2013广东各地高考 一模 理数 打包：广州 佛山 深圳 揭阳 肇庆 梅州 东莞广州市2013届普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题 卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域 内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔 和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：如果事件A ，B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ∙=∙.线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中系数计算公式x b y ax x y y x x b ni i ni ii-=---=∑∑==ˆ,)())((ˆ121， 其中y x ,表示样本均值。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集}6,5,4,3,2,1{=U ，集合}5,3,1{=A ，}4,2{=B ，则 A.B A U ⋃= B.B A C U U ⋃=)( C.)(B C A U U ⋃= D.)()(B C A C U U U ⋃=2.已知bi ia+=-11，其中a,b 是实数，i 是虚数单位，则a+bi= A.1+2i B.2+i C.2-i D.1-2i3.已知变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≥+.01,1,12y y x y x ，则y x z 2-=的最大值为A.-3 B .0 C.1 D.34.直线03==y x 截圆4)2(22=+-y x 所得劣弧所对的圆心角是A.6π B.3π C.2π D.32π5.某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是A.2B.1C.32D.316.函数)cos )(sin cos (sin x x x x y -+=是A.奇函数且在]2,0[π上单调递增 B.奇函数且在],2[ππ上单调递增C.偶函数且在]2,0[π上单调递增 D.偶函数且在],2[ππ上单调递增7.已知e 是自然对数的底数，函数2)(-+=x e x f x 的零点为a ，函数2ln )(-+=x x x g 的零点为b ，则下列不等式中成立的是A.)()1()(b f f a f <<B.)1()()(f b f a f <<C.)()()1(b f a f f << D.)()1()(a f f b f <<8.如图2，一条河的两岸平行，河的宽度d=600m ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往 河对岸的码头B.已知km AB 1=，水流速度为2km/h ，若客船行驶完航程所用最短时间为6分钟，则客船在静水中的速度大小为A.8km/hB.h km /26C.h km /342D.10km/h二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9-13题） 9.不等式x x ≤-1的解集是_________.10.⎰=1._______cos xdx11.某工厂的某种型号机器的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元）有下表的统计资料：x 2 3 4 5 6 y2.23.85.56.57.0根据上表可得回归方程a x yˆ23.1ˆ+=，据此模型估计，该型号机器使用所限为10年维修费用约______万元（结果保留两位小数）.12.已知1,0≠>a a ，函数⎩⎨⎧>+-≤=1,1,)(x a x x a x f x ，若函数)(x f 在区间[0,2]上的最大值比最小值大25，则a 的值为________. 13.已知经过同一点的)3*,(≥∈n N n n 个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这n 个平面将空间分成)(n f 个部分，则.________)(______,)3(n f f =（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点)23,2(πA ，点B 在直线0sin 3cos =+θρθρ上 运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标为______.15.（几何证明选讲选做题）如图3，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，AC 与⊙O交于点D ，若BC=3，516=AD ，则AB 的长为______.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分） 已知函)4sin()(πω+=x A x f （其中0,0,>>∈ωA R x ）的最大值为2，最小正周期为8．(1)求函数)(x f 的解析式；(2)若函数)(x f 图象上的两点P ，Q 的横坐标依次为2，4，O 坐标原点，求POQ ∆的面积.17.（本小题满分12分）甲、乙、丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为,21乙，丙做对的概率分别为m,n(m>n)，且三位学生是否做对相互独立.记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：ξ0 1 2 3P41 a b241 (1)求至少有一位学生做对该题的概率； (2)求m,n 的值； (3)求ξ的数学期望.18.（本小题满分14分）如图4，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，ABC ∆是边长为2的等边三角形，⊥1AA 平面ABC ，D ，E 分别是CC 1，AB 的中点.(1)求证：CE//平面A 1BD ；(2)若H 为A 1B 上的动点，当CH 为平面A 1AB 所成最大角的正切值为215时，求平面A 1BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值.19.（本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和为S n ，且nna a a a ++++ 32132*)(2)1(N n n S n n ∈+-=.(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若p,q,r 是三个互不相等的正整数，且p,q,r 成等差数列，试判断1,1,1---r q p a a a是否成等比数列？并说明理由.20.（本小题满分14分）已知椭圆C 1的中心在坐标原点，两个焦点分别为)0,2(),0,2(21F F -，点A （2，3）在椭圆C 1上，过点A 的直线L 与抛物线y x C 4:22=交于B ，C 两点，抛物线C 2在点B ，C处的切线分别为21,l l ，且1l 与2l 交于点P.