北师大版数学高二《复数的四则运算》教材解读教案 选修2-2

复数的四那么运算(1)
一、教学目标
1．理解并掌握复数四那么运算法那么；
2．培养学生良好思维品质〔思维的严谨性，深刻性，灵活性等〕．
二、教学重点和难点
重点：复数四那么运算法那么；
难点：对复数减法几何意义理解和应用．
三、教学过程
1、复习：复数的有关概念
2、复数加、减法法那么：
3、复数的乘法：
4、例题
例1、 计算(1)〔5-6i 〕+〔-2-i 〕-〔3+4i 〕
(2) (1-2i)(3+4i)(-2+i)
例2、 求))((bi a bi a -+．
小结：〔1〕a 2+b 2的因式分解
〔2〕方程012=+x 的求解
共轭复数
例3、证明复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．
练习：证明复数的乘法对加法的分配律．
例4、假设复数1z i =+，某某数,a b 使22(2)az bz a z +=+。

〔其中z 为z 的共轭复数〕
练习：书P105 3 -5
作业：书P111习题1-2；课课练P81-82。

教学目标：1．知识技能目标：掌握复数的几个常用结论，会在复数范围内进行因式分解．2．过程方法目标：理解并掌握复数进行四则运算的规律．3．情感态度价值观目标：我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充，让学 生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系．教学重点：复数混合运算．教学难点：几个常用结论在计算中的熟练应用．教学过程：一、复习回顾1．z 2＝c ＋d i ≠0，则2222i (i)(i)i i (i)(i)a b a b c d ac bd bc ad c d c d c d c d c d ＋＋－＋－＝＝＋＋＋－＋＋． 2．共轭复数：i z a b ＝＋与i z a b ＝－互为共轭复数．3．乘方运算法则：z ，z 1，z 2∈C 及m ，n ∈N *．（1）m n m n z z z ＋＝ （2） ()m n mn z z ＝ （3） 1212()n n n z z z z ＝．特别地：n ∈N *，有i 4n ＝1，i 4n +1＝i ，i 4n +2＝－1，i 4n +3＝－i ，结论1补充：1．22(1i)2i(1i)2i ＋＝－＝－结论2 2．1i 1i i i 1i 1i＋－＝，＝－－＋ 结论3 3．23213i 22101ωωωωωω＝－＋＋＋＝＝＝结论4 二、问题情境问题1计算1010(1i)(1i)－＋．问题2计算3113i i2222⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭＋－＋．问题3在复数范围内解方程x4＝1．()()13131331i i i i i i2222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭－－＋－＋＝－－－＝－＋．问题3∵x4－1＝(x2＋1)( x2－1)＝(x＋1)( x－1)( x＋i)( x－i)＝0∴x＝±1，±i．四、数学应用1．计算（1）22i1i⎛⎫⎪⎝⎭＋（2）i.i2.i3 (i100)解（1）22i1i⎛⎫⎪⎝⎭＋＝2i；（2）i·i2·i3·…·i100＝i5050＝i2＝－1 2．计算：15152020(13i)(13i)(1i)(1i)－＋－－－－＋解原式＝15151515101013i13i2()2()2222(2i)(2i)－＋－－－－＝1515101022(2i)(2i)－－＝0 3．在复数范围内因式分解：（1）a4－b4（2）x2＋2x＋5．解（1）a4－b4＝(a＋b)( a－b)( a＋b i)( a－b i)（2）∵x2＋2x＋5＝0，∴(x＋1)2＝4i2∴x＝±2i－1∴x2＋2x＋5＝(x＋1＋2i)( x＋1－2i)五、巩固练习在复数范围内因式分解：（1）x2＋4 （2）a2＋b2＋c2＋2ab 已知z2＝－7－24i，求复数z．六、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．关于复数运算的几个常用结论；2．在复数范围内因式分解；3．待定系数法求复数．。

