统计学 第6章 假设检验与方差分析

24
五、双侧检验和单侧检验
/2
–Z /2
1–
(a)双侧检验 Z / 2
/2


– Z
0 (b)左侧检验
0 Z (c)右侧检验
25
图6-1 双侧、单侧检验的拒绝域分配
表6-1 拒绝域的单、双侧与备择假设之间的对应关系
拒绝域 位置 双侧 左单侧
P-值检验的显著 性水平判断标准
原假设 H0:θ＝θ0 H0:θ≥θ0
40
例： 已知初婚年龄服从正态分布。 根据9个人的调查结果，样本均值为 X 23.5 岁，样本标准差s=3岁。 问是否可以认为该地区初婚年龄数学期望以 及超过20岁（ 0.05 ）
41
（四）总体分布未知，总体方差未知，大样本 • 来自总体的样本为(x1, x2, …, xn)。 • 对于假设： H0: = 0，在H0成立的前提下，如果总体偏斜 适度，且样本足够大，近似地有检验统计量
29
• 在样本容量n不变的条件下，犯两类错误的 概率常常呈现反向的变化，要使和都同时 减小，除非增加样本的容量。 • 为此，统计学家奈曼与皮尔逊提出了一个原 则，即在控制犯第一类错误的概率情况下， 尽量使犯第二类错误的概率小。 • 在实际问题中，我们往往把要否定的陈述作 为原假设，而把拟采纳的陈述本身作为备择 假设，只对犯第一类错误的概率加以限制， 而不考虑犯第二类错误的概率 。
6
二、原假设与备择假设
• 原假设一般用H0表示，通常是设定总体参 数等于某值，或服从某个分布函数等； • 备择假设是与原假设互相排斥的假设，原 假设与备择假设不可能同时成立。 • 所谓假设检验问题实质上就是要判断H0是 否正确，若拒绝原假设H0 ，则意味着接受 备择假设H1 。
7
• 如在例6-1中，我们可以提出两个假设： • 假设平均袋装咖啡重量与所要控制的标 准没有显著差异，记为H0: = 150； • 假设平均袋装咖啡重量与所要控制的标 准有显著差异，记为H1: 150。
8
三、检验统计量
• 所谓检验统计量，就是根据所抽取的 样本计算的用于检验原假设是否成立 的随机变量。 • 检验统计量中应当含有所要检验的总 体参数，以便在“总体参数等于某数 值”的假定下研究样本统计量的观测 结果。
9
• 检验统计量还应该在“H0成立”的前 提下有已知的分布，从而便于计算出 现某种特定的观测结果的概率。
33
第二节 总体均值为某定值 的显著性检验
34
• 注意：
• 总体指在随机试验中所观测的随机变 量。
• 总体均值指的是随机变量的期望值。
35
总体均值的显著性检验包括：
• 双尾情况 • 左单尾 • 右单尾
36
• 如下就 • 总体分布的不同情况 • 总体方差是否已知的不同情况 • 样本大小的不同情况 分别介绍检验统计量和检验规则。
第六章 假设检验与方差分析
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 假设检验的基本原理 总体均值的假设检验 总体比例的假设检验 单因子方差分析 双因子方差分析 Excel在假设检验与方差 分析中的应用
掌握要点
• 假设检验的基本原理和步骤，以及相关概 念 • Z统计量、t统计量、F统计量的计算和应用 • 方差分析的基本概念 • 针对单因素、双因素的方差分析构造F统计 量
37
（一）总体为正态分布，总体方差已知，样 本不论大小 • 来自总体的样本为(x1, x2, …, xn)。 • 对于假设： H0: = 0，在H0成立的前提下，有检验统 计量
Z
X 0

