母线与准线圆交于M,那么 OP OM MP (r cos )i (r sin ) j uk .
故得圆柱面的参数方程是：
x r cos , y r sin , z u.
z
x
P u O r M
y
其中 , u 为参数, 0 , u
f ( x, y ) 0, z 0.
设 P( x, y, z ) 是柱面上的任意一点,过点P的母线与准线的交点为 M ( x1 , y1 , z1 ).那么 x x1 0,
y y 0, 1 z z1 u , f ( x , y ) 0, 1 1 z1 0.
2 2 2
AP d.
2 2 (1) 2 22
117 . 3
化简得所求圆柱面的方程为：
0 4 4 1 1 0 1 2 2 2 2 1
2 2
2
2 2 (1) 2 22
117 . 3
现设 P( x, y, z ) 为圆柱面上的任意点,那么 即
y 1 z 3 z 3 x 1 x 1 y 1 1 2 2 2 2 1
.
圆柱面的参数方程:
与上一节介绍的球面的参数方程一样,母线平行于轴 的圆柱面的参数方程在计算机绘图及数学分析课中 的重积分计算等应用上也是非常有效的. 在圆柱面的轴上任取一点作为坐标原点,轴的方向平 行于z轴建立直角坐标系. 设圆柱面上任一点到轴线 的距离为常数r, P( x, y, z )是圆柱面上任意一点,过P的 母线与准线圆交于M,那么 OP OM MP (r cos )i (r sin ) j uk .
故得圆柱面的参数方程是：
x r cos , y r sin , z u.
z
x
P u O r M
y
其中 , u 为参数, 0 , u
f ( x, y ) 0, z 0.
设 P( x, y, z ) 是柱面上的任意一点,过点P的母线与准线的交点为 M ( x1 , y1 , z1 ).那么 x x1 0,
y y 0, 1 z z1 u , f ( x , y ) 0, 1 1 z1 0.
2 2 2
AP d.
2 2 (1) 2 22
117 . 3
化简得所求圆柱面的方程为：
二次曲面
二次曲面是由三元二次方程F(x, y, z) = 0所表示的空间曲面。其中，常见的九种类型包括：椭球面、抛物面（分为椭圆抛物面和双曲抛物面）、双曲面（分为单叶双曲面和双叶双曲面）、椭圆锥面和柱面（包括椭圆柱面、双曲柱面和抛物柱面）。椭球面可以通过将xoy面上的椭圆绕x轴旋转并沿z轴方向伸缩得到。抛物面则是由平面上的抛物线绕轴旋转并伸缩变形而并伸缩变形得到。椭圆锥面是圆锥面在某一轴向上伸缩变形的结果。柱面则是母线平行于某一轴的平面曲线沿该轴移动所形成的曲面。这些二次曲面的形状和特性可以通过截痕法和伸缩变形法来研究和理解。每种曲面都有其特定的方程形式，这些方程描述了曲面上点的坐标之间的关系，从而定义了曲面的几何形状。
解析几何第四版复习重点第四章柱面锥面旋转面与二次曲面
第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§ 4.1柱面2、设柱面的准线为⎩⎨⎧=+=z x z y x 222，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。
解：由题意知：母线平行于矢量{}2,0,1- 任取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 的母线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z z yy tx x tz z y y t x x 22000000 而0M 在准线上，所以：⎩⎨⎧+=-++=-)2(2)2(22t z t x t z y t x 消去t ，得到：010*******22=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。
解：过原点且垂直于已知三直线的平面为0=++z y x ：它与已知直线的交点为())34,31,31(),1,0,1(,0,0,0--，这三点所定的在平面0=++z y x 上的圆的圆心为)1513,1511,152(0--M ，圆的方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-++++07598)1513()1511()152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。
又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{}1,1,1的直线方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=t z z t y y tx x tz z t y y t x x 111111 将此式代入准线方程，并消去t 得到：013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x§ 4.2锥面2、已知锥面的顶点为)2,1,3(--，准线为0,1222=+-=-+z y x z y x ，试求它的方程。
