当前位置：文档之家 › 第五章 角动量及其规律

第五章 角动量及其规律

  • 格式：ppt
  • 大小：925.00 KB
  • 文档页数：33

下载文档原格式

  / 33

合集下载

角动量及其规律

角动量及其规律

强调：讨论力矩时，要说明是对哪个点或对哪个轴的力矩 。
10
练习：试求作用在圆锥摆上的拉力T、重力mg
和合力F对o' 点、o 点、oo' 轴的力矩
o'
β L
M F r sin ( r , F ) F r sin
T
| M z | F1 r1 sin
o
F
力矩 o'点 o点
拉力T
质点对轴的角动量推导：
L r p r1 r2 p 1 p 2 r1 p 1 r2 p 1 r1 p 2 r2 p 2
L z r1 p1 r2 p1 r1 p 2 r2 p 2
若 M z 0 ，则 L z 常量
即：作用于质点的诸力对轴的力矩和为零时，质点 对该轴的角动量不变。
14
五、几点注意
1、在应用角动量定理或角动量守恒定律时，力矩和角动量 必须选取惯性系中的同一参考点或同一参考轴 2、角动量守恒与选取的参考点或参考轴有关。 例如，圆锥摆
对o点，oo'轴，合力F的力矩为零，因此质点对o点，对 oo’轴的角动量守恒，无论摆转到哪一点,角动量大小都是 mvlsinα，方向都是竖直向上。 但对o'点合力矩不为零，因而对o'点的角动量不守恒， 虽然大小不变，但方向总在变化。
i i i i i
d
dLz dt
22
例：应用角动量守恒解释花样滑冰、芭蕾舞演员
的旋转现象。
重力对转轴的力矩为零，人两臂从 伸开到收回的过程中，人对转轴的 角动量守恒： m i v i ri m i ri 2 C

第5章 角动量

第5章 角动量
3
问题2：将一绕通过质心的固定 轴转动的圆盘视为一个质点系， 系统总动量为多少？
p总 MvC 0
C M

由于该系统质心速度为零，所以，系统总 动量为零，系统有机械运动，总动量却为 零？说明不宜使用动量来量度转动物体的 机械运动量。 *引入与动量
p 对应的角量 L
——角动量（动量矩）
15
二、质点的角动量定理
角动量和力矩的物理意义体现在两者所遵从的物理规律上.
d (mv ) F dt
d ( mv ) r F r dt d mv dr d r mv r mv dt dt dt dr v, v v 0 dt d (mv ) d (r mv ) r dt dt
a a a2 aa 0
17
d r F rP dt
Mdt dL



t2 t1
dL M dt
Mdt L2 L1
即质点对任一固定点的角动量的时间变化率等于外力 对该点的力矩---质点的角动量定理
或
表明角动量的增量等于冲量矩（角冲量）的积分
dt L mr v m(a costi b sintj )
M
(a sinti b costj ) 2 2 m(ab cos tk ab sin tk ) mabk (恒矢量) dL 0!
5
中学的表达式：对O点力矩M
M Fd Fr sin
M
正是前面定义的力 矩的大小。
r
O
F

d
力矩的方向由右手螺旋法则 来确定才有矢量的确切含义。

第五章质点的角动量角动量守恒定1

第五章质点的角动量角动量守恒定1

第五章质点的⾓动量⾓动量守恒定1第五章质点的⾓动量⾓动量守恒定理§5-1 质点的⾓动量⾓动量定理⼀质点的⾓动量我们已经知道，在讨论单个质点或质点系统（包括刚体）的平动运动时，线动量是很有⽤的物理量，例如，在碰撞中线动量是守恒的。