2
~ N (0,1)
n
38
（二）总体分布未知，总体方差已知，大样本 • 来自总体的样本为(x1, x2, …, xn)。 • 对于假设： H0: = 0，在H0成立的前提下，如果样本足 够大（n≥30），近似地有检验统计量
4
• 所谓假设检验，就是事先对总体的参 数或总体分布形式做出一个假设，然 后利用抽取的样本信息来判断这个假 设（原假设）是否合理，即判断总体 的真实情况与原假设是否存在显著的 系统性差异，所以假设检验又被称为 显著性检验。
5
• 一个完整的假设检验过程，包括以下几 个步骤： （1）提出假设； （2）构造适当的检验统计量，并根 据样本计 算统计量的具体数值； （3）规定显著性水平，建立检验规 则； （4）做出判断。
• 至于小概率的标准是多大？这要根据实际问 题而定。 • 假设检验中，称这一标准为显著性水平，用 来表示。 • 在应用中，通常取 =0.01， =0.05。一般 来说，犯第一类错误可能造成的损失越大， 的取值应当越小。 • 对假设检验问题做出判断可依据两种规则： • 一是P-值规则； • 二是临界值规则。
10
例6-2
• 构造例6-1的检验统计量,并计算相应的 样本观测值。
11
解： H 0 : 150， H 1 : 150 。 由于咖啡的分袋包装生产线的装袋重量服从正态分 布，所以其简单随机样本的均值 X 也服从正态分布。 我们把 X 标准化成为标准正态变量
Z X E( X ) V (X ) ~ N (0 , 1)
15
（一）P-值规则
所谓P-值，实际上是检验统计量超过 (大于或小于)具体样本观测值的概率。 如果P-值小于所给定的显著性水平， 则认为原假设不太可能成立； 如果P-值大于所给定的标准，则认 为没有充分的证据否定原假设。
16
例6-3
• 假定 =0.05，根据例6-2的结果，计 算该问题的P-值，并做出判断。
30
七、关于假设检验结论的理解
• 这就是说，在假设检验中，相对而言， 当原假设被拒绝时，我们能够以较大 的把握肯定备择假设的成立。而当原 假设未被拒绝时，我们并不能认为原 假设确实成立。
31
注意：显著性检验到底回答了什么 样的问题？
• 显著性检验只是回答了所观察到的差 异（样本数据与我们对总体所作的推 测之间的差异）是纯属于机会变异， 还是反映了真实的差异？
Z
X 0 s n
2
~ N (0,1)
42
例6-5
• 某厂采用自动包装机分装产品，假定每包 产品的重量服从正态分布，每包标准重量 为1000克，某日随机抽查9包，测得样本平 均重量为986克，样本标准差是24克。 • 试问在α=0.05的显著性水平上，能否认为 这天自动包装机工作正常？
18
• 例： • 某电视机厂声称其产品耐用时间超过 1200小时。随机抽取100件产品后测得 均值为1251小时，标准差s=300小时。 • 问该厂产品耐用时间是否高于1200小时？ • （显著水平0.05）
19
（二）临界值规则
• 假设检验中，还有另外一种做出结论的 方法： • 根据所提出的显著性水平标准（它是概 率密度曲线的尾部面积）查表得到相应 的检验统计量的数值，称作临界值。 • 直接用检验统计量的观测值与临界值作 比较，观测值落在临界值所划定的尾部 （称之为拒绝域）内，便拒绝原假设；
17
• 解：查标准正态概率表， • 当z=2.29时，阴影面积为0.9890，尾部面积 为1-0.9890=0.011，由对称性可知，当z= – 2.29时，左侧面积为0.011。 0.011≤/2=0.025 0.011这个数字意味着，假若我们反复抽取 n=100的样本，在100个样本中仅有可能出现 一个使检验统计量等于或小于–2.29的样本。 该事件发生的概率小于给定的显著性水平， 所以，可以判断μ=150的假定是错误的，也就 是说，根据观测的样本，有理由表明总体的 与150克的差异是显著存在的。
2
第一节 假设检验的基本原理
一 什么是假设检验
二 原假设与备择假设
三 检验统计量 四 显著性水平、P-值与临界值
五 双侧检验和单侧检验 六 假设检验的两类错误 七 关于假设检验结论的理解
3
一、什么是假设检验
• 例6-1：假定咖啡的分袋包装生产线的装袋 重量服从正态分布N(μ,σ2)。生产线按每袋 净重150克的技术标准控制操作。现从生产 线抽取简单随机样本n=100袋，测得其平均 重量为 X =149.8克，样本标准差S=0.872 克。问该生产线的装袋净重的期望值是否为 150克（即问生产线是否处于控制状态）?
27
• 显著性检验中的第二类错误是指： • 原假设事实上不正确，而检验统计量的观 测值却落入了不能拒绝域，因而没有否定 本来不正确的原假设，这是取伪的错误。 • 发生第二类错误的概率是把来自 θ=θ1(θ1≠θ0)的总体的样本值代入检验统计 量所得结果落入接受域的概率。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ28
• 根据不同的检验问题，对于和大小的选择 有不同的考虑。 • 例如，在例6-1中，如果检验者站在卖方的 立场上，他较为关心的是不要犯第一类错误， 即不要发生产品本来合格却被错误地拒收这 样的事情，这时， 要较小。 • 反之，如果检验者站在买者的立场上，他关 心的是不要把本来不合格的产品误当作合格 品收下，也就是说，最好不要犯第二类错误， 因此， 要较小。
Z
X 0

2
~ N (0,1)
n
39
（三）总体为正态分布，总体方差未知，小 样本 • 来自总体的样本为(x1, x2, …, xn)。对于假设： H0: = 0，在H0成立的前提下，有检验统计 量
t
X 0
S
2
~ t ( n 1)
n • 若自由度(n-1)≥30，该t统计量近似服从标准 正态分布。
20
• 观测值落在临界值所划定的尾部之外 （称之为不能拒绝域）的范围内，则认 为拒绝原假设的证据不足。这种做出检 验结论的方法，我们称之为临界值规则。
21
• 显然，P-值规则和临界值规则是等价的。在 做检验的时候，只用其中一个规则即可。 • P-值规则较之临界值规则具有更明显的优点。 • 这主要是： • 第一，它更加简捷； • 第二，在值规则的检验结论中，对于犯第一 类错误的概率的表述更加精确。 • 推荐使用P-值规则。