数的整除性讲解(一)(通用)

数的整除知识点范文数的整除是数学中一个重要的概念和知识点，它在数论、代数、几何等领域都有广泛的应用。

本文将详细讨论数的整除的定义、性质、判定方法以及一些常见的相关概念和定理。

一、整除的定义和性质在数学中，如果一个整数a能够被另一个整数b整除（即a能够被b整除），则称a是b的倍数，b是a的约数。

用数学符号表示为：如果a是b的倍数，则记作b，a，读作“b整除a”或“a能被b整除”。

如果a不能被b整除，则记作b∤a，读作“b不整除a”或“a不能被b整除”。

整除具有以下几个基本的性质：1.对于任意整数a，a，a（即一个数能够整除它自身）。

2.如果a，b且b，c，则a，c（即如果a能够整除b，b能够整除c，那么a可以整除c）。

3.对于任意整数a，1，a且a，a（即1能够整除任何数，任何数整除它本身）。

4.如果a，b且b≠0，则，a，≤，b，（即如果一个数能够整除另一个非零数，那么它的绝对值要小于等于另一个数的绝对值）。

二、整除的判定方法和性质1.朴素整除判定法：要判断一个数a是否能够被另一个数b整除，可以用以下方法：（1）求出a的所有约数；（2）判断b是否为a的约数之一这种方法的时间复杂度是O(a)。

2.整除的性质：（1）如果a，b且a，c，则a，(bx+cy)，其中x和y是任意整数。

（2）如果a，b且a，c，则a，(b±c)。

（3）如果a，b且a，(b±c)，则a，c。

三、相关概念和定理1. 最大公约数和最小公倍数：最大公约数是指整数a和b的最大正约数，记作gcd(a, b)；最小公倍数是指整数a和b的最小正倍数，记作lcm(a, b)。

两者满足以下性质：（1）gcd(a, b) = gcd(b, a)；（2）如果a能够整除b，则gcd(a, b) = ，a；（3）gcd(a, b) * lcm(a, b) = ，a * b。

