北师大版数学高二-(试题2)5.2复数的四则运算水平测试

§2复数的四则运算1.若z1=2+i,z2=3+a i(a∈R),z1+z2所对应的点在实轴上,则a为()A.3B.2C.1D.-1解析:∵z1=2+i,z2=3+a i,∴z1+z2=(2+i)+(3+a i)=5+(a+1)i.又∵z1+z2所对应的点在实轴上,∴a+1=0,即a=-1.答案:D2.在复平面内,复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:i,故该复数对应的点在第四象限.答案:D3.已知复数z=1-i,则=()A.2iB.-2iC.2D.-2解析:∵z=1-i,∴z2-2z=(1-i)2-2(1-i)=-2i-2+2i=-2.又∵z-1=-i,∴=-=-2i.答案:B4.已知(x+i)(1-i)=y,则实数x,y分别为()A.x=-1,y=1B.x=-1,y=2C.x=1,y=1D.x=1,y=2解析:由x,y为实数,且(x+i)(1-i)=y,得x+1+(1-x)i=y,∴∴x=1,y=2.答案:D5.设z的共轭复数为,且z+=4,z =8,则等于()A.1B.-iC.±1D.±i解析:设z=a+b i(a,b∈R),则=a-b i,∴z+=2a=4.∴a=2.又∵z =a2+b2=8,∴b2=4.∴b=±2.∴=±i.答案:D6.已知|z|=4,且z+2i是实数,则复数z=.解析:∵z+2i是实数,可设z=a-2i(a∈R),由|z|=4得a2+4=16,∴a2=12,∴a=±2.∴z=±2-2i.答案:±2-2i7.设z 2=z1-i(其中表示z1的共轭复数),已知z2的实部是-1,则z2的虚部为. 解析:设z1=a+b i(a,b∈R),则z 2=z1-i=a+b i-i(a-b i)=(a-b)-(a-b)i.因为z2的实部是-1,即a-b=-1,所以z2的虚部为1.答案:18.若z=,那么z100+z50+1的值是.解析:z=,z100+z50+1=+1=+1=i50+i25+1=i2+i+1=i.答案:i9.计算:(1)(i)2(4+5i);(2).解:(1)(i)2(4+5i)=2(1+i)2(4+5i)=4i(4+5i)=-20+16i.(2)=1-i.10.设z∈C,为z的共轭复数,若z·+i z=,求z.解:设z=a+b i(a,b∈R),则=a-b i,∴z·=(a+b i)(a-b i)=a2+b2.由z·+i z=,得a2+b2+i(a+b i)=,即(a2+b2-b)+a i=3-i.∴∴∴z=-1+2i或z=-1-i.备选例题1.已知x,y∈R,且,求x,y的值.分析:复数通分太麻烦,可将每个分母的复数化为实数,再进行计算.解:可写成,则5x(1-i)+2y(1-2i)=5-15i,(5x+2y)-(5x+4y)i=5-15i,∴2.已知关于x的方程x2+(k+2i)x+2+k i=0有实根,求这个实根以及实数k的值.解:设x=x0是方程的实根,代入方程并整理得(+kx0+2)+(2x0+k)i=0.由复数相等的充要条件得解得∴方程的实根为x=或x=-,相应的k值为k=-2或k=2.。

单元提分卷（10）复数的四则运算1、设i 是虚数单位，复数i 2i a +- 是纯虚数，则实数a ＝( ) A. 2 B. 12 C. 12- D. －22、如果一个复数与它的模的和为5,那么这个复数是( ) A.115C.115D.115+ 3、设i 是虚数单位,复数32i i 1i +=+( ) A.i - B.i C.1- D.14、计算(3i)(2i)+-+的结果为（ ）A ．52i +B ． -iC ．1D ．1i -5、设i 是虚数单位,z 表示复数z 的共辗复数.若1i z =+,则i iz z +⋅=( ) A.2- B.2i - C.2 D.2i 6、设复数121,1,z i z ai =+=+若复数21z z 为纯虚数,则实数a 等于( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 7、已知21z i i=++,则复数z = ( ) A. 13i -+B. 13i -C. 13i --D. 13i + 8、复数411i ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是( ) A.4i - B.4i C.4- D. 49、若()13n x +的二项展开式各项系数和为256?,i 为虚数单位,则复数()1n i +的运算结果为( )A.-16B.16C.-4D.410、复数212i i+-的共轭复数是( )A. 35i - B.35i C. i -D. i 11、若()121ai i bi +=-,其中,a b R ∈,则 a bi += ( ) A.12i +B.C.D. 5412、已知i 是虚数单位,则11i i i i ( )A. 1322i -+ B. 1322i - C. 3122i + D. 3122i - 13、若复数 (32)z i i =- (i 是虚数单位),则z = ( )A.32i - B.32i + C.23i + D. 23i -14、已知复数2(1i z i i =+为虚数单位),则z 的虚部为( ) A. 1B. 1-C. iD. i -15、方程()()2223256? 0?x x x x i --+-+=的实数解x =__________.16、设关于 x 的方程()()2tan i 2i 0x x θ-+-+=,若方程有实数根.则锐角θ和实数根__________.17、若复数12z i =+,其中i 是虚数单位,则1z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭__________. 18、已知23i -是关于x 的方程220x px q ++= (p ,q R ∈)的一个根, 则p =__________,q =__________.答案以及解析1答案及解析：答案：B解析：2答案及解析：答案：C解析：设这个复数为i(,R)a b a b +∈,则|i |a b +=.由题意知i 5a b +=+,即i 5a b +=.∴5,a b ⎧=⎪⎨⎪⎩解得11,5a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴所求复数为115+,故选C.3答案及解析：答案：D解析：∵3i i =-,2i 2i(1i)i(1i)i 11i (1i)(1i)-==-=+++-, ∴32i i i i 111i+=-++=+.4答案及解析：答案：C解析：5答案及解析：答案：C 解析：由题意()1i 1i 1i i iz z ++⋅=+-()21i i 1i 1i 1i 2i +=++=-++=,故选 C.6答案及解析：答案：B解析：7答案及解析：解析：8答案及解析：答案：C解析：9答案及解析：答案：C解析：10答案及解析：答案：C 解析：2(2)(12)12(12)(12)i i i i i i i +++==--+, ∴212i i+-的共轭复数是i -.11答案及解析：答案：C解析：因为()121ai i bi +=-,所以21a i bi -+=-,12a =-,1b =-,所以122a bi i +=--=,选C.12答案及解析：答案：D解析：13答案及解析：答案：D解析：因为()3223z i i i =-=+,所以23z i =-,故选D.【考点定位】本题考查复数的基本运算,属于容易题.14答案及解析：答案：B解析：15答案及解析：答案：2解析：16答案及解析： 答案：()π1,πZ 4x k k θ=-=+∈ 解析：原方程可化为()2tan 210x x x i θ---+=,2tan 2010x x x θ⎧--=⎨+=⎩ 解得()π1,πZ 4x k k θ=-=+∈17答案及解析：答案：6 解析：∵12z i =+, ∴12z i =-. ∴11516z z z z z ⎛⎫+⋅=⋅+=+= ⎪⎝⎭.18答案及解析：答案：12; 26解析：由题意知()()2223230i p i q -+-+=,即()1032240p q p i -++-=. ∵p 、q R ∈,∴1030,{2240,p q p -+=-=∴12p =,26q =.由Ruize收集整理。

