人教版初三数学下册比较函数值的大小

初中数学巧用二次函数的性质比较数值
大小
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比较二次函数值的大小是二次函数图像与性质应用的重要题型之一，是中考的热点。

要熟练准确地解决这类问题，同学们要理解二次函数的增减性、能画出图像的大致位置，会确定对称轴，还要掌握解决这类问题的一般方法和解题步骤。

以下面这道题为例，豆姐帮同学们梳理一下此类题目的相关知识点。

知识点一判断二次函数的开口方向
①当a＞0时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；
②当a＜0时，抛物线开口向下，顶点为其最高点。

知识点二找到二次函数的对称轴
二次函数y=ax2+bx+c用配方法可化成：y=a(x-h)2+k的形式，即二次函数的顶点式，通过顶点式我们可以得出二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（h，k），因此，可以得出二次函数的对称轴为x=h
知识点三画示意图，确定点的位置大小
根据开口方向和对称轴，画出函数的示意图，不需要太精确。

根据对称轴，找到题目中所求点在x轴上的位置，对于有根号的数字，最好可以转化到小数形式，方便对比。

①对于开口向上的抛物线，离对称轴越近，点越低，y值越小；离对称轴越远，
点越高，y值越大
②对于开口向下的抛物线，离对称轴越近，点越高，y值越大；离对称轴越远，点越低，y值越小。

