人教高中数学必修一A版《三角函数的概念》三角函数PPT优质教学课件

图象图正象弦特曲征线、余弦曲线、正切曲线
三角函数
三角函数的图象与性质
周 奇期 偶性 性 性质
单调性
最大、最小值
A，ω，φ对函数图象的影响
函数y＝Asinωx＋φ的图象 图象画法五 变点 换法 法
三角函数模型的简单应用
专题训练
专题一 正弦函数与余弦函数的对称性问题 正弦函数 y＝sinx，余弦函数 y＝cosx，在教材中已研究了 它们的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性．除了上述有 关内容之外，近年来有关正弦函数、余弦函数等对称性问题在 高考中有所出现，有必要对其作进一步的探讨．
第五章
人教2019A版必修 第一册
三角函数
小结与复习
知识框图
三 角 函 数
பைடு நூலகம்
公式一～四：α＋2kπk∈Z，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值， 前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号
三角函数的诱导公式
公式五、六：π2±α的正余弦函数值，分别等于α的余弦正弦函数值， 前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号
解得ab＝ ＝－ －41， .
∴a、b 的取值分别是 4、－3 或－4、－1.
[点拨] 本题是先由定义域确定正弦函数 y＝sin(2x＋6π)的 值域，但对整个函数的最值的取得与 a 有关系，故对 a 进行分 类讨论．
设 a≥0，若 y＝cos2x－asinx＋b 的最大值为 0，最 小值为－4，试求 a、b 的值．
[分析] 通过换元化为一元二次函数最值问题求解．
[解析] 原函数变形为 y＝－(sinx＋a2)2＋1＋b＋a42. 当 0≤a≤2 时，－a2∈[－1,0]， ∴ymax＝1＋b＋a42＝0.① ymin＝－(1＋a2)2＋1＋b＋a42＝－4② 由以上两式①②，得 a＝2，b＝－2，舍 a＝－6(与 0≤a≤2 矛盾)．

【解析】射线 = − 3 < 0 经过第二象限，
在射线上的取点 −1, 3 ，
即角 的终边经过点 −1, 3 ，
则 =
−1
2
+
3
2
= 2，
利用三角函数定义可得
sin =


=
3
，cos
2
tan =


=
3
−1
3
2
所以sin =
=


=
−1
2
1
=− ，
2
= − 3；
1
, cos = − 2 , tan = − 3.

（3）在角− 的终边上取一点 , − ，即 = , = −, = ，



= − , −




（4）在角 的终边上取一点

则 −
则 =



,


=−
=

,

−


= −；
−, ，即 = −, = , = ，


当 = 或



时，点的坐标是(, )和(− ， )



一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？
∀ ∈ , 其终边与单位圆交点的横坐标, 纵坐标唯一确定.
新知1：三角函数的定义
（1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作 ，
即 = .
π

转 3 弧度，滚珠 按顺时针方向每秒钟转 6 弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．
(1)求滚珠 ， 第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；

b
cos c
a
tan b
二 课堂探究
探究一：1、已知∠α的度数，如何求角的终边与单位圆交点P的坐标？
2
3
y
M
方法： 过点P向x轴做垂线，得到直角三角形 OPM，可以用锐角三角函数求点P；
PM sin 60 PM 3
OP
2
OM cos60 OM 1
x OP
2
点P的坐标为： -
1 2
人教A版2019高中数学必修第一册
OPM，可以用锐角三角函数求点P；
4 3 4 计算：当∠α变化的时候，点P的坐标情况
r 5 sin ，cos ，tan 由例题2可知，只要知道∠α终边上任意一点P的坐标，就可以求得∠α的三个三角函数值。
5 5 3 归纳：利用单位圆求任意角三角函数值的一般步骤
③求出角的终边与单位圆的交点坐标
即 终边与单位圆的交点P的坐标为
=，所ta以nα (
).
自主学习：课本P177—P179
探究一：1、已知∠α的度数，如何求角的终边与单位圆交点P的坐标？
计算：当∠α变化的时候，点P的坐标情况
我们把正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数. 探究一：1、已知∠α的度数，如何求角的终边与单位圆交点P的坐标？
2、会求∠α的三角函数值；
（3）把点P的纵坐标和横坐标的比值 叫做∠α的正切函数，记作tanα，
自主学习：课本P177—P179
由例题2可知，只要知道∠α终边上任意一点P的坐标，就可以求得∠α的三个三角函数值。
（2）把点P的横坐标x叫做∠α的余弦函数，记作cosα，即x=cosα
M 探究二：1、如图，∠α是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为（x，y），点P与原点的距离为r；

