椭圆及其标准方程

椭圆的一般方程和标准公式
椭圆是一个常见的二维几何图形，其一般方程和标准公式如下：
1.椭圆的一般方程：
椭圆的一般方程表示为：
A(x - h)^2 + B(y - k)^2 = 1
其中，(h, k)表示椭圆的中心坐标，A和B是正实数，且A > B。

2.椭圆的标准公式：
椭圆的标准公式表示为：
(x - h)^2/a^2 + (y - k)^2/b^2 = 1
其中，(h, k)表示椭圆的中心坐标，a和b分别表示椭圆在x轴和y轴上的半长轴长度。

具体详细解释如下：
●中心坐标(h, k)：椭圆的中心点在坐标平面上的位置，坐标为(h, k)。

●半长轴长度a：椭圆在x轴上的半长轴长度，表示椭圆沿着x轴正方向延伸
的距离。

●半短轴长度b：椭圆在y轴上的半短轴长度，表示椭圆沿着y轴正方向延伸
的距离。

椭圆的标准公式以中心点(h, k) 为中心，沿x轴和y轴方向分别以a和b为轴长度绘制。

当a和b相等时，椭圆退化为一个圆。

若a大于b，则椭圆在x轴方向上更为扁平，称为长轴椭圆；若b大于a，则椭圆在y轴方向上更为扁平，称为短轴椭圆。

注意事项：
●椭圆的方程中，A和B的值与a和b的关系为A = 1/a^2，B = 1/b^2。

●当椭圆的中心不在原点时，方程中的坐标需要进行平移，即(x - h) 和(y - k)。

●椭圆的方程也可以表示为离心率和焦点的形式，但这超出了一般方程和标准
公式的范围。

通过了解椭圆的一般方程和标准公式，您可以利用这些公式来描述和绘制椭圆的几何形状，并对椭圆的中心、半长轴和半短轴进行准确的计算和描绘。

椭圆的标准方程及性质椭圆作为二维空间中的图形，具有一些独特的性质和特点。

本文将介绍椭圆的标准方程以及其相应的性质。

一、椭圆的标准方程椭圆的标准方程可以通过平面几何的推导得出。

设椭圆的中心为点（h，k），椭圆的长轴为2a，短轴为2b，则可得出椭圆的标准方程：（x-h）^2/a^2 +（y-k）^2/b^2 = 1其中，h和k分别是椭圆的中心在x轴和y轴上的坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半。

