八年级下册分式与分式方程教案

新北师大版八年级数学下册第5章《分式与分式方程》教案教学目标学习分式及分式的概念、性质和运算法则，并掌握简单分式的变形和分式方程的解法。

教学重难点重点•分式的概念、性质和运算法则•分式的变形•分式方程的解法难点•分式方程的解法教学过程导入（10分钟）1.调查课前练习，询问学生对分式的了解和学习情况。

2.引入分式的概念，让学生举例说明分式的实际应用。

提高课堂参与度（10分钟）1.通过多项式的例子，引入分式。

2.分小组讨论分式与多项式的联系和区别，并展示讨论成果。

理论课（30分钟）1.分式的定义和性质。

2.分式的约分、通分和加减法。

3.分式与整式的加减法。

实践课（50分钟）1.分式的变形：分解、合并及简化。

2.分式方程的概念及解法。

3.通过实例让学生掌握分式方程的解法。

课堂总结（10分钟）1.小结本节课的重点内容。

2.引导学生对本节课的学习成果进行分享。

作业布置1.抄写本节课的重点内容以及实例。

2.完成课后练习。

教学方法1.演示法2.分组讨论3.实践操作4.个别指导教学资源1.教材：新北师大版八年级数学下册2.PPT：分式与分式方程参考文献1.《初中数学》2.《分式与分式方程教育同行》教学反思本节课通过实例和讨论等方式，激发了学生的学习兴趣，真正意义上实现了知识与实践相结合。

在教学过程中，我进一步提高了自己的教学能力，尤其是关注学生的理解进程，帮助学生掌握分式方程的解法，提高其数学素养。

分式教案一、教学内容本节课的教学内容来自人教版初中数学八年级下册第22章《分式》。

本节课主要讲解分式的概念、分式的基本性质、分式的运算以及分式方程的解法。

二、教学目标1. 理解分式的概念，掌握分式的基本性质。

2. 学会分式的运算方法，提高运算能力。

3. 学会解分式方程，提高解决问题的能力。

三、教学难点与重点重点：分式的概念、分式的基本性质、分式的运算方法、分式方程的解法。

难点：分式方程的解法。

四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备。

学具：教材、练习本、铅笔、橡皮。

五、教学过程1. 实践情景引入：教师出示实际问题：“甲、乙两地相距100公里，甲地有一辆汽车以每小时40公里的速度向乙地行驶，同时乙地有一辆汽车以每小时60公里的速度向甲地行驶。

问两辆汽车相遇时，它们之间的距离是多少？”学生尝试解决实际问题，引出分式的概念。

2. 自主学习：学生自主阅读教材，理解分式的概念，并尝试解决教材中的例题。

3. 课堂讲解：教师讲解分式的概念，强调分式的分子、分母以及分式的值。

4. 课堂练习：教师出示练习题，学生独立完成，巩固分式的概念。

5. 分式的基本性质：教师讲解分式的基本性质，引导学生发现分式的基本性质。

6. 课堂练习：教师出示练习题，学生独立完成，巩固分式的基本性质。

7. 分式的运算：教师讲解分式的运算方法，引导学生发现分式的运算规律。

8. 课堂练习：教师出示练习题，学生独立完成，巩固分式的运算方法。

9. 分式方程的解法：教师讲解分式方程的解法，引导学生发现解分式方程的方法。

10. 课堂练习：教师出示练习题，学生独立完成，巩固解分式方程的方法。

六、板书设计板书设计如下：分式的概念：分子分母分式的值分式的基本性质：分式的分子、分母都乘（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变。

分式的运算：加减法：通分后相加（减）乘除法：分子相乘（除），分母相乘（除）分式方程的解法：去分母求解七、作业设计1. 请解释分式的概念，并给出一个例子。

八年级数学下册分式方程教案一、教学目标：1. 让学生理解分式方程的定义及其表示方法。

2. 培养学生解决实际问题，提高学生运用分式方程解决实际问题的能力。

3. 培养学生独立思考、合作交流的能力，提高学生的数学素养。

二、教学重点与难点：重点：理解分式方程的定义及其表示方法。

难点：解决实际问题，运用分式方程求解。

三、教学准备：1. 教师准备PPT，展示分式方程的定义、表示方法及求解步骤。

2. 准备一些实际问题，用于引导学生运用分式方程解决。

四、教学过程：1. 导入：通过复习分数的概念，引导学生思考分数与方程的关系，从而引入分式方程。

2. 讲解：a. 讲解分式方程的定义：含未知数的分数方程叫分式方程。

b. 讲解分式方程的表示方法：一般形式为\( \frac{A}{B} = \frac{C}{D} \)，其中A、B、C、D为表达式，且B、D不为0。

c. 讲解求解分式方程的步骤：i. 去分母：将分式方程两边同乘以B和D的最小公倍数。

ii. 去括号：根据分配律，去掉方程中的括号。

iii. 移项：将未知数项移至方程的一边，常数项移至方程的另一边。

iv. 合并同类项：将方程中的同类项合并。

v. 求解：解得未知数的值。

3. 练习：让学生独立解决PPT上展示的一些简单分式方程问题，教师进行个别指导。

4. 应用：让学生分组讨论，合作解决一些实际问题，运用分式方程求解。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调分式方程的定义、表示方法和求解步骤。

