(完整版)高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解()

高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解一、选择题1．(2010·山东日照模考)a ＝⎠⎛02x d x ，b ＝⎠⎛02e x d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b[答案] D[解析] a ＝⎠⎛02x d x ＝12x 2|02＝2，b ＝⎠⎛02e x d x ＝e x |02＝e 2－1>2，c ＝⎠⎛02sin x d x ＝－cos x |02＝1－cos2∈(1,2)，∴c <a <b .2．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14C.13D.712[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝x 3得交点为(0,0)，(1,1)．∴S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 401＝112. [点评] 图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：(2010·湖南师大附中)设点P 在曲线y ＝x 2上从原点到A (2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S 1，S 2.如图所示，当S 1＝S 2时，点P 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫43，169 B.⎝⎛⎭⎫45，169 C.⎝⎛⎭⎫43，157D.⎝⎛⎭⎫45，137[答案] A[解析] 设P (t ，t 2)(0≤t ≤2)，则直线OP ：y ＝tx ，∴S 1＝⎠⎛0t(tx －x 2)d x ＝t 36；S 2＝⎠⎛t2(x 2－tx )d x＝83－2t ＋t 36，若S 1＝S 2，则t ＝43，∴P ⎝⎛⎭⎫43，169. 3．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积为( ) A ．4 B.43C.185D ．6[答案] A[解析] S ＝⎠⎛02x 3d x ＝⎪⎪x 4402＝4.4．(2010·湖南省考试院调研)⎠⎛1－1(sin x ＋1)d x 的值为( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos1[答案] B[解析] ⎠⎛1－1(sin x ＋1)d x ＝(－cos x ＋x )|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.5．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2π B ．3π C.3π2D ．π[答案] A[解析] 如右图， S ＝∫02π(1－cos x )d x ＝(x －sin x )|02π＝2π.[点评] 此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为⎝⎛⎭⎫π6，π，则对称性就无能为力了． 6．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值 [答案] B[解析] F ′(x )＝x (x －4)，令F ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4，∵F (－1)＝－73，F (0)＝0，F (4)＝－323，F (5)＝－253.∴最大值为0，最小值为－323.[点评] 一般地，F (x )＝⎠⎛0x φ(t )d t 的导数F ′(x )＝φ(x )．7．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，函数f (x )＝⎠⎛1x 1td t ，若f (x )<a 3，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫36，＋∞ B ．(0，e 21) C ．(e －11，e )D ．(0，e 11)[答案] D[解析] f (x )＝⎠⎛1x 1td t ＝ln t |1x ＝ln x ，a 3＝S 3－S 2＝21－10＝11，由ln x <11得，0<x <e 11.8．(2010·福建厦门一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π4[答案] A[解析] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |0π＝－(cosπ－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P ＝S S 矩形OABC＝22π＝1π. 9．(2010·吉林质检)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(－2≤x <0)2cos x (0≤x ≤π2)的图象与x 轴所围成的图形面积S 为( )A.32B ．1C ．4D.12[答案] C[解析] 面积S ＝∫π2－2f (x )d x ＝⎠⎛0－2(x ＋2)d x ＋∫π202cos x d x ＝2＋2＝4.10．(2010·沈阳二十中)设函数f (x )＝x －[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g (x )＝－x3，f (x )在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f (x )与g (x )的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g (x )d x 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－76[答案] A[解析] 由题意可得，当0<x <1时，[x ]＝0，f (x )＝x ，当1≤x <2时，[x ]＝1，f (x )＝x －1，所以当x ∈(0,2)时，函数f (x )有一个零点，由函数f (x )与g (x )的图象可知两个函数有4个交点，所以m ＝1，n ＝4，则⎠⎛mn g (x )d x ＝⎠⎛14⎝⎛⎭⎫－x 3d x ＝⎪⎪－x 2614＝－52. 11．(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c (b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )A.13B.23C.12D.34[答案] A[解析] 方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根的充要条件为Δ＝4b 2－4c ≥0，即b 2≥c ，由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p ＝⎠⎛01b 2db 1×1＝13.12．(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，曲线y ＝x 2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是( )A.12B.14C.13D.25[答案] C[解析] 如图，正方形面积1，区域M 的面积为S ＝⎠⎛01x 2d x ＝13x 3|01＝13，故所求概率p ＝13. 二、填空题13．(2010·芜湖十二中)已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.[答案] －1或13[解析] ∵⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛1－1(3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x )|－11＝4，⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )，∴6a 2＋4a ＋2＝4，∴a ＝－1或13.14．已知a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案] －192[解析] 由已知得a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C 6r ×26－r ×x 3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 61×25＝－192.15．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________． [答案] 18[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x y ＝4－x 解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y∴S ＝⎠⎛2－4[(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y36)|－42＝18.16．(2010·安徽合肥质检)抛物线y 2＝ax (a >0)与直线x ＝1围成的封闭图形的面积为43，若直线l 与抛物线相切且平行于直线2x －y ＋6＝0，则l 的方程为______．[答案] 16x －8y ＋1＝0[解析] 由题意知⎠⎛01ax d x ＝23，∴a ＝1，设l ：y ＝2x ＋b 代入y 2＝x 中，消去y 得，4x 2＋(4b －1)x ＋b 2＝0，由Δ＝0得，b ＝18，∴l 方程为16x －8y ＋1＝0.17．(2010·福建福州市)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．[答案] －1[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0，∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)．S 阴影＝－⎠⎛a0(－x 3＋ax 2)d x ＝112a 4＝112，∴a ＝－1.三、解答题18．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S 1＋S 2最小．[解析] 由题意得S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3，S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13，所以S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．又S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝⎛⎭⎫t －12， 令S ′(t )＝0，得t ＝12或t ＝0.因为当0<t <12时，S ′(t )<0；当12<t ≤1时，S ′(t )>0.所以S (t )在区间⎣⎡⎦⎤0，12上单调递减，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递增．所以，当t ＝12时，S min ＝14.。

专题06 定积分与微积分基本定理1．由曲线,直线轴所围成的图形的面积为（）A．B．4C．D．6【答案】A【解析】联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S．故选:A．2．设f（x）=|x﹣1|，则=（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解析】画出函数的图像如下图所示，根据定积分的几何意义可知，定积分等于阴影部分的面积，故定积分为，故选A.3．曲线与直线围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，则，所以曲线围成的封闭图形面积为，故选D4．为函数图象上一点，当直线与函数的图象围成区域的面积等于时，的值为A．B．C．1D．【答案】C【解析】直线与函数的图象围成区域的面积S dx＝∴故选：C5．由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为( )A．B．1C．D．【答案】B【解析】题目所求封闭图形的面积为定积分，故选B.6．如图，矩形中曲线的方程分别是，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意的阴影部分的面积，根据用几何概型概率计算公式有所求概率为，故选A.7．（）A．B．-1C．D．【答案】C【解析】解：．故选：C．8．，则T的值为A．B．C．D．1【答案】A【解析】由题意得表示单位圆面积的四分之一，且圆的面积为π，∴，∴．故选A．9．下列计算错误．．的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在A中，，在B中，根据定积分的几何意义，，在C中，，根据定积分的运算法则与几何意义，易知，故选C.10．定积分的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】表示以为圆心，以为半径的圆，定积分等于该圆的面积的四分之一，定积分，故选A.11．如果曲线与直线所围成的封闭图形的面积为,则以下正确的一个值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】如图，如果，则所围面积为，故，代入，则，矛盾，故A错.如果，则，代入，则，矛盾，故B错.代入，则，矛盾，故C错.代入，则，符合，故D正确.综上，选D.12．一物体以速度v=3t2+2t(v的单位:m/s)做直线运动,则它在t=0 s到t=3 s时间段内的位移是() A．31 m B．36 mC．38 m D．40 m【答案】B【解析】由题意物体在t=0s到t=3s时间段内的位移是：．故选：B．13．由曲线与直线所围成图形的面积等于__________．【答案】【解析】根据定积分的几何意义得到，面积S＝(e x＋x)d x＝故答案为：14．___________【答案】【解析】表示半圆夹在直线部分的面积S。

课程信息一、教学目标：1.理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题.2.理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题^二、知识要点分析 b1.定积分的概念：函数f(x)在区间［a, b］上的定积分表示为：L f(x)dx2.定积分的几何意义：(1)当函数f (x)在区间［a, b］上恒为正时，定积分f f(x)dx的几何意义是：y=f (x) ab与x=a, x=b及x轴围成的曲边梯形面积，在一般f#形下.［f (x)dx的几何意义是介于x轴、函数f (x)的图象、以及直线x=a, x=b之间的各部分的面积代数和，在x轴上方的面积取正号，x轴下方的面积取负号.b b b在图(1)中：ff (x)dx =s >0 ,在图(2)中：「(x)dx =s<0 ,在图(3)中：［f (x)dxa -a -a表示函数y=f (x)图象及直线x=a, x=b、x轴围成的面积的代数和. b 注：函数y=f (x)图象与x轴及直线x=a, x=b围成的面积不一定等于 f f(x)dx,仅a b当在区间［a, b］上f (x)恒正时，其面积才等于 f f(x)dx.a3.定积分的性质，(设函数f (x), g (x)在区间［a, b］上可积)b b b(1)［f(x) -g(x)］dx = J f(x)dx - g(x)dxa a ab b(2)ikf(x)dx = k j f (x)dx , (k 为常数)a ab c b(3)f(x)dx = f(x)dx，I f (x)dxa a cb(4)若在区间［a, b］上，f(x)之0,则1 f(x)dx >0a⑵ | a f(x)dx 匡 a | f(x)|dx aa a (3)若 f(x)是偶函数,则 f f (x)dx = 2 f f (x)dx ,若 f(x)是奇函数，则 f f (x)dx=0 ’.a ’0 」 4.微积分基本定理：b一般地,右 F (x) = f (x)，且f (x)在［a,b ］上可积,则 f f (x)dx = F (b) - F (a) a 注：(1)若F ‛(x) = f(x)则F (x)叫函数f (x)在区间［a, b ］上的一个原函数，根b据导数定义知：F (x) +C 也是f (x)的原函数，求定积分 f f(x)dx 的关键是求f (x)的 原函数，可以利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求F (x).(2)求导运算与求原函数的运算互为逆运算 . 【典型例题】知识点一：定积分的几何意义2二'sinxdx=0推断：求直线 x=0, x=2n , y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积下列结论正确的是(2：：,题意分析：本题考查定积分的几何意义，注意 ［sin xdx 与y=sinx 及直线x=a, x=b 和x 轴 围成的面积的区别.思路分析：作出函数y=sinx 在区间［0, 2冗］内的图象及积分的几何意义及函数的对称性可 判断. 解：对于(A):由于直线x=0 , x= 2冗,y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积为正 可判断A 错.对于(B), (C)根据y=sinx 在［0, 2n ］内关于(冗,0)对称知两个答案都是错误的.根据函数y=sinx 的图象及定积分的几何意义可知：答案( D)是正确的.解题后的思考：本题主要考查定积分的几何意义， 体现了数与形结合的思想的应用，易错点2 .只 是混淆函数y=sinx 与x 轴、直线x=0, x= 2几围成的面积等于 (f(x)dx .例2.利用定积分的几何意义，说明下列等式的合理性 1(1) 0 2xdx =11f 2推论：(1)若在区间［a, b ］上,f (x) «g(x)，则 J f (x)dx « J g(x)dx例1 .根据 A.面积为0B.曲边梯形在C.曲边梯形在D.曲边梯形在 x 轴上方的面积大于在 x 轴上方的面积小于在 x 轴上方的面积等于在 x 轴下方的面积 x 轴下方的面积 x 轴下方的面积*(2)0 1 -x dx =屋题意分析：本题主要考查定积分的几何意义：在区间［0, 1］上函数y=2x,及y= J1 —x2恒为正时，定积分(2xdx表示函数y=2x图象与x=0,x=1围成的图形的面积，(，1 -x2dx表示函数y二11一x2图象与x=0, x=1围成的图形的面积.思路分析：分别作出函数y=2x及y=\；1—x2的图象，求此图象与直线x=0 , x=1围成的面积.解：(1)在同一坐标系中画出函数y=2x的图象及直线x=0 , x=1 (如图)，它们围成的图形图所示，所以函数y = <1 — x2与直线x=0 , x=1围成的图形面积是圆x2+ y2= 1面积的四分之一，又y = /1 —x2在区间［0, 1］上恒为正.f h -x2dx =—0 4解题后的思考：本题主要考查利用定积分的几何意义来验证函数y=2x及函数y= Q1 — x2在区间［0, 1］上的定积分的值，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是画函数图象的不准确造成错误的结果.4例3.利用定积分的几何意义求r (| x —1|十| x — 3 |)dx的值.4题意分析：本题考查定积分的几何意义，］(|xT| + |x-3|)dx的值是函数y」x -1| +|x—3|的图象与直线x=0, x=4所围成图形的面积.思路分析：首先把区间[0, 4]分割为[0, 1], [1, 3], [3, 4],在每个区间上讨论x—1, x-3的符号，把函数y=|x-1|+|x-3|化为分段函数，再根据定积分的几何意义求40(|x-1| +|x-3|)dx 的值.-2x 4,(x [0,1]解：函数y =| x —1| + | x —3 |化为y = {2,(x w [1,3]2x-4,(x [3,4]-2x 4,(x [0,1]由于函数y ={2,(xW[1,3] 在区间[0, 1], [1, 3], [3, 4]都恒为正. 2x-4,(x [3,4] 设函数y= — 2x+4的图象与直线x=0, x=1围成的面积为 &函数y=2的图象与直线x=1 , x=3围成的面积是S2函数y=2x — 4的图象与直线x=3 , x=4围成的面积是S3一 1 一一一由图知：S1=S3=-(4 2) 1=3,S2=2 2 = 44由定积分的几何意义知：o(|x-1| • |x-3|)dx=& • S3 • S2 =10解题后的思考：本题考查的知识点是定积分的几何意义，利用其几何意义求定积分40 (| x-1| +|x -3|)dx的值，体现了等价转化的数学思想(把区间[ 0, 4]分割，把函数y=|x—1|+|x —3|化成分段函数)、数与形结合的思想的应用.易错点是：区间[0, 4]分割不当及画函数图象不准确，造成错误的结果.当被积函数含有绝对值时，常采用分割区间把函数化为分段函数的方法求定积分的值.小结：本题主要考查定积分的几何意义，要分清在区间[ a, b]上f (x)恒为正时，f (x) 在区间[a, b]上定积分值才等于函数图象与直线x=a, x=b围成的面积.在画函数图象时注意x的取值区间.当被积函数含有绝对值时，恰当的分割区间把函数画为分段函数再求定积分的值.一、选择题1.(2010 山东日照模考)a=「2xdx, b= f2e x dx, c=「2sinxdx,则a、b、c 的大小关系是'0 10 ' O( )A. a<c<bB. a<b<cC. c<b<aD. c<a<b2.(2010山东理，7)由曲线y=x2, y = x3围成的封闭图形面积为()C. (e 11, e) 8. （2010福建厦门一中）如图所示，在一个长为 兀，宽为2的矩形OABC 内，曲线y = sinx （0<x<兀后x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形 OABC 内随机投一点（该点落在矩形 OABC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是 （ ）1A.— C .3 7 D- 12（2010湖南师大附中）设点P 在曲线y=x 2上从原点到A （2,4）移动，如果把由直线 直线y=x 2及直线x = 2所围成的面积分别记作S 1, 5.如图所示，当S I =S 2时，点POP,的坐标 是（） A. *C. 3, 157 D .百3. 由二条直线x= 0、 x= 2、y=0和曲线y=x 3所围成的图形的面积为（）4.C. 5.4B.3D. 6 （2010湖南省考试院调研）j 1 —1（sinx+1）dx 的值为（ ） 2 + 2cos1 B. 2D. 2—2cos1曲线y= cosx （0wxw 2兀后直线y= 1所围成的图形面积是（ ） B. 3兀C 3jt D.兀6 .函数 F(x)=「t(t —4)dt 在［―1,5］上()A .有最大值0,无最小值B.有最大值0和最小值-323C.有最小值-警，无最大值3D.既无最大值也无最小值7 .已知等差数列｛a n ｝的前n 项和S n=2n 2+n,函数 f(x)=「一dt,若 f(x)<a 3,则 , 1 t x 的取 值范围是（ ）A. -k OO ? 18 . (0, e 21) D. (0, e 11)10. (2010沈阳二十中)设函数f(x) = x-［x ］,其中［x ］表示不超过x 的最大整数，如［—1.2］x =—2, [1.2]= 1, [1] = 1.又函数g(x) = -x, f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为 m, f(x)与g(x) 3的图象交点的个数记为 n,则f ng(x)dx 的值是('m 8. -43C.(2010江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间上随机等可能地抽取一个实数记为b,乙从区间［0,1］上随机等可能地抽取一个实数记为 c 可以相等),若关于x 的方程x 2+2bx+c=0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比 赛中甲获胜的概率为( )1 A 「 兀2 B.- 兀 3C.兀D.49. (2010吉林质检)函数 f(x) = S x + 2(-2<x<02cosx(0WxW]) 兀 的图象与x 轴所围成的图形面积 S 为( )A.2B. 1C. 4 1D.2 [0,1] c(b 、 A.1 3 B.2 C -C.2D.312. (2010吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O(0,0), A(1,0), B(1,1), C(0,1),曲 线y=x 2(x>0)与x 轴，直线 落在区域M 内的概率是(x=1构成区域M,现将一个质点随机地投入正方形中，则质点 1A.21 B.4 1C"32 D.5二、填空题 13. (2010芜湖十二中)已知函数f(x)=3x2+2x+1 ,若1f(x)dx= 2f(a)成立,则 a=兀 L 1 A 一 一一，、，人 一, 1 一S I14 .已知 a= 2 2°（sinx+ cosx ）dx,则二项式（aF —了）的展开式中含 x 项的系数是 15 .抛物线y 2=2x 与直线y= 4 —x 围成的平面图形的面积为若直线l 与抛物线相切且平行于直线 2x —y+6= 0,则l 的方程为f （x ）= - x 3+ax 2+bx （a, bC R ）的图象如图所示，它与. ........ 一 一一，，一一一一， ,， ............... .. . 1 ............ 轴在原点处相切，且 x 轴与函数图象所围成区域（图中阴影部分）的面积为112,则a 的值为 三、解答题18 .如图所示，在区间［0,1］上给定曲线y = x 2,试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S I + S 2最小. 16. （2010安徽合肥质检）抛物线 y 2= ax （a>0）与直线x= 1围成的封闭图形的面积为 4 3'17. （2010福建福州市）已知函数。