二、椭圆的性质1. 中心：椭圆的中心即标准方程中的点（h，k），表示椭圆在平面上的位置。

2. 焦点：椭圆上的每个点到两个焦点的距离之和等于定值2a，即椭圆的长轴长度。

焦点是椭圆的重要特点，用于定义椭圆的几何性质。

3. 长轴和短轴：标准方程中a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的一半。

长轴是椭圆的最长直径，短轴是椭圆的最短直径。

4. 离心率：椭圆的离心率定义为焦距与长轴之比，通常用e表示。

离心率决定了椭圆的扁平程度，e＜1时表示椭圆，e=0时表示圆。

5. 直径：椭圆上的两个端点同时到椭圆内一点的距离相等，则这两个端点和该内点连成的线段叫做该椭圆的直径。

6. 弦：椭圆上任意两点连线和椭圆的直径所围内部的线段叫做椭圆的弦。

7. 准线：椭圆上与两个焦点连线垂直的直线，与椭圆的侧弦相切。

8. 焦散性：入射到椭圆的平行光线在反射后会汇聚到另一个焦点上，这是椭圆焦散性的一个重要表现。

三、椭圆的应用椭圆作为一种常见的数学曲线，在现实生活中有广泛的应用。

以下是一些椭圆应用的例子：1. 天体运动：行星围绕太阳的轨迹、人造卫星轨道等可以近似看作椭圆。

2. 光学器件：抛物面镜、椭圆面镜等。

3. 固定时间下的最短路径问题。

4. 卫星通信：卫星的定位和通信领域中使用椭圆轨道。

4. 造船工业：船体的椭圆剖面设计，可以减少水的阻力。

5. 圆锥曲线中的一类，在几何光学中，椭球曲面可以聚焦光线。

总结：本文介绍了椭圆的标准方程及其性质。

椭圆作为一种重要的数学曲线，其在几何和物理学中有着广泛的应用。

椭圆及标准方程椭圆是平面上到定点F1、F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

设F1(-c,0)，F2(c,0)，点P(x,y)，则PF1+PF2=2a。

椭圆的标准方程为，x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)。

椭圆的性质：1.椭圆的离心率0<e<1，焦点到中心的距离为ae。

2.椭圆的长轴2a，短轴2b，焦距2ae。

3.椭圆的离心角θ满足e=cosθ，离心率e与离心角θ的关系为e=cosθ。

4.椭圆的面积为πab。

5.椭圆的焦点到直径的距离等于直径的一半。

6.椭圆的焦点到切线的距离等于焦点到法线的距离。

7.椭圆的切线与法线的交点坐标分别为(x1,y1)和(x1,-y1)。

8.椭圆的渐近线方程为y=±b/ax。

9.椭圆的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ。

10.椭圆的极坐标方程为r=a(1-e^2)/(1+ecosθ)。

椭圆的标准方程推导：设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，中心为O(0,0)，点P(x,y)。

则有PF1+PF2=2a，根据两点之间的距离公式可得。

√((x+c)^2+y^2)+√((x-c)^2+y^2)=2a。

整理得到。

(√((x+c)^2+y^2))^2+(√((x-c)^2+y^2))^2=4a^2。

化简得到。

x^2/a^2+y^2/b^2=1。

从而得到椭圆的标准方程。

椭圆的标准方程性质：1.椭圆的标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)。

2.椭圆的中心在原点O(0,0)。

3.椭圆的长轴在x轴上，短轴在y轴上。

4.椭圆的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，离心率e=c/a。

5.椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距2ae。

6.椭圆的面积为πab。

7.椭圆的离心角θ满足e=cosθ，离心率e与离心角θ的关系为e=cosθ。

8.椭圆的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ。

椭圆及标准方程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

F1和F2称为椭圆的焦点，2a称为椭圆的长轴。

椭圆的标准方程为：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)。

其中a为长轴的一半，b为短轴的一半。

在椭圆的标准方程中，a和b的大小决定了椭圆的形状，当a>b时，椭圆的长轴水平；当a<b时，椭圆的长轴垂直。

椭圆的离心率e定义为焦距与长轴的比值，即e=\(\frac{c}{a}\)，其中c为焦距之一。

离心率决定了椭圆的形状，当e=0时，椭圆退化为圆；当0<e<1时，椭圆是一个扁平的椭圆；当e=1时，椭圆是一个狭长的椭圆；当e>1时，椭圆不存在，退化为双曲线。

根据椭圆的标准方程，我们可以得到椭圆的一些重要性质。

首先，椭圆的中心在原点O(0,0)，长轴与x轴平行，短轴与y轴平行。

其次，椭圆的焦点坐标为F1(-c,0)和F2(c,0)，其中c=\(\sqrt{a^2-b^2}\)。

最后，椭圆的顶点坐标为A(a,0)和B(-a,0)，其中a为长轴的一半。

除了标准方程外，椭圆还可以有其他形式的方程。

例如，椭圆的参数方程为：\(\begin{cases} x = a \cos t \\ y = b \sin t \end{cases}\)。

其中t为参数，a和b同样为长轴和短轴的一半。

利用参数方程，我们可以更加灵活地描述椭圆上的点的运动规律。

另外，椭圆还可以通过矩形方程来表示，即：\( \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \)。

其中(h,k)为椭圆的中心坐标。

通过矩形方程，我们可以方便地得到椭圆的中心和长短轴的信息。

总之，椭圆是一种重要的几何图形，具有许多独特的性质和形式。

通过标准方程、参数方程和矩形方程，我们可以更加深入地理解和描述椭圆的形状和特点。

对于数学和物理学的学习和应用都有着重要的意义。

椭圆及其标准方程椭圆是一个非常重要的几何图形，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。

在本文中，我们将探讨椭圆的定义、性质以及其标准方程。

首先，让我们来看一下椭圆的定义。

椭圆可以被定义为平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的集合。

这两个定点被称为焦点，而常数2a 则被称为椭圆的长轴长度。

椭圆还有一个与长轴垂直的短轴，其长度为2b。

椭圆的形状可以由长轴和短轴的长度来描述，而这个描述也可以用椭圆的标准方程来表示。

接下来，让我们来看一下椭圆的标准方程。

椭圆的标准方程可以写成(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是长轴和短轴的长度。

如果椭圆的长轴与x轴平行，那么它的标准方程可以简化为(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1。