答案:C
2. 导学号88184057若z2+z+1=0，则z2 014+z2 015+z2 017+z2 018的值为（)
A。2B。-2
C。- iD.- i
解析：∵z2+z+1=0,两边同乘(z—1），得z3—1=0，
∴z3=1(z≠1），
则z4=z，z2 014=(z3)671×z=z，
于是原式=z2 014（1+z+z3+z4)
§
课后训练案巩固提升
A组
1。复数 的虚部为()
A.0B。1C。—1D。2
解析：∵ =i，
∴虚部为1.
答案：B
2.设z1=2+bi，z2=a+i，当z1+z2=0时,复数a+bi为(）
A.1+iB。2+iC。3D.—2-i
解析：∵z1+z2=（2+bi）+(a+i）=（2+a）+(b+1）i=0,
∴
∴ ∴a+bi=-2-i.
答案：3
7.已知复数z= 是z的共轭复数,则z· =.
解析:∵z=
= =— i,
∴ =— i.
∴z·
= .
答案：
8。若x，y∈R，且 ，则x=,y=.
解析:∵ ，
∴ 。
∴ 。
∴（x-y)+(y—2x）i= =4—3i.
∴
答案:—1—5
9。计算:(1) （2-i）（3+i）；
(2) .
解（1) (2-i)（3+i)
=
= .
∵-1≤sin ≤1,
∴0≤|z—w｜≤2。

§2 复数的四则运算2．1 复数的加法与减法一、基础过关1． 若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( ) A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i 2． 复数i ＋i 2在复平面内表示的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． 复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( ) A ．2B ．2＋2iC ．4＋2iD ．4－2i 4． 设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( )A ．1＋iB ．2＋iC ．3D ．－2－i5． 已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( )A ．－3iB ．3iC ．±3iD ．4i 6． 计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 008＋2 009i)＋(2 009－2 010i)＋(－2 010＋2 011i)．二、能力提升7． 若复数z 1＝－1，z 2＝2＋i 分别对应复平面上的点P 、Q ，则向量PQ →对应的复数是________．8． 如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是________．9． 若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是________．10．设m ∈R ，复数z 1＝m 2＋m m ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值范围．11．复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是2＋i ，向量BA →对应的复数是1＋2i ，向量BC →对应的复数是3－i ，求C 点在复平面内的坐标．12．已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．三、探究与拓展13．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求AB →，BC →，AC →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积．答案1．D 2．B 3．C 4．D 5．B6．解 原式＝(1－2＋3－4＋…－2 008＋2 009－2 010)＋(－2＋3－4＋5＋…＋2 009－2 010＋2 011)i＝－1 005＋1 005i.7．3＋i8.115＋3i9．110．解 ∵z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，∴z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋mm ＋2－2＋[(m －15)＋m (m －3)]i＝m 2－m －4m ＋2＋(m 2－2m －15)i.∵z 1＋z 2为虚数，∴m 2－2m －15≠0且m ≠－2，解得m ≠5，m ≠－3且m ≠－2(m ∈R )．11．解 ∵AC →＝BC →－BA →，∴AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i ，设C (x ，y )，则(x ＋y i)－(2＋i)＝2－3i ，∴x ＋y i ＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i ，故x ＝4，y ＝－2.∴C 点在复平面内的坐标为(4，－2)．12．解 方法一 设D 点对应的复数为x ＋y i (x ，y ∈R )，则D (x ，y )，又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)．∴AC 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，BD 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y －12.∵平行四边形对角线互相平分，∴⎩⎪⎨⎪⎧32＝x 22＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.方法二 设D 点对应的复数为x ＋y i (x ，y ∈R )．则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ， 又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i ，由于AD →＝BC →.∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝2y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5. 即点D 对应的复数为3＋5i.13．解 (1)AB →对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，BC →对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ，AC →对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i.(2)∵|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8＝22， ∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，∴△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12×2×22＝2.。