(1)求椭圆C 1的方程； (2)是否存在满足||2121AF AF PF PF +=+的点P ？若存在，指出这样的点P 有几个（不必求出点P 的坐标）；若不存在，说明理由.21.（本小题满分14分）已知二次函数1)(2+++=m ax x x f ，关于x 的不等式21)12()(m x m x f -+-<的解集为)1,(+m m ，其中m 为非零常数.设1)()(-=x x f x g . (1)求a 的值；(2))(R k k ∈如何取值时，函数)1ln()()(--=x k x g x φ存在极值点，并求出极值点；(3)若m=1，且x>0，求证：*)(22)1()]1([N n x g x g n n n ∈-≥+-+参考答案说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DBCDACAB二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 10．1sin 11．12.38 12．12或27 13．8，22n n -+14．1116,π⎛⎫⎪⎝⎭15．4 说明：① 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分． ② 第14题的正确答案可以是：11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ).三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：∵()f x 的最大值为2，且0A >， ∴2A =. ……………1分∵()f x 的最小正周期为8， ∴28T πω==，得4πω=. ……………2分∴()2sin()44f x x ππ=+. ……………3分（2）解法1：∵(2)2sin 2cos 2244f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭， ……………4分(4)2sin 2sin 244f πππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭， …………5分∴(2,2),(4,2)P Q -. ∴6,23,32OP PQ OQ ===. ……………8分∴()()()222222632233cos 232632OP OQ PQPOQ OP OQ+-+-∠===⨯.…10分 ∴21POQ POQ sin cos ∠=-∠=63. ……………11分 ∴△POQ 的面积为116632223S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯32=. ………12分解法2：∵(2)2sin 2cos 2244f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭， ……………4分(4)2sin 2sin 244f πππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭， ……………5分∴(2,2),(4,2)P Q -.∴(2,2),(4,2)OP OQ ==-. ……………8分∴63cos cos ,3632OP OQ POQ OP OQ OP OQ⋅∠=<>===⨯. ……………10分 ∴21POQ POQ sin cos ∠=-∠=63. ……………11分 ∴△POQ 的面积为116632223S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯32=. ………12分解法3：∵(2)2sin 2cos 2244f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭， ………4分(4)2sin 2sin 244f πππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭， ……………5分∴(2,2),(4,2)P Q -.∴直线OP 的方程为22y x =，即20x y -=. ……………7分∴点Q 到直线OP 的距离为42233d +==. ……………9分∵6OP =， ……………11分∴△POQ 的面积为1162322SOP d =⋅=⨯⨯32=.……………12分 17．（本小题满分12分）（本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）解：设“甲做对”为事件A ，“乙做对”为事件B ，“丙做对”为事件C ，由题意知， ()()()12PA PB m PC n ,,===. ……………1分 （1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“0ξ=”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是()1310144P ξ-==-=.…………3分 （2）由题意知()()()()1101124PP ABC m n ξ===--=， ……………4分 ()()113224P P ABC mn ξ====， ……………5分 整理得 112mn=，712m n +=. 由mn >，解得13m =，14n =. ……………7分 （3）由题意知()()()()1aP P ABC P ABC P ABC ξ===++()()()()11111111122224m n m n m n =--+-+-=， …9分 (2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-==14， ……………10分∴ξ的数学期望为0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+=+==1312. …………12分H FABCA 1C 1B 1DE18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法） 解法一：（1）证明：延长1A D 交AC 的延长线于点F ，连接BF .∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ， ∴C 为AF 的中点. ……………2分 ∵E 为AB 的中点，∴CE ∥BF . ……………3分 ∵BF⊂平面1ABD ，CE ⊄平面1ABD ， ∴CE ∥平面1ABD . ……………4分 （2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，∴1AA ⊥CE . ……………5分∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点， ∴CE AB ⊥，332CE AB ==.