五、课后作业：1. 请完成PPT上的练习题。

2. 请选择一道实际问题，运用分式方程解决，并将解题过程写下来。

3. 预习下一节课的内容。

六、教学拓展：1. 引导学生思考分式方程在实际生活中的应用，例如：比例问题、利润问题等。

2. 引导学生探讨分式方程与其他类型方程的关系，例如：一元一次方程、一元二次方程等。

七、教学评估：1. 通过课堂练习和课后作业，评估学生对分式方程的理解和运用能力。

4 分式方程第1课时一、教学目标1.知识与技能（1）理解分式方程的概念；（2）能够根据实际问题建立分式方程的数学模型，并能归纳出分式方程的描述性定义．2.过程与方法体会到分式方程作为实际问题的模型，能够根据实际问题建立分式方程的数学模型，并能归纳出分式方程的描述性定义．3.情感态度及价值观在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力．二、教学重点、难点重点：能根据实际问题的数量关系列出分式方程，归纳出分式方程的定义． 难点：能根据实际问题中的等量关系列出分式方程．三、教具准备课件.四、教学过程（一）创设情境，引入新课［师］在这一章的第一节《认识分式》中，我们曾研究过一个“固沙造林，绿化家园”的问题．当时，我们设原计划每月固沙造林x 公顷，那么原计划完成一期工程需要x 2400个月，实际完成一期工程用了302400+x 个月．根据题意，可得方程x 2400－302400+x =4．（1） 我们说x 2400，302400+x 分母中含有字母，我们现在知道它们是不同于整式的代数式——分式．可是，我们也是第一次遇到这样的方程，它和我们学过的一元一次方程一样能刻画现实世界，是一种反映现实世界的数学模型．接下来，我们再来看几个这样的例子．（二）讲授新课列出刻画现实世界的数学模型——方程．（多媒体出示）1.［小麦实验田问题］有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦 9 000 kg 和15000 kg ．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3 000 kg ，分别求这两块试验田每公顷的产量．你能找出这一问题中所有的等量关系吗？如果设第一块试验田每公顷的产量为x kg ，那么，第二块试验田每公顷的产量是____________kg ．根据题意，可得方程_________ ___．［师］在这个问题中涉及到了哪几个基本量？它们的关系如何？［生1］涉及到三个基本量：总产量，每公顷试验田的产量，试验田的面积．其中总产量=每公顷试验田的产量×试验田的面积．［师］你能找出这一问题的所有等量关系吗？［生2］第一块试验田的面积=第二块试验田的面积．（a ）［生3］还有一个等量关系是：第一块试验田每公顷的产量+3000 kg=第二块试验田每公顷的产量（b ）［师］我们接着回答下面的问题：如果设第一块试验田每公顷的产量为x kg ，那么第二块试验田每公倾的产量是多少千克呢？［生］根据等量关系（b ），可知第二块试验田每公顷的产量是（x +3000）kg ．［生］根据题意，利用等量关系（a ），可得方程：x 9000=300015000+x ．（2） ［师］x 9000，300015000+x 的实际意义是什么呢？ ［生］它们分别表示第一块试验田和第二块试验田的面积．［师］有没有别的方法列出方程呢？同学们可以以小组为单位讨论，交流，我们看哪一个组思维最敏捷．［生］根据等量关系（a ），我们可以设两块试验田的面积都为x 公顷，那么x9000表示第一块试验田每公顷的产量，x15000表示第二块试验田每公顷的产量，根据等量关系（b ）可列出方程：x 9000+3000=x15000.（3） ［师］接下来，我们再来看一个问题.（多媒体出示）2.［电脑网络培训问题］王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元．后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元．原定的人数是多少？这一问题中有哪些等量关系？如果设原定是x 人，那么每人平均分摊____________元；人数增加到原定人数的2倍后，每人平均分摊____________元．根据题意，可得方程____________．［师］我们先来审题，找到题中的等量关系．［生］由题意，可知：实际参加活动的人数=原定人数×2倍．（c ）［生］还有一个等量关系为：原计划每个同学平均分摊的费用=实际每个同学平均分摊的费用+4元．（d ）［师］同学们已经过审题，找到了题中的等量关系，接下来该干什么呢？［生］设出未知数，列出方程，将具体实际的问题转化为数学模型．［师］很好！下面同学们就分组来完成刚才这位同学所说的，你有几种列方程的方法呢？ 讨论后，各小组可选代表回答上面的问题．［生］我代表第一小组回答．我们设未知数的方法采用中方法：设原定是x 人，那么每人平均分摊x 300元；人数增加到原来人数的2倍后，每人平均分摊x2480元，根据题意，利用等量关系（d ），得方程x 300－4=x 2480.（4） ［生］我们组没有按照投影片上的设法，而是设原定每人平摊y 元，那么原定人数为y 300；实际参加活动的每个同学平摊（y －4）元，那么实际参加活动的人数为4480-y ，根据题意，利用等量关系（c ），得方程2×y 300=4480-y ．（5） ［师］上面两个组的回答都很精彩，鼓励一下他们．（鼓掌）从同学们的表现不难看出，用方程这样的数学模型刻画现实世界的情境，同学们掌握得很好． 观察方程：x 2400－302400+x =4 （1） x 9000=300015000+x （2） x 9000+3000=x15000 （3） x 300－4=x2480 （4） 2×y 300=4480-y （5） 上面所得到的方程有什么共同特点？［生］方程中的未知数都含在分母中，不是一元一次方程．［师］是的．这就是我们今天要认识的一种新的方程——分式方程即分母中含有未知数的方程．（三）随堂练习1．已知鱼塘中有x 千克鱼，每千克鱼的捕捞费用是x +102000元．现从鱼塘中捕捞101千克鱼花了捕捞费用200元，求x 满足的方程．分析：题中的等量关系是：101千克鱼×每千克鱼的捕捞费用=200元．解：x 满足的方程是101×x+102000=200． 2．某商场有管理人员40人，销售人员80人，为了提高服务水平和销售量，商场决定从管理人员中抽调一部分人充实销售部分，使管理人员与销售人员的人数比为1∶4，那么应抽调的管理人员数x 满足怎样的方程？