盘点“比较函数值大小的方法”杨光冬 湖北省孝感市肖港初级中学 邮编432023初中数学第二十八章《锐角三角函数》学完后，整个第三学段的函数就结束了. 每年中考前的系统复习中， 我们经常遇到比较两函数值（或多个函数值）大小的考题，学生遇到这类题型得分率虽然较高，但笔者在课堂教学中发现，学生对这类题型的掌握并不系统，针对这种现象，笔者在此对比较函数值大小的比较方法作一个总的盘点，希望对大家的教学有所帮助.一、同一函数中比较函数值的大小 解法1：运用增减性比大小例1：点A （-3，y 1）、B （-5，y 2）均在双曲线xy 3=上，试比较y 1和y 2的大小. 解析：因为反比例函数xy 3=的图象是双曲线，在每个象限内，y 随x 的减小而增大 且点A （-3，y 1）、B （-5，y 2）在第三象限的同一支曲线上，所以12y y >.例2：点A （-3，y 1）、B （-5，y 2）均在抛物线322++=x x y 上，试比较y 1和y 2的大小.解析：因为抛物线322++=x x y 的对称轴是直线1-=x ，其开口向上，所以在对称轴左侧的抛物线上y 随x 的减小而增大，因此12y y >.解法2：运用正负性比较反比例函数值的大小例3：点A （-3，y 1）、B （1，y 2）均在双曲线xy 3-=上，试比较y 1和y 2的大小.解析：因为反比例函数xy 3-=的图象是双曲线，在每个象限内，y 随x 的减小而减小，但是点A （-3，y 1）、B （1，y 2）不在同一支曲线上，所以不能用增减性比较1y 和2y 的大小. 又因为A （-3，y 1）、B （1，y 2）分别位于第二、第四象限的图象上，所以0>y ，0<y ，因此21y y >.解法3：运用距离比较二次函数值的大小例4：点A (-2，y 1)、B (3.5，y 2)、C (5，y 3)均在 抛物线y =x 2-2x -3上，试比较y 1、y 2和y 3的大小.解析：因为点A (-2，y 1)、B (3.5，y 2)、C (5，y 3) 不在对称轴（直线1=x ）同侧的抛物线上，所以不 能直接用增减性比较y 1和y 2、y 3的大小，此时我们 可以用抛物线的对称性将A (-2，y 1)先转化到对称轴 右侧的抛物线上，使A 、B 、C 三点在对称轴的同侧，再用抛物线的增减性比较y 1、y 2和y 3的大小；也可以先求出-2、3.5、5和1的距离：3)2(1=--、5.215.3=-、415=-. 因为抛物线开口向上，所以距离越大，说明相对应的点越高，其纵坐标越大（反之，若抛物线开口向下，所以距离越大，说明相对应的点越低，其纵坐标越小）. 因此点C (5，y 3)最高，点B (3.5，y 2)解法4：运用动态的图形分析三角函数值的大小例5：当O900<<<βα时，试比较αcos 和βcos 的大小 解析：如图(2)，Rt △ABC 中，∠C =90O，当∠B 逐 渐增大时，其邻边BC 不变，斜边逐渐增大BA />BA ，所 以/BA BCBA BC >. 这说明当锐角逐渐增大时，其余弦值 逐渐减小，所以当O 900<<<βα时，αcos >βcos我们还可以用图(3)，类比探究锐角的正弦和正切值的增减性.二、比较不同函数值的大小 （一）预备知识：1、比较不同函数值大小的前提条件：当自变量x 相等时，才能比较不同函数值的大小. 例6：如图（4），直线)0(1≠+=k b kx y 与 直线)0(2≠+=m n mx y 相交于A （3，5），试比 较1y 与2y 的大小.解析：如图，经过A 点作直线l ⊥x 轴 ①当x =3时，1y =2y②当x >3时，由图象可看出1y >2y ③当x <3时，由图象可看出1y <2y 2、经验归纳：从例6中可直观的看出，当x 等于交点横坐标时，两函数值相等；分别在x >3和 x <3的两个区域内，若图象在上面，其函数值就大；若图象在下面，其函数值就小.在以上两个预备知识的基础上，我们可用三线六域比较不同函数值的大小.（二）运用三线六域比较不同函数值的大小例7：如图，直线f x y +-=1和双曲线xey =2相交于A (-2,m )、B (3,n )，问：当x 分别取何值时，1y =2y 、1y >2y 、1y <2y ？解析：分别经过A 、B 两点作x 轴的垂线. 以这两条垂线和y 轴为分界线，将自变量x 的取值范围分为六个区域，每个区域x 的取值范围如图（5）所示：在第⑤、⑥区域内，两函数值分别相等；CA / 图（2）/C 图（3）)0(≠k b)0(≠+m n因为在①、③区域内，直线在曲线的上面， 所以1y >2y因为在②、④区域内，直线在曲线的下面, 所以1y <2y因此，当x=-2或x=3时，1y =2y 当x <-2或0<x<3时，1y >2y 当-2<x <0或x>3时，1y <2y由以上分析过程，我们可得到三线六域中 的三个结论：结论一：在六个区域中，当x 的值分别等 于两交点横坐标时，两函数值相等；结论二：在①、②、③、④区中，①、③ 区结果相同，②、④区结果相同，结论三：②、④区的结果与①、③区的结果相反.有了以上归纳的三个结论，今后，我们只需分析一个区域的结果，就能推导出其余区域的结果了.（三）三线六域的类比应用当直线和抛物线相交时，我们可以类比三线六域得到两线五域. 而且两线五域的结论和三线六域的结论是一致的.例8：如图，抛物线)0(21≠++=a c bx ax y 和直线f x y +=2相交于A (3,m )，B (-1,n )，当x 分 别取何值时，y 1= y 2、y 1< y 2、y 1> y 2？解析：分别经过A 、B 两点作x 轴的垂线. 因为抛物线是一条连续的图象，所以只能以 两条垂线作为分界线把自变量x 的取值范围 分为五个区域，类比例7，观察每个区域， 同理可得：当x =-1或x =3时，即在第④、⑤区域内，1y =y 当x <-1或x >3时，即在第①、③区域内，1y >y 当-1<x <3时，即在第②区域内，1y <2y 此结果和例7所得结论是一致的.④⑤。