解：设),,(z y x M 为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：221133++=++=--z Z y Y x X 令它与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使⎪⎩⎪⎨⎧++-=++-=-+=t z Z t y Y t x X )2(2)!(1)3(3000 将它们代入准线方程，并消去t 得：044441026753222=+-+-+--+-z y x xz yz xy z y x此为要求的锥面方程。
空间曲面与曲线 (2)
得到一组交线称为截口曲线（简称截口）。
通过这组平行平面上的截口（简称为平行截口）
的形状来分析曲面的大体形状，这种方法称为
截割法。
用平行于xOy坐标平面z=h(|h|≤c)截椭球面，截
口为
x2 y2
h2
a2
b2
1
c2
z h
30
当|h|=c时，截口是平面z=h上的一个点(0,0,c)或
c h2 b2 b
虚半轴平行于x轴，虚半轴长为
a h2 b2 b
它的顶点 0,h, c h2 b2
(0,0,-c);
当|h|<c时，截口是一椭圆，它的两半轴分别为
a
1
h2 c2
及b
h2 1 c2
它的两轴的端点分别是
a
1
h2 c2
,0,
h
与
0,b
1
h2 c2
,
h
31
椭球面的参数方程
x a cos cos
y z
b cos sin c sin
空间曲面与空间曲线
1. 球面 2.柱面 3.锥面 4.旋转曲面 5.二次曲面： 一、椭球面 6. 空间曲线
二、双曲面
三、抛物面
1
1. 球面
到定点P0 (x0 , y0 , z0 )的距离等于定长 r的点的轨迹叫球面 . 则球面方程是 (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 r 2 , r是半径, P0 (x0 , y0 , z0 )是球心. 一般方程: x 2 y 2 z 2 Ax By Cz D,即
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
柱面、锥面、 第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
主要内容 1、柱面 、 2、锥面 、 3、旋转曲面 、 4、椭球面 、 5、双曲面 、 6、抛物面 、
第一节
柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 所形成的曲面称为柱面. 叫柱面的准线 准线， 这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫 柱面的母线 母线. 柱面的母线 F1 ( x , y , z ) = 0 设柱面的准线为 F ( x , y , z ) = 0 (1) 2 母线的方向数为X,Y,Z。如果 1(x1,y1,z1)为准线 母线的方向数为 。如果M 为准线 上一点，则过点M 上一点，则过点 1的母线方程为 x − x1 y − y1 z − z1 = = (2) X Y Z
z = ay
z
z = a(± x 2 + y 2 )
y x
平方得: z2 = a2 ( x2 + y2 ) 该旋转曲面叫做圆锥面, 其顶点在原点.
将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 例3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程． 生成的旋转曲面的方程．
x z （1）双曲线 2 − 2 = 1分别绕 x 轴和 z 轴； ） a c
第三节 旋转曲面
一、. 旋转曲面 1、 定义 以一条平面曲线 绕其平面上的一 、 定义: 以一条平面曲线C绕其平面上的一 条直线旋转一周所成的曲面叫做旋 条直线旋转一周所成的曲面叫做 旋 转曲面, 这条定直线叫旋转曲面的 转曲面 轴. 曲线C称为放置曲面的母线 曲线 称为放置曲面的母线 称为放置曲面的 纬线
即
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) = 0 绕z 轴旋
转一周的旋转曲面方程 转一周的旋转曲面方程. 旋转曲面方程
主要内容 1、柱面 、 2、锥面 、 3、旋转曲面 、 4、椭球面 、 5、双曲面 、 6、抛物面 、
第一节
柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 所形成的曲面称为柱面. 叫柱面的准线 准线， 这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫 柱面的母线 母线. 柱面的母线 F1 ( x , y , z ) = 0 设柱面的准线为 F ( x , y , z ) = 0 (1) 2 母线的方向数为X,Y,Z。如果 1(x1,y1,z1)为准线 母线的方向数为 。如果M 为准线 上一点，则过点M 上一点，则过点 1的母线方程为 x − x1 y − y1 z − z1 = = (2) X Y Z
z = ay
z
z = a(± x 2 + y 2 )
y x
平方得: z2 = a2 ( x2 + y2 ) 该旋转曲面叫做圆锥面, 其顶点在原点.