如果椭圆的长轴与y轴平行，那么它的标准方程可以简化为(y-k)^2/a^2 + (x-h)^2/b^2 = 1。

通过这个标准方程，我们可以轻松地确定椭圆的中心、长轴、短轴以及焦点的位置。

除了标准方程之外，椭圆还有许多重要的性质。

例如，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a，这个性质被称为椭圆的焦点性质。

此外，椭圆还具有对称性，关于长轴和短轴都有对称轴。

这些性质使得椭圆在数学和物理学中有着广泛的应用，例如在天体运动、工程设计以及密码学中都可以看到椭圆的身影。

总之，椭圆是一个非常重要的几何图形，它具有许多重要的性质和应用。

通过椭圆的标准方程，我们可以轻松地描述和理解椭圆的形状和位置。

希望本文对您理解椭圆有所帮助，谢谢阅读！。

第一讲 椭圆及其标准方程一 椭圆定义椭圆的（第一）定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距(2c)。

.注意：①注意一定有在“平面内”三个字，若去掉，则为椭球.②若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F . ③若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.例1 已知有点)0,5(),0,5(21F F -且有1021=+PF PF ,则点P 的轨迹是（ ） A 椭圆 B 双曲线 C 线段 D 两条射线二 椭圆的方程（1）推导（2）椭圆的标准方程1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；2）．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：221x y m n+= 或者 mx 2+ny 2=1 。

例2 已知方程110422=---k y k x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为例3 写出适合下列条件的椭圆的标准方程 （1） 焦点在x 轴上，6,1:2:==c b a（2） 焦点在y 轴上，522=+b a ，且过点)0,2(-三 求椭圆方程的常用方法（1）待定系数法：由题设条件确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数，其主要步骤可归纳为“先定位，后定量”，一般步骤为：①先定位：根据条件判定焦点在x 轴上还是在y 轴上，还是两个都有可能；②设方程：根据上述判断设方程为12222=+b y a x 或22221y x a b +=③寻关系：根据已知条件列出相应的关系④得方程注意：有时利用待定系数法时，设出椭圆的一般方程mx 2+ny 2=1（n m n m ≠>>,0,0），可以避免焦点位置的讨论，更简单（3） 定义法：根据题目条件确定点的轨迹为椭圆，然后根据定义寻找c b a ,,关系，从而得到椭圆方程例4 已知椭圆的两个焦点坐标分别是)2,0(),2,0(-，并且经过点)25,23(-，求椭圆的标准方程（用尽量多的方法解决）例5 已知椭圆经过点3,36(）和点（1,322），求椭圆的标准方程四 椭圆中的焦点三角形(可自己证明)椭圆上任意一点P 与两焦点1F ,2F 构成的三角形△21F PF ,称为焦点三角形 （1） 焦点三角形的周长为2a+2c （2） 焦点三角形的面积为2tan 2b （α=∠21PF F ）例6 已知P 为椭圆17542522=+y x 上一点，1F ，2F 是椭圆的焦点，∠21PF F =60°，求三角形21F PF 的面积随堂练习1已知点M 到两个定点A(-1,0)和B(1,0)的距离之和是定值2,则动点M 的轨迹是( ) A.一个椭圆 B.线段AB C.线段AB 的垂直平分线 D.直线AB2已知椭圆+=1上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3,则到另一个焦点的距离为( )A.2B.3C.5D.73若P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆+=1上一点,则三角形PF 1F 2的周长等于( )A.16B.18C.20D.不确定4动点P 到两定点(0,-2),(0,2)距离的和为8,则动点P 的轨迹方程为( )A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=15以坐标轴为对称轴,两焦点的距离是2,且过点(0,2)的椭圆的标准方程是( )A. +=1 B.+=1 C.+=1或+=1 D.+=1或+=16已知曲线C:+=1,则点(3,0)与曲线C 的位置关系为( )A.不能确定B.点(3,0)在曲线C 上C.点(3,0)在曲线C 的外部D.点(3,0)在曲线C 的内部7已知椭圆的上顶点和左焦点都在直线y=2x+2上,则这一椭圆的标准方程是( )A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=18已知椭圆的中心在原点,对称轴是坐标轴,若椭圆短轴的一个端点B 与两个焦点F 1,F 2组成的三角形的周长是4+2,且∠F 1BF 2=,则这一椭圆的方程是 .9过椭圆4x 2+2y 2=1的一个焦点F 1的弦AB 与另一个焦点F 2所围成的△ABF 2的周长是________.10已知方程(k2-1)x2+3y2=1表示焦点在y轴上的椭圆,则k的取值范围是______________.11已知椭圆过点A(1,2)和点B(-2,),则椭圆的标准方程是____________.12 椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则∠F1PF2的大小为________.13 已知一个三角形的周长为10,其中两个顶点A,B间的距离是2,试建立恰当的直角坐标系,求出三角形的第三个顶点的轨迹方程.14 已知中心在原点的椭圆C的两个焦点和椭圆C1:4x2+9y2=36的两个焦点是一个正方形的四个顶点,且椭圆C过点A(2,-3).(1)求椭圆C的方程;(2)若PQ是椭圆C的弦,O是坐标原点,且OP⊥OQ,已知点P的坐标是(,2),求点Q的坐标.15如图,点A是椭圆C: +=1(a>b>0)的短轴位于x轴下方的端点,过A作斜率为1的直线l交椭圆于点B,若点P的坐标为(0,1),且满足BP∥x轴,·=9.求椭圆C的方程.。