第3讲 定积分与微积分基本定理一、选择题1.(2017·西安调研)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( ) A.e ＋2 B.e ＋1C.eD.e －1 解析 ⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )⎪⎪⎪10)＝1＋e 1－1＝e.故选C. 答案 C2.若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( ) A.2 B.3C.4D.6 解析 ⎠⎛1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )⎪⎪⎪a 1＝a 2＋ln a －1， ∴a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，则a ＝2.答案 A3.从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( )A.12gB.gC.32gD.2g解析 电视塔高h ＝⎠⎛12gt d t ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12gt 221＝32g . 答案 C4.如图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( )A.⎠⎛02|x 2－1|d x B.⎪⎪⎪⎪⎠⎛02（x 2－1）d x C.⎠⎛02(x 2－1)d x D.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(1－x 2)d x解析 由曲线y ＝|x 2－1|的对称性知，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即⎠⎛02|x 2－1|d x .答案 A5.若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A.S 1<S 2<S 3B.S 2<S 1<S 3C.S 2<S 3<S 1D.S 3<S 2<S 1 解析S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln 2，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e 2－e ， ∵e 2－e ＝e(e －1)＞e ＞73＞ln 2， ∴S 2＜S 1＜S 3.答案 B二、填空题6.已知t >0，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，则t ＝________. 解析 由⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8得，(x 2－2x ) ⎪⎪⎪t0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去). 答案 47.已知二次函数y ＝f (x )的图像如图所示，则它与x 轴所围成的面积为________.解析 根据f (x )的图像可设f (x )＝a (x ＋1)·(x －1)(a <0).因为f (x )的图像过(0，1)点，所以－a ＝1，即a ＝－1. 所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2.所以S ＝⎠⎛－11(1－x 2)d x ＝2⎠⎛01(1－x 2)d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝43. 答案 438.(2017·合肥模拟)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.解析 封闭图形如图所示，则⎠⎛0a x d x ＝＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49.答案 49三、解答题9.计算下列定积分：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －1x d x ； (2)⎠⎛02－x 2＋2x d x ； (3)2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4d x ； (4)⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3＋1)d x ； (5)⎠⎛－22|x 2－2x |d x . 解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x ⎪⎪⎪21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－ln 1＝32－ln 2； (2)由定积分的几何意义知，所求定积分是由x ＝0，x ＝2，y ＝－x 2＋2x ，以及x 轴围成的图像的面积，即圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的一半，∴⎠⎛02－x 2＋2x＝π2； (3)原式＝ (sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x ) ＝⎝⎛⎭⎪⎫－cos π2＋sin π2－ (－cos 0＋sin 0)＝2；(4)原式＝⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3)d x ＋⎠⎛－111d x ＝0＋x ⎪⎪⎪1-1＝2； (5)∵|x 2－2x |＝⎩⎨⎧x 2－2x ，－2≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤2，∴⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪0-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2⎪⎪⎪20＝8.10.求曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 围成的图形的面积.解 作出曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 的图像，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝x ，得交点(1，1)， 解方程组⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝3x ，得交点(3，9)， 因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(3x －x )d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x ＝⎠⎛012x d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x ＝x 2⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2－13x 3⎪⎪⎪31 ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32×32－13×33－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×12－13×13＝133. 11.若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( ) A.－1B.－13C.13D.1解析 由题意知f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ， 设m ＝⎠⎛01f (x )d x ，∴f (x )＝x 2＋2m ， ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2mx ⎪⎪⎪10 ＝13＋2m ＝m ，∴m ＝－13.答案 B12.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A.1＋25ln 5B.8＋25ln 113C.4＋25ln 5D.4＋50ln 2解析 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln （1＋t ）⎪⎪⎪40＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m).答案 C13.(2017·郑州调研)⎠⎛－11(1－x 2＋e x －1)d x ＝________. 解析 ⎠⎛－11(1－x 2＋e x －1)d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛－11(e x －1)d x . 因为⎠⎛－111－x 2d x 表示单位圆的上半部分的面积，则⎠⎛－111－x 2d x ＝π2，又⎠⎛－11(e x －1)d x ＝(e x －x )|1－1 ＝(e 1－1)－(e －1＋1)＝e －1e －2，所以⎠⎛－11(1－x 2＋e x－1)d x ＝π2＋e －1e －2. 答案 π2＋e －1e －214.在区间[0，1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值. 解 S 1面积等于边长分别为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3. S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t 2，1－t 的面积，即S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13. 所以阴影部分的面积S (t )＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1).令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12＝0，得t ＝0或t ＝12. t ＝0时，S (t )＝13；t ＝12时，S (t )＝14；t ＝1时，S (t )＝23.所以当t ＝12时，S (t )最小，且最小值为14.。

