高中数学第五章数系的扩充与复数的引入2复数的四则运算教案(含解析)北师大版选修2_2

2复数的四则运算复数的加法与减法已知复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)．问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋b i)±(c ＋d i)＝(a±c)＋(b±d)i.问题2：类比向量的加法，复数的加法满足交换律和结合律吗？提示：满足．1．加(减)法法则设a＋b i与c＋d i(a，b，c，d∈R)是任意复数，则(a＋b i)±(c＋d i)＝(a±c)＋(b±d)i.2．运算律对任意的z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1(交换律)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)(结合律).复数的乘法问题1：复数的加减法类似多项式加减，试想：复数相乘是否类似两多项式相乘？提示：是．问题2：复数的乘法是否满足交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律？提示：满足．问题3：试举例验证复数乘法的交换律．提示：若z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)．z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i，z2z1＝(c＋d i)(a＋b i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.故z1z2＝z2z1.复数的乘法(1)定义：(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(2)运算律：①对任意z1，z2，z3∈C，有交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1结合律 (z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3) 乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3②复数的乘方：任意复数z ，z 1，z 2和正整数m ，n ，有z m z n ＝z m ＋n ，(z m )n ＝z mn ，(z 1z 2)n ＝z n 1z n2.共 轭 复 数观察下列三组复数： (1)z 1＝2＋i ；z 2＝2－i ； (2)z 1＝3＋4i ；z 2＝3－4i ； (3)z 1＝4i ；z 2＝－4i.问题1：每组复数中的z 1与z 2有什么关系？ 提示：实部相等，虚部互为相反数．问题2：试计算每组中的z 1z 2，你发现有什么规律？ 提示：z 1与z 2的积等于z 1的实部与虚部的平方和．共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫做共轭复数．复数z 的共轭复数用z 来表示，也就是当z ＝a ＋b i 时，z ＝a －b i.于是z z ＝a 2＋b 2＝|z |2.复数的除法我们知道实数的除法是乘法的逆运算，类似地，复数的除法也是复数乘法的逆运算，给出两个复数a ＋b i ，c ＋d i(c ＋d i≠0)．若(c ＋d i)(x ＋y i)＝a ＋b i ，则x ＋y i ＝a ＋b ic ＋d i叫做复数a ＋b i 除以c ＋d i 的商．问题1：根据乘法运算法则和复数相等的概念，请用a ，b ，c ，d 表示出x ，y . 提示：由(c ＋d i)(x ＋y i)＝a ＋b i 得xc －yd ＋(xd ＋yc )i ＝a ＋b i.即⎩⎪⎨⎪⎧xc －yd ＝a ，xd ＋yc ＝b .∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ac ＋bdc 2＋d 2，y ＝bc －adc 2＋d 2.问题2：运用上述方法求两个复数的商非常繁琐，有更简便的方法求两个复数的商吗？ 提示：可以用分母的共轭复数同乘分子与分母后，再进行运算．复数的除法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i≠0)， 则z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i≠0)．1．复数的加法、减法和乘法与多项式的加法、减法和乘法相类似，但应注意在乘法中必须把i 2换成－1，再把实部、虚部分别合并．2．复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数)．复数的加减运算[例1] 计算：(2)5i －[(3＋4i)－(－1＋3i)]； (3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i(a ，b ∈R)． [思路点拨] 利用复数加减运算的法则计算． [精解详析] (1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i) ＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i.(2)5i －[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i －(4＋i)＝－4＋4i.(3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝(a －2a )＋[b －(－3b )－3]i ＝－a ＋(4b －3)i. [一点通] 复数加、减运算的方法技巧：(1)复数的实部与实部相加、减，虚部与虚部相加、减； (2)把i 看作一个字母，类比多项式加、减中的合并同类项．1．计算：(1＋2i)＋(－2－3i)－(3－2i)． 解：(1＋2i)＋(－2－3i)－(3－2i)＝[－1＋(2－3)i]－(3－2i) ＝－4＋(2＋2－3)i.2．若(3－10i)y ＋(－2＋i)x ＝1－9i ，求实数x ，y 的值． 解：原式化为3y －10y i ＋(－2x ＋x i)＝1－9i. 即(3y －2x )＋(x －10y )i ＝1－9i.∴⎩⎪⎨⎪⎧3y －2x ＝1，x －10y ＝－9，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.复数的四则运算[例2] 计算：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ； (3)(－2＋3i)÷(1＋2i)＋i 5； (4)3－4i 2＋2i24＋3i＋⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2.[思路点拨] 按照复数的乘法与除法运算法则进行计算． [精解详析] (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i) ＝1－i 2＋(－1＋i) ＝2－1＋i ＝1＋i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i ＋i －5i 2)(3－4i)＋2i ＝(－2＋11i ＋5)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝(9－12i ＋33i －44i 2)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i. (3)原式＝－2＋3i 1＋2i ＋i 5＝－2＋3i1－2i 1＋2i 1－2i＋(i 2)2·i＝4＋7i 5＋i ＝45＋125i. (4)3－4i 2＋2i 24＋3i ＋⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝3－4i ·8i 4＋3i ＋－2i2i＝84＋3i4＋3i－1＝8－1＝7. [一点通](1)复数的乘法可以把i 看作字母，按多项式的乘法法则进行，注意把i 2化成－1，进行最后结果的化简；复数的除法先写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数，并进行化简．