解：抽调管理人员x 人后，管理人员有（40－x ）人，销售人员有（80+x ）人，根据题意得 x x +-8040=41． （四）课堂小结这节课我们从现实情境问题中建立方程这一重要的数学模型，认识了一种新的方程——分式方程．（五）教学反思第2课时教学目标1.知识与技能（1）掌握解分式方程的一般步骤；（2）理解检验分式方程的根的必要性．2.过程与方法（1）通过具体例子，让学生独立探索方程的解法，经历和体会解分式方程的必要步骤；（2）使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径．3.情感态度及价值观（1）培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度；（2）运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，从而获得一种成就感和学习数学的自信．二、教学重点、难点重点：（1）解分式方程的一般步骤；（2）检验分式方程的根的必要性．难点：明确解分式方程验根的必要性．三、教具准备课件.四、教学过程（一）提出问题，引入新课［师］在上节课的几个问题，我们根据题意将具体实际的情境，转化成了数学模型——分式方程．但要使问题得到真正的解决，则必须设法解出所列的分式方程．这节课，我们就来学习分式方程的解法．我们不妨先来回忆一下我们曾学过的一元一次方程的解法，也许你会从中得到启示，寻找到解分式方程的方法． 解方程：213-x +325+x =2－624-x ［师生共解］解：去分母，方程两边同乘分母的最小公倍数6，得3（3x －1）+2（5x +2）=6×2－（4x －2），去括号，得9x －3+10x +4=12－4x +2，移项，得9x +10x +4x =12+2+3－4，合并同类项，得23x =13，系数化为1，得x =2313． （二）讲解新课，探索分式方程的解法［师］刚才我们一同回忆了解一元一次方程的步骤．下面我们来看一个分式方程． ［例1］解方程：21-x =x3． （1） ［师］解这个方程，能不能也像解含有分母的一元一次方程一样去分母呢？［生］可以．［师］同学们可以接着讨论，方程两边同乘什么样的整式（或数），可以去掉分母呢？ ［生］乘分式方程中所有分母的公分母．［生］解一元一次方程，去分母时，方程两边同乘分母的最小公倍数，比较简单．解分式方程时，我认为方程两边同乘分母的最简公分母，去分母也比较简单．［师］我觉得这两位同学的想法都非常好．那么这个分式方程的最简公分母是什么呢？ ［生］x （x －2）．［师生共析］方程两边同乘x （x －2），得x （x －2）·21-x =x （x －2）·x3， 整理，得x =3（x －2）． （2）［师］我们可以发现，采用去分母的方法把分式方程转化为了整式方程，而且是我们曾学过的一元一次方程．再往下解，我们就可以像解一元一次方程一样，解出x ．即去括号，得x =3x －6.移项、合并同类项，得2x =6.系数化为1，得x =3．［师］x =3是方程（2）的解吗？是方程（1）的解吗？为什么？同学们可以在小组内讨论． （教师可参与到学生的讨论中，倾听学生的说法）［师］x =3是由一元一次方程x =3（x －2）（2）解出来的，x =3一定是方程（2）的解．但是不是原分式方程（1）的解，需要检验．把x =3代入方程（1）的左边=231-=1，右边=33=1，左边=右边，所以x =3是方程（1）的解．［师］请同学们用同样的方法完成例2的解答．［例2］解方程：x 300－x2480=4. （由学生在练习本上试着完成，然后师生共同解答）.解：方程两边同乘2x ，得600－480=8x.解这个方程，得x =15.检验：将x =15代入原方程，得左边=4，右边=4，左边=右边，所以x =15是原方程的根．［师］很好！同学们现在不仅解出了分式方程的解，还有了检验结果的好习惯．我这里还有一个题，我们再来一起解决一下.（多媒体出示，先隐藏小亮的解法）议一议： 解方程：32--x x =x-31－2． （可让学生在练习本上完成，发现有和小亮同样解法的同学，可用实物投影仪显示他的解法，并共同分析） ［师］我们来看小亮同学的解法：32--x x =x-31－2. 解：方程两边同乘（x －3），得2－x =－1－2（x －3）解这个方程，得x =3．［生］小亮解完没检验x =3是不是原方程的解．［师］检验的结果如何呢？［生］把x =3代入原方程中，使方程的分母x －3和3－x 都为零，即x =3时，方程中的分式无意义，因此x =3不是原方程的根．［师］它是去分母后得到的整式方程的根吗？［生］x =3是去分母后的整式方程的根．［师］为什么x =3是整式方程的根，它使得最简公分母为零，而不是原分式方程的根呢？同学们可在小组内讨论．（教师可参与到学生的讨论中，倾听同学们的想法）［生］在解分式方程时，我们在分式方程两边都乘最简公分母才得到整式方程．如果整式方程的根使得最简公分母的值为零，那么它就相当于分式方程两边都乘零，不符合等式变形时的两个基本性质，得到的整式方程的解必将使分式方程中有的分式分母为零，也就不适合原方程了．［师］很好！分析得很透彻，我们把这样的不适合原方程的整式方程的根，叫原方程的增根． 在把分式方程转化为整式方程的过程中会产生增根，那么是不是就不要这样解？或采用什么方法补救？［生］还是要把分式方程转化成整式方程来解．解出整式方程的解后可用检验的方法看是不是原方程的解．［师］怎样检验较简单呢？还需要将整式方程的根分别代入原方程的左、右两边吗？ 学生先思考，教师再讲解.［师］产生增根的原因是这个根使去分母时的最简公分母为零造成的．因此最简单的检验方法是：把整式方程的根代入最简公分母．若使最简公分母为零，则是原方程的增根；若使最简公分母不为零，则是原方程的根．是增根，必舍去．在解一元一次方程时每一步的变形都符合等式的性质，解出的根都应是原方程的根．但在解分式方程时，解出的整式方程的根一定要代入最简公分母检验．小亮就犯了没有检验的错误．（三）应用，升华1．解方程：（1）13-x =x 4；（2）1210-x +x 215-=2． 2．回顾，总结想一想：解分式方程一般需要经过哪几个步骤？［师］同学们可根据例题和练习题的步骤，讨论总结．［生］解分式方程分三大步骤：（1）方程两边都乘最简公分母，约去分母，化分式方程为整式方程；（2）解这个整式方程；（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，应舍去．