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第六章---理论力学

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《理论力学》06章

《理论力学》06章


MO
M
2 Ox

M Oy2

M
2 Oz
＝ [ mx (F)] 2 [ my (F)]2 [ mz (F)]2
cos MOx , cos MOy , cos MOz
MO
MO
MO
37
2． 空间任意力系的简化结果分析（最后结果）
(1) 合力
当
最后结果为一个合力。
主矢的大小 方向余弦
cos(FR ,
j)
Fy FR
cos(FR , k )
Fz FR
（2）如何求主矩
MO mi mO (F i)
MOx [ mO (F )]x mx (F )
MOy [ mO (F )]y my (F )
MOz [ mO (F )]z mz (F )
M x 0 F2 400mm FAz 800mm 0 M z 0 F1 400mm FAx 800mm 0
解得 FAx FBx 1.5N
FAz FBz 2.5N
§6–5 空间任意力系向一点的简化·主矢和主矩
1． 空间任意力系向一点的简化
其中，各
M ( Mix )2 ( Miy )2 ( Miz )2
cos M ix
M
cos Miy
M
cos M iz
M
例4
已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受 切削力偶矩均为80N·m。
求：工件所受合力偶矩在 轴上的投影
。
解： 把力偶用 力偶矩矢表示， 平行移到点A 。
Fx Fxy sin Fn cos sin Fy Fxy cos Fn cos cos
理论力学第六章 点的合成运动 [同济大学]

理论力学第六章 点的合成运动 [同济大学]


解： 从例6-2已知得： 1 =
vr r 3 , 2
ω 4
O
解： 从上例已知得： 1 =
r
M
ω 4
va
A
aaτ =0 ，
3 , 4
aan=2r aen=
ωr 8
x’
2
ac 21vr 2 r
va
30°
3 1 1/ s2 8
2
动点取A，
va v A

ar
dvr d 2 x ' ' d 2 y ' ' d 2 z ' ' 2 r 2 j 2 k dt dt dt dt
dx ' di ' dy ' dj' dz ' dk ' dt dt dt dt dt dt
ar ω vr
a a ae a r ac； ac= 2vr
ve
a n a ae a rn a rτ
矢量
1.瞬时状态； 2.可解两个未知量 (大小，方向)。
例6-5 曲柄滑道机构，OA=01A=r=10cm, =30°,=4, 求: 转到30°时直杆的加速度a。 va vr 动点取A； 绝对:圆周； ve 解：相对:圆周；牵连:直线。 [速度] =
a a ae a r ac； aa a an ae aen ar arn ac；
例6-8 曲柄绕O转动，並通过滑块M带动滑槽绕O′摆动， ’ y 求摆动到30°时的角加速度1。
例6-9 将例6-8滑槽改变为图示牛头刨床机构，MA=2r, 求:刨床刨刀的速度，加速度。
vr
dv e dω dr r ω dt dt dt α r ω v e ω v r ae ω v r
理论力学精品课程第六章空间力系

理论力学精品课程第六章空间力系

首先，我们需要明确力的合成和分解的基本原理。然后，根据题目给出的条件，我们可 以将一个力分解为若干个分力，或者将若干个分力合成为一个合力。通过这些操作，我
们可以求出物体所受的合力和分力。
习题三解析
总结词
该题考查了空间力系中力的矩和力矩 的平衡条件，通过构建力矩平衡方程， 可以求出未知的力和力矩。
详细描述
按力的分布范围分类
可分为集中力系和分布力系。
按力的方向分类
可分为同向力系、反向力系和任意方向力系。
空间力系性质
平衡性
力矩的存在性
空间力系在不受外力作用或处于平衡状态 下，合力为零。
空间力系可以产生旋转效应，即力矩。
力线平移定理
力的独立性
空间力系中，通过一定点可以作无数个平 行且等效的力，这些力的作用线均在该点 处与给定的力线重合。
力的平移
力平移定义
01
将力平行移动到刚体的任意点，同时保持力的方向和大小不变。
力平移性质
02
力的平移不改变力对刚体的作用效果，但会改变力矩的大小和
方向。
力平移实例
03
例如，在机械制造中，需要将机床的切削力平移到工件的任意
位置，以保证工件加工的精度和质量。
力在坐标轴上的投影
力在坐标轴上投影定义
将力沿坐标轴方向的分量表示为标量。
首先，我们需要明确力的矩和力矩平 衡条件的基本概念。然后，根据题目 给出的条件，我们可以构建力矩平衡 方程。通过解这个方程，我们可以求 出未知的力和力矩。
感谢您的观看
THANKS
航天器轨道
在航天器轨道分析中，空间力系 用于研究航天器的运动轨迹和受 力情况，以确保航天器的安全和 有效运行。
卫星姿态控制
理论力学第六章ppt课件