Word 文档仅限参照教课目的：1．掌握复数的除法及乘方运算法例及意义．2．理解并掌握复数进行四则运算的规律．教课重点：复数乘方运算．教课难点：复数运算法例在计算中的娴熟应用．教课方法：类比研究法．教课过程：一、复习回首1．复数的加法 ,减法和乘法．2．共轭复数：共轭复数：z＝ a＋bi 与z＝a－bi互为共轭复数；实数的共轭复数是它自己；共轭复数的简单性质：z＋ z＝2a ； z－ z＝2bi ； z z＝a2＋b2．二、建构数学乘方运算法例： z,z1,z2∈C及 m,n∈N*．（ 1）m n m＋ n（ 2）(m ) n mn n n nz z＝z z＝z（） ( z1z2 ) ＝ z1 z2．3除法运算： z2＝c＋di≠0,＋＋－＋bd2－ad2 i ．a bi ＝ (a bi)( c di)＝ac2＋bc2c＋ di(c＋di)( c－ di) c ＋ d c ＋ d三、数学应用例 1 计算2－i．3－ 4i2－ i解解法一设＝x＋yi,即(3－4i)( x＋yi)＝2－i；Word 文档仅限参照Word 文档仅限参照因此＋＝因此x＝2因此2－i＝2＋1i3x 4 y 25－＝－1－3 4i 5 53y 4 x1y＝5例 4设＝－1＋3求证：（）＋＋2＝0（ 2）3＝．22i,111证明（ 1）2＝(－1＋3i)2＝－1－3i 2222因此 1＋＋2＝1－1＋3i －1－3i＝0 2222（ 2）2＝(－1＋3i)2＝－1－3i 2222因此3＝2＝(－1＋3i)(－1－3i)＝1 2222思虑写出 x31在复数范围内的三个根？＝－1＋3i＝－1－3i22222结论 421＋＋,＋＋＝＝013＝13＝122＝＝四、稳固练习课本 P117 练习第 2, 3 题．Word 文档仅限参照Word 文档仅限参照五、重点概括与方法小结本节课学习了以下内容：1．复数的乘方法例和运算律．2．复数的除法法例和运算律．3．几个常用的结论．Word 文档仅限参照。

复数代数形式的四则运算复数代数形式的乘除运算教学目标：知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。

教学重点：复数代数形式的除法运算。

教学难点：对复数除法法则的运用。

教具准备：多媒体、实物投影仪。

教学设想：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di⇔a=c，b=d，只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小教学过程：学生探究过程：1.虚数单位i:(1)它的平方等于-1，即i2=-1;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立2.i与－1的关系:i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i3.i的周期性：i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=14.复数的定义：形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*3.复数的代数形式:复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R)，把复数表示成a+bi 的形式，叫做复数的代数形式4.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a+bi(a,b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.6.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di⇔a=c，b=d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小7.复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数2 2131 2； 2. 2 =3 2 2 是 z=0+0 i=0 表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数8．复数 z 1 与 z 2 的和的定义：z 1+z 2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.9. 复数 z 1 与 z 2 的差的定义：z 1-z 2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 10. 复数的加法运算满足交换律:z 1+z 2=z 2+z 1.11. 复数的加法运算满足结合律: (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)讲解新课：１．乘法运算规则：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设 z 1=a+bi ，z 2=c+di(a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac － bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把 i 换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.2.乘法运算律： (1)z(z z 3)=(zz 2)z证明：设 z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i ，z 3=a 3+b 3i(a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ).∵z 1z 2=(a 1+b 1i)(a 2+b 2i)=(a 1a 2-b 1b 2)+(b 1a 2+a 1b 2)i ， z 2z 1=(a 2+b 2i)(a 1+b 1i)=(a 2a 1-b 2b 1)+(b 2a 1+a 2b 1)i. 又 a 1a 2-b 1b 2=a 2a 1-b 2b 1，b 1a 2+a 1b 2=b 2a 1+a 2b 1. ∴z 1z 2=z 2z 1.(2)z(z +z 3)=z 1z 2+z 1z 3证明：设 z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i ，z 3=a 3+b 3i(a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ).∵(z 1z 2)z 3= ［(a 1+b 1i)(a 2+b 2i )］(a 3+b 3i)=［(a 1a 2-b 1b 2)+(b 1b 2+a 1b 2)i ］(a 3+b 3i )= ［(a 1a 2-b 1b 2)a 3-(b 1a 2+a 1b 2)b 3］+［(b 1a 2+a 1b 2)a 3+(a 1a 2-b 1b 2)b 3］i =(a 1a 2a 3-b 1b 2a 3-b 1a 2b 3-a 1b 2b 3)+(b 1a 2a 3+a 1b 2b 3+a 1a 2b 3-b 1b 2b 3)i ， 同理可证：z 1(z 2z 3)=(a 1a 2a 3-b 1b 2a 3-b 1a 2b 3-a 1b 2b 3)+(b 1a 2a 3+a 1b 2a 3+a 1a 2b 3-b 1b 2b 3)i ， ∴(z 1z 2)z 3=z 1(z 2z 3). (3)z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3.证明：设 z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i ，z 3=a 3+b 3i(a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ). ∵z 1(z 2+z 3)=(a 1+b 1i )［(a 2+b 2i)+(a 3+b 3i)］=(a 1+b 1i )［(a 2+a 3)+(b 2+b 3)i ］= ［a 1(a 2+a 3)-b 1(b 2+b 3)］+［b 1(a 2+a 3)+a 1(b 2+b 3)］i =(a 1a 2+a 1a 3-b 1b 2-b 1b 3)+(b 1a 2+b 1a 3+a 1b 2+a 1b 3)i.z 1z 2+z 1z 3=(a 1+b 1i)(a 2+b 2i)+(a 1+b 1i)(a 3+b 3i )=(a 1a 2-b 1b 2)+(b 1a 2+a 1b 2)i+(a 1a 3-b 1b 3)+(b 1a 3+a 1b 3)i =(a 1a 2-b 1b 2+a 1a 3-b 1b 3)+(b 1a 2+a 1b 2+b 1a 3+a 1b 3)i =(a 1a 2+a 1a 3-b 1b 2-b 1b 3)+(b 1a 2+b 1a 3+a 1b 2+a 1b 3)i∴z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3.例 1 计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i. 例 2 计算：（1）(3+4i) (3-4i) （2）（1+ i) 解：（1）(3+4i) (3-4i) -（4i ）2=9-(-16)=25;(2) （1+ i)=1+2 i+i=1+2 i-1=2 i.3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复⎩dx + cy = b .⎪⎪ c 2 + d 2⎪ y = bc - ad .于是有:(a +bi)÷(c +di)= ac + bd ⎩原式= a + bi ( 数虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数 z 的共轭复数为 z 。