使最简公分母不为零的根才是原方程的根．3．解分式方程：（1）x 9000=300015000+x ； （2）x h 2=x a a -（a ，h 常数）.（四）课堂小结［师］同学们这节课的表现很活跃，一定收获不小．［生］我们学会了解分式方程，明白了解分式方程的三个步骤缺一不可．［生］我明白了分式方程转化为整式方程为什么会产生增根．［生］我又一次体验到了“转化”在学习数学中的重要作用，但又进一步认识到每一步转化并不一定都那么“完美”，必须经过检验，反思“转化”过程．（五）教学反思第3课时一、教学目标1.知识与技能会利用分式方程的数学模型反映、解决现实情境中的实际问题．2.过程与方法经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力；3.情感态度及价值观（1）经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣；（2）培养学生的创新精神，从中获得成功的体验．二、教学重点、难点重点：（1）审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型．（2）根据实际意义检验解的合理性．难点：寻求实际问题中的等量关系．三、教具准备课件.四、教学过程（一）提出问题，引入新课［师］前两节课，我们认识了分式方程这样的数学模型，并且学会了解分式方程．接下来，我们就用分式方程解决生活中实际问题．（二）讲授新课做一做（多媒体出示）某单位将沿街的一部分房屋出租．每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9．6万元，第二年为10．2万元．（1）你能找出这一情境的等量关系吗？（2）根据这一情境，你能提出哪些问题？［师］现在我们一起来寻求这一情境中的等量关系．［生］第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500元．（1）［生］还有一个等量关系：第一年租出的房屋间数=第二年租出的房屋的间数．［师］根据“做一做”的情境，你能提出哪些问题呢？在我们的数学学习中，提出问题比解决问题更重要．同学们尽管提出符合情境的问题．［生］问题可以是：每年各有多少间房屋出租？［生］问题也可以是：这两年每年房屋的租金各是多少？［师］很好，下面我们就来先解决第一个问题：每年各有多少间房屋出租？［师生共析］解：设每年各有x 间房屋出租，那么第一年每间房屋的租金为x 96000元，第二年每间房屋的租金为x 102000元.根据题意，得x 102000=x96000+500. 解这个方程，得x =12.经检验x =12是原方程的解，也符合题意．所以每年各有12间房屋出租．［师］我们接着再来解决第二个问题：这两年每间房屋的租金各是多少？［生］根据第一问的答案可计算，得 第一年每间房屋的租金为1296000=8 000（元）， 第二年每间房屋的租金为12102000=8 500（元）． ［师］如果没有第一问，该如何解答第二问？［生］解：设第一年每间房屋的租金为x 元，第二年每间房屋的租金为（x +500）元．第一年租出的房间为x 96000间，第二年租出的房间为500102000+x 间，根据题意，得 x 96000= 500102000+x . 解得x = 8000.x +500=8 500（元）.经检验，x =8 000是原分式方程的解，也符合题意．所以这两年每间房屋的租金分别为8 000元，8 500元．［师］我们利用分式方程解决了实际问题．现在我们再来看一个例题，我们可以从中感受到节约用水是每个公民应该关心的事情．［例］某自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过5 m 3，则每立方米收费1.5元；若每户每月用水超过5 m 3，则超出部分每立方米收取较高的定额费用．1月份，张家用水量是李家用水量的32，张家当月水费是17.5元，李家当月水费是27.5元．超出5 m 3的部分每立方米收费多少元？［师］解决实际情境问题，最关键的是什么呢？［生］审清题意，找出题中的等量关系．［师］很好．某自来水公司水费计算办法可用表格表示出来（如下表）.［生］此题主要的等量关系是：1月份张家用水量是李家用水量的32． ［师］怎样表示出张家1月份的用水量和李家1月份的用水量呢？［生］根据自来水公司水费计算的办法，用水量可以用水费除以单价得出，但计算时要将水费分成两部分：5 m 3的水费与超出5 m 3部分的水费．［师］下面我们就来用等量关系列出方程．［师生共析］设超出5 m 3部分的水每立方米收费为x 元，则1月份张家超出5 m 3的部分水费为（17．5－1．5×5）元，超出 5 m 3的用水量为x55.15.17⨯- m 3，总用水量为5+x55.15.17⨯- m 3； 李家超出5 m 3部分的水费为（27.5－1.5×5）元，超出5 m 3的用水量为x55.15.27⨯- m 3，总用水量为（5+x55.15.27⨯-）m 3. 根据等量关系，得x 55.15.17⨯-+5=（x 55.15.27⨯-+5）×32. 解这个方程，得x =2．经检验x =2是所列方程的根．所以超出5 m 3部分的水每立方米收费2元．（三）随堂练习小芳带了15元钱去商店买笔记本．如果买一种软皮本，正好需付15元钱．但售货员建议她买一种质量好的硬皮本，这种本子的价格比软皮本高出一半，因此她只能少买一本笔记本．这种软皮本和硬皮本每本的价格各是多少？［师］我们先来找到题中的等量关系．［生］题中的等量关系有两个：15元钱买的软皮本的本数=15元钱买的硬皮本的本数+1本；硬皮本的价格=软皮本的价格×（1+21）. ［师］我们找到了等量关系，接下来请同学们在练习本上完成第1题．［生］解：设软皮本每本的价格为x 元，则硬皮本每本的价格为（1+21）x 元，那么15元钱可买软皮本x 15本，硬皮本x )211(15+本．根据题意，得，x 15=x )211(15++1 解得x =5.经检验x =5是原方程的根，也符合题意.所以（1+21）x =23×5=7.5（元）. 答：软皮本每本的价格为5元，硬皮本每本的价格为7.5元.（四）课堂小结列方程解决实际情境中的具体问题，是数学实用性最直接的体现，而解决这一问题是如何将实际问题建立方程这样的数学模型，关键则在于审清题意，找出题中的等量关系，找到它就为列方程指明了方向．（五）教学反思。