理论力学第六章ppt课件

v v x 2 v y 2 r2 ( 1 co t ) 2 r s s2 i t（ n 0 t 2 ) a x & x & r2 s int,a y & y & r2 c o st
a ax2ay2 r2
.
已 知 ： r, t, 常 数 。
求：M点的运动方程、速度、切向和法向加速度。
解： A，B点都作直线运动，取Ox轴如图所示。 运动方程
x A b r si n b r sit n)(
x B rs i n rsi tn ) (
.
已知：O M r , t , 常 数 ,A B b 。
求：① A，B点运动方程； ② B点速度、加速度。
B点的速度和加速度
v B x B rco t s
因为
dr
ds
ddr
dds dds 1
所以 nr d r
ds
副法线单位矢量
r b
rnr
.
方向同
r n
自然坐标轴的几何性质
.
3、速度
v rdr rdr rdsdsrvr
dt dsdt dt
4、加速度 ardvr dvrvdr
代入
dt dt dt
dr dr ds v nr
dt ds dt
则
ar ddvtrv2 nr atrannr
r k
rr
r
r
i
j
直角坐标与矢径坐标之间的关系
r r ( t ) = x t r i + y ( t ) r j + z ( t ) k r
.
速度 v r= d d r r t = d d x t r i + d d y t r j + d d z t k r= v x r i + v y r j + v z k r
第六章《理论力学》课件

第六章《理论力学》课件


a
a2 t
an 2
R
2 4
tan at an 2
§6-４ 轮系的传动比
1. 齿轮传动
① 啮合条件
R11 vA vB R22
② 传动比
i12
1 2
R2 R1
z2 z1
２.带轮传动
r11 vA vA vB vB r22
i12
1 2
r2 r1
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度
1.角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
大小
d
dt
作用线 沿轴线 滑动矢量
指向 右手螺旋定则
r
r
k
角加速度矢量
r
dr
d
r k
r
k
dt dt
2.绕定轴转动刚体上点的速度和加速度
速度 v r 大小 rsin R v
方向 右手定则
加速度
ar dvr d r rr
ddtr
dt
rr
r dvB dt
r dvA dt
r aA
§6-2 刚体绕定轴的转动
1.定义
刚体上(或其扩展部分)两点保持不动，则这种运动称为刚 体绕定轴转动，简称刚体的转动。
转轴 ：两点连线
转角： 单位:弧度(rad)
2.运动方程
f t
3.角速度和角加速度
角速度
d
dt
大小：ddt
方向：逆时针为正
角加速度
d
dt
d2
dt 2
& &&
匀速转动 匀变速转动
d 0
dt
0 t
d cont
dt
理论力学 第六章 弯曲应力

理论力学 第六章 弯曲应力


Fs 2 q( x2 a L)
qL
图（a） B M2 x2 Fs2
mB (Fi ) 0 , 1 qLx2 M 2 q( x2 a)2 0 2
M2
1 q( x2 a)2 qLx2 2
图（c）
从上面例题的计算过程，可以总结出如下 规律： (1) 横截面上的剪力在数值上等于截面 左侧或右侧梁段上外力的代数和。 左侧梁段上向上的外力或右侧梁段上 向下的外力将引起正值的剪力；反之，则
x
Fab l
Fa l
x
M
a
F
C
l
b * 在 集中力F 作用 处，剪力图有突变， 突变值为集中力的 大小；弯矩图有尖 角转折
A
x Fb l
FS
Fa l
x
Fab l
x
M
a b l / 2时，M max
Fl 为极大值。 4
讨论 由剪力图可见，在梁上 的集中力(包括集中荷载和约
束力)作用处剪力图有突变，
y
F
2.求截面1－1上的内力
FS D
2 FA F 3
2 M D FA a Fa 3
同理,对于C左截面： 2 FSC左 FA F 3 2 l 2 M C左＝ F Fl 3 3 9 对于C右截面：
F l 2 FSC右 FA F M C右 FA Fl 3 3 9 FSC左 FSC右 , M C左＝M C右
M2
FS2
FB
建议：求截面FS和M时，均按规定正向假设，这 样求出的剪力为正号即表明该截面上的剪力为正 的剪力，如为负号则表明为负的剪力。对于弯矩 正负号也作同样判断。
•
§6-3 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
理论力学第六章