对于单个质点，线动量为v P m =对于质点系统，线动量为v P M =其中M 为系统的总质量⽽v 是质⼼的速度。

在转动运动中，什么量和线动量相类似呢？我们将这个量称之为⾓动量。

下⾯就单个质点这⼀特殊情况来定义⾓动量，以后推⼴到质点系统。

假设有⼀质量为m 和线动量为P 的质点A ，这质点相对于惯性参考系的原点O 的位置⽮量为r 如图()15-所⽰图 ()15-定义这个质点对原点0的⾓动量为v r p r L m ?=?= （5-1）讨论 1）其中r 是代表以给定点0为原点到质点的位置⽮量2）其⼤⼩θsin rmv L = 式中θ是r 与v 之间的夹⾓，它的⽅向垂直与r 与p 所组成的平⾯，并由右⼿螺旋法则确定,见图（5-1）3）我们也可将L 的⼤⼩表⽰为 ()p r p r L ⊥==θsin 或 ()⊥==rp p r L θsin 式中的⊥r 为r 垂直于p 的分量，⊥p 为p 垂直于r 的分量，故⾓动量也可称为动量矩。

4）应当指出，质点的⾓动量与位置⽮量r 和动量p 有关，也就是与参考点0的选择有关。

因此在讲述质点的⾓动量时，必须指明是对哪⼀点的⾓动量。

5）在国际单位制中，⾓动量的量纲为12-T ML ，符号是kg ·sm 2，也可表⽰为J ·s⼆质点的⾓动量定理质点在运动时导致⾓动量L 随时间变化的根本原因是什么？由 v r L m ?= 对其两边微分则 (r L dt d dt d =×)v m =dtd r×r v +m ×()dt m d v 其中 dt=v 故 v ×=v m 0 ()F P v ==dt d dt m d得 r L=dtd ×F （5-2）即：质点m 对参考点o 的⾓动量随时间变化率dtd L等于位置⽮量r 和质点所受的合外⼒F 的⽮量积。

第5章 角动量定理

第5章 角动量定理
10
例
圆锥摆如图，摆锤作匀速圆周运动， 摆线长l，小球质量m， 取悬挂点O为参考点， 求摆球所受力矩和摆球角动量。
T
mg
l
v

O
摆球受张力和重力 张力对O点力矩为零 摆球所受重力矩 摆球角动量 选另一参考点
O
M mgl sin
⊙
L mvl
O
?
大小不变，方向时时在变化
圆锥摆对O’点角动量守恒（有心力)
7
质点所受各分力Fi相对同一参考点的力矩之和， 等于合力F相对该参考点的力矩。
M i r Fi r Fi r F M
i i i
两质点之间一对作用力与反作用力 相对于同一参考点力矩之和必为零。
F1
r1
2 r 1 21 r2
dL M外 dt
19
质点系角动量守恒定律
若过程中M外恒为零，则过程中L为守恒量。 若过程中M外x（或M外y，M外z）恒为零， 则过程中Lx（或Ly，或Lz）为守恒量。
非惯性系中质点系的角动量定理 dL M惯 M外 dt
20
合外力等于0时，合外力矩可能不为0 一对力偶 大小相同、方向相反且不在同一直线上的两个力 1
F2
r1 F1 r2 F2 r1 F2 r2 F2 (r2 r1 ) F2 r21 F2 0
8
质点的角动量定理：
质点所受力相对某参考点的力矩等于质点相对该参考 点角动量的变化率。
M dL dt L r p 外力矩： M r F ，角动量：
终态角动量大小
Rm 故有 bm0 Rm

第角动量角动量守恒定律PPT课件

第角动量角动量守恒定律PPT课件

(练习二，17)
解 设猴子、重物对地面的速度分别为
。
由猴、重物组成的系统角动量守恒，得
v1、v 2
v1 v2
R
∵ v1 v猴绳 v绳-地 v v绳-地
v1
v2
而 v绳地 v物地 v2 , 则 v1 v v2
∴
v2
v 2
第23页/共29页
机械能不守恒
力物的猴拉加，力由速于上和轻爬相绳过等各程m，处中1又g张，因力绳为相对猴等猴和，的物所拉相以力同在大质另于量一猴，端的绳重对重T1
[ C]
第9页/共29页
第五章 角动量、角动量守恒定律
本章主要阐述三个问题：
1）角动量。 2）角动量守恒定律。 3）有心力与角动量守恒定律。 3）有心力与角动量守恒定律。
第10页/共29页
5-3 有心力与角动量守恒定律
自然界中有些力具有这样的性质：力的方向始终通过某一固定点，力的 大小仅依赖于质点与这个点之间的距离。我们称这样的力为有心力，相应的 固定点称为力心。例如，万有引力是有心力；静电作用力也是有心力。
作半径为 的m圆轨道运动。取圆周上 点R为参考点，如图所示，试求：①质P点
在图中点1处所受的力矩 和质点的角动量
的力矩 和质点的角动量 。
；②质m点
在图中点2处所受
M1
L1
m
M2
L2
解 ① 力矩 M 1
2
在点1处， 所m受引力指向 点，故 P M 1 0
角动量 L1
由 m作圆周运动的动力学方程，可得速度
A 另离一端系向一右质，运量绳O动子，处到于达松位的弛置物状体态时。。物开O现体始A在速时使度，物的物体方m体以向位与与于0绳.位5d垂k置垂g直直0。处.的2试，5初求m速物度间体的在距 处