将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 例3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程． 生成的旋转曲面的方程．
x z （1）双曲线 2 − 2 = 1分别绕 x 轴和 z 轴； ） a c
第三节 旋转曲面
一、. 旋转曲面 1、 定义 以一条平面曲线 绕其平面上的一 、 定义: 以一条平面曲线C绕其平面上的一 条直线旋转一周所成的曲面叫做旋 条直线旋转一周所成的曲面叫做 旋 转曲面, 这条定直线叫旋转曲面的 转曲面 轴. 曲线C称为放置曲面的母线 曲线 称为放置曲面的母线 称为放置曲面的 纬线
即
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) = 0 绕z 轴旋
转一周的旋转曲面方程 转一周的旋转曲面方程. 旋转曲面方程
4.1,4.2柱面和锥面
方程 x
(6) 直线的射影式方程
X X z ( x0 z0 ) 表示的平面平行于oy轴 Z Z 在直角坐标系下又垂直 与坐标面xoz Y Y 方程 y z ( y0 z0 ) 表示的平面平行于ox轴 Z Z 在直角坐标系下又垂直 与坐标面 yoz
直线向坐标面所引的射影平面
x y a ① 例 画出 C : 2 2 x y 2 z 2 2a 2 ②
首先证: 以原点为顶点的锥面方程是 x , y , z 的齐次方程. 设锥面的准线为 C
D0
z
推论 关于 x x0 , y y0 , z z0 的齐次方程表示顶点在 ( x0 , y0 , z0 )的锥面.
F ( x, y, z ) 0 C : Ax By Cz D 0 O M ( x, y, z ) x y z 1 x1 y1 z1 t F ( x1 , y1 , z1 ) 0
为所求柱面方程
4 x 2z y 2 2 x z 5 5
2
M0 ( x0 , y0 , z0 )
C
l 考虑方程 F ( x , y ) 0 在 x y 平面上 它一般表示一条曲线C.
z
M ( x, y, z )
在空间直角坐标系中,以C为准线, 作母线平行于z轴的柱面Σ. 空间中任一点 M ( x , y , z ) M 在 x y平面上的投影为M1 ( x , y ,0)
三元方程中,如果不含z: F ( x , y ) 0 则它一定表示一个 母线平行于z轴的柱面. 反之,任何一个母线平行于z 轴的柱面, 它的方程中 一定不含z.
z
o x
y
证 设Σ是一个母线平行于z轴的柱面,
(6) 直线的射影式方程
X X z ( x0 z0 ) 表示的平面平行于oy轴 Z Z 在直角坐标系下又垂直 与坐标面xoz Y Y 方程 y z ( y0 z0 ) 表示的平面平行于ox轴 Z Z 在直角坐标系下又垂直 与坐标面 yoz
直线向坐标面所引的射影平面
x y a ① 例 画出 C : 2 2 x y 2 z 2 2a 2 ②
首先证: 以原点为顶点的锥面方程是 x , y , z 的齐次方程. 设锥面的准线为 C
D0
z
推论 关于 x x0 , y y0 , z z0 的齐次方程表示顶点在 ( x0 , y0 , z0 )的锥面.
F ( x, y, z ) 0 C : Ax By Cz D 0 O M ( x, y, z ) x y z 1 x1 y1 z1 t F ( x1 , y1 , z1 ) 0
为所求柱面方程
4 x 2z y 2 2 x z 5 5
2
M0 ( x0 , y0 , z0 )
C
l 考虑方程 F ( x , y ) 0 在 x y 平面上 它一般表示一条曲线C.
z
M ( x, y, z )
在空间直角坐标系中,以C为准线, 作母线平行于z轴的柱面Σ. 空间中任一点 M ( x , y , z ) M 在 x y平面上的投影为M1 ( x , y ,0)
三元方程中,如果不含z: F ( x , y ) 0 则它一定表示一个 母线平行于z轴的柱面. 反之,任何一个母线平行于z 轴的柱面, 它的方程中 一定不含z.
z
o x
y
证 设Σ是一个母线平行于z轴的柱面,
柱面锥面二次曲线
(a
x2 1 h2
y2
c2 )2 (b 1 h2
zh
1 c2 )2
无论h取何值，此方程组总表示在平面: z h
上的椭圆，它的两半轴为：a 1 h2 c2 与b 1 h2 c2
此时椭圆的两轴端点（± a 1 h2 c2 ，0， h）与
（0， ±b 1 h2 c2 ， h）分别在两条主截线（双
曲线）上，且所在平面与腰椭圆平行.