理论力学第六章

2
由 动能定理 FS
由 动 2 mv c 能 4 对t求导，得 C 3 mvC a定 Fv C 理 2 故 Fr J C α
3
v
m
r
C
F
C
F
Cv
S
Cv
即动量矩定理
6-2 质点系动能定理
d LC dt
v
MC
v
6-2-1 动能定理的三种形式 问题 3 图(a)系统由静平衡位置转动 角， 此时，系统势能以静平衡为“0”，
V 1 2 k( l 2
k
) 2 对吗?为什么?
l 2

l 2
对！弹簧静平衡力与重力在转动时仍平衡， 其功之和为零，可同时不考虑。
k
a
又如图(b)所示:
V 1 2
6-2 质点系动能定理
O
m

k
2
b
6-2-2 动能定理的应用 1. 应用特点 (1)与位形变化有关 (突出空间过程) 已知运动求力，由 T W F
FT
WG GS sin
WF 0 ,
N
S
C
WF 0 ,
T
G
C
FS
FN
WF 2 FS S
S

6-1 功与动能
6-1-1 力的功
2.内力的功
一对内力, FA -FB
d W FA drA FB drB
FA drA drB FA drAB
Cv
求 ,v 问题 2均质轮在OA杆上滚动，已知 m,r,l,ω1求Cr 轮 T 。
T 1 2 m vC
2
1 2
JC
2
理论力学第六章点的运动学.

理论力学第六章点的运动学.

d d ds an v v dt ds dt
又 d 1 n dS
an
v2

n an
v2

an是一个沿主法线正方向 的矢量，指向曲率中心 。
法向加速度反映点的速度方向改变的快慢程度。
dv v2 a a a n a a n n n dt
— 与 弧 坐 标 的 正 向 一 致 n — 指 向 曲 线 内 凹 一 侧 b — 与 , n 构 成 右 手 系
b n
[注]：自然坐标系是沿曲 13 线而变动的游动坐标系。
6-3 自然法 3、曲率 (1 / ) ：
定义——曲线切线的转角对弧长 一阶导数的绝对值。表示曲线的 弯曲程度。
一.运动方程、轨迹
矢径是点的单值连续函数，
r xi yj zk
故x,y,z也是时间的单值函数：
x f1 (t ), y f 2 ( t ), z f 3 ( t )
——以直角坐标表示的点的运动方程 上式消去t,即为点的轨迹方程：f ( x , y , z ) 0
6
6-2 直角坐标法
当点M运动时，矢径r随时间而 变化，并且是时间的单值函数：
r r t
—以矢量表示的 点的运动方程
矢端曲线：动点M在运动过程中，矢 径r的末端绘出的一条连续曲线。 ——动点M的运动轨迹
二.点的速度
dr v r dt
方向：沿着矢径r的矢端曲线的切线 方向，且与此点的运动方向一致。
大小：速度矢的模，表明点运动的快慢。
t dv k dt v0 v 0 v ln kt , v v0 e kt v0 v
dx 3、 由 v v0e kt dt
理论力学_第六章_变质量动力学