2.质因数分解定理：每个大于1的整数都可以唯一地分解为若干个质数的乘积。

数的整除性质整数是我们日常生活中经常会接触到的概念，它们是自然数、负整数和零的总称。

在整数中，我们经常会遇到一种关系，那就是整除。

整除是指一个数能够被另一个数整除，也就是没有余数。

在本文中，我们将探讨数的整除性质，包括整除的定义、性质和应用。

一、整除的定义首先，我们需要明确整除的定义。

设a和b是两个整数，如果存在一个整数c，使得a=b×c，我们说a能被b整除，b能整除a，a是b的倍数，b是a的因数。

简而言之，整除就是没有余数。

例如，6能被3整除，因为6=3×2；而8不能被3整除，因为8÷3=2余2。

因此，8不是3的倍数，3不是8的因数。

二、整除的性质1. 传递性：如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。

证明：假设a=b×m，b=c×n，其中m和n是整数。

将第一个等式代入第二个等式中，得到a=(c×n)×m=c×(n×m)，即a能被c整除。

2. 反对称性：如果a能被b整除，且b能被a整除，则a等于b的相反数或零。

证明：假设a=b×m，b=a×n，其中m和n是整数。

将第一个等式代入第二个等式中，得到a=(a×n)×m=a×(n×m)。

那么，如果n×m等于1，也就是说a=a，那么a等于零；如果n×m等于-1，也就是说a=-a，那么a等于b的相反数。

3. 整除与加减法：如果a能被b整除，那么a加上或减去任意多个b后仍能被b整除。

证明：假设a=b×m，其中m是整数。

我们需要证明a+kb和a-kb都能被b整除，其中k是任意整数。

根据整数的加减法运算性质，a+kb=b×m+kb=b×(m+k)，a-kb=b×m-kb=b×(m-k)。

因此，a+kb和a-kb都能被b整除。

三、整除的应用整除的性质在数论和代数中有着广泛的应用。

数字的整除性在数学中，整除性是指一个数能够被另一个数整除，或者说能够被另一个数整除得到整数的性质。

对于任意两个整数a和b，如果存在一个整数c，使得a = b * c，那么我们可以说a能够被b整除，或者说b 能够整除a。

在本文中，我们将探讨数字的整除性以及与之相关的一些概念和性质。

1. 整除与倍数的关系在讨论整除性之前，我们先来了解一下整数的倍数概念。

如果一个整数a能够被另一个整数b整除，那么a就是b的倍数。

例如，12能够被3整除，所以12是3的倍数。

可以发现，一个数能够被另一个数整除，就意味着它同时也是另一个数的倍数。

2. 整除性的定义与性质对于给定的两个整数a和b，如果存在一个整数c，使得a = b * c，那么我们可以说a能够被b整除。

整除性具有以下性质：- 任意整数a都能够被1和它自身整除。

- 如果a能够被b整除，并且b能够被c整除，则a能够被c整除。

- 如果a能够被b整除，并且b能够被a整除，则a和b相等。

3. 整除与质数在整除性的讨论中，质数是一个非常重要的概念。

质数是指大于1的整数，除了1和它本身之外，没有其他正因数的数。

例如，2、3、5和7都是质数，而4、6和8就不是质数，因为它们都有其他的正因数。

对于任何一个正整数a，如果a不是质数，那么它一定可以被一个大于1且小于a的整数整除。

4. 最大公约数和最小公倍数最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）和最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）是与整除性密切相关的概念。

最大公约数是指两个或多个整数中能够同时整除它们的最大的正数。

最小公倍数是指两个或多个整数中能够同时被它们整除的最小的正数。

最大公约数和最小公倍数的计算方法可以通过质因数分解、辗转相除法等多种方式来进行。

5. 整除性与算术基本定理在整除性的研究中，算术基本定理是一个非常重要的定理。

算术基本定理（Fundamental Theorem of Arithmetic）指出，任何一个大于1的自然数，都可以唯一地表示为质数的乘积。

数的整除性质技巧一、整除的基本法则（一）能被2、4、8、5、25、125 整除的数的数字特性能被2 （或5）整除的数，末位数字能被2（或5）整除；能被4 （或25）整除的数，末两位数字能被4（或25）整除；能被8 （或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除；（二）能被3、9 整除的数的数字特性能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。

（三）能被7 整除的数的数字特性能被7 整除的数，其末一位的两倍与剩下的数之差为7的倍数。

能被7 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被7 整除。

（四）能被11 整除的数的数字特性能被11 整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11 整除。

能被11 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被11 整除。

（五）能被13 整除的数的数字特性能被13 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被13 整除。

二、例题讲解法则下面我们通过几个例题来看下数的整除性质在数学运算中的应用。

例1、一个四位数，分别能被15、12、10除尽，且被这三个数除尽时所得的三个商的和为1365，问这个四位数四个数字的和是多少？（）A.17B.16C.15D.14解析：本题所要求的是这个四位数四个数字的和，按常规思维，我们需要先把这个四位数求出来，但这样会比较浪费时间。

我们要求的是四个数字的和，联系到特殊数的整除判定，只有3和9的倍数是与数字和相关的。

由题目的条件我们知道，这个四位数能被15除尽，那肯定可以被3除尽，所以这个四位数四个数字的和也是3的倍数，结合选项，只有C正确。

例2、甲、乙、丙三人合修一条公路，甲、乙合修6天修好公路的1/3，乙、丙合修2天修好余下的1/4，剩余的三人又修了5天才完成。

共得收入1800元，如果按工作量计酬，则乙可获得收入为（）元A.330元B.910元C.560元D.980元解析：本题属于工程类问题，常规方法是通过列方程来解，但解方程比较困难。

2019数的整除性讲解（一）我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。

数的整除具有如下性质：性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。

例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。

性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。

例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。

性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。

例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。

利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。

为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。

（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。

（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。

（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。

（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。

（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。

其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。

因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除。

因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。

这就证明了（4）。

类似地可以证明（5）。

（6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。

第1讲数的整除特征（一）知识网络数的整除性质主要有：（1）若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。

