2019高考数学专题九数学文化与创新应用第1讲数学文化及核心素养类试题配套作业文

地地道道的达到 第 3 讲 分类议论、转变与化归思想数学思想解读1. 分类议论思想是当问题的对象不可以进行一致研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类， 而后对每一类分别研究， 给出每一类的结论， 最后综合各种结果获得整个问题的解答 . 实质上分类议论就是“化整为零， 各个击破， 再集零为整”的数学思想 .2. 转变与化归思想方法用在研究、 解决数学识题时， 思想受阻或追求简单方法或从一种状况转化到另一种情况， 也就是转变到另一种情境使问题获得解决， 这类转变是解决问题的有效策略，同时也是获得成功的思想方式 .热门一 分类议论思想的应用应用 1由观点、法例、公式、性质惹起的分类议论【例 1】 (1) 若函数 f ( x ) ＝ a x ( a >0，a ≠1) 在 [ －1，2] 上的最大值为 4，最小值为 m ，且函数 ( ) ＝(1 －4 ) x 在 [0 ，＋∞ ) 上是增函数，则＝ ________.g xma3 9(2) 在等比数列 { a n } 中，已知 a 3＝2， S 3＝ 2，则 a 1＝ ________. 分析(1) 若 a >1，有 a 2＝ 4， a －1＝ m .1解得 a ＝ 2， m ＝ 2.此时 g ( x ) ＝－ x 为减函数，不合题意 .若 0<a <1，有 a －1＝ 4， a 2＝ m ，11故 a ＝ 4， m ＝ 16，查验知切合题意 .39(2) 当 q ＝ 1 时， a 1＝ a 2＝ a 3＝ 2， S 3＝ 3a 1＝2，明显建立 .39当 q ≠1时，由 a 3＝ 2，S 3＝ 2，12＝ 3 ， ①a q 2∴92a （ 1＋ q ＋ q ）＝2. ②1②1＋ q ＋ q 2由 ① ，得q 2＝ 3，即 2q 2－ q － 1＝ 0，11a 3所以 q ＝－ 2或 q ＝ 1( 舍去 ). 当 q ＝－ 2时， a 1＝ q 2＝ 6，地地道道的达到综上可知， a 1＝3或 a 1＝ 6.2 1 3答案 (1)(2) 或642研究提升1. 指数函数、 对数函数的单一性取决于底数 a ，所以，当底数 a 的大小不确准时，应分 0<a <1， a >1 两种状况议论 .2. 利用等比数列的前 n 项和公式时， 若公比 q 的大小不确立， 应分 q ＝ 1 和 q ≠1两种状况进行议论，这是由等比数列的前 n 项和公式决定的 .【训练 1】 (1)(2018 ·长沙一中质检) 已知 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和且 S n ＝ 2a n － 2，则 S 5－4的值为 ()SA.8B.10C.16D.32sin （ π x 2），－ 1<x <0，(2)函数 f (x )＝e x － 1， x ≥0.若 f (1) ＋ f ( a ) ＝ 2，则 a 的全部可能取值的会合是________.分析(1) 当 n ＝ 1 时， a 1＝ S 1＝ 2a 1－2，解得 a 1＝ 2.因为 S n ＝ 2a n － 2，当 n ≥2时， S n － 1＝ 2a n － 1－ 2，两式相减得， a n ＝ 2a n － 2a n － 1，即 a n ＝ 2a n － 1，则数列 { a n } 为首项为 2，公比为 2 的等比数列，则 S 5－ S 4＝ a 5＝ 25＝32.(2) f (1) ＝ e 0＝1，即 f (1) ＝ 1. 由 f (1) ＋ f ( a ) ＝ 2，得 f ( a ) ＝1.当 a ≥0时， f a －1，所以 a ＝1.( a ) ＝ 1＝ e 当－ 1<a <0 时， f ( a ) ＝ sin( πa 2 ) ＝ 1，所以 π a 2＝ 2k π ＋ π( k ∈ Z).22121 所以 a ＝ 2k ＋2( k ∈ Z) ，k 只好取 0，此时 a ＝ 2，2因为－ 1<a <0，所以 a ＝－.2则实数a 取值的会合为2.－ 2 ， 12答案(1)D(2) － 2 ，1地地道道的达到应用 2由图形地点或形状惹起的分类议论x≥0，【例 2】 (1)已知变量x，y 知足的不等式组y≥2x，表示的是一个直角三角形围成的kx－ y＋1≥0平面地区，则实数k＝()A.－1B.1C.0D.－1或 0 22 2(2) 设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为F1， F2，若曲线 C 上存在点 P 知足| PF1|∶| F1F2|∶| PF2|＝4∶ 3∶ 2，则曲线C的离心率等于 ________.x≥0，分析(1) 不等式组y≥2x，表示的可行域如图( 暗影部分 ) 所示 .kx－ y＋1≥0x≥0，由图可知，若要使不等式组y≥2x，表平面地区是直角三角形，只有当直线kx－y＋1kx－ y＋1≥01＝0 与直线y轴或y＝ 2x垂直时才知足. 联合图形可知斜率k 的值为0或－2.(2)不如设 | PF1| ＝ 4t，| F1F2| ＝ 3t，| PF2| ＝ 2t，此中t≠0.若该曲线为椭圆，则有| PF| ＋ | PF| ＝ 6t＝ 2a，1 21 2c 2c 3t 1| F F | ＝ 3t＝ 2c，e＝a＝2a＝6t＝2；若该曲线为双曲线，则有| PF1| －| PF2| ＝ 2t＝ 2a，c 2c 3t 3| F1F2 | ＝ 3t＝ 2c，e＝a＝2a＝2t＝2.1 3答案(1)D(2)或2 2研究提升 1. 圆锥曲线形状不确准时，常按椭圆、双曲线来分类议论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的地点不一样来分类议论.2. 有关计算中，波及图形问题时，也常按图形的地点不一样、大小差别等来分类议论.x2y2【训练 2】设1， 2 为椭圆＋＝ 1 的两个焦点，P 为椭圆上一点 . 已知， 1， 2是一个F F4 P F F9呵呵复生复生复生直角三角形的三个极点，且 |1|>|12| ，则 |PF |的值为 ________.PFPF| PF 2|分析 若∠ PF 2F 1＝90°. 则 | PF 1| 2＝ | PF 2| 2＋ | F 1F 2| 2， 又因为 | PF 1| ＋| PF 2| ＝ 6，| F 1F 2| ＝ 2 5，解得| 1 | ＝ 14，| 2|＝ 4 ，所以 | PF 1| ＝ 7 . PF 3 PF 3 | PF | 22121 2 2＝| 1 22 2若∠ FPF ＝90°，则 | F F | PF | ＋| PF | ， 所以 | PF 1 | 2＋ (6 － | PF 1|) 2＝ 20，所以| 1 | ＝4，| 2| ＝2，所以 |PF |＝2.PFPF1| PF 2|综上知， | PF 1|7| PF | ＝或2.22答案7或2 2应用 3 由变量或参数惹起的分类议论【例 3】 已知 f ( x ) ＝ x － a e x ( a ∈R ， e 为自然对数的底数 ).