理论力学_第六章_变质量动力学



dm F v r －－反推力 dt dv m F (e) F dt
－－变质量质点的运动微分方程
2.常用的几种质量变化规律
（1）质量按线性规律变化
dm m0 知 由 dt
m m0 (1 t ) ， t 1
其反推力为
dm F vr m0 vr dt
1 2 v2 由于 mv dv d( mv ) dm 2 2
mv dv dmv v F dr dmv1 v
1 2 1 2 d( mv ) v dm F dr (v1 v )dm 2 2
1 2 1 2 d( mv ) v dm F dr Fa dr 2 2 －－变质量质点的动能定理 变质量质点动能的微分与放出（或并入）的元质量由于其 牵连速度而具有的动能的代数和等于作用于质点上外力合力的 元功与由于并入（或放出）质量的绝对速度引起的反推力所作 的元功之和。 1 2 1 2 2 d( mv ) v dm F dr vr vdm v1 v v vr v 2 2 F dr F dr
或
变质量质点动能的微分与并入（或放出）的元质量由于牵连 运动而具有的动能之差，等于作用于质点上外力的合力与反推力 所作的元功之和。
例 6－2 已知：图为传送砂子的装置，砂子从漏斗铅直流下，以速度 v1 流下倾角为θ的传送带上并沿斜面下滑l长度然后流出斜 面，设砂子以流量q=常数（kg/s）从大漏斗中流下，斜面 上砂子是定常流动，其质量保持不变，不计摩擦。 求：若使砂子在斜面上的速度 v 为常数，倾角应为多少？
第六章 变质量动力学
§ 6－1 变质量质点的运动微分方程
1.变质量质点的运动微分方程
理论力学第六章

理论力学第六章


vA vC vD vCA
y
(C)
式中三个未知量，不可解。
C
v
D
vA
B
( 大小 √ (v ) √ (OA ) ？AC AB ) ？ 方向 √ () √ ( OA) √ ( AB) √ (↖) 选取坐标系Cxy，向y x 轴上投影，得
va
ve vC vA vCA
vr
AO杆作定轴转动， AB杆和BC杆作平面运动。
C
v A r
A、B、C点速度方向如图：
vC
B

60
vA
0
O
P点为AB杆瞬心 v A r AB AP 3r 3
其转向为逆时针
vB

A
vB BP AB
3 6r 3r 2 3
P
Q点为BC杆瞬心
va sin 45 vAcos45 vCA
vCA 5 2cm / s 所得为正，说明图中所 设的指向与实际相符 vD vCA vCA AB 0.5rad / s AC 10 2
vA
O
vC

(C)
C
v
D
vCA vA
B
y
例： 如图所示机构中，已知：轮I固定，轮Ⅱ作纯滚动， 其匀角速度为，O1C=L， O1A=3L /4，两轮半径均为r。 试求图示瞬时vA ， AB和 AB.。
vA
零的点称为平面图形在 该瞬时的速度瞬心。
v A AP v A AP vB BP vB BP vC CP vC CP
2、瞬心的求法
（1）当平面图形沿某固定面作纯滚动时，图形上 与固定面的接触点即为图形的瞬心。
理论力学第六章平衡方程及其应用课件

理论力学第六章平衡方程及其应用课件

MA(F) 0 MB(F) 0 Fx 0
其中x轴不垂直A，B两点的连线。
第六章 平衡方程及其应用 >> 一般力系的平衡
（2）三矩式平衡方程
MA(F) 0 MB(F) 0
其中A，B，C三点不共线。
MC (F) 0
3. 平面平行力系的平衡方程
平面平行力系的独立平衡方程的数目只有 两个。为什么？
FC
qa
2 c os
（2）研究整体梁，受力如图（a）所示。列平衡方程
第六章 平衡方程及其应用 >> 一般力系的平衡
Fx 0
FAx FC sin 0
FAx
1 2
qa
tan
Fy 0
FAy 2qa F FC cos 0
FAy
5 2
qa
MA(F) 0 M A 2qa a F 3a FC cos 4a 0
MFG(F) 0
F2
b
F
b
P
b 2
0
3 F2 2 P
第六章 平衡方程及其应用 >> 一般力系的平衡
§6-4 物体系统的平衡 静定和静不定问题 当系统中的未知量数目等于独立平衡方程的数目时，则所有未 知数都能由平衡方程求出，这样的问题称为静定问题。
在工程实践中，有时为了提高结构的刚度和坚固性，常常增加 多余的约束，因而使这些结构的未知量的数目多于平衡方程的数目， 未知量就不能全部由平衡方程求出，这样的问题称为静不定问题， 或超静定问题。
§6-2 力偶系的平衡
一、平面力偶系的平衡方程 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和
等于零，即 Mi 0 .
二、空间力偶系的平衡方程
由于空间力偶系可以用一个合力偶来代替，因此，空间力偶系

