四川省雅安中学2018_2019学年高一数学下学期期中试题
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雅安中学2018-2019学年下期高2018级高一期中考试
数 学 试 题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1.设向量＝（2，4）与向量＝（x ，6）共线，则实数x ＝（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6
2. △ABC 中，45B =o ，60C =o
，1c =，则最短边的边长等于（ ）
A.63
B. 62
C. 1
2 D. 32
3. 在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 （ ）
A ．b = 10， A = 45°，
B = 70° B ．a = 60， c = 48， B =
100°
C ．a = 7， b = 5， A = 80°
D ．a = 14， b = 16， A = 45°
4．等差数列{a n }中，已知为则n a a a a n ,33,4,3
1
521==+=
（ ） A ．48 B ．49
C ．50
D ．51
5. 在R 上定义运算⊗：a ⊗b ＝ab +2a +b ，则满足x ⊗（x ﹣2）＜0的实数x 的取值范围为（ ）
A ．（0，2）
B ．（﹣2，1）
C ．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）
D ．（﹣1，2）
6．下列命题中，正确的是（ ）
A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bc
B ．若ac ＞bc ，则a ＜b
C ．若
，则a ＜b
D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a
﹣c ＞b ﹣d
7.已知数列{a n }，满足a n +1＝
，若a 1＝，则a 2014＝（ ）
A ．
B ．2
C ．﹣1
D ．1
.
8. △ABC 中，60B =o ，2
b a
c =，则△ABC 一定是 （ ）
A 锐角三角形
B 钝角三角形
C 等腰三角形
D 等边三角形
9.为测量某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20 m 的楼顶处测得塔顶A 的仰角 为30°，测得塔基B 的俯角为45°，那么塔AB 的高度是（ ）
A. 32013⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭ m
B. 32012⎛⎫
+ ⎪ ⎪⎝⎭
m C. ()
2013+m D.30
m
10.已知{a n }是等比数列，且a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6=25，那么a 3＋a 5的值等于（ ）
A ．5
B ．10
C ．15
D ．20
11．已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范
围为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12. 设P （x ，y ）是函数y ＝f （x ）的图象上一点，向量＝（1，（x ﹣2）5
），＝
（1，y ﹣2x ），且满 足∥，数列{a n }是公差不为0的等差数列，若f （a 1）+f （a 2）+…+f （a 9）＝36，则a 1+a 2+…+a 9＝（ ） A ．0
B ．9
C ．18
D ．36
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量⊥
，|
|＝3，则
•
＝ ．
14. 在ABC ∆中，︒=︒==+456012B A b a ，，，则 _______
15. 已知数列{a n }的首项a 1＝1，且满足a n ﹣1﹣a n ＝a n a n ﹣1（n ≥2），
则a 1a 2+a 2a 3+…+a 2014a 2015＝ ．
16．已知正方形ABCD 的边长为1，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为
；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为
，若
i ，j ，k ，l ∈{1，2，3}，且i ≠j ，k ≠l ，则的最小值是 ．
三、解答题：本大题共6小题，70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. 设向量
满足
及
，
（Ⅰ）求夹角θ的大小； （Ⅱ）求的值．
18.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为
， (1)求cos A (2)求a 的值．
=
19.数列{n a }是首项为23,公差为整数的等差数列,且前6项为正,从第7项开始变为负
(1)求此等差数列的公差d;
(2)设前n 项和为n S ,求n S 的最大值; (3)当n S 是正数时,求n 的最大值.
20. 设向量
，
，．
（1）若，求x 的值；
（2）设函数，求f （x ）的最大值．
21. 如图，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为
两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，
30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km.试探究图中B 、 D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B 、D 的距离(计算结果精确到0.01 km ，
2≈1.414，6≈2.449)．
22. 已知数列{a n }是正数等差数列，其中a 1＝1，且a 2、a 4、a 6+2成等比数列；数列{b n }
的前n 项和为S n ，满足 2S n +b n ＝1．
（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；
（Ⅱ）如果c n＝a n b n，设数列{c n}的前n项和为T n，是否存在正整数n，使得T n＞S n 成立，若存在，求出n的最小值，若不存在，说明理由．
参考答案：
一．选择题：BADC B CADAA AC
）
二．填空题：13.（9） 14.（36126
15.．16.（－5）
三．解答题：
17.解：（Ⅰ）由，
得，即，
∵，∴．
∴，cosθ＝．
又∵θ∈[0，π]，∴夹角θ＝；
（Ⅱ）∵
＝9+6||||+1＝．∴＝．
18.解：∵b＝3，c＝1，△ABC的面积为，
∴＝，
∴sin A＝，
又∵sin2A+cos2A＝1
∴cos A＝±，
由余弦定理可得a＝＝2或2．
19.(1)由a6=23＋5d＞0和a7=23＋6d＜0,得公差d=－4.
(2)由a6＞0,a7＜0,∴S6最大, S6=8.
(3)由a 1=23,d=－4,则n S =2
1
n(50－4n),设n S ＞0，得n ＜12.5,整数n 的最大值为12.
20. 解：（1）由题意可得
＝
+sin 2x ＝4sin 2
x ，
＝cos 2x +sin 2
x ＝1，
由，可得 4sin 2
x ＝1，即sin 2
x ＝． ∵x ∈[0，]，∴sin x ＝，即x ＝
．
（2）∵函数
＝（
sin x ，sin x ）•（cos x ，sin x ）＝sin x cos x +sin 2
x
＝sin2x +＝sin （2x ﹣）+． x ∈[0，]，∴2x ﹣∈[﹣
，
]，
∴当2x ﹣
＝
，sin （2x ﹣）+取得最大值为1+＝．
21. 解：在△ACD 中，∠DAC ＝30°，
∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，
所以CD ＝AC ＝0.1.又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°， 故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA .
在△ABC 中，AB sin∠BCA ＝AC sin∠ABC ，所以AB ＝AC sin60°sin15°＝32＋6
20
.
同理，BD ＝32＋6
20≈0.33(km)，
故B 、D 的距离约为0.33 km.
22. 解：（Ⅰ）设数列{a n }的公差为d ，
∵a 1＝1，且a 2、a 4、a 6+2成等比数列， ∴依条件有，
即
，解得
（舍）或d ＝1，
所以a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝1+（n ﹣1）＝n 由2S n +b n ＝1，得
，
当n＝1时，2S1+b1＝1，解得，
当n≥2时，，所以，
所以数列{b n}是首项为，公比为的等比数列，
故
（2）由（1）知，，
所以①
②
得．
又．
所以，
当n＝1时，T1＝S1，
当n≥2时，，所以T n＞S n，
故所求的正整数n存在，其最小值是2.。