5_5角动量 角动量守恒定律

5_5角动量 角动量守恒定律

第五章 刚体的转动 二 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 1 刚体定轴转动的角动量
5 – 5 角动量守恒
L=
∑ m i ri v i
i
= ( ∑ m i ri )ω
2 i
ω
v ri
mi
z
L = Jω
2 刚体定轴转动的角动量定理 d L d ( Jω ) M = = dt dt
O
v vi
∫t1
t2
M d t = Jω 2 − Jω1
非刚体定轴转动的角动量定理
∫
t2
t1
Mdt = J 2ω 2 − J1ω1
5 – 5 角动量守恒 刚体定轴转动的角动量定理
第五章 刚体的转动
∫
t2
t1
Mdt = Jω2 − Jω1
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律 若 M = 0 ，则 L = Jω = 常量 讨论 不变， 不变； 不变. 若 J 不变， 不变；若 J 变， 也变，但 L = Jω 不变 ω ω 也变， 内力矩不改变系统的角动量. 内力矩不改变系统的角动量 在冲击等问题中 冲击等问题中 守 恒条件
5 – 5 角动量守恒
第五章 刚体的转动
冲量、动量、动量定理. 力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理 冲量矩、角动量、 力矩的时间累积效应 冲量矩、角动量、 角动量定理. 角动量定理
v v 2 质点运动状态的描述 质点运动状态的描述 p = m v E k = m v 2 v v 刚体定轴转动运动状态的描述 刚体定轴转动运动状态的描述 L = Jω Ek = Jω 2 2 v v v v ω ≠ 0, p = 0 ω = 0, p = 0
vM = (2 gh)
l u= ω 2

第5章角动量角动量守恒定律

任一行星和太阳之间的联线,在相等 的时间内扫过的面积相等, 即掠面速 度不变.
(2) 说明天体系统的旋转盘状结构.
v
r
O
B S
A r
[证明]
(1) 行星对太阳O的角动量的大小为 L r p rmvsin
其中 是径矢 r 与行星的动量 p 或速度 v 之间的夹角.
用 s 表示 t 时间内行星所走过的弧长, 则有
dt
若 M外 0
则 dL 0 或 L 常矢量
dt
若对某一固定点，质点所受合外力矩为零， 则质点对
该固定点的角动量矢量保持不变。
例：质点做匀速直线运动中，对0点 角动量是否守恒？
Lo r mv
rmvsin
r mv
L
r
O r
A
p mv
6
例 试利用角动量守恒定律:
1) 证明关于行星运动的开普勒定律:
v1
r1
B S
A
O
r1
积, 如图中所示.
其中 d /dt 称为掠面速度.
由于万有引力是有心力, 它对力心O的力矩总是等于零, 所以角动量守恒, L=常量, 行星作平面运动, 而且
d L 常量
dt 2m
这就证明了掠面速度不变, 也就是开普勒第二定律.
8
(2) 角动量守恒说明天体系统的旋转盘状结构
lim L r ms sin
t0 t
lim L
2m 2m d
t0 t
dt
若用 r 表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有
r sin s rs 2
7
lim L
2m 2m d
t0 t
dt
C D
其中 是 t时间内行星 v2