《理论力学》第六章作业答案

《理论力学》第六章作业答案如果不做书中所附的习题，就等于处宝山而空返。

——华罗庚。

1 [习题6-2]半圆形凸轮以匀速s mm v /10=沿水平方向向左运动，活塞杆AB 长l 沿铅直方向运动。

当运动开始时，活塞杆A 端在凸轮的最高点上。

如凸轮的半径mm R 80=，求，求活塞活塞B 的运动方程和速度方程.解：活塞杆AB 作竖向平动。

以凸轮圆心为坐标原点，铅垂向上方向为x 轴的正向，则由图中的几何关系可知，任一时刻，B 点的坐标，即活塞B 的运动方程为:)(64)()(cos 22222cm t l vt R l Rvt R R l R l x B -+=-+=-⋅+=+=ϕ活塞B 的速度方程为:)/(646422122s cm t t t t dt dx v B B --=--==[习题6-4]点M 以匀速率u 在直管OA 内运动，直管OA 又按t ωϕ=规律绕O 转动。

当0=t 时，M 在O 点，求其在任一瞬时的速度及加速度的大小。

解: ut r =，t ωϕ=。

设任一瞬时，M 点的坐标为),(y x M ，则点M 的运动方程为：t ut r x ωϕcos cos ==, tut r y ωϕsin sin ==速度方程为：速度方程为：t t u t u t ut t u t ut dt ddt dxv x ωωωωωωωsin cos )sin (cos )cos (-=⋅-+===t t t u t t u t u v x ωωωωωωcos sin 2sin )(cos 222222⋅-+=t t u t u t ut t u t ut dt ddt dyv y ωωωωωωωcos sin cos sin )sin (+=⋅⋅+===t t t u t t u t u v y ωωωωωωcos sin 2cos )(sin 222222⋅++=2222)(t u u v v y x ω+=+任一瞬时,速度的大小为:22222)(1)(t u t u u v v v y x ωω+=+=+=加速度方程为:)sin cos (t t u t u dt ddt dv a xx ωωω-==]cos sin [)sin (ωωωωωωω⋅⋅+⋅-⋅-⋅=t t u t u t ut t u t u ωωωωcos sin 22--=t t t u t t u t u a x ωωωωωωωcos sin 4cos )(sin 4322222222⋅++=)cos sin (t t u t u dtd dt dv a yy ωωω+==ωωωωωωω⋅-⋅+⋅+⋅⋅=)sin (cos [cos t t u t u t ut t u t u ωωωωsin cos 22⋅-=t t t u t t u t u a y ωωωωωωωcos sin 4sin )(cos 4322222222⋅-+=222222)(4t u u a a y x ωω+=+任一瞬时,速度的大小为:2222222)(4)(4t u t u u a a a y x ωωωω+=+=+=[习题6-14] 电动绞车由带轮Ⅰ和Ⅱ及鼓轮Ⅲ组成如图电动绞车由带轮Ⅰ和Ⅱ及鼓轮Ⅲ组成如图6-426-426-42所示，鼓轮Ⅲ和带轮所示，鼓轮Ⅲ和带轮Ⅱ刚连在同一轴上。

