2019-2020年高考数学压轴题集锦——导数及其应用(四)

2019-2020年高考数学压轴题集锦——导数及其应用(四)

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

2019-2020年高考数学压轴题集锦——导数及其应用（四）

23.已知函数()3223log 32

a f x x x x =-+（0a >且1a ≠）． （Ⅰ）若()f x 为定义域上的增函数，求实数a 的取值范围；

（Ⅱ）令a e =，设函数()()324ln 63g x f x x x x =-

-+，且()()120g x g x +=，求

证：122x x +≥

24.已知函数2x

f x e x ax . (1)R x ∈时，证明：1->x e x ；

(2)当2a 时，直线1y kx 和曲线y f x 切于点,1A m n m ，求实数k 的值；

(3)当10<x f 恒成立，求实数a 的取值范围.

25.已知函数ln a f x a x x x

(a 为常数)有两个不同的极值点. (1)求实数a 的取值范围；

(2)记f x 的两个不同的极值点分别为12,x x ，若不等式21

212f x f x x x 恒成

立，求实数的取值范围.

26.已知函数()1ln f x ax x =--（a ∈R ）.

（1）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；

（2）若1x ∀>，()2xf x ax ax a <-+恒成立，求a 的最大整数值.

27.已知函数()()()()2

21,2ln 1f x x x g x a x a R =-+=-∈. （1）求函数()()()h x f x g x =-的极值；

（2）当0a >时，若存在实数,k m 使得不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立，求实数a 的取值范围.

28.设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+.

（1）求()y f x =的表达式；

（2）若直线()01x t t =-<<，把()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值.

29.已知函数()1ln 2

f x x x =+（a ∈R ）. （1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线经过点()2,3，求a 的值；

（2）若()f x 在区间1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭

上存在极值点，判断该极值点是极大值点还是极小值点，并求a 的取值范围；

（3）若当0x >时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围.

30.已知函数ln f x

x a ，,b g x x a b R x . (1)若曲线y f x 与曲线y g x 在点1,1

f 处的切线方程相同，求实数,a b 的值； (2)若()()x

g x f ≥恒成立，求证：当2≠a 时，1≠b .

31.()2x

f x e ax =--，其中e 是自然对数的底数，a R ∈. （1）求函数()f x 的单调递增区间；

（2）若k 为整数，1a =，且当0x >时，

()11

k x f x x -'<+恒成立，其中()f x '为()f x 的导函数，求k 的最大值.

32.已知f （x ）=2x ln x ，g （x ）=﹣x 2+ax ﹣3．

（1）求函数f （x ）的单调区间；

（2）若存在x ∈（0，+∞），使f （x ）≤g （x ）成立，求实数a 的取值范围．

33.已知数列{x n }按如下方式构成：x n ∈（0，1）（n ∈N *），函数f （x ）=ln （x x

-+11）在点（x n ，f （x n ））处的切线与x 轴交点的横坐标为x n +1

（Ⅰ）证明：当x ∈（0，1）时，f （x ）＞2x

（Ⅱ）证明：x n +1＜x n 3

（Ⅲ）若x 1∈（0，a ），a ∈（0，1），求证：对任意的正整数m ，都有

log n x a +log 1+n x a +…+log m n x +a ＜

21•（3

1）n ﹣2（n ∈N *）

34.已知函数f （x ）= ⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈-]3,1[),1(55]1,0[,2x x f x x x

（Ⅰ）求f （ 2

5）及x ∈[2，3]时函数f （x ）的解析式 （Ⅱ）若f （x ）≤

x k 对任意x ∈（0，3]恒成立，求实数k 的最小值．

35.已知函数

1()(2)a f x a x x a -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中0a ≠． （Ⅰ）若1a =，求()f x 在区间[0,3]上的最大值和最小值．

（Ⅱ）解关于x 的不等式()0f x >．

36.若实数x ，y ，m 满足x m y m -<-，则称x 比y 靠近m ．

（Ⅰ）若1x +比x -靠近1-，求实数x 有取值范围．

（Ⅱ）（i ）对0x >，比较ln(1)x +和x 哪一个更靠近0，并说明理由．

（ii ）已知函数{}n a 的通项公式为112n n a -=+，证明：123

2e n a a a a <．

37.已知函数2()e (e 1)1x f x ax a x =-+-+-（e 是自然对数的底数，a 为常数）． （1）若函数1()()()2

g x f x x f x '=-⋅，在区间[1,+∞)上单调递减，求a 的取值范围． （2）当(e 2,1)a ∈-时，判断函数()f x 在(0,1)上是否有零点，并说明理由．