力学答案——漆安慎,05章


5.1.3
一个具有单位质量的质点在力场
ˆ + (12t − 6) ˆ F = (3t 2 − 4t )i j 中运动，其中 t 是时间。该质点在 t=0
时位于原点，且速度为零。求 t=2 时该质点所受的对原点的力矩。 解：据质点动量定理的微分形式， Fdt = d (mv ) = dv ( m = 1)
2
(2)'
解此方程组，求得：v0 ≈1.3 m/s
v ≈0.33 m/s
ˆ + b sin ω tˆ ˆ + bω cos ω tˆ L = r × mv = (a cos ω ti j ) × m(−aω sin ω ti j) ˆ ˆ×i ˆ= ˆ ˆ× ˆ ˆ) = k ∵i j× ˆ j = 0, i j= ˆ j × (−i ˆ + mabω sin 2 ω tk ˆ = mabω k ˆ ∴ L = mabω cos 2 ω tk
∵ τ = r × F = r × m a = r × m(−ω r ) = −mω r × r = 0 ,∴该质点 角动量守恒。 5.1.9 质量为 200g 的小球 v0 B 以弹性绳在光滑水平面上与固 A B 30º 定点 A 相连。弹性绳的劲度系数 为 8 N/m，其自由伸展长度为 600mm.最初小球的位置及速度 v0 如图所示。 当小球的速率变为 v 时，
5.1.8
一个质量为 m 的质点在 o-xy 平面内运动， 其位置矢量为
ˆ + b sin ω t ˆ r = a cos ω t i j ，其中 a、b 和ω是正常数，试以运动学
和动力学观点证明该质点对于坐标原点角动量守恒。 证明：
另外,在此过程中,只有保守内力（绳的弹力）做功,因而能量守恒，

大学物理角动量转动惯量及角动量的守恒定律


直
r于 和p组
成
的
平
L
面o，
服从右手定则。
x
r r m
p
p
y
物理意义：
设m作直线运动
以o为 参 考 点 ：L 0
o
r
mp
p
or
以 o为 参 考L 点 0 ：
若 r、 p大 小 相 同 p， ， L 则 ：
*质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋 转运动的强弱。
*必须指明参考点，角动量才有实际意义。
02
3
4. 求质量 m ,半径 R 的均匀球体对直径的转动惯量
解：以距中心 r，厚 dr 的球壳
dr
R
r
o
为积分元
dV4r2dr
m
m
4 R3
3
dJ3 2dmr22m R3 4rdr
dm dV
J
R
dJ
0
2m R34rdr5 2m2R
教材P.93 一些均匀刚体的转动惯量表
注意：对同轴的转动惯量具有可加减性。
质点角动量的时间变化率等于
质点所受合力的力矩
rm
o
d
二、力矩
1. 对参考点的力矩： M rF
大 小 F d ： Fsrin
方向 垂： 直 r 和 F 组 于成,服 的从 平右 面手
2. 对轴的力矩
z
F
Mz
oFd
r
F//
m
MorFr(F//F)
rF// rF 第一项 M1rF//
角动量定理的微分形式和积分形式， 角动量守恒定律， 难点：角动量概念， 角动量定理及角动量守恒定律的应用
学时： 6
§5.1 角动量 转动惯量 一、角动量

第5讲 角动量定理和角动量守恒定律

2）动量守恒与角动量守恒 是相互独立的定律 如行星运动
动量不守恒
角动量守恒
3）向心力： 力始终过某一点。
M 0
o
角动量守恒
F


行星在速度和向心力所组成的平面内运动。
9
例：开普勒第二定律：行星对太阳的径矢在相等的时间
内扫过相等的面积
M 0
dr
L
＝常矢量
L mrsin
方向：垂直 r , F组成的平面
1
M
M
O
z
r
F
*
d
P

