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数学与文化 高斯消元法
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第1章 二元一次方程组
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1.1 建立二元一次方程组
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1.2 二元一次方程组的解法
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第1章 二元一次方程组 1.2 二元一次方程组的解法 数学与文化 高斯消元法 2.1 整式的乘法 第3章 因式分解 3.3 公式法 4.1 平面上两条直线的位置关系 4.3 平行线的性质 4.5 垂线 第5章 轴对称与旋转 5.2 旋转 IT教室 用计算机作几何变换图形 综合与实践 长方体包装盒的设计与制作 6.1 平均数、中位数、众数 IT教室 用Excel求平均数、中位数、众数和方差

例4.二元一次方程组 y=2x 的解是( )
｛x=4,
A. y=3
｛x=3,
B. y=6
｛x=2,
C. y=4
｛x=4,
D. y=2
结论： 一般地，二元一次方程有无数组解， 而二元一次方程组只有一组解。
例5：小玲在文具店买了3本练习本，2支圆珠笔，共花 去8元，其中购买的练习本比圆珠笔多花4元。
(1)为了知道练习本、圆珠笔的单价是多少元，你能列 出相应的方程组吗？
x 22.3, y 37.7; x 40, y 20; 无限多个
问：若不考虑此方程的实际意义，那可以取哪些值？
未知数可取负值，如 x 10, y 70…..
适合一个二元一次方程的一组未知数 的值,叫做这个二元一次方程的一个解.
x 20, y 40; x 21, y 39; x 22, y 38;
典例精析
例2 下列方程组是二元一次方程组的是（ B ）
A.
xy 1, x y 1
C.
x x
z y
1, 1
B.
x 2
y 2
1,
x y 1
D.
x y 1,
1 x
y
1
紧扣相 关概念
判断：3xx24y
1,
是不是二元一次方程组？
是的
探究：你能找出满足方程 x y 60 ① ,且
符合问题的实际意义的值有哪些？这些值 是有限的吗？ x 20, y 40; x 21, y 39; x 22, y 38;
解得x 40,所以天然气费是 40元，水费是 20元.
既要求水费，又要求天然气费……
可以设1月份的天然气费是x元， 水费是y元，由题意得
①
②

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2.2 乘法公式
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第3章 因式分解
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3.1 多项式的因式分解
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3.2 提公因式法
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3.3 公式法
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第4章 相交线与平行线
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4.1 平面上两条直线的位置关系
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4.2 平移
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1.3 二元一次方程组的应用
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数学与文化 高斯消元法
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第2章 整式的乘法
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2.1 整式的乘法
第1章 二元一次方程组
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1.1 建立二元一次方程组
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1.2 二元一次方程组的解法
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第1章 二元一次方程组 1.2 二元一次方程组的解法 数学与文化 高斯消元法 2.1 整式的乘法 第3章 因式分解 3.2 提公因式法 第4章 相交线与平行线 4.2 平移 4.4 平行线的判定 4.6 两条平行线间的距离 5.1 轴对称 5.3 图形变换的简单应用 数学与文化 建筑学上的几何变换 第6章 数据的分析 6.2 方差

像上面这种解二元一次方程组的方法,叫做加减 消元法,简称加减法.
例3 解方程组：
①
②
解： ②×4得：
4x-4y=16③
①＋③得：7x = 35，
解得：x = 5.
把x = 5代入②得，y = 1.
所以原方程组的解为
方法总结
同一未知数的系数 不相等也不互为相反数 时， 如果其中一未知数成倍数关系时，利用等式的性 质，使得未知数的系数 相等或互为相反数 .呢？
3 x + 5 y = 21 ①
2 x – 5 y = -11 ②
把②变形得：x
5y
11 2
代入①，不就消去x了！
小 明
问题：怎样解下面的二元一次方程组呢？ 3 x + 5 y = 21 ① 2 x – 5 y = -11 ② 把②变形得
5y 2x 11
21 + (－11)
①左边 + ② 左边 = ① 右边 + ②右边
3x+5y +2x － 5y＝10
5x=10
3x 5y 21 ① 解方程组2x 5y 11 ②
解：由①+②得: 5x=10 x=2.
将x=2代入①得：6+5y=21 y=3 x=2
所以原方程组的解是 y=3
你学会了吗？
典例精析
基本思路“消元”
解二元一次 方程组
加减法解二元一次 方程组的一般步骤
解方程组 3x+2y=23 ① 5x+2y=33 ②
解：由②－①得: 2x=10 x=5.
将x=5代入①得：15+2y=23 y=4. x=5
所以原方程组的解是 y=4
与前面的代入法 相比，是不是更 加简单了！