∵AB⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1AB AA A = ，∴CE⊥平面1A AB . ……………6分∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. ……………7分 ∵3CE =，在R t △CEH 中，tan 3CE EHC EH EH∠==， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………8分∴当1EHAB ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tan 3CE EHC EH EH∠===152.∴255EH =. ……………9分 ∵CE ∥BF ，CE⊥平面1A AB ，z yxH ABCA 1C 1B 1DE F∴BF ⊥平面1A AB . ……………10分∵AB ⊂平面1A AB ，1AB ⊂平面1A AB ， ∴BF⊥AB ，BF ⊥1AB . ……………11分∴1ABA ∠为平面1ABD 与平面ABC 所成二面角（锐角）. ……………12分 在R t △EHB 中，22BH EB EH =-=55，cos 1ABA ∠55BH EB ==.…13分 ∴平面1ABD 与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值为55. ……………14分 解法二：（1）证明：取1AB 的中点F ，连接DF 、EF .∵E 为AB 的中点， ∴EF ∥1AA ，且112EFAA =. ……………1分 ∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ， ∴EF ∥CD ，EF =CD . ……………2分 ∴四边形EFDC 是平行四边形.∴CE ∥DF . ……………3分 ∵DF⊂平面1ABD ，CE ⊄平面1ABD ， ∴CE ∥平面1ABD . ……………4分 （2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，∴1AA ⊥CE . ……………5分∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点， ∴CE AB ⊥，332CE AB ==.∵AB⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1AB AA A = ，∴CE⊥平面1A AB . ……………6分∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. ……………7分∵3CE =，在R t △CEH 中，tan 3CE EHC EH EH∠==， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………8分∴当1EHAB ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tan 3CE EHC EH EH∠===152.∴255EH =. ……………9分 在R t △EHB 中，2255BHEB EH =-=. ∵R t △EHB ～R t △1A AB ，∴1EH BHAA AB=，即1255552AA =. ∴14AA =. ……………10分以A 为原点，与AC 垂直的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴，1AA 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -.则()000A,,，1A ()004,,，B ()310,,，D ()02,,2.∴1AA = ()004,,，1AB =()314,,-，1AD =()02,,-2. 设平面ABD 1的法向量为n =()x y z ,,， 由n B A 1⋅，n 01=⋅D A ，得340220x y z y z .ìï+-=ïíï-=ïî 令1y=，则13z x ==,.∴平面ABD 1的一个法向量为n =()311,,. ……………12分∵1AA ⊥平面ABC ， ∴1AA=()004,,是平面ABC 的一个法向量.∴cos 111,⋅==n AA n AA n AA 55. ……………13分 ∴平面1ABD 与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值为55. ……………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力） (1) 解：12323(1)2nn a a a na n S n ++++=-+ ，∴ 当1n=时，有 11(11)2,a S =-+ 解得 12a =. ……………1分由12323(1)2nn a a a na n S n ++++=-+ , ①得1231123(1)2(1)n n n a a a na n a nS n ++++++++=++ , ② ……………2分 ② - ①得: 11(1)(1)2n n n n a nS n S +++=--+. ③ ……………3分 以下提供两种方法：法1：由③式得：11(1)()(1)2n n n n n S S nS n S +++-=--+，即122n n S S +=+; ……………4分∴122(2)n n S S ++=+， ……………5分∵112240S a +=+=≠，∴数列{2}n S +是以4为首项,2为公比的等比数列. ∴1242n n S -+=⨯,即1142222n n n S -+=⨯-=-. ……………6分 当2n≥时, 11(22)(22)2n n n n n n a S S +-=-=---=， ……………7分又12a =也满足上式,∴2nn a =. ……………8分法2：由③式得：()111(1)(1)22n n n n n n n a nS n S nS S S ++++=--+=-++，得12n n a S +=+. ④ ……………4分当2n≥时,12n n a S -=+, ⑤ ……………5分⑤-④得：12n n a a +=. ……………6分 由12224a a S +=+，得24a =， ∴212a a =. ……………7分∴数列{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列. ∴2n n a =. …………8分 （2）解：∵p q r ,,成等差数列，∴2p r q +=. …………9分假设111p q r a a a ,,---成等比数列，则()()()2111p r q a a a --=-， …………10分即()()()2212121prq--=-，化简得：2222p r q +=⨯. （*） ……………11分∵p r ≠，∴2222222p r p r q +>⨯=⨯，这与(*)式矛盾，故假设不成立.…13分 ∴111pq r a a a ,,---不是等比数列. ……………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解法1：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得:2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……………2分 ∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分 解法2：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=，即4a =， ……………1分∵2c =， ∴22212b a c =-=. ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分 (2)解法1：设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(212212x x x x BC --=， )413,2(211x x BA --=，∵C B A ,,三点共线,∴BC BA //. ……………4分∴()()()222211211113244xx x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得：1212212x x x x ()+-=. ① ……………5分 由24x y =,即214yx ,=得y '=12x . ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-，即211412x x x y -=. ② 同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222412x x x y -=. ③ ………8分 设点),(y x P ，由②③得：=-211412x x x 222412x x x -， 而21x x ≠，则 )(2121x x x +=. ……………9分代入②得 2141x x y =， ……………10分则212x x x +=，214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ，即点P 的轨迹方程为3-=x y .……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，而点P 又在直线3-=x y 上，……………12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法2：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ，由24x y =,即214yx ,=得y '=12x . ……………4分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-， 即2111212x y x x y -+=. ……………5分 ∵21141x y =， ∴112y x x y -= . ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① ……………6分 同理，20202y x x y -=. ② ……………7分 综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x xy -=002. ………8分 ∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的， ∴直线L 的方程为y x xy -=2， ……………9分 ∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y . ……………10分∴点P 的轨迹方程为3-=x y . ……………11分 若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上，…12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分 ∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()23y k x =-+，由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得248120x kx k -+-=. ……………4分设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. ……………5分 由24x y =,即214yx ,=得y '=12x . ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=.…7分 ∵21141x y =， ∴211124x y x x =-. 同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x yx x =-. ……………8分 由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩ ∴()223P k k ,-. ……………10分 ∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上. ……………11分 ∴()()2222311612k k -+=. 化简得271230kk --=.(*) ……………12分由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ……………13分可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……………14分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识） （1）解：∵关于x 的不等式()()2211fx m x m <-+-的解集为()1m m ,+，即不等式()22120x a m x m m ++-++<的解集为()1m m ,+，∴()2212x a m x m m ++-++=()()1x mx m ---.∴()2212x a m x m m ++-++=()()2211x m x m m -+++. ∴()1221a m m +-=-+. ∴2a=-. ……………2分(2)解法1:由(1)得()()1f xg x x =-()221111x x m mx x x -++==-+--.∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分 方程()2210x k x k m -++-+=（*）的判别式()()222414Δk k m k m =+--+=+. ……………4分①当0m >时，0Δ>，方程（*）的两个实根为212412k k mx ,+-+=<222412k k m x ,+++=> ……………5分则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x . ……………6分 ②当0m<时，由0Δ>,得2k m <--或2k m >-，若2k m <--，则212412k k m x ,+-+=<222412k k mx ,+++=<故x∈()1,+∞时，()0x ϕ'>，∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ没有极值点. ……………7分若2k m >-时，212412k k m x ,+-+=>222412k k mx ,+++=>则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x . ……………8分 综上所述, 当0m >时，k 取任意实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m<时，2k m >-，函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .…9分(其中21242k k m x +-+=, 22242k k mx +++=)解法2:由(1)得()()1f xg x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--.∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞. ∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分 若函数()()x g x ϕ=-()1k x ln -存在极值点等价于函数()x ϕ'有两个不等的零点，且至少有一个零点在()1,+∞上. ……………4分令()x ϕ'()()22211x k x k m x -++-+=-0=, 得()221x k x k m -++-+0=, (*)则()()2224140Δk k m k m =+--+=+>,(**) ……………5分方程（*）的两个实根为21242k k m x +-+=, 22242k k mx +++=.设()h x =()221x k x k m -++-+,①若1211x x ,<>,则()10h m =-<,得0m>,此时,k 取任意实数, (**)成立.则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x . ……………6分②若1211x x ,>>,则()10212h m k ,.⎧=->⎪⎨+>⎪⎩得00m k ,.⎧<⎨>⎩又由(**)解得2k m >-或2k m <--,故2k m >-. ……………7分 则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x . ……………8分 综上所述, 当0m >时，k 取任何实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m<时，2k m >-，函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .…9分(其中21242k k m x +-+=, 22242k k mx +++=)(2)证法1：∵1m=， ∴()g x =()111x x -+-. ∴()()1111nnnn n g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-+=+-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭112212111111n n n n n n n n n n n n n x C x C x C x C x x x x x x ----⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+-+ ⎪⎝⎭ 122412n n n nn n n C x C x C x ----=+++ . ……………10分令T 122412n n n n n n n C x C x C x ----=+++ ， 则T122412n n n n n n n n C x C x C x -----=+++122412n n n n n n n C x C x C x ----=+++ .∵x0>，∴2T()()()122244122n n n n n n n n n n C x x C x x C x x -------=++++++ …11分≥122244122222n n n n n n n n n n C x x C x x C x x -------⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅ …12分()1212n n n n C C C -=+++()12102n n n nn n n n n n C C C C C C C -=+++++--()222n=-. ……………13分∴22n T≥-，即()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦. ……………14分 证法2：下面用数学归纳法证明不等式11nn n x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22n ≥-.① 当1n=时，左边110x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，右边1220=-=，不等式成立；……………10分② 假设当n k =k (∈N *)时，不等式成立，即11kk k x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22k ≥-，则 11111k k k x x x x +++⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11111111kk k k k k k x x x x x x x x x x x x ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111kk k x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k x x --⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ……………11分()11112222k k k x x x x--≥⋅⋅-+⋅ ……………12分 122k +=-. ……………13分也就是说，当1n k =+时，不等式也成立.由①②可得，对∀n ∈N*，()()1122nn n gx g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦都成立. ………14分2013年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数 学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目．2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷和答题卡交回． 参考公式：①柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．②锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为锥体的高．2013-1-25 ③标准差222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++- ，其中x 为样本12,,,n x x x 的平均数．