D．第四象限
解析：由sin α<0可知α在第三或第四象限，由tan α>0可知α在第一或第三象
限，综上，α在第三象限． 答案：C
3．已知角
α
的终边与单位圆的交点
P
55，－2
5Hale Waihona Puke 5，则sinα＋cos
α＝(
)
5 A. 5
B．－
5 5
25 C. 5
D．－2 5 5
解析：由三角函数的定义知 sin α＝－255，cos α＝ 55，所以 sin α＋cos α＝－255
所以 1100x＝
x x2＋9 .
又 x≠0，所以 x＝±1，所以 r＝ 10.又 y＝3＞0，
所以 θ 是第一或第二象限角．
当 θ 为第一象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝3，
则 sin θ＋tan θ＝3 1100＋30；
当 θ 为第二象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝－3，
＋
55＝－
5 5.
答案：B
知识点二 诱导公式一 (一)教材梳理填空 (1)终边相同的角的同一三角函数的值 _相__等___. (2)公式
[微思考] 同一三角函数值相等时，角是否一定相等或相差周角的整数倍？ 提示：不一定，如 sin 30°＝sin 150°＝12.
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)若α＝β＋720°，则cos α＝cos β.
3.三角函数值的符号： 如图所示：
正弦： 一二 象限正， 三四 象限负； 余弦： 一四 象限正， 二三 象限负； 正切： 一三 象限正， 二四 象限负． 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． [微思考] 三角函数值在各象限的符号由什么决定？ 提示：由α的终边所在的象限决定．

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预
习
3
探新知
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4
1．单位圆
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②x
叫做
α 的余弦函数，记作 PPT模板：/moban/ PPT背景：/beijing/ PPT下载：/xiazai/ 资料下载：/ziliao/
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探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
忽视对参数的分类讨论致误
典例 角α的终边过点P(-3a,4a),a≠0,则cos α=
.
错解因为 x=-3a,y=4a,所以 r= (-3)2 + (4)2 =5a,于是 cos
4x-3y=0(x≤0)上,不妨令 x=-3,则 y=-4,∴r=5,∴cos α==-5,sin

4
3
4
1
α= =-5,则 cos α-sin α=-5 + 5 = 5.
1
答案:5
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
2
延伸探究 已知角 α 的终边上有一点 P(- 3,m),且 sin α= 4 m,求
的取值范围是(
)
A.(-2,3]
B.(-2,3)
C.[-2,3)
D.[-2,3]
解析:由cos α≤0,sin α>0可知,角α的终边在第二象限或y轴的正半
轴上,所以有 3-9 ≤ 0, 解得-2<a≤3.
+ 2 > 0,
答案:A
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
诱导公式一的应用
例3求下列各式的值:
思维辨析
随堂演练
变式训练1(1)已知α=2,则点P(sin α,tan α)所在的象限是(
)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限
D.第四象限
π
解析:因为α=2∈ 2 ,π ,即α在第二象限,所以sin α>0,tan α<0,则
点P(sin α,tan α)在第四象限.
答案:D
(2)已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a