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第1章 二元一次方程组 1.2 二元一次方程组的解法 数学与文化 高斯消元法 2.1 整式的乘法 3.1 多项式的因式分解 3.3 公式法 4.2 平移 4.4 平行线的判定 4.6 两条平行线间的距离 5.1 轴对称 5.3 图形变换的简单应用 数学与文化 建筑学上的几何变换 第6章 数据的分析 版七年级数学下册全套精美课 件
1.1 建立二元一次方程组
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1.2 二元一次方程组的解法
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出未知数的值； (5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，
然后作答.
例2 某业余运动员针对自行车和长跑项目进行专项训练
某次训练中，他骑自行车的平均速度为10 m/s，跑步的
平均速度为10 3
m/s
，自行车路段和长跑路段共5
km，共用时15 min．求自行车路段和长跑路段的长度．
分析：本问题涉及的等量关系有： 自行车路段长度+长跑路段长度=总路程， 骑自行车的时间+长跑时间=总时间.
x y

40, 60.

答：甲商品原来的单价为40元，乙商品原来的单价
为60元.
3. 小洪买了80分与60分邮票共17枚，花了12.2元. 试问：80分与60分邮票各买了多少枚？
解：设小洪买80分的邮票共x枚,买60分邮票共y枚，
根据题意有

x

y
17
,
80x60y 1220.

课堂小结
一般步骤： 审、设、列、解、验、答
列方程组解 决问题
关键：找等量关系
60
练一练： 8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形， 每块小长方形地砖的长河宽分别是多少?（单位cm）
解:设小长方形的长为x, 宽为y, 由题意,得 x+y=60
x=3y 解此方程组得： x =45,
y=15.
当堂练习
1. 一块金与银的合金重250g，放在水中称，减轻了
16g. 已知金在水中称，金重减轻
你能根据“上有三十五头, 下有九十四足”列出方程吗？
等量关系：
{ 鸡头+兔头=35, 鸡脚+兔脚=94.
x y 35 2x 4y 94
头x 足 2x

3 + 4 + = 10，
4 + 2 =___________________________________.
+ 3 = 5.
7.在等式 = 2 + + 中，当 = −1时， = 3；当 = 1时，
= −1；当 = −2时， = −4.求，，的值.
① − ④，得 = 1.② − ④，得 = −1.③ − ④，得 = 2.所以原方程组
= 1,
的解为ቐ = −1,
= 2.
方法感悟
1.解三元一次方程组的方法与解二元一次方程组的方法相似，一般
都是通过“代入”或“加减”进行消元，把解三元一次方程组转化为解二元
一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.
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第1章 二元一次方程组
*1.4
三元一次方程组
（1课时）
自主学习
自主导学
三
1.三元一次方程组：含有____个未知数，每个方程中含未知数的项的次数
1
三
均为___，并且一共有____个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.
2.三元一次方程组的一个解：在三元一次方程组中，适合每一个方程的
中考链接
10.（2021·重庆B卷）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者
购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径.某商家
将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为，，三种盲盒
各一个.其中盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；盒
中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与
一组未知数
____________的值，叫做这个方程组的一个解.