1 认识分式第1课时一、教学目标 1.知识与技能了解分式的概念，明确分式与整式的区别． 2.过程与方法（1）让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程，体会分式是表示现实世界中的一类量的有效数学模型；（2）理解分式有无意义、分式的值为零的条件，并能熟练求出. 3.情感态度及价值观培养学生观察、归纳、类比的思维，让学生学会自主探索、合作交流. 二、教学重点、难点 重点：了解分式的概念．难点：分式有无意义、分式的值为零的条件． 三、教具准备 课件. 四、教学过程 （一）创设情景面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林2 400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成原计划任务，原计划每月固沙造林多少公顷？ （1）这一问题中有哪些等量关系？（2）如果设原计划每月固沙造林x 公顷，那么原计划完成一期工程需要__________个月，实际完成一期工程用了__________个月；根据题意，可得方程___________________． 分析：（1）等量关系包括：实际每月固沙造林的面积=原计划每月固沙造林的面积+30公顷；原计划完成一期工程的时间-实际完成一期工程的时间=4个月.月）完成一期工程的时间（积实际每月固沙造林的面公顷=2400.（2），，3024002400+x x 4302400-2400=+x x .通过土地沙化问题，让学生探索问题中的数量关系，并用分式表示，进而认识分式，体会分式的意义，发展符号感． （二）做一做一箱苹果售价a 元，箱子与苹果的总质量为m kg ，箱子的质量为n kg ，则每千克苹果售价是多少元？进一步丰富分式的实际背景，使学生体会分式的意义． （三）议一议上面问题中出现了的这些代数式2400x ，240030x +，am n-，它们有什么共同特征？它们与整式有什么不同？整式A 除以整式B ，可以表示成B A 的形式．如果除式B 中含有字母，那么称BA为分式，其中A 称为分式的分子，B 称为分式的分母．对于任意一个分式，分母都不能为零． 这里是对前面出现的分式的讨论，目的是让学生通过观察、归纳，总结出整式与分式的异同，从而获得分式的概念．教学时不宜直接给出定义让学生死记硬背． （四）巩固应用 例 对于分式aa 21+： （1）当a =1，2时，求分式aa 21+的值； （2）当a 取何值时，分式aa 21+有意义？ 解：（1）当a =1时，；1121121=⨯+=+a a当a =2时，；43221221=⨯+=+a a （2）当分母的值等于零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义． 由分母2a =0，得a =0，所以，当a 取零以外的任何实数时，分式aa 21+有意义． 对于例题（2），可以引导学生从两方面理解：其一，与分数类比（由特殊到一般）；其二，字母a 本身是可以表示任何数的，但这里a 作为分母，要求它不能等于零（由一般到特殊）． （五）课堂小结想一想：什么是分式？分式中的分母应注意些什么？通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解． （六）教学反思第2课时一、教学目标 1.知识与技能 （1）分式的基本性质；（2）利用分式的基本性质对分式进行“等值”变形； （3）了解分式约分的步骤和依据，掌握分式约分的方法； （4）使学生了解最简分式的意义，能将分式化为最简分式. 2.过程与方法（1）能类比分数的基本性质，推测出分式的基本性质； （2）培养学生加强事物之间的联系，提高数学运算能力. 3.情感态度及价值观通过类比分数的基本性质及分数的约分，推测出分式的基本性质和约分，在学生已有数学经验的基础上，提高学生学数学的乐趣. 二、教学重点、难点重点：（1）分式的基本性质； （2）利用分式的基本性质约分； （3）将一个分式化简为最简分式. 难点：分子、分母是多项式的约分. 三、教具准备 课件. 四、教学过程（一）复习分数的基本性质，推想分式的基本性质. ［师］我们来看如何做不同分母的分数的加法：21+ 31. ［生］21+31=3231⨯⨯+2321⨯⨯=63+62=65. ［师］这里将异分母化为同分母，21=3231⨯⨯=63, 31=2321⨯⨯=62.这是根据什么呢？ ［生］根据分数的基本性质：分数的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变.［师］很好！分式是一般化了的分数，我们是否可以推想分式也有分数的这一类似的性质呢？（二）新课讲解 1.分式的基本性质 多媒体出示.［生］（1）将6的分子、分母同时除以它们的最大公约数3得到.即6=36÷=2. 依据是分数的基本性质：分数的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变. （2）分式a a 2与21相等，在分式a a 2中，a ≠0，所以a a 2=a a a a ÷÷2=21; 分式mn n 2与m n也是相等的.在分式mn n 2中，n ≠0，所以mn n 2=n mn n n ÷÷2=mn .［师］由此，你能推想出分式的基本性质吗？［生］分式是一般化了的分数，类比分数的基本性质，我们可推想出分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变. ［师］在运用此性质时，应特别注意什么？［生］应特别强调分式的分子、分母都乘（或除以）同一个不为零的整式中的“都”“同一个”“不为零”.［师］我们利用分数的基本性质可对一个分数进行等值变形.同样我们利用分式的基本性质也可以对分式进行等值变形.下面我们就来看一个例题.（多媒体出示）［生］在（1）中，因为y ≠0，利用分式的基本性质，在x2的分子、分母中同乘y ，即可得到右边，即x b 2=y x yb ⋅⋅2=xyby 2； ［师］很好！在（1）中，题目告诉你y ≠0，因此我们可用分式的基本性质直接求得.可（2）中右边又是如何从左边得到的呢？ ［生］在（2）中，bx ax 可以分子、分母同除以x 得到，即bx ax =x bx x ax ÷÷=ba . ［生］“x ”如果等于“0”，就不行. 在bx ax 中，x 不会为“0”，如果是“0”，bx ax 中分母就为“0”，分式bxax将无意义，所以（2）中虽然没有直接告诉我们x ≠0，但要由bxax 得到b a ，bx ax必须有意义，即bx ≠0由此可得b ≠0且x ≠0.［师］这位同学分析得很精辟！ 2.分式的约分［师］利用分数的基本性质可以对分数进行化简.利用分式的基本性质也可以对分式化简. 我们不妨先来回忆如何对分数化简.［生］化简一个分数，首先找到分子、分母的最大公约数，然后利用分数的基本性质就可将分数化简.例如123，3和12的最大公约数是3，所以123=31233÷÷=41. ［师］我们不妨仿照分数的化简，来推想对分式化简.（多媒体出示）做？［生］约去分子、分母中的公因式.（1）中a 2bc 可分解为ac ·（ab ）.分母中也含有因式ab,因此利用分式的基本性质：ab bc a 2=)()(2ab ab ab bc a ÷÷=)()()(ab ab ab ab ac ÷÷⋅=ac. ［师］我们可以注意到（1）中的分式，分子、分母都是单项式，把公有的因式分离出来，然后利用分式的基本性质，把公因式约去即可.这样的公因式如何分离出来呢？同学们可小组讨论.［生］如果分子、分母是单项式，公因式应取系数的最大公约数，相同的字母取它们中最低次幂.［师］回答得很好.可（2）中的分式，分子、分母都是多项式，又如何化简呢？ ［生］通过对分子、分母因式分解，找到它们的公因式.［师］这个主意很好.现在同学们自己动手把第（2）题试着完成一下.［生］解：（2）12122+--x x x =2)1()1)(1(-+-x x x =11-+x x . ［生］老师，我明白了，遇到分子、分母是多项式的分式，应先将它们分解因式，然后约去公有的因式.［师］在例3中，ab bc a 2=ac ，即分子、分母同时约去了整式ab ； 12122+--x x x =11-+x x ，即分子、分母同时约去了整式（x －1）.把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形我们称为分式的约分.下面我们亲自动手，再来化简几个分式.（多媒体出示）［生］解：（1）y x 220=)5()4(xy x ⋅=x4;（2）)()(b a b b a a ++=ba.［师］在刚才化简第（1）题中的分式时，一位同学这样做的（多媒体出示）.［生］我认为小颖的做法中，220x 中还有公因式5x ，没有化简完，也就是说没有化成最简结果. ［师］很好！y x xy 2205如果化简成x41，说明化简的结果中已没有公因式，这种分式称为最简分式.因此，我们通常使结果成为最简分式或者整式. （三）巩固、提高 1.填空： （1）y x x -2=))(()(y x y x +-; （2）)(1422=-+y y .1. 解：（1）因为y x x -2=))(()(2y x y x y x x +-+=))((222y x y x xy x +-+，所以括号里应填2x 2+2xy; （2）因为422-+y y =)2)(2(2-++y y y =21-y ， 所以括号里应填y －2. 2.化简下列分式：（1）2332912y x y x ;（2）3)(y x yx --.2. 解：（1）2332912y x y x =)3()3()3()4(2222y x x y x y ⋅⋅=xy34;（2）3)(y x y x --=)()()(2y x y x y x -⋅--=2)(1y x -. （四）课堂小结［师］通过今天的学习，同学们有何收获？（鼓励学生积极回答）［生］数学知识之间是有内在联系的.利用分数的基本性质就可推想出分式的基本性质. ［生］分式的约分和化简可联系分数的约分和化简. ［生］化简分式时，结果一定要求最简. （五）教学反思。