〔全国通用〕 2021 年高考数学考点一遍过专题13定积分与微积分根本定理〔含剖析〕理〔 1〕认识定积分的实质背景，认识定积分的根本思想，认识定积分的看法.〔 2〕认识微积分根本定理的含义.一、定积分1．曲边梯形的面积〔 1〕曲边梯形：由直线x=a、 x=b( a≠ b)、 y=0和曲线y f ( x) 所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．〔 2〕求曲边梯形面积的方法与步骤：①切割：把区间a ， ] 分成好多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图② )；b②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲〞，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，获取每个小曲边梯形面积的近似值 ( 如图② ) ；③求和：把以近似代替获取的每个小曲边梯形面积的近似值求和；④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无量时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．2．求变速直线运动的行程若是物体做速直运，速度函数v=v( t )，那么也可以采用切割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在≤≤b 内所作的位移s.a t 3．定分的定和相关看法〔 1〕若是函数f (x) 在区,] 上，用分点=0< 1<⋯< i - 1<i <⋯<n=b将区,]a b a x x x x x a b均分成n 个小区，在每个小区x i - 1, x i]上任取一点ξ i (i=1,2,⋯,n)，作和式n n b af ( i ) xi 1i 1nf ( i ) ；当n→∞ ，上述和式无量凑近某个常数，个常数叫做b b nbaf ( i ) .函数 f ( x)在区 a, b]上的定分，作f( x)d x ，即 f (x)d x =lima a ni 1n〔 2〕在b f (x)d x中，a与b分叫做分下限与分上限，区a b] 叫做分区，函a,数 f ( x) 叫做被函数，x叫做分量，f(x)d x叫做被式．4．定分的性b d b d( k常数 ) ；〔 1〕kf x x k f x xa ab[()( )]d b()d b)d〔 2〕(；f xg x x f x x g x xa a ab()d=c()d+b()d( 其中a<c<b) ．〔 3〕f x x f x x f x xa a c【注】定分的性〔3〕称定分分区的可加性，其几何意是曲梯形ABCD 的面等于曲梯形与曲梯形的面的和．AEFD EBCF5．定分的几何意b〔 1〕当函数f( x) 在区a, b] 上恒正，定分 f ( x)d x 的几何意是由直x=a，ax=b( a≠ b)， y=0和曲 y=f( x) 所成的曲梯形的面( ①中阴影局部) ．〔 2〕一般情况下，定积分b f ( x )d x 的几何意义是介于 x 轴、曲线 f ( x ) 以及直线 x =a ，a= 之间的曲边梯形面积的代数和( 图②中阴影局部所示 ) ，其中在x 轴上方的面积等于该x b区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．6．定积分与曲边梯形的面积的关系 ( 常用结论 )定积分的看法是从曲边梯形面积引入的，但是定积分其实不用然就是曲边梯形的面积．这要结合详尽图形来确定：设阴影局部面积为, 那么Sbdb〔1〕；〔 2〕d；Sf xx Sf x xaaSc f xx b x x〔3〕f〔4 〕adcd；b f x dxbdxb xg x ]dx .Sg x [ f aaa7．定积分的物理意义〔 1〕变速直线运动的行程做变速直线运动的物体所经过的行程s ，等于其速度函数 v =v ( t )( v ( t ) ≥0) 在时间区间 a ，b b ] 上的定积分，即 sv(t )dt .a〔 2〕变力做功一物体在恒力F ( 单位： N)的作用下做直线运动，若是物体沿着与F 相同的方向搬动了s m ，那么力F 所做的功为W =Fs .若是物体在变力F ( x ) 的作用下沿着与 F ( x ) 相同的方向从x =a 搬动到 x =b ，那么变力 F ( x ) 做的功 WbF ( x)dx .a二、微积分根本定理一 般 地 ， 如 果 f ( x ) 是 区 间 a , b ] 上 的 连 续 函 数 ， 且 F ′(x )= f( x ) ， 那 么b f ( x)d x =F ( b ) - F ( a ) ．这个结论叫做微积分根本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式，其a中( ) 叫做f ( x ) 的一个原函数．为了方便，我们常把 ()-( ) 记作b，即F xF b F aF ( x) |a bba f ( x) dx =F (x ) |a =F (b ) - F ( a ) ．学 .【注】常有的原函数与被积函数的关系bCdxCx |ba (C 为常数 ) ；〔 1〕 abx ndx1 x n 1 |ba (n1) ；〔 2〕a n 1bsin xdxcosx |a b；〔 3〕 abcos xdx sin x |a b ；〔 4〕ab1b(b a 0) ；〔 5〕dx ln x |aa xbe xdx e x |a b；〔 6〕abxd a x|ba ( a 0, a 1) ；〔 7〕a xaln ab3xdx2x 2|b a (b a0) .〔 8〕a 3考向一定积分的计算1．求定积分的三种方法（ 1〕利用定义求定积分 ( 定义法 ) ，可操作性不强；（ 2〕利用微积分根本定理求定积分；（ 3〕利用定积分的几何意义求定积分．当曲边梯形面积易求时，可经过求曲边梯形的面积11，因此求定积分．比方，定积分1 x 2dx 的几何意义是求单位圆面积的41x2dx=π1.042．用牛顿—莱布尼茨公式求定积分的步骤（1〕把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；（2〕把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；（3〕分别用求导公式找到一个相应的原函数；（4〕利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值；（5〕计算原始定积分的值 .3．分段函数的定积分分段函数求定积分，可先把每一段函数的定积分求出后再相加．4．奇偶函数的定积分〔 1〕假设奇函数y=f ( x)- a a]a f x)dx0的图象在上连续，那么；，(aag(x)dx2a〔 2〕假设偶函数y=g( x) 的图象在 - a，a] 上连续，那么g( x)dx .a0典例 1 定积分1(2x e x )dx 的值为0A．e 2B．e 1C．D．e 1【答案】 C【解题技巧】求定积分的要点是找到被积函数的原函数，为防范出错，在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行考据.1．假设S=222 12x dx ，那么S，S，S的大小关系为x dx， S =dx ， S =e112311231 xA．S <S <S B．S <S <S 123213 C．S2<S3<S1D．S3 <S2<S1考向二利用定积分求平面图形的面积利用定积分求平面图形面积问题的常有种类及解题策略（1〕利用定积分求平面图形面积的步骤①依照题意画出图形；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；③把曲边梯形的面积表示成假设干个定积分的和；④计算定积分，写出答案．（2〕知图形的面积求参数求解此类题的打破口：画图，一般是先画出它的草图；尔后确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由条件可找到关于参数的方程，进而可求出参数的值．（3〕与概率订交汇问题解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算.典例 2设抛物线C： y=x2与直线 l ： y=1围成的封闭图形为P，那么图形 P 的面积 S 等于A． 1B．13 C．2D．4 33【答案】 D2．正方形的四个极点( - 1，- 1) ， (1 ，- 1) ， (1,1)， ( - 1,1) 分别在抛物线 y =- x 2 和 = 2 上，ABC D y x 以以下图．假设将一个质点随机投入正方形ABCD 中，那么质点落在图中阴影地域的概率是________ ．考向三定积分的物理意义利用定积分解决变速直线运动与变力做功问题利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，要点是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，获取积分表达式，再利用微积分根本定理计算即得所求 .典例 3 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 v(t ) 73t +25( t1 t的单位： s ， v 的单位： m/s) 行驶至停止．学 . 科在此期间汽车连续行驶的距离 ( 单位： m)是A ． 1＋25ln 5B ．8＋ 25ln113C ． 4＋25ln 5D ．4＋ 50ln 2【答案】 C5,0 x2, F 相同的方向，从 x =0 处运3．一物体在力 F ( x) =( 单位： N)的作用下沿与力3x 4, x2动到x =4( 单位： m)处，那么力( ) 做的功为 ________焦．F xπ1．cosxdxA ． 1B ． 2C ． 0D ．2．假设 f(x)x2211f ( x)dx ，那么f ( x)dx =A ．- 1B ．13C ．1D ．13π2，那么实数等于3．假设4 sin x a cos x dx2A ．B ． 2C ． 1D ．34．直线 y4x 与曲线 yx 3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为A ． 2 2B ． 42C ．D ． 4a b1 2 23adxdx 5．定义dbc ，如1423 2，那么1c3 412A ． 6B ．3C ．3D ．0212xa 96．a2sin x dx ，那么二项式的张开式中的常数项为4 x2 x 2π 2A ．15B ．2182C ．5D ． 147．设实数 alog 2 3 ， b log 1 1 ， cπ1，那么32sin xdxA ． b a cB ． b c aC ． a bcD ． a cb．两曲线 ysin x ， ycos x 与两直线 x0 ，xπ所围成的平面地域的面积为82ππA ．2 (sin x cos x)d xB ． 24 (sin x cos x)dxππC ．2 (cos x sin x)d x D ． 2 4 (cos x sin x)d x9．在平面直角坐标系中，记抛物线y =x - x 2 与 x 轴所围成的平面地域为 M ，该抛物线与直线 y =kx ( k >0) 所围成的平面地域为A ，向地域 M 内随机扔掷一点P ，假设点 P 落在地域 A 内的概率为 8，那么 k 的值为27A ． 1B ． 233C ． 1D ． 32410．假设函数 f (x) 、 g(x) 满足10 ，那么称 f ( x) 、 g( x) 为区间 [ 1,1] 上的一组f ( x) g(x)dx1正交函数，给出三组函数：①f ( x sin 1x g x ) cos1 x ； ②)(22 f ( x) x 1, g( x)x 1；③ f ( x)x, g( x) x 2 . 其中为区间 [ 1,1] 的正交函数的组数是A ． 0B ．1C ． 2D ．311．在以以下图的正方形中随机扔掷10000 个点，那么落入阴影局部〔曲线C 的方程为x 2y 0 〕的点的个数的估计值为A． 5000B．6667 C． 7500D．785412．自由落体的运动速度v gt (g为常数)，那么当t1,2 时，物体下落的距离为13．f x12, x1,1 ，那么 f x dx __________ ．x2x21,x1,211．〔 20212( x1)dx年高考湖南卷〕．2．〔 2021年高考天津卷〕曲线y x2与直线 y x 所围成的封闭图形的面积为3．〔 2021 年高考山东卷〕执行以以下图的程序框图, 输出的T的值为．4．〔 2021 年高考福建卷〕如图, 点A的坐标为 (1,0),点C的坐标为(2,4),函数矩形 ABCD内随机取一点,那么此点取自阴影局部的概率等于．__________．．f( x)= x2. 假设在5．〔 2021 年高考陕西卷〕如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙聚积，以致水渠截面边界呈抛物线型〔图中虚线表示〕，那么原始的最大流量与当前最大流量的比值为．变式拓展1．【答案】 B【剖析】依照微积分根本定理得， S11x3 |127， S2ln x |12ln 2 ，S3e x|12e2 e .733又 ln 2<1<，e2e=e(e 1) > e，因此 S<S <S.选B.7213332．【答案】233．【答案】 36考点冲关1．【答案】 Cπsin x |0πsin π 00 ．【剖析】cosxdx2．【答案】 B1f (x)2=x，+ m 所2【解析】 令f ( x)dx=m， 那么 以112+2m)d x ( 1x32mx)|101 2mf ( x)dx= ( x33m ，解得 m111，应选 B.，因此 f ( x)dx=3 033．【答案】 B【解 析】由题意 可 知：πππ22 4sin x a cos x dx4acos xdx14sin xdx2a ，2结合题意有： 12 2 a 2，解得： a2 . 此题选择 B.2224．【答案】 DS2(2 x21x4) |024，应选 D .【剖析】由得， (4 x x 3)dx45．【答案】 D23【剖析】xdx2 xdx - 3=0．选 D.1=21126．【答案】 B【剖析】9xa22 x6 31C 91 221 [ 1cos x |22] =2，因此a2 4 x 2dxsin xdxπ 4π2π 29 rr的 展 开 式 中 的 常 数 项 为 ： C 9rx 2 ， 令 r =3 ， 得 常 数 项 为2x 22321 ．27．【答案】 C【 解 析】a log 2 3 log 2 2 1,0 b log 11 log 32 1,而32πcosx |0πcosπsin xdxcos01, log32 log31c ,选C.2 ,因此c3, 因此a b228．【答案】 Db 【方法点睛】此题主要观察定积分的几何意义，属于中档题 . 一般情况下，定积分df x xa 的几何意义是介于轴、曲线 y f x 以及直线x a, xb 之间的曲边梯形面积的代数和，其中在轴上方的面积等于该区间上的积分值，在轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数 , 因此在用定积分求曲边形面积时，必然要分清面积与定积分是相等还是互为相反数. 9．【答案】 A12121311 ，【剖析】∵的面积为(x)dx()M x x x02306A 的面积为 1 k x21x213kx2)1 k13，( x kx)dx (x(1k) 0232061(1 k)3, ∴k =1∴ 68，应选 A.1273610．【答案】 C有 2 组，应选 C. 11．【答案】 B【剖析】S 空白12 dx1 x 3 11 ，那么 ＝12 ，因此点落入阴影部S 阴影1 S 空白0 x3 |031332 22分的概率为 P36667 ，应选 B ． 1，进而所求点的个数估计为100003312．【答案】 3g221gt 2 |2 3g ． 【剖析】由定积分的物理意义可得，gtdt121213．【答案】π42 3【解析】由题 意 可得212π2x 3 π 42π 4f x dx1 2dx(x1)dxxx|1，答案为.111232 323【名师点睛】求定积分的题型，一种是：利用几何意义求面积，一般是圆；第二种是：求被积函数的原函数，用积分公式；第三种是：利用奇函数关于原点对称的区间的积分为 0.此题观察了第一种和第二种 .直通高考1．【答案】 021x2x) |21 42 0 . 【剖析】 ( x 1)dx (2212．【答案】6x 2)dx ( 1x21x 3 ) |11 1 11【剖析】由题意可得封闭图形的面积为( x.232 3 63．【答案】1164 ．【答案】512【剖析】依题意知点D的坐标为(1,4),因此矩形 ABCD的面积 S=1×4=4,阴影局部的面积 S2x2dx41x3|12475阴影 =4, 依照几何概型的概率计算公式得, 所求的概率1333P=S阴影55 .3S4125．【答案】【剖析】建立空间直角坐标系，以以下图：122 py (p 0)，原始的最大流量是10 10 2 2 2 16 ，设抛物线的方程为x2由于该抛物线过。

