1.2.1 函数的概念

栏目 导引
第一章
集合与函数概念
解：要使函数解析式有意义，
x＋1≥0， (1)由 解得 x≥－1 且 x≠2， x－2≠0，
所以函数定义域为{x|x≥－1 且 x≠2}．
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第一章
集合与函数概念
x＋3≠0， (2) －x≥0， x＋4≥0，
且 x≠－3，
x≠－3， 即 x≤0， x≥－4，
1 x≥0 |x| (4)f(x)＝ ，g(x)＝ . x －1x＜0
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第一章
集合与函数概念
【解 】 (1)f(x)的定义 域为 R，g(x)的 定义域为 {x|x≠2}． 由于定义域不同， f(x)与 g(x)不是相等 故 函数． (2)f(x)的定义域为 R，g(x)的定义域为 R，即定义 域相同． 由于 f(x)与 g(x)解析式不相同，则 f(x)与 g(x)不是 相等函数． (3)g(x)＝ x2＝|x|＝f(x)，是相等函数．
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第一章
集合与函数概念
1 【解】 (1)∵f(x)＝ ， 1＋x 1 1 ∴f(2)＝ ＝ ； 1＋2 3 ∵g(x)＝x2＋2， ∴g(2)＝22＋2＝6 1 1 (2)f(g(2))＝f(6)＝ ＝ 1＋6 7
1 (3)f(x)＝ 的定义域为{x|x≠－1}， x＋1 ∴值域是(－∞，0)∪(0，＋∞) g(x)＝x2＋2 的定义域为 R，最小值为 2. ∴值域是[2，＋∞)
集合与函数概念
变式训练
1．判断下列对应关系f是否为从集合A到集合 B的一个函数：
(1)A ＝ {1,2,3} ， B ＝ {7,8,9} ， f(1) ＝ f(2) ＝ 7 ，
f(3)＝8； (2)A＝Z，B＝{－1,1}，n为奇数时， f(n)＝－1，n为偶数时，f(n)＝1； (3)A＝B＝{1,2,3}，f(x)＝2x－1.

(1)判断一个集合 A 到集合 B 的对应关系是不是函数关系的 方法：①A，B 必须都是非空数集；②A 中任意一个数在 B 中 必须有并且是唯一的实数和它对应．
[注意] A 中元素无剩余，B 中元素允许有剩余． (2)函数的定义中“任意一个 x”与“有唯一确定的 y”说明函 数中两变量 x，y 的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不 能是“一对多”.
符号 (－∞,＋∞) _[_a_，__＋__∞__) (_a_，__＋__∞_) (_－__∞_，__a_] (_－__∞_，__a_)
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 函 数 值 域 中 的 每 一 个 数 都 有 定 义 域 中 的 数 与 之 对 应．(√ ) (2)函数的定义域和值域一定是无限集合．( × ) (3)定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了．( √ ) (4)若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元 素．( √ ) (5)区间表示数集，数集一定能用区间表示．( × ) (6)数集{x|x<－3}，其区间表示为(－∞，－3)．( √ )
2．函数 y＝ 1－x＋ x的定义域为( D )
A．{x|x≤1}
B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1，或 x≤0} D．{x|0≤x≤1}
3．已知 f(x)＝x2＋1，则 f(f(－1))＝( D )
A．2
B．3
C．4
D．5
4．已知 f(x)＝2x1＋1，x∈{0，1，2}，则函数 f(x)的值函数符号，f 表示对应关系，f(x)表示 x 对应的函 数值，绝对不能理解为 f 与 x 的乘积．在不同的函数中 f 的具 体含义不同，对应关系可以是解析式、图象、表格等(下节讲函 数这三种表示)．函数除了可用符号 f(x)表示外，还可用 g(x)， F(x)等表示．