(1) 议论函数 f ( x ) 的单一性；2xa 的取值范围 .(2) 若 f ( x ) ≤e 对 x ∈ R 恒建立，务实数 解 (1) f ′(x ) ＝ 1－a e x ，当 a ≤0时， f ′(x )>0 ，函数 f ( x ) 是 ( －∞，＋∞ ) 上的单一递加函数；当 a >0 时，由 f ′(x ) ＝ 0 得 x ＝－ ln a ，若 x ∈ ( －∞，－ lna ) ，则 f ′( )>0 ；当 x ∈ ( － lna ，＋∞ ) ，则 f ′( )<0.xx所以函数 f ( x ) 在 ( －∞，－ ln) 上的单一递加，在 ( － ln a ，＋∞ ) 上的单一递减 .a2xxx(2) f ( x ) ≤ea ≥ e x － e ，xx1－ e 2x －x设 g ( x ) ＝e x －e ，则 g ′(x ) ＝ e x .当 x <0 时， 1－ e 2x >0， g ′(x )>0 ，∴g ( x ) 在 ( －∞， 0) 上单一递加 . 当 x >0 时， 1－ e 2x <0， g ′(x )<0 ，∴g ( x ) 在 (0 ，＋∞ ) 上单一递减 .所以 g ( x ) max ＝ g (0) ＝－ 1，所以 a ≥－ 1.故 a 的取值范围是 [ － 1，＋∞ ).研究提升1.(1) 参数的变化取值致使不一样的结果，需对参数进行议论，如含参数的方程、不等式、函数等.(2) 分析几何中直线点斜式、斜截式方程要考虑斜率k 存在或不存在，波及直线与圆锥曲线地点关系要进行议论.2.分类议论要标准明确、一致，有条有理，分类要做到“不重不漏”.【训练 3】已知函数 f ( x)＝4x3＋3tx 2－6t 2x＋t －1，x∈R，此中 t ∈R.当 t ≠0时，求 f ( x) 的单一区间 .解 f ′(x)＝12x2＋6tx －6t 2.t令 f ′(x)＝0，解得 x＝－ t 或 x＝.2因为 t ≠0，所以分两种状况议论：t①若 t <0，则2<－ t .当 x 变化时， f ′(x)， f ( x)的变化状况以下表：t tx －∞，2 2，－ t ( －t，＋∞)f ′(x) ＋－＋f ( x)所以， f ( x)的单一递加区间是t， ( －t，＋∞ ) ；－∞，2f ( x)的单一递减区间是t，－ t . 2t②若 t >0，则－ t <2.当 x 变化时， f ′(x)， f ( x)的变化状况以下表：t tx ( －∞，－t ) －t ，2 2，＋∞′( ) ＋－＋fxf ( x)所以， f ( x)的单一递加区间是t，＋∞；( －∞，－t ) ，2tf ( x)的单一递减区间是－ t ，2.热门二转变与化归思想应用 1 特别与一般的转变【例 4】(1) 过抛物线y＝ax2( a>0) 的焦点F，作向来线交抛物线于P，Q两点.若线段 PF1 1与 FQ的长度分别为 p， q，则p＋q等于( )1 4呵呵复生复生复生地地道道的达到(2)(2017 ·浙江卷 ) 已知向量 a ， b 知足 | a | ＝ 1， | b | ＝ 2，则 | a ＋ b | ＋ | a － b | 的最小值是________，最大值是 ________.221 1分析 (1) 抛物线 y ＝ ax ( a >0) 的标准方程为 x＝ a y ( a >0) ，焦点 F 0， 4a . 过焦点F 作直线垂直于y 轴，则| |＝|| ＝ 1 ，PFQF2a∴1＋ 1＝4 .p qa(2) 由题意，不如设 b ＝ (2 ， 0) ，a ＝ (cos θ ， sin θ ) ， 则 a ＋ b ＝ (2 ＋cos θ ，sin θ ) ， a － b ＝(cos θ －2， sin θ).令 y ＝ | a ＋b | ＋ | a － b |＝ （ 2＋ cos θ ） 2＋ sin 2θ ＋（ cos θ － 2） 2＋sin 2θ＝ 5＋ 4cos θ ＋ 5－ 4cos θ ，令 y ＝ 5＋ 4cos θ＋ 5－4cos θ，则 y 2＝ 10＋ 2 25－ 16cos 2θ ∈[16 ， 20].由此可得 (| a ＋ b | ＋ | a －b |) max ＝ 20＝ 2 5， (| a ＋ b | ＋ | a － b |)＝ 16＝ 4，min即|a ＋ |＋| － | 的最小值是 4，最大值是 2 5.b a b答案 (1)C (2)4 2 5研究提升1. 一般问题特别化，使问题办理变得直接、简单 . 特别问题一般化，能够使我们从宏观整体的高度掌握问题的一般规律，进而达到成批办理问题的成效.2. 对于某些选择题、 填空题， 假如结论独一或题目供给的信息示意答案是一个定值时，能够把题中变化的量用特别值取代，即可获得答案.【训练 4】 (1) 假如 1， 2， ，a 8为各项都大于零的等差数列，公差≠0，那么 ()a adA. 18>45B. 1 8< 4 5a a a a a a a a C.a ＋ a >a ＋ a5D. a a ＝ a a1841 84 5cos A ＋cos C(2) 在△ ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若 a ，b ，c 成等差数列， 则1＋ cos A cos C＝ ________.分析 (1)n n *取特别数列 { a } ，此中 a ＝ n ( n ∈ N ).明显 a · a ＝ 8<a · a ＝ 20.18451cos A ＋cos C(2) 令 a ＝ b ＝ c ，则△ ABC 为等边三角形， 且 cos A ＝ cos C ＝2，代入所求式子， 得1＋ cos cosCA1 12＋24＝1 1＝ 5. 1＋2×2答案(1)B(2) 地地道道的达到45应用 2函数、方程、不等式之间的转变【例 5】已知函数 f ( x ) ＝ 3e | x |. 若存在实数 t ∈ [ － 1，＋∞ ) ，使得对随意的 x ∈ [1 ，m ] ，m∈Z 且 m >1，都有 f ( x ＋ t ) ≤3e x ，试求 m 的最大值 .解∵当 t ∈ [ － 1，＋∞ ) 且 x ∈ [1 ， m ] 时， x ＋t ≥0，∴f ( x ＋ t ) ≤3e xx ＋ t≤e x t ≤1＋ ln x － x .