个性化教学辅导教案学科:数学任课教师：黄老师授课时间：2014 年05 月11 日(星期日）姓名梁志安年级八年级性别男总课时____第___课教学目标知识点：1、分式的概念，基本性质。

2、分式方程的解法和应用。

难点重点重点：1、了解分式的概念，探索分式的基本性质，能进行分式的四则运算。

2、会解可化为一元一次方程的分式方程。

难点：能运用分式方程解决一些简单的实际问题。

课堂教学过程课前检查作业完成情况：优□良□中□差□建议__________________________________________过程一、分式的定义例1 下列式子中，yx+15、8a2b、-239a、yxba--25、4322ba-、2—a2、m1、65xyx1、21、212+x、πxy3、yx+3、ma1+中分式的个数为（）（A） 2 （B） 3 （C） 4 （D） 5【练习】1、下列式子中,是分式的有。

⑴275xx-+；⑵123x-；⑶25aa-；⑷22x xπ--；⑸22bb-；⑹222xyx y+.2、下列式子，哪些是分式?5a-；234x+；3yy；78xπ+;2x xyx y+-;145b-+。

2、分式有,无意义，总有意义(1)使分式有意义:令分母≠0按解方程的方法去求解; （2）使分式无意义:令分母=0按解方程的方法去求解； 注意:(12+x ≠0）例1 当x 时，分式51-x 有意义； 例2 分式xx -+212中，当____=x 时，分式没有意义 例3 当x 时，分式112-x 有意义。

例4 x ,y 满足关系 时,分式x yx y-+无意义; 例5 无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ）A ．122+x x B 。

12+x x C 。

133+x xD 。

25x x -例6 使分式2+x x有意义的x 的取值范围为（ ）A ．2≠xB ．2-≠xC ．2->xD ．2<x 【练习】 1、要是分式)3)(1(2-+-x x x 没有意义，则x 的值为（ ）A. 2B.-1或-3C. —1D.3 2、 当x 时，分式12+x x有意义3、分式的值为零使分式值为零：令分子=0且分母≠0,注意：当分子等于0使，看看是否使分母=0了，如果使分母=0了，那么要舍去。