简单已测：424次正确率：91.8 %1.定积的值是（ ）A.B.C.D.考点：⽤定义求定积分、微积分基本定理求定积分知识点：定积分的概念、微积分基本定理答案：D 解析：，故选：．⼀般已测：3296次正确率：69.9 %2.计算（ ）A.B.C.D.考点：利⽤定积分的⼏何意义解题、微积分基本定理求定积分知识点：定积分的概念、定积分的⼏何意义答案：B解析：选⼀般已测：4642次正确率：87.5 %3.若,,则,,的⼤⼩关系为( )A.B.C.D.考点：⽤定义求定积分、微积分基本定理求定积分知识点：定积分的基本性质、定积分的常⽤结论答案：B解析：由于,,,且,所以，故选.⼀般已测：3883次正确率：75.3 %4.若,则( )2xdx ∫0212342xdx =x =4∫202∣∣∣∣20D (1−cos x )dx =∫− 2π2ππ+2π−2π−2(1−cos x )dx=(x −sin x )∫− 2π2π =π−2.∣∣∣∣ 2π− 2πB .S = x dx 1∫122S = dx 2∫12x 1S =e dx 3∫12x S 1S 2S 3S <S <S 123S <S <S 213S <S <S 231S <S <S321S = x dx = x ∣ = − = 1∫12231312383137S = dx =lnx ∣ =ln 22∫12x 112S = e dx =e ∣ =e −e 3∫12x x 122ln 2< <e −e 372S <S <S 213B f (x )=x +2 f (x )dx 2∫01 f (x )dx=∫01A.B.C.D.考点：微积分基本定理求定积分、运⽤定积分的相关性质解题知识点：被积函数的原函数、微积分基本定理答案：B解析：令(常数),则,所以,解得,故选:.中等已测：4750次正确率：71.2 %5.在如图所⽰平⾯直⻆坐标系中,正⽅形的边⻓为,曲线是函数图象位于正⽅形内的部分,直线恰好是函数在处的切线,现从正⽅形内任取⼀点,那么点取⾃阴影部分的概率等于（ ）A.B.C.D.考点：利⽤定积分的⼏何意义解题、微积分基本定理求定积分知识点：曲边梯形的⾯积、定积分的⼏何意义答案：D解析：正⽅形的边⻓为,由函数,得,则,得.⼜当时,,可得,曲线的解析式为,阴影部分⾯积.点取⾃阴影部分的概率等于.故选:.−1−31 311f (x )dx =m ∫01f (x )=x +2m 2m = f (x )dx =( x +2mx ) = +2m ∫01313∣∣0131m =− 31B OABC 1m y =a (x −1)+b 2AC y=a (x −1)+b 2x =0P P1213141 61∵OABC 1,∴S =1正方形OABC y =a (x −1)+b 2y =2a (x −1)′y ∣ =−2a =−1′x =0a =21x=0y =a +b =1b = 21∴m y = (x −1)+ 21221∴S = [ (x −1)+ −(−x +1)]dx = x dx = x ∣=∫0121221∫012126130161∴P 61D⼀般已测：4665次正确率：92.6 %6.已知,则⼆项式的展开式中的系数为（ ）A.B.C.D.考点：利⽤定积分的性质解题、微积分基本定理求定积分知识点：定积分的概念、微积分基本定理答案：C 解析：,的展开式的通项公式为,令得,,展开式中的系数为.⼀般已测：2948次正确率：92.5 %7.实数使得复数是纯虚数,则的⼤⼩关系是（ ）A.B.C.D.考点：⽤定义求定积分、⽤所求定积分的⼏何意义求定积分知识点：定积分的概念、复数的概念答案：C解析：,它为纯虚数,所以,表⽰单位圆的四分之⼀的⾯积为,所以,应选.中等已测：3726次正确率：56.3 %8.若，则=（ ）A.B.a = dx ∫ e 1e x1(1− )x a 5x −316080−80−160∵a= dx =lne −ln =2∫ e 1e x 1e 1∴(1−)=(1−)xa 5x25T=C (−2)x r +15r r −r −r=−3r =3∴x −3C (−2)=−80533a1−i a +i b = xdx ,c= dx ∫01∫011−x 2a ,b ,c a <b <c a <c <b b <c <a c <b <a= = 1−i a +i1−i 1+i ()()a +i 1+i ()()2a −1+a +1i ()a =1,b = xdx = ∣ = ,c = dx ∫012x 20121∫011−x 2 4πb <c <a C f x + f x dx =x ()∫01() f x dx ∫01()41 21C.D.考点：⽤定义求定积分、利⽤定积分的性质解题知识点：定积分的基本性质、基本积分公式答案：A 解析：由，则，则，，则，故选A ．⼀般已测：2708次正确率：72.5 %9.⼀个⼈骑⻋以⽶/秒的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽⻋,当他离汽⻋⽶时，交通信号灯由红变绿,汽⻋开始做变速直线⾏驶(汽⻋与⼈的前进⽅向相同),若汽⻋在时刻的速度⽶/秒，那么此⼈（ ）．A.可在秒内追上汽⻋B.不能追上汽⻋,但其间最近距离为⽶C.不能追上汽⻋,但其间最近距离为⽶D.不能追上汽⻋,但其间最近距离为⽶考点：⼆次函数的单调性、利⽤定积分的⼏何意义解题知识点：微积分基本定理、基本积分公式答案：D解析：设该⼈骑⻋⾏驶距离和汽⻋⾏驶距离的差为，则，所以，所以该⼈不能追上汽⻋，但其间最近距离为⽶⼀般已测：391次正确率：82.7 %10.甲、⼄两⼈从同⼀起点出发按同⼀⽅向⾏⾛，已知甲、⼄⾏⾛的速度与⾏⾛的时间分别为，(如图)，当甲⼄⾏⾛的速度相同(不为零)时刻( )A.甲⼄两⼈再次相遇B.甲⼄两⼈加速度相同12fx +f x dx =x ()∫01()f x =x − f x dx ()∫01() fx dx = x − f x dx dx∫01()∫01(∫01())= xdx − f x dx dx = − f x dx ∫01∫01[∫01()]21∫01()∴ f x dx = − f x dx ∫01()21∫01() f x dx =∫01()41625t v (t )=t 716147S (t )S (t )= 6−t dt =6t −t ∫0t()212S (t ) =S (6)=36−18=18max 7v =甲t v =t 乙2C.甲在⼄前⽅D.⼄在甲前⽅考点：微积分基本定理求定积分、运⽤定积分的相关性质解题知识点：定积分的物理意义、变速运动问题答案：C解析：由，得，解得(舍)，或．由．．所以当甲⼄⾏⾛的速度相同(不为零)时刻甲在⼄前⽅．故选：．中等已测：1818次正确率：73.8 %11.已知，若函数满⾜，则称为区间上的⼀组``等积分''函数，给出四组函数：①②；③；④函数分别是定义在上的奇函数且积分值存在.其中为区间上的“等积分”函数的组数是( )A.B.C.D.考点：利⽤定积分的⼏何意义解题、微积分基本定理求定积分知识点：定积分的基本性质、微积分基本定理答案：C解析：本题是新定义问题，主要考查对定义的理解和定积分的计算.对于①，⽽,所以①是⼀组“等积分”函数；对于②，,⽽,所以②不是⼀组``等积分''函数；对于③，函数的图像是以原点为圆⼼，为半径的半圆，故,⽽,所以③是⼀组``等积分''函数；对于④，由于函数分别是定义在上的奇函数且积分值存在，利⽤奇函数的图像关于原点对称和定积分的⼏何意义，可以求得函数的定积分,所以④是⼀组``等积分''函数.故选.简单已测：3293次正确率：86.3 %12..v =v 甲乙 =t t 2t =0t =1 dt = t ∣ = ∫01t 32 230132 t dt = t ∣= ∫0123130131C a <b f (x ),g (x ) f (x )dx = g (x )dx ∫a b∫a bf (x ),g (x )[a ,b ]f (x )=2∣x ∣,g (x )=x +1;f (x )=sinx ,g (x )=cosx f (x )=,g (x )= πx 1−x 2432f (x ),g (x )[−1,1][−1,1]1234f x dx = 2x dx = 2−x dx + 2xdx =2,∫−11()∫−11∣∣∫−10()∫01g x dx = x +x ∣ =2∫−11()(212)−11 f (x )dx = sinxdx =0∫−11∫−11 g x dx = cos xdx =2sin 1≠0∫−11()∫−11f (x )1 f x dx = dx = ∫−11()∫−111−x 22πg x dx = πx ∣ = ∫−11()413−112πf (x ),g (x )[−1,1] f (x )dx = g x dx =0∫−11∫−11()C (sinx +cosx )dx =∫− 2π2π考点：⽤定义求定积分、微积分基本定理求定积分知识点：定积分的概念、被积函数的原函数答案：解析：；故填.⼀般已测：4543次正确率：94.5 %13..考点：利⽤定积分的⼏何意义解题知识点：定积分的概念、定积分的⼏何意义答案：解析：函数即：，表⽰以为圆⼼，为半径的圆在轴上⽅横坐标从到的部分，即四分之⼀圆，结合定积分的⼏何意义可得．故答案为．⼀般已测：2478次正确率：65.4 %14.⼀辆汽⻋在⾏驶中由于遇到紧急情况⽽刹⻋，以速度⾏驶⾄停⽌，在此期间汽⻋继续⾏驶的距离是.考点：定积分在求⾯积中的应⽤、微积分基本定理求定积分知识点：定积分的物理意义、基本积分公式答案：解析：本题考查定积分的概念.令，化为,⼜,解得.汽⻋继续⾏驶的距离.⼀般已测：4698次正确率：91.6 %15.若正实数满⾜,则的最⼩值为.考点：利⽤基本不等式求最值、利⽤公式求定积分知识点：定积分的基本性质、基本积分公式答案：解析：由题意得;即,所以(当且仅当时等号成⽴).所以,即的最⼩值为.简单已测：1192次正确率：87.8 %16.有⼀⾮均匀分布的细棒，已知其线密度为，棒⻓为，则细棒的质量.考点：⽤定义求定积分、微积分基本定理求定积分2(sinx +cosx )dx =−cosx +sinx ∣ ∫− 2π 2π()−2π2π=1+1=22 ( )dx ∫121−(x −1)2=4πy=1−(x −1)2(x −1)+y =1(x ≥1,y ≥0)22(1,0)1x 12 ( )dx = ×π×1=∫121−(x −1)24124π 4πv (t )=7−3t +1+t 254+25ln 5v (t )=7−3t + =01+t253t −4t −32=02t >0t =4S = (7−3t + )dt =(7t − t +25ln (1+t ))∣ =4+25ln 5∫041+t 2523204m ,n + = (x +)dx m 2n 1∫−22π14−x 2log (m +2n )22(x + )dx = dx = × π×2=2∫−22π14−x 2π1∫−224−x 2π1212 + =2m 2n 1m +2n =(m +2n )( + )= + +2≥2 +2=4m 12n 1m 2n 2n m × m 2n 2n m m =2n log m +2n ≥log 4=22()2log (m +2n )22ρx =x ()32M =(1)(2)知识点：定积分的物理意义、定积分的常⽤结论答案：解析：依题意有：.⼀般已测：3051次正确率：65.2 %17.在区间上给定曲线.试在此区间内确定点的值,使图中的阴影部分的⾯积与之和最⼩,并求最⼩值．考点：导数在最⼤值、最⼩值问题中的应⽤、定积分在求⾯积中的应⽤知识点：利⽤导数求函数的最值、微积分基本定理答案：时,最⼩,且最⼩值为解析：⾯积等于边⻓分别为与的矩形⾯积去掉曲线与轴、直线所围成的⾯积,即.的⾯积等于曲线与轴,,围成的⾯积去掉矩形边⻓分别为,⾯积,即.所以阴影部分的⾯积．令,得或.时,；时,；时,.所以当时,最⼩,且最⼩值为.⼀般已测：401次正确率：92.8 %18.已知．求的单调区间；求函数在上的最值．考点：利⽤导数研究函数的单调性、利⽤导数求闭区间上函数的最值知识点：函数单调性和导数的关系、利⽤导数求函数的最值(1)答案：单调调增区间是,单调递减区间是．解析：依题意得,,定义域是．,令,得或； 令得,且函数定义域是,函数的单调增区间是,单调递减区间是．(2)答案：最⼤值是,最⼩值是．解析：由(1)知函数在区间上为减函数,区间上为增函数, 且,在上的最⼤值是,最⼩值是．4x dx= ∣ =4∫0234x 402[0,1]y =x 2t S 1S 2t=21S (t )41S 1t t 2y =x 2x x =t S =t ⋅t − x dx = t 12∫0t 2323S 2y =x 2x x =t x =1t 21−t S = x dx −t (1−t )= t −t + 2∫t 122323231S (t )=S +S = t −t + (0≤t ≤1)12343231S (t )=4t −2t =4t (t − )=0′221t =0t = 21t =0S (t )= 31t = 21S (t )= 41t =1S (t )= 32t = 21S (t )41F (x )= (t +2t −8)dt ,(x >0)∫0x2F (x )F (x )[1,3](2,+∞)(0,2)F (x )= (t +2t −8)dt =( t +t−8t )∣ = x +x −8x ∫0x 231320x 3132(0,+∞)(1)F (x )=x +2x −8′2F (x )>0′x >2x <−4F (x )<0,′−4<x <2(0,+∞)∴F (x )(2,+∞)(0,2)F (3)=−6F (2)=− 328F (x )(0,2)(2,3)F (1)=− ,F (2)=− ,F (3)=−6320328∴F (x )[1,3]F (3)=−6F (2)=− 328(1)(2)中等已测：3275次正确率：52.7 %19.已知⼆次函数，直线，直线(其中，为常数)，若直线,与函数的图象以及,、轴与函数的图象所围成的封闭图形(阴影部分)如图所⽰.求,,的值；求阴影⾯积关于的函数的解析式.考点：求函数解析式的常⽤⽅法、利⽤定积分的⼏何意义解题知识点：⼆次函数的解析式、⼆次函数的图象(1)答案：, , 解析：由图形可知⼆次函数的图象过点，，并且的最⼤值为，则解得，函数的解析式为.(2)答案：解析：由得,,,,直线与的图象的交点坐标为由定积分的⼏何意义知：.f (x )=ax +bx +c 2l :x =21l :y =−t +8t 220≤t ≤2t l 1l 2f (x )l 1l 2y f (x )a b c S t S (t )a=−1b =8c =0(0,0)(8,0)f (x )16 ⎩⎨⎧c =0,a ⋅8+b ⋅8+c =02=164a 4ac −b 2 ⎩⎨⎧a =−1b =8c =0∴f (x )f (x )=−x +8x 2S (t )=− t +10t −16t + 3432340{ y =−t +8t 2y =−x +8x2x −8x −t (t −8)=02∴x =t 1x =8−t 2∵0≤t ≤2∴l 2f (x )(t ,−t +8t )2S (t )= −t +8t −−x +8x dx + [(−x +8x )−(−t +8t )]dx ∫0t [(2)(2)]∫t 222=[(−t +8t )x −(− +4x )]∣ +[(− +4x )−(−t +8t )x ]∣ 23x 320t 3x 322t 2=− t +10t −16t + 3432340。