所表示的曲面，叫做单叶双曲面, 做单叶双曲面的标准方程.
此方程叫
方程
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
与
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
表示的曲面也是单叶双曲面.
二、性质
1. 对称性
x2 y2 z2 1(a,b, c 0) a2 b2 c2
中心 ：坐标原点（1个）;
主轴 ：x轴、y轴和z轴（3条）;
§4.1 柱面
定义4.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动 的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线叫
柱面的准线，
母线
动直线叫柱面
的母线.
观察柱面的形
成过程:
准
线
柱面举例：
z
M(x, y, z)
M1( x, y,0)
z
•
• x2 2y
平面
o
y
o
y
x
抛物柱面 x
y x
抛物柱面方程：
x2 2y
平面方程：
相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面形状的截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
几种常见的曲面及其方程()
2
z
2 y
1
o o
o x
2y
x
(3)
x z a
2
2
2
x2 y2 a2
z
a
o
a
y
x
P324 题2 (1)
y 5x 1 y x3 y x3
z
y 5x 1
o
y
z
x2 y2 1 4 9 y3
x
2
3
y
z
z
ay x
x 2 y 2 ax z0
M ( x, y, z )
C
M 1 (0, y1 , z1 )
z z1 ,
x y y1
2
2
o
y
故旋转曲面方程为
x
f ( x 2 y 2 , z) 0
思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z
C : f ( y, z ) 0
o x
y
f ( y, x z ) 0
2 2
例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
z
L
M (0, y, z )
y
两边平方
x
2
z a (x y )
2
2
2
例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 二者交线在
xoy 面上的投影曲线所围之域 . 二者交线
z
在 xoy 面上的投影曲线 所围圆域: x y 1, z 0 .
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绕 y 轴一周
y
o
a
x
2 单叶旋转双曲面
f (y1, z1)=0
z1 z
| y1 | MP x2 y2
Sz
o
N (0, y1,z1) .
z1 C
y1
y
.
x
曲线 C
f ( y, z) 0
x
0
绕 z轴
z
旋转一周得旋转曲面 S M(x,y,z) S
P M
N (0, y1,z1) .
ff (y11,, zz11))==00 .
z1 z
反之，以原
z
点为顶点的锥面
的方程是n次齐次
方程 F(x,y,z)= 0.
准线
锥面是直纹面
锥面的准线不
唯一，和一切母线
顶点 0
y
都相交的每一条曲
线都可以作为它的
x
母线.
x2 y2 z2 0
a2 b2 c2
椭圆锥面
请同学们自己用截痕法 研究其形状.
例 1 直线L绕另一条与 L相交的直线旋转一周，
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与 二次曲面
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨 迹． 曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系：
（1） 曲面S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程F( x, y, z) 0就叫做曲面 S 的方程， 而曲面S 就叫做方程的图形．
y x
只含x,y而缺z的方程F(x,y)0， 在 空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱 面，其准线为xo面 y上曲线C:F(x,y)0.
（其他类推）
从柱面方程看柱面的特征：
例实
y2 b2
z2 c2
1
椭圆柱面， 母线// x轴
x2 a2
y2 b2
1
双曲柱面 ， 母线// z轴
x2 2pz 抛物柱面， 母线// y轴
| y1 | MP x2 y2
Sz
z1 C
o
y1
y
.
S： f( x2y2,z)0.