（2）若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。

（3）几个数相乘，若其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。

（4）若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除。

（5）若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除。

（6）若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。

（7）个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除。

（8）个位上是0或者5的数都能被5整除。

（9）若一个整数各位数字之和能被3整除，则这个整数能被3整除。

（10）若一个整数末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

（11）若一个整数末尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。

（12）若一个整数各位数字之和能被9整除，则这个整数能被9整除。

重点·难点数的整除概念、性质及整除特征为解决一些整除问题带来了很大方便，在实际问题中应用广泛。

要学好数的整除问题，就必须找到规律，牢记上面的整除性质，不可似是而非。

学法指导能被2和5，4和25，8和125整除的数的特征是分别看这个数的末一位、末两位、末三位。

三位。

我们可以综合推广成一条：我们可以综合推广成一条：我们可以综合推广成一条：末末n 位数能被（或）整除的数，整除的数，本身必能被本身必能被（或）整除；反过来，末n 位数不能被（或）整除的数，本身必不能被（或）整除。

例如，判断253200、371601能否被16整除，因为，所以只要看各数的末四位数能否被16整除。

学习这一讲知识要学会举一反三。

经典例题[例1]在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数尽可能小。

思路剖析这个六位数分别被3、4、5整除，故它应满足如下三个条件：（1）各位数字和是3的奇数；（2）末两位数组成的两位数是4的倍数；的倍数；（3）末位数为0或5。

数的整除性质数的整除性质是数学中一个非常基础且重要的概念。

整除是指一个数能够被另一个数整除，即能够整除的数叫做除数，能够被整除的数叫做被除数。

在数的整除性质中，有一些基本的定理和规律，我们一起来探讨。

一、整除的定义在数学中，如果存在整数a和b，使得b乘以a得到的结果等于一个整数c，那么我们就说b能够整除c。

这个定义可以用符号表示为：b|c，读作“b整除c”。

例如，4能够整除12，我们可以表示为4|12。

二、整除的性质1. 传递性：如果a能够整除b，b能够整除c，那么a一定能够整除c。

例如，如果2能够整除4，4能够整除8，那么2一定能够整除8。

2. 自身整除：任何一个数都能够整除自身。

例如，5能够整除5。

3. 1整除任何数：1能够整除任何一个数。

例如，1能够整除8。

4. 零的整除性：任何一个数都能够整除0。

例如，任何数都能够整除0。

5. 任何一个数都能够整除1：任何一个数都能够被1整除。

例如，任何数都能够被1整除。

6. 如果a能够整除b，那么a能够整除b的倍数。

例如，如果3能够整除6，那么3一定能够整除6的倍数12。

7. 如果a能够整除b，那么b能够整除a的因数。

例如，如果2能够整除4，那么4一定能够整除2的因数。

三、整除和最大公因数最大公因数是指两个或多个整数中最大的能够整除这些整数的数。

最大公因数可以通过求解数的因数来得到。

例如，求解12和15的最大公因数，我们可以找到12的因数：1、2、3、4、6、12，15的因数：1、3、5、15，他们的公因数有1和3，其中最大的公因数是3。

最大公因数有以下的性质：1. 最大公因数是两个数的公因数中最大的一个。

2. 如果最大公因数为1，那么这两个数互质。

3. 如果最大公因数为a，那么这两个数的倍数中最大的一个为a。

四、整除与质数质数是指大于1的正整数，除了1和本身，没有其他的因数。

质数和整除有着密切的关系。

1. 质数只能被1和自身整除。

2. 任何一个数都可以被质数整除。

数的整除性质与应用数的整除性质是数学中的重要概念之一，它描述了一个数能够整除另一个数的性质。

在日常生活和数学应用中，我们经常用到数的整除性质来解决问题。

本文将对数的整除性质进行详细介绍，并探讨它在实际应用中的作用。

一、整数的除法定义与整除性质在数学中，我们将一个整数a除以另一个非零的整数b，如果能够得到一个整数q，使得a = bq，我们就称a能够被b整除，或者说b能够整除a，记作b|a。