§1.2.1函数的概念
(1)一枚炮弹发射后,经过26 s落到地面击中 目标. 炮弹的射高为845 m,且炮弹距地面的 高度(单位: m)随时间t (单位: s)变化的规律 2 是h=130t-5t .
§1.2.1函数的概念
(1)一枚炮弹发射后,经过26 s落到地面击中 目标. 炮弹的射高为845 m,且炮弹距地面的 高度(单位: m)随时间t (单位: s)变化的规律 是h=130t-5t2
§1.2.1函数的概念
1.请回忆在初中我们学过那些函数？ 答:正比例函数：y =kx (k≠0) ； 反比例函数： y k (k 0) x 一次函数：y =kx＋b (k≠0) 二次函数：y =ax2+bx+c (a≠0)
§1.2.1函数的概念
2.什么是函数（初中定义） 一般地,设在一个变化过程中有两个 变量x、y,如果对于x的每一个值,y都有唯 一的值与它对应,那么就说x是自变量,y是 x的函数. 从上面概念知道：可以用函数描述变 量x，y之间的依赖关系。下面我们将 进一步的学习函数及其构成要素。 首先请看这几例子：
义域的交集. ⑥当函数y=f(x)是用表格给出时,函数的定义 域是指表格中实数的集合. ⑦当函数y=f(x)是用图象给出时,函数的定义域 是指图象在x轴上投影所覆盖的实数的集合.
§1.2.1函数的概念
5.设 A { x | 0 ≤ x ≤ 2}, B { x | 1 ≤ y ≤ 2}. 下图表示从A到B的函数是( D)
§1.2.1函数的概念
【2】下列图象具有函数关系的是__和__. A D
y o x y o x y o 1 x
A
y o 1 x
B
y o x
C
y 1 o

例 1.若f ( x)的定义域是[0, 2], 求f (2 x 1)的定义域
练习1. 已知f(x)的定义域为(-3,5],求函数f(3x-2) 的定义域；
题型(二):已知f g x 的定义域, 求f ( x)的定义域
例2 :已知f 2 x 1的定义域( 1,5], 求f ( x)的定义域
例4.已知f ( x 1) x 1, 则f ( x) ________ .
练习 2.已知f ( x 1) x 2 x , 则f(x) _____.
1 x 例5.已 知f ( ) , 则f ( x ) ________ . x 1 x
四.求函数值
例1.已知函数f(x)=3x2-5x+2，则f(2)=_____.
（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间， 表示为[a，b] （2）满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间， 表示为(a，b) （3)满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做 半开半闭区间，表示为[a，b）或（a，b]
定义 {x|a≤x ≤ b} {x|a<x < b} {x|a≤x < b}
x 1, x 0 例5.已知函数 f ( x ) 2 x , x 0
则不等式f ( x ) 2的解集为 _______ .
例5. 画出函数y=|x|的图象.
x , x 0 y | x | x , x 0
y
图象如下：
5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1
ax c n 方法： 把y 化为 y a 的形式 xb xm
x 1 例2.函 数y 的值域为 ________ . x 1

其中x叫做自变量，自变量x的取值范围A叫做定义域（domain），与x的值 相对应的值y叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域（range）。
定义的学习
1) A、B必须是非空的数集；且对于集合A中的任意一个数x，在集合B中只有唯一确定的一个 数f(x)和它对应；
2) f(x)的符号含义：y=f(x)为“y是x的函数”的数学表示，仅是一个函数符号，表示集合A到 集合B的一个特殊对应，并非表示f(x)是f与x相乘 ； 符号f(a)与f(x)既有区别又有联系，f(a)表示当自变量x＝a时函数f(x)的值，而f(x)是自变量x 的函数．一般情况下，f(x)是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值； 3) f 表示对应关系，在不同的函数中，f 的具体含义不一样； 4) 函数必须具备三个要素：定义域A，值域B，对应关系f，缺一不可。即函数有三要素：定 义域（Domain）、值域（Range）、对应法则（Function rule）。
思考以范围吗？分别用 集合A和 集合B表示出来； A={t|0≤t≤26} B={h|0≤h≤845}
(2)对于集合A中的任意一个时间t，按照对应关系，在B中是否都有唯一确定 的高度h和它对应?
从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系，在 数集B中都有唯一确定的高度h和它对应。
区间 [a，b]
不等式 a≤x≤b
a <x<b .
数轴表示
(a，b)
[a，b)
a≤x＜b
区间
(a，b] .
不等式 a＜x≤b
x＜b .
数轴表示
(－∞，b)
.
(a，＋∞)
x＞a －∞＜x＜＋∞ 数轴上的所有点
(－∞，＋∞) .