§2复数的四则运算（第2课时）2.2复数的乘法与除法【学习目标】1.掌握复数的乘法和除法运算法则；2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律；3.掌握共轭复数的概念.【重点难点】重点：复数代数形式的乘法和除法法则运算法则及运算律难点：共轭复数的概念及复数运算的运算律【导学流程】一、知识链接1.复数的加法与减法：(a+bi)±(c+di)=(a ±c)+(b ±d)i.2.复数相等的充要条件：a+bi=c+di(a ，b ，c ，d ∈R)⇔a=c ，且b=d.二、课前预习阅读课本第104-106页内容，完成：1.复数的乘法法则：（1）(a+bi)(c+di)=________+(ad+bc)i.（2）请用多项式乘法的运算方法证明上述法则.（3）计算(1+3i)(3+2i)=_____________；(－1－2i)(2i+4)=______________.2.共轭复数的概念：（1）什么是共轭复数？如何表示？一个复数与其共轭复数满足什么性质？______________________________________________________________________________.（2）2+3i 的共轭复数是_____________；－2i 的共轭复数是______________；3的共轭复数是_______________.（3）在复数范围内分解下列因式（其中a ，b ∈R ）：a 2+b 2=__________________；a 4－b 4=____________________________________.3.复数乘法的运算律：（1）交换律：21z z ⋅=______；结合律：()321z z z ⋅⋅=_______；分配律：z 1(z 2+z 3)=_________.（2）复数的正整数幂运算律：z m z n =_________；(z m )n =_________；(z 1z 2)n =__________.（3）请任意选择一个运算律给出其证明过程.（4）22321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-i =_____________；(3+2i)(－3+2i)=______________.4.复数的除法法则：（1）请写出复数除法法则运算法则的证明过程.（2）计算i i 32-=____________；ii i i -++-+2112=_______________.三、课堂探究【课堂小结】收获新知_______________________________________________________； 我的困惑_______________________________________________________.【达标检测】（限时20分钟）1.设a ，b ，c ，d ∈R ，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是（ ）A.ad －bc=0B.ac －bd=0C.ac+bd=0D.ad+bc=02.已知i m+1=1－ni ，其中m ，n ∈R ，i 是虚数单位，则m+ni=（） A.1+2i B.1－2i C.2+i D.2－i3.设x ，y 为实数，且i i yi x315211-=-+-，求x+y 的值.4.已知z=－2+ai 且|z|=5，又知z 对应点在第二象限，求a 值.。

Z 2 Z 1 Z O xy 复数的乘法与除法教学目的：1、掌握复数的加、减、乘、除四则运算及其运算律；理解复数加、减法的几何意义。

2、培养类比思想和逆向思维。

3、培养学生探索精神和良好的学习习惯。

教学重点：复数的加、减、乘、除四则运算及其运算律。

教学难点：运用类比思想由实数运算法则探究复数运算法则。

教学方法：类比法。

教学过程：一、复习引入复数的加法：设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di(a,b,c,d ∈R)是任意两个复数，则它们和为z 1＋z 2＝(a ＋bi)＋(c ＋di)＝(a ＋c)＋(b ＋d)i复数的和仍然为一个复数，其实部为z 1、z 2的实部和，虚部为z 1、z 2的虚部和。

复数加法满足(1)交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1；(2)结合律(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3) 复数的减法：(加法的逆运算)复数a ＋bi 减去复数c ＋di 的差是指满足(c ＋di)＋(x ＋yi)＝a ＋bi 的复数x ＋yi ，记作(a ＋bi)－(c ＋di)根据复数相等的定义：(a ＋bi)－(c ＋di)＝(a －c)＋(b －d)i复数的差仍然是一个复数，其实部为两个复数实部的差，虚部为两个复数虚部的差。

显然，减法不满足交换律和结合律。

复数加法的几何意义：复数可以用向量表示，复数加法的几何意义即为平行四边形法则。

证明思路1：设z 1＝a ＋bi 、z 2＝c ＋di 分别对应复平面上的点Z 1(a ，b)和Z 2(c ，d)，z ＝(a ＋c)＋(b ＋d) i 对应复平面上Z (a ＋c ，b ＋d)，证明OZ 1ZZ 2为平行四边形。