椭圆及其标准方程1.椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于｜F1F2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.注意：定义中的常数用2a表示，｜F1F2｜用2c表示，当2a＞2c＞0时，轨迹为椭圆，当2a=2c 时，轨迹为线段F1F2；当2a＜2c时，无轨迹.这样，椭圆轨迹一定要有2a＞2c这一条件.另外，应用定义来求椭圆方程或解题时，往往比较简便.2.椭圆的标准方程当焦点在x轴上时：+ =1(a＞b＞0)当焦点在y轴上时：+ =1(a＞b＞0)注意：(1)三个量之间的关系：a2=b2+c2(2)由x2,y2的分母大小确定焦点在哪条坐标轴上，x2的分母大，焦点就在x轴上，y2的分母大，焦点就在y轴上.(3)在方程Ax2+By2=C中，只有A、B、C同号时，才可能表示椭圆方程.(4)当且仅当椭圆的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才具有标准形式.典型例题例1 求与椭圆+ =1共焦点，且过点M(3，-2)的椭圆方程.解法一：(待定系数法)由已知椭圆方程+ =1得C2=9-4=5，且焦点在x轴上，设所求椭圆方程为+ =1又∵点M(3，-2)在椭圆上∴+ =1，得a4-18a2+45=0∴a2=15或a2=3＜5=C2(舍)∴所求椭圆方程为+ =1解法二：(定义法)椭圆两焦点为F1(- ，0)，F2( ，0)，点M(3，-2)到这两个焦点距离之和是2a，即2a=｜M1F1｜+｜M1F2｜= + =2∴a2=15 b2=a2-c2=15-5=10∴所求椭圆方程为+ =1例2 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1( ，1)，P2(- ，- )，求椭圆的方程.解：设椭圆方程为mx2+ny2=1,(m＞0，n＞0)由题意有解得m= ，n=∴所求椭圆方程为+ =1说明：设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0，n＞0)可免讨论焦点的位置，而且计算简便.例3 已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作焦点所在轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程.解：设两个焦点为F1F2，且｜PF1｜= ，｜PF2｜=由椭圆定义知2a=｜PF1｜+｜PF2｜=2 ∴a=而｜PF1｜＞｜PF2｜知PF2与焦点所在的对称轴垂直.∴Rt△PF2F1中，sin∠PF1F2= =∴∠PF1F2=2C=｜PF1｜cos =∴b2=a2-c2=故所求方程为+ y2=1或x2+ =13.(代入法)与椭圆有关的轨迹问题：常用的方法有定义法，坐标转移法，交轨法，点差法. 例4 已知圆C1：x2+y2+4x-12=0与圆C2:x2+y2-4x=0，动圆C与C1相内切，且与C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程.解：圆C1与C2的标准方程是(x+2)2+y2=16，(x-2)2+y2=4圆心分别为C1(-2，0)，C2(2，0)设动圆P的圆心为P，半径为r，有｜PC1｜=4-r,｜PC2｜=2+r∴｜PC1｜+｜PC2｜=6＞｜C1C2｜=4∴P点在椭圆上运动，又2a=6，2c=4，∴b2=a2-c2=5∴P的轨迹为+ =1(在已知圆C1内)例5 已知MN是椭圆+ =1(a＞b＞0)中垂直于长轴的动弦，AB是椭圆长轴的两端点，求直线MA与NB的交点P的轨迹方程.