3.下列方程组中是二元一次方程组的是__(_1_)____.
3x-y=0，
5x-y=0，
(1)
(2)
y=2x+1.
3x+z=1.
x=1，
(3) y=4.
x+y=3， (4)
xy+3=1.
x+y=22， (1)
2x+y=40. (2) 满足方程x+y=22且符合实际意义的x，y的值有哪些？
x … 10 11 12 13 14 15 16 17 18 … y … 12 11 10 9 8 7 6 5 4 … 从中你体会到二元一次方程有＿无＿数＿个解. 上表中哪对x,y的值是方程2x+y=40的解？
1.关于二元一次方程3x+2y=11的解的说法正确的是 ( ) A.任何一对有理数都是它的解 B.只有一个解 C.只有两个解 D.无穷多个解 【解析】选D.使3x+2y=11成立的x，y有无数组.
2.（益阳·中考）二元一次方程x-2y=1有无数多个解x 0,
方法一：设胜x场，则负(22-x)场，则 2x+(22-x)=40
题干中有哪些条件？ 你能用方程组把这些条件表示出来吗？
方法二：设胜x场，负y场,则 x+y=22 （1） 2x+y=40 （2）
x+y=22 （1） 2x+y=40 （2） 在未知数的个数和次数上与方程2x+(22-x)=40有什么不 一样？
4
2.已知2x+3y=4，当x=y 时，x，y的值为__5___，当x+y=0时,
x=__-_4__，y=___4___.
3.已知
x 3, y 2

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4.1 平面上两条直线的位置关系
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4.2 平移
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第1章 二元一次方程组
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1.1 建立二元一次方程组
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1.2 二元一次方程组的解法
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1.3 二元一次方程组的应用
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数学与文化 高斯消元法
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第2章 整式的乘法
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2.1 整式的乘法
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3.2 提公因式法
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3.3 公式法
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第4章 相交线与平行线
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第1章 二元一次方程组 1.2 二元一次方程组的解法 数学与文化 高斯消元法 2.1 整式的乘法 第3章 因式分解 3.2 提公因式法 第4章 相交线与平行线 4.2 平移 4.4 平行线的判定 4.6 两条平行线间的距离 5.1 轴对称 5.3 图形变换的简单应用 数学与文化 建筑学上的几何变换 第6章 数据的分析 6.2 方差
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式
完全平方公式的文字叙述：
两个数的和(或差)的平方，等于它们
的平方和，加上(或减去)它们的积的2
倍。
完全平方公式 的图形理解
完全平方和公式：
b ab b²
(a+b)²
a a² ab
ab
(a b)2 a2+ 2ab + b2
完全平方公式 的图形理解
完全平方差公式：
b ab b²
a
a² ab
(a-b)²
=10000 -2+0.0001
=9998.0001
口答
(1) (6a+5b)2 =36a2+60ab+25b2
(2) (4x-3y)2 =16x2-24xy+9y2
(3) (-2m +1)2 =4m2-4m+1
(4) (-2m -1)2 =4m2+4m+1
拓展思维
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(4) (x+2y+3)(x-2y+3)
简单应用 (-a+b)2 =(a-b)2 (-a-b)2 =(a+b)2
1.(-2x-y)2 =(2x+y)2
2.(-2a2+b)2 =(2a2－b)2
小结：
今天，我们学到了什么？
1、完全平方公式： (a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
(2) (2a-b+1)(2a+b-1)-(b+1)2
2、先化简，再求值:(其中a=-2,b=4)
[(a 1 b)2 (a 1 b)2 ] (2a2 1 b2 )