∴原命题等价转变为：存在实数 t ∈ [ － 1，＋∞ ) ，使得不等式 t ≤1＋ ln x －x 对随意 x ∈ [1 ，m ] 恒建立 .1令 h ( x ) ＝ 1＋ ln x －x (1 ≤ x ≤m ). ∵ h ′(x ) ＝ x －1≤0，∴函数 h ( x ) 在 [1 ，＋∞ ) 上为减函数，又 x ∈ [1 ，m ] ，∴ h ( x ) min ＝ h ( m ) ＝ 1＋ ln m －m .∴要使得对随意x ∈[1， ]， t 值恒存在，m只要 1＋ ln－ ≥－1.m m∵h (3) ＝ ln 3 － 2＝ ln 1 3 1·e >ln e ＝－ 1，e1 4 1h (4) ＝ ln 4 － 3＝ ln e · e 2 <ln e ＝－ 1，又函数 h ( x ) 在[1 ，＋∞ ) 上为减函数， ∴知足条件的最大整数 m 的值为 3.研究提升1. 函数与方程、不等式联系亲密，解决方程、不等式的问题需要函数帮助 .2. 解决函数的问题需要方程、 不等式的帮助， 所以借助于函数与方程、 不等式进行转变与化归能够将问题化繁为简， 一般可将不等关系转变为最值 ( 值域 ) 问题，进而求出参变量的范围 .【训练 5】 在平面直角坐标系 xOy 中， A ( － 12， 0) ，B (0 ，6) ，点 P 在圆 O ：x 2＋ y 2＝50 上 .→ →若PA · PB ≤20，则点 P 的横坐标的取值范围是 ________.分析设点 P ( x ， y ) ，且 A ( －12， 0) ，B (0 ， 6).→ →则 PA · PB ＝ ( － 12－ x ，－ y ) ·( － x ， 6－ y ) ＝ x (12 ＋ x ) ＋ y ( y －6) ≤20，又 x 2＋ y 2＝ 50，地地道道的达到∴ 2x － y ＋5≤0，则点 P 在直线 2x － y ＋5＝ 0 上方的圆弧上 ( 含交点 ) ，即点 P 在 MCN 上，y ＝2x ＋ 5，联立x 2＋ y 2＝ 50，解得x ＝－ 5或x ＝1，联合图形知，－ 5 2≤ x ≤1.故点 P 横坐标的取值范围是 [ － 5 2， 1].答案[ －5 2，1]应用 3正与反、主与次的转变【例 6】 (1) 设 y ＝ (log 2x ) 2＋ ( t －2)log 2x － t ＋ 1，若 t 在 [ － 2，2] 上变化时， y 恒取正当， 则 x 的取值范围是 ________.3m2(2) 若对于随意 t ∈ [1 ， 2] ，函数 g ( x ) ＝x ＋ ＋ 2x － 2x 在区间 ( t ，3) 上总不为单一函数，2则实数 m 的取值范围是 ________.分析 (1) 设 y ＝ f ( t ) ＝ (log2x －1) t ＋ (log 2x ) 2－ 2log 2x ＋1，则 f ( t ) 是一次函数，当 t ∈ [ － 2， 2] 时， f ( t )>0 恒建立，f （－ 2） >0，（ log 2 x ） 2－ 4log 2x ＋3>0，则即x ） 2－ 1>0，f （ 2）>0，（ log 21解得 log 2x <－1 或 log 2x >3，即 0<x <2或 x >8，故实数 x 的取值范围是 0， 1 ∪ (8 ，＋∞ ).2(2) g ′(x ) ＝ 3x 2＋ ( m ＋4) x － 2，若 g ( x ) 在区间 ( t ， 3) 上总为单一函数，则① g ′(x ) ≥0在 ( t ，3)上恒建立，或② g ′(x ) ≤0在 ( t ， 3) 上恒建立 .22由①得 3x ＋ ( m ＋ 4) x －2≥0，即 m ＋4≥ x － 3x . 当 x ∈ ( t ，3) 时恒建立，∴ ＋4≥ 2－ 3 t 恒建立，mt则 m ＋4≥－ 1，即 m ≥－ 5；由②得 ＋4≤ 2－ 3 ，当 x ∈ ( t ，3) 时恒建立，则＋4≤ 2－9，即 ≤－37.m x xmm33∴使函数 g ( x ) 在区间 ( t ， 3) 上总不为单一函数的 m 的取值范围是 37.－ ，－531 37 答案(1) 0， 2 ∪ (8 ，＋∞) (2) － 3，－5研究提升 1. 第 (1) 题是把对于 x 的函数转变为在 [0 ， 4] 内对于 t 的一次函数大于 0 恒建立2019高考数学二轮复习专题八数学思想、数学核心素养与数学文化第3讲分类讨论、转化与化归思想练习11 / 11地地道道的达到的问题 . 在办理多变元的数学识题时，我们能够选用此中的参数，将其看作是“主元”，而把其余变元看作是参数.2. 第 (2) 题是正与反的转变，因为不为单一函数有多种状况，先求出其反面，表现“正难则反”的原则 .【训练 6】 已知函数 f ( x ) ＝ x 3＋ 3ax － 1， g ( x ) ＝ f ′(x ) － ax －5，此中 f ′(x ) 是 f ( x ) 的导函数 . 对知足－ 1≤ a ≤1的全部 a 的值，都有 g ( x )<0 ，则实数 x 的取值范围为 ________.分析由题意，知 g ( x ) ＝ 3x 2－ ax ＋ 3a － 5，令 φ ( a ) ＝(3 － x ) a ＋ 3x 2－ 5，－ 1≤ a ≤1.对－ 1≤ a ≤1，恒有 g ( x )<0 ，即 φ ( a )<0 ，φ （ ），2－ － 2<0，3xx21<0∴φ （－ 1） <0，即3x 2＋ x － 8<0，解得－3<x <1.故当 x2a 的值，都有( )<0.∈ － ， 1 时，对知足－ 1≤ ≤1的全部3 ag x答案 2－ ， 13呵呵复生复生复生。

第十九讲数学文化与核心素养1.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:“置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长l与高h,计算其体积V的近似公式V≈136l2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈7264l2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.3551132.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形的面积的“三斜求积”公式:设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则△ABC的面积S=√14[c2c2-(c2+c2-c22)2].若a2sinC=4sinA,(a+c)2=12+b2,则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为( )A.√3B.2C.3D.√63.3世纪中期,数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并因此创立了“割圆术”.