解：设M、N的坐标为M(x0,y0)，N(x0,-y0)，又A(-a,0),B(a,0)所以直线AM的方程为y= (x+a) ①直线BN的方程为：y= ②①×②得：y2= (x2-a2) ③∵点M(x0,y0)在椭圆上，∴b2x20+a2y20=a2b2∴x20-a2=- y02,代入得③得：y2= (x2-a2)∴交点P的轨迹方程为- =1例6已知椭圆+y2=1(1)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程(2)过A(2，1)引椭圆的割线，求截得的弦中点轨迹方程(3)求过点P( ，)，且被P平分的弦所在的直线方程.解：(点差法)设弦的两端点分别为M(x1,y1)N(x2,y2)、MN的中点为P(x,y)，则x21+2y21=2，x22+2y22=2,两式相减弄除以(x2-x1)得：x1+x2+2(y1+y2) =0而x1+x2=2x,y1+y2=2y∴x+2y· =0 (*)(1)将=2代入(*)式得所求的轨迹方程为x+4y=0(椭圆内部分)(2)将= 代入(*)式，得所求的轨迹方程为x2+2y2-2x-2y=0(椭圆内部分)(3)将x1+x2=1,y1+y2=1代入(*)式，得=-∴所求的直线方程为2x+4y-3=0例7已知中心在原点，一焦点为F(0，)的椭圆被直线l:y=3x-2截得弦的中点横坐标为，求椭圆方程.解：∵C= ，∴a2=b2+50∴可设椭圆方程为+ =1把直线y=3x-2代入椭圆方程整理得10(b2+5)x2-12b2x-b4-46b2=0∴x1+x2=又∵=∴12b2=10b2+50解得b2=25 a2=75∴所求的椭圆方程为+ =1例8已知P为椭圆+ =1上的一点，F1F2是椭圆上的两焦点，∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积.解：∵= ｜PF1｜·｜PF2｜sin∠F1PF2∴只需求｜PF1｜·｜PF2｜即可又｜PF1｜+｜PF2｜=10｜PF1｜2+｜PF2｜2-2｜PF1｜·｜PF2｜cos60°=4C2=64解得｜PF1｜·｜PF2｜=12∴= ×12× =3例9已知方程2(k2-2)x2+k2y2+k2-k-6=0表示椭圆，求实数k的取值范围.解：结合椭圆的变形方程式a2y2+b2x2-a2b2=0从而有：2(k2-2)＞0 k＜- 或k＞k2≠0解得k≠0k2-k-6＜0 -2＜k＜32(k2-2)≠k2k≠±2∴k∈(-2，- )∪( ，2)∪(2，3)例10△ABC的三边a＞b＞c，且a+c=2b，｜AC｜=2,求顶点B的轨迹.解：以AC的中点为坐标原点建立坐标系，则A(-1，0)，C(1，0)，又a+c=2b=4由椭圆的定义知B点在椭圆上运动.∵a＞b＞c，且A、B、C三点不共线∴B点的轨迹方程是椭圆+ =1，在y轴左侧的部分，但要去掉点(-2，0)，(0，)，(0，- )核心知识1.椭圆+ =1(a＞b＞0)，范围：椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里，即｜x｜≤a，｜y｜≤b.2.对称性：椭圆关于x轴，y轴和原点都是对称的.坐标轴为椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，即为椭圆的中心.3.顶点：椭园与坐标轴的交点为椭圆的顶点为A1(-a,0)，A2(a,0)，B1(0，b),B2(0,-b)4.离心率：e= ,(o＜e＜1),e越接近于1，则椭圆越扁；e越接近于0，椭圆就越接近于圆.5.