研究：变量 x, y 与 的关系.
M
问题 2: 如何求角 终边与单位圆的交点P的坐标呢？
追问1：如何研究一般性问题？
不妨设 ，此时点P在第一象限, 过点 P作 PM x轴于M ,
3
在RtOMP中,可得OM 1 ,PM 3 ,
2
2
即x 1,y 3,
2
2
M
所以点
P的坐标为
1 2
,
3 2
三角函数的概念
问题引入
问题：匀速圆周运动是现实生活中周期现象的代表，在前面的 学习中，我们知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模 型，那么匀速圆周运动的运动规律该用什么函数模型刻画呢？
任务：建立一个函数模型，刻画点 P 的位置变化情况
新课学习
如图，以单位圆的圆心O 为坐标原点，以射线OA为 x轴的非负半轴，建立直角坐标系 xOy，点 A的坐标是
正切函数的定义域为 x
x
2
k, k
Z.
追问3： 这个定义相对于锐角三角函数的定义有什么不同呢?
任意角的三角函数是通过角与单位圆交点的坐标定义的，锐角三角函 数是通过直角三角形边长的比值定义的，在单位圆中直角三角形斜边 为1，所以锐角三角函数也可用角的终边与单位圆交点的坐标定义. 此 时终边上的点都在第一象限，因此锐角三角函数值都是正数，而任意 角的三角函数值可以是负数.
把点 P的纵坐标与横坐标的比值 y 叫做 的正切函数，
x
记做tan ，即 y tan x 0.
x
问题3: 正弦函数、余弦函数、正切函数的对应关系各是什么？
实数 (弧度)对应于点P的纵坐标 y——正弦函数； 实数 (弧度)对应于点P的横坐标 x——余弦函数；
当 kk Z 时，角 的终边在 y轴上，这时点P的

[教材解难]
正确认识三角函数线 （1）正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数 的几何表示，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表 示三角函数值的正负，凡与 x 轴或 y 轴同向的为正值，反向的为负 值． （2）三角函数线的画法 定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给 出了角 a 的三角函数线的画法，即先找到 P，M，T 点，再画出 MP， OM，AT. （3）三角函数线的作用 三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三角 函数值的大小，同时它也是以后学习三角函数的图象与性质的基 础．
知识点四 三角函数值在各象限的符号
状元随笔 对三角函数值符号的理解 三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号 导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离 r 总是正值．根据三 角函数定义知： （1）正弦值符号取决于纵坐标 y 的符号； （2）余弦值的符号取决于横坐标 x 的符号； （3）正切值的符号是由 x，y 符号共同决定的，即 x，y 同号 为正，异号为负．
应用诱导公式一时，先将角转化到 0 ～2π 范围内的角，再求 值.对于特殊角的三角函数值一定要熟记．
最新课程标准： 理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，csoins xx＝tan x.
知识点 同角三角函数的基本关系式
状元随笔 （1）利用 sin2α＋cos2α＝1 可实现 α 的正弦、余弦的互化，利 用csoins αα＝tan α 可以实现角 α 的弦切互化． （2）关系式的逆用及变形用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－ cos2α，cos2α＝1－sin2α.
知识点二 正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
三角函数
定义域
sin α

【跟踪训练 3】 若角α的终边与直线 y=3x 重合,且 sin α<0,又 P(m,n)是角α终边
上一点,且|OP|= 10 ,则 m-n=
.
解析:由题,所以n=3m, 又m2+n2=10, 所以m2=1. 又sin α＜0,所以m=-1,所以n=-3. 故m-n=2.
答案:2
考查角度2:三角函数值的符号 【例4】 (2018·石家庄质检)已知sin α＜0,tan α＞0. (1)求角α的集合;
(A) 4 5
(B)- 4 (C) 3
5
5
(D)- 3 5
解析:因为点 A 的纵坐标 yA= 4 ,且点 A 在第二象限,又因为圆 O 为单位圆,所以 A 5
点的横坐标 xA=- 3 ,由三角函数的定义可得 cos α=- 3 .故选 D.
5
5
【例2】 若角θ的终边过点P(-4a,3a)(a≠0). (1)求sin θ+cos θ的值;
(A)1 (B)-1 (C)±1 (D)±2
解析:sin α= 2 = 2 ,x=2,tan α= y = 2 =1.故选 A.
x2 22 x
x2
4.(教材改编题)若sin α＜0且tan α＜0,则α是( D ) (A)第一象限角 (B)第二象限角 (C)第三象限角 (D)第四象限角
解析:由sin α＜0,得α在第三或第四象限;由tan α＜0,得α在第二或第四象 限,故α在第四象限.故选D.
2.弧度制
(1)定义 长度等于 (2)公式
半径长
角α的弧度数公式
角度与弧度的换算 弧长公式
扇形面积公式
的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad.
|α|= ①1°=