一、通过设置障碍培养学生信息技术自学能力小学生对新鲜事物充满好奇、不认输，这一点是可以被我们小学信息技术教师好好利用的。

我们知道，信息技术课是以理论课程为前提，实践操作为根本的学科。

可是现实教学中我们发现小学生们对于实践操作课兴趣十足，对于理论课程却是兴味索然。

这就造成了理论基础薄弱，实践操作起来无从下手的局面。

为了从根本上解决这种不良的现状，特别是促进同学们对理论课程的学习，我故意在每堂实践操作课之前对学生电脑动了“手脚”。

这样，上课之后，同学们就会发现他们的电脑出现了这样那样的故障。

这些故障是五花八门的，诸如：“桌面快捷方式无法打开”、“电脑桌面一片空白”、“电脑音量图标不见了”、“电脑屏幕颠倒”、“网络连接总是自动断开”等。

然后我就要求同学们自己摸索着把这些故障解决掉，看看哪些同学把这些故障解决得又快又好。

通过这样的教学小“手段”，我发现同学们总是乐于去解决老师设置的一个又一个“故障”。

在这个过程中，他们认识到了自己原本不重视理论知识的错误，也锻炼提高了自己的信息技术自学能力。

二、利用帮助系统培养学生信息技术自学能力小学阶段学习的应用程序主要有Word、Excel、Power-point这几种。

这几个应用程序都是有帮助系统的。

对于初学者的小学生们来说，这些帮助系统是图文并茂、易于接受的。

在帮助系统里，开发商系统全面地介绍了本应用程序的入门信息和常见问题的答案，可以帮助小学生们更好、更有效地使用应用程序。

所以，小学信息技术教师要好好引导学生利用每一个应用程序的帮助系统。

在上每一堂信息技术实践操作课之前，老师应该先交代本堂课具体的操作任务。

学生领受任务后开始自己动手操作的过程中往往会遇到一些这样那样的问题，碰到难题时有部分缺乏独立钻研精神的学生会想到询问老师。

这时，如果从更好地培养学生信息技术自学能力出发来考虑，老师是应该“狠”下心来不把正确的操作过程直接告诉学生的。

这是因为任何一种电脑的应用程序的操作其实都是很简单的，学生们通过老师的讲述而非自己的主动探究得来的答案是很容易遗忘的。

比较两函数大小的方法比较两个函数的大小是一种常见的问题，可以用于优化算法、性能分析和设计评估中。

在计算机科学中，通常用时间复杂度和空间复杂度来比较两个函数的大小。

下面将介绍一些常用的方法来比较两个函数的大小。

1.时间复杂度比较：时间复杂度是衡量一个算法执行时间的函数，通常用大O表示法表示。

在比较两个函数的大小时，我们可以比较它们的时间复杂度的增长率。

1.1渐进符号比较：渐进符号比较包括大O、Ω和Θ符号，它们表示函数的上界、下界和紧确界。

大O符号表示上界，表示一个函数的渐进行为不会超过另一个函数的一些常数倍，即f(n)=O(g(n))。

我们可以比较两个函数的大O符号来判断函数的增长率。

Ω符号表示下界，表示一个函数的渐进行为不会少于另一个函数的一些常数倍，即f(n)=Ω(g(n))。

我们可以比较两个函数的Ω符号来判断函数的增长率。

Θ符号表示紧确界，表示一个函数的上界和下界相同，即f(n)=Θ(g(n))。

我们可以比较两个函数的Θ符号来判断函数的增长率。

1.2比较增长率：在没有给出具体的时间复杂度函数的情况下，我们可以通过比较两个函数的增长率来判断它们的相对大小。

常见的函数的增长率从小到大依次为：常数阶O(1)、对数阶O(log n)、线性阶O(n)、线性对数阶O(n log n)、平方阶O(n^2)、立方阶O(n^3)、指数阶O(2^n)。