(2)i m(m ∈N ＋)具有周期性，且最小正周期为4，则 ①i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n＝1(n ∈N ＋)；②i 4n＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈N ＋)．3．设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( ) A ．－1＋i B.－1－i C.1＋iD.1－i解析：选A z ＝2i1－i＝2i 1＋i1－i 1＋i＝－1＋i ，故选A.4．若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B.－45C ．4D.45解析：选D 因为|4＋3i|＝ 42＋32＝5，所以已知等式为(3－4i)z ＝5，即z ＝53－4i ＝53＋4i 3－4i 3＋4i ＝53＋4i 25＝3＋4i 5＝35＋45i ，所以复数z 的虚部为45，选择D. 5．计算：(1)(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7＋i 11)(4－3i)； (2)2＋2i34＋5i 5－4i1－i.解：(1)(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7＋i 11)(4－3i) ＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i) ＝24－8i －6i －2＋28－21i －4i －3 ＝47－39i. (2)2＋2i 34＋5i 5－4i 1－i＝221＋i 3i 5－4i5－4i1－i＝221＋i 4i 2＝2(1＋i)4i＝2i[(1＋i)2]2＝2i(2i)2＝－42i.共 轭 复 数[例3] 已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . [精解详析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)， 则z ＝a －b i(a ，b ∈R)，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.[一点通] 已知关于z 和z 的方程，求z 的问题，解题的常规思路为设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i ，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程组求解．6．复数z ＝－3＋i2＋i 的共轭复数是( )A ．2＋i B.2－i C ．－1＋iD ．－1－i解析：选D z ＝－3＋i2＋i＝－3＋i 2－i2＋i2－i＝－1＋i ，所以z ＝－1－i.7．设z ＝1－i(i 是虚数单位)，则复数⎝ ⎛⎭⎪⎫2z＋z 2·z ＝________.解析：对于2z ＋z 2＝21－i＋(1－i)2＝1＋i －2i ＝1－i ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫2z＋z 2·z ＝(1－i)(1＋i)＝2. 答案：28．已知复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z z＝________.解析：因为(1＋2i)z ＝4＋3i ， 所以z ＝4＋3i1＋2i＝4＋3i1－2i5＝2－i ， 故z ＝2＋i ，zz＝2－i2＋i ＝2－i 25＝3－4i 5＝35－45i.答案：35－45i9．已知复数z 1＝5＋i ，z 2＝i －3，且1z＝z 1＋z 2，求复数z .解：由已知得：z 1＝5－i ，z 2＝－3－i ， ∴1z＝z 1＋z 2＝(5－i)＋(－3－i)＝2－2i ，∴z ＝12－2i ＝12×11－i ＝14＋14i.1．复数的四则运算顺序与实数运算顺序一致，即先算平方，再算乘除，最后算加减，同时要注重复数运算中的独特技巧，如：(1±i)2＝±2i，1＋i 1－i ＝i ，i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i(n ∈N ＋)等，在解题中可使运算简化．2．解决共轭复数问题时，除用共轭复数定义解题外，也常用下列结论简化解题过程． ①z ·z ＝|z |2＝|z |2； ②z ∈R ⇔z ＝z ；③z ≠0，z 为纯虚数⇔z ＝－z .1．(1＋2i)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋52i ＝( ) A ．－2i B ．2－2i C ．2＋2iD ．2解析：选B 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32－52i ＝2－2i. 2．已知a 为正实数，i 为虚数单位，若a ＋ii的模为2，则a ＝( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1解析：选B 因为a ＋ii＝1－a i ，所以 1＋a 2＝2，又a >0，故a ＝ 3.故选B.3．计算：－1＋3i31＋i 6＋－2＋i 1＋2i＝( )A ．0B ．1C ．iD ．2i解析：选 D －1＋3i31＋i6＋－2＋i 1＋2i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋3i 2i 3＋－2＋i 1－2i5＝i ＋i ＝2i.故选D.4．(1＋i)20－(1－i)20的值是( ) A ．－1 024 B ．1 024 C ．0D ．512解析：选 C (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.5．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.解析：因为(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，a ，b ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，a ＋1＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i.答案：1＋2i6．若复数z 满足z －3(1＋z )i ＝1，则z ＋z 2＝________. 解析：由题得z －3i －3z i －1＝0， 则z ＝1＋3i 1－3i＝－12＋32i ，所以z ＋z 2＝－12＋32i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2＝－1.答案：－1 7．计算：(1)(2＋2i)2(4＋5i)； (2)1＋i2＋31－i2＋i.解：(1)(2＋2i)2(4＋5i)＝2(1＋i)2(4＋5i) ＝4i(4＋5i) ＝－20＋16i. (2)1＋i2＋31－i 2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i ＝1－i.8．复数z ＝1＋i3a ＋b i1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解：z ＝1＋i2·1＋i1－i(a ＋b i)＝2i·i(a ＋b i)＝－2a －2b i. 由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4，①∵复数0，z ，z 对应的点构成正三角形， ∴|z －z |＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得|b |＝1.② 又∵z 对应的点在第一象限， ∴a ＜0，b ＜0. 由①②得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1.故所求值为a ＝－3，b ＝－1.。