利用“割圆术”,刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”设计的一个程序框图,则输出的n为(参考数据:sin15°≈0.2588,sin7.5°≈0.1305)()A.12B.24C.36D.484.(2018贵州贵阳模拟)我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目:“一百馒头一百僧,大僧三个更无争.小僧三人分一个,大小和尚各几丁?”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法,执行程序框图,则输出的n 的值为( ) A.20 B.25 C.30D.355.(2018重庆六校联考)《九章算术》中有如下问题:“今有勾八步,股一十五步,问勾中容圆径几何.”其大意:“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步,问其内切圆的直径为多少步?”现若向此三角形内随机投一粒豆子,则豆子落在其内切圆外的概率是( ) A.3π10B.3π20C.1-3π10D.1-3π206.(2018云南昆明调研)如图所示的程序框图来源于中国古代数学著作《孙子算经》,其中定义[x]表示不超过x 的最大整数,例如[0.6]=0,[2]=2,[3.6]=3.执行该程序框图,则输出的a=( )A.9B.16C.23D.307.(2018吉林长春监测)《九章算术》卷五商功中有如下问题:今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈,问积几何?刍甍:底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图,设网格纸上每个小正方形的边长为1),那么该刍甍的体积为( )A.4B.5C.6D.128.北宋数学家沈括的主要成就之一为隙积术,即用来计算诸如累棋、层坛的物体体积的方法.设隙积共n 层,上底由a×b 个物体组成,以下各层的长、宽依次增加一个物体,最下层(即下底)由c×d 个物体组成,沈括给出求隙积中物体总数的公式为s=c6[(2a+c)b+(2c+a)d]+c6(c-a),其中a 是上底长,b 是上底宽,c 是下底长,d是下底宽,n为层数.已知由若干个相同小球粘黏组成的隙积的三视图如图所示,则该隙积中所有小球的个数为( )A.83B.84C.85D.869.(2018福建福州模拟)如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代著名的《孙子算经》.图中的Mod(N,m)≡n表示正整数N除以正整数m后的余数为n,例如Mod(10,3)≡1.执行该程序框图,则输出的i 等于( )A.23B.38C.44D.5810.祖暅是南北朝时代的伟大科学家,他在5世纪末提出体积计算原理,即祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体,图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球,则满足祖暅原理的两个几何体为( )A.①②B.①③C.②④D.①④11.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表,它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.其中《方田》章有弧田面积计算问题,术曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一.其大意是弧田面积计算公式为:弧田面积=12(弦×矢+矢×矢).弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形,公式中的“弦”指的是弧田弦的长,“矢”指的是弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧田,其弧田弦AB等于6米,其弧田弧所在圆为圆O,若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为72平方米,则cos∠AOB=()A.125B.325C.15D.72512.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑、白两个鱼形纹组成的圆形图案,充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.定义:图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”.给出下列命题:①对于任意一个圆O,其“太极函数”有无数个;②函数f(x)=ln(x2+√c2+1)可以是某个圆的“太极函数”;③正弦函数y=sinx可以同时是无数个圆的“太极函数”;④函数y=f(x)是“太极函数”的充要条件为函数y=f(x)的图象是中心对称图形.其中正确的命题为( )A.①③B.①③④C.②③D.①④13.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是.14.(2018四川成都模拟)“更相减损术”是我国古代数学名著《九章算术》中的算法案例,其对应的程序框图如图所示.若输入的x,y,k的值分别为4,6,1,则输出的k的值为.15.《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马,将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥P-ABC 为鳖臑,PA⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱锥P-ABC 的四个顶点都在球O 的球面上,则球O 的体积为 .答案精解精析1.A 依题意,设圆锥的底面半径为r,则V=13πr 2h≈7264l 2h=7264(2πr)2h,化简得π≈227.故选A. 2.A 根据正弦定理及a 2sinC=4sinA,得ac=4.再结合(a+c)2=12+b 2,得a 2+c 2-b 2=4,则S=√14[c 2c 2-(c 2+c 2-c 22)2]=√16-44=√3,故选A.3.B 按照程序框图执行,n=6,S=3sin60°=3√32,不满足条件S≥3.10,执行循环;n=12,S=6sin30°=3,不满足条件S≥3.10,执行循环;n=24,S=12sin15°≈12×0.2588=3.1056,满足条件S≥3.10,跳出循环,输出n 的值为24,故选B. 4.B 解法一:执行程序框图,n=20,m=80,S=60+803≠100;n=21,m=79,S=63+793≠100;……;n=25,m=75,S=75+25=100,退出循环.