圆锥摆模型
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一、经典例题1．将一个半径为R的内壁光滑的半球形碗固定在水平地面上，若使质量为m的小球贴着碗的内壁在水平面内以角速度ω做匀速圆周运动，如图所示，求圆周平面距碗底的高度。
若角速度ω增大，则高度、回旋半径、向心力如何变化？点评：实质是圆锥摆模型：球面的弹力类比于绳的拉力，球面半径类比于绳长2．一光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，其顶角为60º，如图所示，一条长为L的轻绳，一端固定在锥顶O点，另一端拴一质量为m的小球，小球以速率v绕圆锥的轴线做水平面内的匀速圆周运动，求：（1）当时，绳上的拉力多大？（2）当时，绳上的拉力多大？13．圆锥摆模型的特点：结构特点：一根质量和形变量可以不计的细绳，一端系一个可以视为质点的摆球，使小球在水平面内做匀速圆周运动。
受力特点：只受两个力即竖直向下的重力以及沿摆线方向的拉力。
两个力的合力就是摆球做匀速圆周运动的向心力4．关键求出临界时的速度，判断物体对圆锥体是否有压力。
5．（1）了解圆锥摆及其拓展模型受力特点，合力提供向心力（2）圆锥摆中弹力与竖直方向成的角可起“桥梁”作用二、相关练习题1．如图所示，长为L的细绳一端固定，另一端系一质量为m的小球。
给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为θ。
下列说法中正确的是2A．小球受重力、细绳的拉力和向心力作用B．细绳拉力在水平方向的分力提供了向心力C．θ越大，小球运动的周期越大D．θ越大，小球运动的线速度越大2．如图所示，两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的( )A．运动周期相同B．运动的线速度相同C．运动的角速度相同D．向心加速度相同3．如图所示，两段长均为L的轻质线共同系住一个质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间距也为L.现使小球在竖直平面内做圆周运动，当小球到达最高点的速率为v时，两段线中张力恰好均为零，若小球到达最高点速率为2v，则此时每段线中张力为多大？(重力加速度为g)34．（物理卷·2015届湖北省百所重点中学高三十月联合考试（2014.10））17.（12分）如图所示，长为L的绳子下端连着质量为m的小球，上端悬于天花板上，当把绳子拉直时，绳子与竖直线的夹角=60θ︒，此时小球静止于光滑的水平桌面上。
（1）（1）当球以ω= gL做圆锥摆运动时，绳子张力T1为多大？桌面受到压力N1为多大？（2）当球以角速度ω= 4gL做圆锥摆运动时，绳子的张力T2及桌面受到的压力N2分别为多少？5.物理卷·2015届河北省衡水中学高三上学期二调考试（201410）word版】.(11分)如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO'重合，转台以一定角速度ω匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO'之间的夹角θ为60°。
重力加速度大小为g。
4(1)若ω=0ω，小物块受到的摩擦力恰好为零，求0ω；(3分)(2)若ω=(1k±)0ω，且0<k<1，求小物块受到的摩擦力大小和方向。
(8分)6.【题文】（物理卷•2015届山东省潍坊市重点高中上学期期中考试（2014.10））7.如图所示，内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，让两个质量相同的小球A和小球B，紧贴圆锥筒内壁分别在水平面内做匀速圆周运动，则（）A．A球的线速度一定大于B球的线速度B．A球的角速度一定大于B球的角速度C．A球的向心加速度一定大于B球的向心加速度D．A球对筒壁的压力一定大于B球对筒壁的压力7.【题文】（物理卷·2015届江西省师大附中高三10月月考（2014.10））10.用一根细线一端系一小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑圆锥顶上，如图所示．设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力为F T，则F T随ω2变化的图象是图中的( )58．【2013江苏高考】【题号：3200001276】. 如图所示,“旋转秋千冶中的两个座椅A、B 质量相等,通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上. 不考虑空气阻力的影响,当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时,下列说法正确的是(A)A的速度比B的大(B)A与B的向心加速度大小相等(C)悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等(D)悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小67三、练习题答案 1．答案：BD 。
解析：向心力不是受到的力，它是个效果力，可能是某个力的分力也可能是某些力的合力，A 错；小球的重力和绳子拉力的合力提供向心力，即细绳拉力在水平方向的分力提供了向心力，B 对；由2224tan sin sin v mg m L m T L πθθθ=•=，可知C 错，D 正确。
故选BD 。