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设i 为虚数单位，则复数i2i+等于 A ．12i 55+ B ． 12i 55-+ C ．12i 55- D ．12i 55--2．命题:p 2,11x x ∀∈+≥R ，则p ⌝是A ．2,11x x ∀∈+<R B ．2,11x x ∃∈+≤R C ．2,11x x ∃∈+<R D ．2,11x x ∃∈+≥R3．已知(1,2)=a ，(0,1)=b ，(,2)k =-c ，若(2)+⊥a b c ，则k = A ．2 B ．8 C ．2- D ．8-4．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的 三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．9 B ．10C ．11D ．232221 31 正视图侧视图俯视图第4题图5．为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将两人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列说法正确的是A ．x x >甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛B ．x x >甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛C ．x x <甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛D ．x x <甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛6．已知实数,x y 满足11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为A ．3-B ．12C ．5D ．67．已知集合{}|4||1|5Mx x x =-+-<，{}6N x a x =<< ,且()2,M N b = ,则a b +=A ．6B ．7C ．8D ．9 8．对于函数()y f x =，如果存在区间[,]m n ，同时满足下列条件：①()f x 在[,]m n 内是单调的；②当定义域是[,]m n 时，()f x 的值域也是[,]m n ，则称[,]m n 是该函数的“和谐区间”．若函数11()(0)a f x a a x+=->存在“和谐区间”，则a 的取值范围是 A ．(0,1) B ． (0,2) C ．15(,)22D ．(1,3)二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题(9～13题) 9．已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，()f x =2log x ，则1(())4f f 的值等于 ．10．已知抛物线24x y =上一点P 到焦点F 的距离是5，则点P 的横坐标是_____．11．函数sin sin 3y x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭的最小正周期为 ，最大值是 ．12．某学生在参加政、史、地 三门课程的学业水平考试中，取得ξ0 1 2 3 P6125ab24125第5题图A 等级的概率分别为54、53、52，且三门课程的成绩是否取得A 等级相互独立.记ξ为该生取得A 等级的课程数，其分布列如表所示，则数学期望ξE 的值为______________. 13．观察下列不等式： ①112<；②11226+<；③11132612++<；… 则第5个不等式为 ．(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线l 过点(1,0)且与直线3πθ=（ρ∈R ）垂直，则直线l 极坐标方程为 ． 15．（几何证明选讲）如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的 中点，直线l 过点M 分别交,AD AC 于点,E F ．若3AD AE =，则:AF FC = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）如图，在△ABC 中，45C ∠=，D 为BC 中点，2BC =. 记锐角ADB α∠=．且满足7cos225α=-． （1）求cos α；（2）求BC 边上高的值．第15题图F ABCD E Ml第16题图CBD A17．（本题满分12分）数列{}n a 的前n 项和为122n n S +=-，数列{}n b 是首项为1a ，公差为(0)d d ≠的等差数列，且1311,,b b b 成等比数列． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设nnnb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 18．（本题满分14分）如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点D 为线段AB 上一点，且13AD DB =，点C 为圆O 上一点，且3BC AC =． 点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，PD DB =．PABDO（1）求证：PA CD ⊥；（2）求二面角C PB A --的余弦值．19．（本题满分14分）某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式3C x =+，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 的函数关系式35, (06)814, (6)k x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩ 已知每日的利润L S C =-，且当2x =时，3L =．（1）求k 的值；（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值． 20．（本题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，离心率32e =．过该椭圆上任一点P 作PQ x ⊥轴，垂足为Q ，点C 在QP 的延长线上，且||||QP PC =． （1）求椭圆的方程；（2）求动点C 的轨迹E 的方程；（3）设直线AC （C 点不同于,A B ）与直线2x =交于点R ，D 为线段RB 的中点，试判断直线CD 与曲线E 的位置关系，并证明你的结论． 21．（本题满分14分）设()xg x e =，()[(1)]()f x g x a g x =λ+-λ-λ，其中,a λ是常数，且01λ<<．（1）求函数()f x 的极值；（2）证明：对任意正数a ，存在正数x ，使不等式11x e a x--<成立； （3）设12,λλ∈+R ，且121λλ+=，证明：对任意正数21,a a 都有：12121122a a a a λλ≤λ+λ．