19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分别是AA1和B1C 的中点．
（1）求证：DE⊥BC；
（2）求三棱锥E﹣BCD的体积．
【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】证明题；数形结合；数形结合法；立体几何．
【分析】（1）取BC中点F，连结EF，AF，由直棱柱的结构特征和中位线定理可得四边形ADEF是平行四边形，故DE∥AF，由等腰三角形的性质可得AF⊥BC，故DE⊥BC；
（2）把△BCE看做棱锥的底面，则DE为棱锥的高，求出棱锥的底面积和高，代入体积公式即可求出．
【解答】证明：（1）取BC中点F，连结EF，AF，则EF是△BCB1的中位线，∴EF∥BB1，EF=BB1，
∵AD∥BB1，AD=BB1，∴EF∥AD，EF=AD，∴四边形ADEF是平行四边形，∴DE∥AF，∵AB=AC，F是BC的中点，∴AF⊥BC，∴DE⊥BC．
（2）∵BB1⊥平面ABC，AF⊂平面ABC，∴BB1⊥AF，
又∵AF⊥BC，BC⊂平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，BC∩BB1=B，
∴AF⊥平面BCC1B1，∴DE⊥平面BCC1B1，
∵AC=5，BC=6，∴CF==3，∴AF==4，∴DE=AF=4
∵BC=BB1=6，∴S△BCE==9．
∴三棱锥E﹣BCD的体积V=S△BCE•DE==12．
【点评】本题考查了线面垂直的性质与判定，棱锥的体积计算，属于中档题．
21．如图，△ABC是边长为2的正三角形，AE⊥平面ABC，且AE=1，又平面BCD⊥平面ABC，且BD=CD，BD⊥CD．
（1）求证：AE∥平面BCD；
（2）求证：平面BDE⊥平面CDE．
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】（1）取BC的中点M，连接DM、AM，证明AE∥DM，通过直线与平面平行的判定定理证明AE∥平面BCD．
（2）证明DE∥AM，DE⊥CD．利用直线与平面垂直的判定定理证明CD⊥平面BDE．然后证明平面BDE⊥平面CDE．
【解答】证明：（1）取BC的中点M，连接DM、AM，
因为BD=CD，且BD⊥CD，BC=2，…
所以DM=1，DM⊥BC，AM⊥BC，…
又因为平面BCD⊥平面ABC，
所以DM⊥平面ABC，所以AE∥DM，…
又因为AE⊄平面BCD，DM⊂平面BCD，…
所以AE∥平面BCD．…
（2）由（1）已证AE∥DM，又AE=1，DM=1，
所以四边形DMAE是平行四边形，所以DE∥AM．…
由（1）已证AM⊥BC，又因为平面BCD⊥平面ABC，
所以AM⊥平面BCD，所以DE⊥平面BCD．
又CD⊂平面BCD，所以DE⊥CD．…
因为BD⊥CD，BD∩DE=D，所以CD⊥平面BDE．
因为CD⊂平面CDE，所以平面BDE⊥平面CDE．…
【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面平行与垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力逻辑推理能力．
21．如图，PA垂直于矩形ABCD所在平面，AE⊥PB，垂足为E，EF⊥PC垂足为F．
（Ⅰ）设平面AEF∩PD=G，求证：PC⊥AG；
（Ⅱ）设PA=，M是线段PC的中点，求证：DM∥平面AEC．
【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（Ⅰ）证明BC⊥平面ABP，可得AE⊥BC，再证明AE⊥平面PBC，PC⊥平面AEFG，即可证明：PC⊥AG；
（Ⅱ）取PE中点N，连结MN，ND，BD，AC，设BD∩AC=O，连结EO，证明平面MND∥平面AEC，即可证明：DM∥平面AEC．
【解答】证明：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
∴BC⊥PA；
又∵BC⊥AB，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面ABP；
而AE⊂平面ABP，∴AE⊥BC，
又∵AE⊥PB，PB∩BC=B，∴AE⊥平面PBC；
∵PC⊂平面PBC，∴PC⊥AE，
又∵PC⊥EF，EF∩AE=E，∴PC⊥平面AEFG，
∵AG⊂平面AEFG，∴PC⊥AG…
（Ⅱ）∵，
∴PE=2，BE=1，即PE=2EB，
取PE中点N，连结MN，ND，BD，AC，设BD∩AC=O，连结EO，
则在△PEC中，PN=NE，PM=MC，∴MN∥EC，
同理ND∥EO，
∵MN∩ND=N，∴平面MND∥平面AEC，
又∵DM⊂平面DMN，∴DM∥平面AEC…
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，O为AD中点，M是棱PC上的点，AD=2BC．
（1）求证：平面POB⊥平面PAD；
（2）若PA∥平面BMO，求的值．
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）证明四边形BCDO是平行四边形，得出OB⊥AD；再证明BO⊥平面PAD，从而证明平面POB⊥平面PAD；
（2）解法一：由，M为PC中点，证明N是AC的中点，MN∥PA，PA ∥平面BMO．
解法二：由PA∥平面BMO，证明N是AC的中点，M是PC的中点，得．【解答】解：（1）证明：∵AD∥BC，，O为AD的中点，
∴四边形BCDO为平行四边形，∴CD∥BO；
又∵∠ADC=90°，∴∠AOB=90°，即OB⊥AD；
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BO⊥平面PAD；
