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运用口诀判断二次函数的系数关系式学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍儿个口诀来帮助同学们解惑.1.基础四看“基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数.“四看”是对二次函数y=ax? + bx+c (aHO)的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图彖直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用.例1二次函数y = ax2+bx+c(aH0)的图象如图1所示，则下列说法不正确的是( )(A)b2-4ac>0 (B)a>()(C)c>0 (D)b<0分析根据“基础四看”，由抛物线开口向上，故a>0；由对称轴在y轴的右侧，则a、b异号,故bvO：由抛物线与y轴交于负半轴，故c<0；由抛物线与x轴有两个交点，故b2-4ac>0. 所以本题答案是C.分析对于几个函数图象组合的辨别，笔者常用的一种方法是“才盾排除法”.对A屮的图象分析可得：在抛物线屮，a>().b>0,c>0；在直线屮，a>0,b>0,无矛盾, 可为备选答案.对B中的图象分析可得：在抛物线中，a<0,b<0,c<0；在直线中，a>0.b=0,有矛盾, 故排除.对C中的图象分析可得：在抛物线中，a>0,b<0,c>0；在直线中, a<0,b>0,有矛盾, 故排除.对D中的图象分析可得，在抛物线中，av(),b>0,c<0；在直线中, av(),b<(),有矛盾，故排除.所以本题答案是A.注从上面介绍中可以看到，对于某个二次函数y=ax2+bx+c(aH0)的图象我们可以对单独的a、b、c与△进行直接判断，同时也可以对a、b、c的简单乘除组合式进行符号判断.但如果遇到关于a、b、c间的一些加减组合式又如何来处理呢？2.组合二看（1）三全看点在a、b、c间的加减组合式中,最常见的如“a+b+c”，“a-b+c”，“4a+2b+c”，“4a —2b+c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1,这时只要取x为b前的系数代入二次函数y = ax2+bx+c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可.（2）有缺看轴当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决.少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c,则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a或b,则可利用对称轴提供的a、b 间转换信息，把a （或b）用b （或a）代换即可.例3已知二次函数（aHO）的图彖如图3所示，有下列4个结论：©2a+b=0；②b<a+c；③4a+2b+c>0；④3a+c>0.其中正确的结论有（）（A）l 个（B）2 个（C）3 个D. 4 个分析本题中的②③三个字母都在，且符合“三全看点”的特征，其中②变形后为a —b+c>0,由f（—1 ）<0»知a—b+c<0»不符合；③中由f（2）>0,知4“+2b+c>0,符合要求.本题中的①④字母不全，且符合“有缺看轴”的特征, 其中①少c,可直接找对称轴, 由对称轴方程为直线x=~ —= 1,即2a+b=0,符合要求；而④少b,显然是利用对称2a轴方程中b=—2a这个关系式，将原来式子中的b代换成了s,我们可能根据“三全看点” 中a、b间系数的关系进行推演，不难找到其原有的式子，或为a-b+c,或为9a+3b+c, 再任取其一判断，可得3a+c<0,不符合.所以本题答案是B.例4如图4,已知二次函数y = ax?+bx+c的图象与x轴相交于（xi，0）,（X2，0）两点,且O<xi<l, 1<X2<2,与y轴相交于（0, 一2）・下列结论：©2a+b>l；②3a+b>0；③a+b<2；④b2+8a>0；⑤a—b>2.其中正确结论的个数为（（A）l 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个分析本题有一个重要数据条件“与y轴相交于（0, —2）”，即c=—2.所以本题不少选项中的C 为一2所取代，如在③中要判断3+ b<2是否正确，就是要看a+b —2<0是否正确，即判断“a+b+c",所以可以取x=l 得 a+b+c>0,即 a+b —2>0,故③错误；同样在⑤和①中，可将原来要判断的式子变为“a—b+c”与“4a+2b+c”，分别取x =—1与x=2,即知①⑤都是错误的.由④所给的%2 + 8a>0n 可联想到“抛物线与x 轴有两个交点”，所以由b 2-4ac>0即 得④正确.