整除性质主要包括以下几个方面：1. 传递性: 如果a能够被b整除，b能够被c整除，那么a也能够被c整除。

2. 常数倍数性质: 如果a能够被b整除，那么对于任意非零常数k，ka也能够被kb整除。

3. 相等性: 一个数能够被自身整除，即对于任意非零整数a，a能够被a整除。

4. 整除的基本性质: 如果a能够被b整除，那么a的所有倍数也能够被b整除。

二、整除的应用数的整除性质在实际应用中起着重要的作用，以下是一些常见的应用场景：1. 分数化简在分数的运算中，我们经常需要对分数进行化简。

利用整除性质可以帮助我们快速找到最大公约数，从而将分数化简为最简形式。

例如，对于分数12/18，我们可以通过求12和18的最大公约数来进行化简。

由于18能够整除12，所以12/18可化简为2/3。

2. 整数的因数与倍数在数的因数和倍数问题中，整除性质是一个重要的工具。

我们可以利用整除性质判断一个数是否是另一个数的因数，或者判断两个数是否互为倍数。

例如，判断一个数是否是另一个数的因数时，我们只需要通过整除性质将这两个数相除，如果余数为0，则该数是另一个数的因数。

3. 素数与合数素数是指只有1和自身两个因数的数，而合数是指除了1和自身之外还有其他因数的数。

利用整除性质，我们可以判断一个数是否为素数。

例如，判断一个数n是否为素数时，我们只需要将n与2到√n之间的所有整数相除，如果都无法整除，则n为素数。

因为如果n能够被大于√n的数整除，那么一定能够被小于√n的数整除。

第4讲数的整除性〔一〕我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。

数的整除具有如下性质：性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。

例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。

性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。

例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。

性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。

例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。

利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。

为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：〔1〕一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。