2．【答案】AC【解析】①对两球受力分析如图所示，重力和绳拉力的合力提供向心力，则 F 合＝mg tan α＝m (2πT )2r ＝m v 2r＝mω2r ＝ma n ，8由几何关系得 r ＝h tan α， 解得T ＝2πhg、ω＝gh、v ＝gh tan 2α、a n ＝g tan α； ②由于两球与竖直方向的夹角不同，所以线速度和向心加速度不同，而周期和角速度相同，故A 、C 正确，B 、D 错误． [答案]：AC3．【答案】3mg【解析】本题属于最高点无支持物的情况， 当速率为v 时，mg ＝mv 2R当速率为2v 时，满足 mg ＋F ＝m 2v2R得F ＝3mg则设每根线上的张力为F T ，满足： 2F T cos 60°2＝3m g即F T ＝3mg . [答案] 3mg4．【答案】(1) 1T mg =；2sin N mg mL ωθ=- (2) T 2=4mg 20N =【解析】（1）如图所示，小球受三个力作用：重力mg ，绳子拉力T ，水平面的支持力N ，它们在竖直方向的合力为零，即：cos T N mg θ+=在水平方向的合力为小球做圆周运动的向心力：22sin sin T m R mL θωωθ==9联立解得：2sin N mg mL ωθ=-，说明小球没有离开水平面，而在水平面上做匀速圆周运动，此时绳的拉力大小为：1T mg =。
（2时，0N mg =-<，说明小球已经离开水平面，此时小球对水平面的压力零，即20N =设此时绳的拉力大小为T 2，则有2222sin sin T mL θωθ= 解得：T 2=4mg 。
【思路点拨】（1）当球做圆锥摆运动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，由重力、水平面的支持力和绳子拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，采用正交分解法列方程求解绳子的张力和支持力，再由牛顿第三定律求出桌面受到的压力．（2）当小球对桌面恰好无压力时，由重力和绳子拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求解此时小球的角速度．根据角速度开桌面．若小球桌面做圆周运动，再由牛顿第二定律求解绳子的张力．本题是圆锥摆问题，分析受力，确定向心力来源是关键，实质是牛顿第二定律的特殊应用．向下解析：（1）当摩擦力为零，支持力和重力的合力提供向心力，有：mgtanθ＝mR sinθω02，解得ω0＝2gR2）当ω=（1+k）ω0时，重力和支持力的合力不够提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切线向下，根据牛顿第二定律得，f cos60°+N cos30°=mR sin60°ω2．f sin60°+mg=N sin30°联立两式解得f＝3(2)2k kmg+当ω=（1-k）ω0时，摩擦力方向沿罐壁切线向上，根据牛顿第二定律得，N cos30°-f cos60°=mR sin60°ω2．mg=N sin30°+f sin60°联立两式解得f＝3(2) k k-【思路点拨】（1）若ω=ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，靠重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出角速度的大小．10（2）当ω＞ω0，重力和支持力的合力不够提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切线向下，根据牛顿第二定律求出摩擦力的大小．当ω＜ω0，重力和支持力的合力大于向心力，则摩擦力的方向沿罐壁切线向上，根据牛顿第二定律求出摩擦力的大小．解决本题的关键搞清物块做圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律，抓住竖直方向上合力为零，水平方向上的合力提供向心力进行求解．6.【答案】A【解析】D、两球所受的重力大小相等，支持力方向相同，根据力的合成，知两支持力大小、合力大小相等，故D错误．A、根据得F合=2vr，合力、质量相等，r越大线速度大，所以球a的线速度大于球b的线速度，故A正确；B、F合=mω2r合力、质量相等，r越大角速度越小，a球的角速度小于b球的角速度．故B 错误；C、F合=ma可知，合力、质量相等，向心加速度相等．故C错误．故选：A．【思路点拨】小球受重力和支持力，靠重力和支持力的合力提供圆周运动的向心力，根据F合=ma=m2vr=mrω2比较线速度、角速度、向心加速度的大小解决本题的关键知道小球做匀速圆周运动，靠重力和支持力的合力提供向心力．会通过F合=ma=m2vr=mrω2比较线速度、角速度、向心加速度的大小．7.【答案解析】C解析：11设绳长为L，锥面与竖直方向夹角为θ，当ω=0时，小球静止，受重力mg、支持力N和绳的拉力F T而平衡，F T=mg cosθ≠0，所以A项、B项都不正确；ω增大时，F T增大，N减小，当N=0时，角速度为ω0．当ω＜ω0时，由牛顿第二定律得，F T sinθ-N cosθ=mω2L sinθ，F T cosθ+N sinθ=mg，解得F T=mω2L sin2θ+mg cosθ；当ω＞ω0时，小球离开锥子，绳与竖直方向夹角变大，设为β，由牛顿第二定律得F T sinβ=mω2L sinβ，所以F T=mLω2，此时图象的反向延长线经过原点．可知F T-ω2图线的斜率变大，所以C项正确，D错误．故选：C．【思路点拨】分析小球的受力，判断小球随圆锥作圆周运动时的向心力的大小，进而分析T随ω2变化的关系，但是要注意的是，当角速度超过某一个值的时候，小球会飘起来，离开圆锥，从而它的受力也会发生变化，T与ω2的关系也就变了．本题很好的考查了学生对物体运动过程的分析，在转的慢和快的时候，物体的受力会变化，物理量之间的关系也就会变化．12。