只有②的辨别可用“有缺看轴”的方法，此抛物线的对称轴为直线x=- —,由“抛1Q物线与 X 轴相交于(XI ，0),(X2, 0)两点,且 OVX]V1, 1VX1V2"可知“一 且“抛物线下口向下”知“a<0”，故有“a+b 〉0”或“3a+b<0”，可得②错误.所以本题答案是A.注 与“基础四看”相比，“组合二看”的要求显然高的多，尤其是出现字母有缺时, 更要求同学们能充分把握函数图象中所给的信息.3・取值计算当解题感到无从下手时，可以尝试収值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据 (或范围)，取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断.例5从如图5所示的二次函数y=ax2 + bx+c (aHO)的图象中，观察得出了下面五 条信息：①“b>0；②a+b+cvO ；③b+2c>0；④a —2b+4c>0；⑤a — — b.你认为其中正确信息的个数有() (A)2 个 (B)3 个(C)4 个 (D)5 个分析 本题可用“取值法”判断.4 |根据对称轴収(一上，0)、(-, 0)两点，再任取与y3 34 29 3即得8= ——, b = —— , c= 1.把它代入到①~⑤中，即可知都是正确的. 所以本题答案是D.注 用“取值法”在解决此类问题时，通常只要取一组适合条件的点求出解析式即可,2 2a 2轴正半轴上的一个交点(0, 1),可求出但如果遇到抛物线在某特定范围内变化吋，要判断某些字母的取值范围时，我们还要采用“取临界值法”加以研究.例6如图6所示，抛物线y = ax? + bx + c 与x 轴交于点A( —1, 0),顶点坐标为(1, n),与y 轴的交点在(0, 2)、(0, 3)之间(包括端点).有下列结论：①当x>3时，y<0；② 2 Q3a+b>0；③一IWaW ——:④—WnW4.其中正确的有()3 3(A)l 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个分析 本题由対称可知抛物线与x 轴的另一个交点为 (3, 0),故①是正确的.由对称轴为直线x= —— =1,知b=—2a,则3a+b = 2a 3a-2a=a<0,故②是错误的.这里③④用逻辑判断就比较难，这时我们可以使用“取值法”.因为“抛物线与y 轴 的交点在(0, 2)、(0, 3)之间(包括端点)”，故可以使用“取临界值法”，分别取(0, 2), (0, 3)与(一1, 0), (3, 0)进行计算，可求出它们所对应的两个抛物线的解析式为2 2所以可知一lWaW —— ,即③④都是正确的.3 3 所以本题答案是C.上述方法有吋计算量较大，但仍有一定的实用性，笔者希望大家能够了解和掌握.和 y=—（X —1）2+4,。
二次函数中各项系数a ，b ，c 与图像的关系一、首先就y=ax 2+bx+c （a≠0）中的a ，b ，c 对图像的作用归纳如下：1 a 的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下；决定张口的大小：∣a ∣越大，抛物线的张口越小．2 b 的作用：b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关．b 与a 同号，说明02<-a b ，则对称轴在y 轴的左边； b 与a 异号，说明−b 2a >0，则对称轴在y 轴的右边；特别的，b = 0，对称轴为y 轴．3 c 的作用：c 决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标．抛物线与y 轴的交点（0，c ）c > 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴；c < 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴；特别的，c = 0，抛物线过原点．4 a,b,c 共同决定判别式?=b 2−4ac 的符号进而决定图象与x 轴的交点b 2−4ac >0 与x 轴两个交点b 2−4ac =0 与x 轴一个交点b 2−4ac <0 与x 轴没有交点5 几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c ；x= -1时，y=a - b + c ．当x = 1时，① 若y > 0，则a + b + c >0；② 若y < 时0，则a + b + c < 0当x = -1时，① 若y > 0，则a - b + c >0；② 若y < 0，则a - b + c < 0．扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a -3b + c 。