输出n=25.故选B.解法二:由题意,得{c +c =100,3c +c 3=100,且m,n 都是整数,解得n=25,m=75,故选B.5.D 如图,直角三角形的斜边长为√82+152=17,设其内切圆的半径为r,则8-r+15-r=17,解得r=3,∴内切圆的面积为πr 2=9π,∴豆子落在内切圆外的概率P=1-9π12×8×15=1-3π20.6.C 执行程序框图,k=1,a=9,9-3·[93]≠2;k=2,a=16,16-3·[163]=1≠2;k=3,a=23,23-3·[233]=2,23-5·[235]=3,满足条件,退出循环,则输出a=23.故选C.7.B 如图所示,由三视图可还原得到几何体ABCDEF,过E,F 分别作垂直于底面的截面EGH 和FMN,可将原几何体切割成直三棱柱EHG-FNM,四棱锥E-ADHG 和四棱锥F-MBCN,易知直三棱柱的体积为12×3×1×2=3,两个四棱锥的体积相同,都为13×1×3×1=1,则原几何体的体积为3+1+1=5.故选B.8.C 由三视图知,n=5,a=3,b=1,c=7,d=5,代入公式s=c6[(2a+c)b+(2c+a)d]+c6(c-a),得s=85,故选C. 9.A Mod(11,3)≡2成立,Mod(11,5)≡3不成立,i=12;Mod(12,3)≡2不成立,i=13;Mod(13,3)≡2不成立,i=14;Mod(14,3)≡2成立,Mod(14,5)≡3不成立,i=15;Mod(15,3)≡2不成立,i=16;Mod(16,3)≡2不成立,i=17;Mod(17,3)≡2成立,Mod(17,5)≡3不成立,i=18;Mod(18,3)≡2不成立,i=19;Mod(19,3)≡2不成立,i=20;Mod(20,3)≡2成立,Mod(20,5)≡3不成立,i =21;Mod(21,3)≡2不成立,i=22;Mod(22,3)≡2不成立,i=23;Mod(23,3)≡2成立,Mod(23,5)≡3成立,Mod(23,7)≡2成立,结束循环.故输出的i=23.故选A.10.D 设截面与下底面的距离为h,则①中截面内的圆半径为h,则截面圆环的面积为π(R 2-h 2);②中截面圆的半径为R-h,则截面圆的面积为π(R -h)2;③中截面圆的半径为R-c2,则截面圆的面积为π(c -c 2)2;④中截面圆的半径为√c 2-c 2,则截面圆的面积为π(R 2-h 2).所以①④中截面的面积相等,满足祖暅原理,故选D.11.D 如图,AB=6,设CD=x(x>0),则12(6x+x 2)=72,解得x=1.设OA=y,则(y-1)2+9=y 2,解得y=5.由余弦定理得cos∠AOB=25+25-362×5×5=725,故选D.12.A 过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分,故对于任意一个圆O,其“太极函数”有无数个,故①正确;函数f(x)=ln(x 2+√c 2+1)的大致图象如图所示,故其不可能为圆的“太极函数”,故②错误;将圆的圆心放在正弦函数y=sinx 图象的对称中心上,则正弦函数y=sinx 是该圆的“太极函数”,从而正弦函数y=sinx 可以同时是无数个圆的“太极函数”,故③正确;函数y=f(x)的图象是中心对称图形,则y=f(x)是“太极函数”,但函数y=f(x)是“太极函数”时,图象不一定是中心对称图形,如图,故④错误,故选A.13.答案π8解析 设正方形的边长为2,则正方形的内切圆的半径为1,其中黑色部分和白色部分关于正方形的中心对称,则黑色部分的面积为π2,所以在正方形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率P=π22×2=π8. 14.答案 4解析 x=4,y=6,k=1,k=1+1=2,因为4>6不成立,4=6不成立,所以y=6-4=2;k=2+1=3,因为4>2成立,所以x=4-2=2;k=3+1=4,因为2>2不成立,2=2成立,所以输出的k=4. 15.答案20√5π3解析 如图,在长方体中可找到符合题意的三棱锥P-ABC,则球O 的直径2R=PC=√cc 2+A c 2=√20=2√5,所以R=√5.故球O 的体积V=43πR 3=20√5π3.。

第七节 数系的扩充与复数的引入 【考纲下载】 1．理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件． 2．了解复数的代数表示法和几何意义，会进行复数代数形式的四则运算． 3．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．

1．复数的有关概念 (1)复数的定义 形如a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b. (2)复数的分类

复数z＝a＋bi，b∈



 实数＝，虚数≠

 纯虚数＝0，b≠，

非纯虚数， (3)复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)． (5)复数的模

向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝a2＋b2(r≥0，a、b∈R)． 2．复数的几何意义 (1)复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面． (2)实轴、虚轴 在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数． (3)复数的几何表示

复数z＝a＋bi一一对应复平面内的点Z(a，b)一一对应平面向量OZ . 3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则： ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝＋－＋－＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)． (2)复数的加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． (3)复数的乘法的运算定律 复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.