如果一个函数的增长率大于另一个函数的增长率，那么它的时间复杂度较高，即较慢。

2.空间复杂度比较：空间复杂度是衡量一个算法所需内存空间的函数，通常用大O表示法表示。

在比较两个函数的大小时，我们可以比较它们的空间复杂度大小。

空间复杂度包括原地算法（In-place algorithm）和非原地算法（Out-of-place algorithm）两种。

原地算法是指算法在执行过程中额外使用的空间是常数级别的，即O(1)。

如果一个函数是原地算法，那么它通常比非原地算法更节省内存空间。

知识导航一般地，比较函数式的大小主要是比较指数函数式、对数函数式、幂函数式的大小.由于大部分的函数式中的底数、指数、真数均不相同，所以很难直接比较出它们的大小，我们需要采取一些相应的办法，如利用函数的单调性、图象，借助中间量等来比较两个函数式的大小.一、利用函数的单调性在某一定区间内，指数函数、对数函数、幂函数都具有单调性.当两函数式的底数相同时，可以建立恰当的函数模型，根据函数的单调性来比较两个函数式的大小；当两函数式的底数不相同时，可先利用换底公式以及指数函数、对数函数、幂函数的运算法则，将二者化为底数相同的函数式，再结合函数的单调性进行比较.例1.试比较以下两组数的大小.()10.332与0.335；()220.5与40.3.解析：对题中的两组数进行观察不难发现，这两组数都属于指数函数.可首先将它们的底数统一，然后根据底数与1之间的关系来判断函数的单调性.一般地，对于指数函数y=a x，当a>1时函数递增，当0<a<1时函数递减.最后根据函数的单调性比较两组数的大小.解：（1）由于两数的底数相同，且0<0.3<1，所以函数y=0.3x是单调递减函数，又32>35，所以0.332<0.335.()2由于4=22,所以40.3=()220.3=20.6,而函数y=2x是单调递增函数，且0.5<0.6，所以20.5<40.3.二、利用函数的图象我们知道，当a>1时，对数函数y=log a x(a>0,a≠1)的图象呈递增的趋势，且a越大，图象在第一象限内离x轴越近.反之，当0<a<1时，对数函数的图象呈递减的趋势，且a越小，函数图象离y轴越近.当a>1时，指数函数y=a x()a>0，a≠1的图象呈递增的趋势，且a越大，图象在第一象限内离y轴越近.反之，当0<a<1时，对数函数的图象呈递减的趋势，且a越小，函数图象离x轴越近.当α>0时，幂函数函数y=xα的图象在区间（0,+∞）上是增函数；当α<0时，图象在（0，+∞）上是减函数，在（-∞，0）上单调递增.在解题时，我们可以结合函数式的特点构造出函数模型，然后结合函数的图象来比较函数式的大小.例2.比较下列两组数的大小.()131.2与21.2；()2æèöø233与æèöø3432.解析：(1)31.2与21.2是指数同为1.2的指数函数，在对其进行比较时，可以首先将y=3x、y=2x的图象画在同一坐标系中，然后将x=1.2代入，观察此时y的大小即可得出31.2>21.2.()2由于æèöø233=æèöø4932，将y=æèöø4932与y=æèöø3432的图象画在同一直角坐标系中，继而观察当x=32时y值的大小，就可以快速得出结论：æèöø233<æèöø3432.运用函数的图象来比较函数式的大小比较直接、简便.三、借助中间量有时候，要比较的两个函数式的真数、底数、指数各不相同，且它们之间没有任何联系，那么我们就需要借助中间量来比较它们的大小.常用的中间量有0、1、-1.可将函数式分别与中间量进行比较，如此便可判断出它们的大小关系.例3.比较以下函数式的大小.()11.70.3与0.93.1；()2log20.3，logπ3与log35.解析：()1中两个函数式的指数与底数均不同，且无法统一，可借助中间量来对其进行大小比较.∵1.70.3>1.70=1，0.93.1<0.90=1，∴1.70.3>0.93.1.()2中的两个函数式较为复杂，可同时将0和1作为中间量来比较三者的大小.∵log20.3<log21=0，0=logπ1<logπ3<logππ=1,∴log20.3<logπ3<log35.在比较函数式的大小时，同学们要注意分清所要比较的函数式之间的区别，建立联系，构造合适的函数模型或中间量，然后利用函数的单调性、图象、中间量来比较函数式的大小.(王林37。