一．选择题（共8小题）1．已知二次函数y=ax 2+bx +c 的图象大致如图所示，则下列关系式中成立的是（ ）A ．a ＞0B ．b ＜0C ．c ＜0D ．b +2a ＞02．如果二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是（ ）A ．a ＞0B ．b ＜0C ．ac ＜0D ．bc ＜0．3．已知二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc ＞0；②b ＜a +c ；③4a +2b +c ＞0；④b 2﹣4ac ＞0；其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，对于下列结论：①a ＜0；②b ＜0；③c ＞0；④2a +b=0；⑤a ﹣b +c ＜0，其中正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个第3题图 第4题图 第5题图 第6题图5．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，给出下列四个结论：：①a ＜0；②b ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④a +b +c ＜0；其中结论正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图所示，抛物线y=ax 2+bx +c 的顶点为（﹣1，3），以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②4a ﹣2b +c ＜0；③2c﹣b=3；④a+3=c，其中正确的个数（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，下列给出四个结论中，正确结论的个数是（）个①c＞0；②若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；③2a﹣b=0；④＜0；⑤4a﹣2b+c＞0．A．2 B．3 C．4 D．58．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④当x＜时，y随x的增大而减小；⑤a+b+c＞0．其中正确的有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个二．填空题（共4小题）9．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大；其中结论正确有．10．一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为．11．抛物线y=ax2+12x﹣19顶点横坐标是3，则a=．12．将二次函数y=x2+6x+5化为y=a（x﹣h）2+k的形式为．三．解答题（共7小题）13．已知：抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果此抛物线沿y轴平移一次后过点（﹣2，1），试确定这次平移的方向和距离．14．函数y=（m+2）是关于x的二次函数，求：（1）满足条件的m值；（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当x为何值时，y随x的增大而增大？（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当x为何值时，y随x的增大而减小．15．已知二次函数的图象经过（0，0）（﹣1，﹣1），（1，9）三点．（1）求这个函数的解析式；（2）求这个函数图象的顶点坐标．16．已知抛物线的顶点坐标是（1，﹣4），且经过点（0，﹣3），求与该抛物线相应的二次函数表达式．17．已知二次函数y=x2﹣4x+5．（1）将y=x2﹣4x+5化成y=a （x﹣h）2+k的形式；（2）指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；（3）当x取何值时，y随x的增大而增大？18．如图，二次函数的图象的顶点坐标为（1，），现将等腰直角三角板直角顶点放在原点O，一个锐角顶点A在此二次函数的图象上，而另一个锐角顶点B在第二象限，且点A的坐标为（2，1）．（1）求该二次函数的表达式；（2）判断点B是否在此二次函数的图象上，并说明理由．19．已知二次函数y=a（x﹣h）2，当x=4时有最大值，且此函数的图象经过点（1，﹣3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）当x为何值时，y随x的增大而增大？。
二次函数的知识点总结一、二次函数的定义二次函数是指一个形如 $y = ax^2 + bx + c$ 的函数，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是常数，且 $a \neq 0$。
在这个表达式中，$x$ 是自变量，$y$ 是因变量，$a$、$b$ 和 $c$ 是系数，其中 $a$ 称为二次项系数，$b$ 称为一次项系数，$c$ 称为常数项。
二、二次函数的性质1. 抛物线形状：二次函数的图像是一个向上或向下开口的抛物线。