第十九讲数学文化与核心素养1.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:“置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长l与高h,计算其体积V的近似公式V≈136l2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈7264l2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为()A.227B.258C.15750D.3551132.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形的面积的“三斜求积”公式:设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则△ABC的面积S=√14[c2a2-(c2+a2-b22)2].若a2sin C=4sin A,(a+c)2=12+b2,则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为()A.√3B.2C.3D.√63.3世纪中期,数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并因此创立了“割圆术”.利用“割圆术”,刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”设计的一个程序框图,则输出的n为(参考数据:sin15°≈0.2588,sin7.5°≈0.1305)()A.12B.24C.36D.484.(2018贵州贵阳模拟)我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目:“一百馒头一百僧,大僧三个更无争.小僧三人分一个,大小和尚各几丁?”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法,执行程序框图,则输出的n的值为()A.20B.25C.30D.355.(2018重庆六校联考)《九章算术》中有如下问题:“今有勾八步,股一十五步,问勾中容圆径几何.”其大意:“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步,问其内切圆的直径为多少步?”现若向此三角形内随机投一粒豆子,则豆子落在其内切圆外的概率是()A.3π10B.3π20C.1-3π10D.1-3π206.(2018云南昆明调研)如图所示的程序框图来源于中国古代数学著作《孙子算经》,其中定义[x]表示不超过x的最大整数,例如[0.6]=0,[2]=2,[3.6]=3.执行该程序框图,则输出的a=()A.9B.16C.23D.30。

第1讲数学文化及核心素养类试题「考情研析」数学文化与数学知识相结合，有效考查考生的阅读理解能力、抽象概括能力、转化与化归能力，既体现了对数学应用性的考查，也体现了我国数学文化的源远流长．高考中多以选择题的形式出现，难度中等.热点考向探究考向1三角函数中的数学文化例1(2020·河北省衡水中学第九次调研考试)我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤(ab)2－⎝⎛⎭⎪⎫a2＋b2－c222.根据此公式，若a cos B＋(b＋3c)cos A＝0，且a2－b2－c2＝2，则△ABC的面积为()A． 2 B．2 2C． 6 D．2 3我国南宋数学家秦九韶发现的“三斜求积术”虽然与海伦公式(S＝p(p－a)(p－b)(p－c)，其中p＝12(a＋b＋c))在形式上不一样，但两者完全等价，它填补了我国传统数学的一项空白．(2020·湖南省长郡中学高三第三次适应性考试)上世纪末河南出土的以鹤的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(图1)，充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系．图2为骨笛测量“春(秋)分”“夏(冬)至”的示意图．图3是某骨笛的部分测量数据(骨笛的弯曲忽略不计)，夏至(或冬至)日光(当日正午太阳光线)与春秋分日光(当日正午太阳光线)的夹角等于黄赤交角．由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如表：黄赤交角23°41′23°57′24°13′24°28′24°44′正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年A．早于公元前6000年B．公元前2000年到公元元年C．公元前4000年到公元前2000年D．公元前6000年到公元前4000年考向2数列中的数学文化例2(多选)(2020·山东省青岛市高三三模)在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中的第n 天所织布的尺数为a n ，b n ＝2an ，对于数列{a n }，{b n }，下列选项中正确的为( )A ．b 10＝8b 5B ．{b n }是等比数列C ．a 1b 30＝105D ．a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＝209193本题以传统数学文化为载体考查数列的实际应用问题．解题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，建立等差、等比数列的模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，利用方程思想求解．(2020·福建省宁德市二模)著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”．音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的．我国明代的数学家、音乐理论家朱载堉创立了十二平均律，是第一个利用数学使音律公式化的人．十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如表所示，其中a 1，a 2，…，a 13表示这些半音的频率，它们满足log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a i ＋1a i 12＝1(i ＝1,2，…，12)．若某一半音与D #的频率之比为32，则该半音为( ) 频率 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 a 13 半音CC #DD #EFF #G G #AA #BC (八度)C ．G #D ．A考向3 立体几何中的数学文化例3我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图，将底面直径都为2b，高皆为a的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d处的平面截这两个几何体，可横截得到S圆及S环两截面．可以证明S圆＝S环总成立．据此，半短轴长为1，半长轴长为3的椭球体的体积是________.依托立体几何，传播数学文化．立体几何是中国古代数学的一个重要研究内容，从中国古代数学中挖掘素材，考查立体几何的线面的位置关系、几何体的体积等知识，既符合考生的认知水平，又可以引导学生关注中华优秀传统文化．(2020·山东省潍坊市模拟)唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为143πR2.设酒杯上部分(圆柱)的体积为V1，下部分(半球)的体积为V2，则V1V2＝()A．2 B．3 2C．1 D．3 4考向4概率中的数学文化例4(2020·河北省张家口高三5月模拟)角谷猜想，也叫3n＋1猜想，是由日本数学家角谷静夫发现的，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2，如此循环最终都能够得到1.如：取n＝6，根据上述过程，得出6,3,10,5,16,8,4,2,1，共9个数．若n＝5，从根据上述过程得出的整数中，随机选取两个不同的数，则这两个数都是偶数的概率为()A．37B．715C．25D．35数学文化渗透到概率数学中去，不但丰富了数学的概率知识，还提高了学生的文化素养．解决此类问题的关键是构建合理的概率模型，利用相应的概率计算公式求解．(2020·河南省六市高三一模)五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明的重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为()A．12B．13C．14D．15考向5数学文化与现代科学例52016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③c1a1<c2a2；④c1a2>a1c2.其中正确式子的序号是()A．①③B．①④C．②③D．②④．(1)命题者抓住“嫦娥奔月”这个古老而又现代的浪漫话题，以探测卫星轨道为背景，抽象出共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质，并以加减乘除的方式构造两个等式和两个不等式，考查椭圆的几何性质，可谓匠心独运．(2)注意到椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ共一个顶点P和一个焦点F，题目所给四个式子涉及长半轴长和半焦距，从焦距入手，这是求解的关键，本题对考生的数学能力进行了比较全面的考查，是一道名副其实的小中见大、常中见新、蕴文化于现代科学技术应用之中的好题．