1.质点的角动量

应用角动量守恒定律可以证明 开普勒第二定律
行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积
动画演示表明，行星在一段时 间内从 A 点运动到B点，位矢扫过 的面积是ds1；在另一段相同的时 间间隔内从 C点运动到 D点，这 时位矢扫过的面积是 ds2 。开普 勒观测的结果是 ds1=ds2。 16世纪末至17世纪初，开普勒仔细地分析整理了 前人记录下的大量精确的有关行星运动的资料，总 结出行星运动的规律、即开普勒三定律。 只是开普勒尚不理解，他所发现的三大定律已传达 了重大的“天机”。由于角动量正比于位矢的掠面 速度，因此开普勒第二定律意味着角动量守恒。
质点角动量的增量等于作用于质点上的冲量矩。 注意： 定理中的力矩和角动量都必须是相对 于同一参考点而言的。
2.质点的角动量守恒定律
law of conservetion of Angular momentum
如果：M 0， 则： L 恒矢量
如果对于某一固定点，质点所受的合外力 矩为零，则质点对该固定点的角动量矢量保持 不变。 说明： 1）角动量守恒定律是物理学中最基本的定律之 一，和动量守恒定律一样，它不仅适用于宏观 物体的运动，而且对于牛顿第二定律不能适用 的微观粒子的运动，它也适用．
L
x
z
r
υ
θ
m
o
y
L r p r mυ 大小: L rmυ sinθ
L
υ
θ
r
方向：服从右手螺旋定则
θ 是位矢 r 和动量 mυ 之间的夹角。
L 方向的判定：右手螺旋定则
Lr p
L
L 垂直于 r 和 p 所决定的平面，
例题 一颗地球卫星，近地点181km，速率 8.0km/s，远地点327km，求该点的卫星速率。 解： 角动量守恒
r1 v1 v2
且 近地点 v1 r1
则
mv2 r2 mv1r1 r1 6370 181 v 2 v1 8.0 7.83km/s r2 6370 327
力矩的时间累积效应
冲量、动量、动量定理.
冲量矩、角动量、角动量定理.
教学基本要求
一 理解质点对固定点的角动量、力
矩的概念。
二
理解角动量守恒定律及适应条件，
并能用该定律分析计算有关的问题。
5.1 质点的角动量定理 一、质点的角动量 (Angular momentum) 描述转动状态的物理量 质量为 m 的质点以速度 υ 在空间运动，某时刻相对原 点O的位矢为 r ，质点相对 于原点的角动量为：
当质点作一般平面运动时，角动量为：
Lr p x px
i
j y py
k 0 0
( xpy yp x )k
对轴的角动量 质点对于z轴的角动量即等于Lz=mr2ω，ω是质 点绕z轴的角速度，mr2 称为质点绕z轴转动时的 转动惯量．可见，质点绕轴转动时，它（对于 该轴线）的角动量等于质点的转动惯量与角速 度的乘积．
dp dL Lr p F, ? dt dt dL d dp dr ( r p) r p dt dt dt dt dr dL dp υ, υ p 0 r r F dt dt dt
刚体考虑了物体的形状和大小，但不考虑它 的形变，刚体同质点一样，也是一个理想化模型。
二、力矩
定义：M r F
为作用在质点上的 力F 对参考点O的力矩
M
O
r
p
F
θ
大小： M r F r sin θF r F
力臂:
r
r
是作用点P相对于固定点O的位矢。
r r sinθ
力与力臂的乘积。
方向：右手螺旋定则判定
M r F
v
r o r0
2
m
mv0 r0 mr0 0
mvr mr
2
角动量守恒： 所以： 或：
r0 v v0 r
mr mr0 0 2 r0 2 0 r
2 2
计算一下这个力的的功，可用动能定理
1 1 1 2 r0 2 2 2 W Ek mv mv0 mv0 [( ) 1] 0 2 r 2 2
单位：N•m（不能写成功的单位J）
在直角坐标系中，力矩可表示为：
M r F x Fx
i
j y Fy
k z Fz
对轴的力矩
M x yFz zFy M y zFx xFz M xF yF y x z
说明： 1）由定义可知，同一个力对于不同的参考点有 不同的力矩，因此讲到力矩时必须指明是相对 于哪一点而言的． 2）对轴的力矩。 力对O点的力矩 M 在通过O点的任一轴线如z 轴上的分量，叫做力对轴线z的力矩，用 M z表 示，这就是中学物理课中给出的力矩的定义。 正如上一节中对于角动量的讨论一样，力F对 于轴线z上任一点的力矩 M 在该轴线上的分量 的数值 M z 是与所选参考点无关的。
