数的整除特征（一）新课引入：数的整除问题是整数的内容中最基本的问题。
常见数的整除特征如下：（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
（4）若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
（10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！如121，1375。
（12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
如312。
新课讲授：例1．在能被2,3,5整除。
能被2,3,5和5整除的数的特征是个位上的数字必须是0，里填能被3+9+0的和能被3整除，那有几种呢？填1,4,7.符合条件的有2190,2490,2790。
§ 1.3 整除及其性质一、数的整除性在带余除法算式a=bq+r(0≤r<|b|)中，r=0的情况非常重要。
定义 1 设a,b是两个整数，其中b≠0，若存在一个整数q，使q满足a=bq，则称b整除a（或a被b整除）.这时我们也称b为a的约数，a为b的倍数，记作b|a.若不存在这样的整数q，则称a不能被b整除（或b不能整除a），记作b不整除a.性质一（传递性）若c|b，b|a，则c|a.性质二（可加性）若c|a，c|b，则c|(a±b).（请读者自己写出证明过程）性质三（可乘性）若b|a，d|c，则bd|ac.性质四若b能整除a，则|b|能整除|a|.（请读者自己写出证明过程）二、整除的奇偶性不能定义 2 能被2整除的整数叫做偶数；不能被2整除的整数叫做奇数.性质五偶数±偶数=偶数；偶数±奇数=奇数；奇数±奇数=偶数.推论: 若干个偶数之和为偶数；正偶数个奇数之和为偶数；正奇数个奇数之和为奇数.性质六奇数×奇数=奇数；整数×偶数=偶数.推论若干个奇数之积为奇数；若干个偶数之积为偶数.性质七设a为整，n为正整数，则a n与a奇偶性相同.例一求证：7│abcabc（a≠0）.证明：因为abcabc=abc×1000+abc=abc×1001，所以1001│abcabc.又因为7│1001，于是7│abcabc.例2 求证：37│（333777+777333）.证明：因为37×3=111，所以333777=（111×3）777=（37×9）777=37×（37776×9777），那么：37│333777.同理可证：37│777333，所以37│（333777+777333）.例3 若n>1,(n-1)│（n+11)，求n.解：因为（n+11)=(n-1)+12，且(n-1)│（n+11)，所以(n-1)│12.又因为n>1，所以n=2, 3, 4，5,7,13.例4求证：⑴若一个数的末尾数字能被2整除，则这个数能被2整除；⑵若一个数的末尾两位数字能被4整除，则这个数能被,4整除. 证明：⑴设a=10b+c(b是整数，c∈{0,1,2，…，9}）.因为2│10，故2│10b（为什么？）；又因为2│c，所以2│a.⑵设a=100b+cd(b是整数，c,d∈{0,1,2，…，9}).因为4│100，故4│100b；又因为4│cd，所以4│a.例5设9｜62ab427 11｜62ab427，求62ab427解：因为9｜62ab427，故9｜（6+2+a+b+4+2+7）(为什么？)即9｜（a+b+21）,所以9｜（a+b+3）.因为11｜ 62ab427，所以11｜（7+4+a+6-2-b-2）(为什么？) 即11｜(a-b+13),所以11｜(a-b+2).由0≤a,b ≥9,知3≤a+b+3≤21.因为9｜（a+b+3），所以a+b+3=9，或a+b+3=18.于是a+b=6,① 或 a+b=15.②同理a-b=-2,③ 或 a-b=9.④由①，②之一与③，④之一两两搭配成的四个方程组中，只有①和③搭配的方程组的解a=2,b=4符合题意， 所以 62ab427=6 224 427.“例6 对正整数a,若存在正整数b,使b 2=a,则a 叫做完全平均数.类似地，可定义完全立方数等.求证：下列各数都是完全平方数4 356, 443 556，44 435 556， 4 444 355 556， … 证明： 设an= 444n ⋯个 3 555n ⋯个6（n ∈N*),则an=6+5×10+5×102+…+5×10n +3×101+n+4×102+n +4×103+n +…4×12+n=6+50（1+10+…+101n -）+3×101n ++4×102+n （1+10+…+101n -）=6+50×110110n --+3×10（n+1）+4×10(n+2)×110110n --=（2×31101-+n ）2 显然3│（101+n －1）,故2×31101-+n 是正整数.所以an 是完全平方数.例7 7个茶杯，杯口全朝下，每次同时翻转4个茶杯称为一次运动.可否经若干次运动，使杯口全朝下？解： 容易知道，一个茶杯由口朝上翻转为口朝下，需经奇数次翻转.设经k 次运动可使杯口全朝下.此时，每个茶杯翻转的次数依次为：a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6, a 7.因为杯口全朝下，所以 a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6,a 7均为奇数，于是7个茶杯翻转的总次数 a 1 +a 2+a 3+ a 4+ a 5+a 6+a 7=s 必为奇数.另一方面，由每次同时翻转4个茶杯为一次运动，得s=4k ，这与s 为奇数矛盾.所以不可能经过若干次运动使杯口全朝下.例 8 设a 1，a 2...a n 是1,2,3....，n 的任一排列，n 为正奇数，求证：（a 1-1)(a 2-2)....(a n -n ）为偶数。
数的整除性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c整除。
性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
能被2整除的数，个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
能被11整除的数，奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则该数就能被11整除。
例1在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？234，789，7756，8865，3728，8064。
例2从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。
例3六位数是6的倍数，这样的六位数有多少个？例4要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？1、能被3整除的最小三位数是（），能被5整除的最大三位数是（）2，又能被3整除，而且还是5的倍数的最小三位数是（）3、在自然数中，（）既不是质也不是合。
既是奇数又是质数的最小的数是（），（）既是质数又是合数。
4、用三个一位质数组成能同时被3和5整除的三位数，最大的是（），最小的数是（）。
4、自然数a除以自然数b，商是15，那么a和b的最大公约数是（）。
5、三个质数的最小公倍数是42，这三个质数是（）。
6、100以内同时能被3和7整除的最大奇数是（），最大偶数是（）。
1．6539724能被4，8，9，24，36，72中的哪几个数整除？2．个位数是5，且能被9整除的三位数共有多少个？3．一些四位数，百位上的数字都是3，十位上的数字都是6，并且它们既能被2整除又能被3整除。