例2 在下列各组函数中 f ( x)与 g ( x)是否相等？为 什么？
x (1) f ( x) 与g(x)=1; x (2)f ( x) x 与g ( x) ( x ) ;
2 2
(3) f ( x) x 1 1 x与g ( x) 1 x ;
2
(4) f ( x) x 2 x 1与g (t ) t 2t 1.
知识探究（二）
近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出 现了臭氧层空洞问题. 下图中的曲线显示了南极 上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情 况.
S（106km2） 30 26 25 20 15 10 5 0 t（年） 1979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001
其中定义域与对应关系确定了值域（两个函数相等的条件： 定义每一个数都有定义域中的一个数与 正确 之对应 2、函数的定义域和值域一定是无限集合 不正确 3、定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定 正确 4、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一 个 元素 正确 5、对于不同的x , y的值也不同 不正确 6、f (a)表示当x = a时，函数f (x)的值，是一个常量 正确
t A t 0 t 26
h B h 0 h 845
思考3：两个变量通过什么实现对应的？是怎样对应 的 通过关系式h＝130t-5t2实现对应的 对于集合A中任意一个时间t，按照对应关系h＝130t5t2 在数集B中都有唯一的高度h与之对应 思考4：若只有变量t的范围，没有关系式h＝130t-5t2， 能求出高度h的值吗？ 不能 若只有关系式h＝130t-5t2，没有变量t的范围，能确 定高度h的值吗？ 不能 若变量t的变化范围确定，关系式也确定，那么高 度h的值能确定吗？ 能

题型三 求函数的定义域 【例3】 求下列函数的定义域：
(1)y＝xx＋ ＋112－ 1－x； (2)y＝ 2x＋5＋x－ 1 1； (3)y＝ x2－1＋ 1－x2； (4)y＝1＋ 1 1x.
解：(1)要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满
足x1＋ －1x≠ ≥00 ，即xx≠ ≤－ 1 1 ， 所以函数定义域为{x|x≤1 且 x≠－1}． (2)要使函数有意义，需满足
解析：y＝f(x)与y＝f(t)定义域，对应关系都相同，故①正确；f(x)
＝1，x∈R，而g(x)＝x0，x≠0，故不是同一函数；y＝x，x∈[0,1]，与
＝x2，x∈[0,1]的定义域、值域都相同，但不是同一个函数．
答案：B
3．函数 y＝ x3＋－12x0 的定义域是________．
解析：要使函数有意义， 需满足x3＋ －12≠ x>00 ，即 x<32且 x≠－1. 答案：(－∞，－1)∪－1，32
(3)由x|x＋ |－1x≠≠00 ，得|xx≠ |≠－x 1 ， ∴x<0 且 x≠－1， ∴原函数的定义域为{x|x<0 且 x≠－1}．
误区解密 因求函数定义域忽视对二次项 系数的讨论而出错
【例 4】 已知函数 y＝k2x22＋ kx3－kx8＋1的定义域为 R，求实数 k 的值．
x≠0 1＋1x≠0
，即 xx≠ ＋
0 1≠
0
.
即 x≠0 且 x≠－1，
∴原函数定义域为{x|x≠0 且 x≠－1}．
点评：求函数定义域的原则：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次根 式的被开方数(式)为非负数；(3)零指数幂的底数不等于零等．
3．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝x2－36x＋2；