60
练一练： 8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形， 每块小长方形地砖的长河宽分别是多少?（单位cm）
解:设小长方形的长为x, 宽为y, 由题意,得 x+y=60
x=3y 解此方程组得： x =45,
y=15.
当堂练习
1. 一块金与银的合金重250g，放在水中称，减轻了
16g.
已知金在水中称，金重减轻 1
总结归纳
解题小结：用二元一次方程组解决实际问题的步骤： (1)审题：弄清题意和题目中的__数_量__关__系__； (2)设元：用____字_母______表示题目中的未知数； (3)列方程组：根据__2 _个等量关系列出方程组； (4)解方程组：利用__代_入__消__元___法或__加__减_消__元__法__解
七年级数学下（XJ） 教学课件
第1章 二元一次方程组
1.3 二元一次方程组的应用
第1课时 解决所列方程组中含“x+y=”形式 的实际问题
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程 组解决的简单的实际问题.（重点）
2.学会利用二元一次方程组解决行程问题和百分 比问题.（重点、难点）
x y 42， 120x 280y. （以下部分由同学们完成）
课堂小结
一般步骤： 审、设、列、解、验、答
列方程组解 决问题
关键：找等量关系
B
再写出两种作物的总产量
1:2
甲：100x×1
乙：100y×2
总产量= 单位面积产量×面积
则列方程为
100x:200y=3:4
01 竖着画，把长分成两段，则宽不变

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第1章 二元一次方程组 1.2 二元一次方程组的解法 数学与文化 高斯消元法 2.1 整式的乘法 第3章 因式分解 3.2 提公因式法 第4章 相交线与平行线 4.2 平移 4.4 平行线的判定 4.6 两条平行线间的距离 5.1 轴对称 5.3 图形变换的简单应用 数学与文化 建筑学上的几何变换 第6章 数据的分析 6.2 方差
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第1章 二元一次方程组
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1.1 建立二元一次方程组
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(4)(－2m－1)2 . =4m2+4m+1.
课堂小结
法则
(a±b)2= a2 ±2ab+b2
完全平 方公式
注意
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算 的式子，需要先添括号变形
3.弄清完全平方公式和平方差 公式的不同点（从公式结构 特点及结果两方面）
（1）a+b－c=a+（ b-c ） （2）a－b+c=a－（ b-c ） （3）a－b－c=a－（ b+c ）
能否用去括号 法则检查添括 号是否正确?
（4）a+b+c=a－（-b-c ）
2.下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当 怎样改正？
（1）(x+y)2=x2 +y2 (2)(x －y)2 =x2 －y2 (3) (－x +y)2 =x2+2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2
解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2 ＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2， ∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y， ∴m＋1＝±60， ∴m＝59或－61.
方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的 2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的 符号，避免漏解．
当堂练习
1．在等号右边的括号内填上适当的项：
七年级数学下（XJ） 教学课件
第2章 整式的乘法
2.2 乘法公式
2.2.2 完全平方公式
第1课时 完全平方公式
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点; （重点） 2.会运用公式进行运算；(难点)

课程讲授
2 二元一次方程（组）的解
练一练：
x＝－3，y＝1为下列哪一个二元一次方程的解( A ) A．x＋2y＝－1 B．x－2y＝1 C．2x＋3y＝6 D．2x－3y＝－6
课程讲授
3 根据题意列二元一次方程组
问题1：根据下面的内容列出二元一次方程组.
课程讲授
3 根据题意列二元一次方程组
解：设鸡有x只，兔有y只.根据头数、脚数可得二 元一次方程组：
含有2个未知数(元)，未知 数的次数为1；
一元一次方程
二元一次方程
课程讲授
1 二元一次方程（组）的概念
问题2.2：前面列出的两个二元一次方程，它们之间有什么 联系？
x+y=60， x-y=20.
总费用关系 费用差关系
x，y必须同时满足这两个关系，就是说它必 须同时满足两个方程.
课程讲授
y

1
代入方程②中，左边=右边，
所以
x 2,

y

1
是方程组
3x 2y 8, 3x 2y 4
的解.
随堂练习
1.方程(a-1)x+3y=-1是二元一次方程,则a的取值范
围为（ C ）
A.a≠0
B.a≠-1
C.a≠1
D.a≠2
随堂练习
2.以

x y

3，为解的二元一次方程组是 2
问题2.1：小红家今年1月份的天然气费和水费共60 元，其中天然气费比水费多20元. 你能算出1月份小 红家的天然气费和水费分别是多少吗？
可以设1月份的天然气费是x元，则水费 是（x-20）元.列一元一次方程，得x+ （x-20）=60.解得x=40，因此天然气费 是40元，水费是20元.