(2020·北京市东城区模拟)标准对数远视力表(如图)采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”边长的1010倍，若视力4.1的视标边长为a，则视力4.9的视标边长为()A．104 5aB．109 10aC．D．真题押题『真题检验』1．(2020·新高考卷Ⅰ) 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为()A．20°B．40°C．50°D．90°2．(2020·全国卷Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块3. (2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________.『押题』4．天干地支纪年法(简称干支纪年法)是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2059年是________年；使用干支纪年法可以得到________种不同的干支纪年．专题作业一、选择题1．(2020·山东省烟台市模拟)《九章算术》是我国古代的一本数学名著．全书为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题．在第六章“均输”中有这样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“现有五个人分5钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少？”在此题中，任意两人所得的最大差值为()A．13B．23C．16D．562．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”．其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则该人第五天走的路程为()A．48里B．24里C．12里D．6里3. (2020·河北六校联考)玉琮是中国古代玉器中重要的礼器，神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型玉器，1986年出土于浙江省余杭县反山文化遗址．如图，玉琮王通高8.8 cm，孔径4.9 cm，外径17.6 cm，琮体四面各琢刻一完整的兽面神人图象，兽面的两侧各浅浮雕鸟纹，器形呈扁矮的方柱体，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔．估计该神人纹玉琮王的体积为(单位：cm3)()A．6250 B．3050C．2850 D．23504．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数．现从1～15这15个数中随机抽取3个数，则这三个数为勾股数的概率为()A．1910B．3910C．4455D．64555．阿基米德(公元前287年～公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆的离心率为74，面积为12π，则椭圆C的方程为()A．x29＋y216＝1 B．x23＋y24＝1C．x218＋y232＝1 D．x24＋y236＝16．(2020·山东省泰安市模拟)我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体(如图所示)，下底面是边长为2的正方形，上棱EF＝32，EF ∥平面ABCD，EF与平面ABCD的距离为2，该刍甍的体积为()A．6 B．11 3C．314D．127．(2020·江西省九江市二模)算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65.若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为()A．38B．12C．23D．348．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年．例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在堑堵ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，若A1A＝AB＝2，当阳马B－A1ACC1体积最大时，堑堵ABC－A1B1C1的体积为()A．83B． 2C．2 D．2 29．(2020·四川省达州市模拟)斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有．图1、图2是斗拱实物图，图3是斗拱构件之一的“斗”的几何体．本图中的斗由棱台与长方体形凹槽(长方体去掉一个小长方体)组成．若棱台两底面面积分别是400 cm2,900 cm2，高为9 cm，长方体形凹槽的体积为4300 cm3，那么这个斗的体积是()注：台体体积公式是V＝13(S′＋S′S＋S)h.A．5700 cm3B．8100 cm3C．10000 cm3D．9000 cm310. (2020·辽宁省葫芦岛市模拟)地球的公转轨道可以看作是以太阳为一个焦点的椭圆，根据开普勒行星运动第二定律，可知太阳和地球的连线在相等的时间内扫过相等的面积．某同学结合物理和地理知识得到以下结论：①地球到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位于图中A点和B点；②已知地球公转轨道的长半轴长约为149600000千米，短半轴长约为149580000千米，则该椭圆的离心率约为1，因此该椭圆近似于圆形；③已知我国每逢春分(3月21日前后)和秋分(9月23日前后)，地球会分别运行至图中C点和D点，则由此可知我国每年的夏半年(春分至秋分)比冬半年(当年秋分至次年春分)要少几天．以上结论正确的是()A．①B．①②C．②③D．①③二、填空题11．数学与文化有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343,12521等，两位数的回文数有11,22，33，…，99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是________.12．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是________.13．(2020·山东省泰安市高三一模)《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成，“”表示一根阳线，“”表示一根阴线，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线、四根阴线的概率为________.14．我国《物权法》规定：建造建筑物，不得违反国家有关工程建设标准，妨碍相邻建筑物的通风、采光和日照．已知某小区的住宅楼的底部均在同一水平面上，且楼高均为45 m，依据规定，该小区内住宅楼楼间距应不小于52 m．若该小区内某居民在距离楼底27 m高处的某阳台观测点，测得该小区内正对面住宅楼楼顶的仰角与楼底的俯角之和为45°，则该小区的住宅楼楼间距实际为________ m.第1讲数学文化及核心素养类试题「考情研析」数学文化与数学知识相结合，有效考查考生的阅读理解能力、抽象概括能力、转化与化归能力，既体现了对数学应用性的考查，也体现了我国数学文化的源远流长．高考中多以选择题的形式出现，难度中等.热点考向探究考向1三角函数中的数学文化例1(2020·河北省衡水中学第九次调研考试)我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤(ab)2－⎝⎛⎭⎪⎫a2＋b2－c222.根据此公式，若a cos B＋(b＋3c)cos A＝0，且a2－b2－c2＝2，则△ABC的面积为()A ． 2B ．2 2C ． 6D ．2 3答案 A解析 由a cos B ＋(b ＋3c )cos A ＝0，可得sin A cos B ＋cos A sin B ＋3sin C cos A ＝0，即sin(A ＋B )＋3sin C cos A ＝0，即sin C (1＋3cos A )＝0，因为sin C ≠0，所以cos A ＝－13，由余弦定理可得a 2－b 2－c 2＝－2bc cos A ＝23bc ＝2，所以bc ＝3，由△ABC 的面积公式可得S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤(bc )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＋b 2－a 222＝14×(32－12)＝ 2.故选A ．我国南宋数学家秦九韶发现的“三斜求积术”虽然与海伦公式(S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )，其中p ＝12(a ＋b ＋c ))在形式上不一样，但两者完全等价，它填补了我国传统数学的一项空白．(2020·湖南省长郡中学高三第三次适应性考试)上世纪末河南出土的以鹤的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(图1)，充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系．图2为骨笛测量“春(秋)分”“夏(冬)至”的示意图．图3是某骨笛的部分测量数据(骨笛的弯曲忽略不计)，夏至(或冬至)日光(当日正午太阳光线)与春秋分日光(当日正午太阳光线)的夹角等于黄赤交角．