圆锥摆模型全透视

专题：圆锥摆模型（水平面内的圆周运动）教学目标物理观念：通过圆锥摆模型的分析，会在具体问题中分析向心力的来源，会寻找圆心，计算半径，列出方程求解物理量。

科学思维：运用函数思想构建所求物理量的函数关系，并利用函数关系处理物理问题。

科学探究：通过圆锥摆模型的分析，体会物理模型的重要性，并能将相关模型等效成圆锥摆模型。

科学态度与责任：通过圆锥摆模型的分析，培养学生将物理知识应用于生活的意识。

教学重难点：重点：通过圆锥摆模型的分析，会在具体问题中分析向心力的来源，会寻找圆心，计算半径，列出方程求解物理量。

难点：1.运用函数思想构建所求物理量的函数关系，并利用函数关系处理物理问题。

2.通过圆锥摆模型的分析，体会物理模型的重要性，并能将相关模型等效成圆锥摆。

模型。

教学过程：复习导入：向心力的表达式。

新课教学一.圆锥摆模型的受力特点受两个力，且两个力的合力沿水平方向，物体在水平面内做匀速圆周运动。

二．圆锥摆的相关规律1.摆球的加速度2.摆球的线速度3.摆球的周期和角速度4.摆线得拉力5．两种圆锥摆分析对甲：由a ＝g tan θ知A 、B 的向心加速度大小相等。

由a ＝ω2r 知ωA <ωB ，由a ＝v 2r 知v A >v B 对乙：由T ＝2πhg 知摆高h 相同，则ωA ＝ωB ，由v ＝ωr 知v A >v B ，由a ＝ω2r知a A >a B 。

三.案例分析例1、如图所示，两根长度相同的细线分别系有两个完全相同的小球，细线的上端都系于O 点．设法让两个小球均在各自的水平面上做匀速圆周运动．已知L 1跟竖直方向的夹角为60°，L 2跟竖直方向的夹角为30°，下列说法正确的是（ ）A ．细线L 1和细线L 2所受的拉力大小之比为1：√3B ．小球m 1和m 2的角速度大小之比为1:1C ．小球m 1和m 2的向心力大小之比为3：1D ．小球m 1和m 2的线速度大小之比为3√3：1练习1、A 、B 两质量相同的质点用轻质细线悬挂在同一点O ，在同一水平面上做匀速圆周运动，如图所示，则（ ） A ．A 的加速度一定比B 的加速度小 B ．A 的线速度一定比B 的线速度小 C ．A 的角速度一定等于B 的角速度D ．A 所受细线的拉力一定等于B 所受的细线的拉力例2：如图所示，用一根质量不计、不可伸长的细绳，一端系一可视为质点的小球，另一端固定在O 点。

圆锥摆模型全透视一、圆锥摆模型：1．结构特点：一根质量和伸长可以不计的线，系一个可以视为质点的摆球，在水平面内作匀速圆周运动。

2．受力特点：只受两个力：竖直向下的重力mg 和沿摆线方向的拉力F 。

两个力的合力，就是摆球作圆周运动的向心力F n ，如图示。

二、常规讨论：1． 向心力和向心加速度：设摆球的质量为m ，摆线长为l ，与竖直方向的夹角为θ，摆球的线速度为v ，角速度为ω，周期为T ，频率为f 。

nn ma F =，θπθπθωθθsin )2(sin )2(sin sin tan 2222l f m l T m l m l v m mg ====，θπθπθωθθsin )2(sin )2(sin sin tan 2222l f l Tl l v g a n =====2． 摆线的拉力：有两种基本思路：当θ角已知时θcos /mg F =，当θ角未知时l f m l Tm l m F F n 222)2()2(sin /ππωθ==== 3． 周期的计算：设悬点到圆周运动圆心的距离为h ，根据向心力公式有ghg l T πθπ2cos 2==，由此可知高度相同的圆锥摆，周期相同，与θ,,l m 无关。

4．动态分析：当角速度ω增大时，根据θωθsin tan 2R m mg =有Rg2cos ωθ=，ω增大，θ增大，向心力增大，回旋半径增大，周期变小。

三、典型实例：例1：将一个半径为R 的内壁光滑的半球形碗固定在水平地面上，若使质量为m 的小球贴着碗的内壁在水平面内以角速度ω做匀速圆周运动，如图，求圆周平面距碗底的高度。

若角速度ω增大，则高度、回旋半径、向心力如何变化？解析：本题属于圆锥摆模型，球面的弹力类比于绳的拉力，球面半径类比于绳长。

θωθsin tan 2R m mg =，故Rg2cos ωθ=，圆周平面距碗底的高度为2cos ωθgR R R h -=-=。

若角速度ω增大，则有θ增大，高度h 变大，回旋半径变大，向心力变大。

精心整理圆锥摆模型全透视一、圆锥摆模型：1．结构特点：一根质量和伸长可以不计的线，系一个可以视为质点的摆球，在水平面内作匀速圆周运动。

2．受力特点：只受两个力：竖直向下的重力mg 和沿摆线方向的拉力F 。

两个力的合力，就是摆球作圆周运动的向心力F n ，如图示。

二、常规讨论：1． 向心力和向心加速度：设摆球的质量为m ，摆线长为l度为v ，角速度为ω，周期为T ，频率为f 。

n n ma F =，θπθωθθsin )2(sin sin tan 222l T m l m l v m mg ====θtan g a n =2． ，当θ角未知时F F n sin /θ=3． ghg l T πθπ2cos 2==，由此可知高度相同的圆锥摆，周期相同，与θ,,l m 无关。

