3.1.1 函数的概念ppt课件

√B.A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：
C.A＝R，B＝R，f：x→y＝x－1 2
D.A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ 2x－1
2.函数y＝f(x)的图象与直线x＝2 023的公共点有
A.0个
B.1个
√C.0个或1个
D.以上答案都不对
3.若函数y＝x2－3x的定义域为{－1,0,2,3}，则其值域为_{_－__2_,0_,_4_}_.
问题3 通过对课本中的4个问题的分析，你能说出它们有什么不同点和 共同点吗？ 不同点：课本中的问题1,2是用解析式刻画两个变量之间的对应关系，问 题3是用图象刻画两个变量之间的对应关系，问题4是用表格刻画两个变 量之间的对应关系. 共同点：①都包含两个非空数集，分别用A，B来表示； ②都有一个对应关系； ③对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确 定的数y和它对应. 函数的本质特征
知识梳理
注意点： (1)A，B是非空的实数集. (2)定义域是非空的实数集A，但函数的值域不一定是非空实数集B，而是 集合B的子集. (3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性. (4)函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也 不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系(venn…). (5)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号表示函数.
由图象和表格呈现出来的变量间的对应关系比解析式更直观、形象.
年份y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
恩格尔
系数 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 29.89 29.35 28.57

2.如图所示，不可能表示函数的是（ ）
3.能否称f为集合A到集合B的一个函数?
f
f
18
6
二.函数的三要素
1. 定义域、对应关系、值域 为函数的三要素.
2.两函数相同，当且仅当
.
定义域和对应关系完全相同
练习：下列函数中，与y=x是同一函数的是(C )
例2 函数
的定义域是
.
练习：P97 A组第五题
一.函数的概念
设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关
系f,使对于集合A中的 任意一个数，x在集合B中都有
的唯数一f(确x)定和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的
一叫函个数函定义的数域值,其域中，x{的值f(x取域)|x值∈是范A}围A叫函数的
,
集合B 的子集.
概念深化：
1.看电影的观众构成集合A，电影院的位置看作集合B，能否称f为集 合A到集合B的一个函数？
3.1.1 函数的概念
影院对以上三部电影票价五折优惠，则现在三部电影票价是：
志愿军：31元 熊猫计划：24 爆款好人：25
问题：我们对哪些数进行了运算，如何运算，运算结 果是什么？你能将运算过程抽象成一个函数模型吗？
问题：
能否体感温度看作是关于时间的函数？
以上三个函数例子的有什么共同点？请说出函数的概念.
例3. 已知函数 (1)求函数的定义域.
(2)求
的值.
(3)当 时，求 ，
的值.
例4.
小结： 1.函数概念 2.判断是否是同一函数 3.求函数定义域、函数值及值域
作业：
1.课后练习 2.教材P93 练习A
教材P98 练习B

3
十 八 世 纪
伯努利称其为变量与常量的组合 欧拉认为其是某些变量依赖另一些变量的变化
4
十 九 世 纪
柯西，傅里叶，狄利克雷提出“对应关系”，也就是我们 初中学习到的函数的定义
5
一.知识回顾
初中学习的函数概念是什么？
设在某一变化过程中有两个变量x与y，如果 对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应， 则称y是x的函数。x是自变量，y是因变量。
22
例题六：已知函数 f (x) x 3 1
x2
(1)求该函数的定义域 (2)求当x=-3时该函数的值
答案：1.{x|x≥-3且x≠-2}
2.f (-3)= -1
23
例题五：
(1){x|x≤-3}用区间表示为
答案: (1)(-∞,-3]
(2)数集{x|x>5}用区间表示为
(2)(5,+∞)
(3)数集{x|1<x≤7}用区间表示为
(3)(1,7]
(4)数集{x|x<-2或x≥6}用区间表示为 (4)(-∞,-2)∪[6,+∞)
21
注意：
1.区间是集合 2.区间的左端点必须小于右端点 3.区间中的元素都是实数，可以在数轴上表示出来 4.以－∞或+∞为区间的一端时，这一端必须是小括号
值域也就随之确定了.如果两个函数的 这两个
完全相同就称
15
例题三：判断下列各组中两个函数是否为同一个函数
(1) f ( x) x 与g(x)= x 2;
(2)f ( x) x与g( x) 3 x3 ; (3) f ( x) x 1 x 1与g( x) x2 1; (4) f ( x) x2 2 x 1与g(t) t 2 2t 1.