证明思路2：根据平行四边形法则求得点Z ，证明其坐标为(a ＋c ，b ＋d)。

1OZ ＋2OZ ＝ ＜＝＞ z 1＋z 2＝z复数减法的几何意义：复数减法的几何意义即为三角形法则。

1OZ －2OZ ＝12Z Z ＜＝＞ z 1－z 2＝z二、新课讲解1.复数的乘法：设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di(a ，b ，c ，d ∈R)是任意两个复数，则它们积为z 1•z 2＝(a ＋bi) (c ＋di)＝(ac －bd)＋(bc ＋ad)i复数的积仍然为一个复数，复数的乘法与多项式的乘法相似。

3.2复数的四则运算复习：我们引入这样一个数/ J把/叫做虚数单位"并且规定：*=-1;形如尹bid, bWR）的数叫做复数.全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示•复数的代数形式^通常用字母运表示，即i (a w R.b e R)。

复数集C 和实数集R 之间有什么关系?「实数b = o纯虚数o = 0, b 工0 非纯虚数QH O, b^O实部 虚部 其中「称为虚数单位。

复数a+bi< 虚数b 工0 Z = Q 讨如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.若a，b,c，d e R,a+bi = c + di 特别地，a=b=Oa+b i二Do问题：a=0是z二a+b i （a、bwR）为纯虚数白勺必要不充分条件注意:一般地，两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小？答案：当且仅当两个复数都是实数时，才能比较大小.1 •复数加减法的运算法则：(1)运算法则:设复数G二a+b i, z2=c+d i,那么:z1+z2=(a+c) + (b+d) i ;z〔-Z2二(a-c) + (b-d) i. 即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减)•⑵复数的加法满足交换律、结合律,即对任何Z” Z2, Z3ec,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2) +Z3二Z[+(Z2+Z3)-二二寸 — I —— 9—) + (T Z —「)H(Z寸+E)— — +—2 •复数的乘法(1)复数乘法的法则复数的乘法与多项式的乘法是类似的，但必须在所得的结果中把i 2换成T, 并且把实部合并•即：(a+b i) (c+d i)二ac+bc i +ad i +bd i2=(ac-bd)+(bc+ad)i.(2)复数乘法的运算定理复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.即对田可Z2, Z3有Z1Z2=Z2Z1：Z1Z2)Z3=Z1 Z2Z3)Zl(z2+z3)=z1z2+z1z3-例2：计算（1）（。

2 复数的四则运算-北师大版高中数学必修第二册（2019版）教案教学目标1.理解复数的概念和运算规则。

2.掌握复数的加减乘除四则运算。

3.能够用复数形式表示求解二次方程等实际问题。

教学重点1.复数的加减乘除四则运算。

2.复数的乘法公式。

教学难点1.复数的除法运算。

2.复数可视为平面向量的表示方法。

教学过程一、引入1.复数的引入：让学生回忆复数的定义和概念，并引出复数的四则运算。

2.运算规则的引入：通过复数计算的实例，引入复数的加减乘除四则运算，重点讲解复数的乘法公式。

二、理论探究1.复数的定义：引导学生理解含有虚数单位 i 的数称为复数，让学生能够举一些实例如3+4i表示一个复数。

2.复数的运算规则：通过对复数的运算规律的分析，介绍复数的加减乘除四则运算法则和正则式。

三、实际应用1.求解二次方程：通过引入学生在小学阶段学习过的关于一元二次方程的思路，让学生理解变量的模式，同时引导学生理解方程有根、无根和重根的概念。

2.发现规律：通过一些实例，让学生发现关于复数的运算规律，在此过程中，复习之前学过的平方公式等运算法则。

教学方法1.交互式教学法：在理论探究和实际应用的过程中，加强师生互动，鼓励学生提出问题和自己的理解。

2.演示法：运用具体实例和图形，帮助学生更好地理解复数的定义和运算规则。

3.合作学习法：在课堂中组织学生进行讨论、合作、探究，促进学生学习效果的提高。

教学评价与讲解1.教学评价：在教学过程中，及时收集学生思维卡片，了解学生对于复数和运算规则的掌握情况，并根据学生的反馈，及时调整教学策略，提高教学效果。

2.讲解：在讲解中注意事例的举证和图形的演示，让学生更加具体的理解复数和运算规则，并在讲解中，保持良好的教学态度和表现力。

总结在本次复数的四则运算教学中，通过引入、理论探究和实际应用三个环节的分别进行，让学生在具体的实例和案例中，深入学习复数的概念和运算规则，充分挖掘学生的学习兴趣，发掘学生的思维潜能，从而让学生能够更好地掌握数学知识，提高学生成绩。