〔2〕一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。

〔3〕一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。

〔4〕一个数的末两位数如果能被4〔或25〕整除，那么这个数就能被4〔或25〕整除。

〔5〕一个数的末三位数如果能被8〔或125〕整除，那么这个数就能被8〔或125〕整除。

〔6〕一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。

其中〔1〕〔2〕〔3〕是三年级学过的内容，〔4〕〔5〕〔6〕是本讲要学习的内容。

因为100能被4〔或25〕整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4〔或25〕整除。

因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4〔或25〕整除，这个数就能被4〔或25〕整除。

这就证明了〔4〕。

类似地可以证明〔5〕。

〔6〕的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。

数字的整除性数字的整除性是数学中一个非常基础而重要的概念。

整除性是指一个数能够被另一个数整除，即没有余数。

在这篇文章中，我们将探讨数字的整除性及其相关性质。

了解整除性的概念和性质对于数学学习和解决实际问题都具有重要意义。

1. 整除性的定义整除性是数学中的基本概念之一。

对于两个整数a和b，如果存在一个整数c使得a = b * c，我们就称a能够被b整除，也可以表达为b是a的因数，而a是b的倍数。

例如，4能够被2整除，因为4 = 2 * 2。

2. 整除性的性质整除性具有一些重要的性质，这些性质为我们解决实际问题提供了方便。

2.1 传递性：如果a能够被b整除，而b能够被c整除，则a能够被c整除。

例如，如果4能够被2整除，2能够被1整除，那么4也能够被1整除。

2.2 唯一性：如果a能够被b整除，而a也能够被c整除，且b和c互质（最大公约数为1），则b能够被c整除。

例如，如果4能够被2整除，4也能够被3整除，而2和3互质，那么2能够被3整除。

2.3 整除与因数的关系：如果a能够被b整除，则b一定是a的因数。

例如，如果6能够被2整除，那么2是6的因数。

3. 整除的运用整除性在数学中广泛运用，并可以帮助我们解决实际问题。

3.1 判断整除性：通过判断一个数是否能够被另一个数整除，我们可以得出一些结论。

例如，如果一个数字的个位数为0、2、4、6、8中的任意一个，那么这个数一定能够被2整除。

3.2 最大公约数：整除性可以用来求解两个或多个数的最大公约数。

最大公约数是指两个或多个数中同时整除这些数的最大正整数。

例如，求解12和18的最大公约数，可以通过12能够被6整除，18能够被6整除，所以6是它们的最大公约数。

3.3 最小公倍数：整除性也可以用来求解两个或多个数的最小公倍数。

最小公倍数是指能够同时整除这些数的最小正整数。

例如，求解4和6的最小公倍数，可以通过4能够被2整除，6能够被2整除，所以2是它们的最小公倍数。

数字的整除性质数字的整除性质是数学中的一个重要概念，它描述了一个数能否被另一个数整除。

在这篇文章中，我们将讨论整数除法的基本原理，并探讨一些与整除性质相关的重要概念和性质。

1. 整数除法的基本原理整数除法是指将一个整数（被除数）除以另一个整数（除数），得到的商也是整数的运算过程。

在整数除法中，如果被除数能够被除数整除，那么我们说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。

例如，当10除以2时，10能够被2整除，所以2是10的因数，10是2的倍数。

2. 整除与余数在整数除法中，有两个重要的概念，即整除和余数。

当一个整数能够被另一个整数整除时，我们称它们之间存在整除关系。

例如，12能够被3整除，所以3整除12。

而当一个整数不能被另一个整数整除时，我们说它们之间不存在整除关系。

例如，13不能被5整除，所以5不能整除13。

除了整除关系，整数除法还有一个关联的概念，即余数。

余数是指在整数除法中，被除数除以除数后所得到的剩余数。

例如，当17除以5时，17除以5的商是3余2，即17 = 3 * 5 + 2。

3. 整除性质与判定在实际问题中，我们常常需要判定一个数是否能被另一个数整除。

为了方便判定，我们可以利用一些整除性质。

以下是几个常见的整除性质：3.1. 偶数的整除性：如果一个整数的个位数字是0、2、4、6、8中的任意一个，那么它一定能被2整除。

3.2. 5的整除性：如果一个整数的个位数字是0或者5，那么它一定能被5整除。

3.3. 10的整除性：如果一个整数以0结尾，那么它一定能被10整除。

3.4. 除法性质：如果一个整数能被另一个整数整除，那么它也能被这个整数的约数整除。

例如，如果一个整数能被6整除，那么它一定也能被2和3整除。

4. 应用举例下面是一些应用整除性质的例子：4.1. 判断一个数能否被2整除：只需要判断该数的个位数字是否是0、2、4、6、8中的一个。

4.2. 判断一个数能否被3整除：只需要将该数的所有位上的数字相加，然后判断和是否能被3整除。

数字的整除性与分析我们生活在一个数字的世界里，数字无处不在，它们贯穿着我们的日常生活。

在数学领域中，我们早已熟悉了数字的运算规则和性质。

其中一个重要的性质就是整除性，即一个数能够被另一个数整除。

本文将深入探讨数字的整除性及其分析。

一、整除性的定义和性质在数学中，如果一个整数 a 能够被另一个整数 b 整除，我们称 a 是b 的倍数，b 是 a 的约数。

符号“a | b”表示 a 可以整除 b。

例如，2 | 6，表示 2 可以整除 6。

在整除性中有一些重要的性质：1. 对于任意的整数 a，a 可以整除 0，即 a | 0。

2. 任何整数 a 都可以整除它本身，即 a | a。

3. 一个数 a 能够整除另一个数 b，同时 b 能够整除另一个数 c，则 a 能够整除 c，即如果 a | b 且 b | c，则 a | c。

4. 一个数 a 能够整除另一个数 b，同时 a 能够整除另一个数 c，则 a 能够整除 b 和 c 的线性组合，即如果 a | b 且 a | c，则对于任意的整数m、n，都有 a | (mb + nc)。

二、整除性的应用1. 素数判断：一个大于 1 的整数如果除了 1 和它本身之外没有其他约数，那么它就是素数。

通过判断某一个数是否能够被小于它的数整除，可以快速判断该数是否是素数。

例如，为了判断一个数 23 是否是素数，我们只需要验证 23 能否被小于 23 的素数整除。

2. 最大公约数与最小公倍数：对于两个整数 a 和 b，它们的最大公约数（Greatest Common Divisor，简称 GCD）表示能够同时整除 a 和 b 的最大正整数；最小公倍数（Least Common Multiple，简称 LCM）表示同时是 a 和 b 的倍数的最小正整数。

通过整除性的概念，我们可以快速求解两个数的最大公约数和最小公倍数，进而解决应用问题。

3. 整除关系的推导：通过整除性及其性质，我们可以进行一系列整除关系的推导。

数的整除性讲解一 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】第4讲数的整除性（一）我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。