考点13 定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念. （2）了解微积分基本定理的含义.一、定积分 1．曲边梯形的面积（1）曲边梯形：由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x 所围成的图形称为曲边梯形(如图①)． （2）求曲边梯形面积的方法与步骤：①分割：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)； ②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．2．求变速直线运动的路程如果物体做变速直线运动，速度函数为v =v (t )，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s . 3．定积分的定义和相关概念（1）如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续，用分点a =x 0<x 1<…<x i −1<x i <…<x n =b 将区间[a ,b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i −1,x i ]上任取一点ξi (i =1,2, …,n )，作和式11()()n ni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑；当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ,b ]上的定积分，记作()d baf x x ⎰，即()d baf x x ⎰=1lim ()ni n i b af nξ→∞=-∑. （2）在()d baf x x ⎰中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ,b ]叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 4．定积分的性质 （1）()()d d bba akf x x k f x x =⎰⎰(k 为常数)；（2）[()()]d ()d ()d bb ba aaf xg x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰；（3）()d =()d +()d bc baacf x x f x x f x x ⎰⎰⎰(其中a <c <b )．【注】定积分的性质（3）称为定积分对积分区间的可加性，其几何意义是曲边梯形ABCD 的面积等于曲边梯形AEFD 与曲边梯形EBCF 的面积的和．5．定积分的几何意义（1）当函数f (x )在区间[a ,b ]上恒为正时，定积分ba ⎰ f (x )d x 的几何意义是由直线x =a ，x =b (a ≠b )，y =0和曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积(图①中阴影部分)．（2）一般情况下，定积分ba ⎰ f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x =a ，x =b 之间的曲边梯形面积的代数和(图②中阴影部分所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．6．定积分与曲边梯形的面积的关系(常用结论)定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来确定：设阴影部分面积为S ,则 （1）()d baS f x x =⎰；（2）()d baS f x x =-⎰； （3）()()d d cb acS f x x f x x =-⎰⎰；（4）()()()()d d []d b b baaaS f x x g x x f x g x x =-=-⎰⎰⎰.7．定积分的物理意义 （1）变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v =v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即()d bas v t t =⎰.（2）变力做功一物体在恒力F (单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s m ，则力F 所做的功为W =Fs .如果物体在变力F (x )的作用下沿着与F (x )相同的方向从x =a 移动到x =b ，则变力F (x )做的功()d baW F x x =⎰.二、微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ,b ]上的连续函数，且F ′(x )=f (x )，那么()d baf x x ⎰=F (b )−F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式，其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，我们常把F (b )−F (a )记作()|b a F x ，即()d baf x x ⎰=()|b a F x =F (b )−F (a )． 【注】常见的原函数与被积函数的关系 （1）d |(bb a a C x Cx C =⎰为常数)；（2）11d |(1)1bn n ba ax x x n n +=≠-+⎰； （3）sin d cos |bb a a x x x =-⎰； （4）cos d sin |bb a a x x x =⎰；（5）1d ln |(0)bb a ax x b a x=>>⎰； （6）e d e |bx x b a a x =⎰；（7）d |(0,1)ln x bxba a a a x a a a=>≠⎰；（8）322|(0)3b a ax x b a =>≥⎰.考向一定积分的计算1．求定积分的三种方法（1）利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强；（2）利用微积分基本定理求定积分；（3）利用定积分的几何意义求定积分．当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．例如，定积分x ⎰的几何意义是求单位圆面积的14，所以π=4x ⎰.2．用牛顿—莱布尼茨公式求定积分的步骤（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差； （2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； （3）分别用求导公式找到一个相应的原函数； （4）利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值； （5）计算原始定积分的值. 3．分段函数的定积分分段函数求定积分，可先把每一段函数的定积分求出后再相加． 4．奇偶函数的定积分（1）若奇函数y =f (x )的图象在[−a ，a ]上连续，则()d 0aa f x x -=⎰； （2）若偶函数y =g (x )的图象在[−a ，a ]上连续，则0()d 2()d aaag x x g x x -=⎰⎰.典例A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】A故选A ．【解题技巧】求定积分的关键是找到被积函数的原函数，为避免出错，在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证.1．已知()60cos d 1x t x π-=⎰，则常数t 的值为A ．3-π B ．1-π C ．32-πD ．52-π考向二利用定积分求平面图形的面积利用定积分求平面图形面积问题的常见类型及解题策略 （1）利用定积分求平面图形面积的步骤①根据题意画出图形；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案． （2）知图形的面积求参数求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值． （3）与概率相交汇问题解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算.典例2 设抛物线C ：y =x 2与直线l ：y =1围成的封闭图形为P ，则图形P 的面积S 等于 A ．1 B ．13 C ．23D ．43【答案】D【解析】由21y x y ⎧=⎨=⎩，得1x =±.如图，由对称性可知，123114 2(11d)2(11)33S x x x=⨯-=⨯-=⎰.故选D.2．已知曲线2y x和曲线y=A．1 B．1 2C．2D．13考向三定积分的物理意义利用定积分解决变速直线运动与变力做功问题利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求.典例3 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t+t=-+(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是A．1＋25ln 5 B．8＋25ln 11 3C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2 【答案】C【解析】令v(t)=0得，3t2−4t−32=0，解得t=4(83t=-舍去).汽车的刹车距离是42400253(73)d [725ln(1)]|425ln 5.12t +t t t t t -=-++=++⎰故选C.3．一质点在直线上以速度214,[0,2]π2,(2,3]t t v t t ⎧⋅-∈⎪=⎨⎪-∈⎩(m/s)运动，从时刻()0s t =到()3s t =时质点运动的路程为 A ．2m B ．32m C ．1mD ．12m1．定积分()12d x x x -⎰的值为A ．π4B ．π2C ．πD ．2π2．已知0t >，若()021d 6tx x -=⎰，则t 的值等于A ．2B ．3C ．6D ．83．射线4(0)y x x =≥与曲线3y x =所围成的图形的面积为 A ．2 B ．4 C ．5D ．64．已知函数()f x 在R 上可导，且()()()34120f x x x f f '+'=-，则1()d f x x =⎰A ．1B ．1-C ．394D ．394-5．汽车以()32 m/s v t =+作变速运动时，在第1s 至2s 之间的1s 内经过的路程是A ．5mBC ．6mD 6．在如图算法框图中，若33(21sin )d a x x x -=++⎰，程序运行的结果S 为二项式5(2)x +的展开式中3x 的系数的3倍，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是A ．3k <B ．3k >C ．4k <D ．4k >7．如图，在矩形OABC 内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为A ．e 3 B ．4e3- C ．3e 3-D ．e 13-8．曲线2y x x =--与x 轴所围成图形的面积被直线y kx =分成面积相等的两部分，则k 的值为A ．14-B ．2-C ．1-D 1-9．已知)111sin d πa x x -=⎰，则二项式()2019ax y -的二项式系数之和与各项系数之和的积为A ．0B ．1-C ．1D ．以上都不对10．已知定义在R 上的函数()f x 与()g x ，若函数()f x 为偶函数，函数()g x 为奇函数，且()0d 6af x x =⎰，则()()2d aaf xg x x -⎡⎤+=⎣⎦⎰__________．1．（2015年高考湖南卷理科）2(1)d x x -=⎰．2．（2015年高考天津卷理科）曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为． 3．（2015年高考山东卷理科）执行如图所示的程序框图,输出的T 的值为．4．（2015年高考福建卷理科）如图,点A 的坐标为(1,0),点C 的坐标为(2,4),函数f (x )=x 2.若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于．5．（2015年高考陕西卷理科）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．1．【答案】A 【解析】因为()60cos d 1x t x π-=⎰，所以()60sin |1x tx π-=，所以3t =-π，故选A ．【名师点睛】本题主要考查定积分的相关知识，相对简单.由()60cos 1d x t x π-=⎰可得()60sin |1x tx π-=，从而可得常数t 的值. 2．【答案】D【解析】由题得函数的图象如图所示，联立2y x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩1,1），所以叶形图的面积为31231200211)d =()|333x x x x -=⎰. 故选D.【名师点睛】本题主要考查定积分的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.求解时，先作出两个函数的图象，再利用定积分求面积得解. 3．【答案】B【解析】该质点从时刻()0s t =到()3s t =时质点运动的路程：32320221(2)d 122S t t t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭⎰⎰13122=+=， 故选B ．【名师点睛】本小题主要考查定积分的计算，考查定积分在物理上的应用，属于基础题.求解时，根据速度的积分为位移，对分段函数的两段解析式分别进行积分，再根据位移和路程的对应关系，求得质点运动的路程.1．【答案】A 【解析】(()2211y x x y =∴-+=表示以()1,0为圆心，1为半径的圆，∴定积分x ⎰等于该圆的面积的四分之一，∴ 故选A ． 2．【答案】B 【解析】()()2200621d tt x x t t x x =-=--=⎰（0t >）,∴3t =或2t =-（舍）． 则t 的值等于3． 故选B ．【名师点睛】本小题主要考查定积分的计算，考查运算求解能力，属于基础题.求解时，根据定积分的计算公式化简定积分，解方程求得t 的值.3．【答案】B【解析】将射线方程与曲线方程联立34y x y x =⎧⎨=⎩，解得：1100x y =⎧⎨=⎩，2228x y =⎧⎨=⎩， 即射线()40y x x =≥与曲线3y x =有两个公共点，所围成的图形的面积为()223240014d 244x x x x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭⎰.本题正确选项为B.【名师点睛】本题考查曲边梯形面积的求解问题，关键是能够求得交点坐标后，利用定积分的知识来求解.解题时，射线与曲线方程联立可求得交点坐标，利用积分的知识可求得结果. 4．【答案】C【解析】由题意得()()2431f x x f '='-,故()04f '=，()()1431f f =-''，得到()11f '=，所以()348f x x x =-+故选C. 5．【答案】D【解析】由题意可得在第1s 至2s 之间的1s132=,故选D ． 6．【答案】C 【解析】()33233(21sin )d cos a x x x x x x--=++=+-⎰93cos393cos36=+--++=，二项式5(2)x +的展开式中3x 的系数为325C 240⋅=，即340120S =⨯=， 根据程序框图，可知5k =，6a =，6S =，S 不满足条件； 4k =，6530S =⨯=，S 不满足条件； 3k =，654120S =⨯⨯=，则3k =满足条件．输出120S =，【名师点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，求出a ，S 的值，利用模拟运行算法是解决本题的关键．求解时，根据积分和二项式定理的内容求出a ，S ，结合程序框图进行模拟运算即可． 7．【答案】B【解析】由题意，阴影部分的面积为0101=e d e e |1阴影x x S x ==-⎰，又矩形OABC 的面积为=3OABC S 矩形，所以在矩形OABC 内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为4e=3阴影矩形矩形OABC OABC S S P S --=.故选B.【名师点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，以及定积分的应用，熟记微积分基本定理以及几何概型的概率计算公式即可，属于常考题型.求解时，根据定积分的应用，得到阴影部分的面积为1=e d 阴影x S x ⎰，再由题意得到矩形OABC 的面积，最后由与面积有关的几何概型的概率公式，即可求出结果. 8．【答案】D【解析】如图所示，曲线2y x x =--与x 轴的交点为()1,0-和0,0（），曲线2y x x =--与直线y kx=的交点为()21,k k k ----和0,0（）．由题意和定积分的几何意义得：()2211()d 2d kx x x xx kx x -----=---⎰⎰，化简得：()()33111=2632k k ⎛⎫++ ⎪-+ ⎪⎝⎭，即31=1+2k （），解得：112k =-=-．【名师点睛】1．由函数图象或曲线围成的曲边图形面积的计算及应用，一般转化为定积分的计算及应用，但一定要找准积分上限、下限及被积函数，且当图形的边界不同时，要讨论解决．具体步骤如下： (1)画出图形，确定图形范围；(2)解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限； (3)确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置； (4)计算定积分，求出平面图形的面积．2．由函数求其定积分，能用公式的利用公式计算，有些特殊函数可根据其几何意义，求出其围成的几何图形的面积，即其定积分． 9．【答案】B【解析】由定积分的运算性质，可得)1111111sin d [sin d ]ππa x x x x x ---==+⎰⎰⎰，又由1x -⎰表示圆221x y +=的上半圆的面积，即1π2x -=⎰，所以1π211x -=⎰，又由1111sin d (cos )|cos1cos(1)0x x x --=-=-+-=⎰，所以12a =， 所以二项式为201912x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式系数之和为20192，令1,1x y ==，可得展开式的各项之和为2019201911()()22-=-， 所以二项式系数之和与各项系数之和的积为2019201912[()]12⋅-=-.故选B.【名师点睛】本题主要考查了定积分的性质及运算，以及二项式系数之和与项的系数之和的求解及应用，其中解答中熟练应用定积分的性质求得a 的值，以及合理求解二项式系数与项的系数之和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.求解时，由定积分的运算性质和定积分的几何意义，求得12a =，进而得二项式系数之和20192，再令1,1x y ==，可得展开式的各项之和为20191()2-，即可求解，得到答案. 10．【答案】12【解析】∵函数()f x 为偶函数，函数()g x 为奇函数，∴函数()f x 的图象关于y 轴对称，函数()g x 的图象关于原点对称． ∴()()0d 2d 12aa a f x x f x x -==⎰⎰，()d 0aag x x -=⎰，∴()()()()2d d 2d 12aa aaa a f x g x x f x x g x x ---⎡⎤+=+=⎣⎦⎰⎰⎰．【名师点睛】根据定积分的几何意义和函数的奇偶性求解．定积分()()d (0)baf x x f x >⎰的几何意义是表示曲线()y f x =以下、x 轴以上和直线,x a x b ==之间的曲边梯形的面积，解题时要注意面积非负，而定积分的结果可以为负．1．【答案】0【解析】2220011(1)d ()|42022x x x x -=-=⨯-=⎰.2．【答案】16【解析】由题意可得封闭图形的面积为122310011111()d ()|23236x x x x x -=-=-=⎰. 3．【答案】116【解析】开始n =1,T =1,因为1<3,所以11212001131d 1|11222T x x x =+=+=+⨯=⎰,n =1+1=2; 因为2<3,所以13130023313111d |1223236T x x x =+=+=+⨯=⎰,n =2+1=3.因为3<3不成立,所以输出T ,即输出的T 的值为116.4．【答案】512【解析】依题意知点D 的坐标为(1,4),所以矩形ABCD 的面积S =1×4=4,阴影部分的面积S 阴影=3222111754d 44333| x x x =-=--=⎰, 根据几何概型的概率计算公式得,所求的概率P =553412S S ==阴影.5．【答案】1.2【解析】建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是()11010222162⨯+-⨯⨯=，设抛物线的方程为22x py =(0p >)，因为该抛物线过点()5,2，所以2225p ⨯=，解得254p =，所以2252x y =，即2225y x =，所以当前最大流量是()()53235355222240(2)d (2)(255)[255]257575753x x x x ---=-=⨯-⨯-⨯--⨯-=⎰，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是161.2403=，所以答案为1.2．。