解题宝典有关抛物线的证明题比较常见.这类问题常与直线、三角形、圆等相结合，侧重于考查抛物线的定义、方程、几何性质，直线的方程、斜率公式，直线与抛物线的位置关系，以及平面几何图形的性质.下面就一道抛物线证明题，来探究一下解答此类问题的思路.题目：已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，若ΔABC的三个顶点都在抛物线上，且满足 FA + FB +FC =0 ，则称该三角形为“核心三角形”.（1）设“核心三角形ABC ”的一边AB 所在直线的斜率是2，求直线AB 的方程；（2）已知ΔABC 是“核心三角形”，设ΔABC 的三个顶点分别为A ()x A ，y A ，B ()x B ，y B ，C ()x C ，y C .证明：ΔABC 的三个顶点的横坐标x A ,x B ,x C 都小于2.对于第一个问题，我们需根据已知条件和向量的运算法则明确A 、B 、C 三点坐标之间的关系，并结合韦达定理、直线的斜截式方程来求解，得出直线AB 的方程为y =2x -1.这里主要讨论一下第二个问题的解法.方法一：参数法参数法是解答圆锥曲线问题的常用方法.参数法是指先引入参数，建立有关参数的关系式，然后通过消参来求得问题的答案.在求解有关抛物线的证明题时，往往可以根据题意引入参数，并将参数设为直线的斜率、截距，抛物线的方程，动点的坐标等.然后将其代入题设中，建立关系式，再通过等量变换消去参数，从而获得问题的答案.本题中，三角形三边所在的直线方程未知，不妨引入参数，设出BC 边所在直线的方程，再代入求解.证明：设直线BC 的方程为x =my +n ，将其代入抛物线的方程y 2=4x ，可得y 2-4my -4n =0，由Δ=16(m 2+n )>0得n >-m 2，且y B +y C =4m ，y B y C =-4n ，因为x B =my B +n ,x C =my C +n ，所以x B +x C =m (y B +y C )+2n =4m 2+2n ，又因为x A +x B +x C =3，所以x A =3-m 2-2n ，y A +y B +y C =0，所以y A =-4m .因为点A 在抛物线上，所以16m 2=4(3-m 2-2n )，可得n =32-4m 2，又因为n >-m 2，所以32-4m 2>-m 2，解得m 2<12，所以点A 的横坐标x A =4m 2<2，同理可证得x B <2,x C <2，所以ΔABC 的三个顶点的横坐标都小于2.先设出直线BC 的方程，并将其与抛物线的方程联立，即可构造出一元二次方程，利用韦达定理建立三角形顶点坐标之间的关系式，根据判别式建立不等关系式，最后通过等量代换、消元，求得问题的答案.方法二：反证法对于从正面难以入手的问题，可以重点研究问题的反面情形，利用反证法来解题.先假设命题的结论不成立，即假设问题的反面情形成立；然后将这个假设的结论作为条件进行推理论证，得出与题设条件、公式、定理等相矛盾的结论，由此断定假设的结论不正确，即可说明原结论是正确的.证明：假设x C ≥2，则y C 2=4x C ≥8.因为x A +x B +x C =3，所以y A 2+y B 2+y C 2=12，因为y C 2≥8，所以y A 2+y B 2≤4，由y A +y B +y C =0可得y A +y B =-y C ，将其两边平方可得y C 2=y A 2+y B 2+2y A y B ≤2(y A 2+y B 2)，又因为y C 2≥8，所以y A 2+y B 2≥4，当且仅当y A =y B 时等号成立，此时x A =x B ，即点A ,B 重合，这不符合题意，所以假设x C ≥2不成立，由此可知x C <2，同理可证x A <2,x B <2，所以ΔABC 的三个顶点的横坐标都小于2.我们首先假设问题的反面情况成立，即x C ≥2；然后将其当作已知条件，结合题目中的条件和基本不等式进行推理，得出y C 2≥8，y A 2+y B 2≥4，而这两式取等号时A 、B 两点重合，这与题目条件不相符，从而说明假设的情形不成立.解答有关抛物线的证明题，可从抛物线的方程、几何性质出发，利用参数法进行求解，也可以从解答证明题的方法入手，利用反证法进行证明.同学们在解答综合性问题时，要学会将所学的知识关联起来，从不同角度寻找解题的思路.（作者单位：管文娟，江苏省淮安市楚州中学；赵正威，江苏省淮安市淮安外国语学校）管文娟赵正威42比较函数式的大小问题常以选择题的形式出现，这类问题侧重于考查基本初等函数的单调性、基本不等式以及不等式的性质.本文中，笔者对比较函数式大小常用的几种思路进行了总结、归纳，以期对同学们解答此类问题有所帮助.一、利用函数的单调性若要比较的函数式可化为同一种类型的函数，如二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等，即可将要比较的两个函数式看作自变量不同、类型相同的函数式，直接根据函数的单调性进行比较.一般地，已知定义域内x 1<x 2，若函数单调递增，则f (x 1)<f (x 2)；若函数单调递减，则f (x 1)>f (x 2).例1.已知a =(34)13,b =(25)23,c =(23)-12，则a ,b ,c 的大小关系是（）.A.a >b >cB.a >c >bC.c >a >bD.c >b >a解：由题意可知b =(25)23=(425)13，且1>34>425，因为幂函数y =x 13在(0,+∞)上单调递增，所以113>(34)13>(425)13，即1>a >b .因为指数函数y =(23)x 在R 上单调递减,且-12<0，所以(23)-12>(23)0=1，所以c >1.综上可知，c >a >b .故选C.我们先将b 化为指数是13的式子，将1化为指数是13、23的式子，即可将a 、b 化为同指数的函数式，将c 、1化为同底数的函数式；然后根据基本初等函数y =x 13和y =(23)x 的单调性进行比较，即可判断出a 、b 、1、c 的大小关系.例2.已知a =3ln 2π,b =2ln 3π,c =3ln π2，则下列选项正确的是（）.A.a >b >cB.c >a >bC.c >b >aD.b >c >a解：由题意得a =3ln 2π=3πln 2,b =2ln 3π=2πln 3,c =3ln π2=6ln π，所以a 6π=ln 22=ln 44,b 6π=ln 33，c 6π=ln ππ，设f (x )=ln x x ()x >0，对其求导可得f ′(x )=1-ln x x 2，由f ′(x )>0，得0<x <e ；由f ′(x )<0，得x >e ，所以函数f (x )在(0,e ]上单调递增，在[e ,+∞)上单调递减.又4>π>3>e ，可得f (4)<f (π)<f (3)，即ln 44<ln ππ<ln 33，可知a 6π<c 6π<b 6π，故b >c >a .故选D.解答本题，需先将三个函数式变形，得a 6π=ln 44、b 6π=ln 33、c 6π=ln ππ；然后根据这三个式子的特征构造函数f (x )=ln xx，即可根据函数f (x )的单调性，迅速比较出三个函数式的大小.对于非基本初等函数，往往要利用函数单调性的定义、导数与函数单调性之间的关系来判断出函数的单调性，进而根据函数的单调性来比较函数式的大小.例3.设x ,y ,z 为正实数，且log 2x =log 3y =log 5z >0，则x 2,y3,z 5的大小关系不可能是（）.A.x 2<y 3<z 5 B.y 3<x 2<z 5C.x 2=y 3=z 5D.z 5<y 3<x 2解：设log 2x =log 3y =log 5z =k ，则x =2k ,y =3k ,z =5k，可得x 2=2k -1,y3=3k -1,z 5=5k -1.王丽丽43。