数的整除具有如下性质：性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。

例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。

性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。

例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。

性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。

例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。

利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。

为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。

（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。

（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。

（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。

（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。

（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。

其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。

因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除。

因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。

数字的整除特性1．我们已学过奇数与偶数，我们正是以能否被2整除来区分偶数与奇数的。

因此，有下面的结论：末位数字为0、2、4、6、8的整数都能被2整除。

偶数总可表为2k，奇数总可表为2k＋1（其中k为整数）。

2．末位数字为零的整数必被10整除。

这种数总可表为10k（其中k为整数）。

3．末位数字为0或5的整数必被5整除，可表为5k（k为整数）。

4．末两位数字组成的两位数能被4（25）整除的整数必被4（25）整除。

如1996＝1900＋96，因为100是4和25的倍数，所以1900是4和25的倍数，只要考察96是否4或25的倍数即可能被25整除的整数，末两位数只可能是00、25、50、75。

能被4整除的整数，末两位数只可能是00，04，08，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，84，88，92，96，不可能是其它的数。

5．末三位数字组成的三位数能被8（125）整除的整数必能被8（125）整除。

由于1000＝8×125，因此，1000的倍数当然也是8和125的倍数。

如判断765432是否能被8整除。

因为765432＝765000＋432显然8|765000，故只要考察8是否整除432即可。

由于432＝8×54，即432能被8整除，所以765432能8被整除。

能被8整除的整数，末三位只能是000，008，016，024，…984，992。

由于125×1＝125，125×2＝250，125×3＝375；125×4＝500，125×5＝625；125×6＝750；125×7＝875；125×8＝10000故能被125整除的整数，末三位数只能是000，125，250，375，500，625，750， 875。