理论力学PPT课件第6章6.3碰撞

情况下。
非弹性碰撞的公式
碰撞前后动量守恒：m1v1 + m2v2 = m1v1' + m2v2' 碰撞前后能量不守恒：E = E'
碰撞前后速度关系：v1' = v1 - Δv, v2' = v2 + Δv
非弹性碰撞的特点
01
形 变不能完全恢复，导致能量损
04
弹性碰撞公式的应 用
弹性碰撞公式可以用于计算两个 物体碰撞后的速度，它是解决碰 撞问题的重要工具之一。
弹性碰撞的特点
能量守恒
在弹性碰撞中，系统的总能量 在碰撞前后保持不变，即动能
守恒。
动量守恒
在弹性碰撞中，系统的总动量 在碰撞前后保持不变，即动量 守恒。
无能量损失
在弹性碰撞中，没有能量转化 为其他形式的能量，如热能或 内能等。
碰撞的分类
弹性碰撞
完全非弹性碰撞
碰撞过程中，物体间的作用力完全以 弹性反作用力形式出现，没有能量损 失。
碰撞过程中，物体间的作用力完全以 非弹性反作用力形式出现，能量损失 最大。
非弹性碰撞
碰撞过程中，物体间的作用力部分以 弹性反作用力形式出现，部分以非弹 性反作用力形式出现，存在能量损失。
02
弹性碰撞
台球碰撞
两球在桌面上发生碰撞， 运动轨迹发生变化，遵循 动量守恒定律。
汽车碰撞
汽车发生正面碰撞，车体 变形，遵循动量守恒和能 量守恒定律。
三维碰撞实例分析
三维碰撞
两个物体在三维空间中发 生相互作用，考虑三个方 向的动量变化。
卫星碰撞
卫星在太空中发生碰撞， 需要考虑地球引力、太阳 辐射压和其他因素的影响。
弹性碰撞的公式
01

理论力学精品课程 第六章 空间力系


F
m
F′
三,空间力偶系的合成 6.3 空 间 力 偶
力偶的作用面不在同一平面内的力偶系称为 空间力偶系. 空间力偶系. 空间力偶系合成的最后结果为一个合力偶, 空间力偶系合成的最后结果为一个合力偶, 合力偶矩矢等于各力偶矩矢的矢量和. 合力偶矩矢等于各力偶矩矢的矢量和.即:
M = m1 + m2 + + M n = ∑ m
z
mz ( R ) = ∑ mz ( F )
例2 6.2 力 对 轴 之 矩 和 力 对 点 之 矩
求力 F 对三坐标轴的矩. 解:由合力矩定理:
mx ( F ) = mx ( Fx ) + mx ( Fy ) + mx ( Fz ) = yZ zY m y ( F ) = m y ( Fx ) + m y ( Fy ) + m y ( Fz )
E
D
α α
A
汇 交
β EA=24cm, = 45 ,不计杆重;求 绳索的拉力和杆所受的力. 解:以铰A为研究对象,受力 如图,建立如图坐标. ∑ X = 0 : TC sin α TD sin α = 0 ∑ Y = 0 : TC cos α TD cos α S sin β = 0 ∑ Z = 0 : S cos β P = 0 24 2 = 由几何关系:cos α = 2 2
二,空间汇交力系的合成与平衡 6.1 空 间 汇 交
1,合成 , 将平面汇交力系合成结果推广得: 将平面汇交力系合成结果推广得: 合力的大小和方向为: 合力的大小和方向为:
R = F1 + F2 + + Fn = ∑ F
2,平衡 , 空间汇交力系平衡的必要与充分条件是: 空间汇交力系平衡的必要与充分条件是: 以解析式表示为: 以解析式表示为:

理论力学第6章 ppt课件


25
作业
• 6-4 • 6-6
ppt课件
26
第六章 点的运动学
• §6-1 矢量法和直角坐标法
• 1. 表示质点运动的矢量法：
• 质点的空间位置用矢径r表示，它是时间的 函数，
•
r = r(t)
• 投影式： r = xi+yj+zk
• 轨迹：矢径r 端点的连线。
ppt课件
1
• 速度：
v dr lim r(t t) r(t)
a dv dt
• 动点移动时，速度大小和方向都发生改变。
a

dv dt

d dt
( ds dt
τ)