第10讲一次函数一、知识清单梳理知识点一：一次函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.一次函数的相关概念（1）概念：一般来说，形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b ＝0时，称为正比例函数．（2）图象形状：一次函数y＝kx＋b是一条经过点（0,b）和（-b/k,0）的直线.特别地，正比例函数y＝kx的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.例：当k＝1时，函数y＝kx＋k－1是正比例函数,2.一次函数的性质k，b符号K＞0，b＞0K＞0，b＜0K＞0，b=0k<0，b>0k<0，b<0k<0，b＝0（1）一次函数y=kx+b中，k确定了倾斜方向和倾斜程度，b确定了与y轴交点的位置.（2）比较两个一次函数函数值的大小：性质法，借助函数的图象，也可以运用数值代入法.例：已知函数y=－2x＋b，函数值y随x的增大而减小(填“增大”或“减小”)．大致图象经过象限一、二、三一、三、四一、三一、二、四二、三、四二、四图象性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小3.一次函数与坐标轴交点坐标(1)交点坐标：求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是⎝⎛⎭⎪⎫－bk，0，与y轴的交点是(0，b)；(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)．例：一次函数y＝x＋2与x轴交点的坐标是（-2,0），与y轴交点的坐标是（0,2）.知识点二：确定一次函数的表达式4.确定一次函数表达式的条件（1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为：①设：设函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)；②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；③解：求出k与b的值，得到函数表达式．（2）常见类型：①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可.(1)确定一次函数的表达式需要两组条件，而确定正比例函数的表达式，只需一组条件即可.(2)只要给出一次函数与y轴交点坐标即可得出b的值,b值为其纵坐标，可快速解题. 如:已知一次函数经过点（0,2），则可知b=2.5.一次函数图象的平移规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.例：将一次函数y=-2x+4的图象向下平移2个单位长度，所得图象的函数关系式为y=-2x+2．知识点三：一次函数与方程（组）、不等式的关系6.一次函数与方程一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的横坐标.例：（1）已知关于x的方程中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．有五名射击运动员，教练为了分析他们成绩的波动程度，应选择下列统计量中的（ ） A ．方差 B ．中位数C ．众数D ．平均数【答案】A【解析】试题分析：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，体现数据的稳定性，集中程度；方差越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，数据越稳定．故教练要分析射击运动员成绩的波动程度，只需要知道训练成绩的方差即可． 故选A.考点：1、计算器-平均数，2、中位数，3、众数，4、方差2．如图，C ，B 是线段AD 上的两点，若AB CD =，2BC AC =，则AC 与CD 的关系为（ ）A ．2CD AC =B ．3CD AC =C ．4CD AC =D ．不能确定【答案】B【解析】由AB=CD ，可得AC=BD ，又BC=2AC ，所以BC=2BD ，所以CD=3AC. 【详解】∵AB=CD ， ∴AC+BC=BC+BD ， 即AC=BD ， 又∵BC=2AC ， ∴BC=2BD ， ∴CD=3BD=3AC. 故选B ． 【点睛】本题考查了线段长短的比较，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍转化线段之间的数量关系是十分关键的一点． 3．关于二次函数2241y x x =+-，下列说法正确的是（ ） A ．图像与y 轴的交点坐标为()0,1B ．图像的对称轴在y 轴的右侧C ．当0x <时，y 的值随x 值的增大而减小D ．y 的最小值为-3 【答案】D【解析】分析：根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．详解：∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，∴当x=0时，y=-1，故选项A错误，该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误，当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确，故选D．点睛：本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．4．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，…，依次规律，第7个图形的小圆个数是()A．