2. 开口方向：当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。
3. 对称轴：二次函数图像关于直线 $x = -\frac{b}{2a}$ 对称，这条直线称为抛物线的对称轴。
4. 顶点：抛物线的顶点坐标为 $\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right)$。
5. 与 X 轴的交点：二次函数与 X 轴的交点称为根，可以通过解方程$ax^2 + bx + c = 0$ 来找到。
三、二次函数的图像1. 顶点式：$y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是顶点坐标。
2. 交点式：$y = a(x - x_1)(x - x_2)$，其中 $x_1$ 和 $x_2$ 是与 X 轴的交点坐标。
3. 标准式：$y = ax^2 + bx + c$。
四、求解二次方程1. 因式分解法：当能够找到两个数，它们的和等于 $b$，积等于$c$ 时，可以使用因式分解法。
2. 完全平方法：通过配方将二次方程转化为完全平方的形式。
3. 公式法：使用二次公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$ 来求解。
五、二次函数的应用1. 物理运动：描述物体在重力作用下的自由落体运动和抛体运动。
2. 优化问题：在商业和工程中，用于寻找最大利润或最小成本。
3. 数据拟合：在统计学中，用于拟合数据点，找到最佳曲线。
二次函数基本知识点在数学的世界里，二次函数是一个非常重要的概念。
它不仅在数学学科中有着广泛的应用，还在物理、工程等其他领域发挥着重要作用。
接下来，咱们就一起来深入了解一下二次函数的那些基本知识点。
首先，咱们得明白什么是二次函数。
二次函数的一般形式是：y ＝ax²＋ bx ＋ c （其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0 ）。
这里的 a 决定了二次函数图象的开口方向和开口大小。
当 a ＞ 0 时，图象开口向上；当 a ＜ 0 时，图象开口向下。
而｜a| 的值越大，开口就越小；｜a| 的值越小，开口就越大。
再来说说 b 的作用。
b 与 a 一起决定了二次函数图象的对称轴。
对称轴的方程是 x ＝ b ／ 2a 。
这就意味着，如果 b ＝ 0 ，那么对称轴就是 y 轴。
c 呢，它叫做二次函数的常数项，也就是图象与y 轴的交点纵坐标。
当 x ＝ 0 时，y ＝ c ，所以图象与 y 轴的交点就是（0, c) 。
接下来咱们看看二次函数的图象特点。
二次函数的图象是一条抛物线。
如果开口向上，那么函数有最小值；如果开口向下，函数就有最大值。
这个最值就在抛物线的顶点处。
顶点的坐标可以通过公式（b／ 2a, （4ac b²) ／ 4a) 来计算。
说到二次函数的零点，也就是二次方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0 的根。
咱们可以通过判别式Δ ＝ b² 4ac 来判断根的情况。
当Δ ＞ 0 时，方程有两个不同的实数根；当Δ ＝ 0 时，方程有两个相同的实数根；当Δ ＜0 时，方程没有实数根，但有两个共轭复数根。
二次函数的平移也是一个重要的知识点。
比如，y ＝ a(x h)²＋ k 就是由 y ＝ ax²经过平移得到的。
如果 h ＞ 0 ，图象就向右平移 h 个单位；如果 h ＜ 0 ，图象就向左平移｜h| 个单位。
如果 k ＞ 0 ，图象就向上平移 k 个单位；如果 k ＜ 0 ，图象就向下平移｜k| 个单位。
（2013•遵义）10．二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图如图所示，若M=a+b ﹣c ，N=4a ﹣2b+c ，P=2a ﹣b ．则M ，N ，P 中，值小于0的数有（ ）A ． 3个B ． 2个C ． 1个D ． 0个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：计算题．分析：根据图象得到x=﹣2时对应的函数值小于0，得到N=4a ﹣2b+c 的值小于0，根据对称轴在直线x=﹣1右边，利用对称轴公式列出不等式，根据开口向下得到a 小于0，变形即可对于P 作出判断，根据a ，b ，c 的符号判断得出a+b ﹣c 的符号．解：∵图象开口向下，∴a ＜0，∵对称轴在y 轴左侧，∴a ，b 同号，∴a ＜0，b ＜0，∵图象经过y 轴正半轴，∴c ＞0，∴﹣c ＜0∴M=a+b ﹣c=a+b+（﹣c ）＜0，当x=﹣2时，y=4a ﹣2b+c点（-2，4a ﹣2b+c ）在第二象限∴4a ﹣2b+c ＜0，∴N=4a ﹣2b+c ＜0， ∵﹣ab 2＞﹣1， ∴ab 2＜1， ∴b ＞2a ，∴2a ﹣b ＜0，∴P=2a ﹣b ＜0，则M ，N ，P 中，值小于0的数有M ，N ，P ．