高考专题--定积分与微积分的基本定理高考考点：1、定积分的计算2、定积分的应用高考中对定积分的考查主要是考查定积分的概念和几何性质，以及利用微积分定理计算定积分、使用定积分求曲边梯形的面积，并能解决一些简单的物理问题等．在解题时要熟练运用微积分定理及定积分的相关运算性质求解，必要时运用数形结合的思想求解. 考点1 定积分的计算题组一 用牛顿—莱布尼茨公式求定积分调研1 已知函数1(10)()πcos (0)2x x f x x x +-≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则π21()d f x x -=⎰A ．12 B ．1 C ．2 D ．32【答案】D 【解析】πππ200222101113()d (1)d cos d ()|sin |1222x f x x x x x x x x ---=++=++=+=⎰⎰⎰，故选D.☆技巧点拨☆1．用牛顿—莱布尼茨公式求定积分的步骤（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差； （2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； （3）分别用求导公式找到一个相应的原函数； （4）利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值； （5）计算原始定积分的值. 2．分段函数的定积分分段函数求定积分，可先把每一段函数的定积分求出后再相加． 题组二 用定积分的几何意义求定积分 调研2 计算333(cos )d x x x -=⎰.【答案】0【解析】∵3cos y x x =为奇函数，∴333(cos )d 0x x x -=⎰.调研3 若222d 2mx x x -π--=⎰，则m 等于 A ．−1 B ．0 C ．1D ．2【答案】B【解析】由已知可得: 22y x x =--的图象为圆：22(1)1x y ++=对应的上半部分，由定积分的几何意义可得0m =，故选B. ☆技巧点拨☆1．求定积分的三种方法（1）利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强； （2）利用微积分基本定理求定积分；（3）利用定积分的几何意义求定积分．当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．例如，定积分121d x x -⎰的几何意义是求单位圆面积的14，所以120π1d =4x x -⎰.2．奇偶函数的定积分（1）若奇函数y =f (x )的图象在[−a ，a ]上连续，则()d 0aa f x x -=⎰； （2）若偶函数y =g (x )的图象在[−a ，a ]上连续，则0()d 2()d aaag x x g x x -=⎰⎰.考点2 定积分的应用题组一 利用定积分求平面图形的面积 调研1 已知a >0，若曲线y x =、x a =与0y =所围成的封闭区域的面积为2a ，则a =________.【答案】49【解析】由题意322002d |3aa a x x x ==⎰，所以a ＝49. 调研2 已知{()|,01}1,0x y x y Ω≤≤≤≤＝，A 是由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 4所围成的曲边三角形的平面区域，若向平面区域Ω内随机投一点M ，则点M 落在区域A 内的概率为________． 【答案】15【解析】区域Ω对应的是边长为1的正方形，其面积为S ＝1.区域A 是由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 4围成的曲边三角形，如图中阴影部分，故区域A 的面积为S A ＝14510011d |55x x x ==⎰.所以点M 落在区域A 内的概率为15. ☆技巧点拨☆利用定积分求平面图形的面积是近几年高考考查定积分的一个重要考查方向，多以选择题、填空题的形式考查．难度一般不大，属中低档题型．常见的题型及其解法如下： 1．利用定积分求平面图形面积的步骤 ①根据题意画出图形；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案．注意：当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零． 2．知图形的面积求参数求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值． 3．与概率相交汇问题解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算. 题组二 定积分的物理意义调研3 一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度55()51V t t t=-++(t 的单位:s ，v 的单位:m/s)紧急刹车至停止.在此期间火车继续行驶的距离是 A ．55ln 10 mB ．55ln 11 mC ．(12+55ln 7) mD ．(12+55ln 6) m【解析】令55501t t -+=+，注意到t >0，得t =10，即行驶的时间为10 s. 行驶的距离s =1021000551(5)d [555ln(1)]|55ln1112t t t t t t -+=-++=+⎰，即紧急刹车后火车继续行驶的距离为55ln 11 m. ☆技巧点拨☆利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求. 强化训练：1．由曲线1xy =与直线y x =，3y =所围成的封闭图形的面积为 A ．2ln3-B ．ln3C ．2D ．4ln3-【答案】D2．设()[](]cos ,0,π1,π,2πx x f x x ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，则()2π0d f x x =⎰A ．0B ．πC ．π-D ．π2【答案】B 【解析】由已知得()2πd f x x =⎰π2ππ2π0π0πcos d 1d sin ||πx x x x x +=+=⎰⎰，故选B.3．若π20π22sin d 4n x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，则2ny y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为A ．8B ．16C ．24D ．604．已知平面区域(){,|0π,01}x y x y Ω=≤≤≤≤，现向该区域内任意掷点，则该点落在曲线2sin y x =下方的概率是 A ．12B ．1π C ．2πD ．π4【答案】A5．已知函数()f x 的部分图象如图所示，向图中的矩形区域随机投出200粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数，通过100次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数为66，由此可估计()2d f x x ⎰的值约为A ．9925B ．9950 C ．310D ．35【解析】由定积分的几何意义知()2d f x x ⎰的值即为阴影部分面积S ，再由几何概型可知6620023S=⨯，解得9950S =．故本题选B ． 6．()22214d x x -+-=⎰___________.【答案】42π+ 【解析】由题意得()2222222214d 1d 4d x x x x x ---+-=+-⎰⎰⎰，令24y x =-，则()2240x y y +=≥，其图象为半圆，且面积为2π，又22221d |4x x --==⎰，所以填42π+. 7．如图所示，在平面直角坐标系内，四边形ABCD 为正方形且点C 坐标为11,2⎛⎫⎪⎝⎭.抛物线Γ的顶点在原点，关于x 轴对称，且过点C .在正方形ABCD 内随机取一点M ，则点M 在阴影区域内的概率为_________．【答案】238．设曲线cos y x =与x 轴、y 轴、直线π6x =围成的封闭图形的面积为b ，若()22ln 2g x x bx kx =--在[)1,+∞上单调递减，则实数k 的取值范围是__________．【答案】[0,)+∞【解析】由题意可知，ππ660π11cos d sin |sinsin 00622b x x x ===-=-=⎰，则()222ln 22ln g x x bx kx x x kx =--=--，()22g x x k x-'=-， 由()22ln 2g x x bx kx =--在[)1,+∞上单调递减，9．2(1)d x x -=⎰．【答案】0 【解析】2220011(1)d ()|42022x x x x -=-=⨯-=⎰.10．曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 ． 【答案】16【解析】由题意可得封闭图形的面积为122310011111()d ()|23236x x x x x -=-=-=⎰. 11．执行如图所示的程序框图，输出的T 的值为 ．【答案】错误！未找到引用源。

定积分与微积分根本定理习题一、选择题1．a＝2xdx，b＝2e x dx，c＝2sinxdx，那么a、b、c的大小关系是()000 A．<<B．<<C．<<a D．<<acb abc cb cab2．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为()练习、设点P在曲线y＝x2上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线OP，直线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记作1，2.如下列图，当1＝2时，点P的坐标是()S S S S3．由三条直线x＝0、x＝2、y＝0和曲线y＝x3所围成的图形的面积为() A．4D．64．1－1(sin x＋1)dx的值为()A．0B．2C ．2＋2cos1D．2－2cos15．曲线y＝cosx(0≤x≤2π)与直线y＝1所围成的图形面积是()A．2πB．3πD．π6．函数F(x)＝x t(t－4)dt在[－1,5]上()32A．有最大值0，无最小值B．有最大值0和最小值－332C．有最小值－3，无最大值D．既无最大值也无最小值7．等差数列2＋n，函数f(x)＝x1{a}的前n项和S＝2nt dt，假设f(x)<a，那么x的取值范围是()n n31B．(0，21)C．(－11，)D．(0，11)e e e e8．如下列图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成如下列图的阴影局部，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，那么所投的点落在阴影局部的概率是()x＋2－2≤x<09．函数f(x)＝π的图象与x轴所围成的图形面积S为()2cosx0≤x≤2B．1 C．410．设函数f(x)＝x－[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－]＝－2，[]＝1，[1]＝1.又函数x ng(x)＝－3，f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m，f(x)与g(x)的图象交点的个数记为n，那么g(x)dx的m值是()54C．－57A．－B．－D．－234611．甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规那么如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c(b、c可以相等)，假设关于x的方程x2＋2bx＋c＝0有实根，那么甲获胜，否那么乙获胜，那么在一场比赛中甲获胜的概率为()12．正方形四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1) ，曲线y＝x2(x≥0)与x轴，直线x＝1构成区域M，现将一个质点随机地投入正方形中，那么质点落在区域 M内的概率是( )二、填空题13．函数f(x)＝3x2＋2x＋1，假设1－1f(x)dx＝2f(a)成立，那么a＝________.14．＝∫π0(sinx＋cos)dx，那么二项式(a x－1)6的展开式中含x2项的系数是________．a2xx15．抛物线y 2＝2与直线y＝4－x围成的平面图形的面积为________．x16．抛物线y 2＝(>0)与直线x＝1围成的封闭图形的面积为4，假设直线l与抛物线相切且平行于直线axa32x－y＋6＝0，那么l 的方程为______．17．函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如下列图，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数1图象所围成区域(图中阴影局部)的面积为12，那么a的值为________．三、解答题18．如下列图，在区间[0,1]上给定曲线2，试在此区间内确定t的值，使图中阴影局部的面积1 y＝x S＋S2最小．122xx2221、[答案]D[解析]a＝2xdx＝2x|0＝2，b＝2edx＝e|0＝e－1>2，c＝2sinxdx＝－cosx|0＝1000－cos2∈(1,2)，∴c<a<b.y＝x22、[答案]A[解析]由y＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．∴＝1(23＝131411 x－x)dxx－x0＝.S3412 0练习；[答案]A[解析]设P(t，t2≤t≤2)，那么直线OP：y＝tx，∴S＝t2t32 )(0(tx－x)dx＝6；S＝120t8t 34416212，(x －tx)dx＝3－2t＋6，假设S＝S，那么t＝3，∴P39.3x423、[答案]A[解析]S＝2xdx＝40＝4.4、[答案]B[解析]1(sinx＋1)dx＝(－cosx＋x)|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.5、[答案]A[解析]2π2π＝2π.如右图，S＝∫0(1－cosx)dx＝(x－sinx)|06、[答案]B[解析]F′(x)＝x(x－4)，令F′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4，7322532∵F(－1)＝－3，F(0)＝0，F(4)＝－3，F(5)＝－3.∴最大值为0，最小值为－3.7、[答案]D；[解析]f(x)＝x1|x＝lnx，a＝S－S＝2111t dt＝lnt1－10＝11，由lnx<11得，0<x<e.33218、[答案]A[解析]由图可知阴影局部是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得＝πSsinxdx＝－cosx|πP＝S2＝1.0＝－(cosπ－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率＝πS矩形OABC2π9、[答案]C[解析]面积＝∫πf()dx＝0－2(x＋2)dxπ02cosxd＝2＋2＝4.－2＋∫S2x2x10、[答案]A[解析]由题意可得，当0<x<1时，[x]＝0，f(x)＝x，当1≤x<2时，[x]＝1，f(x)＝x－1，所以当x∈(0,2)时，函数f(x)有一个零点，由函数f(x)与g(x)的图象可知两个函数有4个交点，n4x x245所以m＝1，n＝4，那么g(x)dx＝－3dx＝－61＝－2.m111、[答案]A；[解析]方程x2＋2bx＋c＝0有实根的充要条件为＝4b2－4c≥0，即b2≥c，1b2db01由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p＝1×1＝3.12、[答案]C ；[解析]如图，正方形面积213|111 1，区域M的面积为S＝1x dx＝x＝，故所求概率p＝.3331232113、[答案]－1或3；[解析]∵1－1f(x)dx＝1－1(3x ＋2x＋1)dx＝(x＋x＋x)|－1＝4，1－211f(x)dx＝2f(a)，∴6a＋4a＋2＝4，∴a＝－1或.14、[答案]－192；[解析]由得aπ0(sinx＋cos)dx＝(－cosxπ0＝(sinπ＝∫＋sin)|－2x x22π16的展开式中第r＋1项是T ＝(－1)r r6－r×x3－r，令3－r＝cos2)－(sin0－cos0)＝2，(2x－x)×C×2r＋162得，r＝1，故其系数为115(－1)×C6×2＝－192.15、[答案]18[解析]由方程组y2＝2x 解得两交点(2,2)、(8，－4)，选y作为积分变量x＝y2、y＝4－x A B2x＝4－y∴S＝y2y2y322－4[(4－y)－]dy＝(4y－－)|－4＝18.22616、[答案]16－8y ＋1＝0[解析]由题意知1x2axdx＝3，∴a＝1，2221设l：y＝2x＋b代入y ＝x中，消去y得，4x＋(4b－1)x＋b＝0，由＝0得，b＝8，∴l方程为16x－8y＋1＝0.17、[答案]－1[解析]f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，∵f′(0)＝0，∴b＝0，∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a<0)．S＝－0(32141阴影－x＋ax)dx＝12a＝12，∴a＝－1.a2t22318、[解析]由题意得S1＝t·t－xdx＝3t，2＝12d－t 2(1－)＝23－t2＋1，所以S x x t3t3t＝1＋2＝43－21≤≤1)．3t t＋(0SSS3t又′(＝4t 2－2t＝4tt－1，令′(＝，得t＝1或t＝.St)2St)021 1因为当0<t<2时，S′(t)<0；当2<t≤1时，S′(t)>0.所以()在区间，1上单调递减，在区间1t11，1上单调递增．所以，当＝时，min＝.St222S4。