跟踪训练 4 求下列函数的值域： （1）y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4，5}； （2）y＝ x＋1； （3）y＝11－ ＋xx22； （4）y＝－x2－2x＋3（－5≤x≤－2）。
解析：（1）将 x＝1，2，3，4，5 分别代入 y＝2x＋1， 计算得函数的值域为{3，5，7，9，11}。
（2）因为 x≥0，所以 x＋1≥1， 即所求函数的值域为[1，＋∞）。 （3）因为 y＝11－ ＋xx22＝－1＋1＋2 x2， 所以函数的定义域为 R，
（1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察 法得到。
（2）配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法。 （3）换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的 函数，从而求得原函数的值域。对于 f（x）＝ax＋b＋ cx＋d（其 中 a，b，c，d 为常数，且 ac≠0）型的函数常用换元法。 （4）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分 式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域。
跟踪训练 1 （1）设 M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}， 给出下列四个图形，其中能表示从集合 M 到集合 N 的 函数关系的有（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 （2）下列对应是否是函数？ ①x→3x，x≠0，x∈R； ②x→y，其中 y2＝x，x∈R，y∈R。
解析：（1）
【解析】（1）因为函数有意义当且仅当x＋x＋1≥10≠，0， 解得 x>－1，所以函数的定义域为（－1，＋∞）。 （2）因为函数有意义当且仅当xx≠＋02，≠0， 解得 x≠0 且 x≠－2，因此函数的定义域为（－∞，－ 2）∪（－2,0）∪（0，＋∞）。
教材反思 求函数的定义域
（1）要明确使各函数表达式有意义的条件是什么， 函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为 0；②偶 次根式的被开方数非负；③y＝x0 要求 x≠0。

其中表示同一个函数的是________．(填上所有同一个函数的序号)
【解析】 (1)①错误．函数 f(x)＝x0 的定义域为{x|x≠0}，函数 g(x)＝1 的定 义域是 R，不是同一个函数； ②正确．y＝f(x)，x∈R 与 y＝f(x＋1)，x∈R 两函数定义域相同，对应关系 可能相同，所以可能是同一个函数；③正确．两个函数定义域相同，对应关 系完全一致，是同一个函数．所以正确的个数有 2 个．
(3)要使此函数有意义，则 xx＋ ＋32≥ ≠00，⇒xx≥ ≠－ －32，⇒x≥－3 且 x≠－2. 所以 f(x)的定义域为{x|x≥－3 且 x≠－2}．
探究点 3 同一个函数
(1)给出下列三个说法：
①f(x)＝x0 与 g(x)＝1 是同一个函数；②y＝f(x)，x∈R 与 y＝f(x＋1)，x∈R
1．下列图形中可以表示以 M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以 N＝{y|0≤y≤1}为
值域的函数的图象是
()
解析：选 C.由函数的定义知选 C.
2．(多选)下列两个集合间的对应中，是 A 到 B 的函数的有 A．A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A 中的数的平方 B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A 中的数的开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A 中的数的倒数 D．A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，f：A 中的数的 2 倍
③函数就是两个集合之间的对应关系．
其中正确说法的个数为
()
A．0
B．1
C．2
D．3
(3)已知集合 A＝[0，8]，集合 B＝[0，4]，则下列对应关系中，不能看作是
从 A 到 B 的函数关系的是
()
A．f：x→y＝18x

(3)若直线l与图象始终有且只有一个交点，则是函数;若在定义域内没有
交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.
作者编号：32101
归纳总结
2.判断一个对应关系是否为函数的方法:
作者编号：32101
试确定一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域
函 数
一次函数
y＝ax＋b(a≠0)
二次函数
y＝ax2＋bx＋c (a≠0)
问题
情景
问题1
自变量的集合
定义域
1 ={t|0≤t≤0.5}
一个对应关系、两个非空数集
f 对应
关系
函数值所在集合
S=350t
解析式
1 ={S|0≤S≤175}
2 ={1，2，3，4，
2 ={350，700，1050，
w=350d
问题2
5，6}
1400，1750，2100}
问题3
3 ={t|0≤t≤24}
根据集合的互异性，函数的值域为{0，1}.
作者编号：32101
.
课堂总结
回顾本节课，回答下列问题：
(1)函数的概念是什么？
(2)函数的三要素有呢些？
作者编号：32101
当堂检测
1.下列关于x，y的关系式中，y可以表示为x的函数关系式的是( D )
A.x2+y2=1
B.|x|+|y|=1
C.x3+y2=1
函数的概念
的 任意一个数x ，按照某种 确定 的对应关系f，在集合B
中都有 唯一确定 的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集
合A到集合B的一个函数
三 对应关系
作者编号：32101
y＝f(x)，x∈A

【对点练清】 1．下列对应或关系式中是 A 到 B 的函数的是
A．A＝R ，B＝R ，x2＋y2＝1 B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图： C．A＝R ，B＝R ，f：x→y＝x－1 2
()
D．A＝Z ，B＝Z ，f：x→y＝ 2x－1
解析： A 错误，x2＋y2＝1 可化为 y＝± 1－x2，显然对任意 x∈A，y 值不 唯一．B 正确，符合函数的定义．C 错误，2∈A，在 B 中找不到与之相对 应的数．D 错误，－1∈A，在 B 中找不到与之相对应的数． 答案：B
区间可以用数轴表示，在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点， 用空心点表示不包括在区间内的端点.
定义
名称
区间
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
_[a_，___b_]
{x|a＜x＜b}
开区间
(a，_b_)_
{x|a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，_b_)_
续表
{x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a，b]
函数的定义域． 推理素养.
4.能够正确使用区间表示数集.
பைடு நூலகம்
知识点一 函数的有关概念 (一)教材梳理填空 1．函数的概念：
定义
一般地，设A，B是 非空的实数集 ，如果对于集合A中的 任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 _唯__一__确__定__的__数__y_和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合A到集 合B的一个函数
(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？
提示：(1)这种看法不对． 符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加 的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以 是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变 量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研 究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．