（2）∵角θ是第二象限角， ∴ cos<0，根据三角函数的定义可知，
当为第二象限角时，−1 < cos =


< 0. ∴

−
2
< cos < 0， ∴ sin(cos) < 0.
方法归纳
求三角函数值或相关式子的符号的步骤
对于判断含三角函数的代数式的值的符号问题，关键是要搞清楚三角函数中
解析
（1）原式 = cos 8

+
3
+ tan −4

+
4
=

cos
3
+

tan
4
1
2
= +1=
3
.
2
（2）原式 = sin 90° + 2 × 360° + tan 45° + 2 × 360° − cos360° = sin90° +
tan45° − 1 = 1 + 1 − 1 = 1
素养提炼
形式给出时，要根据问题的实际及解题的需要进行分类讨论.
典例讲授
例5、判断下列三角函数值的符号.
（1） sin3 − cos4 − tan5；
（2）sin（cos）（角为第二象限角）.
解析
（1）∵

2
<3<<4<
3
2
< 5 < 2
∵3是第二象限角，4是第三象限角，5是第四象限角，
∴ sin 3>0，cos4 < 0, tan5 < 0. ∴ sin3 − cos4 − tan5 > 0.

+1

(3) y 叫做的正切,记作 y tan(x 0);
x
x
注 : 当x 0,即 k (k Z )时, y tan无意义.
2
x
正弦函数 : y sin x , x R x为角的弧度
三角函数 余弦函数 : y cos x , x R y为角的三角函数值
正切函数 :
y
tan
x
,
x
2
k
(2)
cos2
1 2 sin2
的值是
___
.
分子为1
(3)5cos2 3sin2 的值是 ____ . 暗含：分母为1
1 sin2 cos2
(4)sin cos的值是 ____ . 暗含：分母为1
原式
sin cos sin2 cos2
tan tan2 1
2 5
[变式]已知 sin 2 cos 2,则sin cos的值为 ____ . sin cos
(其中k Z )
公式一（角度制）
sin( k 360) sin cos( k 360) cos tan( k 360) tan
(其中k Z )
巩固：公式一的运用（求值）
[例5]求下列三角函数值 :
(1) cos 9 ; (2) tan 3 (3)sin ( 11 ) (4) tan(1050)
新知：同角三角函数的基本关系
sin2 cos2 1 cos2 1 sin2 (1 sin )(1 sin )
tan sin cos
(sin cos )2 1 2sin cos sin4 cos4 sin2 cos2
求5cos 4 tan的值.
解 : 由sin2 cos2 1得 cos2 1 sin2 1 ( 3)2 16 .

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33
3．化简下列各式： (1)a2sin(－1 350°)＋b2tan 405°－2abcos(－1 080°)； (2)sin－116π＋cos152π·tan 4π.
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34
[解] (1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－ 3×360°)
∴－210°是第二象限角，
∴cos(－210°)＜0，
∴sin 145°cos(－210°)＜0.
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②∵π2＜3＜π，π＜4＜32π，32π＜5＜2π， ∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0， ∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.
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27
判断三角函数值在各象限符号的攻略： 1基础：准确确定三角函数值中各角所在象限； 2关键：准确记忆三角函数在各象限的符号； 3注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象 限判断错误. 提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号.
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②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限， sin α＝－4a5a＝－45，cos α＝－－35aa＝35， 所以2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.
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23
由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤： (1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种： ①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦 函数的定义求出相应三角函数值． ②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sin α ＝yr，cos α＝xr.已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便． (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、 负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论．