x
建立旋转曲面的方程：
如图 设M(x,y,z),
(1) zz1
（ 2） 点 M 到 z轴 的 距 离
z
d M 1(0,y1,z1)
M f ( y,z) 0
o
y
dx2y2 |y1| x
将 z z 1 , y 1 x 2 y 2代入 f ( y1, z1 ) 0
绕 z轴 旋 转x2 y2
a2
cz22
1
旋转单叶双曲面
z
z
y
y
o
x
o
x
（ 3 ） y O z面 上 抛 物 线 y 2 2 p绕 zz轴 ；
x2y22pz 旋转抛物面
z
z
xo
y
xo
y
p0
几种 特殊旋转曲面
1 双叶旋转曲面 2 单叶旋转曲面 3 旋转锥面 4 旋转抛物面 5 环面
1 双叶旋转双曲面
z
绕 y 轴和 z轴；
面旋 转 椭 球
绕 y轴 旋 转
y2 a2
x2c2 z2
1
绕 z轴 旋 转
x2 y2 a2
cz22
1
y x
z
y x
（2）xOz
面上双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕
x轴和
z 轴；
x
x
绕 x轴 旋 转
x2 a2
y2c2z2
1
oz
o
z
旋转双叶双曲面 y
y
（ 1 ） x O z面 上 双 曲 线 a x 2 2 c z 2 2 1 分 别 绕 x 轴 和 z轴 ；
双 曲 线ax
y b
z
绕 x 轴一周
x
0
y
1 双叶旋转双曲面
双 曲 线ax
y b
z
绕 x 轴一周
.
x
z
0
y
1 双叶旋转双曲面
双 曲 线ax
y b
z
绕 x 轴一周
得双叶旋转双曲面
.
x2 y2 z2 a2 b2 1
x
z
0
y
.
2 单叶旋转双曲面
x2 y2
上题双曲线
a
2
b2
1
z 0
y1 0
1z 绕直线
x 0
y 0
z 1
旋转一周所得旋转曲面的方程。
解
下面特殊 的旋转曲 面
f ( y, z) 0
z
曲线 C
x
0
绕 z轴
C
o
y
曲线 C
f ( y, z) 0
x
0
绕z轴
.
z
C o
y
x
曲线
C
f ( y, z)
x
0
0
绕 z轴
z
旋转一周得旋转曲面 S
P
M
M(x,y,z) S
§4.1 柱面
定义4.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动 的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线叫
柱面的准线，
母线
动直线叫柱面
的母线.
观察柱面的形
成过程:
准
线
柱面举例：
z
M(x, y,z)
M1(x, y,0)
z
•
• x2 2y
平面
o
y
o
y
x
抛物柱面 x
y x
抛物柱面方程：
x2 2y
平面方程：
所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面
的顶点，两直线的夹角
0
2
叫圆锥面的
半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z
轴，半顶角为 的圆锥面方程．
z
解 y面 o 上 直 z 线 方 程 为
zyco t
圆锥面方程 zx2y2co t o
y
或 z2 a2 x2 y2
x
§4－3 旋转曲面
目标：通过本节的学习，掌握
旋转曲面的有关概念，熟练掌握旋 转曲面方程的求法，了解几个常见 的旋转曲面.
重点难点：旋转曲面方程的
求法.
定义0
在空间，一条曲线 绕着定直线 l 旋 转一周所产生的曲面叫旋转曲面.其中 称 为旋转轴，称 l 为母线.
纬圆，经线
图4-3
方程
例1 求直线
x2 0
得方程 fx 2 y 2 ,z 0 ,
方程 f x2 y2 , z 0,
yoz坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕 z 轴
旋转一周的旋转曲面方程.
同 理 ： yo 坐 标 z面 上 的 已 知 曲 线 f(y,z)0 绕 y轴 旋 转 一 周 的 旋 转 曲 面 方 程 为
1. 椭圆柱面
x2 y2 a2 b2 1
z
2. 双曲柱面
x2 a2
y2 b2
1
z
o
y
O
y
x
x
§4.2 锥面
定义4.2.1 通过一定点且与定曲线相交的一 族直线所产生的曲面叫做锥面.
这些直线都叫做锥面的母线. 那个定点叫做锥面的顶点. 锥面的方程是一个三元方程.
特别当顶点在坐标原点时：
方程 F(x,y,z)= 0是 n次齐次方程：若 F (t,x t,y t)z tn F (x ,y ,z). n次齐次方程 F(x,y,z)= 0 的图形是以原点为顶点的锥面；
f y, x2 z2 0.
结论（规律）： 当坐标面上的曲线Γ绕此坐标面上的一个坐
标轴旋转，求此旋转曲面的方程，只需将Γ在 此坐标面里的方程改变即得，改变的方法是： 保留与旋转轴同名的坐标，而以其他两个 坐标的平方和的平方根代替方程中的另一坐标。
y2 z2
（1）yOz 面上椭圆 a 2 c 2 1