4．动态分析：当角速度ω增大时，根据θωθsin tan 2R m mg =有Rg2cos ωθ=，ω增大，θ增大，向心力增大，回旋半径增大，周期变小。

三、典型实例：例1：将一个半径为R 的内壁光滑的半球形碗固定在水平地面上，若使质量为m 的小球贴着碗的内壁在水平面内以角速度ω做匀速圆周运动，如图，求圆周平面距碗底的高度。

若角速度ω增大，则高度、回旋半径、向心力如何变化？解析：本题属于圆锥摆模型，球面的弹力类比于绳的拉力，球面半径类比于绳长。

θωθsin tan 2R m mg =，故Rg2cos ωθ=，圆周平面距碗底的高度为2cos ωθgR R R h -=-=。

若角速度ω增大，则有θ增大，高度h 变大，回旋半径变大，向心力变大。

点评：例2：圆锥筒内壁的A 处有一质量为m 回旋半径，向心力分别如何变化？解析：小球受两个力mg 、F N ，m mg 2cot ωθ=变，回旋半径r 减小，小球到锥底的高度降低。

点评：本题区别于例1例3：一光滑的圆锥体固定在水平桌面上，顶角为600一速圆周运动，绳解析：0230sin 30tan L v m =，求得小球的线速度为小球不做圆锥摆运动，小球受三个力，如图示，用正交分解法解题，在竖直方向mgF F N =+0030sin 30cos ，在水平方向0230sin 30cos 30sin L v m F F N =-，解得mg F 033.1=。

1.如图所示，已知绳长为L ＝20 cm ，水平杆长为L ′＝0.1 m ，小球质量m ＝0.3 kg ，整个装置可绕竖直轴转动．(g 取10 m/s 2)问：(1)要使绳子与竖直方向成45°角，试求该装置必须以多大的角速度转动才行？(2)此时绳子的张力多大？解析 小球绕竖直轴做圆周运动，其轨道平面在水平面内，轨道半径r ＝L ′＋L sin 45°.对小球受力分析如图所示，设绳对小球拉力为F T ，小球重力为mg ，则绳的拉力与重力的合力提供小球做圆周运动的向心力．对小球利用牛顿第二定律可得：mg tan 45°＝m ω2r ①r ＝L ′＋L sin 45°②联立①②两式，将数值代入可得ω≈6.44 rad/sF ＝mg cos 45°≈4.24 N 答案 (1)6.44 rad/s (2)4.24 N2.两个质量相同的小球，在同一水平面内做匀速圆周运动，悬点相同，如图所示，A 运动的半径比B 的大，则( )A ．A 所需的向心力比B 的大B ．B 所需的向心力比A 的大C ．A 的角速度比B 的大D ．B 的角速度比A 的大答案 A解析 小球的重力和绳子的拉力的合力充当向心力，设悬线与竖直方向夹角为θ，则F n ＝mg tan θ＝mω2l sin θ，θ越大，向心力F n 越大，所以A 对，B 错；而ω2＝g l cos θ＝g h .故两者的角速度相同，C 、D 错．3.质量为m 的飞机，以速率v 在水平面内做半径为R 的匀速圆周运动，空气对飞机作用力的大小等于( )A ．m g 2＋v 4R 2B ．m v 2RC ．m v 4R2－g 2 D ．mg答案 A解析 空气对飞机的作用力有两个作用效果，其一：竖直方向的作用力使飞机克服重力作用而升空；其二：水平方向的作用力提供向心力，使飞机可在水平面内做匀速圆周运动．对飞机的受力情况进行分析，如图所示．飞机受到重力mg 、空气对飞机的作用力F ，两力的合力为F n ，方向沿水平方向指向圆心．由题意可知，重力mg 与F n 垂直，故F ＝m 2g 2＋F 2n ，又F n ＝m v 2R ，联立解得F ＝m g 2＋v 4R 2.4.如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P ，细线的上端固定在金属块Q上，Q 放在带小孔的水平桌面上．小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)．现使小球在一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动(图上未画出)，两次金属块Q 都保持在桌面上静止．则后一种情况与原来相比较，下面的判断中正确的是( )A ．小球P 运动的周期变大B ．小球P 运动的线速度变大C ．小球P 运动的角速度变大D ．Q 受到桌面的支持力变大答案 BC解析 对小球受力分析知，小球的合力为F 合＝mg tan θ，因为mg tan θ＝mω2l sin θ，所以ω＝ g l cos θ，当小球在一个更高的水平面上做匀速圆周运动时θ变大，则ω变大，又因为T ＝2πω，所以周期变小，故A 错，C 对．在更高的水平面上运动时，小球的运动半径变大，由v ＝ωr 知v 变大，B 正确；绳子的拉力在竖直方向的分力总等于小球P 的重力，故Q 受到桌面的支持力总等于P 、Q 的重力和，D 错误．5.如图所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A 和B ，在各自不同的水平面做匀速圆周运动，以下物理量大小关系正确的是( )A ．速度v A ＞v BB ．角速度ωA ＞ωBC ．向心力F A ＞F BD ．向心加速度a A ＞a B答案 A解析 设漏斗的顶角为2θ，则小球的合力为F 合＝mg tan θ，由F n ＝F 合＝mg tan θ＝mω2r ＝m v 2r＝ma，知向心力F A＝F B，向心加速度a A＝a B，选项C、D错误；因r A＞r B，又由于v＝gr tan θ和ω＝gr tan θ知v A＞v B、ωA＜ωB，故A对，B错．。