故选：A ．点评： 此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，根据图象判断出对称轴以及a ，b ，c 的符号是解题关键．（2016•遵义）12．如图为二次函数y=ax2+bx+c （a ≠0）的图象，则下列说法：①a ＞0；②2a+b=0；③a+b+c ＞0；④△＞0；⑤4a ﹣2b+c ＜0，其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴x=1计算2a+b 与0的关系；再由根的判别式与根的关系，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①由抛物线的开口向下知a ＜0，故本选项错误；②由对称轴为x=231+-=1， ∴﹣a b 2231+-=1， ∴b=﹣2a ，则2a+b=0，故本选项正确；③由图象可知，当x=1时，y=a+b+c点（1，a+b+c ）在第一象限y ＞0，则a+b+c ＞0，故本选项正确；④从图象知，抛物线与x 轴有两个交点，∴△＞0，故本选项错正确；⑤由图象可知，当x=﹣2时，y=4a ﹣2b+c点（-2，4a ﹣2b+c ）在第二象限∴4a ﹣2b+c ＜0，∴4a ﹣2b+c ＜0，故本选项正确；故选D ．【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．（2017•遵义）11．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（﹣1，0），对称轴l 如图所示，则下列结论：①abc ＞0；②a ﹣b+c=0；③2a+c ＜0；④a+b ＜0，其中所有正确的结论是（ ）A ．①③B ．②③C ．②④D ．②③④【考点】：二次函数图象与系数的关系．【分析】①根据开口向下得出a ＜0，根据对称轴在y 轴右侧，得出b ＞0，根据图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，得出c ＞0，从而得出abc ＜0，进而判断①错误；②由抛物线y=ax2+bx+c 经过点（﹣1，0），即可判断②正确；③由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0，把b=a+c 代入即可判断③正确；④由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0，把c=b ﹣a 代入即可判断④正确．解：①∵二次函数图象的开口向下，∴a ＜0，∵二次函数图象的对称轴在y 轴右侧，∴﹣＞0，∴b ＞0，∵二次函数的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴c ＞0，∴abc ＜0，故①错误；②∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（﹣1，0），∴a ﹣b+c=0，故②正确；③∵a ﹣b+c=0，∴b=a+c ．由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0，∴4a+2（a+c ）+c ＜0，∴6a+3c ＜0，∴2a+c ＜0，故③正确；④∵a ﹣b+c=0，∴c=b ﹣a ．由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0，∴4a+2b+b ﹣a ＜0，∴3a+3b ＜0，∴a+b ＜0，故④正确．故选D ．4、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac-b 2＜0；②4a+c ＜2b ；③3b+2c ＜0；④m （am+b ）+b ＜a （m ≠-1），其中正确结论的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个∵抛物线和x 轴有两个交点，∴b 2-4ac ＞0，∴4ac-b 2＜0，∴①正确；∵对称轴是直线x=-1，和x 轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，∴抛物线和x 轴的另一个交点在（-3，0）和（-2，0）之间，∴把（-2，0）代入抛物线得：y=4a-2b+c ＞0，∴4a+c ＞2b ，∴②错误；∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c ＜0，（第11题图）∴2a+2b+2c＜0，∵b=2a，∴3b+2c＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线x=-1，∴y=a-b+c的值最大，即把（m，0）（m≠-1）代入得：y=am2+bm+c＜a-b+c，∴am2+bm+b＜a，即m（am+b）+b＜a，∴④正确；即正确的有3个，故选：B．5、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法：①2a+b=0②当-1≤x≤3时，y＜0③若。