§2 复数的四则运算2．1 复数的加法与减法2．2 复数的乘法与除法1.设a ＋b i(a ，b ∈R)和c ＋d i(c ，d ∈R)是任意两个复数，定义复数的加法如下：(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i.2．复数的减法设a ＋b i(a ，b ∈R)和c ＋d i(c ，d ∈R)是任意两个复数，定义复数的减法如下：(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i.3．复数的乘法设a ＋b i(a ，b ∈R)和c ＋d i(c ，d ∈R)是任意两个复数，定义复数的乘法为：(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.4．共轭复数 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫作互为共轭复数．若z ＝a ＋b i ，则它的共轭复数记作z ＝a －b i ，于是z ·z ＝a 2＋b 2＝|z |2.5．复数的除法复数的除法是复数乘法的逆运算，即把满足(c ＋d i)(x ＋y i)＝a ＋b i(c ＋d i ≠0)的复数x ＋y i(x ，y ∈R)叫作复数a ＋b i 除以c ＋d i 所得的商，记作(a ＋b i)÷(c ＋d i)或a ＋b i c ＋d i. a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c ＋d ＋bc －ad c ＋d i(c ＋d i ≠0)．12(1)计算：z 1＋z 2；(2)若复数z 满足z 2＋z ＝z 1，求复数z .【思路探究】 (1)按复数加法、减法法则求解．(2)设出z 的代数形式，由复数相等列方程组求解．【自主解答】 (1)z 1＋z 2＝(5＋3)＋(－3＋4)i ＝8＋i ；(2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)．∵z 2＋z ＝z 1，∴(a ＋3)＋(b ＋4)i ＝5－3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋3＝5，b ＋4＝－3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－7. ∴z ＝2－7i.1．复数的加法、减法类似于多项式中的合并同类项．另外，多个复数的加减，只需将实部、虚部分别相加减即可．2．复数的减法是加法的逆运算，(2)中求z ，也可以用z ＝z 1－z 2求解．将(2)中的“z 2＋z ＝z 1”改为“z －z 2＝z 1”求复数z .【解】 ∵z －z 2＝z 1，∴z ＝z 1＋z 2＝8＋i.12(1)z 1·z 2和z 41；(2)z 1÷z 2和z 22÷z 1.【思路探究】 按照复数的乘法和除法法则进行．【自主解答】 (1)z 1·z 2＝3－2i ＋3i －2i 2＝5＋i.z 41＝[(1＋i)2]2＝(2i)2＝4i 2＝－4.(2)z 1÷z 2＝1＋i 3－2i ＝(1＋i )(3＋2i )(3－2i )(3＋2i )＝1＋5i 13＝113＋513i. z 22÷z 1＝(3－2i )21＋i ＝5－12i 1＋i ＝(5－12i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝－7－17i 2＝－72－172i.1．实数中的乘法公式在复数范围内仍然成立．2．复数的四则运算次序同实数的四则运算一样，都是先算乘除，再算加减．已知z 1＝2－i ，z 2＝1－2i ，复数z 满足z z 1＝z 2，求复数z . 【解】 法一 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，∵z z 1＝z 2， ∴a ＋b i 2－i＝1－2i ，∴2a －b 5＋a ＋2b 5i ＝1－2i ， 故⎩⎨⎧ 2a －b 5＝1，a ＋2b 5＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－5. ∴z ＝－5i.法二 ∵z ＝z 2，∴z ＝z 1·z 2＝(2－i)(1－2i)＝－5i.满足z ＋5z是实数，且z ＋3的实部与虚部是相反数的虚数z 是否存在？若存在，求出虚数z ，若不存在，请说明理由．【思路探究】 先假设虚数存在，然后利用复数的有关概念和四则运算进行探索．【自主解答】 设虚数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R 且y ≠0)，z ＋5z ＝x ＋y i ＋5x ＋y i＝x ＋5x x 2＋y 2＋(y －5y x 2＋y2)i ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ y －5y x 2＋y 2＝0，x ＋3＝－y ，∵y ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝5，x ＋y ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1. ∴存在虚数z ＝－1－2i 或z ＝－2－i 满足以上条件．1．本题为探索型问题，解题关键是将复数问题等价转化为实数问题进行求解．2．充分利用复数的代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)根据条件求出复数，然后根据题目要求解题．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.【解】 ∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，∴z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4，∴z 2＝4＋2i.待定系数法在求复数中的应用已知方程x 2＋2x ＋2＝0的两根为x 1，x 2.(1)试求x 1，x 2；(2)求x 1＋x 2，x 1·x 2，并猜想韦达定理是否仍然成立．【思路点拨】 设出复数x 1的代数形式，利用复数相等建立实部与虚部的方程组求解．【规范解答】 (1)∵Δ＝22－4×2＝－4<0，∴设方程x 2＋2x ＋2＝0的根x ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，且b ≠0).3分则有(a ＋b i)2＋2(a ＋b i)＋2＝0，整理，得(a 2－b 2＋2a ＋2)＋(2ab ＋2b )i ＝0，5分故⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＋2a ＋2＝0， ①ab ＋b ＝0， ② 由②知a ＝－1，代入①得b ＝±1.8分故x 1＝－1＋i ，x 2＝－1－i.9分(2)x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝(－1)2－i 2＝2.11分故猜想韦达定理仍然成立.12分1．本题中由于Δ<0，故方程的根为虚根，求方程的根，即求复数，因此用待定系数法求解即可．它也是求复数的通法，即通过解方程确定复数的实部和虚部．2．本题也可以直接解一元二次方程求解．1．复数的加法、减法、乘法法则类似于多项式的加法、减法、乘法法则．2．复数的除法实质上是通过分母“实数化”转化为复数的乘法来求解．3．复数的运算实质上是通过实部、虚部转化为实数的运算来完成的.1．若复数z 1＝1＋i ，z 2＝－7＋3i ，z 3＝2＋2i ，则z 1＋z 2－z 3＝( )A ．－8＋2iB ．8－2iC ．9＋6iD ．－9－6i【解析】 z 1＋z 2－z 3＝(1－7－2)＋(1＋3－2)i ＝－8＋2i.【答案】 A2．复数53＋4i的共轭复数为( ) A ．3＋4i B ．3－4iC.35＋45iD.35－45i 【解析】 53＋4i ＝5(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝35－45i ，则其共轭复数为35＋45i. 【答案】 C3．若复数(1＋b i)(2＋i)为纯虚数，则实数b ＝________.【解析】 (1＋b i)(2＋i)＝2＋i ＋2b i －b ＝(2－b )＋(1＋2b )i ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＝0，1＋2b ≠0， ∴b ＝2.【答案】 24．已知复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝|z 1＋z 2|，z 1＋z 2＝2i ，求z 1，z 2.【解】 设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R)，∵z 1＋z 2＝2i ，∴z 2＝－a ＋(2－b )i ，|z 1＋z 2|＝2，又|z 1|＝|z 2|＝|z 1＋z 2|， ∴⎩⎨⎧ a 2＋b 2＝2，(－a )2＋(2－b )2＝2，解得a ＝±3，b ＝1.故所求复数z 1＝3＋i ，z 2＝－3＋i 或z 1＝－3＋i ，z 2＝3＋i.一、选择题1．(2013·济宁高二检测)设a ，b ∈R ，(5＋b i)＋(b －3i)－(2＋a i)＝0，那么复数a ＋b i 的。