d 2s dt 2
τ

ds dt
dτ dt
ppt课件
15
• 切向加速度
at

d 2s dt 2
τ

dv dt
τ
• 法向加速度
an

ds dt
dτ dt
v
dτ dt
dτ dτ ds 1 vn

vy y r sin t
v
vx2

v
2 y
r (1 cost)2 sin2 t
2r sin t
2
ppt课件
19
• 求M点的曲线位移： • 方法1
v ds dt

s


vdt

2r
t
0
sin
t
2
dt

4r (1
cos
t
2
)
ppt课件
20
• 求M点的曲线位移：
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M (F ) 0 F 0 平 ②二矩式： F 0 M (F ) 0 M (F ) 0 衡 ③三矩式： M (F ) 0 M (F ) 0 M (F ) 0
y o x A B A B C
①一矩式： Fx 0
M x F 0, M y F 0, M z F 0
力对点之矩矢在通过该 点的任意轴上的投影等 于力对于该轴之矩。
|MO(F)| cosγ = Mz(F)= [MO(F) ]z
C LY
系 列 一
理论力学 2、力对坐标轴之矩的解析表达式 由于 F=Fxi+Fyj+Fzk ， r=xi+yj+zk
i j y Fy k z Fz
z MO(F)
B F
k O i x j
F Fx2 Fy2 Fz2
cos Fy F Fx , cos , cos z F F F
3、空间力沿坐标轴的分解表达式 F=Fx+Fy+Fz=Fxi+Fyj+Fzk
C LY
系 列 一
理论力学
例6-1 长方体上作用有三个力,F1 =500N, F2=1000N, F3=1500N, 方向及尺寸 如图所示，求各力在坐标轴上的投影。
系 列 一
FRz FR
理论力学 四、空间汇交力系平衡的充要条件
平衡充要条件是：力系的合力为零，
FR=∑F =0
几何法平衡的充要条件是力系的力多边形自行封闭。 解析形式表示的平衡充要条件为：
∑Fx =0, ∑Fy =0, ∑Fz =0
即力系中所有各力在三个坐标轴的每个坐标轴上的投影的代数和均为零。
C LY
FRy F FRx , cos , cos Rz FR FR FR
M x ( F ) yFz zFy M y ( F ) zFx xFz M z ( F ) xFy yFx
MO =MO(F1)+MO(F2)+…+MO(Fn)
M z ( F ) xFy yFx
C LY
系 列 一
内 容 回 顾
（2） 当B处不受张力，基底作用力为三角形载荷 时，大小为 Q W 1bh. ，作用点距A点b/3
理论力学
M
A
0
b b 1 1 M Q M w M q 1bh. . 1bh. . . gh.1h. h 0 3 2 2 3
E
C