确定力矩方向的右手螺旋法则示意图
2
2、质点对定点的角动量
t 时刻 质量m 速度 相对固定o的矢径 r
• 质点动量
p m
为质点对定点o 的角动量
• 定义 L r p
• 大小： r p sin mr sin L
M xi M y j M z k
M x yFz zF y 比较可得： M y zFx xFz M xF yF y x z
M rF x Fx i j y Fy k z Fz
6
3. 质点的角动量定理
Lrp
Lx ypz zp y 比较可得： Ly zp x xp z L xp yp y x z
Lrp x px i j y py k z pz
5
（b）力矩分量
M ( xi yj zk ) ( Fx i Fy j Fz k ) ( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
m
淮阴师范学院物理系
力学--5--33
6
二、力 矩
1．力对一参考点的力矩 定义：质点相对于O点的位置矢量与力的 矢积叫作力对参考点O的力矩。
O r
A

M
M r F
大小：M rF sin , 方向：r , F , M 构成右手螺旋系 单位：牛顿米 N m ，量纲：L2 MT 2 n个力： r Fi r Fi
淮阴师范学院物理系
力学--5--33
10
练习：试求作用在圆锥摆上的拉力T、重力mg
和合力F对o' 点、o 点、oo' 轴的力矩
o'
β L
M Fr sin(r , F ) Fr sin
T
| M z | F1r1 sin
力矩 o'点 o点 拉力T 重力mg
mgLsin β × mgLsin β ×
i
ri
o
rij
rj
20
二．质点系对轴的角动量定理 及守恒定律
1、质点系对轴的角动量定理
M i外z
dLz dt
即：质点系对于z轴的角动量对时间的变化率等于质点系 所受一切外力对z的力矩之和。
2、质点系对轴的角动量守恒定律
若
M
i外z
0，则
L 常量
即：若质点系所受一切外力对z的力矩之和始终为零，则 质点系对z轴的角动量保持不变。
第二过程：胶泥与盘碰撞过程。内力矩的影响远大于外力矩之和， 所以可不计入外力矩，质点系对O轴的角动量守恒。
F
——诸力矩的矢量和等于合力对参考点的力矩。
淮阴师范学院物理系 力学--5--33 7
2．力对轴的力矩
定义：力对z轴上O点的力矩在z轴上 的投影称为力对z轴的力矩。
z
M z r1 F1 sin
r2
F2
F F1
r
r1
3．两者的关系
M z＝ r F
淮阴师范学院物理系 力学--5--33 21
质点系对轴的角动量定理分析与推导：
仅研究质点均在与z轴垂直的平面内运动的情况
取第i 个质点：M iz dLiz d ri mi vi sin i dt dt d M i外z M i内z ri mi vi sin i dt d M i外z M i内z＝ ri mi vi sin i 对所有质点求和得： dt i i i
18
2、质点系对参考点的角动量定理
dL M i外 dt
即：质点系对参考点O的角动量对时间的变化率等于外力
对该点力矩的矢量和。
3、质点系对参考点的角动量守恒定律 若 M i外 0 ，则 L 常矢量 即：若外力对参考点O的力矩的矢量和始终为零，则质点系 对该点的角动量保持不变。
l T
o'
F o
淮阴师范学院物理系
mv 力学--5--33
15
mg
圆锥摆：
o'
αLeabharlann l vom
力矩 o'点
L o' Lo L oo'
拉力T 0
TLcos β sin β ⊙
mvl ,
mvl sin , mvl sin ,
重力mg
mgLsin β × mgLsin β ×
合力F
M i内＝0
i
M i内z＝0
i
M i外z
i
dLz d ri mi vi sin i dt i dt
力学--5--33 22
淮阴师范学院物理系
例：应用角动量守恒解释花样滑冰、芭蕾舞演员
的旋转现象。
重力对转轴的力矩为零，人两臂从 伸开到收回的过程中，人对转轴的 角动量守恒： mi vi ri mi ri 2 C
i
f ij
f ji
一对内力对O点的力矩:
ri fij rj f ji ri fij rj fij ri rj fij rij fij 0
M i内＝0