§复数的四则运算已知复数＝＋，＝＋(，，，∈)．问题：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(＋)±(＋)＝(±)＋(±).问题：类比向量的加法，复数的加法满足交换律和结合律吗？提示：满足．．加(减)法法则设＋与＋(，，，∈)是任意复数，则(＋)±(＋)＝(±)＋(±).．运算律对任意的，，∈，有＋＝＋(交换律)(＋)＋＝＋(＋)(结合律).问题：复数的加减法类似多项式加减，试想：复数相乘是否类似两多项式相乘？提示：是．问题：复数的乘法是否满足交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律？提示：满足．问题：试举例验证复数乘法的交换律．提示：若＝＋，＝＋(，，，∈)．＝(＋)(＋)＝(－)＋(＋)，＝(＋)(＋)＝(－)＋(＋).故＝.复数的乘法()定义：(＋)(＋)＝(－)＋(＋).()运算律：①对任意，，∈，有②复数的乘方：任意复数，，和正整数，，有＝＋，()＝，()＝.观察下列三组复数：()＝＋；＝－；()＝＋；＝－；()＝；＝－.问题：每组复数中的与有什么关系？提示：实部相等，虚部互为相反数．问题：试计算每组中的，你发现有什么规律？提示：与的积等于的实部与虚部的平方和．共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫做共轭复数．复数的共轭复数用来表示，也就是当＝＋时，＝－.于是＝＋＝.我们知道实数的除法是乘法的逆运算，类似地，复数的除法也是复数乘法的逆运算，给出两个复数＋，＋(＋≠)．若(＋)(＋)＝＋，则＋＝叫做复数＋除以＋的商．问题：根据乘法运算法则和复数相等的概念，请用，，，表示出，.提示：由(＋)(＋)＝＋得－＋(＋)＝＋.即(\\(－＝，＋＝.))∴(\\(＝(＋＋)，＝(－＋).))。