3.1.1 函数的概念
问题1和问题2中的 函数有相同的对应关系,你 认为它们是同一个函数吗?为什么?
S=350t
①
w=350d
②
3.1.1 函数的概念
问题3 下图是北京市2016年11月23日的空气质量指 数(Air Quality Index简称AQI)变化图.如何根据该图 确定这一天内任一时刻t h的空气质量指数(AQI)的 值I?你认为这里的I是t的函数吗？
3.1.1 函数的概念
5、设 A {x | 0 ≤ x ≤ 2}, B { y | 1≤ y ≤ 2}.
下图表示从A到B的函数是( D )
y
y
y
y
2
2
2
2
1
1
1
0 1 2x 0 1 2 x 0
2x 0 1 2x
A
B
C
D
3.1.1 函数的概念
6、下列图象具有函数关系的是_A_和_D_.
y
y
1、函数定义 2、函数的三要素:定义域、值域、对应关系
天,至多不超过6天.如果公司确 定的工资标准是
每人每天350元,而且每周付一次工资,那么你认
为该怎样确定一个工人 每周的工资?一个工人的
工资w(单位:元)是他工作天数d的函数吗?
显然,工资w是一周工作天数d的函数,其对应
关系是
w=350d
②
其中,d的变化范围是数集A2={1,2,3,4,5,6}, w的变 化 范围是数集B2={350,700,1050,1400,1750,2100} 对于数集A2中的任一个工作天数d,按照对应关系 ②,在数集B2中都有唯一确定的工资w与它对应．
①x是自变量,它是对应关系所施加的对象； ②f是对应关系, 它可以是一个或几个解析式, 可以是图象,表格, 也可以是文字描述; ③y=f(x)仅仅是函数符号,不是表示“y等于f 与x的乘积”，f(x)也不一定是解析式.

→s=x 十y;
⑥A={x|—1≤x≤1,x∈R},B={0}, 对应关系f:x→
y=0.
A.①⑤⑥
B.②④⑤⑥
C.②③④
D.①②③⑤
【思维·引】
1.在x 轴上区间[0,2]内作与x 轴垂直的直线，此直线 与函数的图象恰有一个公共点.
2.先看集合A,B 是否为非空数集，再判断非空数集A 中任取一个数，在非空数集 B 中是否有唯一的数与之 对应.
②求f(g(a)): 已 知f(x) 与 g(x), 求 f(g(a)) 的值应遵 循由里往外的原则.
(2)关注点：用来替换解析式中x 的 数a 必须是函数定 义域内的值，否则函数无意义.
习练 ·破
1.若f(x)=ax²—√2,a 为正实数，且f(f(√2))=—√2, 则 a=
2.设f(x)=2x²+2,
函数的定义，所以A 不是函数.B.由 |x—1|+√y²-1=
0得， |x—1|=0,√y²-1=0, 所以x=1,y=±1, 所以
●
( 1 ) 求 f(2),f(a+3),g
—2),g(f(2)). (2)求g(f(x)).
(a)+g(0)(a≠
≠—2),
【加练·固】
若
(x≠—1), 求 f(0),f(1),
f(1—a)(a≠2),f(f(2)) 的值.
课堂达标检测
1.下列图形中，不能确定y 是x 的函数的是
y
3
(
)
3
x
⑥对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受 实际问题的制约.
★习练·破
求下列函数的定义域：
(1
;(2)y=√x- 1·√1—x;
③

ab ab
实数集R可以表示为（-∞，+ ∞）
x≥a
x >a
x≤b
x<b
[a，+∞） （a，+∞） （ -∞ ，b] （-∞，b）
练习：用区间表示下列集合
1.{x|1≤x≤4} 2.{x|-1<x≤2} 3.{x|1≤x<5} 4.{x|a≤x<b}
[1,4] (-1,2] [1,5)
[a,b)
课堂小结 1.理解函数的定义，从数集到数集的一 一对应关系.
2.根据函数的定义，判断是否是函数.
3.求函数的定义域，用区间表示集合.
数，记作：
y=f(x) x∈A．
x叫作自变量,集合A叫作函数的定义域, 集合{f(x)|x∈A} 叫作函数的值域.
思维实验
数集A
输入
x
加工设备 输出
fy
数集B
函数的三要素： 定义域 对应关系
值域
例1 结合函数的定义，判断下列对应是不是从数集
A到数集B的函数.
f
A1
2B
2
4
3
6
(1) 7
f A1
2B
2
4
3
6
4 (2)

A1
2B
2
4
3
(3)
f A1
2B
2
4
3
6
(4) 8
练习 判断下列对应是不是从数集A到数集B的函数.
f
A1
2B
2
4
3
6
7
(1)
不是
f
A1
B
2
1
3
(2)
是
下列图形哪个可以表示函数的图象？