1 相识分式第1课时 分式的有关概念教学目标 一、基本目标1．了解分式的概念，明确分式与整式的区分．2．经验用字母表示现实情境中数量关系的过程，体会分式的模型思想，进一步发展符号感．3．通过教材土地沙化问题的情境，体会爱护人类生存环境的重要性． 二、重难点目标 【教学重点】 分式的概念． 【教学难点】分式有(无)意义的条件，分式值为0的条件． 教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P 108～P109的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 可以表示成AB的形式．假如B 中含有字母，那么称A B为分式，其中A 称为分式的分子，B 称为分式的分母．对于随意一个分式，分母都不能为零．2．分式有意义的条件是分母不为0.分式的值为0的条件是分子等于0，且分母不等于0.3．下列各式中，哪些是分式？①2b －s ；②3000300－a ；③27；④v s ；⑤s 32；⑥2x 2＋15；⑦45b ＋c ；⑧－5；⑨3x 2－1；⑩x 2－xy ＋y 22x －1；⑪5x －7.解：分式有①②④⑦⑩.4．当x 取何值时，下列分式无意义？当x 取何值时，下列分式的值等于0? (1)3－x x ＋2；(2)x ＋53－2x. 解：(1)当x ＋2＝0时，即x ＝－2时，分式3－x x ＋2无意义．当x ＝3时，分式3－x x ＋2的值等于0.(2)当3－2x ＝0时，即x ＝32时，分式x ＋53－2x 无意义．当x ＝－5时，分式x ＋53－2x 的值等于0.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组探讨(师生互学)【例1】当x 取何值时，下列分式有意义？当x 取何值时，下列分式无意义？当x 取何值时，下列分式值为零？(1)x ＋1x －1 ； (2)x －2x 2－1； (3)x 2－1x 2－x. 【互动探究】(引发学生思索)依据分式有、无意义所满意的条件进行推断．分式的值为0，则分母不为0，且分子等于0.【解答】(1)有意义：x －1≠0，即x ≠1. 无意义：x －1＝0，即x ＝1.值为0：x ＋1＝0且x －1≠0，∴x ＝－1. (2)有意义：x 2－1≠0，即x ≠±1. 无意义：x 2－1＝0，即x ＝±1. 值为0：x －2＝0且x 2－1≠0，∴x ＝2. (3)有意义：x 2－x ≠0，即x ≠0且x ≠1. 无意义：x 2－x ＝0，即x ＝0或x ＝1. 值为0：x 2－1＝0且x 2－x ≠0，即x ＝－1.【互动总结】(学生总结，老师点评)分式有意义的条件：分式的分母不能为0.分式无意义的条件：分式的分母等于0.分式值为0的条件：分式的分子等于0，但分母不能等于0.分式的值为0肯定是在有意义的条件下成立的．活动2 巩固练习(学生独学) 1．若代数式1x －1＋x 有意义，则实数x 的取值范围是( D ) A ．x ≠1 B ．x≥0 C ．x ≠0D ．x≥0且x≠12．若分式2x －13x ＋5有意义，则x 的取值范围是x≠－53.3．若分式x 2－1x ＋1的值为0，则x 的值是1.4．对于分式x －m －nm －2n ＋3x ，已知当x ＝－3时，分式的值为0；当x ＝2时，分式无意义．试求m 、n 的值．解：∵当x ＝－3时，分式的值为0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3－m －n ＝0，m －2n －9≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝－3，m －2n≠9.又∵当x ＝2时，分式无意义， ∴m －2n ＋3×2＝0，即m －2n ＝－6.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝－3，m －2n ＝－6，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝1.活动3 拓展延长(学生对学)【例2】视察下面一列分式：x 3y ，－x 5y 2，x 7y 3，－x9y 4，….(其中x≠0)(1)依据上述分式的规律写出第6个分式；(2)依据你发觉的规律，试写出第n(n 为正整数)个分式，并简洁说明理由．【互动探究】(1)依据已知分式的分子与分母的次数与系数关系得出答案；(2)利用(1)中数据的变更规律得出答案．【解答】(1)视察各分式的规律可得，第6个分式为－x13y 6.(2)由已知可得：第n(n 为正整数)个分式为(－1)n ＋1×x 2n ＋1yn.理由：∵分母的底数为y ，次数是连续的正整数，分子底数是x ，次数是连续的奇数，且第偶数个分式为负，∴第n(n 为正整数)个分式为(－1)n ＋1×x 2n ＋1yn.【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了分式的定义以及数字变更规律，得出分子与分母的变更规律是解题关键．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．分式的概念：一般地，假如A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB 叫做分式．