x a x b 写成闭区间
a, b
x a x b 写成开区间
a, b
x a x b 写成左闭右开区间a,b
x a x b 写成左开右闭区间 a,b
另外还有 ,,a,,a,,,b,,b
例 1.已知函数 f x x 1 1
函数值的集合 f x x A 叫做函数的值域，注意，值域是 B 的子集。
指出下列函数的定义域和值域，对应法则
（1） y 2x 1
（2） f x x2 2x 2
（3） g(x) 3 x
（4） h x 1 x 1
区间的概念及其写法介绍
当 a b 得时候
（3）求 f x 1 并指出其中 x 的范围。
例 2.下列函数中，哪些函数与函数 f x x 相同
2
（1） g x x
（2） h x x2
（3） t t2
t
（4） k s 3 s3
1.2.1函数的概念
定义：一般地，设 A, B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中
的任意一个数 x ，在集合 B 中，都有唯一确定的数 f x 和它对应，那么就称 f : A B
为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作
y f x,xA
其中 x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫定义域，与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，
x 2
（1）求 f x 的定义域；
（2）求
f
3 ,
f

2 3

（3）求 f x 1 并指出其中 x 的范围。
例 1.已知函数 f x x 1 1 x 20

实例3 国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生 活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高，表1—1 中恩格尔系数随时间变化的情况表明，“八五”计划以来， 我国城镇居民的生活质量发生了显著的变化.
时间（年） 1991 199 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2
思考5：在数轴上如何表示区间内和区间外的端点 呢？
思考6: 在数轴上如何将a,∞，a,∞,∞,b,∞,b
表示出来？
思考7：对于“∞”，我们把它读作“无穷大”，那么 “+ ∞’和“- ∞”类似地我们该如何来读呢？
思考8：针对思考7，实数集R用区间又如何表示呢？
四、理论迁移
(1)把下列集合用区间表示出来：
自变量的取值范围A叫做函数的定义域；函数值 的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
思考4：定义中的集合A与函数的定义域是什么关系？ 集合B是函数的值域满足什么关系？
定义域=A,值域是集合B的子集.
思考5: 反比例函数y k k≠0的定义域、对应关系、和值域
x 各是什么？请用上面的函数定义描述这个函数.
m<x<n,m≤x<n,m<x ≤n,m ≤ x≤n们分别叫什么名称？这里 的实数m,n又叫做什么名称呢？
思考3：如果把满足不等式m<x ≤n的实数x的集合用 符号 (m,n]表示，那么满足其它三个不等式 的实数x的集合可分别用什么符号表示？
思考6：一个函数由哪几个部分组成？如果给定函数 的定义域和对应关系，那么函数的值域确定吗？两个 函数相等的条件是什么？
定义域、对应关系、值域；
函数的值域由函数的定义域和对应关系所确定；
定义域相同，对应关系完全一致.

2.y = ax2 + bx + c(a 0)
定义域是R，值域是集合B，当a>0时，B={y︱ y≥ 4ac - b2},当a<0时，B={y︱y≤ 4ac - b}2. 对于R4中a 的任意一个数x，在B中都有4a唯一确定的
y = a素x2是+定b构x义+成c域函(a、数0对的) 和应三它关要对应.
3.y 系= k和(值k 域 0. ) x
定义域是A={ xR︱x≠0 }，值域是R.
对于集合A中的每一个x，在R中都有唯一确定的 值 y = k (k 0) 与它对应.
x
用实心点表示包括在区 与函数相间关内的的概端念点—，—用区空间心点表示
不包括在区间内的点.
定义 {x︱a≤x≤b} {x︱a<x<b}
域就是{x︱x<0}.
(2)使根式 x + 2 有意义的实数的集合是{x︱x≥-2}， 使分式 1 成立的实数的集合是{x︱x≠10}.所以，这
10 - x
个函数的定义域就是
{x︱x≥-2} {x︱x≠10}={x︱x ≥-2，且x≠10} .
例2 已知函数 f(x) = 3 - x + x + 1 - 1 （1）求f(-1)，f(0)的值； （2）当-1≤a ≤ 3时，求f(a)的值.
x
A. f ( x) ln x B. f (x) 1
x
C. f (x) | x | D. f ( x) e x
1
解析：y = x的定义域为{x|x>0},而 f ( x) ln x
的定义域也为{x|x>0}.
3．（2008 山东）设函数
f
(
x
)