56 B．58 C．63 D．72【答案】B【解析】试题分析：第一个图形的小圆数量=1×2+2=4；第二个图形的小圆数量=2×3+2=8；第三个图形的小圆数量=3×4+2=14；则第n个图形的小圆数量=n(n+1)+2个，则第七个图形的小圆数量=7×8+2=58个. 考点：规律题5．如图，∠AOB＝45°，OC是∠AOB的角平分线，PM⊥OB，垂足为点M，PN∥OB，PN与OA相交于点N，那么PMPN的值等于（）A．12B．22C3D3【答案】B【解析】过点P作PE⊥OA于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PM，再根据两直线平行，内错角相等可得∠POM=∠OPN，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PNE=∠AOB，再根据直角三角形解答．【详解】如图，过点P作PE⊥OA于点E，∵OP是∠AOB的平分线，∴PE＝PM，∵PN∥OB，∴∠POM＝∠OPN，∴∠PNE＝∠PON+∠OPN＝∠PON+∠POM＝∠AOB＝45°，∴PMPN＝22．故选：B．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．6．如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）A．垂线段最短B．经过一点有无数条直线C．两点之间，线段最短D．经过两点，有且仅有一条直线【答案】C【解析】用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，∴线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，∴能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，故选C．【点睛】根据“用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小”得到线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，从而确定答案．本题考查了线段的性质，能够正确的理解题意是解答本题的关键，属于基础知识，比较简单．7．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=8，BC=1．若DE 是△ABC 的中位线，延长DE 交△ABC 的外角∠ACM 的平分线于点F ，则线段DF 的长为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B【解析】根据三角形中位线定理求出DE ，得到DF ∥BM ，再证明EC=EF=12AC ，由此即可解决问题． 【详解】在RT △ABC 中，∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1， ∴AC=22AB BC +=2286+=10，∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DF ∥BM ，DE=12BC=3， ∴∠EFC=∠FCM ， ∵∠FCE=∠FCM ， ∴∠EFC=∠ECF ， ∴EC=EF=12AC=5， ∴DF=DE+EF=3+5=2． 故选B ．8．某车间需加工一批零件，车间20名工人每天加工零件数如表所示：每天加工零件数的中位数和众数为( )A．6，5 B．6，6 C．5，5 D．5，6 【答案】A【解析】根据众数、中位数的定义分别进行解答即可．【详解】由表知数据5出现了6次，次数最多，所以众数为5；因为共有20个数据，所以中位数为第10、11个数据的平均数，即中位数为662=6，故选A．【点睛】本题考查了众数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．9．郑州某中学在备考2018河南中考体育的过程中抽取该校九年级20名男生进行立定跳远测试，以便知道下一阶段的体育训练，成绩如下所示：则下列叙述正确的是（）A．这些运动员成绩的众数是5B．这些运动员成绩的中位数是2.30C．这些运动员的平均成绩是2.25D．这些运动员成绩的方差是0.0725【答案】B【解析】根据方差、平均数、中位数和众数的计算公式和定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．【详解】由表格中数据可得：A、这些运动员成绩的众数是2.35，错误；B、这些运动员成绩的中位数是2.30，正确；C、这些运动员的平均成绩是2.30，错误；D、这些运动员成绩的方差不是0.0725，错误；故选B．【点睛】考查了方差、平均数、中位数和众数，熟练掌握定义和计算公式是本题的关键，平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．10．如图，点C、D是线段AB上的两点，点D是线段AC的中点．若AB=10cm，BC=4cm，则线段DB 的长等于（）A．2cm B．3cm C．6cm D．7cm【答案】D【解析】先求AC,再根据点D是线段AC的中点，求出CD，再求BD.【详解】因为，AB=10cm，BC=4cm，所以，AC=AB-BC=10-4=6（cm）因为，点D是线段AC的中点，所以，CD=3cm,所以，BD=BC+CD=3+4=7（cm）故选D【点睛】本题考核知识点：线段的中点，和差.解题关键点：利用线段的中点求出线段长度.二、填空题（本题包括8个小题）11．化简:a ba b b a+--22＝__________.【答案】a+b【解析】将原式通分相减，然后用平方差公式分解因式，再约分化简即可。