d Li dL dL M i外 i i dt dt 力学--5--33 dt i 淮阴师范学院物理系i
4
质点对轴的角动量推导：
L r p r1 r2 p1 p2 r1 p1 r2 p1 r1 p2 r2 p2 Lz r1 p1 r2 p1 r1 p2 r2 p2 z r2 // p2 r2 p2 0 r1 p2、r2 p1与z轴垂直 r1 p2 z r2 p1 z 0
O
r
单位：kg m 2/s，量纲：L2 MT 1
淮阴师范学院物理系 力学--5--33 3
注意：
（1）L与r 有关，所以角动量L与参考系点O的位置有关。 （2）L与p有关，所以角动量L与参考系有关。
z
2．质点对轴的角动量
定义：质点对z轴上O点的角动量在z轴上 的投影称为质点对z轴的角动量。
o
F
合力F
FLcos β ×
mg
0
TLcos β sin β ⊙
0 0
11
oo'轴
淮阴师范学院物理系
0
力学--5--33
0
三、质点对参考点的角动量定理和守恒定律
1．质点对参考点的角动量定理
dL M dt
即：质点对参考点O的角动量对时间的变化率等于作用于
质点的合力对该点的力矩。 2．质点对参考点的角动量守恒定律 若 M 0 ，则 L 常矢量 即：若作用于质点的合力对参考点O的力矩总保持为零， 则质点对该点的角动量不变。
五、几点注意
1、在应用角动量定理或角动量守恒定律时，力矩和角动量 必须选取惯性系中的同一参考点或同一参考轴 2、角动量守恒与选取的参考点或参考轴有关。 例如，圆锥摆
对o点，oo'轴，合力F的力矩为零，因此质点对o点，对 oo’轴的角动量守恒，无论摆转到哪一点,角动量大小都是 mvlsinα，方向都是竖直向上。 但对o'点合力矩不为零，因而对o'点的角动量不守恒， 虽然大小不变，但方向总在变化。
p
r2
p1
p2
O r1 O' 3．质点对参考点的角动量与对轴的角动量的关系
LZ r1 p1 sin
r
LZ r p z r1 p1 sin
即：质点对z轴上任意一点的角动量在z轴上的投影等于 淮阴师范学院物理系 力学--5--33 质点对z轴的角动量。
FLcos β ×
o点
oo'轴
淮阴师范学院物理系
0 0
16
0
力学--5--33
0
例题：用角动量守恒和能量守恒讨论α粒子散射问题 如图所示，b为瞄准距，重核Q在碰撞中可认为静止， 求：α粒子接近重核的最近距离d。 Q=ze
解：α粒子受静电力始终指向重核中心
设z轴与平面垂直并过Q点则对z轴的角动量守恒 q=2e m v0 b d v
LZ r p z r1 p1 z r1 p1 sin
z
p
p1 r1
p2
r2
r
O
淮阴师范学院物理系
力学--5--33
5
练习：在图示情况下，已知圆锥摆的质量为m，
速率为v，求圆锥摆对o点,o'点,oo'轴的角动量 • 在讨论质点的角动量时，必须指明是对哪点或 哪个轴的角动量 o' mvl sin , Lo l α L mvl , o' v o L oo' mvl sin ,
淮阴师范学院物理系 力学--5--33 12
质点对参考点的角动量定理分析推导：
d 质点动量定理： Fi dt mv i d mv 则 r Fi r dt i （ r 是自参考点指向质点的位置矢量） d mv d r mv dr r mv dt dt dt dL dL v mv dt dt dL M r Fi dt 淮阴师范学院物理系 力学--5--33 i
第五章 角动量．关于对称性
淮阴师范学院物理系
力学--5--33
1
第五章 角动量.关于对称性
§5.1 质点的角动量 质点的角动量定理及角动量守恒定律
§5.2
§5.3
质点系的角动量定理及角动量守恒定律
质点系对质心的角动量定理及守恒定律
§5.4
§5.5
对称性.对称性与守恒律
经典动力学的适用范围
淮阴师范学院物理系
r2 // F2 r2 F2 0 r1 F2、r2 F1与z轴垂直 r1 F2 r2 F1 0
z z
z
r2
F2
F F1
r
r1
O O
M Z r F r1 F1 r1 F1 sin
d 1012 cm ~ 1013 cm
力学--5--33 17
§5.2 质点系的角动量定理及其守恒定律
一．质点系对参考点的角动量定理 及守恒定律
1、质点系对参考点的角动量： 质点系内各质点对于参考点O的角动量的矢量和
L ri mi vi