2013年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（理科）参考答案和评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 题号 1 2 3 4567 8 答案A CBCD C BA二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． 9．1- 10．4± 11．2π（2分），3 （3分） 12．5913．11111526122030++++< 14．2sin()16πρθ+=（或2cos()13πρθ-=、cos 3sin 1ρθρθ+=） 15．1:4 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分） 解析：（1）∵27cos22cos 125αα=-=-，∴29cos 25α=， ∵(0,)2πα∈，∴3c o s 5α=． -----------------5分（2）方法一、由（1）得24sin 1cos 5αα=-=，∵45CAD ADB C α∠=∠-∠=-，∴2sin sin()sin cos cos sin 44410CAD πππααα∠=-=-=，-----------------9分在ACD ∆中，由正弦定理得：sin sin CD ADCAD C=∠∠，∴21sin 25sin 210CD C AD CAD ⨯⋅∠===∠，-----------------11分则高4sin 545h AD ADB =⋅∠=⨯=． -----------------12分方法二、如图，作BC 边上的高为AH在直角△ADH 中，由（1）可得3cos 5DB AD α==， 则不妨设5,AD m = 则3,4DH m AH m ==-----------------8分注意到=45C ∠，则AHC ∆为等腰直角三角形，所以CD DH AH += ，则134m m +=-----------------10分 所以1m =，即4AH =-----------------12分 17．（本题满分12分） 解析：（1）当2n ≥，时11222n nn n n n a S S +-=-=-=， -----------------2分又111112222a S +==-==，也满足上式，所以数列{na }的通项公式为2n n a =． -----------------3分112b a ==，设公差为d ，则由1311,,b b b 成等比数列，得2(22)2(210)d d +=⨯+，第16题图 C BD AH-----------------4分 解得d =（舍去）或3d =，----------------5分 所以数列}{n b 的通项公式为31n b n =-． -----------------6分（2）由（1）可得312123n n nb b b b T a a a a =++++ 123258312222nn -=++++ ， -----------------7分121583122222n n n T --=++++ ，-----------------8分两式式相减得1213333122222n n n n T --=++++- ，-----------------11分131(1)3135222512212n n n n n n T ---+=+-=--，-----------------12分 18．（本题满分14分） 解析：（Ⅰ）法1：连接CO ，由3AD DB =知，点D 为AO 的中点， 又∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥， 由3AC BC =知，60CAB ∠= ，∴ACO ∆为等边三角形，从而CD AO ⊥．-----------------3分 ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ， ∴PD CD ⊥，-----------------5分由PD AO D = 得，CD ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB ，∴PA CD ⊥． -----------------6分（注：证明CD ⊥平面PAB 时，也可以由平面PAB ⊥平面ACB 得到，酌情给分．） 法2：∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥，在Rt ABC ∆中设1AD =，由3A D D B=，3AC BC =得，3DB =，4AB =，23BC =，PA BDCO∴32BD BC BC AB ==，则BDC BCA ∆∆∽， ∴BCA BDC∠=∠，即C ⊥． -----------------3分∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ， ∴PD CD⊥，-----------------5分由PD AO D = 得，CD ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB ，∴PA CD ⊥． -----------------6分 法3：∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥， 在Rt ABC ∆中由3AC BC =得，30ABC ∠= ，设1AD =，由3AD DB =得，3DB =，23BC =，由余弦定理得，2222cos303CD DB BC DB BC =+-⋅= ， ∴222CD DB BC +=，即C ⊥． -----------------3分∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ， ∴PD CD⊥，-----------------5分由PD AO D = 得，CD ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB，∴PA CD ⊥． -----------------6分（Ⅱ）法1：（综合法）过点D 作DE PB ⊥，垂足为E ，连接CE ． -----------------7分由（1）知CD ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ， ∴CD PB ⊥，又DE CD D = ， ∴PB ⊥平面CDE ，又CE ⊂平面CDE ， ∴CE PB ⊥，-----------------9分∴DEC ∠为二面角C PB A --的平面角． -----------------10分 由（Ⅰ）可知3CD =，3PD DB ==，PABDCOE（注：在第（Ⅰ）问中使用方法1时，此处需要设出线段的长度，酌情给分．） ∴32PB =，则932232PD DB DE PB ⋅===， ∴在Rt CDE ∆中，36tan 3322CD DEC DE ∠===， ∴15cos 5DEC ∠=，即二面角C P B --的余弦值为155． -----------------14分 法2：（坐标法）以D 为原点，DC 、DB 和DP的方向分别为x 轴、y 轴和z 轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系． -----------------8分 （注：如果第（Ⅰ）问就使用“坐标法”时，建系之前先要证明CD AB ⊥，酌情给分．） 