二次函数值大小比较对称轴【知识文章】如何比较二次函数值大小以及对称轴的作用引言：二次函数是高中数学中重要的内容之一，在数学建模、物理学等领域有着广泛的应用。
在学习二次函数时，我们经常需要比较二次函数在不同取值下的大小，并且对称轴对于二次函数的研究也尤为重要。
本文将从比较二次函数值大小和对称轴的作用两个方面，介绍二次函数的基本特性。
一、比较二次函数值大小1. 基本概念：二次函数是一种形式为f(x) = ax² + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是常数且a ≠ 0。
在比较二次函数值大小时，我们通常关注的是二次函数的开口方向以及顶点的位置。
2. 二次函数的开口方向：当 a > 0 时，二次函数开口向上，即函数的图像呈现一种向上凸的形状；当 a < 0 时，二次函数开口向下，即函数的图像呈现一种向下凹的形状。
3. 顶点的位置：顶点是二次函数的最极值点，它的纵坐标值决定了二次函数的最大值或最小值。
当二次函数开口向上时，最小值对应顶点；当二次函数开口向下时，最大值对应顶点。
基于以上概念，我们可以通过以下方法比较二次函数值大小：- 比较两个二次函数的开口方向，开口方向相同的二次函数，其值在相同取值范围内，顶点纵坐标较小的函数值较小；- 对于开口方向相反的二次函数，我们可以比较它们的顶点纵坐标。
二、对称轴的作用1. 对称轴的定义：二次函数的对称轴是以顶点为中心，与函数图像关于某条直线对称的轴线。
对称轴方程为 x = h，其中 h 是顶点的横坐标。
2. 对称轴的作用：对称轴对于研究二次函数的性质和图像有着重要的作用。
- 对称轴将二次函数的图像分为两部分，可以方便地研究函数在对称轴两侧的性质；- 对称轴是一个坐标轴方程，通过对称轴方程我们可以求解二次函数的顶点坐标；- 对称轴方程 x = h 可以帮助我们确定二次函数的开口方向。
个人观点与理解：二次函数值大小的比较是我们在解决实际问题时常会遇到的情况。
《二次函数》主要知识点归纳（修改版）(何老师归纳)一、概念：形如2y ax bx c=++（a b c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数。
1：条件：① a不为零②最高项次数为2（整理后）③整式2：特殊：若a＝0 则y＝bx＋c 是一次函数3：若y＝0，则函数图象交于x轴，化为一元二次方程a x2＋bx + c =04：特殊解析式：形如y=kx²-2kx-3k这样各项都含参数k的二次函数，图像必过定点.（令y=0, 则kx²-2kx-3k=0，化掉参数k得：x²-2x-3=0）二、二次函数的几种基本形式1：2y ax=的性质:a越大，抛物线的开口越小，越靠近y轴2. 2y ax c=+的性质：平移规律：上加下减y。
3.()2y a x h=-的性质：平移规律：左加右减x。
y=3(x+4)2(x-2)2y=3x24.()2y a x h k=-+（顶点式）的性质：平移规律：左加右减x 。
上加下减y,5．2y ax bx c =++（一般式）的性质： 先将一般式2y ax bx c =++通过配方法化成22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再对比顶点式，()2y a x h k =-+可得2424b ac b h k a a -=-=，．故两者性质相同。
三、二次函数2y ax bx c =++（或()2y a x h k =-+）图象及性质再归纳： 1：开口方向.①：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下； ②：a 相等，几条抛物线的开口大小、形状相同. ③：a 越大，抛物线的开口越小，越靠近y 轴 2：对称轴，直线abx 2-=（或直线x ＝h ） 3：顶点坐标：），（ab ac a b 4422-- 或（h,k ）4：增减性 ①：若0>a ，当x<a b 2-时，y 减；当x>a b2-时，y 增，简记：左减右增； ②：若0<a ，当x<a b 2-时，y 增；当x>ab2-时，y 减，简记：左增右减；5:最值 ⑴：若定义域是全体实数，则在顶点处取得最大值（或最小值），即:当a b x 2-=时，ab ac y 442-=最值，（或当x ＝h 时，最值是y ＝k ）2-32⑵: 若定义域是21x x x ≤≤， 则：①：若a b 2-在21x x x ≤≤内，则当x=a b 2-时，ab ac y 442-=最值；②：若ab2-不在21x x x ≤≤内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性， A: 若y 为增，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小； B: 若y 为减，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小。
