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③ 在区间(c,d)上______(有/无)零 点；f(c).f(d) _____ 0（＜或＞）．
如果函数 y f (x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，
并且有 f (a) f (b) 0，那么，函数 y f (x)在区间a,b内有零点，
即存在c a,b，使得 f (c) 0，这个c也就是方程 f (x) 0的根。
y
函
.
2
.
.y
.
数 的
.1
.
－1 0 1 2 3 x
2
1. .
图
－1 －2
. －1 0 1 2 x
－3
象
. －4
方程的实数根x1=－1,x2=3
函数的图象 与x轴的交点
(－1,0)、(3,0)
x1=x2=1 (1,0)
x2－2x+3=0 y= x2－2x+3
y
.5 . .4 . 3.
2 1
－1 0 1 2 3 x
例题 2 求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。
解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3-1） 和图象（图3.1—3）
x
1
2
3
4
56
7
8
9
f（x） －4 －1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
由表3-1和图3.1—3可知 y
y
y
0a y 0a
bx bx
0a y
0a
bx bx
思考：若函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零 点，一定能得出f(a)·f(b)<0的结论吗？
y
bbb bb
b
0 a b b bb bb x
• 如果函数 y=f(x) 在[a,b]上,图象是连续
的，并且在闭区间的两个端点上的函数 值互异即f(a)f(b)﹤0,且是单调函数那么， 这个函数在(a,b)内必有惟一的一个零点。
Living room
bedroom
bathroom
kitchen
study
home
shelf
bed
fridge
phone
sofa
TV
table
desk
table
f(2)<0,f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，14
说明这个函数在区间(2,3)内
12 10
有零点。
8
由于函数f(x)在定义域
6 4
(0,+∞)内是增函数，所以 2
它仅有一个零点。
0 －2
－4
. . . . . .. .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
.
x
－6
试一试：
你能判断出方程 ㏑x = - x2 + 3 实数根的个数吗？
代数法
图像法
例1：求函数f（x）=lg(x-1)的零点
求求下列函函数数的零零点点的步骤：
（1）f (x) x2 5x 6
2和3
（2(）1f)(令x) 2fx(x1)=0;
0
(2)解方程f(x)=0；
(3)写出零点
问题探究
问题 4：函数 y观＝f察(x)在函某数个区的间上图是象否一定有零点？ ①在区怎样间的(条a件,b下)，上函_数_y_＝_f_(x_)(一有定有/无零点)零？ 点； 探究f:(（aⅠ).）f(观b察)二__次_函_数_f0(x（) ＜x2 或2x ＞3的）图象．：
无实数根 无交点
问题3 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元 二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系，
上述结论是否仍然成立？
判别式△ = b2－4ac
△＞0
方程ax2 +bx+c=0 两个不相等
(a>0)的根
的实数根x1 、x2
y
函数y= ax2 +bx
+c(a>0)的图象
x1 0
x2 x
即f(1a)2fa(b)2 0是0 否成立。
经代a 入1计算得 f (2) In2 1 0 ，
f
(3)
In3
2 3
0
f选(2B) f (3) 0，
f (x)在2,3内有零点。
选 B
反思小结:
1．函数零点的定义 2．个数的判断
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○1 在区间(-2,1)上有零点______； f (2) _______， f (1) _______,
② 在区间(b,c)上______(有/无)零 点；ff((b2))·.ff((c1))_______0_（_＜_或0＞（）． ＜或＞）．
○2 在区间(2,4)上有零点______； f (2) · f (4) ____0（＜或＞）．
△=0 有两个相等的 实数根x1 = x2
y
0 x1 x
△＜0 没有实数根
y
0
x
函数的图象 与 x 轴的交点
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
没有交点
函数的零点定义：
对于函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。
等价关系
方程f(x)=0有实数根
零点的求法
函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
A．1, 2
B． 2, 3
x
C．1,
1 e
和3,
4
D． e,
2．若方程2ax2 x 1 0在0,1内恰有一解，则a 的取值范围（B ）
A．a 1 B．a 1 C．1 a 1 D．0 a 1
分1析．：分若析 ：f (判x)断 区2a间x2a,xb1是在否0为,1f内(x恰) 零有点一所解在，的则区 间f (0，) 只f 要(1)判断0。
1
练习：
1．函数 f (x) Inx 2 的零点所在的大致区间是（ B ）
A．1, 2
B． 2, 3
x
C．1,
1 e
和3,
4
D． e,
2．若方程2ax2 x 1 0在0,1内恰有一解，则a 的取值范围（B ）
A．a 1 B．a 1 C．1 a 1 D．0 a 1
练习：
1．函数 f (x) Inx 2 的零点所在的大致区间是（ B ）
2.4.1 函数的零点 课件
问题·探究
问题 1 求下列方程的根．
（1） 3x 2 0； （2） x2 5x 6 0 ； （3） ln x 2x 6 0
问题·探究
问题2 求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函 数图像的简图，并写出函数的图象与x轴的交点坐标
方程 x2－2x－3=0 x2－2x+1=0 函数 y= x2－2x－3 y= x2－2x+1