由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如表：黄赤交角23°41′23°57′24°13′24°28′24°44′正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是()A．早于公元前6000年B．公元前2000年到公元元年C．公元前4000年到公元前2000年D．公元前6000年到公元前4000年答案 A解析由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为α，春秋分日光与垂直线夹角为β，则α－β即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，由图3近似画出如图平面几何图形，则tanα＝1610＝1.6，tanβ＝16－9.410＝0.66，tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝ 1.6－0.661＋1.6×0.66≈0.457.∵0.455<0.457<0.461，∴估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．考向2数列中的数学文化例2(多选)(2020·山东省青岛市高三三模)在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中的第n 天所织布的尺数为a n ，b n ＝2an ，对于数列{a n }，{b n }，下列选项中正确的为( )A ．b 10＝8b 5B ．{b n }是等比数列C ．a 1b 30＝105D ．a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＝209193答案 BD解析 由题意可知，数列{a n }为等差数列，设数列{a n }的公差为d ，a 1＝5，由题意可得30a 1＋30×29d 2＝390，解得d ＝1629，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝16n ＋12929，∵b n ＝2an ，∴b n ＋1b n ＝2an ＋12an ＝2an ＋1－an ＝2d (非零常数)，则数列{b n }是等比数列，B 正确；∵5d ＝5×1629＝8029≠3，b 10b 5＝(2d )5＝25d ≠23，∴b 10≠8b 5，A 错误；a 30＝a 1＋29d ＝5＋16＝21，∴a 1b 30＝5×221>105，C 错误；a 4＝a 1＋3d ＝5＋3×1629＝19329，a 5＝a 1＋4d ＝5＋4×1629＝20929，∴a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＝3a 53a 4＝a 5a 4＝209193，D 正确．故选BD.本题以传统数学文化为载体考查数列的实际应用问题．解题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，建立等差、等比数列的模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，利用方程思想求解．(2020·福建省宁德市二模)著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”．音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的．我国明代的数学家、音乐理论家朱载堉创立了十二平均律，是第一个利用数学使音律公式化的人．十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如表所示，其中a 1，a 2，…，a 13表示这些半音的频率，它们满足log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a i ＋1a i 12＝1(i ＝1,2，…，12)．若某一半音与D #的频率之比为32，则该半音为( ) 频率 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 a 13 半音CC #DD #EFF #G G #AA #BC (八度)C ．G #D ．A答案B解析 由题意知log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a i ＋1a i 12＝1(i ＝1,2，…，12)， ∴a i ＋1a i＝2112，故数列{a n }是公比q ＝2112的等比数列． ∵a 4＝D #，a 8＝a 4q 4＝D #×(2112)4＝D #×32＝G ，∴G D #＝32.故选B.考向3 立体几何中的数学文化例3 我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图，将底面直径都为2b ，高皆为a 的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d 处的平面截这两个几何体，可横截得到S 圆及S 环两截面．可以证明S 圆＝S 环总成立．据此，半短轴长为1，半长轴长为3的椭球体的体积是________.答案 4π解析 因为S 圆＝S 环总成立，则半椭球体的体积为πb 2a －13πb 2a ＝23πb 2a ， 所以椭球体的体积为V ＝43πb 2a ，因为椭球体的半短轴长为1，半长轴长为3， 所以椭球体的体积为V ＝43πb 2a ＝43π×12×3＝4π， 故答案是4π.依托立体几何，传播数学文化．立体几何是中国古代数学的一个重要研究内容，从中国古代数学中挖掘素材，考查立体几何的线面的位置关系、几何体的体积等知识，既符合考生的认知水平，又可以引导学生关注中华优秀传统文化．(2020·山东省潍坊市模拟)唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R ，酒杯内壁表面积为143πR 2.设酒杯上部分(圆柱)的体积为V 1，下部分(半球)的体积为V 2，则V 1V 2＝( )A ．2B ．32C．1 D．3 4答案 A解析由球的半径为R，得半球的内部表面积为2πR2，又酒杯内壁表面积为143πR2，∴圆柱的侧面积为83πR2.设圆柱的高为h，则2πR·h＝83πR2，即h＝43R.∴V1＝πR2·43R＝43πR3，V2＝23πR3，∴V1V2＝43πR323πR3＝2.故选A．考向4概率中的数学文化例4(2020·河北省张家口高三5月模拟)角谷猜想，也叫3n＋1猜想，是由日本数学家角谷静夫发现的，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2，如此循环最终都能够得到1.如：取n＝6，根据上述过程，得出6,3,10,5,16,8,4,2,1，共9个数．若n＝5，从根据上述过程得出的整数中，随机选取两个不同的数，则这两个数都是偶数的概率为() A．37B．715C．25D．35答案 C解析若n＝5，根据上述过程得出的整数有5,16,8,4,2,1，随机选取两个不同的数，基本事件总数n＝C26＝15，这两个数都是偶数包含的基本事件个数m＝C24＝6，则这两个数都是偶数的概率为P＝mn＝615＝25.故选C.数学文化渗透到概率数学中去，不但丰富了数学的概率知识，还提高了学生的文化素养．解决此类问题的关键是构建合理的概率模型，利用相应的概率计算公式求解．(2020·河南省六市高三一模)五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明的重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为()A．12B．13C．14D．15答案 A解析金、木、水、火、土彼此之间存在相生相克的关系．从5类元素中任选2类元素，基本事件总数n＝C25＝10,2类元素相生包含的基本事件有5个，则2类元素相生的概率为P＝510＝12.故选A．考向5数学文化与现代科学例52016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③c1a1<c2a2；④c1a2>a1c2.其中正确式子的序号是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④答案 D解析 观察题图可知a 1>a 2，c 1>c 2，∴a 1＋c 1>a 2＋c 2，即①式不正确；a 1－c 1＝a 2－c 2＝|PF |，即②式正确；由a 1－c 1＝a 2－c 2>0，c 1>c 2>0，知a 1－c 1c 1<a 2－c 2c 2，即a 1c 1<a 2c 2，从而c 1a 2>a 1c 2，c 1a 1>c 2a 2.即④式正确，③式不正确．(1)命题者抓住“嫦娥奔月”这个古老而又现代的浪漫话题，以探测卫星轨道为背景，抽象出共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质，并以加减乘除的方式构造两个等式和两个不等式，考查椭圆的几何性质，可谓匠心独运．(2)注意到椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ共一个顶点P 和一个焦点F ，题目所给四个式子涉及长半轴长和半焦距，从焦距入手，这是求解的关键，本题对考生的数学能力进行了比较全面的考查，是一道名副其实的小中见大、常中见新、蕴文化于现代科学技术应用之中的好题．(2020·北京市东城区模拟)标准对数远视力表(如图)采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”边长的1010倍，若视力4.1的视标边长为a ，则视力4.9的视标边长为( )。