椭圆的第二定义：平面内的点到定点的距离和它到定直线的距离的比为常数e(0＜e＜1＝的点的轨迹.定点即为椭圆的焦点，定直线为椭圆的准线.6.椭圆的焦半径公式：设P(x0,y0)是椭圆+ =1(a＞b＞0)上的任意一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，则｜PF1｜=a+ex0,｜PF2｜=a-ex0.7.椭圆的参数方程典型例题例1 设直线l过点P(-1，0)，倾角为，求l被椭圆x2+2y2=4所截得的弦长.解：直线l的方程为y= x+ ，代入椭圆方程，得7x2+12x+2=0,∵△=144-4×7×2=88∴弦长= =例2 求椭圆+ =1上的点到直线3x+4y-64=0的最长距离与最短距离.解：设椭圆上的点为(5cosθ，9sinθ)，则d= ==∴d max=例3 已知椭圆+ =1内有一点P(1，-1)，F是右焦点，M是椭圆上的动点，求｜MP｜+2｜MF｜的最小值，并求此时M的坐标.解：过M作右准线x=4的垂线，垂足为M1，由椭圆第二定义，有= ∴2｜MF｜=｜MM1｜∴｜MP｜+2｜MF｜=｜MP｜+｜MM1｜过P作右准线的垂线交椭圆于N，垂足为N1，垂线方程为y=-1.显然｜MP｜+｜MM1｜≥｜NP｜+｜NN1｜(当M与N重合时等号成立)而｜NP｜+｜NN1｜=｜PN1｜=3由方程组得N( ，-1)∴｜MP｜+2｜MF｜的最小值是3，此时M的坐标是( ，-1)例4 P是椭圆方程为+ =1上的任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，试求｜PF1｜·｜PF2｜的取值范围.解：设｜PF1｜=t,则t∈［a-c,a+c］，即t∈［4- ，4+ ］且｜PF2｜=2a-t=8-t.∴｜PF1｜·｜PF2｜=t(8-t)=-(t-4)2+16 t∈［4- ，4+ ］当t=4时，取最大值为16当t=4± 时，取最小值为9.∴所求范围为［9，16］例5 F1、F2是椭圆的两个焦点，过F2作一条直线交椭圆于P、Q两点，使PF1⊥PQ，且｜PF1｜=｜PQ｜，求椭圆的离心率e.解：如下图，设｜PF1｜=t，则｜PQ｜=t，｜F1Q｜= t，由椭圆定义有：｜PF1｜+｜PF2｜=｜QF1｜+｜QF2｜=2a∴｜PF1｜+｜PQ｜+｜F1Q｜=4a 即( +2)t=2a,t=(4-2 )a∴｜PF2｜=2a-t=(2 -2)a在Rt△PF1F2中，｜F1F1｜2=(2c)2∴［(4-2 )a］2+［(2 -2)a］2=(2c)2∴=9-6 ∴e= = -双曲线1.双曲线的定义平面内与两定点F1、F2的距离差的绝对值是常数(大于零小于｜F1F2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F1、F2是焦点，两焦点间的距离｜F1F2｜是焦距，用2c表示.常数用2a表示.(1)若｜MF1｜-｜MF2｜=2a时，曲线只表示焦点F2所对应的一支双曲线.(2)若｜MF1｜-｜MF2｜=-2a时，曲线只表示焦点F1所对应的一支双曲线.(3)若2a=2c时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F1、F2为端点向外的两条射线.(4)若2a＞2c时，动点的轨迹不存在.2.双曲线的标准方程- =1(a＞0,b＞0)焦点在x轴上的双曲线；- =1(a＞0,b＞0)焦点在y轴上的双曲线.判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上.