3.4 定积分与微积分基本定理一、选择题1．与定积分∫3π1－cos x d x 相等的是( )． A.2∫3π0sin x2d xB.2∫3π⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2d x C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪2∫3π0sin x 2d xD ．以上结论都不对解析 ∵1－cos x ＝2sin 2x2，∴∫3π1－cos x d x ＝ ∫3π02|sin x2|d x ＝2∫3π|sin x2|d x .答案 B2. 已知f (x )为偶函数，且⎠⎛06f(x)d x ＝8，则⎠⎛6－6f(x)d x ＝( )A ．0B ．4C ．8D ．16解析 ⎠⎛6－6f(x)d x ＝2⎠⎛06f(x)d x ＝2×8＝16.答案 D3．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )．A.1603 mB.803 mC.403 mD.203 m 解析 v ＝40－10t 2＝0，t ＝2，⎠⎛02(40－10t 2)d t ＝⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫40t －103t 320＝40×2－103×8＝1603(m)． 答案 A4．一物体以v ＝9.8t ＋6.5(单位：m /s )的速度自由下落，则下落后第二个 4 s 内经过的路程是( )A ．260 mB ．258 mC ．259 mD ．261.2 m 解析 ⎠⎛48(9.8t ＋6.5)d t ＝(4.9t 2＋6.5t)⎪⎪ 84＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4＝313.6＋52－78.4－26＝261.2. 答案 D5．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )．A.103 B ．4 C.163D ．6解析 由y ＝x 及y ＝x －2可得，x ＝4，所以由y ＝x 及y ＝x －2及y 轴所围成的封闭图形面积为⎠⎛04(x －x ＋2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2＋2x | 40＝163.答案 C6．已知a ＝∑i ＝1n1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2，n ∈N *，b ＝⎠⎛01x 2d x ，则a ，b 的大小关系是( )．A ．a >bB ．a ＝bC ．a <bD ．不确定答案 A 7．下列积分中①⎠⎛1e 1x d x ；②⎠⎛2－2x d x ；③⎠⎛024－x 2πd x ； ④∫π20cos 2x x －sin xd x ，积分值等于1的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 解析 ①⎪⎪⎪⎠⎛1e 1x d x ＝ln x e 1＝1， ②⎪⎪⎪⎠⎛2－2x d x ＝12x 22－2＝0， ③⎠⎛024－x 2πd x ＝1π(14π22)＝1，④∫π20cos 2x2cos x －sin x d x ＝12∫π20(cos x ＋sin x )d x ＝12(sin x －cos)|π20＝1.答案 C 二、填空题8．如果10 N 的力能使弹簧压缩10 cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm ，则力所做的功为______．解析 由F(x)＝kx ，得k ＝100，F(x)＝100x ，W ＝∫0.060100x d x ＝0.18(J )． 答案 0.18 J9．曲线y ＝1x与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形的面积为____________．答案 32－ln 210．若⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝0，则k 等于_________．解析 ⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝⎠⎛0k 2x d x －⎠⎛0k 3x 2d x ＝x 2⎪⎪⎪⎪k－x 3k0＝k 2－k 3＝0，∴k＝0或k ＝1. 答案 0或111． ⎠⎛12|3－2x |d x ＝________. 解析∵|3－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋3，x ≤32，2x －3，x ＞32，∴⎠⎛12|3－2x |d x ＝∫321(3－2x )d x ＋⎠⎛232(2x －3)d x＝|x －x 2321＋(x 2－3x )|232＝12. 答案 1212．抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积为________．解析 如图所示，因为y ′＝－2x ＋4，y ′|x ＝1＝2，y ′|x ＝3＝－2，两切线方程为y ＝2(x －1)和y ＝－2(x －3)．由⎩⎨⎧y ＝x －，y ＝－x －得x ＝2.所以S ＝⎠⎛12[2(x －1)－(－x 2＋4x －3)]d x ＋⎠⎛23[－2(x －3)－(－x 2＋4x －3)]d x＝⎠⎛12(x 2－2x ＋1)d x ＋⎠⎛23(x 2－6x ＋9)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2＋x 21＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－3x 2＋9x 32＝23. 答案 23三、解答题13．如图在区域Ω＝{(x ，y )|－2≤x ≤2,0≤y ≤4}中随机撒900粒豆子，如果落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，试估计落在图中阴影部分的豆子数．解析 区域Ω的面积为S 1＝16. 图中阴影部分的面积S 2＝S 1－⎪⎪⎪⎠⎛2－2x 2d x ＝16－13x 32－2＝323. 设落在阴影部分的豆子数为m ，由已知条件m900＝S 2S 1，即m ＝900S 2S 1＝600.因此落在图中阴影部分的豆子约为600粒．14．如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解析 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1， 所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－13x 310＝16. 又⎩⎨⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以， S 2＝∫1－k 0(x －x 2－kx )d x ＝⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫1－k 2x 2－13x 31－k 0＝16(1－k )3.又知S ＝16， 所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－ 312＝1－342.15．曲线C ：y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，求过P 的切线l 与C 围成的图形的面积．解析 设切点坐标为(x 0，y 0)y ′＝6x 2－6x －2，则y ′|x ＝x 0＝6x 20－6x 0－2， 切线方程为y ＝(6x 2－6x 0－2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则y 0＝(6x 20－6x 0－2)⎝⎛⎭⎪⎫x 0－12，即2x 3－3x 20－2x 0＋1＝(6x 20－6x 0－2)⎝⎛⎭⎪⎫x 0－12.整理得x 0(4x 20－6x 0＋3)＝0，解得x 0＝0，则切线方程为y ＝－2x ＋1. 解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ＋1，y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝－2.由y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1与y ＝－2x ＋1的图象可知S ＝∫320[(－2x ＋1)－(2x 3－3x 2－2x ＋1)]d x[来源:学*科*网] ＝∫320(－2x 3＋3x 2)d x ＝2732.16. 已知二次函数f(x)＝3x 2－3x ，直线l 1：x ＝2和l 2：y ＝3tx(其中t 为常数，且0<t<1)，直线l 2与函数f(x)的图象以及直线l 1、l 2与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如图K 15－3，设这两个阴影区域的面积之和为S(t)． (1)求函数S(t)的解析式；(2)定义函数h(x)＝S(x)，x ∈R .若过点A (1，m )(m ≠4)可作曲线y ＝h (x )(x ∈R )的三条切线，求实数m 的取值范围．解析 (1)由⎩⎨⎧y ＝3x 2－3x ，y ＝3tx得x 2－(t ＋1)x ＝0，所以x 1＝0，x 2＝t ＋1.所以直线l 2与f(x)的图象的交点的横坐标分别为0，t ＋1. 因为0<t<1，所以1<t ＋1<2.所以S(t)＝∫t ＋1[3tx －(3x 2－3x)]d x ＋⎠⎛2t ＋1[(3x 2－3x)－3tx]d x ＝ ⎪⎪⎪⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋2x 2－x 3t ＋10＋⎪⎪⎪⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 3－＋2x 22t ＋1 ＝(t ＋1)3－6t ＋2.(2)依据定义，h(x)＝(x ＋1)3－6x ＋2，x ∈R ， 则h ′(x )＝3(x ＋1)2－6.因为m ≠4，则点A (1，m )不在曲线y ＝h (x )上．过点A 作曲线y ＝h (x )的切线，设切点为M (x 0，y 0)，则3(x 0＋1)2－6＝x 0＋3－6x 0＋2－m x 0－1，化简整理得2x 30－6x 0＋m ＝0，其有三个不等实根．设g (x 0)＝2x 30－6x 0＋m ，则g ′(x 0)＝6x 20－6. 由g ′(x 0)>0，得x 0>1或x 0<－1； 由g ′(x 0)<0，得－1<x 0<1，所以g (x 0)在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减， 所以当x 0＝－1时，函数g (x 0)取极大值； 当x 0＝1时，函数g (x 0)取极小值． 因此，关于x 0的方程2x 30－6x 0＋m ＝0有三个不等实根的充要条件是⎩⎨⎧ g －，g ，即⎩⎨⎧m ＋4>0，m －4<0，即－4<m <4.故实数m 的取值范围是(－4,4)．。

（山东专用）高考数学一轮复习专题16定积分与微积分基本定理（含解析）一、【知识精讲】1.定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i＝1，2，…，n )，作和式∑n i ＝1f (ξi )Δx ＝∑n i ＝1b －a n f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝在⎠⎛ab f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式.(2)定积分的几何意义f (x ) ⎠⎛abf (x )d x 的几何意义f (x )≥0表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积f (x )＜0表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积的相反数f (x )在[a ，b ]上有正有负表示位于x 轴上方的曲边梯形的面积减去位于x 轴下方的曲边梯形的面积2.(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数).(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x .(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a ＜c ＜b ).3.微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a ).这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.可以把F (b )－F (a )记为F (x )⎪⎪⎪b a ，即⎠⎛a b f (x )d x ＝F (x )⎪⎪⎪ba)＝F (b )－F (a ). [微点提醒]函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有 (1)若f (x )为偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .(2)若f (x )为奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0. 二、【典例精练】 考点一 定积分的计算【例1】 (1)⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝________.(2) （2012【答案】 (1)π 【解析】(1)⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝(sin x ＋x )⎪⎪⎪π0＝π.(2) 【解法小结】 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和； (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分. 考点二 定积分的几何意义角度1 利用定积分的几何意义计算定积分【例2－1】 (1)计算：⎠⎛01(2x ＋1－x 2)d x ＝________.(2) （2013请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：．【答案】 (1)π4＋1 【解析】 (1)由定积分的几何意义知，⎠⎛011－x 2d x 表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的14，所以⎠⎛11－x 2d x ＝π4，又⎠⎛012x d x ＝x 2⎪⎪⎪10＝1，所以⎠⎛01(2x ＋1－x 2)d x ＝π4＋1.(2)从而得到如下等式：答案角度2 利用定积分计算平面图形的面积【例2－2】 （2014 ）A ．2 D ．4 【答案】D【解法小结】 1.运用定积分的几何意义求定积分，当被积函数的原函数不易找到时常用此方法求定积分. 2.利用定积分求曲边梯形面积的基本步骤：画草图、解方程得积分上、下限，把面积表示为已知函数的定积分(注意：两曲线的上、下位置关系，分段表示的面积之间的关系). 考点三 定积分在物理中的应用【例3】 (1)物体A 以v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线l 上运动，物体B 在直线l 上，且在物体A 的正前方5 m 处，同时以v ＝10t (m/s)的速度与A 同向运动，出发后，物体A 追上物体B 所用的时间t (s)为( ) A.3B.4C.5D.6(2)设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________ J(x 的单位：m ，力的单位：N).【答案】 (1)C (2)342【解析】(1)因为物体A 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t (3t 2＋1)d t ，物体B 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t 10t d t .所以⎠⎛0t (3t 2＋1－10t )d t ＝(t 3＋t －5t 2)⎪⎪⎪t0＝t 3＋t －5t 2＝5.整理得(t －5)(t 2＋1)＝0，解得t ＝5.(2)变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝⎠⎛110F (x )d x ＝⎠⎛110(x 2＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x ⎪⎪⎪101＝342(J).【解法小结】 定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的位移s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .【思维升华】1.定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关.2.⎠⎛a b f (x )d x 、⎠⎛a b |f (x )|d x 与|⎠⎛ab f (x )d x |在几何意义上有不同的含义，由于被积函数f (x )在闭区间[a ，b ]上可正可负，也就是它的图象可以在x 轴上方、也可以在x 轴下方、还可以在x 轴的上下两侧，所以⎠⎛ab f (x )d x表示由x 轴、函数f (x )的曲线及直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )之间各部分面积的代数和；而|f (x )|是非负的，所以⎠⎛a b |f (x )|d x 表示在区间[a ，b ]上所有以|f (x )|为曲边的正曲边梯形的面积；而|⎠⎛a b f (x )d x |则是⎠⎛ab f (x )d x的绝对值，三者的值一般情况下是不相同的. 【易错注意点】1.若定积分的被积函数是分段函数，应分段积分然后求和.2.若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量.3.定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负. 三、【名校新题】1.(2019·西安调研)定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A.e ＋2B.e ＋1C.eD.e －1【答案】C【解析】 ⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )⎪⎪⎪10)＝1＋e 1－1＝e.2.(2019·郑州模拟)汽车以v ＝(3t ＋2) m/s 做变速运动时，在第1 s 至第2 s 之间的1 s 内经过的路程是( ) A.132m B.6 mC.152m D.7 m【答案】A【解析】 s ＝⎠⎛12(3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋2t ⎪⎪⎪21＝32×4＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋2＝10－72＝132(m). 3.(2018·青岛月考)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积S ，正确的是( ) A.S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d xB.S ＝⎠⎛02(x 3－4x )d xC.S ＝⎠⎛02⎝⎛⎭⎪⎫3y －y 4d yD.S ＝⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫y 4－3y d y【答案】A【解析】 两函数图象的交点坐标是(0，0)，(2，8)，故对x 积分时，积分上限是2、下限是0，由于在[0，2]上，4x ≥x 3，故直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3所围成的封闭图形的面积S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ⎝⎛⎭⎪⎫同理对y 积分时S ＝⎠⎛08⎝ ⎛⎭⎪⎫3y －y 4d y .4.(2019·安阳模拟)若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a <c <bB.a <b <cC.c <b <aD.c <a <b【答案】D【解析】 由微积分基本定理a ＝⎠⎛02x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3⎪⎪⎪20＝83，b ＝⎠⎛02x 3d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 4⎪⎪⎪20＝4，c ＝⎠⎛02sin x d x ＝(－cos x )⎪⎪⎪20＝1－cos 2<2，则c <a <b .5.(2019届江西九江高三第一次十校联考)M=dx,T=sin 2xdx,则T 的值为( )A. B.- C.-1 D.1【答案】 A【解析】先求出M=6.(2019届山东日照一中第二次质量达标检测)在函数y=cos x,x∈的图象上有一点P(t,cos t),若该函数的图象与x轴、直线x=t,围成图形(如图阴影部分)的面积为S,则函数S=g(t)的图象大致是( )【答案】 B【解析】因为g（t）==，所以图像是B.7.(2019届吉林长春实验中学上学期期中,6)设f(x)=则f(x)dx等于( )A. B. C. D.0【答案】 A【解析】原式=8.(2018山东菏泽第一次模拟)若(n∈N*)的展开式中含有常数项,且n的最小值为a,则dx=( )A.36πB.C.D.25π【答案】 C【解析】可求出a=5,由定积分的几何意义知：所求定积分为半径为5的半圆的面积，为.9.（荆州市2019届高三联考）已知函数234567()1234567x x x x x xf x x=+-+-+-+，若函数()(3)h x f x=-的零点都在区间(,)(,,)a b a b a b Z <∈内，当b a -取最小值时，(21)bax dx -⎰等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】：B 【解析】234562326326()1(1)(1)(1)(1)f x x x x x x x x x x x x x x x x x '=-+-+-+=-+--++=--++，可知当1x ≤时，()0f x '>成立，又2345624232()11(1)(1)1(1)(1)f x x x x x x x x x x x x x x x x x '=-+-+-+=--++-+=+--+，可知当1x >时，()0f x '>成立，所以对任意R x ∈，()0f x '>，()f x 单调递增，所以函数()f x 只有一个零点，(0)10f =>，111111(1)0234567f -=------<，所以()f x 的零点位于区间(1,0)-，所以函数 ()(3)h x f x =-的零点位于区间(2,3)，即2,3a b ==，所以32(21)(21)bax dx x dx -=-⎰⎰322()624x x =-=-=10.(2019·昆明诊断)若⎠⎛a0x 2d x ＝9，则常数a 的值为________.【答案】-3【解析】 ⎠⎛a0x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪0a ＝－13a 3＝9，∴a 3＝－27，a ＝－3.11.(2019·济南模拟)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________. 【答案】49【解析】封闭图形如图所示，则⎠⎛0a x d x ＝23x 32⎪⎪⎪a0＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49.12.(2019·广州调研)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1），x 2－1，x ∈[1，2]，则⎠⎛－12f (x )d x 的值为________.【答案】π2＋43【解析】 ⎠⎛－12f (x )d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝12π×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝π2＋43. 13.(2019·长春模拟)在平面直角坐标系xOy 中，将直线y ＝x 与直线x ＝1及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V 圆锥＝⎠⎛01πx 2d x ＝π3x 3⎪⎪⎪10＝π3.据此类比：将曲线y ＝2 ln x 与直线y ＝1及x 轴、y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V ＝________.【答案】π(e－1)【解析】 类比已知结论，将曲线y ＝2ln x 与直线y ＝1及x 轴、y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到旋转体的体积应为一定积分，被积函数为π(e y2)2＝πe y ，积分变量为y ，积分区间为[0，1]，即V ＝⎠⎛01πe yd y＝πe y ⎪⎪⎪1＝π(e－1).14.(2019届安徽皖南八校第一次联考)用min{a,b}表示a,b 两个数中的最小数,设f(x)=min ,则由函数f(x)的图象,x 轴,直线x=和直线x=2所围成的封闭图形的面积为 . 【答案】+ln 2【解析】S=.15.(2019届江西新余第四中学月考)由x=-,x=,y=0,y=cos x 四条曲线所围成的封闭图形的面积为 . 【答案】【解析】因为函数y=在上为偶函数，所以所求面积S=216.（黄山市普通高中2019届高三“八校联考”）二项式636ax ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数为3，则0axdx =⎰________．【答案】【解析】由题意可求出a=0axdx =⎰=。