中考数学考点：二次函数图像与性质口诀中考数学考点二次函数图像与性质口诀
二次函数抛物线，图象对称是关键；
开口、顶点和交点，它们确定图象限；
开口、大小由a断，c与Y轴来相见，b的符号较特别，符号与a相关联；顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要，一般式配方它就现，横标即为对称轴，纵标函数最值见。
若求对称轴位置，符号反，一般、顶点、交点式，不同表达能互换。
通过阅读”中考数学考点二次函数图像与性质口诀这篇文章，小编相信大家对中考数学考点又有了更进一步的了解，希望大家学习轻松愉快！。
比较二次函数值大小的方法二次函数在我们的生活和数学学习中有着广泛的应用，而正确比较二次函数值的大小对于解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍几种比较二次函数值大小的方法，并对其进行深入的探讨。
一、图像比较法图像是比较二次函数大小最直观的方法，利用函数的图像可以清晰地看出两个函数的大小关系。
首先，画出需要比较的二次函数的图像，根据图像上点的位置关系来判断大小。
具体步骤如下：1. 确定开口方向：二次函数的开口方向取决于系数a的值，如果a>0，则开口向上；如果a<0，则开口向下。
2. 确定对称轴：二次函数的对称轴是其顶点坐标的横坐标，通过对称轴可以判断两个函数的大小关系。
3. 比较函数图像上的点：根据图像上点的位置关系，可以直观地判断两个函数的大小关系。
二、公式法除了图像比较法外，还可以使用公式法比较二次函数值的大小。
二次函数的解析式为y=ax^2+bx+c(a≠0)，当a>0时，抛物线开口向上，y随x的增大而增大；当a<0时，抛物线开口向下，y随x的增大而减小。
因此，可以通过比较a、b、c的值来判断两个二次函数的大小关系。
具体步骤如下：1. 确定系数a、b、c的值：根据需要比较的二次函数的表达式，求出a、b、c的值。
2. 比较系数的大小：根据系数a、b、c的绝对值大小，可以初步判断两个二次函数的大小关系。
一般来说，如果|a|>|b|，则y=ax^2+bx+c的值域大于y=bx^2+cx+d的值域；反之亦然。
3. 根据对称轴和函数值的关系进行比较：如果对称轴在y轴左侧还是右侧，以及对应的函数值的大小关系如何，就可以判断两个二次函数的大小关系。
三、求根公式法对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)，可以使用求根公式法比较两个二次函数值的大小。
首先用配方法将一般形式的二次函数化成y=a(x-h)^2+k的形式，再使用求根公式求出x1和x2的值。
最后根据x1和x2的大小关系以及对应的函数值的大小关系来判断两个二次函数的大小关系。
函数值的大小比较 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT二次函数、反比例函数比较大小一、二次函数的大小比较方法：1、特殊值代入法：直接根据题目要求，分别代入具体的数值，再比较大小。
2、利用函数的增减性：当各点都在对称轴的一侧时，利用函数的增减性进行比较。
3、计算各点到对称轴的距离，结合抛物线的开口方向比较大小：（本法适用于各点在对称轴同侧和异侧的大小比较，尤其是异侧。
）（1）当抛物线开口向上时（即a>0时），离对称轴距离越远，函数值越大，反之越小。
当抛物线开口向上与x 轴有两个交点，两点在对称轴的两侧时，若221x x +＞a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＜y 2;若221x x +＜a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＞y 2【推理：由x 2-(a b 2-)＞a b 2--x 1得x 2+x 1＞ab -得221x x +＞a b 2-；即x 2离对称轴距离较远；由x 2-(a b 2-)＜a b 2--x 1，得x 2+x 1＜ab -，得221x x +＜ab 2-，即x 1离对称轴距离较远.】 （2）当抛物线开口向下时（即a ＜0时），离对称轴距离越远，函数值越小，反之越大。
当抛物线开口向下与x 轴有两个交点，两点在对称轴的两侧时，若221x x +＞a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＞y 2;若221x x +＜a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＜y 2，推理同（1）4、图象法：结合具体图象，利用y 轴“上大下小”的特点比较具体各点的函数值的大小。
（第一、二象限的函数值总是大于第三、四象限的函数值）5、移点法：利用抛物线的对称性将各点转化到对称轴的同一侧，再利用函数的增减性比较大小。
二、反比例函数的大小比较方法由于反比例函数图象为双曲线，所以比较大小时，首先应注意利用k 值弄清各点所处的象限。