6．各个数位上数字之和能被3（9）整除的整数必能被3（9）整除。

数字的整除性初步了解数字的整除性质数字的整除性是数学中一个基本的概念，它描述了一个数能否被另一个数整除的性质。

在我们日常生活和数学学科中，整数的整除性质被广泛应用，帮助我们解决各种问题和计算。

本文将初步探讨数字的整除性质，并介绍一些相关概念和规则。

一、整除性的定义与性质在数学中，我们说整数a能够被整数b整除，当且仅当存在另一个整数c，使得a = b ×c。

这里，我们可以把a称为被除数，b称为除数，c称为商。

例如，当a = 10，b = 2时，c = 5，因为10可以被2整除。

在整除性中，我们可以得到以下几点性质：1. 若一个整数a能够被整数b整除，那么a一定是b的倍数。

即a =b × c，c为整数。

例如，10能被2整除，因此10是2的倍数。

2. 若一个整数能够被其他整数整除，那它一定能被这个数的所有因数整除。

例如，30能被2整除，因为2是30的因数。

3. 若一个整数能够被某个整数整除，那它一定能被这个整数的倍数整除。

例如，10能被2整除，那它也能被2的倍数4整除。

二、整数的整除规则在我们的日常生活和数学学科中，数字的整除性质被广泛应用于各种计算和问题解决中。

掌握一些整除规则可以帮助我们更好地理解和应用整除性质。

1. 偶数的整除性：偶数能够被2整除，即偶数的因数中一定包含2。

例如，4能被2整除，所以4是一个偶数。

2. 十的整除性：一个数能够被10整除，当且仅当它的个位上是0。

例如，30能被10整除，因为个位上是0。

3. 末位数字的整除性：如果一个数的末位数字是偶数，那么它一定能被2整除。

如果一个数的末位数字是5或0，那么它一定能被5整除。

例如，25的末位是5，所以25能够被5整除。

4. 数字和的整除性：如果一个数各位上的数字之和能够被3整除，那么该数能够被3整除。

例如，15的各位数字之和是1+5=6，6能被3整除，所以15能够被3整除。

总结起来，数字的整除性是一个广泛应用的数学概念，在日常生活和学习中具有重要意义。

数的整除性了解整除的概念和判断方法整除是数学中常见的概念，它用来描述一个数能够被另一个数整除的性质。

在本文中，我们将深入探讨整除的概念和判断方法。

一、什么是整除？整除是指一个数能够被另一个数整除，也就是说，当一个数除以另一个数时，得到的商是整数。

例如，当我们说「6可以被2整除」时，意思是6除以2的商是整数3。

在整除的概念中，有两个重要的要素，分别是被除数和除数。

被除数是需要被整除的数，而除数则是用来除以被除数的数。

在上面的例子中，6是被除数，2是除数。

二、整除的判断方法那么，如何判断一个数能否被另一个数整除呢？下面我们将介绍几种常见的判断方法。

1. 除法运算法则最常用的判断方法是使用除法运算法则。

当被除数除以除数能够得到一个整数的商时，那么被除数就能被除数整除。

例如，当我们计算12除以3时，得到的商是4，而4是一个整数，因此我们可以说12可以被3整除。

2. 余数判断法则除法运算法则是最常见和直观的判断方法，但有时我们也可以使用余数判断法则来判断整除性。

当被除数除以除数得到的余数为0时，我们可以判断被除数能够被除数整除。

例如，当我们计算15除以5时，得到的余数是0，因此我们可以说15可以被5整除。

三、整除的性质除了了解整除的概念和判断方法，我们还应该了解整除的一些重要性质。

1. 传递性整除关系具有传递性，也就是说，如果一个数能够被另一个数整除，而这个另一个数又能够被第三个数整除，那么第一个数也能被第三个数整除。

例如，如果6能够被2整除，而2又能够被1整除，那么我们可以得出结论：6能够被1整除。

2. 1的整除性每个数都能被1整除。

这是因为对于任意一个数n，我们都可以将n除以1得到n本身，而n本身是一个整数。

3. 0的整除性0不能被除数整除，因为对于任意一个数n（n≠0），当我们将n除以0时，无法得到一个确定的商，所以没有意义。

四、小结在本文中，我们深入了解了整除的概念和判断方法。

整除是指一个数能够被另一个数整除，也就是两个数之间存在整除关系。

数的整除性（一）数的整除性质主要有：（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。

（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。

（3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。

（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。

（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。

（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。

（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。

（4）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。

（5）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

（7）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。

（8）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。

11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！（9）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。