§3.3 定积分与微积分基本定理1．定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑n i ＝1f (ξi )Δx ＝∑n i ＝1b －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ʃb a f (x )d x ，即ʃba f (x )d x ＝lim n →∞∑ni ＝1b －anf (ξi )． 在ʃb a f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 2．定积分的性质(1)ʃb a kf (x )d x ＝k ʃb a f (x )d x (k 为常数)；(2)ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x ；(3)ʃb a f (x )d x ＝ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (其中a <c <b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F (b )－F (a )F (x )|b a ，即ʃb a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．知识拓展1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零． 2．若函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有(1)若f (x )为偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa0f (x )d x .(2)若f (x )为奇函数，则ʃa －a f (x )d x ＝0.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则ʃb a f (x )d x ＝ʃb a f (t )d t .( √ )(2)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒正，则ʃb a f (x )d x >0.( √ )(3)若ʃb a f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方．( × ) (4)曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积是ʃ10(x 2－x )d x .( × )题组二 教材改编 2．[P66A 组T14]ʃe ＋121x －1d x ＝________. 答案 1 解析 ʃe ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝ln e －ln 1＝1. 3．[P55A 组T1] ʃ0－11－x 2d x ＝________. 答案 π4解析 ʃ0－11－x 2d x 表示由直线x ＝0，x ＝－1，y ＝0以及曲线y ＝1－x 2所围成的图形的面积，∴ʃ0－11－x 2d x ＝π4. 4．[P60A 组T6]汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是________ m. 答案132解析 s ＝ʃ21(3t ＋2)d t ＝2213(2)|2t t + ＝32×4＋4－⎝⎛⎭⎫32＋2＝10－72＝132(m)． 题组三 易错自纠5．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．4 答案 D解析 如图，y ＝4x 与y ＝x 3的交点为A (2,8)， 图中阴影部分即为所求图形面积．S 阴＝ʃ20(4x －x 3)d x＝24201(2)|4x x -＝8－14×24＝4，故选D.6．若ʃT 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．答案 3解析 ∵ʃT 0x 2d x ＝13x 3|T 0＝13T 3＝9，∴T ＝3. 7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 的值为________．答案 43解析 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃ101d x＝30110||3x x -+＝13＋1＝43.题型一 定积分的计算1．(2018·唐山调研)定积分ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝______.答案 23解析 ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝ʃ1－1x 2d x ＋ʃ1－1sin x d x ＝2ʃ10x 2d x ＝2·310|3x ＝23. 2．ʃ1－1e |x |d x 的值为( )A ．2B ．2eC ．2e －2D ．2e ＋2答案 C解析 ʃ1－1e |x |d x ＝ʃ0－1e －x d x ＋ʃ10e xd x＝－e －x |0－1＋e x |10＝[－e 0－(－e)]＋(e －e 0)＝－1＋e ＋e －1＝2e －2，故选C.3．(2017·昆明检测)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则ʃ20f (x )d x 等于( ) A.34 B.45 C.56 D ．不存在答案 C解析 如图，ʃ20f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃ21(2－x )d x＝31220111|(2)|32x x x +- ＝13＋⎝⎛⎭⎫4－2－2＋12＝56. 思维升华 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分．题型二 定积分的几何意义命题点1 利用定积分的几何意义计算定积分典例 (1)计算：ʃ313＋2x －x 2 d x ＝________.(2)若ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m ＝________. 答案 (1)π (2)－1解析 (1)由定积分的几何意义知，ʃ313＋2x －x 2 d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝4和x ＝1，x ＝3，y＝0围成的图形的面积，∴ʃ313＋2x －x 2d x ＝14×π×4＝π.(2)根据定积分的几何意义ʃm －2－x 2－2x d x 表示圆(x ＋1)2＋y 2＝1和直线x ＝－2，x ＝m 和y＝0围成的图形的面积，又ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4为四分之一圆的面积，结合图形知m ＝－1.命题点2 求平面图形的面积典例 (2017·青岛月考)由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的封闭平面图形的面积为________． 答案 4－ln 3解析 由xy ＝1，y ＝3，可得A ⎝⎛⎭⎫13，3.由xy ＝1，y ＝x ，可得B (1,1)，由y ＝x ，y ＝3，得C (3,3)，由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成图形的面积为1131(3)d x x -⎰＋ʃ31(3－x )d x ＝113(3ln )|x x -＋2311(3)|2x x -＝(3－1－ln 3)＋⎝⎛⎭⎫9－92－3＋12＝4－ln 3.思维升华 (1)根据定积分的几何意义可计算定积分． (2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； ②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案．跟踪训练 (1)定积分ʃ309－x 2d x 的值为________．答案9π4解析 由定积分的几何意义知，ʃ309－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积．故ʃ309－x 2d x ＝π·324＝9π4.(2)如图所示，由抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (0，－3)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积为______．答案 94解析 由y ＝－x 2＋4x －3，得y ′＝－2x ＋4.易知抛物线在点A 处的切线斜率k 1＝y ′|x ＝0＝4，在点B 处的切线斜率k 2＝y ′|x ＝3＝－2.因此，抛物线在点A 处的切线方程为y ＝4x －3，在点B 处的切线方程为y ＝－2x ＋6. 两切线交于点M ⎝⎛⎭⎫32，3.因此，由题图可知所求的图形的面积是 S ＝33222302[(43)(43)]d [(26)(43)]d x x x x x x x x ---+-+-+--+-⎰⎰33222302d (69)d x x x x x =+-+⎰⎰33323203211|(39)|33x x x x =+-+ ＝98＋98＝94.题型三 定积分在物理中的应用典例 一物体作变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12 s ～6 s 间的运动路程为____ m. 答案494解析 由题图可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t ≤3，13t ＋1，3<t ≤6.由变速直线运动的路程公式，可得611122()d 2d s t t t x ==⎰⎰v ＋ʃ312d t ＋ʃ63⎝⎛⎭⎫13t ＋1d t ＝2132611321|2|()|6t t t t +++＝494(m)．所以物体在12 s ～6 s 间的运动路程是494 m.思维升华 定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝ʃb a v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝ʃba F (x )d x .跟踪训练 一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( ) A. 3 J B.233 JC.433 J D ．2 3 J答案 C解析 ʃ21F (x )cos 30°d x ＝ʃ2132(5－x 2)d x＝3211[(5)3x x -＝433， ∴F (x )做的功为433 J.1．π220sin d 2xx ⎰等于( ) A ．0 B.π4－12 C.π4－14D.π2－1答案 B 解析ππ222001cos sin d d 22x x x x -=⎰⎰＝π2011(sin )|22x x -＝π4－12.2．(2018·东莞质检)ʃ1－1(1－x 2＋x )d x 等于( ) A ．π B.π2 C ．π＋1 D ．π－1答案 B解析 ʃ1－1(1－x 2＋x )d x ＝ʃ1－11－x 2d x ＋ʃ1－1x d x ＝211π1|22x -+＝π2.故选B.3.已知函数y ＝f (x )的图象为如图所示的折线ABC ，则ʃ1－1[(x ＋1)f (x )]d x 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．1 D ．－1答案 D解析 由题图易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，－1≤x ≤0，x －1，0<x ≤1，所以ʃ1－1[(x ＋1)f (x )]d x ＝ʃ0－1(x ＋1)(－x －1)d x ＋ ʃ10(x ＋1)(x －1)d x ＝ʃ0－1(－x 2－2x －1)d x ＋ʃ10(x 2－1)d x＝320311011()|()|33x x x x x ----+-＝－13－23 ＝－1，故选D.4．(2018·大连调研)若ʃa 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 答案 A解析 由题意知ʃa 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )|a 1 ＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，解得a ＝2.5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则ʃe 0f (x )d x 的值为( )A.43 B.54 C.65 D.76答案 A解析 ʃe 0f (x )d x ＝ʃ10f (x )d x ＋ʃe 1f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃe 11xd x ＝3101|3x ＋ln x |e 1＝13＋1＝43.故选A. 6．(2017·湖南长沙模拟)设a ＝ʃ10cos x d x ，b ＝ʃ10sin x d x ，则下列关系式成立的是( )A ．a >bB ．a ＋b <1C ．a <bD ．a ＋b ＝1答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∴a ＝ʃ10cos x d x ＝sin x |10＝sin 1.∵(－cos x )′＝sin x ，∴b ＝ʃ10sin x d x ＝(－cos x )|10＝1－cos 1.∵sin 1＋cos 1>1，∴sin 1>1－cos 1，即a >b .故选A. 7．定积分ʃ20|x －1|d x 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2 答案 A解析 ʃ20|x －1|d x ＝ʃ10|x －1|d x ＋ʃ21|x －1|d x ＝ʃ10(1－x )d x ＋ʃ21(x －1)d x＝221201()|()|22x x x x -+-＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫222－2－⎝⎛⎭⎫12－1＝1. 8．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止，则在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2答案 C解析 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝ʃ40⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝243[725ln(1)]|2t t t -++ ＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5.9．π)d 4x x += ________.答案 2解析 由题意得π)d 4x x +＝ππ220(sin cos )d (sin cos )|x+x x x x =-⎰＝⎝⎛⎭⎫sin π2－cos π2－(sin 0－cos 0)＝2. 10．(2018·太原调研)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为________． 答案3解析 所求面积ππ33ππ33cos d sin |S x x x --==⎰＝sin π3－⎝⎛⎭⎫－sin π3＝ 3. 11．(2017·济南模拟)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________. 答案 49解析 封闭图形如图所示，则332220022|0,33a x x a a ==-=⎰解得a ＝49.12.已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围成的面积为________．答案 43解析 根据f (x )的图象可设f (x )＝a (x ＋1)·(x －1)(a <0)．因为f (x )的图象过(0,1)点，所以－a ＝1，即a ＝－1.所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2.所以S ＝ʃ1－1(1－x 2)d x ＝2ʃ10(1－x 2)d x ＝31012()|3x x -＝2⎝⎛⎭⎫1－13＝43.13.由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( )A.13B.310C.14D.15答案 A解析 由题意得，所求阴影部分的面积 31231200211)d ()|,333S x x x x ==-=⎰ 故选A.14．(2018·呼和浩特质检)若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1 答案 B解析 方法一 S 1＝3211|3x ＝83－13＝73， S 2＝ln x |21＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝e x |21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.方法二 S 1，S 2，S 3分别表示曲线y ＝x 2，y ＝1x，y ＝e x 与直线x ＝1，x ＝2及x 轴围成的图形的面积，通过作图易知S 2<S 1<S 3.15．(2017·郑州调研)ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x ＝______. 答案 π2＋e －1e－2 解析 ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x ＝ʃ1－11－x 2d x ＋ʃ1－1(e x －1)d x .因为ʃ1－11－x 2d x 表示单位圆的上半部分的面积， 所以ʃ1－11－x 2d x ＝π2. 而ʃ1－1(e x －1)d x ＝(e x －x )|1－1＝(e 1－1)－(e －1＋1)＝e －1e－2， 所以ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x ＝π2＋e －1e－2. 16．若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则ʃ20f (x )d x ＝________. 答案 －4解析 因为f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(1)．所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－3.所以f (x )＝x 3－3x 2.故ʃ20f (x )d x ＝ʃ20(x 3－3x 2)d x ＝4320()|4x x ＝－4.。

定积分与微积分基本定理【考点导读】1． 了解定积分的实际背景，初步掌握定积分的相关概念，体会定积分的基本方法。

2． 了解微积分基本定理的含义，能利用微积分基本定理计算简单的定积分，解决一些简单的几何和物理问题。

【基础练习】1．下列等于1的积分是 （3） 。

（1）dx x ⎰10 （2）dx x ⎰+10)1( （3）dx ⎰101 （4）dx ⎰10212.曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积是 52。

3．已知自由落体运动的速率v gt =，则落体运动从0t =到0t t =所走的路程为 220gt。

4．如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm ，则力所做的功为 0.18J 。

5．220(3)10,x k dx k +==⎰则1 , 8-=⎰__454 。

【范例导析】例1．计算下列定积分的值： （1）⎰--312)4(dx x x ；（2）⎰-215)1(dx x ；（3）dx x x ⎰+20)sin (π；（4）dx x ⎰-222cos ππ；分析：求函数()f x 在某一区间上的定积分，常用的方法有两种：一是利用定积分的几何意义，转化为曲边梯形的面积来处理；二是应用微积分基本定理，关键在于找到()F x ，使()()F x f x '=。

解：（1）3223311120(4)(2)|33x x dx x x ---=-=⎰ （2）因为56)1(])1(61[-='-x x ，所以61|)1(61)1(216215=-=-⎰x dx x ；（3）222200(sin )(cos )|128x x x dx x πππ+=-=+⎰ （4）22222221cos 2sin 2cos |2242x x x xdx dx πππππππ---+==+=⎰⎰dx x ⎰-222cos ππ点评：除了题目有明确要求之外，在求定积分的两种方法中我们基本上选用微积分基本定理解决问题，避免每次都要进行“分割、以直代曲、作和、逼近”的操作，不过有时候我们不容易找到比较()F x ，这时候用定义或者其几何意义就显得方便了。