高中数学 《复数的四则运算》教材解读教案 选修2-2一、数系的扩充和复数的概念1．复数的引入：回想数系的每一次扩充都主要来自两个方面：一方面数学本身发展的需要；另一方面由于实际的需要.而复数的引入属于前者．我们知道，方程210x +=在实数范围内无解，于是需引入新数i 使方程有解，显然，需要21i =-．数系的扩充过程：自然数集N 引入负数整数集Z 引入分数有理数集Q 引入无理数实数集R 引入虚数复数集C ．2．复数的代数形式：由实数的运算类似地得到新数i 可以同实数进行加、减、乘运算，于是得到：形如()a bi a b +∈R ，的数叫做复数，并且把()z a bi a b =+∈R ，的这一表现形式叫做复数的代数形式，其中的a 叫做复数的实部，b 叫复数的虚部．注意复数132i -的虚部是3-，而不是3i -．3．复数相等的充要条件a bi c di a c +=+⇔=且()b d a bcd =∈R ，，，注意事项：（1）复数a bi +(0)(0)(0)(0)a b bi a a bi b a bi a =⎧⎪=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数 （2）复数集C ⎧⎨⌝⎩R R 实数集虚数集 （3）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数，则不能比较大小. 二、复数的几何意义1．复数可以用平面直角坐标系的点来唯一表示，于是：复数集{}a bi a b =+∈C R ，|与坐标系中的点集{}()|a b a b ∈R ，，，可以建立一一对应．2．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，x 轴的单位是１，y 轴的单位是i ，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点(00)，对应复数0．于是有下面的一一对应关系：复数Z a bi =+复平面内的点()Z a b ，．3．由于平面向量与坐标平面的点一一对应，于是有：复数Z a bi =+一一对应平面向量OZ ．在这些意义下，我们就可以把复数z a bi =+说成点Z 或向量OZ ，这给研究复数运算的几何意义带来了方便．4．复数的模就是这个复数对应的向量的模，复数z a bi =+的模为22z a b =+．三、复数代数形式的四则运算1．复数的加法、减法①运算法则()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±．其运算法则类似于多项式的合并同类项②复数加法的运算律对于任意的123z z z ∈C ，，，有：交换律：1221z z z z +=+．结合律：123123()()z z z z z z ++=++．③复数加法的几何意义设1OZ ，2OZ 分别与复数a bi +，c di +对应，根据向量加法的平行四边形（三角形）法则，则有12OZ OZ OZ +=（如图1）．由平面向量的坐标运算：12()OZ OZ a c b d +=++，，即得OZ 与复数()()a c b d i +++对应．可见，复数的加法可以按向量加法的法则进行．④复数减法的几何意义设1OZ ，2OZ 分别与复数a bi +，c di +对应（如图2），根据向量加法的三角形法则有：2211OZ Z Z OZ +=．于是：1221OZ OZ Z Z -=．由平面向量的坐标运算：12()OZ OZ a c b d -=--，，即得21Z Z 与复数()()a c b d i -+-对应．于是得到向量的减法运算法则为：两个复数的差与连接两个向量的终点并指向被减数的向量相对应．2．复数代数形式的乘法运算①运算法则：()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++．两个复数相乘类似于两个多项式相乘，只是把2i 换为1-，并且把实部与虚部分别合并即可．②运算律：交换律：1221z z z z =··．结合律：123123()()z z z z z z =····．分配律：1231213()z z z z z z z +=+．③虚数i 的乘方及其规律：1i i =，21i =-，3i i =-，41i =，5i i =，61i =-，7i i =-，81i =，．可见，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-，41()n i n *=∈N ，即i 具有周期性且最小正周期为4．④共轭复数a bi +与a bi -互为共轭复数，即当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．它的几何意义是：共轭的两个复数关于x 轴对称．主要用于复数的化简以及复数的除法运算.3．复数代数形式的除法运算运算法则：2222(0)a bi ac bd bc ad i c di c di c d c d ++-=++≠+++． 其实质是分母“实数化”，即分子以及分母同乘以分母的“实数化”因式．类似于以前所学的把分母“有理化”．。

教学目标：1．掌握复数的加减法及乘法运算法则及意义；理解共轭复数的概念．2．理解并掌握实数进行四则运算的规律．教学重点 ：复数乘法运算．教学难点：复数运算法则在计算中的熟练应用．教学方法：类比探究法．教学过程：复习复数的定义，复数的分类及复数相等的充要条件等上节课所学内容．一、问题情境问题1 化简：(23)(1)x x ＋＋－＋，类比你能计算(23i)(1i)＋＋－＋吗？ 问题2 化简：多项式(23)(1)x x ＋－＋，类比你能计算(23i)(1i)＋－＋吗？ 问题3 两个复数a ＋b i ，a －b i 有什么联系？二、学生活动1．由多项式的加法类比猜想(23)(1)x x ＋＋－＋＝1＋4i ，进而猜想(i)(i)()()i a b c d a c b d ＋＋＋＝＋＋＋．若()i (i)i x y c d a b ＋＋＋＝＋，根据复数相等的定义，得i ()()i x y a c b d ＋＝－＋－．2．由多项式的乘法类比猜想(2＋3i)(－1＋i)＝－5－i ，进而猜想(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i ．3．两个复数a ＋b i ，a －b i 实部相等,虚部互为相反数．三、建构数学复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ．复数和的定义：z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ．复数差的定义：z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i ．复数积的定义：z 1z 2＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i ．性质：z 2z 1＝z 1z 2； (z 1z 2)z 3＝z 1(z 2z 3)； z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3． 共轭复数：i z a b ＝＋与i z a b ＝－互为共轭复数；实数的共轭复数是它本身． 共轭复数的简单性质：2z z a -＋＝；2i z z b -－＝；22z z a b -⋅＝＋．四、数学应用解 a 2＋b 2．思考1 当a ＞0时，方程x 2＋a ＝0的根是什么？解 x ＝±a i ．思考2 设x ，y ∈R ，在复数集内，能将x 2＋y 2分解因式吗？解 x 2＋y 2＝(x ＋y i) (x －y i)．五、巩固练习课本P115练习第3，4，5题．六、拓展训练例4 已知复数z 满足：2i 42i z z z -⋅⋅＋＝＋ ，求复数z ．七、要点归纳与方法小结：本节课学习了以下内容：1．复数的加减法法则和运算律．2．复数的乘法法则和运算律．3．共轭复数的有关概念．小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