如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

（10）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。

小学数学练习认识数字的整除性在数学学科中，整除性是一个基本的概念。

了解数字的整除性不仅有助于理解数的性质，还能够为解决数学问题提供有效的方法。

本文将介绍小学数学中关于数字整除性的基本知识及其应用。

一、什么是整除性在数字中，如果一个数（被除数）可以被另一个数（除数）整除，即除数可以整除被除数，那么我们就说这两个数之间存在整除关系，或者说被除数是除数的倍数。

例如，30可以被5整除，我们可以说30是5的倍数。

二、整除性的性质1. 能够整除的数叫做因数，而被整除的数叫做倍数。

例如，5是30的因数，30是5的倍数。

2. 每个数都可以被1整除，同时也可以被自身整除。

例如，30既可以被1整除，也可以被30整除。

3. 如果一个数能被另一个数整除，那么这个数也能被这个数的因数整除。

例如，30可以被2整除，而2是30的因数，所以30也可以被2的因数整除。

4. 如果一个数能被另一个数整除，那么这个数的倍数也能被这个数整除。

例如，5可以被30整除，那么30的任意倍数（例如60、90等）也都能被5整除。

三、整除性的判定方法1. 根据整除性的定义，我们可以使用除法进行判定。

如果一个数能够整除另一个数，那么它们的除法运算结果将是整数而非小数或分数。

2. 另一种方法是判断被除数中是否包含除数的所有因数。

如果被除数包含除数的所有因数，那么它们之间存在整除关系。

四、整除性的应用1. 在小学数学的学习中，整除性常常应用在寻找数的因数和倍数的问题中。

例如，我们需要找到一个数的所有因数时，可以逐个尝试所有小于该数的正整数，将能够整除该数的数字作为因数。

2. 整除性还可以应用在分解质因数的问题上。

分解质因数是指将一个数写成若干个质数相乘的形式。

通过找到一个数的所有因数，并检查这些因数是否为质数，我们可以得到该数的全部质因数。

3. 整除性还与最大公约数和最小公倍数的计算有关。

最大公约数是指多个数中最大的能够同时整除所有给定数的数，而最小公倍数是指多个数中最小的能够被所有给定数同时整除的数。

数的整除认识整除概念整数是我们日常生活中经常接触到的一种数，而整除也是我们在学习数学时常常遇到的一个概念。

整除是指一个数能够整除另一个数，也就是说被除数除以除数得到的商是整数，没有余数。

在本文中，我们将详细介绍整除的概念和相关性质。

一、整除的定义在数学中，如果一个整数a可以被另一个整数b整除，那么我们称a是b的倍数，b是a的约数，同时也可以说b整除a，记作b|a。

如果一个整数a不是b的倍数，那么我们称a不能被b整除，记作b∤a。

二、整除的基本性质1. 任何整数a都可以整除自身，即a|a。

2. 对于任何整数a，0都可以整除它，即0|a。

3. 任何整数a都可以整除0，即a|0，但除数不能为0。

4. 如果a|b，且b|c，那么a|c。

即如果a能整除b，b能整除c，那么a一定能整除c。

5. 如果a|b，且a|c，那么a|(bx+cy)，其中x和y是任意整数。

即如果a能整除b和c，那么a一定能整除它们的线性组合。

三、整除的性质证明对于整除的性质，我们可以通过数学推理和举例来进行证明。

以下是两个具体的例子。

例1：证明：如果a|b，且a|c，那么a|(bx+cy)，其中x和y是任意整数。

解：根据整除的定义，a|b表示存在整数k，使得b=ak；a|c表示存在整数m，使得c=am。

那么bx+cy=(ak)x+(am)y=a(kx+my)，其中kx+my也是一个整数。

因此a能整除bx+cy，即a|(bx+cy)。

例2：证明：如果a|b，且b|c，那么a|c。

解：根据整除的定义，a|b表示存在整数k，使得b=ak；b|c表示存在整数m，使得c=bm。

将b代入第二个等式中，得到c=(ak)m=a(km)，其中km也是一个整数。

因此a能整除c，即a|c。

由例子的证明可以看出，整除的相关性质是可以通过严格的数学推理进行证明的，这些性质在解决数学问题和数学推理中起着重要的作用。

四、整除的应用整除的概念在数学中是非常重要的，它在整数的因子和倍数、整数的性质分析以及数的约简等方面都有广泛的应用。

深入理解数的整除性数的整除性是数学中一个重要的概念，它涉及到数的除法运算和整数的性质。

了解和理解数的整除性对于解决许多数学问题以及应用于实际生活中的计算和推理都至关重要。

本文将深入探讨数的整除性的概念、性质以及应用。

一、数的整除性的概念数的整除性指的是一个数能够被另一个数整除，即余数为零。

具体而言，如果有整数a和b，且b不等于零，那么a能够被b整除，记作a能够整除b，可以表示为b|a。

例如，6能够被3整除，可以表示为3|6。

二、数的整除性的性质1. 任何数都能被1整除：对于任何整数a，有1|a。

2. 任何数都能被自身整除：对于任何整数a，有a|a。

3. 如果a能够整除b，而b能够整除c，则a能够整除c：如果a|b 且b|c，那么a|c。

这是因为如果a能够整除b，意味着a是b的约数，而b能够整除c，意味着b是c的约数，那么a也是c的约数，即a能够整除c。

4. 如果a能够整除b且b能够整除a，则a与b的绝对值相等：如果a|b且b|a，那么|a|=|b|。

这是因为整除的定义要求余数为零，而如果a能够整除b且b能够整除a，意味着a和b的余数都为零，所以它们的绝对值相等。

5. 如果a能够整除b且b不等于0，则|a|小于等于|b|：如果a|b且b≠0，那么|a|≤|b|。

这是因为整除的定义要求余数为零，而b不等于0意味着b无限制地向左或向右扩大，所以|a|≤|b|。

6. 两个数的公约数的绝对值一定是它们的最大公约数的绝对值：如果d是a和b的公约数，那么|d|是a和b的最大公约数。

这是因为公约数是能够整除a和b的数，而最大公约数是所有公约数中绝对值最大的那个数。

三、数的整除性的应用1. 素数判定：利用整除性的性质，可以很容易地判断一个数是否为素数。

如果一个数只能被1和自身整除，即它的约数只有两个，那么它就是素数。

例如，判断17是否为素数，我们可以依次尝试用2、3、4、5、6、7、8、9、10等数去整除17，发现除了1和17本身之外，没有其他数能够整除17，所以17是素数。