1y x =6y x =《比较反比例函数值的大小》教学设计学 科： 数学课程内容： 反比例函数适用范围：学习完反比例函数的性质，加深理解阶段教学背景：在学习完反比例函数的性质后，出现比较反比例函数的函数值大小的问题，考察性质掌握的熟练程度，这类往往出现在选择和填空中，学生需得分，但是性质掌握不好或是考虑不全面，容易失分，故而将此类问题的一般解法进行小结，使学生能够根据题目中的已知条件选用恰当的解法，拿住这类问题的分数。

教学目标：1、能够对反比例函数值的大小进行比较；2、根据学生能力大小，掌握一种或多种比较反比例函数值大小的方法；3、加深对反比例函数性质的理解；4、渗透函数问题要“数”与“形”相结合的思想。

教学方法：讲练结合教学过程：一、回顾知识点对反比例函数的图象特征、性质进行复习二、例题教学 例1 已知点A(2,y 1)，B(1,y 2)，C(-1,y 3)，D(-2,y 4)都在 反比例函数 的图象上，试比较y 1，y 2，y 3，y 4的大小关系。

详细讲解三种方法：（1）代入求值，比较大小；（2）利用函数的性质比较大小。

由于反比例函数的自变量不是连续的，特别注意在不同象限内的点如何比较函数值大小；（3）图象法。

此方法，“数形结合”容易理解，结果直观。

例2 已知反比例函数 的图象上有三点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，C(x 3,y 3)，其中x 1<x 2<0<x 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ）A 、y 1<y 2<y 3B 、y 2<y 3<y 1C 、y 2<y 1<y 3D 、y 3<y 2<y 1讲解三种方法：（1）特殊值法；（2）利用函数的性质比较大小；（3）图象法。

三、课堂练习设置三道难度适当的小题，用于巩固所学方法，反馈学习效果。

第四道小题稍有挑战，用于提高学生的应变能力，实践分类讨论四、小结在比较反比例函数值的大小的时候，所选择的方法并不是一成不变的，要根据题目中的已知条件选用恰当的解法。