江苏省连云港市灌云县四队中学高中数学 复数的四则运算2教案 选修2-2教学目标 理解并掌握复数的的除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算重点难点重点：复数的除法运算。

难点：复数的除法运算教学过程 1、实数集R 中正整数指数的运算律,在复数集C 中仍然成立.即对*12,,,z z z C m n N ∈∈及有: 1212()()m n m nm n mn n n nz z z z z z z z z +===在计算复数的乘方时，要用到虚数单位i 的乘方，对于i 的正整数指数幂，易知 1234,1,,1i i i i i i ==-=-=一般地，如果*n N ∈，那么我们有 44142431,,1,n n n n i i i i i i +++===-=-例2:设1322i ω=-+,求证: (1)2310,(2)1ωωω++==2. 复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y ∈R)叫复数a+bi 除以复数c+di 的商，记为：(a+bi)÷(c+di)或者dic bi a ++ 3. 复数除法运算规则：①设复数a +bi (a ，b ∈R )，除以c +di (c ，d ∈R )，其商为x +yi (x ，y ∈R )，即(a +bi )÷(c +di )=x +yi ∵(x +yi )(c +di )=(cx －dy )+(dx +cy )i .∴(cx －dy )+(dx +cy )i =a +bi .由复数相等定义可知⎩⎨⎧=+=-.,b cy dx a dy cx 解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=.,2222d c ad bc y d c bd ac x于是有:(a +bi )÷(c +di )=2222dc ad bc d c bd ac +-+++ i . ②利用(c +di )(c －di )=c 2+d 2.于是将dic bi a ++的分母有理化得： 原式=22()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad i c di c di c di c d++-+⋅-+-==++-+ 222222()()ac bd bc ad i ac bd bc ad i c d c d c d++-+-==++++. ∴(a +bi )÷(c +di )=i d c ad bc d c bd ac 2222+-+++. 点评：①待定系数法②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c +di 与复数c －di ，相当于我们初中学习的23+的对偶式23-，它们之积为1是有理数，而(c +di )·(c －di )=c 2+d 2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法例3计算(12)(34)i i +÷-解：例4 计算ii i i 4342)1)(41(++++-课外作业课本66页3。

2.1 复数的加法与减法-北师大版选修2-2教案一、知识点梳理1. 复数的定义和表示方法复数是指形如a+bi的数，其中a和b均为实数，i为虚数单位，满足i2=−1。

2. 复数的加法设z1=a1+bi1，z2=a2+b i2，则：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i即把复数的实部和虚部分别相加。

3. 复数的减法设z1=a1+bi1，z2=a2+b i2，则：z1−z2=(a1−a2)+(b1−b2)i即把复数的实部和虚部分别相减。

复数的加减法与实数的加减法类似，但需要注意实部和虚部分别计算。

二、教学重点与难点1. 教学重点•掌握复数的定义和表示方法；•掌握复数的加法和减法的规则；2. 教学难点•理解和掌握复数的虚部和虚数单位的概念；•理解和掌握计算复数实部和虚部的方法。

三、教学过程1. 课前预习在课前，学生应该进行如下预习：•阅读相关教材，理解并掌握复数的定义和表示方法；•学习和掌握复数的加法和减法的规则；•尝试练习相关题目，以检验自己的理解情况。

2. 讲解与示范1.复数定义和表示方法：给学生讲解复数的定义，让学生理解其中的实数和虚数单位的概念。

然后展示复数的表示方法，并举例说明。

2.复数加法和减法：讲解复数加法和减法的规则，给学生演示如何计算复数的实部和虚部，以及如何将复数实部和虚部相加或相减。

3. 小组讨论让学生分成小组，自己找出一些复数加减法的练习题目，进行讨论和答案核对。

4. 课堂练习教师提供一些练习题目，并在课堂上进行讲解和解答。

四、课后作业1.阅读相关教材，复习复数的定义和表示方法；2.独立完成一些复数加减法的练习题。

五、教学反思本课的教学重点是掌握复数定义和表示方法，以及复数加减法的规则。

因此，教师需要结合具体例子，简单明了地讲解。

另外，在讲解的同时，可以让学生通过小组讨论和课堂练习来加强对知识点的理解和掌握程度。