2．分式AB 有无意义的条件：当B≠0时，分式有意义；当B ＝0时，分式无意义．3．分式AB 值为0的条件：当A ＝0，B≠0时，分式的值为0.练习设计请完成本课时对应练习！第2课时 分式的基本性质教学目标 一、基本目标1．能正确理解和运用分式的基本性质．2．通过与分数的基本性质相比较，归纳得出分式的基本性质，体验类比的思想方法． 二、重难点目标 【教学重点】理解分式的基本性质，会进行分式的化简． 【教学难点】敏捷应用分式的基本性质将分式变形． 教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P 110～P112的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．这一性质可以用式子表示为：b a ＝b ·m a ·m ，b a ＝b ÷ma ÷m(m ≠0)．2．把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式．化简分式时，通常要使结果成为最简分式或整式．3．分式的分子、分母及分式本身的三个符号中，随意变更其中两个的符号，分式的值不变；若只变更其中一个或三个全变号，则分式的值变成原分式值的相反数．4．下列等式的右边是怎样从左边得到的？(1)a 2b ＝ac 2bc (c ≠0)； (2)x 3xy ＝x 2y . 解：(1)由c ≠0，知a 2b ＝a ·c 2b ·c ＝ac 2bc .(2)由x ≠0，知x 3xy ＝x 3÷x xy ÷x ＝x 2y.5．约分：(1)a 2bc ab ； (2)－32a 3b 2c 24a 2b 3d. 解：(1)公因式为ab ，所以a 2bc ab＝ac .(2)公因式为8a 2b 2，所以－32a 3b 2c 24a 2b 3d ＝－4ac3bd.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组探讨(师生互学)【例1】不变更分式0.2x ＋12＋0.5x 的值，把它的分子、分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的为( )A ．.2x ＋12＋5xB ．.x ＋54＋xC ．2x ＋1020＋5xD ．2x ＋12＋x【互动探究】(引发学生思索)利用分式的基本性质，把0.2x ＋12＋0.5x 的分子、分母都乘10，得2x ＋1020＋5x . 【答案】C【互动总结】(学生总结，老师点评)视察分式的分子和分母，要使分子与分母中各项系数都化为整数，只需依据分式的基本性质让分子和分母同乘某一个数即可．【例2】约分：(1)－5a 5bc 325a 3bc 4； (2)x 2－2xyx 3－4x 2y ＋4xy2.【互动探究】(引发学生思索)要约分须要先找分子、分母的公因式，如何确定公因式呢？ 【解答】(1)－5a 5bc 325a 3bc 4＝5a 3bc 3－a 25a 3bc 3·5c ＝－a25c . (2)x 2－2xy x 3－4x 2y ＋4xy 2＝x x －2yx x －2y2＝1x －2y. 【互动总结】(学生总结，老师点评)约分的步骤；(1)找公因式．当分子、分母是多项式时应先分解因式；(2)约去分子、分母的公因式．活动2 巩固练习(学生独学)1．把分式2x2x －3y 中的x 和y 都扩大为原来的5倍，那么分式的值( B )A ．扩大为原来的5倍B ．不变C ．缩小为原来的15D ．扩大为原来的52倍2．将分式x2－y x 5＋y 3的分子与分母中各项系数化为整数，结果是15x －30y6x ＋10y .3．约分：(1)－15a ＋b 2－25a ＋b ； (2)m 2－3m9－m2.解：(1)3a ＋b5.(2)－mm ＋3.4．先约分，再求值：(1)3m ＋n9m 2－n2，其中m ＝1，n ＝2； (2)x 2－4y 2x 2－4xy ＋4y 2，其中x ＝2，y ＝4. 解：(1)3m ＋n 9m 2－n 2＝13m －n ＝13×1－2＝1.(2)x 2－4y 2x 2－4xy ＋4y 2＝x ＋2y x －2y x －2y 2＝x ＋2y x －2y ＝2＋2×42－2×4＝－53. 活动3 拓展延长(学生对学)【例3】若x 2＝y 3＝z 4≠0，求x －y －z 3x ＋2y －z的值．【互动探究】因为条件是以比相等的形式出现，所以考虑设比值为k ，把待求式转化为关于k 的式子求值．【解答】设x 2＝y 3＝z 4＝k (k ≠0)，x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ，∴x －y －z 3x ＋2y －z ＝2k －3k －4k 6k ＋6k －4k ＝－5k8k＝－58.【互动总结】(学生总结，老师点评)当数学问题中出现或隐含比值相等的条件时，设比值为一个新字母，把问题转化为新字母的问题求解．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变．2．符号法则：分式的分子、分母及分式本身，随意变更其中两个符号，分式的值不变；若只变更其中一个符号或三个全变号，则分式的值变成原分式值的相反数．练习设计请完成本课时对应练习！。