D


A
B
W
Fx 0, FC sin FD sin 0
Fy 0, FC cos FD cos FB sin 0
FD FC x FB
z
A y
Fz 0 : FB cos W 0
由几何关系，
cos 24 12 2 24 2 2 5
系 列 一
理论力学 说明:
(1量。
(2) 解题步骤：首先弄清力系中各力的空间位置关系，适当选取投影轴 (坐标系)，以简化计算过程。理论上来讲，除要求三个投影轴不共面， 且两两之间不相互平行外，投影轴可以任意选取。
(3) 当空间汇交力系平衡时，它在任何平面上的投影力系也必然平衡，
(4) 通常用符号M表示 说明： (1) 空间力偶矩矢为一个自由矢量 (2) 凡矩矢相等的力偶均为等效力偶，此即 空间力偶的等效定理。
C LY
力偶矩矢
系 列 一
理论力学
三、空间力偶系的合成与平衡
1、合成
空间各力偶是自由矢量，只要不改变各力偶矩矢方向，将它们 都滑移至某汇交点，按矢量合成法则进行合成。 即，合力偶矩等于各分力偶矩的矢量和。
2 2 2 FR FRx FRy FRz
合 成
FR
FR 2 FR 2 ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 x y
FR y FR x arctan Fy Fx
Fx Fy Fz
2 2
2
arctan
cos
W
解得，FB 1414 N
FC FD 559 N
C LY
系 列 一
理论力学
§6-3 空间力偶
一、空间力偶的等效定理· 力偶矩矢的概念
I
F′ B A F O FR ′ F2′ F1 ′ B1 II
作用在同一刚体的两平
行平面的两个力偶，若它们 的转向相同，力偶矩的大小
相等，则二者等效。
A1 FR F1
C LY
d
系 列 一
理论力学 (2) 力矩矢的方位：
与该力和矩心组成的平面的法线方位相同。
注意：当矩心位置改 变时，力矩矢的大小 和方向也随之改变， 因此，力矩矢为定位 矢量
(3) 力矩矢的指向：与转向的关系服从右手法则。
2、力矩矢的矢积表达式
如果r 表示A点的矢径，则
MO(F) A
B F
MO(F)=r×F 证明： ∵ |r ×F|=r · · F sin(r ,F )=Fd r
内 容 回 顾
1、 平面任意力系的合成结果
① 合力（合力=主矢）
理论力学
FR’ ≠0， MO ＝0，或 FR’ ≠0， MO ≠0
② 合力偶（合力偶矩=主矩） FR’ =0， MO ≠0
③ 平衡 FR’ =0， MO =0
2、平面任意力系的平衡方程
①一矩式： ②二矩式： ③三矩式：
F 0 F 0 M F 0 M (F ) 0 M M (F ) 0 M (F ) 0 M
解得：b=1.32
C LY
系 列 一
内 容 回 顾
平面任意力系
FRx =F1x+ F2x+ ·· Fnx= ΣFx ·+
FRy =F1y+ F2y+ ·· Fny= ΣFy ·+
理论力学 空间任意力系
FRx =F1x+ F2x+ ·· Fnx= ΣFx ·+ FRy =F1y+ F2y+ ·· Fny= ΣFy ·+ FRz =F1z+ F2z+ ·· Fnz= ΣFz ·+
x y x A A B
o B C
(F ) 0 (F ) 0 (F ) 0
3、解题步骤
(1) 选取研究对象； (3) 选坐标、取矩心 (2) 受力分析（画受力图） (4) 列平衡方程求解未知量。
C LY
系 列 一
内 容 回 顾
一、 4.4 c 固定端约束是3个力； 二、 缺受力图 三、 4-11 解：稳定力矩Mw 倾覆力矩Mq 倾覆系数Kq
F2
力偶三要素：力偶矩的大 小、力偶的转向、力偶作 用面的方位
C LY
系 列 一
理论力学 二、力偶矩矢 1、定义
空间力偶三要素可用一矢量表示，该矢量称为力偶矩矢。
2、表示方法
(1) 大小：矢量的长度表示力偶矩的大小；
(2) 矢量的方位：与力偶作用面的法线方向相同；
(3) 矢量的指向：与转向的关系服从右手法则。
M=M1+M2+…+Mn=∑M 2、平衡
空间力偶系的平衡条件是： ∑M = 0 投影形式为： ∑Mx = 0, ∑My = 0, ∑Mz = 0 即：各力偶矩矢在三个坐标轴上的投影的代数和等于零。
C LY
系 列 一
理论力学
§6-4 力对点之矩与力对轴之矩
一、空间力对点之矩的矢量表示
力对点的矩,除了力矩的大小、转向外,还应考虑力与矩心所组成
。。 。 β α O 。 。
y Fn
FRx=∑Fx , FRy=∑Fy , FRz=∑Fz
(2) 合力的解析求法
FR F
2 Rx
x
2 2
F
2 Ry
F
2 Rz

Fx
FRy FR ,
C LY
2
Fy Fz
cos
FRx , FR
cos
cos
且构成一平面汇交力系，故可以把空间问题转化成平面问题来处理。
C LY
系 列 一
理论力学 例6-2 重物W用杆AB和同一水平面的绳索AC与 AD支承。已知W＝1000N，CE＝ED＝12cm， EA＝24cm，β＝45°，不计杆重；求绳索的拉 力和杆的内力。
解：取A点为研究对象，受力分析。 取坐标系Axyz，列平衡方程，有
z
60o
4m
D
F1
O C x 解：具体过程见教材。
系 列 一
F3


2.5m
A
F2
B
y
C LY
理论力学
§6-2 空间汇交力系的合成与平衡
(1) 合力投影定理
将各力用分解表达式表示为：
z F1 γ FR F3
F2
Fi=Fxii+Fyij+Fzik , (i=1,2,…，n)
有： FR=∑F =∑Fxi+∑Fyj+∑Fzk
FN2
空间汇交力系
C LY
系 列 一
理论力学
§6-1 空间力沿坐标轴的分解与投影
一、力在空间的表示
大小：
z
F=|F |
E Fz

方向： 由、、 三个方向角确定, 或由方位角与仰角 来确定。 作用点： 力矢的起点或终点。
B A FFy D Fx ′ C B1 y
F
二、力在坐标轴上的投影计算
∴
MO(F)=r×F
O
d
系 列 一
即力对于任一点之矩等于矩心至力的作用线的矢径与该力的矢积。