2）质点的角动量守恒的条件是合力矩为零。 一种是合力为零；例如：质点作匀速直线运动 另一种当力F不为零时，力矩为零有两种情况。 一是力的作用点就在参考点O，此时位置矢量 r=0；另一种是沿力的方向的延长线通过参考 点O，此时 sin θ 0 。 例如：质点作匀速圆周运动就是这种情况。质 点作匀速圆周运动时，作用于质点的合力是指 向圆心的所谓有心力，故其力矩为零，所以质 点作匀速圆周运动时，它对圆心的角动量是守 恒的。
6）角动量的单位为: kg ∙ m2/s
7）角动量的概念，不但能描述经典力学中的 运动状态，在近代物理理论中仍然是表征微观 运动状态的重要物理量，
例如，电子绕核运动，具有轨道角动量，电 子本身还有自旋运动，具有自旋角动量等等。 原子、分子和原子核系统的基本性质之一， 是它们的角动量仅具有一定的不连续的量值。 这叫做角动量的量子化。因此，在这种系统的 性质的描述中，角动量起着主要的作用。
0


对O点的合力矩为零，角动 量守恒。
2
以C为参考点
重力矩：
M l mg
M lmg sinθ
张力矩
M l T 0
夹角: π
对C点的合外力矩不为零， 角动量不守恒。
例题 用绳系一小球使它在光滑的水平面上做 匀速率圆周运动，其半径为 r0 ，角速度为ω0 。 现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径逐 渐减小。求当半径缩为 r 时的角速度。 解： 以小孔 O 为原点 绳对小球的拉力为有 心力，其力矩为零。 则小球对o 点的角动量守恒。 初态： 末态：
5.2 刚体的 运动与描述 质点的运动只代表物体的平动，物体实 际上是有形状、大小的，它可以平动、转动， 甚至更复杂的运动。因此，对于机械运动的 研究，只限于质点的情况是不够的。
刚体（rigid body）是一种特殊的质点系， 无论在多大外力作用下，系统内任意两质点 间的距离始终保持不变。即物体的形状、大 小都不变的固体称为刚体。
5.1 质点的角动量 与会遇到质点或质点系围绕着 某一个确定点或轴转动的情况。例如，行星绕 太阳的公转，人造卫星绕地球转动，电子绕原 子核转动以及刚体的转动等等。
在这些问题中，动量及机械能的有关规律并 不适用，这时若采用角动量等概念讨论问题就 比较方便更好地描述物体运动状态与规律。 角动量与动量一样，是一个重要概念。 力的时间累积效应
行星对椭圆轨道的另一焦点角动量是否守恒？
远地点 v2 r2
o
r2
在低轨道上运行的地球卫星由于大气摩 擦阻力对地心的矩不为零，其对地心的角动 量不守恒。在此力矩的作用下，卫星的角动 量值不断减小，最后陨落地面。
角动量守恒是自然界的普遍规律
角动量守恒与动量守恒及能量守恒定律并称 为三大守恒定律，这三大守恒定律的成立有 着深刻的内在原因。现代物理学已确认，这 些守恒定律是和自然界的更为普遍的属性— —时空对称性相联系的。
例题：质量为 的圆锥摆摆球，以速率 m υ运动时， 对O参考点的角动量是否守 恒？对C参考点的 角动量是否守恒？
l
T
c
o
m
mg
解： 摆球受力如图 1 以O为参考点 重力矩 M R mg
M Rmg 逆时针 张力矩 M RT
υ
R
M RT sin 90 θ RT cos θ Rmg 顺时针
L
x
z
p
L rmυ sinθ mr ω
2
o
r
m
y
*质点作匀速圆周运动时，角动量守恒
5）在直角坐标系中，角动量的表达式为：
Lr p x px
i
j
k
y py
z Lx i Ly j Lz k
pz
Lx ( ypz zp y ) Ly ( zpx xpz ) Lz ( xp y yp x )
r
证明： 设在 t 时刻，行星位于A 点，
A
A υ θ
经dt 时间运动到 A点，
在此时间间隔内，
行星转过角位移 d ，
1 2 扫过的面积为 dS r d 2
因此面积的变化率
L 1 dS 1 2 d 1 2 2 r mr r 2m dt 2 dt 2m 2
有心力作用，角动量 L 守恒，故 面积变化率恒定。
由此例可见，把质点从较远的距离移到 较近的距离过程中，若维持角动量守恒， 必须对质点做功。 星系的形状可能与此有关。 星系（银河系）的早期可能是具有动量 矩的大质量气团，在引力作用下收缩。轴 向的收缩不受什么阻碍，很快塌缩。径向 却不那么容易，因而像银河系这样的星系 呈扁平状。