设1AD =，由3AD DB =，3AC BC =得，3PD DB ==，3CD =，∴(0,0,0)D ，(3,0,0)C ，(0,3,0)B ，(0,0,3)P ，∴(3,0,3)PC =- ，(0,3,3)PB =- ，(3,0,0)CD =-，由CD ⊥平面PAB ，知平面PAB 的一个法向量为(3,0,0)CD =-． -----------------10分设平面PBC 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则00PC PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n ，即330330x y y z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令1y =，则3x =，1z =， ∴(3,1,1)=n ，-----------------12分设二面角C PB A --的平面角的大小为θ，则315cos 5||53CD CD θ⋅-===-⋅⨯ n |n|，-----------------13分 ∴二面角C PB A --的余弦值为155．-----------------14分19．（本题满分14分）解析：（Ⅰ）由题意可得：22,06811,6k x x L x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩，PABDCOyz x-----------------2分 因为2x =时，3L =，所以322228k =⨯++-.-----------------4分解得18k =.-----------------5分（Ⅱ）当06x <<时，18228L x x =++-，所以 1818182818=[2(8)]182********L x x x x x x=-++--++--⋅+=---≤（）（）．-----------------8分 当且仅当182(8)8x x-=-，即5x =时取得等号． -----------------10分 当6x ≥时，1L x =-≤． -----------------12分 所以当5x =时，L 取得最大值6．所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元． -----------------14分 20．（本题满分14分） 解析：（1）由题意可得2a =，32c e a ==，∴3c =， -----------------2分 ∴2221b a c =-=，所以椭圆的方程为2214x y +=． -----------------4分 （2）设(,)C x y ，00(,)P x y ，由题意得002x x y y =⎧⎨=⎩，即0012x xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩， -----------------6分又220014x y +=，代入得221()142x y +=，即224x y +=． 即动点C的轨迹E的方程为224x y +=． -----------------8分（3）设(,)C m n ，点R 的坐标为(2,)t ，∵,,A C R 三点共线，∴//AC AR，而(2,)AC m n =+ ，(4,)AR t =，则4(2)n t m =+，∴42nt m =+， ∴点R 的坐标为4(2,)2nm +，点D 的坐标为2(2,)2nm +，-----------------10分∴直线CD 的斜率为222(2)22244nn m n n mn m k m m m -+-+===---， 而224m n +=，∴224m n -=-，∴2mn mk n n==--，-----------------12分∴直线CD 的方程为()my n x m n-=--，化简得40mx ny +-=， ∴圆心O 到直线CD 的距离224424dr m n====+， 所以直线CD 与圆O相切． -----------------14分 21．（本题满分14分）解析：（1）∵()[(1f x g x a g x λλλλ'''=+--，-----------------1分 由()0f x '>得，[(1)]()g x a g x λλ''+->，∴(1)x a x λλ+->，即(1)()0x a λ--<，解得x a <，-----------------3分 故当x a <时，()0f x '>；当x a >时，()0f x '<；∴当x a =时，()f x 取极大值，但()f x 没有极小值．-----------------4分（2）∵111x x e e x x x----=， 又当0x >时，令()1x h x e x =--，则()10x h x e '=->， 故()(0)0h x h >=， 因此原不等式化为1x e x a x--<，即(1)1x e a x -+-<， -----------------6分令()(1)1x g x e a x =-+-，则()(1)x g x e a '=-+， 由()0g x '=得：1xe a =+，解得ln(1)x a =+，当0ln(1)x a <<+时，()0g x '<；当ln(1)x a >+时，()0g x '>． 故当l n (1x a =+时，()g x 取最小值[ln(1)](1)ln(1)g a a a a +=-++，-----------------8分令()ln(1),01a s a a a a =-+>+，则2211()0(1)1(1)as a a a a '=-=-<+++． 故()(0)0s a s <=，即[ln(1)](1)ln(1)0g a a a a +=-++<． 因此，存在正数ln(1)x a =+，使原不等式成立． -----------------10分 （3）对任意正数12,a a ，存在实数12,x x 使11xa e =，22x a e =，则121122112212x x x x a a e e e λλλλλλ+=⋅=，12112212x x a a e e λλλλ+=+，原不等式12121122a a a a λλλλ≤+11221212x x x x e e e λλλλ+⇔≤+，11221122()()()g x x g x g x λλλλ⇔+≤+-----------------14分 由（1）()(1)()f x g a λ≤-恒成立，故[(1)]()(1)()g x a g x g a λλλλ+-≤+-， 取1212,,,1x x a x λλλλ===-=， 即得11221122()()()g x x g x g x λλλλ+≤+， 即11221212x x x x e e e λλλλ+≤+，故所证不等式成立． -----------------14分。