典型例题例1 若方程+ =1表示双曲线，则实数m的取值范围是( )A.-3＜m＜2或m＞3B.m＜-3或m＞3C.-2＜m＜3D.-3＜m＜3或m＞3分析该方程表示双曲线，则x2与y2项的系数的符号相反，即(2-m)(｜m｜-3)＜0，将问题转化为不等式的求解.答：A例2 求与椭圆+ =1共焦点，且过点(3 ，)的双曲线的方程.分析一由题意知所求双曲线的焦点在x轴上，且焦距为8，∴c=4,设所求双曲线方程为- =1代入点(3 ，)，得λ2=7，故所求双曲线方程为- =1.分析二运用与椭圆共焦点的曲线系方程.设所求双曲线方程为+ =1，代入点(3 ，)，得λ=16或λ=-7(舍)，故所求双曲线方程为- =1.例3 课本第108页习题8.3第一题：△ABC一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边所在直线的斜率之积是，求顶点A的轨迹.分析其顶点A的轨迹方程求得：- =1(x≠0).若将问题一般化：B(0，a)、C(0，-a)·k AB·k AC= ，则顶点A的轨迹方程为：- =1(x≠0).若B(bcotφ，acosφ)、C(-cotφ，-acscφ).k AB·k AC= ，则顶点A的轨迹会是怎样?反之，双曲线- =1(x≠0)上任一点到B(0，a)，C(0，-a)两点的连线的斜率之和，等于;若改变B、C的位置保持B、C两点关于原点对称于双曲线上，k AB·k AC是否成立.总之，同学们在学习过程中要多动手、多思考，举一反三，做到“以点代面，以少胜多”.例4一动圆与圆(x+3)2+y2＝1外切又与圆(x-3)2+y2＝9内切，求动圆圆心轨迹方程.分析如图，设动圆M与⊙O外切于A，与⊙O2内切于B，由位置关系可得数量关系：｜MO1｜＝｜MA｜+1 ｜MO2｜＝｜MB｜-3由｜MA｜＝｜MB｜可得｜MO1｜-｜MO2｜＝4由定义可知M点轨迹为双曲线的一支.解：如图，设动圆圆心M坐标为M(x,y)，圆M与圆O1外切于A，与圆O2内切于B，则，MO1＝｜MA｜+1，①｜MO2｜＝｜MB｜＝3②，①-②：｜MO1｜-｜MO2｜＝4由双曲线定义知，M点轨迹是以O1(-3，0)O2(3，0)为焦点2a＝4的双曲线的右支∴b2＝32-23＝5∴所求轨迹方程为：- ＝1(x≥2)说明：在求轨迹方程时，要注意使用曲线的定义，此时的思路：位置关系(内切，外切)数量关系(｜MO1｜＝r1+r0,｜MO2｜＝r-r2其中r为动圆半径曲线形状写出标准方程，可以简化运算.同时应注意定义中是到两定点距离的绝对值，此时不含绝对值，要求｜MO1｜>｜MO2｜，所以是双曲线的右支，而不是整个双曲线.例5过双曲线- ＝1的右焦点作倾角为45°的弦，求弦AB的中点C到右焦点F 的距离，并求弦AB的长.分析将直线方程与双曲线方程联立，求出A、B两点的坐标，再求其中点，由两点的距离公式求出｜CF｜.解：∵双曲线的右焦点为F(5，0)，直线AB的方程为y＝x-5，故16x2-9y2-144＝0 ①y＝x-5 ②消去y，并整理得7x2+90x-369＝0 ③此方程的两个根x1、x2是A、B两点的横坐标，设AB的中心点C的坐标为(x,y)，则x＝＝＝- .C点的坐标满足方程②，故y＝- -5＝-∴｜CF｜＝＝(5+ )＝又设A点坐标为(x1,y1),B点坐标为(x2,y2)，则y1＝x1-5,y2＝x2-5.∴y1-y2＝x1-x2，｜AB｜＝＝＝＝由方程③知x1+x2＝- ,x1·x2＝-∴｜AB｜＝＝＝＝27点评：利用韦达定理及两点间距离公式求弦长核心知识1.双曲线- ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称。